平行与垂直的知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结空间几何是研究点、线、面等几何形体在空间中的相互关系和特性的学科。
在空间几何中，平行和垂直是两种重要的关系。
本文将总结空间几何中的平行与垂直关系的知识点。
一、平行关系平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。
平行关系在日常生活和工程建设中经常被应用到。
1. 平行关系的性质- 平行线与同一平面内的直线交线的两个内角是同位角，即两个内角之和等于180度。
- 平行线与同一平面外的直线交线的两个内角也是同位角，同位角性质适用于平行于同一平面内的两条直线。
2. 判定平行关系的方法- 平行线的判定：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线是平行线。
- 平行面的判定：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线重合，并且这两个平面分别与第三个平面平行，则这两个平面是平行面。
3. 平行线的性质- 平行线投影性质：平行于同一平面内的两条直线的等角投影相等。
- 平行线的方向性：平行线有确定的方向，可以延长或缩短，但方向不会改变。
二、垂直关系垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系在几何学、建筑学和物理学中都有广泛应用。
1. 垂直关系的性质- 垂直关系性质一：两个直角相等。
- 垂直关系性质二：两个互相垂直的直线或两个互相垂直的平面，其中一个与第三个垂直，则它们与第三个也是垂直关系。
- 垂直关系性质三：垂直于同一面的直线与该面的交线垂直。
2. 判定垂直关系的方法- 判定直线垂直关系的方法：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线是垂直的。
- 判定面垂直关系的方法：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线相交成直角，并且这两个平面分别与第三个平面垂直，则这两个平面是垂直的。
三、平行和垂直关系的应用平行和垂直关系在日常生活和工程建设中具有广泛的应用。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
小学数学平行与垂直知识点总结
小学数学平行与垂直知识点总结在小学数学中，平行与垂直是几何图形中的重要概念，对于孩子们理解空间和图形关系起着基础性的作用。
接下来，让我们一起深入了解这两个关键的知识点。
一、平行（一）平行的定义平行是指在同一平面内，永不相交的两条直线。
这里需要特别注意“在同一平面内”这个前提条件，如果不在同一平面，即使两条直线不相交，也不能称为平行。
（二）平行线的特点1、平行线之间的距离处处相等。
比如，两条平行的铁轨之间的距离，无论在哪个位置测量，都是相同的。
2、平行线永远不会相交。
（三）如何判断两条直线是否平行1、观察法：直观地看两条直线是否保持相同的距离且不相交。
2、借助工具：比如使用直尺和三角板，将三角板的一条直角边与其中一条直线重合，直尺靠紧三角板的另一条直角边，然后平移三角板，如果三角板的直角边与另一条直线重合，那么这两条直线平行。
（四）平行在生活中的应用1、街道上的斑马线：每一组横线都是互相平行的。
2、建筑物中的窗户边框：它们的对边通常是平行的。
二、垂直（一）垂直的定义当两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
（二）垂直的特点1、垂线是直线，垂线段是线段。
2、点到直线的距离中，垂线段最短。
（三）如何判断两条直线是否垂直1、可以使用量角器测量两条直线相交的角是否为 90 度。
2、观察两条直线相交的情况，如果形成了明显的直角，那么它们互相垂直。
（四）垂直在生活中的应用1、旗杆与地面：旗杆通常是垂直于地面的。
2、墙角：两面墙相交形成的角通常是直角，即互相垂直。
三、平行与垂直的关系平行和垂直是两种不同的位置关系。
两条直线要么平行，要么相交，而垂直是相交的一种特殊情况。
四、相关的数学练习（一）判断类题目给出一些直线的图形或描述，让学生判断是否平行或垂直。
（二）作图类题目要求学生根据给定的条件，画出平行线或垂线。
（三）应用类题目通过实际生活中的场景，如建筑、道路等，让学生找出其中平行或垂直的例子，并进行相关计算。
线面平行垂直知识点
立体几何知识点总结一、平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上；A∉α—点A不在平面α内；b)l⊂α—直线l在平面α内；c)a⊄α—直线a不在平面α内；d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点；f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.二、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行三、证题方法四、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点五、异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.六、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a ∥β④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑥中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④三垂线定理和逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）推论：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.（面面垂直判定定理）七、空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角 (1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. 3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180° (3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD 是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点C 在棱AB 上的位置无关. ②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB ⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD ⊥α，平面PCD ⊥β. ③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法 （ii)垂面法 (iii)三垂线法 (Ⅳ)根据特殊图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. 八.空间的各种距离 点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.直线和平面的距离、平行平面的距离将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.空间直线和平面（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4 (a//b,b//ca//c)线面平行判定αβαγβγ//,//==⇒⎫⎬⎭a ba b面面平行判定1a ba ba//,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a ba b Aa b⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////线面平行性质aaba b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪面面平行性质1αβαβ////aa⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβabα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a a OA a PO a PO a AO⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥αα在内射影则面面垂直判定线面垂直定义l a l a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ b a a b a , αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ a a面面垂直定义αβαβαβ =--⇒⊥⎫⎬⎭l l ，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2面面平行性质3a b a b //⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααa b a b ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//a a ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//a a ⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
小学数学平行与垂直知识点总结
小学数学平行与垂直知识点总结在小学数学的学习中，“平行与垂直”是非常重要的几何概念。
理解和掌握这些概念，对于孩子们后续学习更复杂的几何知识，以及培养空间想象力和逻辑思维能力都有着至关重要的作用。
接下来，让我们详细地总结一下这部分的知识点。
一、平行的概念平行，简单来说就是指两条直线在同一平面内永远不会相交。
比如说，我们常见的铁路轨道，它们的两条铁轨始终保持着相同的距离，并且永远不会碰到一起，这就是平行的一个典型例子。
在数学中，我们用符号“∥”来表示平行。
例如，直线 a 平行于直线b，可以记作 a∥b。
判断两条直线是否平行，有以下几个关键要点：1、两条直线必须在同一平面内。
如果不在同一平面，即使它们看起来不相交，也不能称之为平行。
2、这两条直线之间的距离要处处相等。
也就是说，无论在直线上的哪个位置测量，它们之间的距离都是一样的。
二、平行的性质1、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三、垂直的概念垂直是指两条直线相交成直角（90 度）的情况。
比如我们常见的墙角，相邻的两面墙就形成了垂直的关系。
我们用符号“⊥”来表示垂直。
例如，直线 a 垂直于直线 b，可以记作 a⊥b。
四、垂直的性质1、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
五、平行与垂直的关系平行和垂直是两种不同的位置关系，但它们又有着密切的联系。
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线的垂线也一定垂直于另一条直线。
反过来，如果两条直线互相垂直，那么其中一条直线的平行线也一定与另一条直线垂直。
六、在生活中的应用平行和垂直的概念在我们的日常生活中有着广泛的应用。
比如，平行的应用：1、建筑物中的平行结构：许多建筑物的柱子、梁等结构都是平行的，这样可以保证建筑物的稳定性和美观性。
2、道路上的行车道：公路上的行车道通常是平行的，这样可以保证车辆有序行驶，减少交通事故的发生。
四年级（上册）平行与垂直（知识点+例题+随堂+课后作业）[整理]
![四年级（上册）平行与垂直（知识点+例题+随堂+课后作业）[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/04752313cd1755270722192e453610661ed95af1.png)
第五讲平行与垂直【知识梳理】【知识回顾】知识点1 平行与垂直的定义①在同一平面不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
图一：“直线A 和直线B 是平行线；直线A 的平行线是直线B ”②如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
图二：“直线A 和直线B 相互垂直；直线A 是直线B 的垂线；点C 是垂足。
”温馨提示：在同一平面两条直线的位置关系有两种（平行与相交）垂直是相交的特殊情况知识点2 垂线的画法平行与垂直定义垂线的画法平行线的画法①例一：过直线上一点画这条直线的垂线方法？答：把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的直角顶点靠近直线上的点，然后用笔沿另一条直角边画出直线就可以了。
小结：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
②例二：过直线外一点画这条直线的垂线方法？答：把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的另一条边靠近直线外的点，然后用笔沿这条边画直线就可以了。
③例三：把直线外一点A与直线上任意一点连接，所画线段哪个最短？小结：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
即“点A到直线所画的垂直线段最短；点A到这条直线的距离是10厘米”知识点3 平行线的画法①例一：怎样画平行线？答：可以用直尺和三角尺来画平行线，先把三角尺的一条直角边紧靠直线，再把直尺紧靠三角尺的另一条直角边，这时沿直尺平移三角尺，再画一条直线就可以了。
小结：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
②例二：在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长度特点？小结：两条平行线之间的距离是相等的。
③例三：怎样画出一条长3厘米，宽2厘米的长方形？提示：长方形的对边是互相平行，两条边是互相垂直的。
因此可以用画垂线或平行线的方法画。
小结：先画一条长3厘米的线段；再过线段端点画一条2厘米的垂线；再过另一个点也画一条2厘米的垂线；连接两个端点就可以了。
平行与垂直知识点总结
平行与垂直知识点总结平行与垂直是几何学中的重要概念，涉及到直线在空间中的位置关系。
在几何学中，我们经常需要理解和利用平行与垂直的概念，这些概念对于解决几何问题、建筑设计、地图绘制等方面都具有重要的作用。
因此，了解平行与垂直的知识点对于我们的数学学习和日常生活都具有重要的意义。
本文将从平行和垂直的定义、性质、判定以及相关定理等方面对平行与垂直进行总结，希望能够对读者有所帮助。
一、平行线的定义在平面几何中，两条直线称为平行线，如果它们在同一平面上，且不相交。
这意味着，平行线在同一平面上不会相交，其间的距离始终保持相等。
1.1 平行线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“ ||”来表示两条线段是平行的。
1.2 平行线的特征：1）平行线永远不会相交。
2）平行线的斜率相同。
3）平行线之间的夹角相等。
二、垂直线的定义与平行线相对应的概念是垂直线。
两条直线称为垂直线，如果它们在同一平面上，并且它们的交角为 90 度。
2.1 垂直线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“⊥”来表示两条线段是垂直的。
2.2 垂直线的特征：1）垂直线可以相交，但相交的角度为 90 度。
2）垂直线的斜率相乘等于 -1。
3）垂直线之间的夹角为 90 度。
三、平行和垂直线的判定在几何学中，我们常常需要判定两条直线是否平行或垂直，下面来总结一些判定准则。
3.1 判定两条直线是否平行的几种方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
b）观察判定法：在图形上观察两条线段的倾斜情况，如果它们很明显地呈现出平行的形态，则可以判断它们是平行线。
c）角度判定法：两条平行线之间的夹角相等，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否平行。
3.2 判定两条直线是否垂直的方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相乘等于 -1 时，它们是垂直线。
b）观察判定法：在图形上观察两条直线的交角，如果它们的交角为 90 度，则可以判断它们是垂直线。
c）角度判定法：两条垂直线之间的夹角为 90 度，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否垂直。
七年级平行与垂直的知识点
七年级平行与垂直的知识点在七年级数学中，平行与垂直是非常重要的概念，用于解决许多几何问题。
本文将讨论平行和垂直的概念、性质和应用。
平行的概念两条直线在同一平面内，若它们没有交点，则称这两条直线是平行的。
用符号“∥”表示。
平行的性质1. 平行线夹带锐角的三角形内角和为180度；2. 平行线上的对应角相等（错位同旁内角）；3. 平行线上的共线变角、同旁外角互补；4. 垂直与平行定理：如果两条直线分别与第三条直线垂直相交，并且不在同一平面上，那么这两条直线必定互相平行。
垂直的概念当两条直线、线段或射线正交于一点时，它们是垂直的。
用符号“⊥”表示。
垂直的性质1. 垂直线夹带直角的三角形内角和为180度；2. 垂直的任意两条直线上的对应角互相补充；3. 符号“⊥”可以用于表示两个较小的图形部分之间的垂直关系。
平行与垂直的应用1. 平行线的应用：平行线的概念在初中数学中的应用非常广泛。
如用平行线推导出梯形、平行四边形等图形的性质，以及求解相似三角形的方法等。
2. 垂直角和直角三角形的应用：在使用勾股定理求解三角形边长或角度时，垂直角和直角三角形的概念起着重要的作用。
3. 平面切割立体图形的应用：平行和垂直线的概念也被广泛应用于几何学领域。
例如，在平面切割立体图形时，需要根据平行和垂直的概念来进行操作。
结论在初中数学中，平行和垂直是非常重要的概念。
对于许多几何问题的解决，平行和垂直的概念均起到了至关重要的作用。
通过对平行和垂直的定义、性质和应用的了解，同学们可以更好地理解几何图形的组成，从而提升解决数学问题的能力和效率。
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结在空间几何中，平行与垂直关系是非常重要的概念，它们贯穿于整个几何学习的始终。
理解和掌握这些关系对于解决空间几何问题至关重要。
下面，我们就来详细总结一下空间几何中平行与垂直关系的相关知识点。
一、线线平行1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2、线线平行的判定定理（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
3、线线平行的性质定理（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
4、空间中直线平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
二、线面平行1、线面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。
2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
3、线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
三、面面平行1、面面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。
2、面面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（2）如果两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行。
3、面面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
四、线线垂直1、线线垂直的定义如果两条直线所成的角为直角，那么这两条直线互相垂直。
2、线线垂直的判定定理（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直1、线面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
数学中的平行与垂直知识点解析及解题技巧
数学中的平行与垂直知识点解析及解题技巧数学中的平行与垂直是几何学中非常基础但又十分重要的概念。
平行和垂直是指直线之间的关系，正确理解和运用这些概念对于解题以及理解几何形状和结构十分关键。
本文将详细解析数学中的平行与垂直知识点，并介绍相应的解题技巧，帮助读者更好地掌握这一部分内容。
一、平行线的定义及性质平行是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率。
在笛卡尔坐标系中，我们可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。
2. 平行线之间的距离始终保持不变。
可以通过计算两条平行线上的任意一点到另一条线的垂直距离来验证。
3. 平行线之间没有交点。
平行线从一点向两个相反方向延伸，永远不会相交。
了解了平行线的定义及性质，我们就可以更好地应用它们解决各种几何问题。
二、垂直线的定义及性质垂直是指两条直线或线段之间的相互正交关系。
垂直线也被称为正交线。
以下是垂直线的定义及常见性质：1. 垂直线的斜率乘积为-1。
如果一条直线的斜率为k，那么与之垂直的直线的斜率为-1/k。
2. 垂直线之间的角度为90度（直角）。
两条互相垂直的直线在交点处形成一个90度的角。
3. 垂直线的特殊情况是水平线和竖直线。
水平线与x轴平行，竖直线与y轴平行。
了解垂直线的定义及性质，对于解题和理解几何图形的垂直关系非常有帮助。
三、解题技巧与实例分析1. 利用平行线的性质解题当我们面对一道几何问题时，如果题目中涉及到平行线的关系，我们可以利用平行线的性质进行分析。
例如，已知直线上有一点C，与直线AB平行相交。
我们可以利用平行线的性质，将已知条件与问题要求结合，得出一些结论。
比如，如果已知角ACB为60度，那么我们可以得出角ABC也为60度，因为平行线之间的对应角相等。
2. 利用垂直线的性质解题同样地，当我们遇到涉及垂直线关系的题目时，可以利用垂直线的性质进行解题。
例如，如果两条直线垂直相交于一点O，并且已知角AOC的度数为30度，我们可以得出角COB的度数为90度，因为两条垂直线在交点处形成的角度为90度。
小学数学平行与垂直知识点总结
小学数学平行与垂直知识点总结对于小学生来说，学习数学是一个必不可少的环节。
而在数学学习的过程中，平行和垂直是关键的基础概念之一。
本文将对小学数学中关于平行与垂直的知识点进行总结，并给出一些相关的例题，以便同学们更好地理解和掌握这些概念。
一、平行线的定义在平面几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
具体来说，如果两条直线在平面内没有交点，并且在任意位置都保持相同的方向，那么这两条直线就是平行线。
二、平行线的性质1. 平行线上任意两点之间的距离是相等的。
这个性质可以通过一些例题来理解。
比如，AB和CD是平行线，E 和F分别是AB和CD上的两个点，那么AE的长度等于CF的长度，BE的长度等于DF的长度。
2. 平行线与直线的交点角的对应角相等。
所谓对应角，是指当两条平行线与一条直线交叉时，在交叉点处所形成的相邻的内角和外角。
对应角在形状和度数上是相等的。
三、垂直线的定义在平面几何中，垂直线是指与另一条线段或直线相交，且交点所形成的角度为90度的线段或直线。
四、垂直线的性质1. 垂直线上的任意两点与平行线上的任意两点连线之间的角度是相等的。
这个性质可以通过构造一些例题，如图中AB与CD垂直，且DE 与EF是CD上的两条线段，相交于点E。
则∠AED的角度等于∠AFE 的角度。
2. 垂直线与平行线的关系如果两条平行线中的一条与第三条直线垂直，则这两条平行线与第三条直线也是垂直的。
这个关系可以用符号来表示：平行线 | 垂直线。
例如，若AB和CD平行且CD与EF垂直，则AB和EF也是垂直的。
在学习过程中，我们经常会遇到一些与平行和垂直相关的例题。
下面给出两个例题，以便同学们更好地理解和应用所学知识。
例题一：已知平行四边形ABCD的边长依次为4cm、6cm、4cm和6cm，求对角线AC的长度。
解析：由于平行四边形的对角线相等，在已知两条对边的长度后，可以通过勾股定理求得对角线的长度。
根据勾股定理可得AC的长度为√(6^2 + 4^2)，计算结果约为7.21cm。
高三平行与垂直知识点
高三平行与垂直知识点在数学中，平行与垂直是两个重要的概念。
它们在几何学和代数学中都扮演着重要的角色。
本文将介绍高三学生在学习平行与垂直时需要了解的知识点，包括定义、判定条件以及相关性质。
一、平行线的定义及判定条件：平行线是指在同一平面上始终保持相同的方向，永不相交的两条直线。
以下是平行线的定义及判定条件：1. 若两条直线在同一平面上没有交点且距离始终相等，则这两条直线是平行的。
2. 若两条直线的斜率相等但不相交，则这两条直线是平行的。
3. 若两条直线的法向量相等，则这两条直线是平行的。
二、垂直线的定义及判定条件：垂直线是指两条直线在交点处互相垂直的性质。
以下是垂直线的定义及判定条件：1. 若两条直线的斜率相乘为-1，则这两条直线垂直。
2. 若两条直线的方向角相差90度，则这两条直线垂直。
3. 若两条直线的乘积斜率为-1，则这两条直线垂直。
三、平行线和垂直线的性质：1. 平行线的性质：（1）平行线与一条横切线的交点所对应的内角相等。
（2）平行线与一条横切线的交点所对应的外角互补。
（3）平行线上的任意两条相交线所对应的对顶角相等。
（4）平行线上的两个异面直角锐角对应角相等。
2. 垂直线的性质：（1）垂直线与一条横切线的交点所对应的内角为直角。
（2）垂直线与一条横切线的交点所对应的外角为直角。
（3）垂直线上的任意两条相交线所对应的对顶角互补。
（4）垂直线上的两个异面直角钝角对应角相等。
四、平行线和垂直线的应用：1. 平行线的应用：（1）在构造平行四边形或矩形时，需要用到平行线的性质。
（2）在解决几何证明问题时，平行线的性质常常被用作推理的基础。
2. 垂直线的应用：（1）在建筑工程中，垂直线用于确定建筑物的垂直性。
（2）在解决各类几何问题时，垂直线与平行线的性质被广泛应用。
综上所述，高三学生需要掌握平行线和垂直线的定义、判定条件以及相关性质。
理解并应用这些知识点，可以帮助学生更好地解决几何问题，并在数学学习中取得较好的成绩。
平行与垂直的知识点总结
立体几何知识点一．平行关系：1.平行：方法一：用面平行。
假如一条直和一个平面平行，条直的平面和个平面订交，那么条直和交平行ll //l l // m 方法一：用平行。
假如平面外一条直和个平面内的一条直平行，条直与个平面平行.l // ml m l //m lα方法二：用面面平行。
两个平面平行，此中一个平面内的直平行于另一个平面mm方法二：用面面平行。
两平行平面与同一个平面订交，那么两条交平行//lβl l // mγmmα方法三：用面垂直。
若 l, m，l // m。
④中位定理、平行四形、比率段⋯⋯，⑤平行于同向来的两直平行，即若a∥b,b ∥ c, a∥ c. （公义 4）2.面平行：βl//l //lα3．面面平行：方法一：用面平行。
假如一个平面内有两条订交直都平行于另一个平面，那么两个平面平行l l //βm//m //l , m且订交α三．垂直关系：1．两直垂直的判断①定：若两直成 90°角，两直线相互垂直.方法一：用线面垂直实现。
一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的随意一条直线 .l ll m mmα②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直 . 即若 b∥ c,a ⊥ b, 则 a⊥ c③假如一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即若 a∥α ,b ⊥α , 则 a⊥ b.2.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.lC l AC l ABAAC lαBAB AAC,AB方法二：用面面垂直实现。
假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面βlmlm l m,lα2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直βl llα方法二：计算所成二面角为直角。
二．夹角问题。
( 一 )异面直线所成的角：(1)范围： (0 ,90 ](2)求法：方法一：定义法。
小学数学知识点认识简单的平行和垂直
小学数学知识点认识简单的平行和垂直平行和垂直是小学数学中的重要概念，它们在几何学中有着广泛的应用。
认识简单的平行和垂直对于理解几何图形的性质和解决几何问题非常关键。
本文将对小学数学中关于平行和垂直的基本认识进行简要介绍。
一、平行线的认识在几何学中，平行线是指处于同一个平面中且永远不会相交的直线。
简单来说，平行线是指在同一个平面上，方向相同但不相交的直线。
平行线的特点：1. 平行线之间的距离始终保持相等。
2. 平行线具有相同的斜率。
在平行线的概念中，我们可以引入副助线（即在图形中为了方便观察和推理而作出的辅助线）来辅助解决几何问题。
例如，在解决平行线问题时，我们可以通过绘制与已知平行线垂直的辅助线来帮助我们找到所需的解答。
二、垂直线的认识在几何学中，垂直线是指两条直线相交时互相垂直的状态。
简单来说，两条直线相交于一个角为90°的状态，即为垂直线。
垂直线的特点：1. 垂直线之间的角度为90°。
2. 垂直线在交点处的对角线长度相等，且相互垂直。
对于垂直线的认识，我们同样可以利用副助线的原理来辅助解题。
通过引入垂直线，我们可以推断出两条直线之间的性质，并且可以在解决几何问题时更加便捷地找到答案。
三、平行与垂直之间的关系平行和垂直之间存在一定的关系。
具体来说：1. 平行线与垂直线永远不会相交。
2. 平行线中的任意一条线与另一条与之平行的线都是垂直线。
这意味着，如果两条线是垂直的，那么它们之间必定不存在交点。
而如果两条线是平行的，它们之间也不存在交点。
根据平行和垂直的定义以及它们之间的关系，我们可以通过观察和推理来解决一些与平行和垂直有关的数学问题。
在解决这类问题时，可以运用相关的知识点和技巧，例如使用副助线、观察角度关系等。
通过不断练习与应用，可以提高解决问题的能力和思维灵活性。
总结：小学数学中的平行和垂直是几何学中的重要概念，对于理解几何图形的性质和解决几何问题至关重要。
平行线是处于同一个平面上且永不相交的直线，而垂直线是两条直线相互垂直的状态。
四年级上册平行和垂直(知识点+例题+随堂+课后作业)
）
（7）永不相交的两条直线叫做平行线。 （
）
（8）3 点 30 分时，时针与分针所在直线是互相垂直的。 （
）
（9）两条不相交的直线一定是平行线。 （
）
（ 10）同一平面内的两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线
互相平行。（
）
三、选择题。（15 分） 5/7
（ 1）两条直线相交成直角，就说这两条直线（
（1）不相交的两条直线叫做平行线。 （
）
（2）两条直线互相垂直时， 相交成的四个角一定都是直角。（
）
（3）平行线间的距离处处相等。 （
）
（4）如果直线 a 和直线 b 相交成直角，那么直线 a 叫做垂线，直线
b 叫做垂线。（
）
（5）两条直线相交，那么这两条直线互相垂直。 （
）
（6）在同一平面内的两条直线不相交就平行。 （
4/7
8、下列图形各有几对平行线。
9、一张纸上画了三条直线， 已知直线 A 和直线 B 互相平行，直线 C 垂直
于直线 A，那么直线 B 和直线 C
10、长方形内有一中心点，它到各边的距离分别是 3 厘 M 和 2 厘 M，
这个长方形的面积是平方厘 M
二、判断题。对的画“√” ，错的“×”。（20 分）
图二：“直线 A 和直线 B 相互垂直；直线 A 是直线 B 的垂 线；点 C 是垂足。”
温馨提示：在同一平面内两条直线的位置关系有两种 与相交）
垂直是相交的特殊情况
（平行
知识点 2 垂线的画法
① 例一：过直线上一点画这条直线的垂线方法？ 答：把三角尺的一条直角边靠近直线， 三角尺上的直角顶点靠近直 线上的点， 然后用笔沿另一条直角边画出直线就可以了。 小结：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
高中数学知识点总结及公式大全立体几何中的平行与垂直问题
高中数学知识点总结及公式大全立体几何中的平行与垂直问题高中数学知识点总结及公式大全：立体几何中的平行与垂直问题在高中数学中，几何是一个重要的分支，而立体几何更是其中的重要内容之一。
在立体几何中，平行和垂直是我们经常遇到的问题。
本文将对高中数学中的立体几何知识点进行总结，并提供一些常用的公式。
一、平行与垂直的概念在几何中，平行和垂直是两个基本的关系。
平行指的是两条直线永远不会相交的情况，可以想象成两条铁轨永远平行。
垂直则指的是两条直线相互成直角，可以想象成两根彼此垂直的木棍。
二、平行与垂直的判定方法1. 平行关系的判定方法：(1) 同位角相等定理：如果两条直线被一组相交线段所切割，且这些相交线段的对应角相等，则这两条直线是平行的。
(2) 平行线的性质定理：如果一条直线上的两个点分别与另一条直线上的两个点相连，且相连的线段互相平行，则这两条直线是平行的。
(3) 平行线的判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。
2. 垂直关系的判定方法：(1) 两条直线相交且相交角为90度，则这两条直线是垂直的。
(2) 垂直线的性质定理：如果一条直线与另一条直线相互垂直，且这两条直线各自还与第三条直线相交，则第三条直线与这两条直线也是垂直的。
(3) 垂直线的判定定理：如果两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线是垂直的。
三、常用公式在立体几何中，我们经常使用一些公式来求解问题。
下面是一些常用的公式：1. 立方体的表面积公式：立方体的表面积等于6倍的边长平方。
2. 立方体的体积公式：立方体的体积等于边长的立方。
3. 正方体的表面积公式：正方体的表面积等于6倍的边长平方。
4. 正方体的体积公式：正方体的体积等于边长的立方。
5. 圆柱体的表面积公式：圆柱体的表面积等于2πr² + 2πrh，其中r为底面半径，h为高。
6. 圆柱体的体积公式：圆柱体的体积等于πr²h，其中r为底面半径，h为高。
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点直线和平面的平行与垂直是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题中往往起着关键性的作用。
判定直线与平面的平行与垂直关系的方法有很多，下面将逐一介绍。
1.直线与平面平行的判定及性质：直线与平面平行的判定方法有以下三种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。
（2）截距判定法：如果直线与平面的两个不同点的坐标满足平面方程，则直线与平面平行。
（3）斜率判定法：如果直线的斜率与平面的法向量的斜率相同或不存在，则直线与平面平行。
直线与平面平行的性质有：（1）两个平行直线与同一个平面的交点之连线垂直于这两个直线。
（2）两个平行直线的斜率相同。
（3）两个平行直线的方向向量相同。
（4）两个平行直线的距离在平行直线之间是相等的。
2.直线与平面垂直的判定及性质：直线与平面垂直的判定方法有以下两种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
（2）斜率判定法：如果直线的斜率乘以平面的法向量的斜率为-1或直线的斜率不存在且平面的法向量的斜率存在，则直线与平面垂直。
直线与平面垂直的性质有：（1）直线与平面垂直，则直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面。
（2）直线与平面垂直，则与直线垂直的平面必过直线上的一点。
（3）两个平行的直线与同一个平面的交线垂直于这两个直线。
（4）两个平行直线的方向向量的点积为零。
（5）两个垂直直线的斜率乘积为-1（6）两个平行直线的斜率乘积为1总结起来，判定直线与平面平行与垂直的方法有法向量判定法和斜率判定法。
关于性质，平行直线之间的距离相等，垂直直线的斜率乘积为-1，直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面等等。
这些性质在解决几何问题时都有非常重要的应用价值。
数的平行与垂直知识点总结
数的平行与垂直知识点总结准备稿：数的平行与垂直知识点总结在数学中，平行与垂直是非常基础且重要的概念。
无论是研究几何形状、解方程还是进行坐标运算，都离不开这两个概念。
本文将对数的平行与垂直进行详细总结，为读者提供清晰的数学知识框架。
一、平行线的定义与性质在平面几何中，我们首先需要了解平行线的定义与性质。
1. 定义：平行线是指在同一个平面中永远不会相交的线。
2. 特征：平行线具有以下性质：a. 平行线上的任意两个点到另一平行线的距离相等。
b. 平行线之间的夹角相等。
c. 平行线与同一条直线的关系是对偶的（即，如果一条直线与其中一条平行线垂直，则它必然与另一条平行线垂直）。
3. 平行线的符号表示：在几何证明中，平行线通常使用“||”符号表示。
二、判断平行线的方法当我们面对一些几何问题时，需要判断给定的线段或直线是否平行。
下面介绍几种判断平行线的方法。
1. 角度法：当两条直线间的夹角为180度时，这两条直线是平行线。
2. 与干线的关系：若一条直线与两条平行线分别相交，且所成的对应角或内错角相等，则这条直线与两条平行线平行。
3. 距离法：若两条直线上的任意两点到另一直线的距离相等，则这两条直线是平行线。
三、垂直线的定义与性质与平行线类似，垂直线也是几何学中常见的概念。
垂直线的定义与性质如下：1. 定义：垂直线是指两条直线或线段之间的夹角为90度的线。
2. 特征：垂直线具有以下性质：a. 垂直线上的任意一点到另一垂直线的距离为0。
b. 垂直线之间的夹角为直角。
3. 垂直线的符号表示：在几何证明中，垂直线通常使用“⊥”符号表示。
四、垂直线的判定方法同样，当我们需要判断给定的直线是否垂直时，可以采用以下方法。
1. 角度法：若两条直线的夹角为90度，则这两条直线是垂直的。
2. 斜率法：对于直线L1和L2，如果它们的斜率之积为-1（即k1*k2 = -1），则L1与L2垂直。
3. 直角坐标系中的判定：若一条直线的斜率为k，且另一条直线过该直线上一点(x1, y1)，则若这条直线的斜率为-1/k，它们垂直。
平行与垂直知识点总结
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面 互相垂直.直线a 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a 的垂面。
直线与平面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
基础例题：1、求证在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，体对角线AC 1垂直于面对角线BD2、AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，证明：PAC BC 平面直线与平面垂直的性质定理（线面垂直→线线垂直）：如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内的任意一条直线垂直。
基础例题1.已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,中点为CD E ，求证：AB ⊥CD推论1（线线平行→线面垂直）如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。
CC1推论2（线面垂直→线线平行）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
正方体AC 1中，EF 与异面直线AC,A 1D 都 垂直相交，交点分别为E,F ， 求证：EF//BD 12、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理（线线平行→线面平行）：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
基本例题：1已知：空间四边形ABCD 中，F E ,分别是AD AB ,的中点求证：BCD EF 平面//2、已知，空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点求证：EFG AC 平面//直线和平面平行的性质定理（线面平行→线线平行）：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
基础例题：如图,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH ∥FG .四、两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。
平行与垂直ppt课件
利用平行线的性质和垂线的性质进行判定。例如，在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一 条直线，那么这两条直线平行；或者如果一条直线与另外两条平行线中的一条垂直，那么它与 另外一条平行线也垂直。
02
平行四边形中平行与垂直
平行四边形中平行线性质
01 对边平行
平行四边形两组对边分别 平行。
03 对边相等
平行四边形的对边相等。
02 对角相等
平行四边形的对角相等。
04 邻角互补
平行四边形邻角互补。
平行四边形中垂直线性质
高与底垂直
从平行四边形一个顶点向对边作垂线，这条垂线 段就是高，高与底互相垂直。
高长度相等
任意一条高都将平行四边形分为两个面积相等的 三角形，因此，同底的高长度相等。
平行四边形对角线性质
平行于直径的弦是圆的另一条直径，且这两条直 径互相平分。
03 平行弦与圆心距
在同一圆内，两平行弦到圆心的距离相等。
圆中垂直弦性质
垂直弦性质
从圆心到弦的垂线平分该弦，并且平 分该弦所对的两条弧。
垂径定理
在圆内，垂直于弦的直径平分该弦， 并且平分该弦所对的两条弧。若过圆 内一点引两条互相垂直的弦，则它们 的中点连线段必过圆心。
在绘制工程图纸时，需要使用平 行线和垂直线来表示物体的轮廓 、尺寸和位置关系，以确保图纸 的准确性和可读性。
建筑设计
在建筑设计中，平行和垂直关系 对于确定建筑物的结构、立面和 平面布局至关重要，有助于实现 稳定、美观的建筑效果。
地理信息系统中平行和垂直线用于绘制等高线、道路、河流等地理 要素，以展示地形地貌、交通网络等空间信息。
对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分。
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1 //
立体几何知识点
如果平面外一条直线和这个平面内的一条
直线平行，则这条直线与这个平面平行
一 •平行关系：
1.线线平行：
方法一：用线面平行实现。
如果一条直线和一个 平而平行，经过这条直线的平面和这个平而相交, 那么这条直线和交线平行
方法一：用线线平行实现。
--------- 気
Z=7
l//m
两个平而平行，其中一个平面内的直线平 行于另一个平面
口
l//m
方法二：用而面平行实现。
两平行平而与同一个平而相交，那么两条 方
法二：用面面平行实现。
交线平行
I l//m m
3 •面面平行:
方法一：用线面平行实现。
如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面，那么这两个平面平行
方法三：用线面垂直实现。
若 I , m ,则 I // m 。
④ 中位线定理、平行四边形、比例线 段…，
⑤ 平行于同一直线的两直线平行，即若
/ 二
V/
//
/
―/ l,m 且相交
b, b // c,则 a // c.（公理 4） 2.线而平行:
•垂直关系：
1.两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两
直线互相垂直.
方法一：用线面垂直实现。
一条直线垂直于一个平面，则垂直于这 个平面内的任意一条直线.
2. 而而垂直:
方法一：用线面垂直实现。
② 一条直线与两条平行直线中的一条 垂直，也必与另一条垂直
.即若b ZIc,a 丄
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 b 八贝U *丄c
线，那么这两个平面互相垂直
③ 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线 与这个平面的垂线垂直•即若ala,b 丄a ,贝U a 丄b.
2.线而垂直:
方法二：计算所成二面角为直角。
二•夹角问题。
（一） 异而直线所成的角:
方法一：用线线垂直实现。
如果一条直线和一个平而内的两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于这个平而
1 AC 1 AB
AC, AB
方法二：用面面垂直实现。
如果两个平而互相垂直，那么在一个平而内
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平而
（1）范围：（0 ,90 ] （2）求法：
方法一：定义法。
步骤1:平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2 :解三角形求岀角。
（二）线而角
（1）定义：直线1上任取一点P （交点除外），作 P0于0,连结A0 ,则A0为斜线PA 在面内的射影,
PA0 （图中）为直线I 与面所成的角。
AC AB A
作I的垂线（射线）m、n,则射线
（一）正棱锥：底面是正多边形且顶点在底而的射影在底而中心。
（二）正棱柱：底而是正多边形的直棱柱。
（三）正多面体：
（四）棱锥的性质：平行于底而的的截而与底而相似，且而积比等于顶点到截而
的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧而
都是全等的等腰三角形。
（五）___ 彳本积：V棱柱__ V棱锥
（1）定
义：在棱I上
取一点P,两个半平面内分别
m和n的夹角为二面角一I—的平
（2）范围：[0 , 180 ]
（3）求法：
方法一：定义法。
步骤1 :作出二面角的平而角，并证明。
步骤2 :解三角形，求出二面角的平而角。
（2）范围：[0 , 90 ]
当0时，I或1〃
当90时，I
（3）求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2 :解三角形，求出线面角
（三）二面角及其平面角
p。