人教版高中数学选修1-1第三章 导数在函数中的应用 同步教案

，极大值和极小值统称
为
．
2．求函数 f(x)极值的方法
解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
(1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)
0，右侧 f′(x)
(2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x) 0，右侧 f′(x)
例题精讲 【题型一 求函数的极值】 【例 1】 求下列函数的极值． (1)f(x)＝3x＋3ln x； (2)f(x)＝x22＋x 1－2.
【方法技巧】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况， 运用数形结合的思想来确定函数的图象与 x 轴的交点个数． 巩固训练 1.求函数 y＝x4－4x3＋5 的极值．
6
2. 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当 x＝－1 时取得极大值 7，当 x＝3 时取得极小值，试求 函数 f(x)的极小值，并求 a、b、c 的值．
4.下列函数中,在 (0,) 上为增函数的是
（
）
A.y=sinx+1, B. y xe x C. y x3 x D. y ln(1 x) x
5.函数 f (x) 5 x 2sin x(x (0, )) 的单调增区间是
6.如果函数 y= 1 x 2 +lnx-ax 在定义域为增函数，则 a 的取值范围是 2
3.设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取值范围．
课后作业 【基础巩固】
7
1.函数 y=x+cosx 在（- ，+ ）内是（
A 增函数
B 减函数 C 有增有减
） D 不能确定
3
10
导数在函数中的应用辅导教案
学生姓名 授课教师
性别 上课时间
年级 年月日
学科
第（ ）次课 共（ ）次课
数学 课时：2 课时
教学课题 人教版 选修 1-1 第三章 导数在函数中的应用 同步教案
教学目标
知识目标：利用导数求函数的单调性，利用导数求函数的极值 能力目标：通过本节课的学习锻炼学生的逻辑推理能力，提高学生的运算能力 情感态度价值观：通过探讨激发学生的学习兴趣
2．函数 f (x) x3 2x a 的单调减区间是 （
）
A．（ ,2)
B. (2,)
3.函数
f
( x)
x ex
( a b 1) ,则
C．， ( 2 ,0) 3
(
)
A． f (a) f (b)
B. f (a) f (b)
D.以上都不对。
C． f (a) f (b)
D. f (a), f (b) 大小关系不能确定
22
3. 函数 f (x) (x 1)ex 的单调递增区间是
A.[0，＋∞）
B. [2，＋∞）
（
）
C.（－∞，2]
D.（－∞，1]
4. f (x) 是 f（x）的导函数， f (x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ ）
A
B
C
D
A．
B．
C．
D．
5.对于 R 上可导的任意函数，若满足 x 1 f / x 0 ，则必有（ ）
【题型二 利用导数求函数的单调区间】 【例 2】 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－x； (2)y＝ex－x＋1.
【方法技巧】 利用导数求函数 f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0， 不等式的解集就是函数的单调区间．注意：如果函数的单调区间不止一个时，单调区间应用“，”、 “和”等连接，而不能写成并集的形式．
【方法技巧】 要证明不等式 f(x)>g(x)(x∈(a，b))成立，可以构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)，然 后利用导数证明函数 F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数，若 F(a)－g(a)≥0.由增函数的定义 可知，当 x∈(a，b)时，f(x)－g(x)>0，从而证明了不等式 f(x)>g(x)．
4. 当 0＜x＜π2 时，求证：x－sin x＜16x3.
（二）函数的极值与导数
4
知识梳理 1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)
＝0 ， 而且在点 x＝a 附近的左侧 f ' (x) 0 ，右侧 f ' (x) 0 ，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小
值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)极大值与极大值点
如图，函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大 ， f′(b)
＝0 ，而且在点 x＝ b 附近的左侧
，右侧
，则把点 b 叫做函数 y＝f(x)的
，
f(b)叫做函数 y＝f(x)的
，极小值点、极大值点统称为
1
例题精讲
【题型一 利用导数判断函数的单调性】
【例
1】
证明：函数
f(x)＝lnx
x 在区间(0，e)上是增函数．
【方法技巧】 关于利用导数证明函数单调性的判断问题： (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f′(x)>(或<)0，则 f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减) 函数，则 f′(x)≥(或≤)0.
)
8
A．（ ,1)
B. (1 ,) 3
C．（ ,1) 和 (1 ,) D. (1, 1)
3
3
2．函数 f (x) sin x ，则
(
x
A． f (x) 在 (0, ) 内是减函数
C． f (x) 在 ( , ) 内是减函数 22
)
B. f (x) 在 (0, ) 内是增函数 D. f (x) 在 ( , ) 内是增函数
A . f 0 f 2 2 f 1
B. f 0 f 2 2 f 1
C . f 0 f 2 2 f 1
D. f 0 f 2 2 f 1
6.已知函数 f (x) x3 ax2 x 1 在 (,) 上是单调函数,则实数 a 的（ ） A. (, 3] [ 3,) B.[ 3, 3] C. (, 3) ( 3,) D. ( 3, 3)
3．利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导函数 f′(x)； (3)由 f′(x)>0(或 f′(x)<0)，解出相应的 x 的取值范围．当 f′(x)>0 时，f(x)在相应的区间上 是增函数；当 f′(x)<0 时，f(x)在相应区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间．
2
【题型三 已知函数单调性求参数的取值范围】 【例 3】 已知函数 f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数 a∈R)．若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上是单调递增的， 求 a 的取值范围．
【方法技巧】已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题， 一般地，函数 f(x)在区间Ⅰ上单调递增(或减)，转化为不等式 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上 恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围． 【题型四 用单调性与导数关系证不等式】 【例 4】 当 x＞0 时，证明不等式 ln x＞x－12x2.
3
巩固训练 1.试证明：函数 f(x)＝sinx x在区间π2 ，π上单调递减．
2.求函数 f(x)＝3x2－2ln x 的单调区间．
3. (1)已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的单调减区间为[－1，2]，求 b，c 的值． (2)设 f(x)＝ax3＋x 恰好有三个单调区间，求实数 a 的取值范围．
【方法技巧】已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合 理性． 【题型三 极值的综合应用】 【例 3】 设 a 为实数，函数 f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求 f(x)的极值； (2)是否存在实数 a，使得方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根？若存在，求出实数 a 的值；若不存在， 请说明理由．
教学重点 与难点
利用导数求函数的单调性
教学过程
（一）函数的单调性与导数
知识梳理 1．函数的单调性与其导函数的正负间的关系 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导
导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
函数的单调性 单调 . 单调 . 常数函数
2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图象就比较“ 陡峭 ”；反之，函数的图象就比较“平缓 ”．
0，那么，f(x0)是极大值． 0，那么，f(x0)是极小值．
【方法技巧】 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表．解题时 注意导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．
【题型二 已知极值求参数值】
5
【例 2】 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 处取得极值，且 f(1)＝－1. (1)求常数 a，b，c 的值； (2)判断 x＝±1 是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
7.右图为是函数 f(x)的导数图像，它是一条直线。
若 f(x) 图像过原点，则其顶点在 （
）
Hale Waihona Puke A．第一象限 C．第三象限