曾谨言量子力学第5章
曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案
+a
= 2mω a 2 ⋅
得 a2 = （3）
π = mωπ a 2 = n h 2
代入（2） ，解出
E n = nℏω ,
积分公式：
n = 1, 2 , 3 , ⋯ a 2 − u 2 du = u a2 u a2 − u2 + arcsin + c 2 2 a
（4）
∫
2π
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。 提示：利用
)
[ (
) (
)
]
其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此
ℏ2 T= d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ ∫ 2m
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
（3）
w=
且能量平均值
ℏ2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ + ψ *Vψ , 2m
（1）
1 mω 2 x 2 。 2
−a
0 a x （2）
a = 2 E / mω 2 ，
x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
+a
∫ p ⋅ dx = 2 ∫
nh 2ℏn = mωπ mω
−a
1 2m( E − mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 ∫ a 2 − x 2 dx 2 −a
∫= 1, 2 , ⋯ , pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为 ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量） ， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
∫
∴
因而平面转子的能量
曾谨言量子力学(卷1)习题答案
目次第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。
1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。
19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。
19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。
1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。
1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。
19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。
1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。
科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n ax n ∫∫−−=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a ba e bxdx e axax−+=∫ (3) =∫axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2−=∫(5) =∫axdx x sin 2ax a xaax a x cos )2(sin 2222−+(6)ax a xax aaxdx x sin cos 1cos 2+=∫ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222−+=∫))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)∫=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x −−++ (a<0) ∫20sin πxdx n2!!!)!1(πn n − (=n 正偶数)(9) =∫20cos πxdx n!!!)!1(n n − (=n 正奇数) 2π(0>a )(10)∫∞=0sin dx xax2π− (0<a )(11))1!+∞−=∫n n ax an dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=∫∞− (13) 121022!)!12(2++∞−−=∫n n ax n an dx e x π(14)1122!2+∞−+=∫n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π∫∞= (16)∫∞−+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )∫∞−+−=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
《曾谨言 量子力学教程 第3版 笔记和课后习题 含考研真题 》读书笔记思维导图
02
第2章 一维势场中的 粒子
03
第3章 力学量用算符 表达
04
第4章 力学量随时间 的演化与对称性
05 第5章 中心力场
06
第6章 电磁场中粒子 的运动
目录
07 第7章 量子力学的矩 阵形式与表象变换
08 第8章 自 旋
09
第9章 力学量本征值 问题的代数解法
010 第10章 微扰论
011 第11章 量子跃迁
7.2 课后习题详 解
7.1 复习笔记
7.3 名校考研真 题详解
第8章 自 旋
8.2 课后习题详 解
8.1 复习笔记
8.3 名校考研真 题详解
第9章 力学习题详 解
9.1 复习笔记
9.3 名校考研真 题详解
第10章 微扰论
10.2 课后习题 详解
10.1 复习笔记
第1章 波函数与Schrödinger 方...
1.2 课后习题详 解
1.1 复习笔记
1.3 名校考研真 题详解
第2章 一维势场中的粒子
2.2 课后习题详 解
2.1 复习笔记
2.3 名校考研真 题详解
第3章 力学量用算符表达
3.2 课后习题详 解
3.1 复习笔记
3.3 名校考研真 题详解
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量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲
薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程， 不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是 微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔 方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基 础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、 消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子 从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没 有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而 绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子） 在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身 不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像 一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本 假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性， 要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列 的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )
量子力学曾谨言习题解答第五章
第五章： 对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H AA dtd -=（H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H Ai dtA d=（１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H Ai的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dtA d -==（２） 此式遍乘2 即得待证式。
［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd A A ˆ*将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）⎰⎰⎰-≡=ττψψd AH HA iH A i dtA d )ˆˆˆˆ(*1]ˆ,ˆ[1（１） 今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd A Hd A H⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A idtA d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd AiE d A iE ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtA d［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H+=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅ μ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rd t d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ )],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p pp z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２）分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p zp p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ（３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x pp x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x pp p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x pi p i p i =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ （５）将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p r z y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ}ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ2ˆ)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dtdτμτψψ （７）但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22pd p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n 2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=i j kkj ii j kz y x Cz y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
曾谨言量子力学第5章
Rl (r ) r l
或等价地要求径向方程(8)的解满足
lim χ (r ) 0
r 0 l
(15)
-------径向方程解的边界条件
5.1.3 两体问题化为单体问题
两粒子体系的能量本征方程
2 2 2 2 V ( r r ) ( r . r ) E ( r 1 2 1 2 1 2 T 1 .r2 ) 2m2 2m1 (16 )
第五章 中心力场
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 中心力场中粒子运动的一般性质 无限深球方势阱 三维各向同性谐振子 氢原子
§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
中心力场：粒子所受的力总是通过一个中心，如万有引力场， 原子中电子所受的库仑场，三维各向同性谐振子。
经典力学中中心力场的特点： (1)势函数仅是径向坐标的函数，即 (2)角动量守恒
分离变量
(r1.r2 ) ( R) (r )
(21)
代入(20)得 2 2 R ( R) EC ( R) (22) 2M 2 2 V ( r ) ( r ) E ( r ), E ET EC (23) 2 r
k 2mE / , ( E 0),
χ 0 (r ) ~ sin kr
由边界条件知： ka (nr 1)π ,
nr 0,1,2,(6)
粒子能量本征值为
E Enr 0
22 (nr 1)2
2m a
2
, nr 0,1,2,(7)
归一化的本征函数为
2 (nr 1)πr χ nr 0 (r ) sin , 0ra a a
由于 ξ 1γ r 2l 1 ，则在ξ=0的邻域内，u2在物理上不能接受。 则方程(8)的解为
曾谨严量子力学习题解答5
⑵
由归一化条件 ψ +ψ = 1, 即
(a
b)
⎛ ⎜ ⎝
a b
⎞ ⎟ ⎠
=
1
a2 + b2 =1
⑶
由⑵、⑶可解得: a = b = 1 2
∴σ x
的本征态为 ψ + =
1 ⎛1⎞ 2 ⎜⎝1⎟⎠
当 λ = −1 时,带入方程⑴式,可得:
⎛ +1
⎜ ⎝
1
1⎞ 1⎟⎠
⎛ ⎜ ⎝
a b
⎞ ⎟ ⎠
=
0
∴a = −b
Ay Bz − Ay Bz
+iσ y ( Az Bx − Ax Bz )
( ) ( ) ( ) =
r A
⋅
r B
+
iσ
z
( ) =
r A
⋅
r B
+
iσr
⋅
Ar ×
r B
rr
z
+ iσ x
A× B
Ar ×
r B
x
+ iσ y
Ar ×
r B
y
证毕。
2. 《曾 p.401-练习7》
令
( ) σ ±
=
1 2
⎥ ⎦
1 ⎡nx − iny ⎤
2(1− nz ) ⎢⎣ 1− nz ⎥⎦
⑼
如
nr
=
(0, 0,1),
取
φ−1
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦ ;
如
nr
=
(0, 0, −1),
取
φ−1
=
⎡1⎤ ⎢⎣0⎥⎦
6.《曾 p.442-练习9》
(a) 设电子处于自旋态 χ1/2 (σ z = 1), 求 σ n = σr ⋅ nr 的可能测得值及相应的概率,
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-中心力场(圣才出品)
第5章中心力场5.1 复习笔记一、中心力场中粒子运动的一般性质1．角动量守恒与径向方程设质量为的粒子在中心势中运动，则Hamilton量表示为则该粒子的能量本征方程可表示为上式左边第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项称为径向动能算符。
径向波函数满足的方程：（1）有时作如下替换是方便的．令：则满足：（2）（8）式在解题中的实际应用会更多。
径向方程（1）中不出现刻画本征值的磁量子数m，因此能量本征值E与m无关，所以能级有m简并．2．径向波函数在r→0邻域的渐近行为求解径向方程（1）时，处只有的解才是物理上可以接受的．或等价地，要求径向方程（2）的解：满足3．两体问题化为单体问题引入如下的约化质量，可以将两体问题化为单体问题。
化为单体问题后，单体应该满足如下方程，其中式23是在两体质心系中列出的方程。
（3）式（3）中第一式描述质心运动，是自由粒子的能量本征方程．Ec是质心运动能量，这一部分与体系的内部结构无关．式（3）中第二式描述相对运动．E是相对运动能量．二、无限深球方势阱质量为 的粒子在半径为n的球形匣子中运动．这相当于1．l＝0的情况粒子的能量本征值为相应的归一化波函数可表示为2．l ≠0的情况 粒子的能量本征值表为与l E ,n 相应的径向本征函数表示为：三、三维各向同性谐振子考虑质量为μ的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，ω是刻画势阱强度的参量．三维各向同性谐振子的能量本征值如下：与之相应的径向波函数经归一化后，n表示径向波函数的节点数（不包括r＝0， 点）．r讨论：1．能级简并度对于给定能级E的简并度为N2．Cartesian坐标系中求解如采用直角坐标系，它们的共同本征态为：即三个一维谐振子的能量本征函数之积．相应的能量本征值为：能级简并度为：四、氢原子具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程及边界条件式中μ边电子的约化质量，)/1/(p e e m m m +=μ其中p e m m 和分别为电子和质子质量。
曾谨言量子力学课后答案
p = h/λ
1
（1） （2）
而能量
E = p 2 / 2m = h 2 / 2mλ2 = h2n2 = π 2h2n2 2m ⋅ 4a 2 2ma 2
(n = 1, 2,3,L)
（3）
1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
2
得a2
=
nh mωπ
=
2hn mω
（3）
2
代入（2），解出
En = nhω,
n = 1, 2,3,L
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
（能量密度）
量子力学第5章谨言
的上标之和，让相同的 项分别归结在一个方程 里，可得各级近似下的 能量本征方程如下： ˆ | ( 0 ) E ( 0 ) | ( 0 ) 0) k
(0) n
|
(0) k
nk
同时，能级不简并，则 Ek 和 k 可以表示为 Ek Ek( 0 ) Ek(1) Ek( 2 ) ; 在下面的讨论中，要求
(0) k
Ek(i 1) Ek( i ) ;
(0) (1) ( 2) | k | k | k | k
H mn 1. ( 0) ( 0) En Em
ˆ H ˆ (0) 的准确含义。 这就是 H
二、 二级微扰能
二级微扰方程是：
ˆ (0) E(0) ) (2) (H ˆ E(1) ) (1) E(2) (0) . (H n n n n n n
(1) 将已经求得的 n 代入方程中得
En Em
m
mn (0) n
nm (0) m
mn
m
(0) n
(0) m
Hmn 其中注意 Hnm
ˆ 是Hermitian算符)。 （H
8
一、微扰论的思想
ˆ H ˆ H ˆ , 系统的哈密顿为 H 0 ˆ | E | 的解。 需要获得能量本征方程 H k k k ˆ 0时，能够得到 ˆ | ( 0) E ( 0) | ( 0) ， 当H H
( i 1) (i ) | k || k |
曾谨言量子力学(卷1)习题答案
目次第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。
1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。
19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。
19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。
1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。
1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。
19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。
1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。
科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n ax n ∫∫−−=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a ba e bxdx e axax−+=∫ (3) =∫axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2−=∫(5) =∫axdx x sin 2ax a xaax a x cos )2(sin 2222−+(6)ax a xax aaxdx x sin cos 1cos 2+=∫ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222−+=∫))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)∫=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x −−++ (a<0) ∫20sin πxdx n2!!!)!1(πn n − (=n 正偶数)(9) =∫20cos πxdx n!!!)!1(n n − (=n 正奇数) 2π(0>a )(10)∫∞=0sin dx xax2π− (0<a )(11))1!+∞−=∫n n ax an dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=∫∞− (13) 121022!)!12(2++∞−−=∫n n ax n an dx e x π(14)1122!2+∞−+=∫n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π∫∞= (16)∫∞−+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )∫∞−+−=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 科学出版社 课后答案
目次第二章：波函数与波动方程………………1——25第三章：一维定态问题……………………26——80第四章：力学量用符表达…………………80——168第五章：对称性与守衡定律………………168——199第六章：中心力场…………………………200——272第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289第八章：自旋………………………………290——340* * * * *参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。
19812．周世勋编：量子力学教程 人教。
19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。
19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。
19815．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。
19586．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。
19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。
19488．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。
科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 196510. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958量子力学常用积分公式 (1) dx e x an e x a dx e x ax n ax n ax n ⎰⎰--=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e axax-+=⎰ (3) =⎰axdx e ax cos )sin cos (22bx b bx a b a e ax++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2-=⎰ (5) =⎰axdx x sin 2ax a x aax a x cos )2(sin 2222-+ (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2+=⎰ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222-+=⎰))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)⎰=+dx c ax 2)arcsin(222x c a a c c ax x --++ (a<0) ⎰20sin πxdx n 2!!!)!1(πn n - (=n 正偶数) (9) = ⎰20cos πxdx n !!!)!1(n n - (=n 正奇数)2π (0>a ) (10)⎰∞=0sin dx xax 2π-(0<a ) (11)) 10!+∞-=⎰n n ax a n dx x e (0,>=a n 正整数) (12) adx e ax π2102=⎰∞- (13) 121022!)!12(2++∞--=⎰n n ax n an dx e x π (14) 10122!2+∞-+=⎰n ax n a n dx e x (15) 2sin 022a dx xax π⎰∞= (16) ⎰∞-+=0222)(2sin b a ab bxdx xe ax (0>a ) ⎰∞-+-=022222)(c o s b a b a b x d x xe ax (0>a )。
曾谨言量子力学课件第五章
边条件为Rl (a) 0
引入无量纲变量 kr
d 2 Rl 2 dRl l (l 1) [1 ]Rl 0 2 2 d d
球Bessel方程，其解可取为球 Bessel函数 jl ( ) 和球Neumann 函数 nl ( )
0时
jl ( ) l ( 2l 1) !! , nl ( ) ( 2l 1)!! ( l 1)
利用边条件考虑质量为的粒子在三维各向同性谐振在r0邻域物理上可接受的径向波函数的渐进行为是其中正号不满足束缚态条件所以以上方程属于合流超几何方程其中参数不可接受邻域对于束缚态必须要求解中断为一个多项式
第五章 中心力场
§5.1 中心力场中粒子运动的一般 性质 §5.2 无限深球方势阱 §5.3 三维各向同性谐振子 §5.4 氢原子
l 1时，Rl (r ) r (l 1)
解必须抛弃。
l 0时，Rl (r ) 1 r
不违反此要求。
r 0, Rl (r ) r l
的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求 径向方程的解 l (r ) rRl (r ) 满足 lim l ( r ) 0 r 0
设Rl (r ) r
s
s( s 1) l (l 1) 0 s l ,(l 1)
l l 1) （
r 0, Rl (r ) r 或Rl (r ) r
（ r 0, Rl (r ) r l 或Rl (r ) r l 1)
根据波函数的统计诠释，在任 何体积元中找到粒子的概率都 应为有限值。当 r 0 时， 则要求s 3 2 。
( 1) 2 F ( , , ) 1 ( 1)2
曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题答案（含考研真题）详解
曾谨⾔《量⼦⼒学教程》（第3版）笔记和课后习题答案（含考研真题）详解曾谨⾔《量⼦⼒学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解曾谨⾔主编的《量⼦⼒学教程》是我国⾼校采⽤较多的量⼦⼒学权威教材之⼀。
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第1章 波函数与Schrödinger⽅程 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 名校考研真题详解第2章 ⼀维势场中的粒⼦ 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 名校真题详解第3章 ⼒学量⽤算符表达 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 名校真题详解第4章 ⼒学量随时间的演化与对称性 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解 4.3 名校考研真题详解第5章 中⼼⼒场 5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解 5.3 名校考研真题详解第6章 电磁场中粒⼦的运动 6.1 复习笔记 6.2 课后习题详解 6.3 名校考研真题详解第7章 量⼦⼒学的矩阵形式与表象变换 7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 7.3 名校考研真题详解第8章 ⾃ 旋 8.1 复习笔记 8.2 课后习题详解 8.3 名校考研真题详解第9章 ⼒学量本征值问题的代数解法 9.1 复习笔记 9.2 课后习题详解 9.3 名校考研真题详解第10章 微扰论 10.1 复习笔记 10.2 课后习题详解 10.3 名校考研真题详解第11章 量⼦跃迁 11.1 复习笔记 11.2 课后习题详解 11.3 名校考研真题详解第12章 其他近似⽅法 12.1 复习笔记 12.2 课后习题详解 12.3 名校考研真题详解。
量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-2
t＇=t⑴
势能在K＇K两坐标系中的表示式有下列关系
V＇（x＇,t＇）=V＇(x-vt,t)=V(x,t)⑵
证明若在K＇中薛定谔方程式是
则在K＇中：
其中： ⑶
[证明]从伽利略变换定义可知，在⑴式中当t=0时，x=x＇，t=t＇，因此在时刻t=0一点的波函数 与 相重合，这个关系和§5.1⑵的海森伯，薛定谔表象变换:
沿 方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为
（14）
据此， 系和 系中相应的平面波波函数为
， （15）
（1）、（14）代入（15），即得
此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于 和 系的相对速度 ，而与粒子的动量 无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。
5.16——2.1
5.17——2.2
5.17设Hamilton量 。证明求和规则
是 的一个分量， 是对一切定态求和， 是相应于 态的能量本征值， 。
证： （ ）
又
，
。
不难得出，对于 分量，亦有同样的结论，证毕。
5.18——2.4
5.18设 为厄米算符，证明能量表象中求和规则为
（1）
证：式（1）左端
（2）
计算中用到了公式 。
5.15——参考7.17
5.15证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系 的速度 相对于惯性参照系 运动（沿 轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：
。（1）
势能在两个参照系中的表示式有下列关系
（2）
证明schrödinger方程在 参照系中表为
本题和三维自由场类似,差别在于均匀二维势场,但它不影响力学量的守恒.
量子力学曾谨言第四第五章习题详解
希望能给广大研友带来帮助，很详细的答案第四章：力学量用算符表示[1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[].2)(,2hipf q f p q =（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q[]qf p f qp fq p f qpf p q 22222,-=-=f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-=（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=（证明）同前一论题)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-=（3）ihfp p q f q 2])(,[2=[证明]同前一题论据：fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-=（4）if p ih q f p p 22)](,[=[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式if ih q f p =)](,[ dq df f i ≡)(物83-309蒋~80~)(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-=if p ih f p p 22],[== （5）p pf ih p q pf p i=])(,[ （证明）论据同（4）：p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-=p pf ih i=（6）22])(,[p f ih p q f p i =（证明）论据同（4）：22222)(],[p f ih p fp pf fp pfp fp p i =-=-=(2)证明以下诸式成立： (1)(证明)根据坐标分角动量对易式为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。
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r 0,
Rl (r) ~ r l
(4)
Rl(r ) r 2 Rl (r ) 0
r ,
Rl (r ) ~ e
r2 / 2
(5)
设方程(3)的解是：
Rl (r ) r e
l r2 / 2
u(r )
(6)
2 代入方程(3)可得：u (l 1 r 2 )u 2 E ( 2l 3)u 0 (7) r
方程(22)描述的是质心的运动，是自由粒子的能量本征方程，Ec 是质心运动的能量，与体系的内部结构无关；方程(23)描述的是 相对运动，其形式与单粒子的能量本征方程相同，只不过时把粒 子的质量改为约化质量，E为相对运动能量。
§5.2 无限深球方势阱
无限深球方势阱
V(r)
0, r a V (r ) , r a
V (r) 1 m 2 r 2 2 (1)
选自然单位制 m 1 ，则径向方程可化为
Rl(r ) 2 l (l 1) Rl( r ) 2 E r 2 Rl ( r ) 0 2 r r (3)
在r=0处，波函数的渐进行为是 在r→∞时，方程(3)可化为 其解为
2 ˆ 2 2 2 r 2 l p r 2 r r r 2 2 2 2 2 2 2 l l 2 2 r r2 2 2 r r r r r r
2
(3)
能量本征方程
ˆ 2 1 2 l2 ˆ (r ) E r V 2 r r 2 2 r 2
0
1/ 2
当a→∞时，此时粒子无任何限制，为自由粒子，其波Байду номын сангаас数不能 归一化，此时选径向波函数为
Rkl ( r )
2
π
jl ( kr)
a
0
Rkl (r )Rk r 2dr δ (k k )
§5.3 三维各向同性谐振子
势函数 径向方程是
2 1 2m l (l 1) Rl(r ) Rl(r ) 2 E m 2r 2 Rl (r ) 0 2 r 2 r (2)
引进质心坐标R和相对坐标r m1r 1 m2 r2 R , r r1 r2 m1 m2 可以证明 其中
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 R r m1 m2 M μ
(17)
(19)
M m1 m2 , μ m1m2 /(m1 m2 )
由于 ξ 1γ r 2l 1 ，则在ξ=0的邻域内，u2在物理上不能接受。 则方程(8)的解为
u F (α , γ ,ξ ) F ((l 3 / 2 E ) / 2, l 3 / 2,ξ ) (10)
合流超几何函数的级数形式
α α (α 1)ξ 2 α (α 1)(α 2)ξ 3 F (α , γ ,ξ ) 1 ξ (11) γ γ (γ 1)2 γ (γ 1)(γ 2)3!
引进无量纲参量 ρ kr ，则方程(10)可化为
l (l 1) d2 2 d Rl Rl 1 Rl 0 2 2 dρ ρ dρ ρ
(12 )
此为球Bessel方程，其解可取球Bessel函数和球Neumann函数.
ρ 0
jl ( ρ ) ρ l /( 2l 1)!! n l ( ρ ) ( 2l 1)!! ρ ( l 1) (13)
d2 2 d l (l 1) 2 R ( r ) R ( r ) ( E V ( r )) Rl (r ) 0 l l 2 2 2 dr r dr r (6)
令 则有
Rl (r ) χ l (r ) / r
(7)
(8)
l (l 1) 2 l(r ) 2 ( E V (r )) 2 l (r ) 0 r
与能量本征值对应的径向本征函数为
Rnrl (r) Cnrl jl (knrl r), knrl ξ nrl / a
2 Cnrl 3 / jl 1 (k nrl a ) jl 1 (knrl a) a a 2 R ( r ) R r nrl nr l dr δ nr nr
l 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6， s, p, d , f , g , h, i,
5.1.2 径向波函数在r →0邻域的渐进行为
假定势函数满足
lim
r 0
r 2V (r ) 0
(10)
在r →0时，方程(6)可渐进表示成为
d2 2 d l (l 1) Rl ( r ) Rl ( r ) Rl ( r ) 0 2 2 dr r dr r (11)
(1)
(1) 对s（l=0）态，径向方程为
2mE ( r ) 2 0 ( r ) 0 0
边界条件
( 2)
0
a
r
χ 0 (0) χ 0 (a) 0
(r ) k 2 χ 0 (r ) 0 χ0
(3)
在势阱内(0<r<a)，方程(2)可化成
(4) (5)
其解为
式中
分离变量
(r1.r2 ) ( R) (r )
(21)
代入(20)得 2 2 R ( R) EC ( R) (22) 2M 2 2 V ( r ) ( r ) E ( r ), E ET EC (23) 2 r
R0 (r ) 1 / r
的解并不违反此要求。但若把r=0包含在内
ψ R0 (r )Y00 1 / r
并不是能量本征方程
(14)
2 2 V ( r )ψ Eψ 2m
的解。
利用下列公式可进行验证 因此方程(6)在r →0的解为
1 4πδ ( r ) r
若将r=0（ρ = 0）考虑在内，Neumann函数的解在物理上不能 接受，因此在球方势阱内的解应取为
Rl (r ) jl (kr)
由边界条件得
(14)
jl (ka) 0
r
(15)
ka
来确定 jl (ξ ) 0 的根，依次记为
ξ n l , nr 0,1,2,
则粒子能量的本征值为 粒子的能级图
l rp
r l pl 0
5.1.1 角动量守恒与径向方程 设质量为μ的粒子在中心力场V(r)中运动，其哈密顿为 2 ˆ2 p ˆ ˆ (r ) ˆ (r ) H V 2 V (1) 2 2 可以证明： ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ] [lˆ , H ˆ ] [lˆ , H ˆ]0 [l , H ] [l , H ] [lˆx , H (2) y z 在球坐标下有
2s
Enr l
2 , nr 0,1,2, (16) 2 nr l 2a
0h
1d
20 9.00 05 8.86 12 8.37 04 6.77 11 6.04
0g
1p
0f 1s 0d 0p
0s
03 4.94 10 4.00 02 3.36 01 2.04
00
nr l
1
Enrl / E00
离心势能
(4)
径向动能
2 在中心力场中，l2, l, lx, ly, lz均是守恒量，选守恒量完全集 ( H , l , l z )
其共同本征函数为
ψ (r,θ ,υ ) Rl (r )Ylm (θ ,υ ),l 0,1,2,, m 0,1,2,,l
(5)
代入方程(4)得到径向波函数满足的方程
令
ξ r2
，则(7)可化为
d 2u du ξ (γ ξ ) αu 0 2 dξ dξ 此方程是合流超几何方程，其中参数为
1 α (l 3 / 2 E ), γ l 3 / 2 整数 2
(8)
( 9)
方程(8)有两个解： u1 F (α , γ ,ξ ), u2 ξ 1γ F (α γ 1,2 γ ,ξ )
V (r ) V (r )
dl dr dp 1 pr p p r [ V ( r )] dt dt dt μ ˆ]0 r dV ( r ) [l , H r 0 r dr
l rp
(3) 中心力场中粒子的运动必为平面运动，平面的法线方向 就是角动量的方向
显然，能量本征值 E与m无关，能级有2l+1重简并。但选用守恒量 2 完全集 ( H , l , l z ) 后， 同一能级的各简并态的标记和它们间的 正交性自动解决
对角动量l=0的情况，(8)式与一维势场的情况相同，只不过 自变量的取值范围不同。
对于非束缚态，E连续变化；对于束缚态，则E取离散值。在求 解径向方程时，将出现径向量子数nr, nr=0,1,2,…,代表径向波函数 节点的个数(不包括0和∞)。能级E依赖于量子数nr和l，记为Enrl。 在给定l的情况下，随nr增大Enrl增大；在给定nr的情况下，随l增 大，Enrl增大。 原子光谱学记号
第五章 中心力场
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 中心力场中粒子运动的一般性质 无限深球方势阱 三维各向同性谐振子 氢原子
§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
中心力场：粒子所受的力总是通过一个中心，如万有引力场， 原子中电子所受的库仑场，三维各向同性谐振子。
经典力学中中心力场的特点： (1)势函数仅是径向坐标的函数，即 (2)角动量守恒
Total mass
2 R
Reduced mass