高考真题函数与导数解答题文科教师版
高中数学 文科 导数 第1课时 导数与函数的单调性文科(含答案)
第2节导数在研究函数中的应用一、选择题1.函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为()A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以单调递减区间是(0，1).答案 A2.已知f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是()A.f(2)>f(3)>f(π)B.f(3)>f(2)>f(π)C.f(2)>f(π)>f(3)D.f(π)>f(3)>f(2)解析因为f(x)＝1＋x－sin x，所以f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2).答案 D3.(2014·课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)解析∵f′(x)＝k－1 x，依题意f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1x在x∈(1，＋∞)上恒成立，由x>1，得0<1x<1，所以k≥1.答案 D4.(2017·山东卷)若函数e x f(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A.f (x )＝2－xB.f (x )＝x 2C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x 解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ，在定义域R 上为增函数，A 正确；对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确；对于C ，g (x )＝e x ·3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在定义域R 上是减函数，C 不正确；对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确.答案 A5.(2018·保定一中模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞) 解析 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2， 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增.又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1.答案 B二、填空题6.已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________.解析 因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2，所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2).答案 (－2，2)7.(2018·安徽江南十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.解析 易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x .由f ′(x )＝x －9x <0，解得0<x <3.因为f (x )＝12x 2－9ln x 在[a －1，a ＋1]上单调递减，∴⎩⎨⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 答案 (1，2]8.(2018·银川诊断)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞).答案 (－3，0)∪(0，＋∞)三、解答题9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)， 令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 10.已知a ∈R ，若函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围.解 因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x ＞0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0，则a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立. 令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1，则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2＞0， 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增， 所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32， 所以a ≥32，又当a ＝32时，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )A.[－1，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0.在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立.令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13. 答案 C12.函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________(由小到大). 解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(－∞，1)上为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b . 答案 c <a <b13.(2016·四川卷节选)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.(1)解 由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减.当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. (2)证明 令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )>s (1)，即e x －1>x ，1 x－ee x＝e（e x－1－x）x e x>0.从而g(x)＝。
教师版全国高考文科导数大题
所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，
即 ，解得 ．
（Ⅱ）若 ，则 ，故当 时， ；
当 时， ， 在 单调递减，在 单调递增．
所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，
而 ，所以不合题意．
（ⅡⅠ）若 ，则 ．
综上， 的取值范围是 ．
5．（新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）讨论 的单调性，并求 的极大值．
解：（Ⅰ） ，
由此得 ， ，故 ，
从而 ， ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
令 得， 或 ，
从而当 时， ；当 时， ，
故 在 ， 单调递增，在 单调递减，
当 时，函数 取得极大值，极大值是 ．
3．（新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）
己知函数 ．
（Ⅰ）求 的极小值和极大值；
综上，a的取值范围为 .
8.（新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数 =ex(ex﹣a)﹣a2x．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，求a的取值范围．
解：（12分）（1）函数 的定义域为 ， ，
①若 ，则 ，在 单调递增.
②若 ，则由 得 .
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增.
(I)讨论 的单调性；(II)若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
解：（Ⅰ）
（i）设 ，则当 时， ；当 时， .
所以在 单调递减，在 单调递增.
（ii）设 ，由 得x=1或x=ln（-2a）.
①若 ，则 ，所以 在 单调递增.
②若 ，则ln（-2a）＜1,故当 时， ；
当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
2021年高考文科数学试题汇编----函数与导数(教师用)
函数与导数一、选择题（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-在 区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可 能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+，则()()f x a x x 2'=3-4+1， 由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332，知a 存在.故选A.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A（福建文6）若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A ．（－1，1） B ．（－2，2） C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C．2- D．2【答案】B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
2021年高考文科数学试题汇编----函数与导数(教师用)
函数与导数一、选择题〔安徽文5〕假设点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,那么以下点也在此图像上的是〔A 〕〔a 1，b 〕 (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D 【命题意图】此题考查对数函数的根本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上. (安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-在 区间〔0,1〕上的图像如下图，那么n 可 能是〔A 〕1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】此题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1n =时， ，那么()()f x a x x 2'=3-4+1， 由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332，知a 存在.应选A. 〔北京文8〕点()0,2A ,()2,0B ,假设点C 在函数2y x =的图象上，那么使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A〔福建文6〕假设关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是 A ．〔－1，1〕 B ．〔－2，2〕 C ．〔－∞，－2〕∪〔2，＋∞〕 D ．〔－∞，－1〕∪〔1，＋∞〕 【答案】C〔福建文8〕函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x≤0，假设f(a)＋f(1)＝0，那么实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A〔福建文10〕假设a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，那么ab的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】D〔广东文4〕函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 〔 〕 A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C〔湖南文7〕曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为〔 〕A ．12-B ．12 C． D【答案】B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
完整版)导数最新文科高考数学真题
完整版)导数最新文科高考数学真题1.曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线斜率为2e。
(选项C)2.曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，因此a=3.(选项D)3.根据导函数y'=f'(x)的图象，确定函数y=f(x)的图象为B。
4.函数f(x)=2/x+lnx，其导数为f'(x)=-2/x^2+1/x。
解方程f'(x)=0，得到x=2为f(x)的极小值点。
(选项D)5.如果p:f(x)=q:x是f(x)的极值点，则p是q的必要条件，但不是充分条件。
(选项C)6.曲线y=x^3-x+3在点(1,3)处的切线方程为2x-y+1=0.7.曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴，因此k=-1.8.曲线y=ax-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，因此a=1/2.(选项1/2)9.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为5x+y+2=0.10.曲线y=x+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，因此α=2.11.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为4x-y-3=0.12.曲线y=e^x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，因此P的坐标为(-ln2,2)。
13.曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0，因此P的坐标为(e,e)。
14.函数y=-x^2没有明显的问题，但是缺少了后面的部分，因此无法确定答案。
15.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增，则k的取值范围是[1,+∞)。
16.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为下凸的W 形，拐点为x=0.17.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切，则2a=8.18.函数y=xe在其极值点处的切线方程为y=-x/e。
19.已知函数f(x)=axlnx，其中a为实数，且f'(x)为f(x)的导函数，若f'(1)=3，则a的值为3.20.曲线y=x^2的在点(1,2)处的切线方程为x-y+1=0.21.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象为下凸的W形，则函数y=f(x)的图象可能是D。
最新高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版
4．（2012 陕西文）设函数 f（x）= 2 +lnx 则 x
A．x= 1 为 f(x)的极大值点 2
C．x=2 为 f(x)的极大值点
（ D）
B．x= 1 为 f(x)的极小值点 2
D．x=2 为 f(x)的极小值点
5.(2014 新标 2 文) 函数 f (x) 在 x x0 处导数存在，若 p : f (x0 ) 0 ： q : x x0 是 f (x) 的极值点，则
【简解】设 P(x,xlnx), x ln x =1+lnx=2,x=e，答案(e,e)
14．（2012 辽宁文）函数 y= 1 x2 ㏑ x 的单调递减区间为（ 2
（A）（ 1,1]
（B）（0,1] （C.）[1，+∞）
B） （D）（0，+∞）
15．(2014 新标 2 文) 若函数 f x kx lnx 在区间 1, 单调递增，则 k 的取值范围是（ D ）
19.（2015 年天津文）已知函数 f x axln x, x 0, ,其中 a 为实数, f x 为 f x 的导函数,若 f 1 3 ,则 a 的值为 3 ．
20、(2017·全国Ⅰ文，14)曲线 y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为___x－y＋1＝0._____． 21、(2017·浙江，7)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( D )
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y =4cosxsinx+sinx，在 x=0 处为拐点。选 C
17.（2015 年新课标 2 文）已知曲线 y x ln x 在点 1,1 处的切线与曲线 y ax2 a 2 x 1 相切,则
山东高考文科数学之函数及导数答案
山东高考文科数学试题---函数与导数参考答案(2008.3).A (2008.5).A (2008.12).A (2008.15).2008（2008.21）解：(Ⅰ)因为122()(2)32x f x e x x ax bx -'=+++又 21()(2)(1)0.x x f x f f ''=-=-==和为的极值点，所以 因此 620,3320,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解方程组得 1, 1.3a b =-=- (Ⅱ)因为 1,1,3a b =-=-所以 1()(2)(1),x f x x x e -'=+-令 123()0,2,0, 1.f x x x x '==-==解得 因为 (,2)(0,1)()0;x f x '∈-∞-⋃<当时，所以 ()f x 在（-2，0）与（1，+∞）上是单调递增的；在（-∞，-2）与（0，1）上是单调递减的.(Ⅲ)由（Ⅰ）可知 21321(),3x f x x e x x -=-- (2009.6)【解析】:函数有意义,需使0x x e e --≠,其定义域为{}0|≠x x ,解除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A答案:A.【命题立意】:本题考察了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比拟困难,须要对其先变形,再在定义域内对其进展考察其余的性质. (2009.7)【解析】:由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-,2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B. 答案:B【命题立意】:本题考察对数函数的运算以及推理过程.(2009.12)【解析】:因为)(x f 满意(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数，(0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.答案:D.【命题立意】:本题综合考察了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想与数形结合的思想解答问题. (2009.14)【解析】: 设函数(0,x y a a =>且1}a ≠与函数y x a =+,则函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点, 就是函数(0,x y a a =>且1}a ≠与-8 -6 -4 -2 0 2 4 yx f(x)=m函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）肯定在点(0,1)的上方,所以肯定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a 答案: }1|{>a a【命题立意】:本题考察了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考察,依据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进展解答.(2009.21)解: (1)由已知得2'()21f x ax bx =++,令0)('=x f ,得2210ax bx ++=,)(x f 要获得极值,方程2210ax bx ++=必需有解,所以△2440b a =->,即2b a >, 此时方程2210ax bx ++=的根为 所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时,所以)(x f 在x 1, x 2处分别获得极大值与微小值. 当0<a 时,所以)(x f 在x 1, x 2处分别获得极大值与微小值. 综上,当b a ,满意2b a >时, )(x f 获得极值(2)要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增,需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立.即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立, 所以max 1()22ax b x≥-- 设1()22ax g x x =--,2221()1'()222a x a a g x x x-=-+=, 令'()0g x =得1x a=或1x a =-(舍去),当1>a 时,101a<<,当1(0,)x a∈时'()0g x >,1()22ax g x x =--单调增函数;当1(,1]x a∈时'()0g x <,1()22ax g x x =--单调减函数,所以当1x a =时,()g x 获得最大,最大值为1()g a a=-. 所以b a ≥-当01a <≤时,11a≥,此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立,所以1()22ax g x x =--在区间(0,1]上单调递增,当1x =时()g x 最大,最大值为1(1)2a g +=-,所以12a b +≥-综上,当1>a 时, b a ≥-;当01a <≤时, 12a b +≥-【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法探讨函数的极值、单调性与函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数探讨最值.运用函数与方程的思想,化归思想与分类探讨的思想解答问题.(2010.3).A （2010.5）.A (2010.8）. C (2010.11). A（2010.21）.本小题主要考察导数的概念、导数的几何意义与利用导数探讨函数性质的实力，考察分类探讨思想、数形结合思想与等价变换思想。
(版)高考文科数学函数专题讲解及高考真题(含答案)
函数【】函数的概念〔1〕函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法那么f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应〔包括集合A，B以及A到B的对应法那么f〕叫做集合A到B的一个函数，记作f:A B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法那么．③只有定义域相同，且对应法那么也相同的两个函数才是同一函数．〔2〕区间的概念及表示法①设a,b 是两个实数，且a b，满足ax b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a xb，或ax b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：对于集合{x|a x b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须b．3〕求函数的定义域时，一般遵循以下原那么：f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤y tanx中，x k(k Z)．2⑥零〔负〕指数幂的底数不能为零．⑦假设f(x)是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时，那么其定义域一般是各根本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：假设f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a g(x)b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．4〕求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小〔大〕数，这个数就是函数的最小〔大〕值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比拟简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：假设函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)x c(y)0，那么在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用根本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【】函数的表示法5〕函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．〔6〕映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法那么f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应〔包括集合A，B以及A到B的对应法那么f〕叫做集合A到B的映射，记作f:A B．②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,b B．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〗函数的根本性质】单调性与最大〔小〕值1〕函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质(版)高考文科数学函数专题讲解及高考真题(含答案)如果对于属于定义域 I 内〔1〕利用定义某个区间上的任意两个1yy=f(X)f(x 2)〔2〕利用函数 12<的单调性自变量的值x、x ,当x．．函数的单调性x 2时，都有 f(x 1)<f(x2)，．． ．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数． ．．．如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个 自变量的值 x 1、x 2，当x 1< ．． x 2时，都有 f(x 1)>f(x2)，．． ．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区 间上是减函数．．．． f(x 1)o x 1x 2xy y=f(X)f(x 1)f(x 2)o x 1 x 2x〔3〕利用函数图象〔在某个区间图象上升为增〕4〕利用复合函数1〕利用定义2〕利用函数的单调性3〕利用函数图象〔在某个区间图象下降为减〕〔4〕利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数yf [g(x)]，令ug(x)，假设yf(u)为增，u g(x)为增，那么y f[g(x)]为增；假设y f(u)为减，ug(x)为减，那么yf[g(x)]为增；假设y f(u)为增，ug(x)为减，那么yf[g(x)]为减；假设yf(u)为减，u g(x)为增，那么 y f[g(x)]为减． 〔2〕打“√〞函数 f(x) x a(a0)的图象与性质xf(x)分别在( , a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数．〔3〕最大〔小〕值定义①一般地，设函数 y f(x)的定义域为I ，如果存在实数 M 满足：〔1〕对于任意yox的xI ，都有 f(x) M ；〔2〕存在x 0I ，使得f(x 0)M．那么，我们称M 是函数f(x)的最大值，记 作f max (x) M ．②一般地，设函数yf(x)的定义域为I ，如果存在实数m 满足：〔1〕对于任意的xI ，都有f(x) m ；〔2〕存在x 0I ，使得f(x 0)m ．那么，我们称m 是函数f(x)的最小值，记作f max (x)m ．】奇偶性4〕函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 定义图象 判定方法性质如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数．．．．．．．．．．．f(x)叫做奇函数．．．．函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数．．．．．．．．．．f(x)叫做偶函数．．．．②假设函数f(x)为奇函数，且在x 0处有定义，那么f(0)0．1〕利用定义〔要先判断定义域是否关于原点对称〕2〕利用图象〔图象关于原点对称〕1〕利用定义〔要先判断定义域是否关于原点对称〕2〕利用图象〔图象关于y轴对称〕③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数〔或奇函数〕的和〔或差〕仍是偶函数〔或奇函数〕，两个偶函数〔或奇函数〕的积〔或商〕是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积〔或商〕是奇函数．〖补充知识〗函数的图象1〕作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质〔奇偶性、单调性〕；④画出函数的图象．利用根本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种根本初等函数的图象．①平移变换y f(x)②伸缩变换y f(x)y f(x)③对称变换h0,左移h个单位yf(xh)yf(x)k0,上移k个单位yf(x)k h0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位01,伸y f(x)1,缩0A1,缩y Af(x)A1,伸y f(x)y f(x)y f(x)yf(x) x轴f(x)y f()y轴y f() y x x原点f(x)y f(x)直线yxy f1(x) y去掉y轴左边图象y f(|x|)保存y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保存x轴上方图象y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去2〕识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．3〕用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形〞的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 根本初等函数 (Ⅰ)〗指数函数】指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念①如果x na,a R,xR,n1，且n N ，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的 n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号 n a 表示，负的n 次方根用符号 na表示；0的n 次方根是 0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，a 0 ．③根式的性质：(n a)na ；当n 为奇数时，n a na ；当n 为偶数时，n a n|a|a(a0)．a(a0)〔2〕分数指数幂的概念mn a m(a①正数的正分数指数幂的意义是：a n0,m,n N,且n 1)．0的正分数指数幂等于0．mmn (1)m (a②正数的负分数指数幂的意义是：an(1)n 0,m,nN,且n1)．0的负分数指数幂没aa有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．〔3〕分数指数幂的运算性质①a r a s a rs (a 0,r,sR)②(a r )s a rs (a0,r,sR)③(ab )r rb r (a 0,b 0,r )aR【】指数函数及其性质〔4〕指数函数函数名称指数函数定义函数ya x (a0且a1)叫做指数函数图象a 10 a1yya xyya xy1y1(0,1)(0,1)Ox Ox 定域R域(0,)定点象定点(0,1)，即当x0，y1．奇偶性非奇非偶性在R上是增函数在R上是减函数a x1(x0)a x1(x0)函数的a x1(x0)a x1(x0)化情况a x a x1(x0)1(x0) a化象的影响在第一象限内，a越大象越高；在第二象限内，a越大象越低．〖〗数函数【】数与数运算〔1〕数的定①假设a x N(a0,且a 1)，x叫做以a底N的数，作x log a N，其中a叫做底数，N叫做真数．②数和零没有数．③数式与指数式的互化：xlog a N a x N(a0,a1,N0)．〔2〕几个重要的数恒等式log a10，log a a1，log a a b b．〔3〕常用数与自然数常用数：lgN，即log10N；自然数：lnN，即log e N〔其中e⋯〕．〔4〕数的运算性如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：log a M log a N log a(MN)②减法：log a M log a Nlog a MN③数乘：nlog a M log a M n(n R)④a log a N N⑤log bM n nlogaM(b0,n)log a Nlog b N且b1)ab R⑥换底公式：(b0,log b a【】对数函数及其性质5〕对数函数函数名称对数函数定义函数ylog a x(a0且a1)叫做对数函数a10a1x1x1y ylog a x y ylog a x图象(1,0)O(1,0)x O x 定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数log a x0(x1)log a x0(x1)函数值的log a x0(x1)log a x0(x1)变化情况log a x0(0x1)log a x0(0x1) a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f1(y)，习惯上改写成yf1(x)．〔7〕反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f(x)中反解出x f1(y)；③将x f1(y)改写成y f1(x)，并注明反函数的定义域．〔8〕反函数的性质①原函数y f(x)与反函数y f1(x)的图象关于直线yx对称．②函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．③假设P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，那么P'(b,a)在反函数y f1(x)的图象上．④一般地，函数yf(x)要有反函数那么它必须为单调函数．〖〗幂函数〔1〕幂函数的定义一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．〔2〕幂函数的图象〔3〕幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，那么幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，那么幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q〔其中p,q互pq q质，p和q Z〕，假设p为奇数q为奇数时，那么yx p是奇函数，假设p为奇数q为偶数时，那么yx p是偶q函数，假设p为偶数q为奇数时，那么y x p是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，假设0x1，其图象在直线y x下方，假设x1，其图象在直线y x上方，当10x1yx上方，假设x1，其图象在直线时，假设，其图象在直线x下方．〖补充知识〗二次函数〔1〕二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)ax2bx c(a0)②顶点式：f(x)a(x h)2k(a0)③两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a0)〔2〕求二次函数解析式的方法①三个点坐标时，宜用一般式．②抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时，常使用顶点式．③假设抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求f(x)更方便．〔3〕二次函数图象的性质①二次函数f(x)ax2bx c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b,顶点坐标是2ab4acb2 (,)．2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,b]上递减，在[b,)上递增，当xb时，2a2a2af min(x)4acb 2；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,b]上递增，在[b,)上递减，4a2a2a当x b4acb2时，f max(x)4a．2a③二次函数f(x)ax2bx c(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2||a|．〔4〕一元二次方程ax2bxc0(a0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理〔韦达定理〕的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax2bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x) ax2bx c，从以b 下四个方面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置：x ③判别式：④端点函数2a值符号．〔5〕二次函数f(x)ax 2 bxc(a 0)在闭区间[p,q]上的最值设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m ，令x 01(p q)．〔Ⅰ〕当a0时〔开口向上〕2①假设bp ，那么mf(p) ②假设p bq ，那么mf( b ) ③假设b q ，那么mf(q)2a2a2a2affff(q)(p)(q)(p)OxOxOxfbbf((p)bf()f f())2a2a 2a(q)b Mf(q)bf(p)①假设x 0，那么②x 0，那么M2a2ax 0f(q)O gxff((p)b )(Ⅱ)当a02a时(开口向下)①假设bf(p)②假设pp ，那么M2af(b)2af(p)(p)Oxfb(q)，那么mf(q)①假设x 0 2af(b ) f 2a(p)x 0gOxf (q)f(p)xgOxf f(b)2a(q)b q ，那么Mf( b)③假设b2a2a2af(b)2aff f (Ox(q)f(q)Ob x 0，那么mf(p)．f②2a(p)f (b)2a(q)xgO xf (p)q ，那么Mf(q)) 2ax第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x 叫做函数yf(x)(xD)的零点。
第2讲 函数与导数(2022年高考真题)(解析版)
第2讲 函数与导数一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．2．（2022·全国·高考真题（理））已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-，()()()462210f f f +++=-，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解. 【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称， 所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-， 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-. 因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ， 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-. 所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤ ）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]【答案】C 【解析】 【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵ 球的体积为36π，所以球的半径3R =, 设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ， 则2222l a h =+，22232(3)a h =+-, 所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤0V '<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.4．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x x x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.5．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设()321x xf x x -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A.6．（2022·全国·高考真题（文））函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ）A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得()f x 的单调区间，从而判断出()f x 在区间[]0,2π上的最小值和最大值. 【详解】()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+，所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '>，即()f x 单调递增；在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 单调递减，又()()02π2f f ==，ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2π上的最小值为3π2-，最大值为π22+. 故选：D7．（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】 由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【详解】 因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->， 所以b a >,所以c b a >>， 故选：A8．（2022·全国·高考真题（理））函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.9．（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知12f ，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a b f x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x '=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-． 故选：B.10．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A. 二、多选题11．（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ， 又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点； 对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z , 从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，切线方程为：(0)y x =--即y x =． 故选：AD ．12．（2022·全国·高考真题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解. 13．（2022·全国·高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得x >x <令()0f x '<得x <<所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()0f x f ≥>⎝⎭，即函数()f x 在⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点， 综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-， 则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+， 故D 错误. 故选：AC. 三、双空题14．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 1ey x = 1e y x =-【解析】 【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得； 【详解】解： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e ey x -=-，即1ey x =； 当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-15．（2022·全国·高考真题（文））若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______． 【答案】 12-； ln 2．【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．四、填空题16．（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，可得()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，再分1a >和01a <<两种情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln xy a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】解：()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>， 若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾， 故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ， 即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， ∵01a <<,∴函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，又∵ln 0a <,∴ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-， 则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=， 则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11e a <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.17．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【答案】()(),40,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围.【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-, ∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x xx a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞,故答案为：()(),40,-∞-+∞五、解答题18．（2022·全国·高考真题（文））已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】(1)1- (2)()0,+∞ 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. (1)当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=，当()0,1∈x 时，0f x ，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-； (2)()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=，当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，由（1）得1ln 1x x +≥，即1ln 1x x ≥-，所以ln x x x <<当1x >时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x=--+>--+>-+则存在2312m a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0f m >，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x-'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；此时()110f a =->，由（1）得当01x <<时，1ln 1xx>-，1ln 21x ⎛> ⎝， 此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x ⎛=--+<--+-< ⎝ 存在2114(1)n a a=<+，使得()0f n <，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 综上，a 的取值范围为()0,+∞. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.19．（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n +>++．【答案】(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. (2)12a ≤(3)见解析 【解析】 【分析】 （1）求出fx ，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax xh x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t tt<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-<的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. (1)当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，0fx，当0x >时，0fx，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. (2)设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-， 则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->， 因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有0g x ，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++， 故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立. 由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤， 故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数， 所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-. 综上，12a ≤. (3) 取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立， 令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有 整理得到：()ln 1ln n n +-<()21ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n n n++>-+-+++-+()ln 1n =+，故不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.20．（2022·全国·高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【答案】(1)1a = (2)见解析【解析】 【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时， e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、yg x 有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列. (1)()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,+∞，而11()ax g x a x x'-=-=. 当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数， 故()min ()ln ln f x f a a a a ==-. 当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数， 当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数， 故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值， 故11lnln a a a a -=-，整理得到1ln 1a a a-=+，其中0a >， 设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++， 故()g a 为()0,+∞上的减函数，而10g ，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =. 综上，1a =. (2)由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e x S x x b =--，()e 1xS x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>， 故()S x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上为增函数， 所以()()min 010S x S b ==-<，而()e 0b S b --=>，()e 2bS b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=， 当01x <<时，0T x，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数， 所以()()min 110T x T b ==-<， 而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点， 当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点， 故若存在直线y b =与曲线()y f x =、y g x 有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x'=+-， 设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,+∞上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+， 所以1()1210h x x x '>+-≥->，所以()h x 在()0,+∞上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122()e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,+∞上有且只有一个零点0x ，0311e x <<且： 当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <， 当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >， 因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、yg x 有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<， 此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e 0x b x b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解， 所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=. 【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.21．（2022·全国·高考真题（理））已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】(1)2y x = (2)(,1)-∞- 【解析】 【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究 (1)()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e xx f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e x x f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x = (2)()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++ 设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x ∈-=+- 设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=> 所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+< 又1(1)0eg -=> 所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.22．（2022·全国·高考真题（理））已知函数()ln xf x x a xx e -=+-． (1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则环121x x <．【答案】(1)(,1]e -∞+(2)证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用导数即可得证.(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，2111()e 1x f x x x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭1111e 1e 11x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x =,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)e 1f x f a ≥=+-，若()0f x ≥,则e 10a +-≥,即1a e ≤+所以a 的取值范围为(,1]e -∞+(2)由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1不妨设121x x要证121x x <,即证121x x <因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭因为()()12f x f x =,即证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭即证1e 1ln e ln 0,(1,)x x x x x x x x x-+--->∈+∞ 即证1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 下面证明1x >时，1e 11e 0,ln 02x x x x x x x ⎛⎫->--< ⎪⎝⎭设11(),e e xx g x x xx =->， 则11122111111()e e e 1e e 1x x x x x g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111e 1e 1e e x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()()22e 1111,e e 0x x x x x x x x x x x ϕϕ-⎛⎫=>=-=⎪⎭'> ⎝ 所以()()1e x ϕϕ>=,而1e e x < 所以1e e 0xx x ->,所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞单调递增即()(1)0g x g >=,所以1e e 0xx x x-> 令11()ln ,12h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭ 2222211121(1)()10222x x x h x x x x x ----⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭ 所以()h x 在(1,)+∞单调递减即()(1)0h x h <=,所以11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭； 综上, 1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以121x x <. 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭这个函数经常出现，需要掌握。
人教版文科高考导数练习题及参考答案
人教版文科高考导数练习题及参考答案(附参考答案)一．选择题（共22小题） 1．（2015•绵阳模拟）设函数f （x ）=ax3+3bx （a ，b 为实数，a ＜0，b ＞0），当x ∈[0，1]时，有f （x ）∈[0，1]，则b 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2015•红河州一模）若函数f （x ）=x3+x2﹣在区间（a ，a+5）内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣5，0） B ．（﹣5，0） C ．[﹣3，0） D ．（﹣3，0） 3．（2015•开封模拟）函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2] B ．（﹣∞，2） C ．[0，+∞） D ．（2，+∞） 4．（2015•泸州模拟）设函数f （x ）=ax3+3x ，其图象在点（1，f （1））处的切线l 与直线x ﹣6y ﹣7=0垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．1 B ．3 C ．9 D ．12 5．（2014•郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．6．（2014•郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2014•西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 8．（2014•广西）曲线y=xex ﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 9．（2014•武汉模拟）若函数f （x ）=x2+ax+是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，0] B ．[﹣1，∞] C ．[0，3] D ．[3，+∞] 10．（2014•包头一模）已知函数y=x3﹣3x+c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c=（ ）A ． ﹣2或2B ． ﹣9或3C ． ﹣1或1D ． ﹣3或1 11．（2014•郑州模拟）已知f （x ）=x2+2xf ′（1），则f ′（0）等于（ ）A 0B ﹣4C ﹣2D 2．．．．12．（2014•江西二模）已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（1）=（）A ．1 B．2 C．3 D．413．（2014•上海二模）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A ．4 B．5 C．﹣2 D．﹣314．（2014•菏泽一模）已知函数f（x）=x2﹣cosx，则f（0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小关系是（）A ．f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）B．f（0）＜f（0.6）＜f（﹣0.5）C．f（0.6）＜f（﹣0.5）＜f（0）D．f（﹣0.5）＜f（0）＜f（0.6）15．（2014•呼伦贝尔一模）若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）为增函数，则实数a的取值范围是（）A ．（﹣∞，2]B．[5，7]C．[4，6]D．（﹣∞，5]∪[7，+∞）16．（2014•福建模拟）函数f（x）=﹣x3+3x2﹣4的单调递增区间是（）A ．（﹣∞，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，+∞）17．（2014•佛山二模）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈R，则（）A．f （）＞f（1）＞f（﹣）B．f（1）＞f（）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（1）＞f（）D．f（）＞f（﹣）＞f（1）18．（2014•江西模拟）已知m是区间[0，4]内任取的一个数，那么函数f（x）=x3﹣2x2+m2x+3在x∈R上是增函数的概率是（）A ．B．C．D．19．（2014•宁德模拟）函数f（x）=x﹣sinx是（）A ．奇函数且单调递增B．奇函数且单调递减C ．偶函数且单调递增D．偶函数且单调递减20．（2014•梧州模拟）已知f（x）=﹣x3+ax在（﹣∞，﹣1]上单调递减，则a的取值范围是（）A ．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，3]D．[3，+∞）21．（2014•揭阳模拟）关于函数f（x）=x3﹣3x+1，下列说法正确的是（）A ．f（x）是奇函数且x=﹣1处取得极小值B ．f（x）是奇函数且x=1处取得极小值C ．f（x）是非奇非偶函数且x=﹣1处取得极小值D ．f（x）是非奇非偶函数且x=1处取得极小值22．（2014•贵州模拟）函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则（）A ．a﹣2b=0 B．2a﹣b=0 C．2a+b=0 D．a+2b=0二．填空题（共2小题）23．（2015•广东模拟）函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为_________ ．24．（2015•赤峰模拟）已知f（x）=x3﹣3x2+2x+a，若f（x）在R上的极值点分别为m，n，则m+n= _________ ．三．解答题（共6小题）25．（2015•路南区二模）已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：﹣＜f（x1）＜﹣1．26．（2015•汕尾模拟）已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣和x=1（1）求b，c的值与f（x）的单调区间（2）当x∈[﹣1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．27．（2015•南昌模拟）函数f（x）=x﹣alnx﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=1时，不等式f（x）+（b+1）f′（x）＜x﹣1对x＞1恒成立，求正整数b的取值集合．28．（2015•安徽一模）已知函数f（x）=b+（1﹣2a）x+x2﹣x3．（I）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（II）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=4x﹣1，求函数f（x）在定义域上的极小值．29．（2015•重庆一模）已知函数（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间上是增函数，求实数a的取值范围．30．（2014•广西）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．导数高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2015•绵阳模拟）设函数f（x）=ax3+3bx（a，b为实数，a＜0，b＞0），当x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，则b的最大值是（）A．B．C．D．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：求导数，利用函数的单调性，结合x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，即可b的最大值．解答：解：∵f（x）=ax3+3bx，∴f′（x）=3ax2+3b令f′（x）=0，可得x=，①≥1，则f（x）max=f（1）=1，∴b∈（0，]；②0＜＜1，f（x）max=f（）=1，f（1）≥0，∴b∈（，]．∴b的最大值是．故选：C．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•红河州一模）若函数f（x）=x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；作图题；导数的综合应用．分析：由题意，求导f′（x）=x2+2x=x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．解答：解：由题意，f′（x）=x2+2x=x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，在（﹣2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2﹣=﹣得，x=0或x=﹣3；则结合图象可知，；解得，a∈[﹣3，0）；故选C．点评：本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．3．（2015•开封模拟）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2）C．[0，+∞）D．（2，+∞）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：问题等价于f′（x）=2在（0，+∞）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可．解答：解：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，即f′（x）=2在（0，+∞）上有解，而f′（x）=+a，即+a=2在（0，+∞）上有解，a=2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2，所以a的取值范围是（﹣∞，2）．故选B．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，注意体会转化思想在本题中的应用．4．（2015•泸州模拟）设函数f（x）=ax3+3x，其图象在点（1，f（1））处的切线l 与直线x﹣6y﹣7=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（）A． 1 B． 3 C．9 D．12考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到f′（1）=3a+3，由3a+3=﹣6求得a的值，代入原函数解析式，求出f（1），由直线方程的点斜式得到l的方程，求出其在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式得答案．解答：解：由f（x）=ax3+3x，得f′（x）=3ax2+3，f′（1）=3a+3．∵函数f（x）=ax3+3x在点（1，f（1））处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直，∴3a+3=﹣6，解得a=﹣3．∴f（x）=﹣3x3+3x，则f（1）=﹣3+3=0．∴切线方程为y=﹣6（x﹣1），即6x+y﹣6=0．取x=0，得y=6，取y=0，得x=1．∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积为．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．5．（2014•郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A． 3 B． 2 C． 1 D．考点：导数的几何意义．分析：根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．解答：解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．点评：考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为{x＞0}．6．（2014•郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．解答：解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．点评：函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P （x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）7．（2014•西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A． 1 B． 2 C． 3 D．4考点：导数的几何意义．分析：利用导数的几何意义，列出关于斜率的等式，进而得到切点横坐标．解答：解：已知曲线的一条切线的斜率为，∵=，∴x=1，则切点的横坐标为1，故选A．点评：函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P （x0，y0）处的切线的斜率．应熟练掌握斜率与导数的关系．8．（2014•广西）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B． e C． 2 D．1考点：导数的几何意义．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．解答：解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．点评：本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．9．（2014•武汉模拟）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．解答：解：∵在（，+∞）上是增函数故≥0在（，+∞）上恒成立即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数∴h（x）＜h（）=3∴a≥3故选D点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．10．（2014•包头一模）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．解答：解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1）令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点∴极大值等于0或极小值等于0∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0∴c=﹣2或2故选A．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．11．（2014•郑州模拟）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′（1）的值．解答：解：由f（x）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故答案为：B．点评：本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．12．（2014•江西二模）已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（1）=（）A． 1 B． 2 C． 3 D．4考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：f′（2）是一个常数，对函数f（x）求导，能直接求出f′（1）的值．解答：解：∵f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1）；∴f′（1）=2×1+f′（2）×（1﹣1）=2．故选：B．点评：本题考查了利用求导法则求函数的导函数问题，解题时应知f′（2）是一个常数，根据求导法则进行计算即可，是基础题．13．（2014•上海二模）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A． 4 B． 5 C．﹣2 D．﹣3考点：导数的加法与减法法则．专题：计算题．分析：先求出函数的导数，再把x=﹣1代入 f′（x）的解析式得到f'（﹣1），再由f'（﹣1）=8，求得a的值，即可得到函数f（x）的解析式，从而求得f（﹣1）的值．解答：解：已知，∴f′（x）=3（2x+1）2×2+，∵f'（﹣1）=8，∴3×2+2a=8，故有a=1，∴=，∴f（﹣1）=﹣1+2+3=4，故选A．点评：本题主要考查函数在某一点的导数的定义，求一个函数的导数的方法，属于基础题．14．（2014•菏泽一模）已知函数f（x）=x2﹣cosx，则f（0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小关系是（）A．f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）B．f（0）＜f（0.6）＜f（﹣0.5）C．f（0.6）＜f（﹣0.5）＜f（0）D．f（﹣0.5）＜f（0）＜f（0.6）考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：导数的综合应用．分析：由f（x）=x2﹣cosx为偶函数，得f（﹣0.5）=f（0.5），只须比较f （0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小关系即可．解答：解：∵f（﹣x）=（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx=f（x），∴f（x）是偶函数；∴f（﹣0.5）=f（0.5）；又∵f′（x）=2x+sinx，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，∴f（0）＜f（0.5）＜f（0.6）；即f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）．故选：A．点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性并比较函数值的大小问题，是基础题．15．（2014•呼伦贝尔一模）若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）为增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[5，7] C．[4，6] D．（﹣∞，5]∪[7，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，求得导函数的零点1，a﹣1，然后分1与a﹣1的大小分析导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数在不同区间内的单调性，最后借助于已知条件得到a﹣1与4和6的关系，则答案可求．解答：解：由函数，得f′（x）=x2﹣ax+a﹣1．令f′（x）=0，解得x=1或x=a﹣1．当a﹣1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；当a﹣1＞1，即a＞2时，f′（x）在（﹣∞，1）上大于0，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，f′（x）在（1，a﹣1）内小于0，函数f（x）在（1，a﹣1）内为减函数，f′（x）在（a﹣1，+∞）内大于0，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上为增函数．依题意应有：当x∈（1，4）时，f′（x）＜0，当x∈（6，+∞）时，f′（x）＞0．∴4≤a﹣1≤6，解得5≤a≤7．∴a的取值范围是[5，7]．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，采用了逆向思维方法，解答的关键是对端点值的取舍，是中档题．16．（2014•福建模拟）函数f（x）=﹣x3+3x2﹣4的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣2，0）C．（0，2） D．（2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：利用导数求解，由f′（x）＞0得，0＜x＜2．解答：解：∵f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）∴由f′（x）＞0得，0＜x＜2．∴f（x）的递增区间是（0，2）．故选C．点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间的方法，属基础题．17．（2014•佛山二模）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈R，则（）A．f（）＞f（1）＞f（﹣）B．f（1）＞f（）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（1）＞f（）D．f（）＞f（﹣）＞f（1）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：由f（x）=x2﹣cosx得，f（x）为偶函数且在（0，）上是增函数，利用函数单调性及奇偶性的性质得出结论．解答：解：∵f′（x）=2x+sinx，∴当x∈（0，）时，f′（x）=2x+sinx＞0，∴函数f（x）=x2﹣cosx在（0，）上是增函数，又函数f（x）=x2﹣cosx，在R上是偶函数，故f（﹣）=f（），∵＞1＞，∴f（）＞f（1）＞f（﹣）故选A．点评：考查学生利用函数的奇偶性、单调性比较大小的方法，关键是转化到同一单调区间上，利用单调性比较大小，属基础题．18．（2014•江西模拟）已知m是区间[0，4]内任取的一个数，那么函数f（x）=x3﹣2x2+m2x+3在x∈R上是增函数的概率是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；几何概型．专题：导数的综合应用．分析：根据f（x）在x∈R上是增函数，得到f′（x）=x2﹣4x+m2≥0恒成立，求出a的范围，利用几何概型的概率公式即可的得到结论．解答：解：∵f′（x）=x2﹣4x+m2，f（x）=x3﹣2x2+m2x+3在x∈R上是增函数∴f′（x）=x2﹣4x+m2≥0恒成立∴△=16﹣4m2≤0解得m≥2或m≤﹣2又∵m是区间[0，4]内任取的一个数∴2≤m≤4由几何概型概率公式得函数f（x）=x3﹣2x2+m2x+3在x∈R上是增函数的概率P=故选C点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用导数求出函数递增时对应a 的取值范围是解决本题的关键．19．（2014•宁德模拟）函数f（x）=x﹣sinx是（）A．奇函数且单调递增B．奇函数且单调递减C．偶函数且单调递增D．偶函数且单调递减考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：由定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x）得奇函数，通过求导数大于0得单调性．解答：解：∵函数的定义域为R，f（﹣x）=﹣x﹣sin（﹣x）=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．又f′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数f（x）=x﹣sinx在R上是单调递增函数．故答案选：A．点评：本题考察了函数的单调性，奇偶性，是一道基础题．20．（2014•梧州模拟）已知f（x）=﹣x3+ax在（﹣∞，﹣1]上单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（﹣∞，3] D．[3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：利用导数与函数单调性的关系，即可求得结论．解答：解：∵f（x）=﹣x3+ax在（﹣∞，﹣1]上单调递减，∴f′（x）=﹣3x2+a≤0，a≤3x2在（﹣∞，﹣1]上恒成立，∴a≤3．故选：C．点评：本题主要考查学生利用导数判断函数单调性的方法，属基础题．21．（2014•揭阳模拟）关于函数f（x）=x3﹣3x+1，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且x=﹣1处取得极小值B．f（x）是奇函数且x=1处取得极小值C．f（x）是非奇非偶函数且x=﹣1处取得极小值D．f（x）是非奇非偶函数且x=1处取得极小值考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：根据函数的奇偶性和导数和极值之间的关系即可得到结论．解答：解：∵f（x）=x3﹣3x+1，∴f（﹣x）=﹣x3+3x+1≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），即f（x）是非奇非偶函数，f′（x）=3x2﹣3=3（x2﹣1），由f′（x）=3（x2﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，f′（x）=3（x2﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，即函数在x=1处取得极小值，在x=﹣1处取得极大值，故选：D．点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，以及利用导数判定函数的极值问题，考查学生的计算能力．22．（2014•贵州模拟）函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则（）A．a﹣2b=0 B．2a﹣b=0 C．2a+b=0 D．a+2b=0考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：由函数极值的性质可知，极值点处的导数为零，且左右两侧导数异号，据此可以列出关于a，b的方程（组），再进行判断．解答：解：设f（x）=ax3+bx2（a≠0），则f′（x）=3ax2+2bx，由已知得且a＞0，即化简得a+2b=0．故选D点评：可导函数在其极值点处的导数为零，且左右两侧的导数值异号，有些学生会忽视导数异号这一条件．在解答题中，在利用导数为零列方程求出待定字母的值后，一般会对极值点异侧的导数异号这一条件进行验证．二．填空题（共2小题）23．（2015•广东模拟）函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为2x﹣y﹣e=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=e时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案．解答：解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，则f′（e）=lne+1=2，又f（e）=e，∴函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），即2x﹣y﹣e=0．故答案为：2x﹣y﹣e=0．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．24．（2015•赤峰模拟）已知f（x）=x3﹣3x2+2x+a，若f（x）在R上的极值点分别为m，n，则m+n= 2 ．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求出函数的导数，由极值的定义，结合韦达定理，即可得到m+n．解答：解：f（x）=x3﹣3x2+2x+a的导数为f′（x）=3x2﹣6x+2，由f（x）在R上的极值点分别为m，n，则有m，n是方程3x2﹣6x+2=0的两个根，由韦达定理，可得，m+n=﹣=2．故答案为：2．点评：本题考查导数的运用：求极值，考查韦达定理的运用，考查运算能力，属于基础题．三．解答题（共6小题）25．（2015•路南区二模）已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：﹣＜f（x1）＜﹣1．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，利用导数研究其单调性可得当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，即可得出．（II）f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），可得f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，可得0＜x1＜1＜ln2a，进而得出．解答：（Ⅰ）解：a=1时，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，令f″（x）＞0，解得x＜ln2，此时函数f′（x）单调递增；令f″（x）＜0，解得x＞ln2，此时函数f′（x）单调递减．∴当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，∴函数f（x）在R上单调递减．（Ⅱ）证明：f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，∴0＜x1＜1＜ln2a，由f′（x1）==0，可得，f（x1）===（0＜x1＜1）．∴可知：x1是f（x）的极小值点，∴＜f（x1）＜f（0）=﹣1．点评：本题考查了利用导数（两次求导）研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．26．（2015•汕尾模拟）已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣和x=1（1）求b，c的值与f（x）的单调区间（2）当x∈[﹣1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对函数进行求导，令f'（1）=0，f'（）=0可求出b，c的值，再利用导数求出函数单调区间即可．（2）根据函数的单调性求出f（x）在[﹣1，2]上的最大值，继而求出m的范围解答：解：（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c，∵f（x）的极值点为x=﹣和x=1∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（）=﹣b+c=0，解得，b=，c=﹣3∴f'（x）=（3x+2）（x﹣1），当f'（x）＞0时，解得x＜﹣，或x＞1，当f'（x）＜0时，解得﹣＜x＜1，故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣）和（1，+∞），单调减区间为（﹣，1），（2）有（1）知f（x）=x3﹣x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，故函数在[﹣1，﹣）和（1，2]单调递增增，在（﹣，1）单调递减，当x=﹣，函数有极大值，f（）=，f（2）=2，所以函数的最大值为2，所以不等式f（x）＜m在x∈[﹣1，2]时恒成立，故m＞2故实数m的取值范围为（2，+∞）点评：本题主要考查函数的单调性、极值与导函数之间的关系．属中档题27．（2015•南昌模拟）函数f（x）=x﹣alnx﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=1时，不等式f（x）+（b+1）f′（x）＜x﹣1对x＞1恒成立，求正整数b的取值集合．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）求出f′（x）=1﹣=，x∈（0，+∞），再讨论a的取值范围，从而求出其单调区间；（Ⅱ）a=1时，原不等式⇔（x﹣lnx﹣2）+（b+1）•＜x﹣1⇔b＜，构造函数g（x）=（x＞1），则g′（x）==由第（1）问知，f（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上递增，而f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4=2（lne﹣ln2）＞0，可推出f（x）在（3，4）上有唯一零点x0，f （x0）=x0﹣lnx0﹣2⇒lnx0=x0﹣2，再由的范围，求出b的值．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣=，x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞），当a＞0时，令f′（x）=0，得x=0，x∈（0，a）时，f（x）单调递减，x∈（a，+∞）时，f（x）单调递增；综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，无减区间，当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；。
2022北师大版文科数学高考总复习教师用书：3-1导数的概念及运算 Word版含答案
第1讲导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意义；3.能依据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝1x，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数．知识梳理1．导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，假如平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝(2)假如一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k ＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝a x(a>0，a≠1)f′(x)＝a x ln_af(x)＝ln x f′(x)＝1xf(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝1x ln a4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．诊断自测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT呈现(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(3)曲线的切线与曲线不肯定只有一个公共点．()(4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.()解析(1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f((x0))′表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错．(2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错．(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错．答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.194 B.174 C.154 D.134解析由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－3t2，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－322＝134. 答案 D3．(2022·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解析 由于f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案 34．(2021·豫北名校期末联考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．解析 ∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝05．(2021·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 解析 由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，则f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案 1考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2； (4)y ＝cos x e x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)由于y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝3x 2－2x 3.(3)由于y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x . (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以削减运算量提高运算速度，削减差错． (2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．【训练1】 (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)(2021·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析 (1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1x ·x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，则x 0＝1. (2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 (1)B (2)3考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线方程【例2－1】 (1)(2022·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．(2)(2021·南昌质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝ex －1＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 0＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)B 命题角度二 求切点坐标【例2－2】 (2021·西安调研)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析 由y ′＝e x ，知曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x 2， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2. 依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1. 则点P 的坐标为(1,1)． 答案 (1,1)命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)【例2－3】 已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－12 D ．1解析 设切点坐标为P (x 0，y 0)， 由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x .∴y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，依题意，－12＋1x 0＝12，∴x 0＝1，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案 B规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不肯定是切点，此时应先设出切点坐标．(3)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.【训练2】 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． (2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a 在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x ，由于a ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．答案 (1)(e ，e) (2)(－∞，2)[思想方法]1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数肯定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必需留意交换的等价性．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区分：曲线的切线与曲线的公共点的个数不肯定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[易错防范]1．利用公式求导时要特殊留意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区分：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不肯定为切点．3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设y＝x2e x，则y′＝()A．x2e x＋2x B．2x e xC．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案 C2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于()A．－e B．－1C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是() A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.答案 C4．(2021·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A．e B．－e C.1e D．－1e解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，由于切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1e.答案 C5．(2021·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1 B.12C．－2 D．2解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴＝－1.由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案 A二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析由于y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.由于曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝12.答案127.(2021·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 08．(2021·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8 三、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.力量提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2022·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线相互垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x C ．y ＝e x D ．y ＝x 3解析 若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线相互垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立； 对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.明显不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，明显不存在这样的x 1，x 2.答案 A12．(2021·合肥模拟)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32 C.52 D. 2解析 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时， 点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并推断两条切线是否为同一条直线．解依据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
高考文科数学真题汇编：导数及应用教师版
学科教师辅导教案学员姓名年 级授课老师课时数高三辅导科目数学2h 第 次课授课日期及时段 2021年 月 日 ： — ：历年高考试题汇编〔文〕——导数及应用1．〔2021大纲理〕曲线y xe x1在点〔1,1〕处切线的斜率等于〔C 〕A ． 2e B． eC2 D ． 1．2.(2021 新标2 理) 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x ，那么a=〔D 〕A.0B.1C.2D.33.(2021浙江文) 函数y ＝f(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数 y ＝f ′(x)的图象如右图所示，那么该函数的图象是(B)2 4．〔2021陕西文〕设函数 f 〔x 〕=+lnx 那么 〔 D 〕 xA ．x=1为f(x)的极大值点B ．x=122为f(x)的极小值点C ．x=2为f(x)的极大值点D ．x=2为f(x)的极小值点5.(2021新标2文)函数f(x)在x x 0处导数存在，假设p:f(x 0)0：q:xx 0是f(x)的极值点，那么A ．p 是q 的充分必要条件B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C.p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】C6．〔2021广东理〕曲线yx 3 x 3在点 1,3处的切线方程为___________________.【答案】2x-y+1=07．〔2021广东理〕假设曲线ykx lnx 在点(1,k)处的切线平行于x 轴，那么k【答案】-1第1页〔共10 页〕8．〔2021广东文〕假设曲线y ax2lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，那么a．【答案】129．(2021广东文)曲线y 5x3在点(0,2)处的切线方程为. e【答案】5x+y+2=010．〔2021α+1〔α∈R〕在点〔1，2〕处的切线经过坐标原点，那么α=。
江西文〕假设曲线y=x【答案】211.(2021新标文)曲线y x(3lnx1)在点〔1,1〕处的切线方程为____4x y30____12．〔2021江西理〕假设曲线y e x上点P处的切线平行于直线2x y10，那么点P的坐标是________.【简解】设P(x,e-x)，e x=-e x=-2,解得x=-ln2，答案(-ln2,2)13．〔2021江西文〕假设曲线y xlnx上点P处的切线平行于直线2x y10,那么点P的坐标是_______.【简解】设P(x,xlnx),xlnx=1+lnx=2,x=e，答案(e,e)14．〔202112㏑x的单调递减区间为〔B〕辽宁文〕函数y=x2〔A〕〔1,1]〔B〕〔0,1]〔C.〕[1，+∞〕〔D〕〔0，+∞〕15．(2021新标2文)假设函数f x kxlnx在区间1,单调递增，那么k的取值范围是〔D〕〔A〕,2〔B〕,1〔C〕2,〔D〕1,16.(2021新标1文)函数f(x)(1cosx)sinx在[,]的图象大致为〔〕第2页〔共10页〕【简 解 】 y=sin 2x(1 cosx)cosx=-2cos 2x-cosx+1=(1+cosx)(1-2cosx)>0,- π/3<x< π/3 ；=4cosxsinx+sinx ，在x=0处为拐点。
高考数学测试卷人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值、最值B
课时作业(十五)B [第15讲导数与函数嘚极值、最值][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是( )A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增2．[2012·济南模拟] 已知f′(x)是函数f(x)嘚导数，y＝f′(x)嘚图象如图K15－3所示，则y＝f(x)嘚图象最有可能是下图中嘚( )图K15－3图K15－43．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a嘚极值点嘚个数是( )A．2 B．1C．0 D．由a决定4．f(x)＝axlnx嘚极大值为－2e，则a＝________.能力提升5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx嘚图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)嘚极值为( )A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为－4 27C．极小值为－527，极大值为0D．极小值为0，极大值为5 276．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 嘚取值范围是( ) A ．－1<a<2 B ．a<－3或a>6 C ．－3<a<6 D ．a<－1或a>27．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上嘚最小值为( )A ．－5B ．－11C ．－29D ．－378．对任意嘚x ∈R ，函数f(x)＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点嘚充要条件是( ) A ．0≤a≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a<0或a>21 D ．a ＝0或a ＝219．函数y ＝f′(x)是函数y ＝f(x)嘚导函数，且函数y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处嘚切线为l ：y ＝g(x)＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)，F(x)＝f(x)－g(x)，如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上嘚图象如图K15－5所示，且a<x 0<b ，那么( )图K15－5A ．F′(x 0)＝0，x ＝x 0是F(x)嘚极大值点B ．F′(x 0)＝0，x ＝x 0是F(x)嘚极小值点C ．F′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F(x)嘚极值点D ．F′(x 0)≠0，x ＝x 0是F(x)嘚极值点10．[2011·广东卷] 函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．11．[2011·绵阳模拟] 图K15－6是函数y ＝f(x)嘚导函数嘚图象，给出下面四个判断．图K15－6①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f(x)嘚极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f(x)嘚极小值点．其中，所有正确判断嘚序号是________．12．已知关于x 嘚函数f(x)＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f(x)在x ＝1处取极值－43，则b ＝________，c ＝________.13．设a ∈R ，函数f(x)＝ax 3－3x 2，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x ∈[0,2]在x ＝0处取得最大值，则a 嘚取值范围是________．14．(10分)[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝(x －k)e x . (1)求f(x)嘚单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上嘚最小值．15．(13分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f(x)在点x ＝1处嘚切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 嘚距离为1010，若x ＝23时，y ＝f(x)有极值．(1)求a ，b ，c 嘚值；(2)求y ＝f(x)在[－3,1]上嘚最大值和最小值． 难点突破16．(12分)已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝12x 2－x ＋a.(1)当a ＝2时，求函数y ＝g(x)在[0,3]上嘚值域； (2)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上嘚最小值；(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′x ＋1e x －2e 成立．课时作业(十五)B 【基础热身】1．A [解析] f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．故选A.2．B [解析] 根据导数值嘚正负与函数单调性嘚关系可以判断选项B 正确．3．C [解析] f′(x)＝3x 2＋6x ＋4＝3(x ＋1)2＋1>0，则f(x)在R 上是增函数，故不存在极值点． 4．2 [解析] 函数嘚定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－a lnx ＋1x 2ln 2x，令f′(x)＝0，得x ＝1e，当a>0时，列表如下： x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － f(x)单调递增极大值单调递减单调递减当x ＝1e 时，函数f(x)有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a 1e ln 1e＝－ae ，故－ae ＝－2e ，解得a ＝2；当a<0时，列表如下： x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ ＋ f(x)单调递减极小值单调递增单调递增无极大值．故a ＝2. 【能力提升】5．A [解析] 由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧ f′1＝0，f 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f(x)＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f(1)是极小值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13是极大值，故选A.6．B [解析] f′(x)＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等嘚实数根，所以判别式Δ＝4a 2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.7．D [解析] 由f′(x)＝6x 2－12x>0得x<0或x>2，由f′(x)<0得0<x<2，∴f(x)在[－2,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数．∴x ＝0时，f(x)max ＝m ＝3.又f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴f(x)min ＝－37.8．A [解析] f′(x)＝3x 2＋2ax ＋7a ，令f′(x)＝0，当Δ＝4a 2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．9．B [解析] F′(x)＝f′(x)－g′(x)，∴F′(x 0)＝f′(x 0)－g′(x 0)＝f′(x 0)－f′(x 0)＝0，且x<x 0时，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝f′(x)－f′(x 0)<0，x>x 0时，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝f′(x)－f′(x 0)>0，故x ＝x 0是F(x)嘚极小值点，选B.10．2 [解析] f′(x)＝3x 2－6x ，令f′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f′(x)>0， 当x ∈(0,2)时，f′(x)<0，当x ∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x ＝2时f(x)取极小值．11．②③ [解析] 由函数y ＝f(x)嘚导函数嘚图象可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．12．－1 3[解析] f′(x)＝－x 2＋2bx ＋c ，由f(x)在x ＝1处取极值－43，可得⎩⎪⎨⎪⎧f′1＝－1＋2b ＋c ＝0，f 1＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f′(x)＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f(x)没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f′(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0， ∴当x ＝1时，f(x)有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求．13.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，65 [解析] g(x)＝ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ＝ax 2(x ＋3)－3x(x ＋2)．当g(x)在区间[0,2]上嘚最大值为g(0)时，g(0)≥g(2)，即0≥20a－24，得a≤65.反之，当a≤65时，对任意x ∈[0,2]，g(x)≤65x 2(x ＋3)－3x(x ＋2)＝3x5(2x 2＋x －10)＝3x5(2x ＋5)(x －2)≤0， 而g(0)＝0，故g(x)在区间[0,2]上嘚最大值为g(0)．综上，a 嘚取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，65.14．[解答] (1)f′(x)＝(x －k ＋1)e x . 令f′(x)＝0，得x ＝k －1. x 与f(x)、f′(x)嘚变化情况如下：x (－∞，k －1) k －1 (k －1，＋∞) f′(x) － 0 ＋f(x)－e k －1所以，f(x)嘚单调递增区间是(k －1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，k －1)．(2)当k －1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上嘚最小值为f(0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上嘚最小值为f(k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减． 所以f(x)在区间[0,1]上嘚最小值为f(1)＝(1－k)e.15．[解答] (1)由f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b. 当x ＝1时，切线l 嘚斜率为3，可得2a ＋b ＝0.①当x ＝23时，y ＝f(x)有极值，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.设切线l 嘚方程为y ＝3x ＋m. 由原点到切线l 嘚距离为1010，得|m|32＋1＝1010，解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1. 由于切点嘚横坐标为x ＝1，∴f(1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4， ∴c ＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f′(x)＝3x 2＋4x －4.令f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝23.当x 变化时，f(x)和f′(x)嘚变化情况如下表： x (－3，－2) －2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，2323⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)极大值极小值∴f(x)在x ＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x ＝23处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上嘚最大值为13，最小值为9527.【难点突破】16．[解答] (1)∵g(x)＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]，当x ＝1时，g(x)min ＝g(1)＝32；当x ＝3时，g(x)max ＝g(3)＝72.故当a ＝2时，g(x)在[0,3]上嘚值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72.(2)f′(x)＝lnx ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，f′(x)>0，f(x)单调递增．①0<t<t ＋2<1e，t 无解；②0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③1e ≤t<t＋2，即t≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ； 所以f(x)min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t<1e，tlnt ，t ≥1e .(3)g′(x)＋1＝x ，所以问题等价于证明xlnx>x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x ∈(0，＋∞))嘚最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到．设m(x)＝xe x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m′(x)＝1－x e x ，易得m(x)max ＝m(1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′x ＋1e x －2e 成立．。
2021年高考数学试题《函数与导数》(整理版教师版)
2021年高考数学试题分类汇编：函数与导数(教师版)一、选择题1.〔安徽理3〕 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，那么(1)f =〔A 〕〔A 〕3- (B) 1- 〔Ｃ〕1 〔Ｄ〕32.(安徽理10) 函数()()1nm f x ax x =-在区间〔0,1〔B 〕 〔A 〕1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==3.〔安徽文5〕假设点(a,b)在lg y x = 图像上，1a ≠,那么以下点也在此图像上的是 〔D 〕 〔A 〕1(,)b a (B) (10,1)a b - (C) 10(,1)b a+ (D) 2(,2)a b 4.〔北京理6〕根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间〔单位：分钟〕为()x A f x x A <=≥〔A ，c 为常数〕。
工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 〔D 〕A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，16 5.〔北京文8〕点(0,2)A ,(2,0)B ,假设点C 在函数2y x =的图象上，那么使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 〔A 〕 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.〔福建理5〕1(2)xe x dx +⎰等于 〔C 〕A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +7.〔福建理9〕对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是 〔D 〕A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和28.〔福建理10〕函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是 〔B 〕 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④9.〔福建文6〕假设关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是〔C 〕A ．〔－1，1〕B ．〔－2，2〕C ．〔－∞，－2〕∪〔2，＋∞〕D ．〔－∞，－1〕∪〔1，＋∞〕10.〔福建文8〕函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x≤0，假设f(a)＋f(1)＝0，那么实数a 的值等于 〔A 〕A ．－3B ．－1C ．1D ．311.〔福建文10〕假设a ＞0，b ＞0，且函数32()421f x x ax bx =--+在x ＝1处有极值，那么ab 的最大值等于〔D 〕A ．2B ．3C ．6D ．912.〔广东理4〕设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，那么以下结论恒成立的是〔A 〕A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +|是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数 13.〔广东文10〕设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x •；对任意,,()()(())x R f g x f g x ∈=；()()()()f g x f x g x •=．那么以下等式恒成立的是〔B 〕 A ．(())()(()())()f g h x f h g h x •=•• B ．(())()(()())()f g h x f h g h x •=• C ． (())()(()())()fg h x f h g h x = D ．(())()(()())()f g h x f h g h x ••=•••14.〔湖北理6〕定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2xxf xg x a a -+=-+，(0,1)a a >≠，假设(2),g a =，那么(2)f = 〔B 〕A. 2B.154 C. 174D. 2a 15.〔湖北理10〕放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M 〔单位：太贝克〕与时间t 〔单位：年〕满足函数关系：300()2t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量，30t =时，铯137的含量的变化率是10ln2-〔太贝克/年〕，那么(60)M =〔D 〕A. 5太贝克B. 75ln2太贝克C. 150ln 2太贝克D. 150太贝克 16.〔湖南文7〕曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为 〔B 〕A ．12-B ．12C．2- D．217.〔湖南文8〕函数2()1,()43xf x eg x x x =-=-+-假设有()()f a g b =那么b 的取值范围为 〔B 〕 A．2⎡-+⎣ B．(2+ C ．[]1,3 D ．(1,3)18.〔湖南理6〕由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为〔D 〕A ．12B ．1 CD19.〔湖南理8〕设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，那么当MN到达最小时t的值为〔D 〕A ．1B ．12CD20.〔江西文4〕曲线xy e =在点A 〔0,1〕处的切线斜率为 〔A 〕A.1B.2C. eD. 1e21.〔江西理3〕假设()f x =，那么()f x 定义域为〔A 〕A. 1(,0)2-B. 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1(,)2-+∞ D. (0,)+∞22.〔江西理4〕设2()24ln f x x x x =--，那么'()0f x >的解集为 〔C 〕 A. (0,)+∞ B. (1,0)(2,)-+∞ C. (2,)+∞ D. (1,0)-23.〔江西理7〕观察以下各式：56753125,515625,578125,,===那么20115的末四位数字为〔D 〕A. 3125B. 5625C. 0625D.8125 24.〔辽宁理9〕设函数{122,11log ,1()x x x x f x -≤->=，那么满足()2f x ≤的x 的取值范围是 〔D 〕A ．[]1,2-B ．[0，2]C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞25.〔辽宁理11〕函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，那么()24f x x >+的解集为 〔B 〕A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞26.〔辽宁文6〕假设函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，那么a=〔A 〕A ．12 B ．23C ．34D ．1 27.〔全国Ⅰ理2〕以下函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 〔B 〕〔A 〕3y x = (B) 1y x =+ 〔C 〕21y x =-+ (D) 2xy -=28.〔全国Ⅰ理9〕由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 〔C 〕〔A 〕103 〔B 〕4 〔C 〕163〔D 〕6 29. (全国Ⅰ理12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 〔D 〕 〔A 〕2 (B) 4 (C) 6 (D)830.〔全国Ⅰ文4〕曲线221y x x =-+在点〔1,0〕处的切线方程为 〔A 〕 〔A 〕1y x =- 〔B 〕1y x =-+ 〔C 〕22y x =- 〔D 〕22y x =-+ 31. (全国Ⅰ文9)设偶函数()f x 满足()24(0)f x x x =-≥，那么{}|(2)0x f x ->= 〔B 〕〔A 〕{}|24x x x <->或 〔B 〕{}|04x x x <>或 〔C 〕{}|06x x x <>或 〔D 〕{}|22x x x <->或 32.〔全国Ⅱ理8〕曲线21x y e-=+在点〔0,2〕处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 〔A 〕(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 33.〔全国Ⅱ理9〕设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，那么5()2f -= 〔A 〕(A) 12- (B) 14- (C) 14 (D) 1234.〔山东理9〕函数2sin 2xy x =-的图象大致是 〔C 〕35.〔山东理10〕()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时, 3()f x x x =-,那么函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 〔A 〕 〔A 〕6 〔B 〕7 〔C 〕8 〔D 〕936.〔山东文4〕曲线3()11f x x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 〔C 〕 〔A 〕-9 〔B 〕-3 〔C 〕9 〔D 〕1537.〔陕西理3〕设函数()()f x x R ∈满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，那么函数()y f x =的图像是 〔B〕38.〔陕西文4〕 函数13y x =的图像是 〔B 〕 39.〔上海理16〕以下函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是〔A 〕〔A 〕1lny x=. 〔B 〕3y x =. 〔C 〕2x y =. 〔D 〕cos y x =. 40.〔天津理2〕函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是 〔B 〕 Ａ．(2,1)-- Ｂ．(1,0)- Ｃ．(0,1) Ｄ．(1,2)41.〔天津理8〕设函数{212log ,0log (),0()x x x x f x >-<=，假设()()f a f a >-，那么实数a 的取值范围是〔C 〕Ａ．()()1,00,1- Ｂ．()(),11,-∞-+∞()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩()⎩⎨⎧≤+>=0),1(02x x f x x x f Ｃ．()()1,01,-+∞ Ｄ．()(),10,1-∞-42.〔天津文4〕函数()2xf x e x =+-的零点所在的一个区间是 〔C 〕 Ａ．(2,1)-- Ｂ．(1,0)- Ｃ．(0,1) Ｄ．(1,2)43.〔天津文6〕设5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，那么 〔D 〕 Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c << 44.〔天津文10〕设函数2()2()g x x x R =-∈， 那么()f x 的值域是 〔D 〕 Ａ． [)9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦45.〔浙江理1〕 ，那么(2)(2)f f -+的值为 〔B 〕A ．6B ．5C ．4D ．246.〔浙江文10〕设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，假设1x =-为函数2()f x e 的一个极值点，那么以下图象不可能为()y f x =的图象是〔D 〕47.〔重庆理5〕以下区间中，函数()ln(2)f x x =-在其上为增函数的是 〔D 〕 〔A 〕(],1-∞ 〔B 〕41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔C 〕30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭〔D 〕[)1,248.〔重庆理10〕设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间〔0,1〕内有两个不同的根，那么m+k 的最小值为〔D 〕〔A 〕-8 〔B 〕8 (C)12 (D) 13 49. (重庆文7)假设函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值,那么a = 〔C 〕(A) 1+(B) 1(C) 3 (D) 4 二、填空题50.〔天津理16〕设函数2()1f x x =-．对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，那么实数m 的取值范围是3,,2m ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．51.〔四川理16〕函数()f x 的定义域为A ，假设12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，那么称()f x 为单函数．例如，函数()21()f x x x R =+∈是单函数．以下命题： ①函数2()f x x =〔x ∈R 〕是单函数；②假设()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，那么12()()f x f x ≠； ③假设f ：A→B 为单函数，那么对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，那么()f x 一定是单函数．52. 〔上海理13〕设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，假设函数()()f x x g x =+在区间[]3,4上的值域为[]2,5-，那么()f x 在区间[]10,10-上的值域为[15,11]-53.〔陕西理11〕设20lg 0()30ax x f x x t dt x>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰，假设()(1)1ff =，那么a = 1 ．54.〔陕西理12〕设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n =3或4 55.〔山东理16〕函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数()f x 的零点0(,1),x n n n N +∈+∈，那么n =5 .56.〔辽宁文16〕函数()2xf x e x a =-+有零点，那么a 的取值范围是_(,2ln 22]-∞-__．57.〔江苏8〕在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数2()f x x=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ 长的最小值是___4_____.58.〔江苏12〕在平面直角坐标系xoy 中，点P 是函数()(0)xf x e x =>的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点2/22()626()66a a f x x axb x b =++=++-的纵坐标为t ，那么t 的最大值是__11()2e e +___ 59.〔广东理12〕函数32()31f x x x =-+在x = 2 处取得极小值.60.〔北京理13〕函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，假设关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是____〔0,1〕____.三、解答题1. (重庆文19)设32()21f x x ax bx =+++的导数为'()f x ,假设函数'()y f x =的图象关于直线12x =-对称，且'(1)0f =.]。
2010-2019全国卷I文科函数与导数(解析版)
专题16 函数与导数（2）1．（2019年）已知函数f （x ）＝2sin x ﹣x cos x ﹣x ， f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 【解析】（1）∵f （x ）＝2sin x ﹣x cos x ﹣x ，∴f ′（x ）＝2cos x ﹣cos x +x sin x ﹣1＝cos x +x sin x ﹣1，令g （x ）＝cos x +x sin x ﹣1，则g ′（x ）＝﹣sin x +sin x +x cos x ＝x cos x ， 当x ∈（0，2π）时，x cos x ＞0，当x ∈（2π，π）时，x cos x ＜0， ∴当x ＝2π时，极大值为g （2π）＝12π-＞0，又g （0）＝0，g （π）＝﹣2，∴g （x ）在（0，π）上有唯一零点， 即f ′（x ）在（0，π）上有唯一零点；（2）由（1）知，f ′（x ）在（0，π）上有唯一零点x 0，使得f ′（x 0）＝0， 且f ′（x ）在（0，x 0）为正，在（x 0，π）为负， ∴f （x ）在[0，x 0]递增，在[x 0，π]递减，结合f （0）＝0，f （π）＝0，可知f （x ）在[0，π]上非负， 令h （x ）＝ax ，作出图象，如图所示：∵f （x ）≥h （x ）， ∴a ≤0，∴a 的取值范围是（﹣∞，0]．2．（2018年）已知函数f （x ）＝ae x ﹣lnx ﹣1．（1）设x ＝2是f （x ）的极值点，求a ，并求f （x ）的单调区间；（2）证明：当a ≥1e时，f （x ）≥0． 【解析】（1）∵函数f （x ）＝ae x ﹣lnx ﹣1．∴x ＞0，f ′（x ）＝ae x ﹣1x，∵x ＝2是f （x ）的极值点， ∴f ′（2）＝ae 2﹣12＝0，解得a ＝212e， ∴f （x ）＝212e e x ﹣lnx ﹣1，∴f ′（x ）＝2112x e e x-， 当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，当x ＞2时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a ≥1e时，f （x ）≥x e e ﹣lnx ﹣1，设g （x ）＝x e e ﹣lnx ﹣1，则()1x e g x e x '=-，由()1x e g x e x'=-＝0，得x ＝1，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，当x ＞1时，g ′（x ）＞0，∴x ＝1是g （x ）的最小值点，故当x ＞0时，g （x ）≥g （1）＝0，∴当a ≥1e时，f （x ）≥0．3．（2017年）已知函数f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）≥0，求a 的取值范围．【解析】（1）f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ＝e 2x ﹣e x a ﹣a 2x ， ∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣ae x ﹣a 2＝（2e x +a ）（e x ﹣a ），①当a ＝0时，f ′（x ）＞0恒成立，∴f （x ）在R 上单调递增， ②当a ＞0时，2e x +a ＞0，令f ′（x ）＝0，解得x ＝lna ， 当x ＜lna 时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 当x ＞lna 时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，③当a ＜0时，e x ﹣a ＞0，令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln （﹣2a）， 当x ＜ln （﹣2a）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 当x ＞ln （﹣2a）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，综上所述，当a ＝0时，f （x ）在R 上单调递增，当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（﹣∞，ln （﹣2a ））上单调递减，在（ln （﹣2a），+∞）上单调递增．（2）①当a ＝0时，f （x ）＝e 2x ＞0恒成立，②当a ＞0时，由（1）可得f （x ）min ＝f （lna ）＝﹣a 2lna ≥0，∴lna ≤0， ∴0＜a ≤1，③当a ＜0时，由（1）可得：f （x ）min ＝f （ln （﹣2a））＝234a ﹣a 2ln （﹣2a）≥0，∴ln （﹣2a ）≤34，∴342e -≤a ＜0，综上所述，a 的取值范围为[342e -，1]．4．（2016年）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2， 可得f ′（x ）＝（x ﹣1）e x +2a （x ﹣1）＝（x ﹣1）（e x +2a ），①当a ≥0时，由f ′（x ）＞0，可得x ＞1；由f ′（x ）＜0，可得x ＜1， 即有f （x ）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a ＜0时，若a ＝﹣2e，则f ′（x ）≥0恒成立，即有f （x ）在R 上递增； 若a ＜﹣2e时，由f ′（x ）＞0，可得x ＜1或x ＞ln （﹣2a ）；由f ′（x ）＜0，可得1＜x ＜ln （﹣2a ）． 即有f （x ）在（﹣∞，1），（ln （﹣2a ），+∞）递增；在（1，ln （﹣2a ））递减；若﹣2e＜a ＜0，由f ′（x ）＞0，可得x ＜ln （﹣2a ）或x ＞1；由f ′（x ）＜0，可得ln （﹣2a ）＜x ＜1． 即有f （x ）在（﹣∞，ln （﹣2a ）），（1，+∞）递增；在（ln （﹣2a ），1）递减； （2）①由（1）可得当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f （1）＝﹣e ＜0，x →+∞，f （x ）→+∞；当x →﹣∞时f （x ）＞0或找到一个x ＜1使得f （x ）＞0对于a ＞0恒成立，f （x ）有两个零点；②当a ＝0时，f （x ）＝（x ﹣2）e x ，所以f （x ）只有一个零点x ＝2；③当a ＜0时，若a ＜﹣2e时，f （x ）在（1，ln （﹣2a ））递减，在（﹣∞，1），（ln （﹣2a ），+∞）递增，又当x ≤1时，f （x ）＜0，所以f （x ）不存在两个零点；当a ≥﹣2e时，在（﹣∞，ln （﹣2a ））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n （﹣2a ），1）单调减，只有f （ln （﹣2a ））等于0才有两个零点， 而当x ≤1时，f （x ）＜0，所以只有一个零点不符题意． 综上可得，f （x ）有两个零点时，a 的取值范围为（0，+∞）．5．（2015年）设函数f （x ）＝e 2x ﹣alnx ．（1）讨论f （x ）的导函数f ′（x ）零点的个数；（2）证明：当a ＞0时，f （x ）≥2a +aln 2a ．【解析】（1）f （x ）＝e 2x ﹣alnx 的定义域为（0，+∞）， ∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣ax．当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，故f ′（x ）没有零点， 当a ＞0时，∵y ＝e 2x 为单调递增，y ＝﹣单调递增， ∴f ′（x ）在（0，+∞）单调递增， 又f ′（a ）＞0，假设存在b 满足0＜b ＜ln 2a 时，且b ＜14，f ′（b ）＜0，故当a ＞0时，导函数f ′（x ）存在唯一的零点，（2）由（1）知，可设导函数f ′（x ）在（0，+∞）上的唯一零点为x 0， 当x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）＜0， 当x ∈（x 0+∞）时，f ′（x ）＞0，故f （x ）在（0，x 0）单调递减，在（x 0+∞）单调递增， 所欲当x ＝x 0时，f （x ）取得最小值，最小值为f （x 0）， 由于022x e ﹣a x ＝0，所以f （x 0）＝02a x +2ax 0+aln 2a ≥2a +aln 2a．故当a ＞0时，f （x ）≥2a +aln 2a．6．（2014年）设函数f （x ）＝alnx +12a -x 2﹣bx （a ≠1），曲线y ＝f（x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， （1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得f （x 0）＜1aa -，求a 的取值范围．【解析】（1）f ′（x ）＝()1a a x b x+--（x ＞0），∵曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， ∴f ′（1）＝a +（1﹣a ）×1﹣b ＝0，解得b ＝1．（2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f （x ）＝alnx +212a x x --，∴()()11af x a x x'=+--＝()111a a x x x a -⎛⎫-- ⎪-⎝⎭． ①当a 12≤时，则11aa≤-，则当x ＞1时，f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）在（1，+∞）单调递增，∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜1a a -的充要条件是()11af a <-，即1121a aa --<-，解得11a <<； ②当12<a ＜1时，则11a a>-，则当x ∈（1，1a a -）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（1，1aa -）上单调递减；当x ∈（1a a -，+∞）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（1aa-，+∞）上单调递增．∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜1aa -的充要条件是11a a f a a ⎛⎫< ⎪--⎝⎭， 而()2ln 112111a a a a af a a a a a a ⎛⎫=++> ⎪-----⎝⎭，不符合题意，应舍去． ③若a ＞1时，f （1）＝1112a a a----=<，成立． 综上可得：a 的取值范围是（11）U （1，+∞）．7．（2013年）已知函数f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f （x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4．（1）求a，b的值；（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解析】（1）∵f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）＝e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4，∴f（0）＝4，f′（0）＝4，∴b＝4，a+b＝8，∴a＝4，b＝4．（2）由（1）知，f（x）＝4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）＝4e x（x+2）﹣2x﹣4＝4（x+2）（e x﹣1），2令f′（x）＝0，得x＝﹣ln2或x＝﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2），当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝4（1﹣e﹣2）．8．（2012年）设函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x +1＞0，求k 的最大值．【解析】（1）函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣2的定义域是R ，f ′（x ）＝e x ﹣a ，若a ≤0，则f ′（x ）＝e x ﹣a ≥0，所以函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a ＞0，则当x ∈（﹣∞，lna ）时，f ′（x ）＝e x ﹣a ＜0； 当x ∈（lna ，+∞）时，f ′（x ）＝e x ﹣a ＞0；所以，f （x ）在（﹣∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增． （2）由于a ＝1，所以，（x ﹣k ） f ′（x ）+x +1＝（x ﹣k ） （e x ﹣1）+x +1， 故当x ＞0时，（x ﹣k ） f ′（x ）+x +1＞0等价于k ＜11xx x e ++-（x ＞0）①， 令g （x ）＝11x x x e ++-，则g ′（x ）＝()()()2221111x x x xxe e x xe ee----+=--，由（1）知，当a ＝1时，函数h （x ）＝e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增， 而h （1）＜0，h （2）＞0，所以h （x ）＝e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g ′（x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2） 当x ∈（0，α）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（α，+∞）时，g ′（x ）＞0； 所以g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （α）．又由g ′（α）＝0，可得e α＝α+2所以g （α）＝α+1∈（2，3） 由于①式等价于k ＜g （α），故整数k 的最大值为2．9．（2011年）已知函数f （x ）＝ln 1a x x ++b x，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +2y ﹣3＝0． （1）求a 、b 的值；（2）证明：当x ＞0，且x ≠1时，f （x ）＞ln 1x x -．【解析】（1）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+．由于直线x +2y ﹣3＝0的斜率为12-，且过点（1，1），所以1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得a ＝1，b ＝1．（2）由（1）知f （x ）＝ln 11x x x++，所以()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭，考虑函数()212ln x h x x x -=-（0x >），则()()()222222112x x x h x x x x ---'=-=-，所以当x ≠1时，h ′（x ）＜0而h （1）＝0， 当x ∈（0，1）时，h （x ）＞0，可得()2101h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x >-． 从而当x ＞0且x ≠1时，()ln 01x f x x ->-，即f （x ）＞ln 1xx -．10．（2010年）设函数f（x）＝x（e x﹣1）﹣ax2．（1）若a＝12，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【解析】（1）a＝12时，f（x）＝x（e x﹣1）﹣12x2，∴()1x xf x e xe x'=-+-＝（e x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0．∴函数()f x的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）．（2）f（x）＝x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）＝e x﹣1﹣ax，则g'（x）＝e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．。
高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)
函 数【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法yxo 函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作m a x ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义 图象 判定方法性 质函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．xa y =xy(0,1)O1y =x a y =xy(0,1)O1y =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=；x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2bq a ->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=- ③若2bq a ->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02bx a ->，则()m f p =．x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
高三文科导数解答题（含答案）
导数解答题一.函数单调性（函数性质）问题例1.（08年文1，21题）(本小题满分12分)已知函数f(x)=x 33+ax 22+x+1,(a ∈R)。
(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在区间(-23,-13)内是减函数，求a 的取值范围。
解：（I ）f '(x )=3x 2+2ax +1 判别式△=4(a 2-3) (i)若a>3或a<－3，则在(33,2---¥-a a )上f '(x)>0，f(x)是增函数；是增函数；在（33,3322-+----a a a a ）内f '(x)<0, f (x)是减函数；是减函数；在（¥+-+-，a a 332）上f '(x)>0， f(x)是增函数是增函数(ii)若33<<-a ，则对所有x R Î都有f '(x)>0，故此时f(x)在R 上是增函数上是增函数(iii)若a=±3，则f '(3a-)=0，且对所有的x ≠3a-都有f '(x)>0，故当，故当a=±3时，f(x)在R 上是增函数上是增函数（II ）由（I ）知，只有当a>3或a<3-时，时，f(x)在（33,3322-+----a a a a ）内是减函数）内是减函数因此332---a a ≤32- ①且332-+-a a ≥31- ②当|a|>3时，由①、②解得a ≥2 因此a 的取值范围是[2,+¥) 练习：1.（06年文1，22题）（本大题满分14分）设a 为实数,函数f(x)=x 3-ax 2+(a 2-1)x 在(-¥,0)和(1, ¥)都是增函数,求a 的最值范围。
122222221,21,a a a a +-+-221a a +-2212a a +-21x ()-¥-，13-13()-131，1 ()1，+¥f x '() ＋0 －0 ＋f x ()极大值极大值¯极小值极小值的极大值527+-)527)-13)527四.导数的几何意义（结合解析几何）例4. （09年文1，21题）（本小题满分12分）已知函数42()36f x x x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程。
2021年高考文科数学试题汇编 函数与导数(教师用)
2021年高考文科数学试题汇编函数与导数（教师用）2021年高考文科数学试题汇编--函数与导数（教师用）让每个人平等地提高自己！以下内容由李天乐为您呈现！函数与导数一、多项选择题（安徽文5）若点(a,b)在y?lgx图像上，a??,则下列点也在此图像上的是（a）（，b）（b）（10a，1？b）（c）(a2，B+1）（d）（a，2b）a[答案]d[命题意图]这道题考察对数函数的基本运算以及对数函数的图像和函数对应点的关系.2[分析]从问题B的意义上？lga？Blga？lga即a、 2b？也在函数y中？Lgx图像(安徽文10)函数f（x）？axng（？x）？停留y区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是（a） 1（b）2o(c)3(d)40.1x0。
[答]a[命题意图]该问题考察了导数在研究函数的单调性、函数的形象性和综合思维能力中的应用。
当n？1点，f(x)?axg(??x)??a(xx??x)那么f呢？（x） ?？a（？x x？？）由f?(x)?a(?xx??)??可知，x1?,x2?1，结合图像可知函数应在?0,3?递增，13 1.【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！1.哪里1.递减，即X？从F（）中获取最大值？A.g（？？）知识就是这样存在的331选a.（北京文8）已知a点？0,2?, B2,0?, 如果点C在函数y中？在X2的图像上，做什么？基础知识面积为2的点c的个数为a.4b.3c.2d.1【答案】a（福建第6条）如果关于x的方程x+MX+1=0有两个不等实根，则实数m的取值范围为a．（－1，1）b．（－2，2）c、（－∞, - 2) ∪ (2, + ∞)d、（－∞, - 1) ∪ (1, + ∞) [答：]C2x，x＞0（第8条）已知函数f（x）=？？X+1，X≤ 如果f（a）+f（1）=0，则实数a的值2等于a．－3b．－1c．1d．3【答案】a（福建文10）如果a>0，b>0，函数f（x）=4x-ax-2bx+2在x=1时有一个极点值，则ab的最大值等于a、 2B。
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高考真题：函数与导数解答题(文科）教师版1.设函数()()2,,f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时,求函数()f x 在[]1,1-上的最小值()g a 的表达式; (2)已知函数()f x 在[]1,1-上存在零点, 021b a ≤-≤，求b 的取值范围. 【来源】２015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷带解析）试题解析：（1)当214a b =+时, ()212a f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故其对称轴为2a x =-． 当2a ≤-时, ()()2124a g a f a ==++． 当22a -<≤时, ()12a g a f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 当2a >时， ()()2124a g a f a =-=-+． 综上, ()222,2,4{1,22, 2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>(２)设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{ s t a st b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此()2121122t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时, 222222t t t b t t --≤≤++, 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤- 当10t -≤≤时， 222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知, b的取值范围是3,9⎡--⎣.考点:1.函数的单调性与最值；2.分段函数；３．不等式性质;4.分类讨论思想.视频２.(本小题满分12分）设函数()2ln xf x ea x =-．(Ⅰ)讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数; (Ⅱ）证明:当0a >时()22lnf x a a a≥+. 【来源】2０15年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ带解析） 试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()0+∞，, ()2=2(0)x af x e x x->'. 当0a ≤时, ()0f x '>， ()f x '没有零点; 当0a >时,因为2x e 单调递增, ax -单调递增,所以()f x '在()0+∞，单调递增.又()0f a '>,当ｂ满足04a b <<且14b <时， ()0f b '<，故当0a >时， ()f x '存在唯一零点.（Ⅱ)由（Ⅰ)，可设()f x '在()0+∞，的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时, ()0f x '<; 当()0+x x ∈∞，时, ()0f x '>.故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ∞，单调递增,所以当0x x =时， ()f x 取得最小值,最小值为()0f x . 由于0202=0x a ex -,所以()00022=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a++≥+. 故当0a >时, ()22ln f x a a a≥+. 3．设函数， x R ∈，其中,a b R ∈.(Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ)若存在极值点,且，其中，求证:;(Ⅲ)设，函数，求证:在区间上的最大值不小于．【来源】201６年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）试题解析:(Ⅰ）解:由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a ='-，下面分两种情况讨论:(1)当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.(2）当0a >时,令()0f x '=,解得3x =或3x =-. 当x 变化时, ()f x '， ()f x 的变化情况如下表:所以()f x 的单调递减区间为⎛⎝⎭，单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎭, ⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （Ⅱ)证明:因为()f x 存在极值点,所以由（Ⅰ)知0a >且00x ≠.由题意,得()20030f x x a '=-=,即203ax =， 进而()3000023af x x ax b x b =--=--, 又()()3000000082282233a a f x x axb x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠，由题意及（Ⅰ）知,存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠,因此102x x =-， 所以10+2=0x x . (Ⅲ)证明：设在区间[]1,1-上的最大值为M ， {}max ,x y 表示x ， y 两数的最大值,下面分三种情况讨论: （1）当3a ≥时， 11≤-<≤,由（Ⅰ) 知， ()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦,因此,()(){}{}max |1|,|1|max 1,1M f f a b a b =-=---+-{}max 1,1a b a b =-+-- 1+,0,{1,0,a b b a b b -≥=--<所以12M a b =-+≥.（２)当334a ≤<时， 113333-≤-<-<<≤，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知()1f f f ⎛-≥= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛≤= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,ff ⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此M= max ,max ,33f f b b ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫⎪⎪-= ⎪ ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭231max 944b b b ⎫==≥⨯=⎬⎭.（3）当304a <<时, 11-<<<，由（Ⅰ）和（Ⅱ)知，()1f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭, ()1f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此，()(){}{}max |1|,|1|max 1,1M f f a b a b =-=-+---{}max 1,1a b a b =-+-- 114a b =-+>. 综上所述,当0a >时，在区间[]1,1-上的最大值不小于14. 2．由函数f （ｘ）在（ａ,b ）上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥(或()0f x '≤）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．视频4.设函数()32.f x x ax bx c =+++（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(Ⅱ)设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点,求ｃ的取值范围; （Ⅲ)求证: 230a b -＞是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 【来源】2０16年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版) 试题解析:(Ⅰ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b =++'．因为()0f c =, ()0f b '=,所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+. （Ⅱ）当4a b ==时， ()3244f x x x x c =+++,所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-. ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时,存在()14,2x ∈--， 222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知,当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点.（Ⅲ)当24120a b ∆=-<时, ()2320f x x ax b =++>', (),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增,所以()f x 不可能有三个不同零点. 当24120a b ∆=-=时， ()232f x x ax b =++'只有一个零点,记作0x .当()0,x x ∈-∞时, ()0f x '>, ()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时， ()0f x '>， ()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点.综上所述,若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件.当4a b ==， 0c =时, 230a b ->， ()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点,所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件． ５.设函数()ln 1f x x x =-+. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时,11ln x x x-<<； (Ⅲ)设1c >,证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.【来源】２0１6年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3卷精编版） 试题解析:（Ⅰ)由题设,()f x 的定义域为(0,)+∞，1()1f x x'=-,令()0f x '=，解得1x =．当01x <<时,()0f x '>,()f x 单调递增;当1x >时,()0f x '<，()f x 单调递减. （Ⅱ）由(Ⅰ)知，()f x 在1x =处取得最大值,最大值为(1)0f =. 所以当1x ≠时，ln 1x x <-. 故当(1,)x ∈+∞时,ln 1x x <-,11ln1x x <-,即11ln x x x-<<. （Ⅲ)由题设1c >，设()1(1)xg x c x c =+--,则()1ln xg'x c c c =--,令()0g'x =,解得01lnln ln c c x c-=． 当0x x <时，()0g'x >，()g x 单调递增；当0x x >时,()0g'x <,()g x 单调递减. 由(Ⅱ）知，11ln c c c-<<,故001x <<,又(0)(1)0g g ==,故当01x <<时,()0g x >. 所以当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->. ６.已知函数()()()221x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；(Ⅱ）若()f x 有两个零点,求a 的取值范围．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标１卷精编版) 试题解析：（Ⅰ） ()()()()()'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+（Ⅰ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时, ()'0f x <;当()1,x ∈+∞时， ()'0f x >. 所以f （x)在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增． (Ⅱ）设0a <,由()'0f x =得x ＝1或ｘ=ｌｎ（-2ａ)．①若2ea =-，则()()()'1x f x x e e =--,所以()f x 在(),-∞+∞单调递增． ②若2ea >-,则ｌn （-2a)＜１,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-⋃+∞时， ()'0f x >;当()()ln 2,1x a ∈-时, ()'0f x <,所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增,在()()ln 2,1a -单调递减．③若2ea <-,则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞⋃-+∞时, ()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时, ()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减．(Ⅱ）(Ⅰ)设0a >,则由（Ⅰ）知， ()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取ｂ满足b<0且ln 2a b <， 则()()()22321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭,所以()f x 有两个零点. （Ⅱ)设a=0，则()()2xf x x e =-，所以()f x 只有一个零点．(ｉii)设a ＜0,若2ea ≥-,则由（Ⅰ)知, ()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时, ()f x ＜0,故()f x 不存在两个零点；若2ea <-，则由(Ⅰ）知， ()f x 在()()1,ln 2a -单调递减,在()()ln 2,a -+∞单调递增．又当1x ≤时()f x ＜0,故()f x 不存在两个零点.综上，ａ的取值范围为()0,+∞. 7.已知函数f(x)=(x +1)lnx −a(x −1).(I ）当a =4时,求曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ)若当x ∈(1,+∞)时,f(x)＞0，求a 的取值范围. 试题解析：（I ）f(x)的定义域为(0,+∞).当a =4时，f(x)=(x +1)lnx −4(x −1),f ′(x)=lnx +1x −3,f ′(1)=−2,f(1)=0. 曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x +y −2=0. （I Ｉ)当x ∈(1,+∞)时，f(x)>0等价于lnx −a(x−1)x+1>0.设g(x)=lnx −a(x−1)x+1,则g ′(x)=1x −2a (x+1)2=x 2+2(1−a)x+1x(x+1)2,g(1)=0，(ｉ)当a ≤2，x ∈(1,+∞)时,x 2+2(1−a)x +1≥x 2−2x +1>0,故g ′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增，因此g(x)>0; （ii ）当a >2时，令g ′(x)=0得x 1=a −1−√(a −1)2−1,x 2=a −1+√(a −1)2−1.由x 2>1和x 1x 2=1得x 1<1，故当x ∈(1,x 2)时，g ′(x)<0，g(x)在(1,x 2)单调递减,因此g(x)<0.综上,a 的取值范围是(−∞,2].８．已知函数f(x)=e x cosx −x .（Ⅰ）求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版)试题解析:（Ⅰ)因为f(x)=e x cosx −x ，所以f ′(x)=e x (cosx −sinx)−1,f ′(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1.(Ⅱ)设ℎ(x)=e x (cosx −sinx)−1，则ℎ′(x)=e x (cosx −sinx −sinx −cosx)=−2e x sinx ．当x ∈(0,π2)时,ℎ′(x)<0,所以ℎ(x)在区间[0,π2]上单调递减.所以对任意x ∈(0,π2]有ℎ(x)<ℎ(0)=0，即f ′(x)<0.所以函数f(x)在区间[0,π2]上单调递减.因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=1,最小值为f(π2)=−π2.９．已知函数()3211,32f x x ax a R =-∈.(Ｉ)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程;(ＩI ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，z.x.x.k 讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值．【来源】2０１７年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版） 试题解析：（Ⅰ）由题意()2f x x ax '=-,所以,当2a =时， ()30f =， ()22f x x x '=-，所以()33f '=,因此,曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程是()33y x =-, 即390x y --=.(Ⅱ)因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--, 所以()()()cos sin cos g x f x x x a x x =+---'',()()sin x x a x a x =--- ()()sin x a x x =--,令()sin h x x x =-, 则()1cos 0h x x ='-≥， 所以()h x 在R 上单调递增, 因为()00h =,所以，当0x >时, ()0h x >；当0x <时, ()0h x <.（1）当0a <时， ()()()sin g x x a x x -'=-，当(),x a ∈-∞时, 0x a -<, ()0g x '>, ()g x 单调递增； 当(),0x a ∈时, 0x a ->, ()0g x '<, ()g x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时, 0x a ->, ()0g x '>， ()g x 单调递增． 所以当x a =时()g x 取到极大值,极大值是()31sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值,极小值是()0g a =-. （2)当0a =时， ()()sin g x x x x -'=,当(),x ∈-∞+∞时, ()0g x '≥， ()g x 单调递增;所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增， ()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时, ()()()sin g x x a x x -'=-,当(),0x ∈-∞时， 0x a -<， ()0g x '>, ()g x 单调递增； 当()0,x a ∈时, 0x a -<， ()0g x '<， ()g x 单调递减; 当(),x a ∈+∞时, 0x a ->, ()0g x '>， ()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值,极大值是()0g a =-; 当x a =时()g x 取到极小值,极小值是()31sin 6g a a a =--. 综上所述:当0a <时,函数()g x 在(),a -∞和()0,+∞上单调递增,在(),0a 上单调递减,函数既有极大值，又有极小值，极大值是()31sin 6g a a a =--,极小值是()0g a =-； 当0a =时，函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增,无极值；当0a >时,函数()g x 在(),0-∞和(),a +∞上单调递增,在()0,a 上单调递减,函数既有极大值,又有极小值，极大值是()0g a =-，极小值是()31sin 6g a a a =--. 10.设a,b ∈R ,|a|≤1．已知函数f(x)=x 3−6x 2−3a(a −4)x +b ,g(x)=e x f(x). (Ⅰ）求f(x)的单调区间;(Ⅱ)已知函数y =g(x)和y =e x 的图象在公共点（x 0,y 0）处有相同的切线， （i ）求证:f(x)在x =x 0处的导数等于0;(i ｉ）若关于x 的不等式g(x)≤e x 在区间[x 0−1,x 0+1]上恒成立，求ｂ的取值范围. 【来源】2０１7年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(天津卷精编版) 试题解析:(Ｉ)由f(x)=x 3−6x 2−3a(a −4)x +b ,可得 f′(x)=3x 2−12x −3a(a −4)=3(x −a)(x −(4−a))， 令f′(x)=0，解得x =a ,或x =4−a .由|a|≤1,得a <4−a ． 当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:所以，f(x)的单调递增区间为(−∞,a),(4−a,+∞),单调递减区间为(a,4−a). （II ）(ｉ）因为g′(x)=e x(f(x)+f′(x))，由题意知{g(x 0)=e x 0g′(x 0)=e x 0，所以{f(x 0)e x 0=e x 0e x 0(f(x 0)+f′(x 0))=e x 0 ，解得{f(x 0)=1f′(x 0)=0 ． 所以，f(x)在x =x 0处的导数等于0.（ii ）因为g(x)≤e x ，x ∈[x 0−1,x 0+1],由e x >0，可得f(x)≤1. 又因为f(x 0)=1，f′(x 0)=0,故x 0为f(x)的极大值点，由（I)知x 0=a . 另一方面，由于|a|≤1,故a +1<4−a ,由（I)知f(x)在(a −1,a)内单调递增,在(a,a +1)内单调递减,故当x 0=a 时,f(x)≤f(a)=1在[a −1,a +1]上恒成立，从而g(x)≤e x 在[x 0−1,x 0+1]上恒成立．由f(a)=a 3−6a 2−3a(a −4)a +b =1,得b =2a 3−6a 2+1,−1≤a ≤1. 令t(x)=2x 3−6x 2+1,x ∈[−1,1],所以t′(x)=6x 2−12x ， 令t′(x)=0，解得x =2（舍去)，或x =0.因为t(−1)=−7,t(1)=−3，t(0)=1,故t(x)的值域为[−7,1]. 所以,b 的取值范围是[−7,1]. 1１．设函数()()21x f x x e =-. (I ）讨论函数()f x 的单调性;(I Ｉ)当0x ≥时， ()1f x ax ≤+，求实数a 的取值范围．【来源】2０17年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标2卷精编版)【答案】（I)函数()f x 在(),1-∞和)1,+∞上单调递减,在()1上单调递增.（II)[)1,+∞．【解析】试题分析:(1）先求函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号确定单调区间;（2)对a 分类讨论，当a ≥1时，()()()11e 11x f x x x x ax =-+≤+≤+,满足条件；当0a ≤时，取()()()2000001111x f x x x ax =>-+=>+，当0<a ＜1时,取012x =， ()()()20000111f x x x ax >-+>+.试题解析： 解(1）ｆ ’（x )＝（1－2ｘ-x 2)e x令f’(x )=0得x ＝-１ ,x当ｘ∈(-∞，-1时，f’（x )<０;当ｘ∈(，－１时，f’(ｘ)>０；当x ，+∞)时，f’(x )<0所以f (ｘ)在（-∞,－1),（，-1）单调递增(2) ｆ (ｘ)=（1+ｘ）(1－ｘ）e ｘ当a ≥1时,设函数ｈ(x )=(１-x )e x，h ’（x )= -ｘe x<0（x ＞0)，因此h (x )在［0，+∞）单调递减,而h （0)=１, 故ｈ(x )≤1,所以f (ｘ)=(x ＋1)h (x )≤x ＋１≤ａｘ+1当0＜ａ＜1时,设函数ｇ(x )＝e x－ｘ-１，ｇ’(x ）=e x-1＞0(x ＞0)，所以g （x )在在[0，＋∞）单调递增,而g (0)=０,故ｅx≥x ＋1当0<ｘ＜1, ()()()211f x x x =-+, ()()()221111x x ax x a x x-+--=---，取012x =则()()()()20000000,1,110,1x x x ax f x ax ∈-+-=〉+故当 ()()0000010,112112a x f x x x ax ≤=〉-+=〉+时，取（）综上,a 的取值范围［1，＋∞)12．已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++.(１)讨论()f x 的单调性; （2）当0a <时,证明()324f x a≤--. 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版) 【答案】(1)若0a ≥，则当()0x ∈+∞，时, ()0f x '>，故()f x 在()0+∞，单调递增．若0a <，则当102x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，时， ()0f x '>；当12x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<．故()f x 在102a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增，在12a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减;（２)见解析． 【解析】试题分析:（1）先求函数导数()()()211'(0)ax x f x x x++=>，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性:当0a ≥时， ()'0f x >,则()f x 在()0,+∞单调递增;当0a <时， ()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增,在1,2a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减.(2）证明()324f x a ≤--，即证()max 324f x a ≤--,而()max 12f x f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以需证11ln 1022a a-++≤,设g (x ）=ln ｘ－x +１ ,利用导数易得()()max 10g x g ==，即得证.试题解析：（１)f （ｘ)的定义域为（0,+∞），()()‘1211221x ax f x ax a x x++=+++=． 若a ≥0,则当x ∈(０，＋∞)时, ’0f x ＞,故f (x )在(0,＋∞）单调递增.若a <0,则当x ∈10,2a -时, ’0f x ＞；当x ∈12a∞-+，时， ’0f x ＜.故f （ｘ)在10,2a -单调递增,在12a∞-+，单调递减.(2)由(１)知，当a ＜0时，f （x ）在12x a=-取得最大值,最大值为111ln 1224f a a a-=---.所以324fx a ≤--等价于113ln 12244a a a ---≤--,即11ln 1022a a-++≤. 设g (x ）=l ｎｘ-ｘ+1，则’11g x x=-.当ｘ∈(0,1）时, ()0g x '>；当x ∈(１,+∞)时， ()0g x '<．所以ｇ（x ）在(0,1)单调递增，在(1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x )取得最大值，最大值为ｇ（1）=0.所以当x ＞0时,g (x )≤0．从而当a ＜0时，11ln 1022a a -++≤,即324fx a≤--. 13．(２018年天津卷文)设函数f(x)=(x −t 1)(x −t 2)(x −t 3)，其中t 1,t 2,t 3∈R ，且t 1,t 2,t 3是公差为d 的等差数列.(I ）若t 2=0,d =1, 求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （I Ｉ)若d =3,求f(x)的极值；(III ）若曲线y =f(x) 与直线 y =−(x −t 2)−6√3有三个互异的公共点,求d 的取值范围.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(天津卷） 【解析】分析:（Ⅰ)由题意可得f （x ）=x ３−ｘ,f ′(x)=3x 2−1，结合f (0)=0,f ′(0)=−１，可得切线方程为x +y =0.(Ⅱ)由已知可得：ｆ(x )＝ｘ3−3t 2ｘ2+(3t ２２−9)ｘ− t 23＋9t 2.则f ′(x)＝ 3x 2−6t ２ｘ+3ｔ２2−９.令f ′(x)=0，解得x = t ２−√3，或x ＝ t 2＋√3.据此可得函数ｆ(x )的极大值为f （t 2−√3)=6√3;函数极小值为f (t 2+√3)＝−6√3.（II Ｉ）原问题等价于关于x 的方程（x −t ２+d ) (x −t 2) （ｘ−t ２−d )+ (x −t 2)+ 6√3=0有三个互异的实数解，令u = x −ｔ2,可得u 3+(１−d 2)u +６√3=0.设函数ｇ（x )= x 3+(1−ｄ2)x +6√3，则y =g (ｘ)有三个零点．利用导函数研究g (x )的性质可得d 的取值范围是(−∞,−√10)∪(√10,+∞).详解：（Ⅰ）由已知,可得f (x )=ｘ（x −1)(ｘ＋１)=ｘ３−x ,故f ′(x)＝３ｘ２−１，因此f (０)＝0，f ′(0)=−1,又因为曲线y =f (ｘ)在点（0，f （０))处的切线方程为y −f (0)＝f ′(0)(x −０),故所求切线方程为x ＋y =０． (Ⅱ)由已知可得f （ｘ)=(x −t 2＋3)(x −t 2)(x −ｔ2−3)=(x −t 2）3−9（ｘ−ｔ2）＝x 3−3t 2x 2+(3ｔ22−9）x −t 23+9t 2． 故f ′(x)=3ｘ２−6t ２ｘ＋3t 22−9.令f ′(x)=0,解得x =t 2−√3,或x ＝t 2+√3．当ｘ变化时，f ′(x)，ｆ(x )的变化如下表:所以函数f (x )的极大值为ｆ(t 2−√3)=(−√3)3−９×(−√3)=6√3;函数f (x )的极小值为ｆ(ｔ2+√3）=(√3）3−9×(√3)=−6√3．(Ⅲ）曲线ｙ=f （x ）与直线y =−（x −t 2)−6√3有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x −t 2＋ｄ)（x −t ２)(x −ｔ2−d ）+(x −t ２)+ 6√3=0有三个互异的实数解，令u =x −t 2，可得u 3+(１−ｄ2)ｕ+6√3=０.设函数g (x )=x 3+(1−d 2）x ＋6√3,则曲线y =f （x ）与直线y ＝−(x −t 2)−６√3有三个互异的公共点等价于函数y =g (x )有三个零点. g′(x)＝3ｘ３+(1−ｄ２)．当ｄ2≤1时，g′(x)≥0,这时g(x)在R 上单调递增，不合题意. 当ｄ2>1时,g′(x)=0，解得x １=√d 2−13，x 2＝√d 2−13．易得，g （x )在（−∞，x １)上单调递增，在[x １，x ２]上单调递减，在（x ２，+∞)上单调递增． g （x )的极大值g （x １)＝g (√d 2−1√3)＝2√3(d 2−1)329+6√3＞0．g (ｘ)的极小值g (x 2)=g (√d 2−1√3)=−2√3(d 2−1)329+6√3．若g (x 2)≥0,由ｇ(ｘ）的单调性可知函数y =g (ｘ)至多有两个零点，不合题意． 若g(x 2)<0,即(d 2−1)32>27,也就是|d|>√10，此时|d|>x 2,g(|d|)=|d|+6√3>0,且−2|d|<x 1,g(−2|d|)=−6|d|3−2|d|+6√3<−62√10+6√3<0，从而由g(x)的单调性，可知函数y =g(x)在区间(−2|d|,x 1),(x 1,x 2),(x 2,|d|)内各有一个零点，符合题意.所以,d 的取值范围是(−∞,−√10)∪(√10,+∞).点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的14.设函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x .（Ⅰ）若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为０,求a ； （Ⅱ）若f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围.【来源】2０１8年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷)【答案】(Ⅰ）12(Ⅱ)(1,+∞)【解析】分析:（1）求导f′(x),构建等量关系k=f′(2)=0，解方程可得参数a的值；(2)对a分a>1及a≤1两种情况进行分类讨论,通过研究f′(x)的变化情况可得f(x)取得极值的可能,进而可求参数a的取值范围.详解:解：（Ⅰ)因为f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x，所以f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x.f′(2)=(2a−1)e2，．由题设知f′(2)=0，即(2a−1)e2=0,解得a=12(Ⅱ）方法一：由（Ⅰ)得f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x=(ax−1)(x−1)e x.,1)时,f′(x)<0；若a＞1，则当x∈(1a当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax−1≤x−1<0,所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1,+∞)．方法二：f′(x)=(ax−1)(x−1)e x.(1）当ａ＝0时，令f′(x)=0得x＝１.f′(x),f(x)随ｘ的变化情况如下表：∴f(x)在ｘ=1处取得极大值,不合题意.,x2=1.（2)当a＞0时，令f′(x)=0得x1=1a①当x1=x2，即a=1时,f′(x)=(x−1)2e x≥0，∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不合题意．②当x1>x2,即0<ａ<1时，f′(x),f(x)随ｘ的变化情况如下表:∴f(x)在ｘ=1处取得极大值,不合题意．③当x1<x2,即a＞1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表：∴f(x)在x=1处取得极小值,即ａ>1满足题意.,x2=1.(３)当ａ<0时，令f′(x)=0得x1=1af′(x),f(x)随ｘ的变化情况如下表:∴f(x)在x=１处取得极大值,不合题意.综上所述，a的取值范围为(1,+∞)．点睛：导数类问题是高考数学中的必考题,也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题;②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题;④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面:①在求切线方程问题时,注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏;③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.15．(2０１8年新课标Ｉ卷文）已知函数f (x )=a e x −lnx −1． (1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0．【来源】20１8年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ｉ卷） 详解：（1）f (ｘ）的定义域为(0，+∞)，f ′(x )=a ｅｘ–1x . 由题设知,f ′(2)=０,所以a =12e 2．从而f （x )=12e 2e x −lnx −1,f ′(x ）=12e 2e x −1x .当0<x <2时，ｆ ′(ｘ)＜0；当ｘ＞2时，f ′（x )>０． 所以ｆ（x )在(0，2）单调递减，在(2,+∞)单调递增． (2)当ａ≥1e时,ｆ(x )≥e xe−lnx −1.设ｇ(x ）＝e x e −lnx −1，则g′(x)=e x e−1x ．当０<x <1时，g′(x )＜0;当x ＞１时，g′（x )＞0．所以ｘ＝1是g （x )的最小值点. 故当ｘ>0时，ｇ(ｘ）≥g (1)=0. 因此，当a ≥1e 时,f(x)≥0.点睛：该题考查的是有关导数的应用问题,涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中,首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间,第二问在求解的时候构造新函数,应用不等式的传递性证得结果.16．(20１8年全国卷Ⅲ文）已知函数f(x)=ax 2+x−1e x．(1）求曲线y =f(x)在点(0,−1)处的切线方程； (2）证明：当a ≥1时，f(x)+e ≥0.【来源】2018年全国卷Ⅲ文数高考试题文档版 详解：(１）f ′(x)=−ax 2+(2a−1)x+2e x，f ′(0)=2.因此曲线y =f(x)在点(0,−1)处的切线方程是2x −y −1=0． （2)当a ≥1时,f(x)+e ≥(x 2+x −1+e x+1)e −x . 令g(x)≥x 2+x −1+e x+1,则g ′(x)≥2x +1+e x+1.当x <−1时，g ′(x)<0,g(x)单调递减;当x >−1时,g ′(x)>0，g(x)单调递增； 所以g(x) ≥g(−1)=0．因此f(x)+e ≥0.点睛:本题考查函数与导数的综合应用,由导数的几何意义可求出切线方程,第二问当a ≥1时,f (x )+e ≥（e x+1+x 2+x −1）e −x ,令g (x )=e x+1+x 2+x −1，将问题转化为证明g (x )≥0很关键,本题难度较大。