高考真题函数与导数解答题文科教师版

高考真题：函数与导数解答题(文科）教师版

1.设函数()()2

,,f x x ax b a b R =++∈.

（1）当2

14

a b =+时,求函数()f x 在[]1,1-上的最小值()g a 的表达式; (2)已知函数()f x 在[]

1,1-上存在零点, 021b a ≤-≤，求b 的取值范围. 【来源】２015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷带解析）

试题解析：（1)当214a b =+时, ()2

12a f x x ⎛

⎫=++ ⎪⎝⎭，故其对称轴为2a x =-． 当2a ≤-时, ()()2

124

a g a f a ==++． 当22a -<≤时, ()12a g a f ⎛⎫

=-

= ⎪⎝⎭

. 当2a >时， ()()2

124

a g a f a =-=-+． 综上, ()2

2

2,2,4

{1,22, 2,24

a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>

(２)设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{ s t a st b

+=-=.

由于021b a ≤-≤，因此

()2121122

t t

s t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时, 22

2222

t t t b t t --≤≤++, 由于222032t t --≤

≤+

和212932

t t t --≤≤-+

所以2

93

b -

≤≤- 当10t -≤≤时， 22

2222

t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤

<+和2302

t t t --≤<+，所以30b -≤<.

综上可知, b

的取值范围是3,9⎡--⎣.

考点:1.函数的单调性与最值；2.分段函数；３．不等式性质;4.分类讨论思想.

视频

２.(本小题满分12分）设函数()2ln x

f x e

a x =-．

(Ⅰ)讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数; (Ⅱ）证明:当0a >时()22ln

f x a a a

≥+. 【来源】2０15年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ带解析） 试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()0+∞，, ()2=2(0)x a

f x e x x

->'. 当0a ≤时, ()0f x '>， ()f x '没有零点; 当0a >时,因为2x e 单调递增, a

x -

单调递增,所以()f x '在()0+∞，单调递增.又()0f a '>,当ｂ满足04a b <<且1

4

b <时， ()0f b '<，故当0a >时， ()f x '存在

唯一零点.

（Ⅱ)由（Ⅰ)，可设()f x '在()0+∞，的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时, ()0f x '<; 当()0+x x ∈∞，时, ()0f x '>.

故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ∞，单调递增,所以当0x x =时， ()f x 取得最小值,最小值为()0f x . 由于0

202=0x a e

x -

,所以()00022

=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a

++≥+. 故当0a >时, ()2

2ln f x a a a

≥+. 3．设函数， x R ∈，其中,a b R ∈.

(Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ)若

存在极值点

,且

，其中，求证:;

(Ⅲ)设，函数，求证:在区间上的最大值不小于．

【来源】201６年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）

试题解析:(Ⅰ）解:由()3f x x ax b =--，可得()2

3f x x a ='-，下面分两种情况讨论:

(1)当0a ≤时，有()2

30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.

(2）当0a >时,令()0f x '=,

解得3x =

或3

x =-. 当x 变化时, ()f x '， ()f x 的变化情况如下表:

所以()f x 的单调递减区间为⎛

⎝⎭，单调递增区间为,⎛-∞ ⎝

⎭, ⎫

+∞⎪⎪⎝

⎭

. （Ⅱ)证明

:因为()f x 存在极值点,所以由（Ⅰ)知0a >且00x ≠.

由题意,得()2

0030f x x a '=-=,即203

a

x =

， 进而()3

000023

a

f x x ax b x b =--=-

-, 又

()()

3

000000082282233

a a f x x ax

b x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且

002x x -≠，

由题意及（Ⅰ）知,存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠,因此102x x =-， 所以10+2=0x x . (Ⅲ)证明：设

在区间[]

1,1-上的最大值为M ， {}max ,x y 表示x ， y 两数的最

大值,下面分三种情况讨论: （1）当3a ≥时， 11≤-<≤,由（Ⅰ) 知， ()f x 在区间[]1,1-上单调