线性代数行列式-习题课

合集下载

线性代数行列式计算习题课

3 2
a bc d
a
3
b a c d
1 x2
b b
3
c a b d
1
2
a bc
d d
3 2
1
2
c c
3 2
r4 r3

a
x1
2
xn
x1 a b c d x1
n 1
a
b 2 2 x2 xn a b c d a n 1 b x 2 a
2 3 3 2
c d ( xi x j ) ni j 1c d a b a b c d
* c in *
6、某行（列）的 k倍加到另一行（列）上，行列式值不变
ri k r j ( c i k c j )
第 5页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行 ( 列 ) 各元素与其对应的代数余子式乘积之和：
D n a i1 Ai1 a i 2 Ai 2 a 1 i A1 i a 2 i A 2 i a in A in a ni Ani
5 3 1 4 3
0 4 9
20
第16页
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1 7. D 1 1 x 1 1 1 x 1 1
b
1 x 1 1 1 1
x 1 1 1 1
bx 1
c1 c 2 c1 c 3
x x x x 1 0
1 1 x 1 1 0 x
1 x 1 1 1
x 1 1 1 1
c1 c 4

1 a b 1
c1 x
x
1 b a 1 1 x 1

线性代数习题1.5行列式按行(列)展开

n n1
线性代数
首页上一页下一页返回结束
§1.5 行列式按行（列）展开
现在假设结论对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，要证结论对 n 阶范德蒙德行列式也成立，为此，要将 Dn 降阶，将前一行乘以 x1 加到后一行上（从后往前）
1 x1
1 x2 x x
2 2
1 x3 x x
1
例1. 设D
2 3 0 5
4
1 0 6
按第二列展开得
D 2
4
5
1 6
0
1
3
1 6 5
0
1 3 4 5 0
首页
2 29 58
按第一行展开得
D 1
线性代数
0 5 0 6
2
4
1 6
3
4
1 0

2 29 58
上一页下一页返回结束
§1.5 行列式按行（列）展开
n
D ,当 i j , aik A jk k 1 0 ,当 i j;
n
3. 牢记范德蒙行列式的形式和计算结果.
线性代数
首页上一页下一页返回结束
§1.5 行列式按行（列）展开
4. 行列式的计算方法：
1).依定义计算行列式; 2).用对角线法则计算行列式; 仅适用于二、三阶行列式 3).利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式．三角形行列式一行（列）全为零的行列式两行（列）成比例的行列式范德蒙行列式
a11 a1 j a1n i 1 D 1 ai 1,1 ai 1, j ai 1,n ai 1,1 ai 1, j ai 1,n an1

线性代数习题册行列式-习题详解.doc

行列式的概念一、选择题1．下列选项中错误的是 ( )a b c d (B)a b d b (A)da b ； c dc ；caa 3cb 3d a b a ba b (C)cdc ； (D)c dc.dd答案： D2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行列式的值（）．(A) 保持不变； (B) 可以变成任何值；(C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号．答案： C二、填空题1.log a b 1 =.1log b a解析： log ab1 log a b log b a1 1 1 0 .1 log b acos sin2.36=.sincos 3 6cos sin解析：3 6 cos cos sin sin cos0sin cos 3 63 6 23 62x 1 33. 函数 f (x)x x 1 中， x 3 的系数为；21 x2x 1 1g( x)x x x 中， x 3的系数为.12x答案： -2 ； -2.阶行列式 D n中的n最小值是.答案： 1.1 2 35.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式3 1 1等于.答案： 5.6.若 2x 8 0 ，则x= .1 2答案： 2.7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i<j 时，aij 0(i, j 1,2, L ,n) ，则D= .答案： a11 a22 a nn.a b 0b a 0 0.1 0 1a b 0( 1ab )解析： b a 0 ( a2 b2 ) 01 0 1b a故 a 0, b 0 .三、解答题1.用行列式的定义计算 .0 1 0 11 0 1 0(1)1 0；0 00 0 1 11 1 0 1 0 1 解：原式 =1 ( 1)1 20 0 0 1 ( 1)1 4 0 1 00 1 0 0 0 18. 设a, b 为实数，则当a=, b=时，0 0 1 0 1解：由对角线法则，得 D 111 2 , D 21 0 0 111 2a b 0 0 若 D 1 D 2 , 则于是1或 1.0 c d 0(2)四、证明题0 0 e.f1. （略）g h 0行列式的性质c d 0 0 d 0原式 = a 0 efb 0 ef一、选择题h 0 0g 0 0x 0 1 2 3 2e f0 f 0 f1．设行列式 D 10 x 1 0 , D 2 1 5 3 , 若 D 1 D 2 ,10 x3 1 1=a cdbdh g= adfhbdfg则 x 的取值为 ( ).(A)2 ，-1 ； (B)1 ， -1 ；(C)0 ，2；(D)0，1．0 1 3 1 1答案： B2. 设行列式 D 10 1 0 ,D 2 2 3 2 , 若 D 1 D 2 ,a 11 a 12 a 1311 5 32．若 Da 21a 22a233 ，求的值 .a31a32a332a11 5a13 a12 a13则 D1 2a21 5a23 a22 a23=（）．2a31 5a33 a32 a33(A)30；(B) -30 ；(C)6 ；(D)-6．答案： C二、填空题1．若三阶行列式 D 的第一行元素分别是1,2,0, 第三行元素的余子式分别是8，x，19，则 x =.解析： 1 8 2x 0 19 0, x 4 .2016 2018=.2．201620142016 2018 2 2 2 2 解析：2016 2014 2016 0 4 .2014 2a b c3. 行列式D b a c ，则 A11 A21 A31= .d b c1 b c解析： A11 A21 A31 1 a c 0 .1 b c5x 1 2 34. 行列式D42 1 x 3x x 2的展开式中， x 4的系数31 2 1 3x为； x3 的系数为.5x 1 2 3 5x 1 2 32 1 x3 x x 2 3解析： D 4x 2 3 2 1 x 3x1 2 1 3x 1 2 1 3x5x 1 2 30 x1 8 125 5 52 1 x 31 2 1 3x含 x4， x3的项仅有主对角线上元素之积项，故x 4， x3的系数分别为 15， -3.三、解答题1. 计算下列行列式 .1 2 3 42 3 4 1 (1)；3 4 1 2 4 1 2 3解：各行加到第一行，得10 10 10 10 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 原式 =4 1 2 104 1 2 3 3 41 2 3 4 1 2 31 1 1 1 1 1 1 10 1 2 1 0 1 2 1 = 101 2 1 100 4 160 .0 0 0 03210 041 1 1 1 11 234 52 2 22(2) 12 3 4 5 ；3 3 3 3 1 2 345 4444 1 234 5解：原式 =(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.1 4 9 16 4 9 16 25 ；(3)16 25 3691625 36491 4 9 16 1 4 9 16 3 5 7 9 3 5 7 9 原式 =7 9 11 2 2 2 0 .5 2 7 9 11 132 2 2 20 y 0 xx 0 y 0；(4)x 0 yy 0 x 0x y 0 x 0 y 原式 = y 0 0 y x 0 x 0y x 0 y 0 x= y 2 xy x 2 x y ( x 2 y 2 ) 2 . y x y x1 x yz(5) 1 y zx ；1 z xy1 x yz原式 = 0 y x z( y x)0 z x y( z x)=1 z( y x)( z x) ( x y )( y z )( z) .y x11 0 1 0 00 2 1 0 0(6) 3 1 0 0 0 ；0 0 0 2 10 0 0 0 21 0 1 01 0 1 1 0 10 2 1 04 0 2 1 4 0 2 1原式 = 21 0 033 1 0 0 1 30 0 0 2=2 14 20 .1 31 x1 1 1 11 1 x2 1 1；(7)1 1 1 x3 11 1 1 1 x41 x1 x1 x1 x1解：原式 = 1 x2 0 0 1 0 x3 0 1 0 0 x41x1 x1 x1x1 x1 x1 x1x3x2 x4= 0 x2 0 00 0 x3 00 0 0 x4= x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 x1 x3 x4 x1 x2 x4 x1 x2 x3.1 5 1 31 1 3 4，计算 A41 A42 A43 A44的值.2. 设D1 2 312 23 4其中 A4 j ( j 1,2,3,4) 是 D 的代数余子式.1 5 1 3解： A41 A42A431 1 3 4A441 26 .1 31 1 1 13 5 2 13. 已知D1 1 0 1 M11M21M31M41.1 3 1, 求12 4 1 1解： M 11M21M31M41=1 M11( 1)M 21 1 M 31 ( 1)M 411 52 11 1 0 1=3 1=0.1 11 4 1 14. 计算下列n 阶行列式.2 1 1 1 1 1 1 (1) 1 2 1 ；y x y y解：原式 = x (n 1) y y y x y1 1 2n 1 1 1 1 1 1解：原式n 1 2 1 1 2 1 = = (n 1)n 1 1 2 1 1 21 1 1= (n 1) 0 1 0.n 1 0 0 1x y y yy x y y (2) y y x y ；y y y xy y y x1 1 1 10 x y 0 0= x (n 1) y 0 0 x y 00 0 0 x y= x (n 1) y ( x y) n 1.0 1 1 11 x1 0 0(3) 1 0 x2 0 ( x i 0,i 1,2, ,n) .1 0 0 x nn1111i 1 x i解：原式 =0 x 1 0 0 00 x 2 0x n=x 1 x 2x n (n1) .i 1x i四、证明题11 1= (b a)(c a)112ab a 2c 2ac a 2b= (b a)(c a)(c 2 b 2ac ab)= (b a)(ca)(c b)( a b c) =0,由于 a , b , c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当 a+b+c=0.abcd2. 证明a a+ba b c c a b c da 4a 2ab 3a 2b 4a 3b 2cd a3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d1. 设 a , b , c 是互异的实数，证明a b c 0 的充分必要条 a bc da 3b 3c 3r 4r 30 a a ba b c件是 a+b+c=0.证明：左边r 3 r 2a2a b3a2bc11 1 1r 2r 10 a 3a b 6a 3b c证明： ab c a b a c a a bc d a bc da3b 3c 3a 3b 3 a 3c 3 a 3r 3 0 a a b a b c0 a a b a b cr 44r 3 r 21 0 0ar 4r 3a ab ac a2a b 0 2a b =a 3 c 3 a 30 0a3a b0 0ab 3=右边克莱姆法则一、选择题x1 x2 x3 1,1．方程组x1 x2 x3 1, ,有唯一解,则( ).x1 x2 x3 1(A) 1且 2 ；(B) 1 且 2 ；(C) 1且 2 ；(D) 1 且 2 ．1 1解析：由克莱姆法则，当 1 1 (2 )( 1) 2 0 ，即1 11且 2 ，选B.ax z 0,2. 当a （）时，方程组2x ax z 0, 只有零解.ax 2 y z 0(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ； (D) 2.解析：由克莱姆法则，a 0 1 0 0 1当 2 a 1 2 a a 1 2(a 2) 0a 2 1 0 2 1即a 2 ，选D.三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组 .x 2 y z 2,(1) x 2 y 2z 3,2x y z 3;1 2 1解： D 1 2 2 3 0 ，2 1 1由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，22 1D13 2 2 3 ，31 11 2 1 1 2 2D 2 1 3 2 6 ， D 3 1 3 3 9 ，2 3 1 2 3 3因此方程组的解为D1 D 22 ， z D 33 .x 1, yDD Dx1 2 x2 x3 x4 1,2x1 3x2 x3 2x4 3, (2)3x2 2x3 x4 ..x1 2, 2x1 4x2 3x3 3x4 21 2 1 1解： D 2 3 1 24 01 32 12 43 3由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，1 2 1 1 1 1 1 13 3 1 28 ， D 22 3 1 2D13 2 1 1 2 22 ,2 12 43 3 2 2 3 31 2 1 1 1 2 1 12 3 3 2D 42 3 1 32 .D33 22 ,1 32 21 12 4 23 24 3 2因此方程组的解为D12 , x2D 2 1 D 3 1 D 4 1x1D， x3D, x4D.D 2 2 22x1 2x2 x3 0,2. 判断线性方程组x1 2x2 4 x3 0, 是否有非零解5x1 8x2 2x3 02 2 1 1 2 4解：因为系数行列式 D 1 2 4 2 2 15 8 2 5 8 21 2 4 1 2 4= 0 6 9 0 6 9 30 0 ,0 18 22 0 0 5所以，方程组只有零解.x1 kx2 x3 0,3. 已知齐次线性方程组kx1 x2 x3 0, 有非零解，求k 的值.2x1 x2 x3 0解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即1 k 1 1 k 1k 1 1 0 1 k 2 1 k2 1 1 0 1 2k 3= 3(1 k 2 ) (1 k)(1 2k)= (1 k)( 4 k ) 0解得， k=-1 或 k=4.2x1 4x2 ( 1) x3 0 4. 当取何值时，齐次线性方程组 ( 3) x1 x2 2x3 0 有非x1 (1 ) x2 x3 0 零解解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，2 4 13 1 2 0 ,解得0,2,3 .1 1 1第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式D n中的 n 最小为2.( ╳ )2. 在 n 阶行列式D a ij 中元素 a ij (i, j 1,2, L) 均为整数，则D必为整数 .( √ )a 11 0a 14a22a23a 14 a 23a 32 a 41 .(╳3.a32a33a 11a22 a 33 a44a410 0a44)二、选择题1. 若 D 13x 1 x 2x 11 1x 1， D 2x，则 D 1 与 D 2 的大12小关系是 ( ).(A) D 1D 2 ； (B) D 1 D 2 ； (C) D 1 D 2 ； (D) 随 x 值变化而变化 . 答案： Ca bcos20 sin 40 =.1.cos40sin 20解析：cos20 sin 40 cos20 cos40sin 20cos401cos60.2 2. 若 x 2y 2 x x , 则 x+y =. 1 1yy解析：由 x2y 2 xx ，得 x 2 y 21 1 y y即 ( xy) 2 0 ，从而 x+y =0.sin 20 sin 402xy2. 行列式 (a,b,c, d 1,1,2 ) 的所有可能值中，最大 c d的是 ( ).(A) 0 ； (B)2 ； (C)4 ； (D)6.答案： D3. 已知x2 0,x y 1，则 y = .1 1 11x 2 x y 解析：由1 10,1 , 得 x =2, x-y =1, 从而 y =11 1三、填空题13 54.若a2b2c2a2 A2b2 B2c2 C 2,则 C 2化简后的结果24 6等于.解析： C21 32 .2 42x x 1 25. 设f ( x) 1 x 1 14 的系数为； x3的3 2 x，则 x11 1 1 x系数为.解析：当 f ( x)的主对角线的 4 个元素相乘才能得出x 4，系数3为 2；含x的项只能是a12 , a21, a33 , a44的乘积，系数为-1.1 2 3 4 51 1 12 26. 设D 3 2 1 4 6 ,2 2 2 1 14 3 2 10则 (1) A31A32 A33= ； (2)A34A35 ；（ 3）A51 A52 A53 A54 A55 .解析： A31A32A33 2( A34 A35 ) 02(A31A32 A33 ) ( A34 A35 ) 0于是A31 A32 A33 0 ， A34 A35 0 .1 2 3 4 51 1 12 2A51A52A53A54A55 3 2 1 4 62 2 2 1 11 1 1 1 11 2 3 4 51 1 12 23 2 14 60 .3 3 3 3 31 1 1 1 1即 A51A52A53A54A550 .四、解答题1.计算下列行列式 .x1 y1 x1 y2 x1 y3 x1 y4(1) x2 y1 x2 y2 x2 y3 x2 y4 ；x3 y1 x3 y2 x3 y3 x3 y4x4 y1 x4 y2 x4 y3 x4 y4x1 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x2 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1 解：原式 =x3 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x4 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x1 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x2 x1 0 0 0 =x1 0 00 .x3 0x4 x1 0 0 01 x1 1 1 11 1 x2 1 1(2) ；1 1 1 x3 11 1 1 1 x41 x1 x1 x1 x11 x2 0 0解：原式 =0 x3 011 0 0 x41x1 x1 x1x1 x1 x1x1x3 x4x2= 0 x2 0 00 0 x3 00 0 0 x4= x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 x1 x3 x4 x1 x2 x4 x1 x2 x3.0 0 0 1 0 0 0 2 0 0(3)2005 0 0 .0 02006 0 0 0 00 0 0 0 20072006 2005解：原式 = 2007 ( 1) 2 2006! = 2007!1 2 3 4 52 2 2 1 12. 已知D 3 1 2 4 527 ,1 1 12 24 3 15 0求 (1) A41A42 A43；(2)A44A45.解： 1 A41 1 A42 1 A43 2( A44 A45 ) 272( A41 A42 A43 ) ( A44 A45 ) 0得 A41A42A439 , A44A4518 .3.计算下列 n 阶行列式.1 1 12 2 2 2n(1) D n 3 32 3n；n n 2 n n解：（利用范德蒙行列式计算）1 1 1D n D n T1 2 nn! 3 32 3n1 2n 1 n n 1n!(2 1)(3 1) ( n 1)(3 2)(4 2) (n 2) n ( n 1)n!(n 1)!( n 2)! 2! .2 1 1(2) 1 2 1 ；1 1 2n 1 1 1 1 1 1解：原式n 1 2 1 1 2 1 = = (n 1)n 1 1 2 1 1 21 1 1= (n 1) 0 1 0.n 1 0 0 1x1 m x2 x nx1 x2 m x n(3) D nx1 x2 x n m解：将第 2 列，L，第n列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得x1 x2 x n m x2 x nD nx1 x2 x n m x2 m x nx1 x2 x n m x2 x n m1 x2 x n( x1 x2 x n1 x2 m x nm)1 x2 x n m1 0 0( x1 x 2 x n1 m 0m)1 0 m( x1 x2 x n m)( m) n1b1 b2 b3 b n 1 b na1 a2 0 0 0 (4) D n 0 a2 a3 0 00 0 0 a n 1 a n（其中 a i 0,i 1,2, , n ）a1 a2 0 0 解： D n ( 1)1 n b n0 a2 0 00 0 0 an 1b1 b2 b n 2 b n 1a1 a2 0 0 a n 0 a2 0 00 0 a n 2 an 1a1 a2 a n b nanDn 1a na1 a2 nb i.a na ii 1三、证明题1. 试证：如果n次多项式f ( x) a0 a1 x a n x n对 n+1 个不同的 x 值都是零，则此多项式恒等于零.( 提示：用范德蒙行列式证明)。

线性代数课后习题与答案

《线性代数》课程习题第1章行列式习题 1.11．计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2．计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3．用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习题 1.21．计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习题 1.31．解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习题五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004，（2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------，（5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ，求3A -2B +C 。

线性代数讲解习题课

place定理 place定理是一个n阶行列式中取某K行或列或列), 是一个阶行列式，中取某定义设D是一个阶行列式，在D中取某行(或列则含于此k阶行或列)中的所以阶行(或列中的所以k阶子式与其代数余子则含于此阶行或列中的所以阶子式与其代数余子式的乘积之和恰好等于D.即式的乘积之和恰好等于即
设排列该排列中在 ai右边比 (i=1,2,---,n). 于是
ai小的数有 ai −1− ki个
τ (anan−1 ⋯a2a1 ) = (a1 −1− k1 ) + (a2 −1− k2 ) +⋯+ (an −1− kn )
= (a1 + a2 +⋯+ an ) − n − (k1 + k2 +⋯+ kn )
1 对、角行式列 λ1 D= λ2 ⋱ λn
λ1 D= λn λ2 ⋰ = (−1)
n(n−1) 2
= λ1λ2 ⋯λn ;
λ1λ2 ⋯λn.
2、上、下三角行列式。 a11 a12 ⋯ a1n 0 a22 ⋯ a2n ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ ann a11 0 ⋯ a21 a22 ⋯ 0 0
D = N 1 A1 + N 2 A2 + ⋯ + N t At
其中 N1 , N 2 ,⋯ N t是D的被选定的k行(或列)所含的K阶的被选定的k 或列)所含的K 子式, 子式, A1 , A2 ,⋯ At 分别是它们的代数余子式. t = C k 分别是它们的代数余子式.
n
二.几个重要的公式
3.设 3.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则阶方阵，阶方阵，
a11 ⋯ a1m ⋮ ⋮ am1 ⋯ amm D= c11 ⋯ c1m ⋮ ⋮ cn1 ⋯ cnm 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮

线性代数(江西高校出版社)第一章习题课

i行展开，得
D1 ai1 Ai1
ai1 Ai1
ai , j 1 Ai , j 1 aij 1 Aij ai , j 1 Ai , j 1
ai , j 1 Ai , j 1 aij Aij ai , j 1 Ai , j 1
ain Ain
7
24 A 24 24 4 12 7 180 .
2
【方法归纳】本题属于抽象型行列式的计算问题，
求
解的关键是灵活运用行列式的基本性质.
13
1
x
x2
x n1
1
例7 设 P x 1
a1
a2
a12
a22
a1n1
a2n1 ，其中 a1 , a2 ,
30
2
1
2
2
2
3
n 1
1
n 1
2
n 1
3
1 an1 an21
, an1 是
ann11
互不相同的数.
(1)由行列式定义，说明 P x 是一个 n 1次多项式；
(2)由行列式性质,求 P x 0 的根.
14
解 (1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，
所以若
按行列式的第一行展开，
含有 x n1 的对应项的系数恰为
a1 j 1
a2 j 1
a1n
a2 n
an1
anj 1
ann
，
将D1按第j列拆分成两个行列式，再把第二个行列式按第j列
展开，得
19
D1
a11
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2 n

行列式习题课

2 1 3 3 3
3 3 1 4 4

n 1 n 1 n 1 1 n
n n n n 1
6（2）
2 2 2
原行列式
解：
c1 c2 cn
1 2 3 n 1 n 1 1 3 n 1 n
1
r2 r1 r3 r1 rn r1
概念
a11 a21
a12 a1n a22 a2 n
p1 p2 pn

(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
an1 an 2 ann
1．行列式与它的转置行列式相等； 2．互换行列式的两行（列），行列式变号；
性质
3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。
《线性代数》
返回
下页
结束
r3+（-1）r2

D 1 1
r2+（-1）r3
1 1 1 2 1 0 1
c1+（-1）c3
1

1 1 0

1 0
《线性代数》
1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
返回下页结束
1 1 1 0 0 (1 ) 0
《线性代数》返回下页结束
1
1 2 2 2
1 2 3 3

1 2 3 n
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
例4 计算行列式
1 D1 1

线性代数习题-[第一章]行列式

习题1—1 全排列及行列式的定义1．计算三阶行列式123456789。

2．写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。

3．利用行列式的定义计算下列行列式：⑴00040030020010004D⑵0000000005251424132312524232221151********a a a a a a a a a a a a a a a a D =⑶000100002000010nn D n -=4．利用行列式的定义计算210111()021111xx x f x x x-=中34,x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质1．计算下列各行列式的值：⑴214101211202562-⑵efcfbfde cd bdae ac ab---⑶2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a2．在n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=，证明：当n 是奇数时，D=0. 3．计算下列n 阶行列式的值：⑴xaaa x a a a xD n=⑵nn a a a D +++=11111111121()120n a a a ≠习题1—3 行列式按行（列）展开1．已知ij A 是行列式122305403--的元素ij a （3,2,1,=j i ）的代数余子式，求323127A A +的值。

2．按第三列展开下列行列式，并计算其值：11111110101dcb a ------3．计算下列n 阶行列式的值⑴aa a aD n 01000000100=⑵xy yx y x y x D n 000000000000=4．试用数学归纳法证明：n n n n n n nn a x a x a x a x a a a a x x xD ++++=+---=----1111221100000100001习题1—4 克拉默法则1．用克拉默法则解下列方程组：⑴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=-+44522272532z y x z y x z y x⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-+=---=-++8232422383226232t z y x t z y x t z y x t z y x2．判断齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+028*******z y x z y x z y x 是否仅有零解？3．问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(z y x z y x z y x λλλ有非零解？4． λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+0200z y x z y x z y x λλ仅有零解？。

线性代数课后习题答案全解.pdf

第一章行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102−−−;解 381141102−−−=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b cb a ;解 ba c a cb cb a=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3. (3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:).(1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2;解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解逆序数为2)1(−n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) (2n ) (2n −2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解逆序数为n (n −1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n −2) (n −1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23 解含因子a 的项. 11a 23(−1)的项的一般形式为t a 11a 23a 3r a 4s 其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. ,所以含因子a 11a 23 (−1)的项分别是t a 11a 23a 32a 44=(−1)1a 11a 23a 32a 44=−a 11a 23a 32a 44 (−1), t a 11a 23a 34a 42=(−1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42 4. 计算下列各行列式:.(1)71100251020214214; 解 71100251020214214010014231020211021473234−−−−−======c c c c 34)1(143102211014+−×−−−= 143102211014−−=01417172001099323211=−++======c c c c .(2)2605232112131412−; 解 2605232112131412−26053212213041224−−=====c c 041203212213041224−−=====r r 0000003212213041214=−−=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab −−−;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab −−−ec b e c b ec b adf −−−=abcdef adfbce 4111111111=−−−=.(4)dc b a 100110011001−−−. 解d c b a 100110011001−−−dc b aab ar r 10011001101021−−−++===== d c a ab 101101)1)(1(12−−+−−=+01011123−+−++=====cd c ada ab dc ccdad ab +−+−−=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a −b )3 证明;1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c −−−−−−=====ab a b a b a ab 22)1(22213−−−−−=+21))((a b a a b a b +−−==(a −b )3 (2) . y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2, c 2−c 1 得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b −−−−−−−−−=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++−−−= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++−++−−−−−−= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++−−−−−= =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ). (5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x xn n n+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−− =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n .证明用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+−=, 命题成立. 假设对于(n −1)阶行列式命题成立, 即 D n −1=x n −1+a 1 x n −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −2x +a n −1则D , n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−+=+−x x a xD D n n n n =xD n −1+a n =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n 因此, 对于n 阶行列式命题成立. .6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(−−==, D 3 证明因为D =det(a =D .ij ), 所以 nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−− )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(−−+−+⋅⋅⋅++−=−=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=− )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(−−−=−=. D D D D D n n n n n n n n =−=−−=−=−−−−)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k (1)为k 阶行列式): aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 aa a a a D n 010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 000 0010 000)1(−×−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=n n n aa a )1()1(2 )1(−×−⋅⋅⋅⋅−+n n n a a an n n n n a a a+⋅⋅⋅−⋅−=−−+)2)(2(1)1()1(=a n −a n −2=a n −2(a 2−1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(−1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a aa a x D n −−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n −1)a ](x −a )n −1 (3). 111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=−−−+n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ; 解根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=−−−++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++−−+−−=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++−−−=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+−++−⋅−⋅−=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+−=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn −−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n −2−b n c n D 2n −2, 即D 2n =(a n d n −b n c n )D 2n −2于是 . ∏=−=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D −==,所以 ∏=−=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij 解 a =|i −j |; ij =|i −j |, 043214 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 04321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213−⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(−1)n −1(n −1)2n −2 (6).nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=====−−100001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111000011 000 00 11000 01100 001 −−−−−−+−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=−−−−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1) =+++−=−−−−=+−+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解因为 14211213513241211111−=−−−−=D , 142112105132412211151−=−−−−−−=D , 284112035122412111512−=−−−−−=D , 426110135232422115113−=−−−−=D , 14202132132212151114=−−−−−=D , 所以 111==D D x , 222==D Dx , 333==DD x , 144−==D D x .(2)=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解因为 665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100065000611==D , 114551010651000650000601000152−==D , 703511650000601000051001653==D , 39551601000051000651010654−==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452−=x , 6657033=x , 6653954−=x , 6652124=x .9. 问λ, µ取何值时, 齐次线性方程组 =++=++=++0200321321321x x x x x x x x x µµλ有非零解？解系数行列式为µλµµµλ−==1211111D .令D =0, 得 µ=0或λ=1.于是, 当µ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组 =−++=+−+=+−−0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式为λλλλλλλ−−+−−=−−−−=101112431111132421D=(1−λ)3 =(1−λ)+(λ−3)−4(1−λ)−2(1−λ)(−3−λ) 3+2(1−λ)2 令D =0, 得+λ−3. λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3 解由已知:的线性变换.= 221321323513122y y y x x x ,故= −3211221323513122x x x y y y−−−−=321423736947y y y ,−+=−+=+−−=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换++=++−=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,+−=+=+−=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3 解由已知的线性变换.−= 221321514232102y y y x x x−− −=321310102013514232102z z z−−−−=321161109412316z z z ,所以有 +−−=+−=++−=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设 −−=111111111A ,−−=150421321B , 求3AB −2A 及A T 解 B .−−− −− −−=−1111111112150421321111111111323A AB−−−−= −−− −=2294201722213211111111120926508503,−= −− −−=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积: (1)−127075321134;解 −127075321134 ×+×+××+×−+××+×+×=102775132)2(71112374=49635.(2)123)321(;解123)321(=(1×3+2×2+3×1)=(10).(3))21(312−;解 )21(312−×−××−××−×=23)1(321)1(122)1(2−−−=632142. (4)−−−−20413121013143110412 ; 解−−− −20413121013143110412 −−−=6520876. (5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3321x x x )322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设 =3121A ,=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为=6443AB ,=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2 解 (A +B )吗? 2≠A 2+2AB +B 2 因为.=+5222B A ,=+52225222)(2B A=2914148,但 + +=++43011288611483222B AB A=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2 (3)(A +B )(A −B )=A . 2−B 2 解 (A +B )(A −B )≠A 吗? 2−B 2 因为.=+5222B A ,=−1020B A ,==−+906010205222))((B A B A ,而= −=−718243011148322B A ,故(A +B )(A −B )≠A 2−B 2 6. 举反列说明下列命题是错误的:.(1)若A 2 解取=0, 则A =0;=0010A , 则A 2 (2)若A =0, 但A ≠0. 2 解取=A , 则A =0或A =E ;=0011A , 则A 2 (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .=A , 但A ≠0且A ≠E . 解取=0001A , −=1111X ,=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k 解 . ==12011011012λλλA , ===1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=101λk A k . 8. 设=λλλ001001A , 求A k 解首先观察. =λλλλλλ0010010010012A=222002012λλλλλ,=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121−−−−. 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，−=⋅=−−−+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A+++=+−+−−+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:−=−−−k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T 证明因为A AB 也是对称矩阵.T (B =A , 所以T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T 从而B AB ,T 10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .AB 是对称矩阵.证明充分性: 因为A T =A , B T (AB )=B , 且AB =BA , 所以 T =(BA )T =A T B T 即AB 是对称矩阵.=AB ,必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T AB =(AB )=AB , 所以T =B T A T 11. 求下列矩阵的逆矩阵:=BA .(1)5221; 解=5221A . |A |=1, 故A −1 存在. 因为−−= =1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =−−−=1225. (2)−θθθθcos sin sin cos ; 解−=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A −1 存在. 因为−= =θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =−−=θθθθcos sin sin cos . (3)−−−145243121; 解−−−=145243121A . |A |=2≠0, 故A −1 存在. 因为−−−−−= =214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =−−−−−−=1716213213012. (4)n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知=−n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1) −=12643152X ; 解 −=−126431521X − −−=12642153 −=80232. (2) −=−−234311*********X ; 解 1111012112234311−−− −=X−−− −=03323210123431131 −−−=32538122. (3) −= − −101311022141X ;解 11110210132141−− − − −=X− −=210110131142121 =21010366121=04111. (4)−−−= 021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010−−−−− =X −−− =010100001021102341100001010 −−−=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) =++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解方程组可表示为= 321153522321321x x x , 故 = = −0013211535223211321x x x ,从而有 ===001321x x x . (2) =−+=−−=−−05231322321321321x x x x x x x x x . 解方程组可表示为=−−−−−012523312111321x x x , 故 =−−−−−= −3050125233121111321x x x , 故有 ===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1 证明因为A . k =O , 所以E −A k E −A =E . 又因为k =(E −A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1所以 (E −A )(E +A +A ),2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1由定理2推论知(E −A )可逆, 且)=E ,(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.证明一方面, 有E =(E −A )−1 另一方面, 由A (E −A ).k E =(E −A )+(A −A =O , 有2)+A 2−⋅ ⋅ ⋅−A k −1+(A k −1−A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1故 (E −A ))(E −A ),−1(E −A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1两端同时右乘(E −A ))(E −A ),−1 (E −A ), 就有−1(E −A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.15. 设方阵A 满足A 2−A −2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A −1及(A +2E )−1 证明由A .2 A −A −2E =O 得2或 −A =2E , 即A (A −E )=2E ,E E A A =−⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A −=−. 由A 2 A −A −2E =O 得2或 −A −6E =−4E , 即(A +2E )(A −3E )=−4E ,E A E E A =−⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A −=+−.证明由A 2−A −2E =O 得A 2 |A −A =2E , 两端同时取行列式得 2即 |A ||A −E |=2,−A |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2由 A ≠0, 故A +2E 也可逆. 2 ⇒A −A −2E =O ⇒A (A −E )=2E−1A (A −E )=2A −1)(211E A A −=−E ⇒,又由 A 2 ⇒ (A +2E )(A −3E )=−4 E ,−A −2E =O ⇒(A +2E )A −3(A +2E )=−4E所以 (A +2E )−1(A +2E )(A −3E )=−4(A +2 E )−1 ,)3(41)2(1A E E A −=+−.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )−1 解因为−5A *|.*||11A A A =−, 所以 |||521||*5)2(|111−−−−=−A A A A A |2521|11−−−=A A=|−2A −1|=(−2)3|A −1|=−8|A |−1 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)=−8×2=−16.−1=(A −1 证明由)*.*||11A A A =−, 得A *=|A |A −1 |A *|=|A |, 所以当A 可逆时, 有n |A −1|=|A |n −1从而A *也可逆.≠0,因为A *=|A |A −1 (A *), 所以−1=|A |−1又A .*)(||)*(||1111−−−==A A A A A , 所以(A *)−1=|A |−1A =|A |−1|A |(A −1)*=(A −1 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:)*.(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n −1 证明.(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)−1 A =A A *(A *)=E , 由此得 −1=|A |E (A *)−1所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.=O ,(2)由于*||11A A A =−, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n 若|A |≠0, 则|A *|=|A |.n −1 若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.;因此|A *|=|A |n −1.19. 设−=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解由AB =A +2E 可得(A −2E )B =A , 故− −−−=−=−−321011330121011332)2(11A E A B −=011321330. 20. 设 =101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解由AB +E =A 2 (A −E )B =A +B 得 2即 (A −E )B =(A −E )(A +E ).−E , 因为01001010100||≠−==−E A , 所以(A −E )可逆, 从而=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, −2, 1), A *BA =2BA −8E , 求B . 解由A *BA =2BA −8E 得 (A *−2E )BA =−8E , B =−8(A *−2E )−1A =−8[A (A *−2E )]−1 =−8(AA *−2A )−1 =−8(|A |E −2A )−1 =−8(−2E −2A )−1 =4(E +A )−1 =4[diag(2, −1, 2)]−1−1)21 ,1 ,21(diag 4−==2diag(1, −2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵−=8030010100100001*A , 且ABA −1=BA −1+3E , 求B .解由|A *|=|A |3 由ABA =8, 得|A |=2. −1=BA −1 AB =B +3A ,+3E 得 B =3(A −E )−1A =3[A (E −A −1)]−1 A 11*)2(6*)21(3−−−=−=A E A E−=−−=−1030060600600006603001010010000161. 23. 设P −1 −−=1141P AP =Λ, 其中,−=Λ2001, 求A 11 解由P . −1AP =Λ, 得A =P ΛP −1, 所以A 11= A =P Λ11P −1 |P |=3, .−=1141*P ,−−=−1141311P ,而−= −=Λ11111120 012001,故−− −−−=31313431200111411111A −−=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中−−=111201111P ,−=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E −6A +A 2 解 ϕ(Λ)=Λ). 8(5E −6Λ+Λ2 =diag(1,1,5)8)[diag(5,5,5)−diag(−6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P )diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).−1 *)(||1P P P Λ=ϕ−−−−−− −−−=1213032220000000011112011112=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A −1+B −1 证明因为也可逆, 并求其逆阵.A −1(A +B )B −1=B −1+A −1=A −1+B −1而A ,−1(A +B )B −1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A −1(A +B )B −1可逆, 即A −1+B −1 (A 可逆.−1+B −1)−1=[A −1(A +B )B −1]−1=B (A +B )−1 26. 计算A .−−−30003200121013013000120010100121. 解设 =10211A , =30122A , −=12131B ,−−=30322B ,则 2121B O B E A O E A+=222111B A O B B A A ,而 −= −−+−=+4225303212131021211B B A ,−−= −− =90343032301222B A , 所以 2121B O B E A O E A +=222111B A O B B A A−−−=9000340042102521, 即−−−30003200121013013000120010100121−−−=9000340042102521. 27. 取==−==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==−−=−−=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 ||||||||D C B A D C B A ≠. 28. 设 −=22023443O O A , 求|A 8|及A 4解令. −=34431A ,=22022A , 则=21A O O A A ,故 8218=A O O A A=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .= =464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1−O B A O ; 解设 =−43211C C C C O B A O , 则O B A O 4321C C C C = =s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒ ====−−121413B C O C O C A C ,所以= −−−O A B O O B A O 111. (2)1−B C O A . 解设 =−43211D D D D B C O A , 则 = ++= s nE O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒ =−===−−−−14113211B D CA B D O D A D ,所以−= −−−−−11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)2500380000120025; 解设 =1225A , =2538B , 则−−= =−−5221122511A ,−−==−−8532253811B .于是 −−−−= = =−−−−850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)4121031200210001. 解设 =2101A ,=4103B ,=2112C , 则−= =−−−−−−1111114121031200210001B CA B O A BC O A−−−−−=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1)−−340313021201;解−−340313021201(下一步: r 2+(−2)r 1, r 3+(−3)r 1 ~. )−−−020*********(下一步: r 2÷(−1), r 3 ~÷(−2). )−−010*********(下一步: r 3−r 2 ~. )−−300031001201(下一步: r 3 ~÷3. )−−100031001201(下一步: r 2+3r 3 ~. )−100001001201(下一步: r 1+(−2)r 2, r 1+r 3 ~. )100001000001.(2)−−−−174034301320;解−−−−174034301320(下一步: r 2×2+(−3)r 1, r 3+(−2)r 1 ~. )−−−310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2 ~. )0000310010020(下一步: r 1 ~÷2. )000031005010.(3)−−−−−−−−−12433023221453334311;解−−−−−−−−−12433023221453334311(下一步: r 2−3r 1, r 3−2r 1, r 4−3r 1~. )−−−−−−−−1010500663008840034311(下一步: r 2÷(−4), r 3÷(−3) , r 4~÷(−5). )−−−−−22100221002210034311(下一步: r 1−3r 2, r 3−r 2, r 4−r 2~. )−−−00000000002210032011.(4)−−−−−−34732038234202173132. 解−−−−−−34732038234202173132(下一步: r 1−2r 2, r 3−3r 2, r 4−2r 2~. )−−−−−1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3−8r 1, r 4−7r 1 ~. )−−41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2×(−1), r 4−r 3~. )−−−−00000410001111020201(下一步: r 2+r 3~. )−−00000410003011020201. 2. 设= 987654321100010101100001010A , 求A .解100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(−1))−=100010101.− =100010101987654321100001010A= − =287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1)323513123;解 100010001323513123~−−−101011001200410123~ −−−−1012002110102/102/3023~−−−−2/102/11002110102/922/7003~−−−−2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为−−−−21021211233267.(2)−−−−−1210232112201023.解−−−−−10000100001000011210232112201023~−−−−00100301100001001220594012102321~−−−−−−−−20104301100001001200110012102321~ −−−−−−−106124301100001001000110012102321 ~−−−−−−−−−−10612631110`1022111000010000100021 ~−−−−−−−106126311101042111000010000100001故逆矩阵为−−−−−−−10612631110104211. 4. (1)设 −−=113122214A ,−−=132231B , 求X 使AX =B ;解因为−−−−=132231 113122214) ,(B A−−412315210 100010001 ~r ,所以−−==−4123152101B A X .(2)设−−−=433312120A , −=132321B , 求X 使XA =B . 解考虑A T X T =B T . 因为−−−−=134313*********) ,(T T B A−−−411007101042001 ~r ,所以−−−==−417142)(1T T T B A X ,从而−−−==−4741121BA X . 5. 设−−−=101110011A , AX =2X +A , 求X .解原方程化为(A −2E )X =A . 因为−−−−−−−−−=−101101110110011011) ,2(A E A−−−011100101010110001~,所以−−−=−=−011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r −1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r −1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:−0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1)−−−443112112013;解−−−443112112013(下一步: r 1↔r 2 ~. )−−−443120131211(下一步: r 2−3r 1, r 3−r 1 ~. )−−−−564056401211(下一步: r 3−r 2 ~. )−−−000056401211, 矩阵的2秩为, 41113−=−是一个最高阶非零子式.(2)−−−−−−−815073*********;解−−−−−−−815073*********(下一步: r 1−r 2, r 2−2r 1, r 3−7r 1 ~. )−−−−−−15273321059117014431(下一步: r 3−3r 2~. )−−−−0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223−=−是一个最高阶非零子式.(3)−−−02301085235703273812. 解−−−02301085235703273812(下一步: r 1−2r 4, r 2−2r 4, r 3−3r 4~. )−−−−−−023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1~. )−0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3−16r 2. )~−02301000001000071210 ~−00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=−是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ×n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设−−−−=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 −−−−=32321321k k k A+−−−−−)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =−2且k ≠1时, R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠−2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组: (1) =+++=−++=−++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−212211121211~ −−−3/410013100101,于是 ==−==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为−= 1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2) =−++=−−+=−++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−−−5110531631121~−000001001021,于是 ===+−=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为+−= 10010*********k k x x x x (k 1, k 2 (3)为任意常数).=−+−=+−+=−++=+−+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−7421631472135132~1000010000100001,于是 ====0004321x x x x ,故方程组的解为 ====00004321x x x x .(4) =++−=+−+=−+−=+−+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−3127161311423327543~−−000000001720171910171317301,于是 ==−=−=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为−−+= 1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组: (1) =+=+−=−+83111021322421321321x x x x x x x x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

(C)0, 2
(D)0,1
解按三阶行列式的对角线法则得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ，则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （）．
分析此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，

线性代数 §12 n阶行列式习题与答案

§1.2 n 阶行列式为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念。

为此，先介绍排列的有关知识。

㈠排列与逆序：(课本P4)１、排列的定义：由数码1，2，…，n ，组成一个有序数组12n i i i ，称为一个n 级排列。

【例1】1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列。

(课本P4中例)【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。

【例3】数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列。

２、逆序的定义：在一个n 级排列12n i i i 中，如果有较大的数t i 排在si 的前面，则称t i 与s i 构成一个逆序。

(课本P4)【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。

3、逆序数的定义：一个n 级排列12n i i i 中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为12()n N i i i 。

(课本P4)【例5】排列3412的逆序数为N (3412) = 4，排列52341的逆序数为N (52341) = 7，自然序排列的逆序数为0。

4、奇、偶排列的定义：如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是奇数，则将12n i i i 称为奇排列；如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是偶数，则将12n i i i 称为偶排列。

(课本P4)【例6】由于N (3412) = 4，知排列3412是偶排列，由于N (52341) =7，知排列52341是奇排列，由于N (123…n ) = 0，知自然排列123…n 是偶排列。

【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。

线性代数习题册行列式-习题详解

行列式的概念一、选择题1．下列选项中错误的是( ) (A)ba d c dc b a -= ； (B)acb d dc b a =；(C)dc b a dcd b c a =++33； (D)dc b a dc b a -----=.答案：D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（）．(A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号．答案：C二、填空题1.ab b a log 11log = .解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2.6cos3sin6sin3cosππππ= . 解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3.函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为； xx xx x x g 21112)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式11342321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5.6.若02182=x，则x = . 答案：2. 7.在n阶行列式ija D =中，当i<j 时，),,2,1,(0n j i a ij L ==，则D = .答案：nn a a a Λ2211.8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时，010100=---ab b a .解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba abb a故0,0==b a .三、解答题1.用行列式的定义计算.(1)1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-⨯+-⨯110010100-=--=(2)000000hgf e d c b a.原式=00000gf e d b hf e dc a - =00000g f bd hf df e c a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=bdfg adfh -2. 设行列式λλλ01010101-=D , 3512321132=D ,若21D D =,求λ的值.解：由对角线法则，得()()0,11221=-+=D D λλ若21D D =,则()()0112=-+λλ于是1-=λ或1.四、证明题1.（略）行列式的性质一、选择题1．设行列式x x xD 0101011-=, 1133512322=D ,若21D D =,则x 的取值为 ( ).(A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1．答案：B2．若3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332333123222321131213111525252a a a a a a a a a a a a D +++==（）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6．答案：C二、填空题1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ⨯-+⨯==. 2．2016201420182016 = .解析：4202220162014222016201420182016===.3.行列式cb dc a bcb aD =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==cb c acb .4.行列式xx x xx D 31213231232154-=的展开式中，4x 的系数为；3x 的系数为 .解析：xxx x x x x x xx D 312131232321531213231232154--=-=xx x x 3121312512585103215---= 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4x ，3x 的系数分别为15，-3.三、解答题1.计算下列行列式 .(1)3214214314324321；解：各行加到第一行，得原式=32142143143211111032142143143210101010==160400400121011111012301211210111110=---=------.(2)4444333322225432154321543215432111111；解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.(3)49362516362516925169416941；原式=02222222297531694113119711975975316941==.(4)000000xyy x y x x y ；原式=xy x yx x xyy y xy 00000000-- =22222)(y x xyy x xxyy x y--=-.(5)xy z zx yyzx111；原式=)(0)(01x z y x z x y z x y yzx------ =))()((11))((x z z y y x yz x z x y ---=---.(6)200012000000130012000101--；原式=31012010140131201014200013012001012---=--=--=2031124=---. (7)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.2.设4322321143113151-=D ，计算44434241A A A A +++的值.其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.解：44434241A A A A +++61111321143113151=-=.3. 已知1142113110111253------=D ,求41312111M M M M +++.解：41312111M M M M +++=41312111)1(1)1(1M M M M --⋅+--⋅=1141113110111251-------=0.4.计算下列n 阶行列式.(1)211121112ΛMM M ΛΛ；解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ. (2)xy yyy x y yy y x yy y y x ΛM M M M ΛΛΛ ；解：原式=[]x y y y y x y yy y x yy n x ΛM M M M ΛΛΛ1111)1(-+ =[]yx y x y x y n x ----+ΛM M M MΛΛΛ0000001111)1(=[]1)()1(---+n y x y n x .(3)),,2,1,0(010011111021n i x x x x i nΛΛM M M M ΛΛΛ=≠.解：原式=nni ix x x x ΛM M M M ΛΛΛ0000000011101211∑=- =)1(121∑=-ni in x x x x Λ.四、证明题1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明0111333=c b a c b a的充分必要条件是a+b+c=0.证明：33333333001111a c ab aa c ab acbac b a----==3333a c a b a c a b ----=222211))((a ac c a ab b a c a b ++++--=))()((22ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c da a ab a bc a b cd a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++证明：左边43322102320363a b c d r r a a b a b cr r a a b a b c r r a a b a b c-+++-+++-+++433210002003a b c d r r a a b a b ca ab r r a a b-++++-+4430002000a b c d a a b a b cr r a a a b a+++-=+=右边克莱姆法则一、选择题1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1,1,1321321321x x x x x x x x x λλλ, 有唯一解,则( ).(A)1-≠λ且2-≠λ； (B) 1≠λ且2-≠λ；(C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ．解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1111112≠-+=λλλλλ，即1≠λ且2-≠λ，选B.2.当≠a （）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解.(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，当0)2(212012100121210≠-=--=-a aaa aa即2≠a ，选D.三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x解： 03112221121≠=---=D ，由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，31132231221=---=D ，61322311212=-=D ，93323312213==D ，因此方程组的解为11==D D x ,22==D Dy ，33==DD z .(2)..23342,223,3232,124321432143214321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x解：043342123121321121≠=---=D由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，833421232213311211=---=D ， 233221221213211112-=---=D ,232421231233211213=--=D ,223422231313211214=-=D .因此方程组的解为211==D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2144==D D x . 2.判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0285,042,022321321321x x x x x x x x x 是否有非零解解：因为系数行列式285122421285421122----=---=D=0305009604212218960421≠-=--=----, 所以，方程组只有零解.3.已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=-+02,0,0321321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值.解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即32101101111211112k k kk kk --+--=--=)21)(1()1(32k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4.4.当μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，0111213142=------μμμ,解得3,2,0=μ.第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式n D 中的n 最小为2.( ╳ )2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ )3.413223144433221144413332232214110000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳)二、选择题1.若11131--+=x x x D ，211122-+=x x D ，则1D 与2D 的大小关系是( ).(A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化.答案：C 2.行列式{})2,1,1,,,(-∈d c b a dc b a 的所有可能值中，最大的是( ).(A) 0； (B)2； (C)4； (D)6.答案：D三、填空题1.︒︒︒︒40cos 20sin 40sin 20cos = .解析：︒︒-︒︒=︒︒︒︒40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos2160cos =︒=. 2.若y y x x y x -=-1122,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=-1122，得xy y x 222-=+ 即0)(2=+y x ，从而x+y =0.3.已知111,0112==yx x ，则y = . 解析：由111,0112==yxx ,得x =2,x-y =1,从而y =14. 若222222222642531C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：242312=-=C .5.设xxx x xx f 111123111212)(-=，则4x 的系数为；3x 的系数为 .解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4x ，系数为2；含3x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1.6.设0123411222641232211154321=D ,则(1)333231A A A ++= ； (2)3534A A + ；（3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A于是0333231=++A A A ，03534=+A A .5554535251A A A A A ++++1111111222641232211154321=01111133333641232211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .四、解答题1.计算下列行列式.(1)44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++；解：原式=14131214141312131413121214131211y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+=000000000014131214131211=------+x x x x x x y y y y y y y x .(2)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.(3)2007000002006000200500020001000ΛΛΛMM M M M ΛΛ. 解：原式=!2006)1(2007220052006⨯-⋅=!2007-2.已知123452221127312451112243150D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++⋅+⋅+⋅A A A A A0)()(24544434241=++++A A A A A得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.(1)nn n n n n n D ΛM M M ΛΛΛ222333222111=；解：（利用范德蒙行列式计算）1122133321111!--==n n n Tn n n n n D D ΛM MMΛΛΛ [])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n ΛΛΛ!2)!2()!1(!Λ--=n n n .(2)211121112ΛMM M ΛΛ；解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ.(3)mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=ΛM M M ΛΛ212121解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得m x x mx x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=ΛΛM M MΛΛΛΛ221221221mx x x m x x x m x x x n n n n ---+++=ΛMM M ΛΛΛ22221111)(mm m x x x n ---+++=ΛM M M ΛΛΛ0101001)(21121))((---+++=n n m m x x x Λ(4)nn n n n a a a a a a b b b b b D 1322113210000000-----=ΛM M M M M ΛΛΛ （其中n i a i ,,2,1,0Λ=≠）解： 1221100000000)1(-+----=n nn n a a a a b D ΛM M M M ΛΛ1222112210000000------+n n n n n a a a a a b b b b a ΛM M M M ΛΛΛ 121-+⋅=n n nnn D a a b a a a Λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n i i in a b a a a 121ΛΛ. 三、证明题1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++=Λ10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)。

[数学]线性代数1-2-习题课

n
ai
a2
x
an
i1
n
x ai
a2
a3
x
i1
h
31
提取第一列的公因子，得
1 a1 a2 an
1 x a2 an
n
Dn1 (x ai) 1
a2
x an.
i1
1 a2 a3 x
将1第列(的 a1)倍加2 到列第，1将列第的 (a２ )倍加3 到列第， ,将1第列(的 an)倍加到后一列，得
h
20
解设D5中第 1,2,3,4,5行的元素a分 1p1,a别 2p2, 为 a3p3,a4p4,a5p5,那么， D5中由第 1,2,3,4,5行可能的非零元素分别得到
p12,3;
p1,2,3,4,5; 2
p31,2,3,4,5;
p2,3; 4
p52,3.
因为p1, p2, p3, p4, p5在上述可能取的,代
一个5元排列也不能组成，
故D5 0.
h
21
评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
注意
如果一n个阶行列式中等于素零比的元
n2n还多，则此行列于式零必 .(为等什么 ?)
h
22
例３
设
a11 a12 a1n
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
h
6
５、n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
Da 21a 2 2 a 2n p1p2pn1ta1p1a2p2anpn
an1 an2 ann

行列式习题课PPT课件

的行列式是
0 0 -x 0 0 x2 y2. 00 0 y 0
个字行列式, 其计算方法如上．
0 0 0 0 -y 11 第11页/共36页
例4 不计算行列式值，利用性质证明
xx
2
2 x 1 3 ( x 1)( x 2)( x 3)
3 3 x1
证明：令
xx 2 f (x) 2 x 1 3
第6页/共36页
0 0
ann
a1n 0
0
第1章
6
3、设D1是m 阶行列式，D2是n 阶行列式，则
D= D1 0
0 D2
D1D2；
0 D=
D2
D1 0
(1)mn D1D2。
4、范德蒙行列式
11 x1 x2 x12 x22
1
xn xn2 (xi x j ).
ni j1
x x n-1
n-1
1
2
c c2 1
1 a a2 =(ab bc ac) 1 b b2
1 c c2
(ab bc ac)(b a)(c a)(c b).
又因a>b>c>0，所以D<0. 14 第14页/共36页
例6 设α、β、γ是方程x3+px+q = 0的根，计算
D .
解由于 D
λn
第5页/共36页
第1章
5
2、上、下三角行列式.
a11 a12
0 D=
a22
a1n a11 0 a2n a21 a22
00
= a11a22
0 0 D=
ann
ann .
an1 an2
0 a1n a11 a12
a2n1 a2n a21 a22

线性代数习题--行列式

行列式二阶、三阶行列式—对角线原理■计算下列二阶行列式2312； 22b a ba1log log 1ba ab ;θθθcos 1sin tan ;cos sin sin cos θθθθ-；1111121221212222a b a b a b a b ++++；1112111221222122a ab b a a b b +. 解22ba b a =22ba ab -; 1log log 1b aa b =-1a b log b a log 110=-=;θθθcos 1sin tan =0sin cos tan =-⋅θθθ;■计算下列三阶行列式(1)111111111--- (2)38114112---; (3)b a c a c b c b a (4)222111c b a c b a(5)00000d c ba (6)ed ba00000. (7)y x y x x y x y yx y x +++.解 111111111---=111(1)(1)(1)11111(1)⨯⨯+-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯⨯-(1)111(1)1--⨯⨯-⨯-⨯1111114=-++++=381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---==222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=00000d c b a =00000000000ac bd ab cd ⨯⨯+⋅+⋅-⨯⨯-⋅-⋅=; 0000ab c de=00000000abe c d b cda e abe acd ++---=-.yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).行列式的定义排列与逆序■计算以下各个排列的逆序数, 并指出它们的奇偶性: 1234 4132 2413314265 ；314265789； 542391786； 134785692 139782645987654321； 246813579；(1)21n n -.(4)13…)12(-n 24 …)2(n ； (5)13…)12(-n )2(n )22(-n … 2. (6)1(2)3(22)5(24)(21)2n n n n ---.解逆序数为0逆序数为4: 41, 43, 42, 32. 逆序数为3.(314265)2114τ=++= 偶排列(314265789)2114τ=++= 偶排列 (542391786)431141115τ=++++++= 奇排列 11; 17.(987654321)8765432136τ=+++++++= 偶排列 (246813579)123410τ=+++= 偶排列1((1)21)(1)(2)21(1)2n n n n n n τ-=-+-+++=-, 这表明该排列的逆序数与n 有关, 故要对n 进行讨论:当4,41n k k =+时1(1)2n n -为偶数，此时排列(1)21n n -.为偶排列;当42,43n k k =++时1(1)2n n -为奇数，此时排列(1)21n n -.为奇排列.(4)逆序数为2)1(-n n . 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个)(5)逆序数为)1(-n n .3 2(1个) 5 2, 54 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) (6)当n 为偶数时，2n k =，排列为143425212221223412k k k k k kk k --+++-[]1122(1)(1)t k k k =+++++-+-+L [](1)(2)21k k +-+-+++L()()()()()22(1)1313142n k k k k k k n 轾+++++++++-=-=-犏臌L 其中11(1)(1)k k +++-+-L 为1434252122k k k k --+的逆序数；k 为21k +与它前面数构成的逆序数；(1)(2)21k k -+-+++L 为23,25,,2(21)k k k k +++-L 与它们前面数构成的逆序数的和；()()()()()()113131k k k k ++++++++-L 为2k ，22,24,,2k k --L 与它们前面数构成的逆序数的和.当n 为奇数时，21n k =+，排列为142345212223225412k k k k k kk k ++++++()1122t k k =+++++++L [](1)21k k ++-+++L()()()2213323432n k k k k k k n +轾++++?+=+=-臌L其中1122k k ++++++L 为1423452122k k k k +++的逆序数；(1)21k k +-+++L 为23,25,,2(21)k k k k ++++L 与它们前面数构成的逆序数的和；()()()3323k k k k +++?+L为2,22,,2k k -L 与它们前面数构成的逆序数的和.■确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列.■在由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成的下述9阶排列中, 选择i j 与使得: (1)2147958i j 为偶排列； (2)1254896i j 为奇排列； (3)4125769i j 偶排列； (3)3142786i j 奇排列. 均要求说明理由.分析排列1254896i j 中的两个未知数i j 与据排列的定义只能取3或7. 因而只有两种情况：1132574896与2172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为1与2是3和7作一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若1为偶排列, 则2必为奇排列. 其余题解法也类似.解 (1)取3,6i j ==有(214739568)11226τ=+++=为偶排列, 符合题目要求.(2)取3,7i j ==有(132574896)112116τ=++++=为偶排列, 故取7,3i j ==时172534896为奇排列, 符合题目要求.(3)取3,8i j ==有(412357698)3115τ=++=为偶排列，符合题目要求.(4)取5,9i j ==有(531429786)42131112τ=+++++=为偶排列. 故取9,5i j ==时931425786为奇排列, 符合题目要求.■写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++故44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.■写出4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项, 并指出正负号.解 4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项有11233442a a a a 和14233142a a a a . 由于(1342)2τ=，故11233442a a a a 取正号; (4312)5τ=，故14233142a a a a 取负号.■当i =___, k =___时13242553i k a a a a a 成为5阶行列式ij a 中一个取负号的项,为什么?解 i 和k 只能取1,4或者4,1.不妨先假设1,4i k ==, 则13242553i k a a a a a =1132442553a a a a a , 这个项的符号就是(13425)(12453(1)(1)1ττ+-=-=+, 不符合要求. 那么当4,1i k ==时13242553i k a a a a a =1432412553a a a a a , 它和1132442553a a a a a 相比就是交换了列指标1和4的位置, 因(12453)τ与(42153)τ相比改变了奇偶性, 所以1432412553a a a a a 的符号为负. 故应填4,1i k ==.■若(415)(12345)41213455(1)k i k i a a a a a ττ+-是5阶行列式ij a 中的一项, 则当i =___, k =___时该项的符号为正, 当i =___, k =___时该项的符号为负, 为什么?解此问和问题3类似, i 和k 只能取2,3或者3,2.不妨先假设2,3i k ==, 则符号为(43125)(12345)(1)ττ+-=5(1)(1)-=-, 所以取的是负号. 那么由问题3的分析可知当3,2i k ==时符号取正. 所以当3,2i k ==时该项的符号为正, 当2,3i k ==时该项的符号为负.■在6阶行列式ij a 中, 下列项应该取什么符号? 为什么?(1) 233142561465a a a a a a ; (2) 324354116625a a a a a a ; (3) 215316426534a a a a a a ; (4) 511332442665a a a a a a . 解 (1) 因(234516)(312645)448ττ+=+=, 所以取正号;另一种方法是: 233142561465a a a a a a =142331425665a a a a a a , 因(431265)τ6=, 所以取正号. (2), (3), (4) 也可这样做, 不再列出.(2) 因(345162)(234165)7411ττ+=+=, 所以取负号; (3) 因(251463)(136254)6511ττ+=+=, 所以取负号; (4) 因(513426)(132465)628ττ+=+=, 所以取正号.■按行列式定义, 计算下列行列式((4)中1n >, 并均要求写出计算过程):0001100000100100=D=D 000000000000a c db .=D 00000000000a b c d ;=D 0001002003004000；=D 1234512345121212000000000a a a a ab b b b bc cd de e ;=D 000100002000010n n -=D n n 000000100200100-=D 000101001001000----.=D 11121,1121222,11,11,21000n n n n n n a a a a a a a a a a ----.解001100000100100=D =1=D 000000000000a c db (1342)(1)abcd abcd t =-==D 00000000000a b c d根据定义44ija ⨯=123412341234()1234(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑.在行列式的通项中, 只有11233244a a a a 这一项的因子中不含零, 所以=D (1324)11233244(1)a a a a τ-=11233244a a a a -=abcd -.=D 0001002003004000(4321)(1)2424t =-==D 1234512345121212000000000a a a a ab b b b bc cd de e 根据定义,55ijD a ⨯==123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-∑.在行列式D 的通项中每一个项1234512345j j j j j a a a a a 中最后三个因子345345,,j j j a a a 分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数, 而行列式最后三行中均只有二个数不为零, 所以这三个因子中至少一个取零. 这样行列式的每一项中都含有因子零, 所以每项都为零, 从而0=D .=D 000100002000010 n n -所给行列式的展开式中只含有一个非零项1,12312n n n a a a a - ，它前面的符号应为()()()112311--=-n n τ ，所以D =()n n 11--！。

《线性代数》同济大学版课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版课后习题答案详解第一章行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(2)ba c a cb cb a ;解ba c a cbc b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a cb a ;解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y y x y x +++.解yx y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2;解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解逆序数为2)1(-n n :3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) (2n ) (2n -2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)ta 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:(1)71100251020214214; 解71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解ef cf bf de cd bd ae ac ab ---ec b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 4111111111=---=.(4)dc b a100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1.5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 .(2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22zy x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y z y x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得)5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a .(4)444422221111d c b a d c b a d c b a=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d );证明444422221111d c b a d c b a d c b a)()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++-++------=)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----==(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n+a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明用数学归纳法证明. 当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立.假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有11100 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明因为D =det(a ij ), 所以nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a aD D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=.D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开))1()1(10 00000 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a aan n n nn a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 0000 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 1111)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112;解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开)nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+.再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而111111112c b d a d c b a D -==,所以∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r152423210 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 111 1121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,28411235122412111512-=-----=D , 42611135232422115113-=----=D ,14202132132212151114=-----=D , 所以111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==DDx . (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解因为665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100650000611==D ,11455101065100065000601000152-==D , 70351100650000601000051001653==D , 39551000601000051000651010654-==D ,2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T. 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k.8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明充分性: 因为A T=A , B T=B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A-1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1. 证明由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E ⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|. 解因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1. |P |=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000320012101301300120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A , 1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001.解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267. (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TT B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1TT T B A X ,从而⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BAX . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X . 解原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式? 解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431,矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式. 10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ). 证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x , 故方程组的解为。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

a1 ...
∏ a2
...
... ...
an ...
=
(a j − ai ) .
1≤i< j≤n
a1n−1
a
n−1 2
... ann−1
1.2.6 计算行列式的常用方法
1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于 2、3 阶行列式；
2．利用 n 阶行列式定义计算行列式；
3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式；
(C) 10 (D) 9
解在排列 14536287 中，1 排在首位，逆序数为 0；4、5、6、8 各数的前面没有比它们
自身大的数，故这四个数的逆序数为 0；3 的前面比它大的数有 2 个（4、5），故逆序数为 2；
2 的前面比它大的数有 4 个（4、5、3、6），故逆序数为 4；7 的前面比它大的数有 1 个（8），
MM MM
M
11 1 1L2
1 −1 −1 −1 L −1
n +1 0 0 0 L 0
11 0 0L0
求和，故共有 n！项． 1.2.2 行列式的性质
1．行列式和它的转置行列式相等； 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号； 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；
4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0．同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0

行列式习题课.ppt

假设对阶数小于n的行列式结论成立, 下证对
于阶数等于n的行列式也成立.现将 Dn 按最后一行展开, 得
Dn 2cos Dn1 Dn2 .
由归纳假设,
Dn1 cos(n 1) , D cos(n 2) ,
n2
Dn 2cos cos(n 1) cos(n 2) [cosn cos(n 2) ] cos(n 2)
n
x ai
a1
a2
an
i 1
n
x ai
x
a2 an
i 1
Dn1
x
n
ai
a2
x
an
i 1
n
x ai
a2
a3
x
i 1
提取第一列的公因子，得
1 a1 a2 an
1 x a2 an
n
Dn1 ( x ai) 1
a2
x
an .
i1
1 a2 a3 x
将第1列的( a1)倍加到第2列，将第1列的
cos n;
所以对一切自然数n结论成立.
7 用展开、递推法
求值
an
0
bn
D2n 0
a1 b1 c1 d1
cn
0
dn
an1
0
bn1 0
按第一行 0
a1 b1
0
展开 an
c1 d1
cn1
0
dn1 0
0
0 dn
0 (1)2n1 bn 0
an1
0
bn1
a1 b1
0
c1 d1
cn1
d n1
cn
0
0
加到另一行（列）上去，行列式值不变

线性代数行列式-习题课

线性代数行列式计算习题课

线性代数习题1.5行列式按行(列)展开

线性代数习题册行列式-习题详解.doc

线性代数课后习题与答案

线性代数讲解习题课

线性代数(江西高校出版社)第一章习题课

行列式习题课

线性代数习题-[第一章]行列式

线性代数课后习题答案全解.pdf

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

线性代数 §12 n阶行列式 习题与答案

线性代数习题册行列式-习题详解

[数学]线性代数1-2-习题课

行列式习题课PPT课件

线性代数习题--行列式

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

行列式习题课.ppt

线性代数 §12 n阶行列式习题与答案

《线性代数》同济大学版课后习题答案详解