等腰三角形的性质和判定的应用问题解决策略课例

等腰三角形的性质和判定的应用问题解决策略

课例

内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

一、创设情景，引出课题

1、复习提问：（1）等腰三角形的性质和判定方法

（2）若△ABC是等腰三角形，则有哪些线段相等，哪些角相等。

2、如何运用等腰三角形的性质和判定探究图形的变化规律——等腰三角形的应用（课题）

二、探求等腰三角形分割问题

1、问题提出：已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，问△ABC的各内角度数可能

是多少？

2、问题分析：∵等腰三角形ABC→AB=AC→

∠B=∠C

∴△ABC的三个内角中只有两个未知量，顶角α、底角β

又∵由三角形三内角和为180°，得α+2β=180

∴由题意，再找出一个α与β的关系式

3、问题解决方式：（1）动手画图；（2）分组讨论；

（3）汇报思考方向

第一种情况：1、过A点画直线交BC于D，则

△ADB与△ADC都是等腰三角形，

（1）若AD=DB=DC 则α=2β

α+2β=180°

解得α=90°

β=45°

设问：△ADB和△ADC是等腰三角形，为什么就有

AD=DB=DC，有没有别的情况？提出问题、

归纳几何表

达式

多媒体显示

问题

分析求解问

题，启发用

方程思想解

决

问题

组织参与讨

论

汇编思考成

果

启发再思考

演示图形变

化，启发思

考

归纳方程组

求得解方法

思考回答

读题，理

解题意

参与思

考，明确

解题方向

画图思考

讨论

汇报思考

成果

观察图形

得α与β

的关系

形

三

知

系

渗

思

养

题

惯

养

操

真

习

理

三

分

通

图

培

能

（2）若AB=BD ， AD=DC

则有 α=3β α=108° α+2β=180° β=36° 问有没有可能AD=AC 或AD=AB

设问：过△ABC 的一个顶点，是否一定要过A 点，过其它顶

点可以吗？得

第二种情况，过B 点画直线交AC 于D

（3）由题意得，AD=DB=BC

则有 β=2α 解得 α=36° α+2β=180° β=72°

设问：有没有可能其它线段相等 （4）AD=DB ， BC=DC

β=3α 解得 α=7180

α+2β=180° β=7

540

设问：（1）有没有可能：DB=DC 或AD=AB （2）为什么不可能？

4、问题结论：△ABC 各内角的度数有四种可能，即

（90°，45°，45°）（108°，36°，36°）（36°，72°，72°）

（7180 ，7540 ，7

540 ）

5、解决问题的思想方法：（1）分类讨论思想，按顶点分，按等腰三角形的腰分；（2）数形结合思想：几何计算中常用方程思想；（3）从中应用等腰三角形等有关几何的性质。

三、探求“角平分线与平行线”的基本图形。

1、问题提出：已知，如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于F 点，过F 点DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E 。

（1）找出图中所有的等腰三角形，并说明理由。

（2）猜想，线段BD 、CE 、DE 之间有什么关系？为什么？ 2、问题解决过程： 解：（1）图中有两个等腰三角形△

DBF ，△EFC 。

理由：BF 平分∠ABC （已

知）

∴∠1=∠2 又∵DE ∥BC （已知）

∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3，∴△DBF 是等腰三角形

画图，听学生发言，追问为什么，演示动画启发思考 动画演示 归纳，小结

思考问题 观察得线段相等其他情况 找α与β的关系 观察图形，得出相应的腰 领会小结

培类感思

总结解题方法 呈现问题，启发思考 动画变图引出变题1 动画变图引导联想

讨论思考 观察图形，分析条件交流表达 画图分组讨论 观察图形，分析比较猜想结论 联想条件变化，猜想结论

体思培图问力培比能培和力

同理△EFC是等腰三角形

（3）猜想：BD+CE=DE

∵△DBF是等腰三角形∴DB=DF 同理EF=EC

∴BD+EC=DF+EF=DE

3、问题的变化：（从内外角平分线分情况思考），引导

学生画图

变题1 过F点作DF∥AB，EF∥AC交BC于D、E

（1）图中又有几个等腰三角形

（2）BD+CE=DE还成立吗？你有什么新发现？

解：（1）△BDF，△EFC都是等腰三角形

（2）BD+CE=DE不成立 DF+DE+EF=BC

即△DEF的周长为BC

启发学生继续思考

变题2 BF是△ABC内角平分线，CF是△ABC外角平分线，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E，那么BD、CE、DE 之间又有什么关系？写出你的

猜想，并加以证明。

分析：关键是找等腰三角形，然后得DE=BD-CE

证明：DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC∠EFC=∠FCG

又∵BF、CF是角平分，

∠FBC=∠FBD，∠ECF=∠FCG

∴∠FBD=∠DFB，∠ECF=∠EFC

变题3 BF、CF是△ABC外角平分线，过F点作DE∥BC交

AB、AC的延长线于D、E，那么BD、

CE、DE之间存在什么关系？

分析图形思考得，同样有DE=DB+CE

变题4 CD是内角平分线，CF是外

角平分线，过D点作

DE∥BC交AC于E，交CF于F，那么，

DF与CE又有何关系？

（可作为课外思考）

4、问题的结论：从“解平行线+平行线”=等腰三角形是题中的基本图形中，找线段的关系

四、梳理小结，形成结构

1、等腰三角形的分割：（1）分类讨论；（2）用等腰三角

形的知识列方程解决。

2、基本图形“角平分线+平行线=等腰三角形”中得线段间的关系

五、作业让学生讨

论小结，

帮助归

纳，提炼

讨论，交

流

渗

思

（

论

方

想

结

想

体

图

的

性