聚焦中考专题8 综合型问题

图形的变换、相似等内容有机地结合在一起 ， 同时
也融入了开放性、探究性等问题 ， 如探究条件、探
究结论、探究存在性等．经常考查的题目类型主要
有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图
形运动过程中求函数解析式问题等．
三个步骤
解综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的
隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二 ，要善于将
复杂问题分解为基本问题 ，逐个击破；第三 ，要善于
联想和转化 ，将以上得到的显性条件进行恰当的组合
，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使
用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数形
结合思想、分类讨论思想、运动观点等数学思想方法
，能更有效地解决问题．
1．(2014· 重庆)从－1，1，2 这三个数字中，随机抽取一 个数，记为 a，那么，使关于 x 的一次函数 y＝2x＋a 的 1 图象与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积为4，且使关于 x
8 2 9 3 5 ×4＋2b＋c＝0， 8 2 b c 2 2 ＋ ＋ ＝ ， 5
42 2 ∴ b＝－8 2，c＝ 5 ，
8 2 2 42 2 ∴y＝ 5 x －8 2x＋ 5 .
(2)当∠BDA＝∠DAC 时，BD∥x 轴．∵B(1，2 2)，
8 2 2 42 ∴当 y＝2 2时，2 2＝ 5 x －8 2x＋ 5 2， 解得 x1＝1，x2＝4，∴点 D 的坐标为(4，2 2)． (3)四边形 OAEB 是平行四边形． 理由如下：抛物线的对称
AB CB ＝ 在△FAB 和△ECB 中，∠BAF＝∠BCE＝90°，∴△FAB≌△ECB.∴FB＝EB，∠FBA＝ AF＝CE
∠EBC.∵∠EBP＝45 ° ， ∠ABC ＝90 °， ∴∠ ABP ＋∠EBC＝45 ° . ∴∠ FBP＝∠FBA＋ ∠ABP ＝ ∠EBC ＋ ∠ABP ＝ 45 ° . ∴∠ FBP ＝ ∠EBP. 在 △FBP 和 △EBP 中 ，
个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交)是解
决本题的关键．
2．(2014·绍兴)如图，在平面直角坐标系中，直线l平
行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接
OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C.
(1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是(2，1)， 求PA的长． 解：(1)∵点P与点B重合，点B的坐标是(2，1)， ∴点P的坐标是(2，1)．∴PA的长为2.
1 x＋2≤a， 3 ． 的不等式组 有解的概率为____ 1－x≤2a
2 ． (2014· 沈阳 ) 如图 ， ▱ ABCD 中 ， AB ＞ AD ， AE ， BE ， CM ， DM 分 别 为 ∠ DAB ， ∠ ABC ， ∠ BCD ， ∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交 于点 N ， 连接 EM. 若 ▱ ABCD 的周长为 42 cm ， FM ＝ 3 5 cm，AB＝____ cm，EF＝4 cm，则EM＝____ 13 cm.
∠BAP＝∠PQD AO＝AB， ∴AB＝PQ.在△BAP 和△PQD 中， ∴△BAP≌△PQD. ∠BPA＝∠PDQ ， AB＝PQ
∴AP＝DQ，BP＝PD.∵∠BPD＝90°，BP＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝45°. ∵AP＝t，∴DQ＝t.∴点 D 坐标为(t，t)．故答案为：45°，(t，t)．
(2)点 D 在对称轴的右侧，x 轴上方的抛物线 上，且∠BDA＝∠DAC，求点 D 的坐标． (3)在(2)的条件下，连接 BD，交抛物线对称
轴于 E，连接 AE.判断四边形 OAEB 的形状，并说明理由．
3 8 2 2 解：(1)将 A(2，0)，B(1，2 2)代入 y＝ 5 x ＋bx＋c 得
11 ③当 0＜x＜2 时，六边形 AEFCHG 面积的最大值是 4 ； ④当 0＜x＜2 时，六边形 AEFCHG 周长的值不变．其中正确的是
①④ ____．(写出所有正确判断的序号 )
4 ． (2014· 黄冈 ) 已知：在△ ABC 中， BC ＝ 10 ， BC 边
上的高 h ＝ 5 ， 点 E 在边 AB 上 ， 过点 E 作 EF∥BC ， 交
3．(2014· 随州)如图①，正方形纸片 ABCD 的边长为 2，翻折∠B，
∠D，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，EF，GH 分 别是折痕(如图②)．设 AE＝x(0＜x＜2)，给出下列判断： ①当 x＝1 时，点 P 是正方形 ABCD 的中心； 1 ②当 x＝2时，EF＋GH＞AC；
③若 BP＝BE，在 Rt△BAP 和
BA＝BC Rt△BCE 中， ，∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL)．∴AP BP＝BE
2 2
＝CE.∵AP＝t，∴CE＝t.∴PO＝EO＝4－t.∵∠POE＝90°，∴PE＝ PO ＋EO ＝ 2 (4－ t)．延长 OA 到点 F，使得 AF＝CE，连接 BF，如图 2 所示．
轴 ， PN⊥y 轴 ， ∴ PM ＝ PN ， ∠ ANP ＝ ∠ CMP ＝ 90°.∴∠NPM ＝ 90°.∵∠APC ＝ 90°.∴∠APN ＝ 90° － ∠ APM ＝ ∠ CPM. 在 △ ANP 和
△ CMP 中 ， ∵ ∠ APN ＝ ∠ CPM ， PN ＝ PM ， ∠ ANP ＝ ∠ CMP ，
几何型综合题
【例2】 (2014·咸宁)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标 轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位 长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的
速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动
．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交 于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．
(1)∠PBD的度数为 . (t，t)(
45°
，点D的
坐标为用t表示)；
解：(1)如图 1，由题可得：AP＝OQ＝1×t＝t(秒)∴AO＝PQ.∵四边形 OABC 是正 方形，∴AO＝AB＝BC＝OC，∠BAO＝∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝90°. ∵DP⊥BP，∴∠BPD＝90°.∴∠BPA＝90°－∠DPQ＝∠PDQ.∵AO＝PQ，
型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考
生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能 力、抽象思维能力、建模能力，力求引导考生将数学知识运 用到实际生活中去．
一个趋势
代数几何综合题从内容上来说 ， 是把代数中的数与
式、方程与不等式、函数 ， 几何中的三角形、四边
形、圆等图形的性质 ， 以及解直角三角形的方法、
(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
(2)①若 PB＝PE，则∠PBE＝∠PEB＝45°.∴∠BPE＝90°. ∵∠BPD＝90°，∴∠BPE＝∠BPD.∴点 E 与点 D 重合．∴点 Q 与点 O 重合．与条件“DQ∥y 轴”矛盾，∴这种情况应舍去．②若 EB＝EP，则∠PBE＝∠BPE＝45°.∴∠BEP＝90°.∴∠PEO＝
变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
∵EP＝CE＋AP，∴OP＋PE＋OE＝OP＋AP＋CE＋
OE＝AO＋CO＝4＋4＝8.∴△POE周长是定值，该定
值为8.
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性 质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及分类讨论 的思想等知识，综合性强．熟悉正方形与一个度数为 45°的角组成的基本图形(其中角的顶点与正方形的一
数
学
专题八 综合型问题
要点梳理
源自文库
综合题，各地中考常常作为压轴题进行考查，这类
题目难度大，考查知识多，解这类习题的关键就是
善于利用几何图形的有关性质和代数的有关知识，
并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目
的．
要点梳理
近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出
现，其解题关键是借助几何直观解题，运用方程、函数的思 想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运 用代数和几何知识解题．值得注意的是，近年中考几何综合 计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动
BF BE ＝ ∠FBP＝∠EBP，∴△FBP≌△EBP.∴FP＝EP.∴EP＝FP＝FA＋AP＝CE＋AP.∴EP＝t＋t BP＝BP ＝2t.∴ 2(4－t)＝2t.解得：t＝4 2－4∴当 t 为 4 秒或(4 2－4)秒时，△PBE 为等腰三角形．
(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若
点P，Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位
于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴
于点B，且QB＝PA＋1，设点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式； (2)求点Q的坐标(用含m的式子表示)； (3)请探究PA＋QB＝AB是否成立，并说明理由．
解：(1)∵抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点(1，－1)，且对称轴为在线 x＝2， 1＋b＋c＝－1 b＝－4 ∴ b ，解得 .∴这条抛物线所对应的函数关系式 y＝x2－4x＋2 － ＝2 c＝2 2 (2)∵抛物线上点 P 的横坐标为 m，∴P(m，m2－4m＋2)，∴PA＝m－2，QB＝PA ＋1＝m－2＋1＝m－1，∴点 Q 的横坐标为 2－(m－1)＝3－m，点 Q 的纵坐标为 (3－m)2－4(3－m)＋2＝m2－2m－1，∴点 Q 的坐标为(3－m，m2－2m－1) (3)PA＋QB＝AB 成立．理由如下：∵P(m，m2－4m＋2)，Q(3－m，m2－2m－1)， ∴A(2，m2－4m＋2)，B(2，m2－2m－1)，∴AB＝(m2－2m－1)－(m2－4m＋2)＝ 2m－3，又∵PA＝m－2，QB＝m－1，∴PA＋QB＝m－2＋m－1＝2m－3， ∴PA＋QB＝AB
5 5 3 3 3 轴是 x＝2， ∴BE＝2－1＝2.∵A(2，0)，∴OA＝BE＝2.
又∵BE∥OA，∴四边形 OAEB 是平行四边形
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系
数法、解方程、平行四边形的判定等知识点．
1．(2014·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y
＝x2＋bx＋c经过点(1，－1)，且对称轴为直线x＝2，
(2)当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐 标与点B的横坐标相等，求PA∶PC的值．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示 ． ∵ 点 A 的纵坐标与点 B 的横坐标相等 ， ∴ OA ＝ AB.∵∠OAB ＝ 90° ，
∴∠ AOB ＝ ∠ ABO ＝ 45°.∵∠AOC ＝ 90° ， ∴∠ POC ＝ 45°.∵PM⊥x
象上，则 t 的值是( A )
1＋ 5 A. 2 4 C.3 3 B.2 －1＋ 5 D. 2
8 2 2 【例 1】 (2013· 沈阳)如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y＝ 5 x 3 ＋bx＋c 经过点 A(2，0)和点 B(1，2 2)，与 x 轴的另一个交点为 C.
代数型综合题
(1)求抛物线的函数表达式；
∠PEO＝∠EBC 90°－∠BEC＝∠EBC.在△POE 和△ECB 中，∠POE＝∠ECB， EP＝EB ∴△POE≌△ECB.∴OE＝BC，OP＝EC.∴OE＝OC.∴点 E 与点 C 重合(EC＝0)．∴点 P 与点 O 重合(PO＝0)．∵点 B(－4，4)，
∴AO＝CO＝4.此时 t＝AP＝AO＝4.
AC 边于点 F. 点 D 为 BC 上一点 ， 连接 DE ， DF. 设点 E 到
BC 的距离为 x ， 则△ DEF 的面积 S 关于 x 的函数图象大
致为( D )
k 5．(2014· 盐城)如图，反比例函数 y＝x(x＜0)的图象经过点 A(－1，1)，过点 A 作 AB⊥y 轴，垂足为点 B，在 y 轴的正半 轴上取一点 P(0，t)，过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为 对称轴，点 B 经轴对称变换得到的点 B? 在此反比例函数的图
∴△ANP≌△CMP.∴PA＝PC.∴PA：PC的值为1∶1.