专题10第一章空间几何体知识点与综合提升题—(解析版)高一数学复习巩固练习(人教A版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【答案】D
【分析】
先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解.
【详解】
由三视图得几何体为下图中的三棱锥 ， 平面 , , , ,由题得 .
设外接球的球心为 外接球的半径为 ，则 平面 ,连接 ,取 中点 ,连接 .
由题得 ,所以 ,
所以外接球的体积为 ，所以选项A错误；
观察图形满足棱柱概念的几何体有：①②③④⑤，共五个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查棱柱的概念，属于简单题.
6．一个几何体的三视图如图所示，其主视图和左视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）
A．6πB．12πC．18πD．24π
【答案】B
【分析】
该几何体的直观图是圆台，上底面是一个直径为2的圆，下底面是一个直径为4的圆，母线长是4，利用圆台的侧面积公式即得解．
（参考数据） ， ， ， ．
A．101gB．182gC．519gD．731g
【答案】B
【分析】
由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.
【详解】
由题意可知，几何体 是棱长为 的正四面体，
所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，
【详解】
由三视图可知，正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，该几何体的直观图是圆台，上底面是一个直径为2的圆，下底面是一个直径为4的圆，母线长是4，
其圆台的侧面积是： .
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三视图还原几何体，考查圆台的侧面积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（）
将 沿 折起，使A，C两点的距离为 ， 折起后三棱锥 为正四面体，各棱长都是 ，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为 ,则正方体的面对角线为 ，所以正方体的体对角线为 ,其中 为正方体的外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，∴正四面体ABCD的外接球表面积为 ,
【答案】D
【分析】
分析几何体的结构，可得出合适的选项.
【详解】
由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱.
故选：D.
【点睛】
本题考查几何体的识别，属于基础题.
4．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】
利用正四棱锥的体积公式直接求解.
直观图与原图形的面积关系：
三.空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积； ⑵圆锥侧面积：
⑶圆台侧面积：
球的表面积和体积 .
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
一、单选题
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）
A．①是棱台B．②是圆台C．③不是多面体D．④是棱柱
【详解】
由题意得圆锥的底面半径为 ，圆锥的高为 ，
所以母线长 ，
所以侧面积为 .
故答案为：
16．已知球 的表面积为 ，点 ， ， 在球 的球面上，且 ， ，则球心 到平面 的距离为________．
【答案】1
【分析】
分别求出球的半径、球心距、 外接圆的半径利用勾股定理可得答案.
【详解】
设球 的半径为 ， 的外接圆半径为 ，球心 到平面 的距离为 ．
所以其体积为 ；
其外接球直径为 ，故 ；
所以其外接球体积为 ，
因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为 .
【点睛】
本题主要考查棱柱的体积及其外接球的体积，熟记体积公式即可，属于常考题型.
18．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．求：
【答案】
【分析】
由正方体的对角线是外接球直径，正方体的棱长等于内切球直径可求解．
【详解】
设正ห้องสมุดไป่ตู้体棱长为 ，则 ，解得 ，
∴内切球半径为 ，表面积为 ．
故答案为： ．
15．已知一个等腰直角三角形的直角边长为 ，以它的一条直角边所在直线为轴旋转所生成的旋转体的侧面积为______.
【答案】
【分析】
求出圆锥的底面半径和母线长根据圆锥的侧面积公式可得答案.
解三角形法就是找到球心 和截面圆的圆心 ，找到 、球的半径 、截面圆的半径 确定的 ,再解 求出球的半径 .
12．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（）
∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝ ×360°＝ ×360°＝90°，
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝ (0≤x≤4)，
∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
2．如图， 是水平放置的 的直观图，则 的面积为（）
A．6B．32C．12D．62
【答案】C
【分析】
结合斜二测法的画法原理求出 ， ，再结合面积公式求解即可.
【详解】
由斜二测画法特点得 ，
为直角三角形，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查由直观图求平面图的面积，属于容易题.
3．如图所示的几何体是（）
A．圆锥B．棱锥C．圆台D．棱柱
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意将三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线即为外接球的直径，求出半径代入球的表面积公式即可得解.
【详解】
三棱锥 的三条侧棱 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设 ，则 ，解得 ，
则长方体的对角线的长为 ，
所以球的直径为 ，半径长为 ，球的表面积为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查几何体的外接球面积问题，对于正四面体，可以放置在正方体中解决，利用正方体的性质以简化计算，拓展：对棱相等的四面体可以放置在长方体中求解，利用长方体的有关性质可以简化计算.
9．已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由球的表面积公式得出其表面积，再由圆锥的展开图求出圆锥的表面积，即可得出答案.
【详解】
设球的半径为 ，则球的表面积为
圆锥的底面圆的周长为 ，母线长为
则圆锥的表面积为
即圆锥与球的表面积之比为
故选：C
8．已知菱形 的边长为 ， ，将 沿 折起，使A，C两点的距离为 ，则所得三棱锥 的外接球的表面积为（）
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离.
(3)f(x)的最大值.
【答案】(1) f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2) SR= = (0≤x≤4)，(3) f(4)=32.
【解析】试题分析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度L就是⊙O的周长，
专题10人教A版第一章空间几何体知识点与综合提升题——题寒假10（解析版）
一.空间几何体的三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度
【详解】
底面 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱 可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为： ，
所以球O的表面积为 ，
故选：C．.
11．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（）
A．该四面体外接球的体积为
B．该四面体内切球的体积为
C．该四面体外接球的表面积为
D．该四面体内切球的表面积为
【答案】D
【分析】
根据几何体的特征逐个分析，即可得解.
【详解】
对①，上底是梯形，下底平行四边形，上下底部不相似，故不是棱台；
对②，上下底面不平行，故不是圆台，
对③，是三棱锥，是多面体，
对④，侧棱平行，有一组对面全等且平行，满足棱柱特征，是棱柱.
故选：D.
【点睛】
本题考查了空间几何体的特征，考查了多面体以及棱柱、棱台、圆台的概念，属于基础题.
二、填空题
13．已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_____；
【答案】
【分析】
根据长方体的结构特征，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】
因为长方体的长、宽、高分别为3、4、12，
所以，其体对角线长为 .
故答案为： .
14．已知正方体外接球的体积是 ，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．
所以外接球的表面积为 ，所以选项C错误；
由题得 ，
所以△ 的高为 ，
设内切球的半径为 ，则
所以 ，
所以内切球的体积为 ，所以选项B错误；
所以内切球的表面积为 ，所以选项D正确 .
故选：D
【点睛】
方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.
模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径 就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先判定所得三棱锥为正四面体，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，利用正方体的性质求得正方体的边长，进而得到对角线长，由此得到正方体的外接球也就是正四面体的外接球的直径，最后利用球的表面积公式计算得到结果.
【详解】
由已知得 为等边三角形， 对角线 ,
故选：A
【点睛】
已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，即可将三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球是解题的关键.
10．三棱柱 中，棱 两两垂直， ，底面 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）
A．8B． C． D．
【答案】C
【分析】
三棱柱底面是等腰直角三角形，把它补成一个正方体，正方体的外接球就是三棱柱的外接球，而正方体的对角线是球的直径，由此可得球半径，从而计算出表面积．
由 ，得 ；由 ，得 ，所以 .
故答案为：1.
三、解答题
17．某长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，求该长方体的体积与其外接球的体积之比.
【答案】
【分析】
根据题中条件，先求出长方体的体积，再由长方体的体对角线等于其外接球的直径，求出外接球半径，得到外接球体积，即可求出体积之比.
【详解】
因为长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，
【详解】
∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，
∴该四棱锥的体积 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查棱锥的体积的求法，属于基础题.
5．下面的几何体中是棱柱的有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】
根据棱柱的定义进行判断即可．
【详解】
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，
三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
二.空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系 （尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系 ，使 =450（或1350）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
设正四面体的棱长为 ，则正四面体的高为 ，
设正四面体外接球半径为 ，则 ，解得 ，
所以 打印的体积为： ，
又 ，
所以 ，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．
【分析】
先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解.
【详解】
由三视图得几何体为下图中的三棱锥 ， 平面 , , , ,由题得 .
设外接球的球心为 外接球的半径为 ，则 平面 ,连接 ,取 中点 ,连接 .
由题得 ,所以 ,
所以外接球的体积为 ，所以选项A错误；
观察图形满足棱柱概念的几何体有：①②③④⑤，共五个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查棱柱的概念，属于简单题.
6．一个几何体的三视图如图所示，其主视图和左视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）
A．6πB．12πC．18πD．24π
【答案】B
【分析】
该几何体的直观图是圆台，上底面是一个直径为2的圆，下底面是一个直径为4的圆，母线长是4，利用圆台的侧面积公式即得解．
（参考数据） ， ， ， ．
A．101gB．182gC．519gD．731g
【答案】B
【分析】
由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.
【详解】
由题意可知，几何体 是棱长为 的正四面体，
所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，
【详解】
由三视图可知，正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，该几何体的直观图是圆台，上底面是一个直径为2的圆，下底面是一个直径为4的圆，母线长是4，
其圆台的侧面积是： .
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三视图还原几何体，考查圆台的侧面积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（）
将 沿 折起，使A，C两点的距离为 ， 折起后三棱锥 为正四面体，各棱长都是 ，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为 ,则正方体的面对角线为 ，所以正方体的体对角线为 ,其中 为正方体的外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，∴正四面体ABCD的外接球表面积为 ,
【答案】D
【分析】
分析几何体的结构，可得出合适的选项.
【详解】
由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱.
故选：D.
【点睛】
本题考查几何体的识别，属于基础题.
4．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】
利用正四棱锥的体积公式直接求解.
直观图与原图形的面积关系：
三.空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积； ⑵圆锥侧面积：
⑶圆台侧面积：
球的表面积和体积 .
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
一、单选题
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）
A．①是棱台B．②是圆台C．③不是多面体D．④是棱柱
【详解】
由题意得圆锥的底面半径为 ，圆锥的高为 ，
所以母线长 ，
所以侧面积为 .
故答案为：
16．已知球 的表面积为 ，点 ， ， 在球 的球面上，且 ， ，则球心 到平面 的距离为________．
【答案】1
【分析】
分别求出球的半径、球心距、 外接圆的半径利用勾股定理可得答案.
【详解】
设球 的半径为 ， 的外接圆半径为 ，球心 到平面 的距离为 ．
所以其体积为 ；
其外接球直径为 ，故 ；
所以其外接球体积为 ，
因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为 .
【点睛】
本题主要考查棱柱的体积及其外接球的体积，熟记体积公式即可，属于常考题型.
18．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．求：
【答案】
【分析】
由正方体的对角线是外接球直径，正方体的棱长等于内切球直径可求解．
【详解】
设正ห้องสมุดไป่ตู้体棱长为 ，则 ，解得 ，
∴内切球半径为 ，表面积为 ．
故答案为： ．
15．已知一个等腰直角三角形的直角边长为 ，以它的一条直角边所在直线为轴旋转所生成的旋转体的侧面积为______.
【答案】
【分析】
求出圆锥的底面半径和母线长根据圆锥的侧面积公式可得答案.
解三角形法就是找到球心 和截面圆的圆心 ，找到 、球的半径 、截面圆的半径 确定的 ,再解 求出球的半径 .
12．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（）
∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝ ×360°＝ ×360°＝90°，
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝ (0≤x≤4)，
∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
2．如图， 是水平放置的 的直观图，则 的面积为（）
A．6B．32C．12D．62
【答案】C
【分析】
结合斜二测法的画法原理求出 ， ，再结合面积公式求解即可.
【详解】
由斜二测画法特点得 ，
为直角三角形，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查由直观图求平面图的面积，属于容易题.
3．如图所示的几何体是（）
A．圆锥B．棱锥C．圆台D．棱柱
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意将三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线即为外接球的直径，求出半径代入球的表面积公式即可得解.
【详解】
三棱锥 的三条侧棱 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设 ，则 ，解得 ，
则长方体的对角线的长为 ，
所以球的直径为 ，半径长为 ，球的表面积为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查几何体的外接球面积问题，对于正四面体，可以放置在正方体中解决，利用正方体的性质以简化计算，拓展：对棱相等的四面体可以放置在长方体中求解，利用长方体的有关性质可以简化计算.
9．已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由球的表面积公式得出其表面积，再由圆锥的展开图求出圆锥的表面积，即可得出答案.
【详解】
设球的半径为 ，则球的表面积为
圆锥的底面圆的周长为 ，母线长为
则圆锥的表面积为
即圆锥与球的表面积之比为
故选：C
8．已知菱形 的边长为 ， ，将 沿 折起，使A，C两点的距离为 ，则所得三棱锥 的外接球的表面积为（）
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离.
(3)f(x)的最大值.
【答案】(1) f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2) SR= = (0≤x≤4)，(3) f(4)=32.
【解析】试题分析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度L就是⊙O的周长，
专题10人教A版第一章空间几何体知识点与综合提升题——题寒假10（解析版）
一.空间几何体的三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度
【详解】
底面 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱 可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为： ，
所以球O的表面积为 ，
故选：C．.
11．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（）
A．该四面体外接球的体积为
B．该四面体内切球的体积为
C．该四面体外接球的表面积为
D．该四面体内切球的表面积为
【答案】D
【分析】
根据几何体的特征逐个分析，即可得解.
【详解】
对①，上底是梯形，下底平行四边形，上下底部不相似，故不是棱台；
对②，上下底面不平行，故不是圆台，
对③，是三棱锥，是多面体，
对④，侧棱平行，有一组对面全等且平行，满足棱柱特征，是棱柱.
故选：D.
【点睛】
本题考查了空间几何体的特征，考查了多面体以及棱柱、棱台、圆台的概念，属于基础题.
二、填空题
13．已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_____；
【答案】
【分析】
根据长方体的结构特征，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】
因为长方体的长、宽、高分别为3、4、12，
所以，其体对角线长为 .
故答案为： .
14．已知正方体外接球的体积是 ，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．
所以外接球的表面积为 ，所以选项C错误；
由题得 ，
所以△ 的高为 ，
设内切球的半径为 ，则
所以 ，
所以内切球的体积为 ，所以选项B错误；
所以内切球的表面积为 ，所以选项D正确 .
故选：D
【点睛】
方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.
模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径 就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先判定所得三棱锥为正四面体，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，利用正方体的性质求得正方体的边长，进而得到对角线长，由此得到正方体的外接球也就是正四面体的外接球的直径，最后利用球的表面积公式计算得到结果.
【详解】
由已知得 为等边三角形， 对角线 ,
故选：A
【点睛】
已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，即可将三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球是解题的关键.
10．三棱柱 中，棱 两两垂直， ，底面 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）
A．8B． C． D．
【答案】C
【分析】
三棱柱底面是等腰直角三角形，把它补成一个正方体，正方体的外接球就是三棱柱的外接球，而正方体的对角线是球的直径，由此可得球半径，从而计算出表面积．
由 ，得 ；由 ，得 ，所以 .
故答案为：1.
三、解答题
17．某长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，求该长方体的体积与其外接球的体积之比.
【答案】
【分析】
根据题中条件，先求出长方体的体积，再由长方体的体对角线等于其外接球的直径，求出外接球半径，得到外接球体积，即可求出体积之比.
【详解】
因为长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，
【详解】
∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，
∴该四棱锥的体积 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查棱锥的体积的求法，属于基础题.
5．下面的几何体中是棱柱的有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】
根据棱柱的定义进行判断即可．
【详解】
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，
三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
二.空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系 （尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系 ，使 =450（或1350）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
设正四面体的棱长为 ，则正四面体的高为 ，
设正四面体外接球半径为 ，则 ，解得 ，
所以 打印的体积为： ，
又 ，
所以 ，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．