2020年湖北省荆州市中考数学试卷(含解析)印刷版

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2020年湖北省荆州市中考数学试卷附详细答案解析

2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数中最大的数是（）A．3 B．0 C． D．﹣42．（3分）中国企业2016年已经在“一带一路”沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了180 000个就业岗位．将180 000用科学记数法表示应为（）A．18×104B．1.8×105C．1.8×106D．18×1053．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A．40°B．45°C．50°D．10°4．（3分）为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：户外活动的时间（小 1 2 3 6时）学生人数（人） 2 2 4 2则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、35．（3分）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C． D．6．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l 交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°7．（3分）为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（）A．140元B．150元C．160元D．200元8．（3分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣6=（10﹣x）2B．x2﹣62=（10﹣x）2C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）29．（3分）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（）A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 10．（3分）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．上述结论中正确的有（）A．①②B．③④C．②③D．②④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）化简（π﹣3.14）0+|1﹣2|﹣+（）﹣1的结果是．12．（3分）若单项式﹣5x4y2m+n与2020x m﹣n y2是同类项，则m﹣7n的算术平方根是．13．（3分）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为．14．（3分）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个点．15．（3分）将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为．16．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是．17．（3分）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC 绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，则BN的长为．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（10分）（1）解方程组：（2）先化简，再求值：﹣÷，其中x=2．20．（8分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．21．（8分）某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为人；（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．22．（8分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB ⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．24．（10分）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．25．（12分）如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•荆州）下列实数中最大的数是（）A．3 B．0 C． D．﹣4【分析】将各数按照从大到小顺序排列，找出最大数即可．【解答】解：各数排列得：3＞＞0＞﹣4，则实数找最大的数是3，故选A【点评】此题考查了实数大小比较，正确排列出大小顺序是解本题的关键．2．（3分）（2020•荆州）中国企业2016年已经在“一带一路”沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了180 000个就业岗位．将180 000用科学记数法表示应为（）A．18×104B．1.8×105C．1.8×106D．18×105【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：180000=1.8×105．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a ×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．（3分）（2020•荆州）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A．40°B．45°C．50°D．10°【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．【解答】解：由图可得，∠CDE=40°，∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°﹣50°=10°，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．4．（3分）（2020•荆州）为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：1 2 3 6户外活动的时间（小时）学生人数（人） 2 2 4 2则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、3【分析】根据中位数、平均数和众数的概念求解即可．【解答】解：∵共10人，∴中位数为第5和第6人的平均数，∴中位数=（3+3）÷3=5；平均数=（1×2+2×2+3×4+6×2）÷10=3；众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为3；故选A．【点评】本题考查平均数、中位数和众数的概念．一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（3分）（2020•荆州）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C． D．【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．6．（3分）（2020•荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB 的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．7．（3分）（2020•荆州）为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（）A．140元B．150元C．160元D．200元【分析】此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．【解答】解：设小慧同学此次购书的总价值是人民币是x元，则有：20+0.8x=x﹣10解得：x=150即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元．故选：B．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．8．（3分）（2020•荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣6=（10﹣x）2B．x2﹣62=（10﹣x）2C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）2【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．9．（3分）（2020•荆州）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（）A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，故该几何体的体积为：π×102×8+30×20×5=800π+3000，故选：D．【点评】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键．（3分）（2020•荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 10．（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．上述结论中正确的有（）A．①②B．③④C．②③D．②④【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得（x﹣4）（x+2）=0，解得x1=4，x2=﹣2，∵x1≠2x2，或x2≠2x1，∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．故①错误；②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，∴设x2=2x1，∴x1•x2=2x12=2，∴x1=±1，当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，∴x1+x2=﹣a=±3，∴a=±3，故②正确；③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上，∴mn=4，解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2020•荆州）化简（π﹣3.14）0+|1﹣2|﹣+（）﹣1的结果是 2 ．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+2﹣1﹣2+2=2，故答案为：2【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3分）（2020•荆州）若单项式﹣5x4y2m+n与2020x m﹣n y2是同类项，则m﹣7n的算术平方根是 4 ．【分析】根据同类项定义可以得到关于m、n的二元一次方程，即可求得m、n的值即可解题．【解答】解：∵单项式﹣5x4y2m+n与2020x m﹣n y2是同类项，∴4=m﹣n，2m+n=2，解得：m=2，n=﹣2，∴m﹣7n=16，∴m﹣7n的算术平方根==4，故答案为 4．【点评】本题考查了同类项的定义，考查了二元一次方程的求解，考查了算术平方根的定义，本题中求得m、n的值是解题的关键．13．（3分）（2020•荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为k＜3且k≠1 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，解得：x=，由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，解得：k＜3且k≠1，故答案为：k＜3且k≠1【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（3分）（2020•荆州）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有135 个点．【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可．【解答】解：第一个图形有3=3×1=3个点，第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点；第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；…第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点；当n=9时，=135个点，故答案为：135．【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后求解．15．（3分）（2020•荆州）将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为 4 ．【分析】先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式，再把点A（﹣1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入，即可求出b的值．【解答】解：将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，得直线y=x+b﹣3．∵点A（﹣1，2）关于y轴的对称点是（1，2），∴把点（1，2）代入y=x+b﹣3，得1+b﹣3=2，解得b=4．故答案为4．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，关于y轴对称的点坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练记忆函数平移规律是解题关键．16．（3分）（2020•荆州）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是60°或120°．【分析】连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°，∠A D′C=120°，据此可得出结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴AB=OA=OB=BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．故答案为：60°或120°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．17．（3分）（2020•荆州）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．【分析】以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于O，连接AE，BF交于O′，过O，O′作直线OO′于是得到结论．【解答】解：如图所示，直线OO′即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键．18．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，则BN的长为 3 ．【分析】利用矩形的面积公式得到AB•BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到an∠DOE==，所以DE•2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2，则M（﹣2，4），易得反比例函数解析式为y=﹣，然后确定N点坐标，最后计算BN的长．【解答】解：∵S矩形OABC=32，∴AB•BC=32，∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，∴AB=DE，OD=OA，在Rt△ODE中，tan∠DOE==，即OD=2DE，∴DE•2DE=32，解得DE=4，∴AB=4，OA=8，在Rt△OCM中，∵tan∠COM==，而OC=AB=4，∴MC=2，∴M（﹣2，4），把M（﹣2，4）代入y=得k=﹣2×4=﹣8，∴反比例函数解析式为y=﹣，当x=﹣8时，y=﹣=1，则N（﹣8，1），∴BN=4﹣1=3．故答案为3．【点评】本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（10分）（2020•荆州）（1）解方程组：（2）先化简，再求值：﹣÷，其中x=2．【分析】（1）根据代入消元法可以解答此方程；（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）将①代入②，得3x+2（2x﹣3）=8，解得，x=2，将x=2代入①，得y=1，故原方程组的解是；（2）﹣÷===，当x=2时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值、解二元一次方程，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（8分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．【点评】此题主要考查了平移的性质、矩形的性质、全等三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21．（8分）（2020•荆州）某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为56 人；（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．【分析】（1）根据A等学生人数除以它所占的百分比求得总人数，然后乘以B等所占的百分比求得B等人数，从而补全条形图；（2）用该年级学生总数乘以足球测试成绩为D等的人数所占百分比即可求解；（3）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）总人数为14÷28%=50人，B等人数为50×40%=20人．条形图补充如下：（2）该年级足球测试成绩为D等的人数为700×=56（人）．故答案为56；（3）画树状图：共有12种等可能的结果数，其中选取的两个班恰好是甲、乙两个班的情况占2种，所以恰好选到甲、乙两个班的概率是=．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．22．（8分）（2020•荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）【分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4•tan37°可得答案．【解答】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠DCF=i==，∴∠DCF=30°，∵CD=4，∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，∴BF=BC+CF=2+2=4，过点E作EG⊥AB于点G，则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=37°，∴AG=GEtan∠AEG=4•tan37°，则AB=AG+BG=4•tan37°+3.5=3+3.5，故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．23．（10分）（2020•荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；（2）由于二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．【解答】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1•x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1•x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．24．（10分）（2020•荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当t=30时，w最大=2450；②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴当t=41时，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450，。

2020年湖北省荆州市中考数学试卷【含答案;word版本试题;可编辑】

2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1. 有理数−2的相反数是（）A.2B.12C.−2 D.−122. 下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A. B. C. D.3. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A. B.C. D.4. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30∘，则∠ACB的度数是（）A.45∘B.55∘C.65∘D.75∘5. 八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则可列方程为（）A.102x−10x=20 B.10x−102x=20 C.10x−102x=13D.102x−10x=136. 若x为实数，在“(√3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A.√3+1B.√3−1C.2√3D.1−√37. 如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≅△CDF的是（）A.①B.②C.③D.④8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30∘．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A.(√3, √3)B.(√3, 1)C.(2, 1)D.(2, √3)9. 定义新运算“a∗b”：对于任意实数a，b，都有a∗b＝(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4∗3＝(4+3)(4−3)−1＝7−1＝6．若x∗k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根10. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A.√55B.2√55C.12D.√32二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 若a＝(π−2020)0，b＝−(12)−1，c＝|−3|，则a，b，c的大小关系为________．（用“<”号连接）12. 若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则√2m+n的值为________．13. 已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：________．（只需写一条）14. 若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是________．15. “健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90∘，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC=34，∠DEB＝45∘，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了24 km．16. 我们约定：(a, b, c)为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为(m, −m−2, 2)的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为________．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17. 先化简，再求值：(1−1a)÷a2−1a+2a+1，其中a是不等式组{a−2≥2−a2a−1<a+3的最小整数解．。

2020年湖北省荆州市中考数学试卷

2020年湖北省荆州市中考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.有理数-2的相反数是（）A. 2B.C. -2D. -2.下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象是（）A. B.C. D.4.将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB=30°，则∠ACB的度数是（）A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°5.八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A. -=20B. -=20C. -=D. -=6.若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A. +1B. -1C. 2D. 1-7.如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE=CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE=DF；④∠BCE=∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC=1，则点A的坐标为（）A. （，）B. （，1）C. （2，1）D. （2，）9.定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b=（a+b）（a-b）-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3=（4+3）（4-3）-1=7-1=6．若x*k=x （k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根10.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若a=（π-2020）0，b=-（）-1，c=|-3|，则a，b，c的大小关系为______．（用“＜”号连接）12.若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为______．13.已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：______．（只需写一条）14.若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是______．15.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C=90°，AB 与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC=，∠DEB=45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了______km．16.我们约定：（a，b，c）为函数y=ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，-m-2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.先化简，再求值：（1-）÷，其中a是不等式组的最小整数解．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4-5=0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2原方程可化为：t2+4t-5=0【续解】19.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20.6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数80859095100人数年级七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=______；x…-3-2-1-123…y…12442m…描点：根据表中各组对应值（，），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①______；②______；（3）①观察发现：如图2．若直线y=2交函数y=的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC=______；②探究思考：将①中“直线y=2”改为“直线y=a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC=______；③类比猜想：若直线y=a（a＞0）交函数y=（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC=______．22.如图，在矩形ABCD中，AB=20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH=2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23.为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费/目的地A B生产厂甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y 与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24.如图1，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（3，-1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ=S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：有理数-2的相反数是：2．故选：A．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3.【答案】C【解析】解：一次函数y=x+1中，令x=0，则y=1；令y=0，则x=-1，∴一次函数y=x+1的图象经过点（0，1）和（-1，0），∴一次函数y=x+1的图象经过一二三象限，故选：C．依据一次函数y=x+1的图象经过点（0，1）和（-1，0），即可得到一次函数y=x+1的图象经过一二三象限．本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4.【答案】D【解析】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED∥FA，∠EBC=∠CBA，∴∠EBC=∠ACB，∠CAB=∠DBA=30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD=180°，∴∠ACB+∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=75°，故选：D．根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：-=．故选：C．设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间=路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：A．（+1）-（+1）=0，故本选项不合题意；B．（+1）=2，故本选项不合题意；C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（+1）（1-）=-2，故本选项不合题意．故选：C．根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．（a+b）（a-b）=a2-b2．7.【答案】C【解析】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC=CD，AB∥CD，∴∠B=∠DCF，①∵添加BE=CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB=∠F=90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE=DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE=∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD=30°，∴AD=OA，∵C为OA的中点，∴AD=AC=OC=BC=1，∴OA=2，∴OD=，则点A的坐标为：（，1）．故选：B．根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．9.【答案】C【解析】解：∵x*k=x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x-k）-1=x，整理得x2-x-k2-1=0，∵△=（-1）2-4（-k2-1）=4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．利用新定义得到（x+k）（x-k）-1=x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10.【答案】B【解析】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD==2，在Rt△BDC中，cos∠BDC===，由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，∴cos∠BAC=cos∠BDC=，故选：B．作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．11.【答案】b＜a＜c【解析】解：∵a=（π-2020）0=1，b=-（）-1=-2，c=|-3|=3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．12.【答案】2【解析】解：根据题意得：m=1，m+n=3，解得n=2，所以2m+n=2+2=4，==2．故答案是：2．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13.【答案】线段的垂直平分线的性质【解析】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA=OC=OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．14.【答案】【解析】解：画树状图如图：共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为；故答案为：．画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．15.【答案】24【解析】解：过D点作DF⊥BC，设EF=xkm，则DF=xkm，BF=xkm，在Rt△BFD中，BD==xkm，∵D地在AB正中位置，∴AB=2BD=xkm，∵tan∠ABC=，∴cos∠ABC=，∴=，解得x=3，则BC=8km，AC=6km，AB=10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6=24（km）．故答案为：24．过D点作DF⊥BC，设EF=xkm，则DF=xkm，BF=xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC=8km，AC=6km，AB=10km，从而求解．此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16.【答案】（1，0）、（2，0）或（0，2）【解析】解：根据题意，令y=0，将关联数（m，-m-2，2）代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+（-m-2）x+2=0，△=（-m-2）2-4×2m=（m-2）2＞0，∴mx2+（-m-2）x+2=0有两个根，由求根公式可得x=x=x1==1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2==，当m=1或2时符合题意；x2=2或1；x3==，当m=1或2时符合题意；x3=2或1；x4==1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．根据题意令y=0，将关联数（m，-m-2，2）代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+（-m-2）x+2=0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．17.【答案】解：原式=•=．解不等式组中的①，得a≥2．解不等式②，得a＜4．则2≤a＜4．所以a的最小整数值是2，所以，原式==．【解析】先化简分式，然后将a的整数解代入求值．本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．18.【答案】解：（t+5）（t-1）=0，t+5=0或t-1=0，∴t1=-5，t2=1，当t=-5时，=-5，此方程无解；当t=1时，=1，则x2+2x=1，配方得（x+1）2=2，解得x1=-1+，x2=-1-；经检验，原方程的解为x1=-1+，x2=-1-．【解析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再分别解方程=-5和方程=1，然后进行检验确定原方程的解．本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．19.【答案】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE=60°，∴AB=DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠CBE=∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=+=．【解析】（1）只要证明∠CBE=∠DAB=60°即可，（2）由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，利用弧长公式计算即可．本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a=2；七年级的中位数为，故b=90；八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90，故c=90；八年级中90分的最多，故d=90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×=390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．【解析】（1）根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；（2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．21.【答案】1 函数的图象关于y轴对称当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小 4 4 2k【解析】解：（1）当x＜0时，xy=-2，而当x＞0时，xy=2，∴m=1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC=4S△OAM=4×|k|=2|k|=4，②同①可知：S四边形OABC=2|k|=4，③S四边形OABC=2|k|=2k，故答案为：4，4，2k．（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy=-2，而当x＞0时，xy=2，求出m的值；补全图象；（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，由折叠对称知：∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，∴∠GHF=∠C=90°，∠EGC+∠HGF=90°，∠GFH+∠HGF=90°，∴∠EGC=∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH=2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH=2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG=AB=GH+AH=20，∴GH=8，AH=12，∴AD=AH=12．（3）解：在Rt△ADG中，DG===16，由折叠的对称性可设DF=FH=x，则GF=16-x，∵GH2+HF2=GF2，∴82+x2=（16-x）2，解得：x=6，∴HF=6，在Rt△GFH中，tan∠GFH=．【解析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论；（2）由面积关系可得出GH：AH=2：3，由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，则可得出答案；（3）由勾股定理求出DG=16，设DF=FH=x，则GF=16-x，由勾股定理得出方程82+x2=（16-x）2，解出x=6，由锐角三角函数的定义可得出答案．本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23.【答案】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：，解得，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y=20（240-x）+25[260-（300-x）]+15x+24（300-x）=-4x+11000，∵，解得：40≤x≤240，又∵-4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y=-4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y=-4x+11000-500m，当x=240时，y最小=-4×240+11000-500m=10040-500m，∴10040-500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．【解析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；（3）根据题意以及（2）的结论可得y=-4x+11000-500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．24.【答案】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，∵A（-2，-1），B（3，-1），∴AB∥x轴，且AM=2，OM=1，AB=5，∴OA=OC=，∵DE∥BC，O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AE=AB，BC=2OE，∴E（，-1），∴EM=，∴OE===，∴BC=2OE=，在△ABC中，∵=25，AB2=52=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵AC为半圆O的直径，∴BC是半圆O的切线；（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC=OD=OA=，∵OD∥BC，∴四边形OBCD是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD=OA=，E是AB的中点，且E（，-1），OE=，过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，∴△ODN∽△OEM，∴，即，∴ON=2，DN=1，∴N（-1，2），设此抛物线的解析式为：y=a（x-）2-1，把N（-1，2）代入得：2=a（-1-）2-1，解得：a=，∴此抛物线的解析式为：y=（x-）2-1，即y=；②存在，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，∵DG=1+=，EG=2+1=3，∴DE===，tan∠DEG==，∵tan∠OAM=，且∠DEG和∠OAM都是锐角，∴∠DEG=∠OAM，如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，∴EP=，∵S△AOB==，∵S△EPQ=S△OAB，∴=，即，解得：x=或-；如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，∴EP=，同理得：，解得：x=或-；综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或-或或-．【解析】（1）如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC=2OE，E（，-1），利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，可得结论；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形OBCD是平行四边形；（3）①作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得D的坐标，利用顶点E的坐标设抛物线的解析式为：y=a（x-）2-1，把点D的坐标代入可得结论；②以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，存在两种情况，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，根据S△EPQ=S△OAB，列方程可得x的值．本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质、锐角三角函数，3勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2020湖北荆州中考数学试卷

2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（）A ．2B ．C ．﹣2D ．12-122．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +1的图象是（）A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB ＝30°，则∠ACB 的度数是（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm /h ，则可列方程为（）A ．20B ．20102x ‒10x=10x ‒102x=C ．D ．10x ‒102x =13102x ‒10x =136．（3分）（2020•荆州）若x 为实数，在“（1）□x ”的“□”中添上一种运算符号3+（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是（）A ．1B ．1C ．2D ．13+3‒3-37．（3分）（2020•荆州）如图，点E 在菱形ABCD 的AB 边上，点F 在BC 边的延长线上，连接CE ，DF ，对于下列条件：①BE ＝CF ；②CE ⊥AB ，DF ⊥BC ；③CE ＝DF ；④∠BCE ＝∠CDF ．只选取其中一条添加，不能确定△BCE ≌△CDF 的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30°．C 为OA 的中点，BC ＝1，则点A 的坐标为（）A ．（，）B ．（，1）C ．（2，1）D ．（2，）33339．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝（a +b ）（a ﹣b ）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则cos ∠BAC 的值为（）A ．B ．C ．D ．552551232二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2020•荆州）若a ＝（π﹣2020）0，b ＝﹣（）﹣1，c ＝|﹣3|，则a ，b ，c 的大12小关系为．（用“＜”号连接）12．（3分）（2020•荆州）若单项式2x m y 3与3xy m +n 是同类项，则的值为．2m +n 13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC ，求作：△ABC 的外接圆．作法：①分别作线段BC ，AC 的垂直平分线EF 和MN ，它们相交于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）14．（3分）（2020•荆州）若标有A ，B ，C 的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B 前需先摘C ），直到摘完，则最后一只摘到B 的概率是．15．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1km ．若tan ∠ABC ，∠DEB ＝45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，=34则他跑了 km ．16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a ，b ，c ）为函数y ＝ax 2+bx +c 的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m ，﹣m ﹣2，2）的函数图象与x 轴有两个整交点（m 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1），其中a 是不等式组-1a ÷a 2‒1a 2+2a +1的最小整数解．{a -2≥2-a ①2a ‒1＜a +3②18．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．【问题】解方程：x 2+2x +45＝0．x 2+2x ‒【提示】可以用“换元法”解方程．解：设t （t ≥0），则有x 2+2x ＝t 2x 2+2x =原方程可化为：t 2+4t ﹣5＝0【续解】19．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：BC ∥AD ；（2）若AB ＝4，BC ＝1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．20．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数人数年级80859095100七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b 9039八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a ，b ，c ，d 的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y 的图象与性质共探究过程如下：=2|x |（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m ＝；x …﹣3﹣2﹣1 -12 12123…y…2312442m23…描点：根据表中各组对应值（x ，y ），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；① ；② ；（3）①观察发现：如图2．若直线y ＝2交函数y 的图象于A ，B 两点，连接OA ，=2|x |过点B 作BC ∥OA 交x 轴于C ．则S 四边形OABC ＝；②探究思考：将①中“直线y ＝2”改为“直线y ＝a （a ＞0）”，其他条件不变，则S 四边形OABC ＝　　；③类比猜想：若直线y ＝a （a ＞0）交函数y （k ＞0）的图象于A ，B 两点，连接=k|x |OA ，过点B 作BC ∥OA 交x 轴于C ，则S 四边形OABC ＝．22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝20，点E 是BC 边上的一点，将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处；点F 在DG 上，将△ADF 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H 处，此时S △GFH ：S △AFH ＝2：3，（1）求证：△EGC ∽△GFH ；（2）求AD 的长；（3）求tan ∠GFH 的值．23．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A 地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地生产厂AB甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A 地x 吨，全部运往A ，B 两地的总运费为y 元．求y 与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m 元（0＜m ≤15且m 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m 的最小值．24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），以O 为圆心，OA 的长为半径的半圆O 交AO 延长线于C ，连接AB ，BC ，过O 作ED ∥BC 分别交AB 和半圆O 于E ，D ，连接OB ，CD ．（1）求证：BC 是半圆O 的切线；（2）试判断四边形OBCD 的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D 且顶点为E ．①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线对称轴上的一个动点，以E ，D ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，问抛物线上是否存在一点Q ．使S △EPQ ＝S △OAB ？若存在，请直接写出Q 点的横坐标；若不存在，说明理由．2020年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（）A ．2B ．C ．﹣2D ．12-12【解答】解：有理数﹣2的相反数是：2．故选：A ．2．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：选项A 的俯视图是三角形，选项B 、C 、D 的俯视图均为圆．故选：A ．3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +1的图象是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：一次函数y ＝x +1中，令x ＝0，则y ＝1；令y ＝0，则x ＝﹣1，∴一次函数y ＝x +1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），∴一次函数y ＝x +1的图象经过一二三象限，故选：C ．4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB ＝30°，则∠ACB 的度数是（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°【解答】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED ∥FA ，∠EBC ＝∠CBA ，∴∠EBC ＝∠ACB ，∠CAB ＝∠DBA ＝30°，∵∠EBC +∠CBA +∠ABD ＝180°，∴∠ACB +∠ACB +30°＝180°，∴∠ACB ＝75°，故选：D ．5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm /h ，则可列方程为（）A ．20B ．20102x ‒10x=10x ‒102x =C ．D ．10x ‒102x =13102x ‒10x =13【解答】解：设骑车学生的速度为xkm /h ，则乘车学生的速度为2xkm /h ，依题意，得：．10x ‒102x =13故选：C ．6．（3分）（2020•荆州）若x 为实数，在“（1）□x ”的“□”中添上一种运算符号3+（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是（）A ．1B ．1C ．2D ．13+3‒3-33+3+【解答】解：A．（1）﹣（1）＝0，故本选项不合题意；3+(3‒1)=B．（1）2，故本选项不合题意；3+23C．（1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；3+-3D．（1）（1）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：C．7．（3分）（2020•荆州）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠DCF，①∵添加BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB＝∠F＝90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE＝DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A ．（，）B ．（，1）C ．（2，1）D ．（2，）3333【解答】解：如图，∵Rt △OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD ＝30°，∴AD OA ，=12∵C 为OA 的中点，∴AD ＝AC ＝OC ＝BC ＝1，∴OA ＝2，∴OD ，=3则点A 的坐标为：（，1）．3故选：B ．9．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝（a +b ）（a ﹣b ）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【解答】解：∵x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程，∴（x +k ）（x ﹣k ）﹣1＝x ，整理得x 2﹣x ﹣k 2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k 2﹣1）＝4k 2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C ．10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则cos ∠BAC 的值为（）A ．B ．C ．D ．552551232【解答】解：如图，作直径BD ，连接CD ，由勾股定理得，BD 2，=22+42=5在Rt △BDC 中，cos ∠BDC ，=CD BD =425=255由圆周角定理得，∠BAC ＝∠BDC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠BDC ，=255故选：B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2020•荆州）若a ＝（π﹣2020）0，b ＝﹣（）﹣1，c ＝|﹣3|，则a ，b ，c 的大12小关系为　b ＜a ＜c ．（用“＜”号连接）【解答】解：∵a ＝（π﹣2020）0＝1，b ＝﹣（）﹣1＝﹣2，c ＝|﹣3|＝3，12∴b ＜a ＜c ．故答案为：b ＜a ＜c ．12．（3分）（2020•荆州）若单项式2x m y 3与3xy m +n 是同类项，则的值为　2　．2m +n 【解答】解：根据题意得：m ＝1，m +n ＝3，解得n ＝2，所以2m +n ＝2+2＝4，2．2m +n =4=故答案是：2．13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC ，求作：△ABC 的外接圆．作法：①分别作线段BC ，AC 的垂直平分线EF 和MN ，它们相交于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：　线段的垂直平分线的性质　．（只需写一条）【解答】解：∵点O 为AC 和BC 的垂直平分线的交点，∴OA ＝OC ＝OB ，∴⊙O 为△ABC 的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．14．（3分）（2020•荆州）若标有A ，B ，C 的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B 前需先摘C ），直到摘完，则最后一只摘到B 的概率是．23【解答】解：画树状图如图：共有3个可能的结果，最后一只摘到B 的结果有2个，∴最后一只摘到B 的概率为；23故答案为：．2315．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1km ．若tan ∠ABC ，∠DEB ＝45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，=34则他跑了　24　km ．【解答】解：过D 点作DF ⊥BC ，设EF ＝xkm ，则DF ＝xkm ，BF xkm ，=43在Rt △BFD 中，BD xkm ，=BF 2+DF 2=53∵D 地在AB 正中位置，∴AB ＝2BD xkm ，=103∵tan ∠ABC ，=34∴cos ∠ABC ，=45∴，x +43x +1103x =45解得x ＝3，则BC ＝8km ，AC ＝6km ，AB ＝10km ，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km ）．故答案为：24．16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a ，b ，c ）为函数y ＝ax 2+bx +c 的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m ，﹣m ﹣2，2）的函数图象与x 轴有两个整交点（m 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　（1，0）、（2，0）或（0，2）　．【解答】解：根据题意，令y ＝0，将关联数（m ，﹣m ﹣2，2）代入函数y ＝ax 2+bx +c ，则有mx 2+（﹣m ﹣2）x +2＝0，△＝（﹣m ﹣2）2﹣4×2m ＝（m ﹣2）2＞0，∴mx 2+（﹣m ﹣2）x +2＝0有两个根，由求根公式可得x =m +2±(‒m ‒2)2‒8m2mx =m +2±|m ‒2|2mx 11，此时m 为不等于0的任意数，不合题意；=m +2+(m ‒2)2m=x 2，当m ＝1或2时符合题意；x 2＝2或1；=m +2+2‒m 2m =42m x 3，当m ＝1或2时符合题意；x 3＝2或1；=m +2‒m +22m =42mx 41，此时m 为不等于0的任意数，不合题意；=m +2‒2+m2m=所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x ＝0，可得y ＝c ＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1），其中a 是不等式组-1a ÷a 2‒1a 2+2a +1的最小整数解．{a -2≥2-a ①2a ‒1＜a +3②【解答】解：原式•=a ‒1a (a +1)2(a +1)(a ‒1)．=a +1a解不等式组中的①，得a ≥2．{a -2≥2-a ①2a ‒1＜a +3②解不等式②，得a ＜4．则2≤a ＜4．所以a 的最小整数值是2，所以，原式．=2+12=3218．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．【问题】解方程：x 2+2x +45＝0．x 2+2x ‒【提示】可以用“换元法”解方程．解：设t （t ≥0），则有x 2+2x ＝t 2x 2+2x =原方程可化为：t 2+4t ﹣5＝0【续解】【解答】解：（t +5）（t ﹣1）＝0，t +5＝0或t ﹣1＝0，∴t 1＝﹣5，t 2＝1，当t ＝﹣5时，5，此方程无解；x 2+2x =‒当t ＝1时，1，则x 2+2x ＝1，配方得（x +1）2＝2，解得x 1＝﹣1，x 2x 2+2x =+2＝﹣1；-2经检验，原方程的解为x 1＝﹣1，x 2＝﹣1．+2-219．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：BC ∥AD ；（2）若AB ＝4，BC ＝1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．【解答】（1）证明：由题意，△ABC ≌△DBE ，且∠ABD ∠CBE ＝60°，∴AB ＝DB ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠DAB ＝60°，∴∠CBE ＝∠DAB ，∴BC ∥AD ．（2）解：由题意，BA ＝BD ＝4，BC ＝BE ＝1，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．=60⋅π⋅4180+60⋅π⋅1180=5π320．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数人数年级80859095100七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c 90d 30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a ，b ，c ，d 的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？【解答】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a ＝2；七年级的中位数为，故b ＝90；90+902=90八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c ＝90；112八年级中90分的最多，故d ＝90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600390（人），×1320=∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y 的图象与性质共探究过程如下：=2|x |（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m ＝　1　；x …﹣3﹣2﹣1 -12 12123…y…2312442m23…描点：根据表中各组对应值（x ，y ），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①　函数的图象关于y 轴对称　；②　当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小　；（3）①观察发现：如图2．若直线y ＝2交函数y 的图象于A ，B 两点，连接OA ，=2|x |过点B 作BC ∥OA 交x 轴于C ．则S 四边形OABC ＝　4　；②探究思考：将①中“直线y ＝2”改为“直线y ＝a （a ＞0）”，其他条件不变，则S 四边形OABC ＝　4　；③类比猜想：若直线y ＝a （a ＞0）交函数y （k ＞0）的图象于A ，B 两点，连接=k|x |OA ，过点B 作BC ∥OA 交x 轴于C ，则S 四边形OABC ＝　2k ．【解答】解：（1）当x ＜0时，xy ＝﹣2，而当x ＞0时，xy ＝2，∴m ＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y 轴对称，②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；（3）如图，①由A ，B 两点关于y 轴对称，由题意可得四边形OABC 是平行四边形，且S 四边形OABC ＝4S △OAM ＝4|k |＝2|k |＝4，×12②同①可知：S 四边形OABC ＝2|k |＝4，③S 四边形OABC ＝2|k |＝2k ，故答案为：4，4，2k ．22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC ∽△GFH ．（2）解：∵S △GFH ：S △AFH ＝2：3，且△GFH 和△AFH 等高，∴GH ：AH ＝2：3，∵将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处，∴AG ＝AB ＝GH +AH ＝20，∴GH ＝8，AH ＝12，∴AD ＝AH ＝12．（3）解：在Rt △ADG 中，DG 16，=AG 2‒AD 2=202‒122=由折叠的对称性可设DF ＝FH ＝x ，则GF ＝16﹣x ，∵GH 2+HF 2＝GF 2，∴82+x 2＝（16﹣x ）2，解得：x ＝6，∴HF ＝6，在Rt △GFH 中，tan ∠GFH ．=GH HF =86=4323．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A 地240吨，B 地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地生产厂A B甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A 地x 吨，全部运往A ，B 两地的总运费为y 元．求y 与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m 元（0＜m ≤15且m 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m 的最小值．【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨，则：，解得，{a +b =5002a ‒b =100{a =200b =300即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y ＝20（240﹣x ）+25[260﹣（300﹣x ）]+15x +24（300﹣x ）＝﹣4x +11000，∵，解得：40≤x ≤240，{x ≥0240‒x ≥0300‒x ≥0x ‒40≥0又∵﹣4＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝240时，可以使总运费最少，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣4x +11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B 地，乙厂运往A 地240吨，运往B 地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y ＝﹣4x +11000﹣500m ，当x ＝240时，y 最小＝﹣4×240+11000﹣500m ＝10040﹣500m ，∴10040﹣500m ≤5200，解得：m ≥9.68，而0＜m ≤15且m 为整数，∴m 的最小值为10．24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），以O 为圆心，OA 的长为半径的半圆O 交AO 延长线于C ，连接AB ，BC ，过O 作ED ∥BC 分别交AB 和半圆O 于E ，D ，连接OB ，CD ．（1）求证：BC 是半圆O 的切线；（2）试判断四边形OBCD 的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D 且顶点为E ．①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线对称轴上的一个动点，以E ，D ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，问抛物线上是否存在一点Q ．使S △EPQ ＝S △OAB ？若存在，请直接写出Q 点的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：如图1，设AB 与y 轴交于M ，∵A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），∴AB ∥x 轴，且AM ＝2，OM ＝1，AB ＝5，∴OA ＝OC ，=5∵DE ∥BC ，O 是AC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AE AB ，BC ＝2OE ，=12∴E （，﹣1），12∴EM ，=12∴OE ，=OM 2+ME 2=12+(12)2=52∴BC ＝2OE ，=5在△ABC 中，∵25，AB 2＝52＝25，A C 2+BC 2=(25)2+(5)2=∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，∵AC 为半圆O 的直径，∴BC 是半圆O 的切线；（2）解：四边形OBCD 是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC ＝OD ＝OA ，=5∵OD ∥BC ，∴四边形OBCD 是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD ＝OA ，E 是AB 的中点，且E （，﹣1），=512OE ，=52过D 作DN ⊥y 轴于N ，则DN ∥EM ，∴△ODN ∽△OEM ，∴，即，ONOM =DNEM =ODOE ON1=DN 12=552∴ON ＝2，DN ＝1，∴N （﹣1，2），设此抛物线的解析式为：y ＝a （x ）2﹣1，-12把N （﹣1，2）代入得：2＝a （﹣1）2﹣1，-12解得：a ，=43∴此抛物线的解析式为：y （x ）2﹣1，即y ；=43-12=43x 2‒43x ‒23②存在，过D 作DG ⊥EP 于G ，设Q 的横坐标为x ，∵DG ＝1，EG ＝2+1＝3，+12=32∴DE ，=DG 2+EG 2=(32)2+32=352tan ∠DEG ，=DG EG =323=12∵tan ∠OAM ，且∠DEG 和∠OAM 都是锐角，=OM AM =12∴∠DEG ＝∠OAM ，如图3，当△EPD ∽△AOB 时，，即，EP AO =DE AB EP 5=3525∴EP ，=32∵S △AOB ，=12AB ⋅OM =12×5×1=52∵S △EPQ ＝S △OAB ，∴，12⋅EP ⋅|x -12|=52即，12×32×|x ‒12|=52解得：x 或；=236-176如图4，当△OAB ∽△DEP 时，，即，AB EP =OA DE 5EP=5352∴EP ，=152同理得：，12⋅152⋅|x ‒12|=52解得：x 或；=76-16综上，存在符合条件的点Q ，Q 点的横坐标为或或或．236-17676-16。

2020年中考数学参考答案与试题解析：湖北省荆州市

2020年中考数学试卷参考答案与试题解析湖北省荆州市一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案．每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•荆州）若□×（﹣2）=1，则□内填一个实数应该是（）A．B． 2 C．﹣2 D．﹣分析：根据乘积是1的两个数互为倒数解答．解答：解：∵﹣×（﹣2）=1，∴□内填一个实数应该是﹣．故选D．点评：本题考查了有理数的乘法，是基础题，注意利用了倒数的定义．2．（3分）（2020•荆州）下列运算正确的是（）A．3﹣1=﹣3 B．=±3 C．（ab2）3=a3b6D．a6÷a2=a3考点：同底数幂的除法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．分析：运用负整数指数幂的法则运算，开平方的方法，同底数幂的除法以及幂的乘方计算．解答：解：A、3﹣1=≠3a，故A选项错误；B、=3≠±3，故B选项错误；C、（ab2）3=a3b6故C选项正确；D、a6÷a2=a4≠a3，故D选项错误．故选：C．点评：此题考查了负整数指数幂的运算，开平方，同底数幂的除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．3．（3分）（2020•荆州）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是（）A．155°B．145°C．110°D．35°考点：平行线的性质．分析：首先，由平行线的性质得到∠BAC=∠ECF=70°；然后利用邻补角的定义、角平分线的定义来求∠FAG的度数．解答：解：如图，∵AB∥ED，∠ECF=70°，∴∠BAC=∠ECF=70°，∴∠FAB=180°﹣∠BAC=110°．又∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠BAC=35°，∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=145°．故选：B．点评：本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”求得∠BAC的度数是解题的难点．4．（3分）（2020•荆州）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：先把y=x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解答：解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5．（3分）（2020•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3考点：解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小．分析：先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．解答：解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选C．点评：本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．6．（3分）（2020•荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．A D=DE C．A D2=BD•CD D．A D•AB=AC•BD考点：相似三角形的判定；圆周角定理．分析：由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．点评：此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7．（3分）（2020•荆州）如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）。

湖北荆州2020年中考数学试卷及解析

荆州市2020年初中学业水平考试数学试题一、选择题1. 有理数2-的相反数是（）A. 2B. 12C. 2-D. 12- 2. 下列四个几何体中，俯视图与其他三个不同的是（）A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，一次函数1y x =+的图像是（）A. B.C. D.4. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若30CAB ︒∠=，则ACB ∠的度数是（）A. 45︒B. 55︒C. 65︒D. 75︒5. 八年级学生去距学校10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度，若设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为（）A. 1010202x x -=B. 1010202x x -=C. 1010123x x -=D. 1010123x x -=6. 若x 为实数，在)1x W 的W 中添上一种运算符号（在＋，－，×、÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x 不可能的是（）A. 1+B. 1-C.D. 17.如图，点E 在菱形ABCD 的AB 边上，点F 在BC 边的延长线上，连接CE,DF ，对于下列条件：①BE CF =②,CE AB DF BC ⊥⊥③CE DF =④BCE CDF ∠=∠只选其中一个添加，不能确定的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ∆的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1,则A 点的坐标为（）A. B. ) C. ()2,1 D. ( 9. 定义新运算a b *，对于任意实数a,b 满足()()1a b a b a b *=+--，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716*=+--=-=，若x k x *=（k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况是（）A. 有一个实根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D.没有实数根 10. 如图，在66⨯ 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C 均在网格交点上，O e 是ABC ∆的外接圆，则cos BAC ∠的值是（）A. B. C. 12D. 二、填空题11.若()1012020,,32a b c π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，则a,b,c 的大小关系是_________________.（用<号连接）12.若单项式32m x y 与3m n xy +的值是_____________________.13.已知：ABC ∆,求作ABC ∆的外接圆，作法：①分别作线段BC,AC 的垂直平分线EF 和MN,它们交于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径画弧，如图O e 即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________.14.若标有A,B,C 的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B 先摘C ）,直到摘完，则最后一只摘到B 的概率是___________.15.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的Rt ABC ∆，其中90C ︒∠=,AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 的正中位置，E 地与C 地相距1km,若3tan ,454ABC DEB ︒∠=∠=，小张某天沿A C E B D A →→→→→路线跑一圈，则他跑了___________________km.16.我们约定：(),,a b c 为函数2y ax bx c =++的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为(),2,2m m --的函数图象与x 轴有两个整交点（m 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________.三、解答题17.先化简，再求值2211121a a a a -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭：其中a 是不等式组22(1)213(2)a a a a -≥-⎧⎨-<+⎩的最小整数解； 18.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值问题：解方程2250x x ++=提示：可以用换元法解方程()0t t =≥，则有222x x t +=原方程可化为：2450t t +-=续解：19.如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转60度得到DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD.（1）求证：//BC AD ;（2）若AB=4,BC=1，求A,C 两点旋转所经过的路径长之和.20.6月26日是“国际禁毒日”某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90,95,95，80,85,90,85,90,85100；八年级：85,85,95,80,95,90,90,90,100,90；。

湖北省荆州市2020年中考数学试卷C卷

湖北省荆州市2020年中考数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019七上·泰州月考) 下列计算：① ；② ；③；④ .其中正确的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）(2019·嘉兴模拟) 如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（）A .B .C .D .3. （2分） 3个旅游团游客年龄的方差分别是：S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=2.5，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择（）A . 甲团B . 乙团C . 丙团D . 哪一个都可以4. （2分）(2013·宁波) 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（）A . 内含B . 内切C . 相交5. （2分） (2020九上·松北期末) 如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A . （sinα，sinα）B . （cosα，cosα）C . （cosα，sinα）D . （sinα，cosα）6. （2分） (2017八下·金堂期末) 如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O ，点E是AB的中点．若OE=1cm ，则AD的长是（）cm ．A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分）下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A . 等边三角形B . 矩形C . 平行四边形D . 等腰梯形8. （2分）下列命题：①圆周角等于圆心角的一半；②x=2是方程x－1=1的解；③平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；④的算术平方根是4。

其中真命题的个数有（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（）B . 4πC . 5πD . 6π10. （2分）从青岛到济南有南线和北线两条高速公路，南线全长400千米，北线全长320千米．甲、乙两辆客车分别有南线和北线从青岛同时驶往济南，已知客车甲在南线高速公路上行驶的平均速度比客车乙在北线高速公路上快20千米/小时，两车恰好同时到达济南．若设客车乙从青岛到济南的平均速度是x千米/小时，则根据题意可得方程（）A .B .C .D .11. （2分）如图，把其中的一个小正方形看作基本图形，这个图形中不含的变换是（）A . 相似（相似比不为1）B . 平移C . 对称D . 旋转12. （2分）若函数y= 的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（）A . c＜1B . c=1C . c＞1D . c≤1二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2019八上·萧山月考) 如图，一副三角板的三个内角分别是90°，45°，45°和90°，60°，30°，按如图所示叠放在一起（点A，D，B在同一直线上），若固定△ABC，将△BDE绕着公共顶点B顺时针旋转α度（0＜α＜180），当边DE与△ABC的某一边平行时，相应的旋转角α的值为________．14. （1分）如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7，那么代数式4y2﹣2y+5的值为________．15. （1分）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________（填序号）．16. （1分）(2018·毕节模拟) 记录某足球队全年比赛结果（“胜”、“负”、“平”）的条形统计图和扇形统计图（不完整）如下：根据图中信息，该足球队全年比赛胜了________场．17. （1分）单项式5x2y的系数为________18. （1分）(2016·深圳模拟) 如图，△AOB与△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y= （x＞0）上，点A、C在x轴上，连接BC交AD于点P，则△OBP的面积=________．三、解答题 (共8题；共63分)19. （5分）(2017·雁塔模拟) 计算：（）﹣1+|﹣ |﹣（π﹣3）0+3tan30°．20. （5分）(2017·桂林) 解二元一次方程组：．21. （12分）(2018·玉林) 今年5月13日是“母亲节”，某校开展“感恩母亲，做点家务”活动为了了解同学们在母亲节这一天做家务情况，学校随机抽查了部分同学，并用得到的数据制成如下不完整的统计表：做家务时间（小时）人数所占百分比A组：0.51530%B组：13060%C组：1.5x4%D组：236%合计y100（1）统计表中的x=________，y=________；（2）小君计算被抽查同学做家务时间的平均数是这样的：第一步：计算平均数的公式是 = ，第二步：该问题中n=4，x1=0.5，x2=1，x3=1.5，x4=2，第三步： = =1.25（小时）小君计算的过程正确吗？如果不正确，请你计算出正确的做家务时间的平均数；（3）现从C，D两组中任选2人，求这2人都在D组中的概率（用树形图法或列表法）．22. （6分）(2017·河源模拟) 已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：（1）作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（2）可得：线段EF与线段BD的关系为________．（2）作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．由（1）、23. （5分）如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．24. （10分） (2017八上·常州期末) 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元．（1）写出每天的生产成本y元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量x件之间的函数关系式；（2）如果每件产品的出厂价为1200元，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才有盈利？25. （10分） (2019八下·长春期中) 如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于点F.（1）若∠F＝20°，求∠A的度数；（2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求□ABCD的面积．26. （10分） (2019九上·海淀期中) 请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O 上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB 的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共8题；共63分)19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、第11 页共11 页。

2020年湖北省荆州市中考数学试题及参考答案(word解析版)

荆州市2020年初中学业水平考试数学试题（满分为120分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．有理数﹣2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣2．下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．4．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝6．若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1 B．﹣1 C．2D．1﹣7．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）9．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）12．若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为．13．已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）14．若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了km．16．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数/人数/年级80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1八年级 1 2 4 a 1 分析数据：平均数中位数众数方差七年级89 b 90 39八年级 c 90 d 30 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x …﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …y … 1 2 4 4 2 m …描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B 作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地/生产厂 A B甲20 25乙15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．有理数﹣2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解题过程】解：有理数﹣2的相反数是：2．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．2．下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．【解题过程】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．【总结归纳】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．【知识考点】一次函数的图象．【思路分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），即可得到一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限．【解题过程】解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），∴一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．【解题过程】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED∥FA，∠EBC＝∠CBA，∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，∴∠ACB＝75°，故选：D．【总结归纳】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．5．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝【知识考点】由实际问题抽象出分式方程．【思路分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解题过程】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：﹣＝．故选：C．【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1 B．﹣1 C．2D．1﹣【知识考点】分母有理化．【思路分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．【解题过程】解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B．（+1）＝2，故本选项不合题意；C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．7．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④【知识考点】全等三角形的判定；菱形的性质．【思路分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．【解题过程】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠DCF，①∵添加BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB＝∠F＝90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE＝DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．【总结归纳】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C 为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）【知识考点】坐标与图形性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【解题过程】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD＝30°，∴AD＝OA，∵C为OA的中点，∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，∴OA＝2，∴OD＝，则点A的坐标为：（，1）．故选：B．【总结归纳】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．9．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【知识考点】实数的运算；根的判别式．【思路分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解题过程】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【总结归纳】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形．【思路分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解题过程】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．【总结归纳】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）【知识考点】绝对值；实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．【思路分析】利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解题过程】解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．【总结归纳】此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．12．若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为．【知识考点】算术平方根；同类项．【思路分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m 的值，再代入代数式计算即可．【解题过程】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝2，所以2m+n＝2+2＝4，＝＝2．故答案是：2．【总结归纳】本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13．已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）【知识考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图．【思路分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA＝OC＝OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．【解题过程】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC＝OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．【总结归纳】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．14．若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解题过程】解：画树状图如图：共有3个可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为；故答案为：．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了km．【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC＝8km，AC＝6km，AB ＝10km，从而求解．【解题过程】解：过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，BD＝＝xkm，∵D地在AB正中位置，∴AB＝2BD＝xkm，∵tan∠ABC＝，∴cos∠ABC＝，∴＝，解得x＝3，则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．故答案为：24．【总结归纳】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．【知识考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．【解题过程】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，由求根公式可得x＝x＝x1＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2＝＝，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；x3＝＝，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；x4＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．【总结归纳】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．【知识考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【思路分析】先化简分式，然后将a的整数解代入求值．【解题过程】解：原式＝•＝．解不等式组中的①，得a≥2．解不等式②，得a＜4．则2≤a＜4．所以a的最小整数值是2，所以，原式＝＝．【总结归纳】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】【知识考点】解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程；无理方程．【思路分析】利用因式分解法解方程t2+4t﹣5＝0得到t1＝﹣5，t2＝1，再分别解方程＝﹣5和方程＝1，然后进行检验确定原方程的解．【解题过程】解：（t+5）（t﹣1）＝0，t+5＝0或t﹣1＝0，∴t1＝﹣5，t2＝1，当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【总结归纳】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．【知识考点】平行线的判定与性质；轨迹；旋转的性质．【思路分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．【解题过程】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，∴AB＝DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．【总结归纳】本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数/人数/年级80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1八年级 1 2 4 a 1 分析数据：平均数中位数众数方差七年级89 b 90 39八年级 c 90 d 30 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？【知识考点】用样本估计总体；中位数；众数；方差．【思路分析】（1）根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；（2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．【解题过程】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；七年级的中位数为，故b＝90；八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；八年级中90分的最多，故d＝90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×＝390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．【总结归纳】本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x …﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …y … 1 2 4 4 2 m …描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B 作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象；（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．【解题过程】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，OABC②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．【总结归纳】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠的性质得出∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，证得∠EGC＝∠GFH，则可得出结论；（2）由面积关系可得出GH：AH＝2：3，由折叠的性质得出AG＝AB＝GH+AH＝20，求出GH ＝8，AH＝12，则可得出答案；（3）由勾股定理求出DG＝16，设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，由勾股定理得出方程82+x2＝（16﹣x）2，解出x＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH＝．【总结归纳】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地/生产厂 A B甲20 25乙15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．【知识考点】一次函数的应用．【思路分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；（3）根据题意以及（2）的结论可得y＝﹣4x+11000﹣500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．【解题过程】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：，解得，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，∵，解得：40≤x≤240，又∵﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．【总结归纳】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC＝2OE，E（，﹣1），利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，可得结论；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形。

2020年湖北省荆州市中考数学试卷文档

2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（） A ．2B ．12C ．﹣2D ．−122．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +1的图象是（）A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB ＝30°，则∠ACB 的度数是（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm /h ，则可列方程为（） A ．102x −10x =20 B ．10x −102x =20C ．10x−102x=13D ．102x−10x=136．（3分）（2020•荆州）若x 为实数，在“（√3+1）□x ”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是（） A ．√3+1B ．√3−1C ．2√3D ．1−√37．（3分）（2020•荆州）如图，点E 在菱形ABCD 的AB 边上，点F 在BC 边的延长线上，连接CE ，DF ，对于下列条件：①BE ＝CF ；②CE ⊥AB ，DF ⊥BC ；③CE ＝DF ；④∠BCE ＝∠CDF ．只选取其中一条添加，不能确定△BCE ≌△CDF 的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30°．C 为OA 的中点，BC ＝1，则点A 的坐标为（）A ．（√3，√3）B ．（√3，1）C ．（2，1）D ．（2，√3）9．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝（a +b ）（a ﹣b ）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则cos ∠BAC 的值为（）A ．√55B ．2√55C ．12D ．√32二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2020•荆州）若a ＝（π﹣2020）0，b ＝﹣（12）﹣1，c ＝|﹣3|，则a ，b ，c 的大小关系为．（用“＜”号连接）12．（3分）（2020•荆州）若单项式2x m y 3与3xy m +n 是同类项，则√2m +n 的值为． 13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC ，求作：△ABC 的外接圆．作法：①分别作线段BC ，AC 的垂直平分线EF 和MN ，它们相交于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）14．（3分）（2020•荆州）若标有A ，B ，C 的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B 前需先摘C ），直到摘完，则最后一只摘到B 的概率是．15．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1km ．若tan ∠ABC =34，∠DEB ＝45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了 km ．16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a ，b ，c ）为函数y ＝ax 2+bx +c 的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m ，﹣m ﹣2，2）的函数图象与x 轴有两个整交点（m 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1−1a ）÷a 2−1a 2+2a+1，其中a 是不等式组{a −2≥2−a ①2a −1＜a +3②的最小整数解． 18．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．【问题】解方程：x 2+2x +4√x 2+2x −5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设√x 2+2x =t （t ≥0），则有x 2+2x ＝t 2 原方程可化为：t 2+4t ﹣5＝0 【续解】19．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：BC ∥AD ；（2）若AB ＝4，BC ＝1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．20．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数人数年级80859095100七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣3﹣2﹣1−1212123…y (2)312442m23…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y=k|x|（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF 折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．A B目的地生产厂甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC 分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．2020年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（） A ．2B ．12C ．﹣2D ．−12【解答】解：有理数﹣2的相反数是：2．故选：A ．2．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：选项A 的俯视图是三角形，选项B 、C 、D 的俯视图均为圆．故选：A ．3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +1的图象是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：一次函数y ＝x +1中，令x ＝0，则y ＝1；令y ＝0，则x ＝﹣1， ∴一次函数y ＝x +1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0）， ∴一次函数y ＝x +1的图象经过一二三象限，故选：C ．4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB ＝30°，则∠ACB的度数是（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°【解答】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形， ∴ED ∥F A ，∠EBC ＝∠CBA ，∴∠EBC ＝∠ACB ，∠CAB ＝∠DBA ＝30°， ∵∠EBC +∠CBA +∠ABD ＝180°， ∴∠ACB +∠ACB +30°＝180°， ∴∠ACB ＝75°，故选：D ．5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm /h ，则可列方程为（） A ．102x −10x =20 B ．10x −102x =20C ．10x−102x=13D ．102x−10x=13【解答】解：设骑车学生的速度为xkm /h ，则乘车学生的速度为2xkm /h ，依题意，得：10x−102x=13．故选：C ．6．（3分）（2020•荆州）若x 为实数，在“（√3+1）□x ”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是（） A ．√3+1B ．√3−1C ．2√3D ．1−√3【解答】解：A．（√3+1）﹣（√3+1）＝0，故本选项不合题意；B．（√3+1）(√3−1)=2，故本选项不合题意；C．（√3+1）与2√3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（√3+1）（1−√3）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：C．7．（3分）（2020•荆州）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠DCF，①∵添加BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB＝∠F＝90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE＝DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（√3，√3）B．（√3，1）C．（2，1）D．（2，√3）【解答】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD＝30°，∴AD=12OA，∵C为OA的中点，∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，∴OA＝2，∴OD=√3，则点A的坐标为：（√3，1）．故选：B．9．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k 2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C ．10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则cos ∠BAC 的值为（）A ．√55B ．2√55C ．12D ．√32【解答】解：如图，作直径BD ，连接CD ，由勾股定理得，BD =√22+42=2√5，在Rt △BDC 中，cos ∠BDC =CD BD =25=2√55，由圆周角定理得，∠BAC ＝∠BDC ， ∴cos ∠BAC ＝cos ∠BDC =2√55，故选：B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2020•荆州）若a ＝（π﹣2020）0，b ＝﹣（12）﹣1，c ＝|﹣3|，则a ，b ，c 的大小关系为 b ＜a ＜c ．（用“＜”号连接）【解答】解：∵a ＝（π﹣2020）0＝1，b ＝﹣（12）﹣1＝﹣2，c ＝|﹣3|＝3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．12．（3分）（2020•荆州）若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则√2m+n的值为2．【解答】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝2，所以2m+n＝2+2＝4，√2m+n=√4=2．故答案是：2．13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：线段的垂直平分线的性质．（只需写一条）【解答】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC＝OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．14．（3分）（2020•荆州）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是23．【解答】解：画树状图如图：共有3个可能的结果，最后一只摘到B 的结果有2个， ∴最后一只摘到B 的概率为23；故答案为：23．15．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1km ．若tan ∠ABC =34，∠DEB ＝45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了 24 km ．【解答】解：过D 点作DF ⊥BC ，设EF ＝xkm ，则DF ＝xkm ，BF =43xkm ，在Rt △BFD 中，BD =√BF 2+DF 2=53xkm ， ∵D 地在AB 正中位置， ∴AB ＝2BD =103xkm ， ∵tan ∠ABC =34， ∴cos ∠ABC =45， ∴x+43x+1103x =45，解得x ＝3，则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．故答案为：24．16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m ﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）或（0，2）．【解答】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，由求根公式可得x=m+2±√(−m−2)2−8m2mx=m+2±|m−2|2mx1=m+2+(m−2)2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2=m+2+2−m2m=42m，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；x3=m+2−m+22m=42m，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；x4=m+2−2+m2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1−1a）÷a 2−1a 2+2a+1，其中a 是不等式组{a −2≥2−a ①2a −1＜a +3②的最小整数解．【解答】解：原式=a−1a •(a+1)2(a+1)(a−1)=a+1a ．解不等式组{a −2≥2−a ①2a −1＜a +3②中的①，得a ≥2．解不等式②，得a ＜4．则2≤a ＜4．所以a 的最小整数值是2，所以，原式=2+12=32． 18．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．【问题】解方程：x 2+2x +4√x 2+2x −5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设√x 2+2x =t （t ≥0），则有x 2+2x ＝t 2 原方程可化为：t 2+4t ﹣5＝0 【续解】【解答】解：（t +5）（t ﹣1）＝0， t +5＝0或t ﹣1＝0， ∴t 1＝﹣5，t 2＝1，当t ＝﹣5时，√x 2+2x =−5，此方程无解；当t ＝1时，√x 2+2x =1，则x 2+2x ＝1，配方得（x +1）2＝2，解得x 1＝﹣1+√2，x 2＝﹣1−√2；经检验，原方程的解为x 1＝﹣1+√2，x 2＝﹣1−√2．19．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：BC ∥AD ；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，∴AB＝DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=60⋅π⋅4180+60⋅π⋅1180=5π3．20．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数人数年级80859095100七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级 89 b 90 39 八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a ，b ，c ，d 的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？【解答】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a ＝2；七年级的中位数为90+902=90，故b ＝90；八年级的平均数为：112[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c ＝90；八年级中90分的最多，故d ＝90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×1320=390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y =2|x|的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m ＝ 1 ； x … ﹣3﹣2 ﹣1 −12121 2 3… y…2312442m23…描点：根据表中各组对应值（x ，y ），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质； ① 函数的图象关于y 轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝4；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝4；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y=k|x|（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝2k．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x ＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×12|k|＝2|k|＝4，②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF 折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S △GFH ：S △AFH ＝2：3，且△GFH 和△AFH 等高， ∴GH ：AH ＝2：3，∵将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处， ∴AG ＝AB ＝GH +AH ＝20， ∴GH ＝8，AH ＝12， ∴AD ＝AH ＝12．（3）解：在Rt △ADG 中，DG =√AG 2−AD 2=√202−122=16，由折叠的对称性可设DF ＝FH ＝x ，则GF ＝16﹣x ， ∵GH 2+HF 2＝GF 2， ∴82+x 2＝（16﹣x ）2，解得：x ＝6， ∴HF ＝6，在Rt △GFH 中，tan ∠GFH =GH HF =86=43． 23．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A 地240吨，B 地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地生产厂 AB甲 20 25 乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A 地x 吨，全部运往A ，B 两地的总运费为y 元．求y 与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m 元（0＜m ≤15且m 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m 的最小值．【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨，则： {a +b =5002a −b =100，解得{a =200b =300，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，∵{x≥0240−x≥0300−x≥0x−40≥0，解得：40≤x≤240，又∵﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC 分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：如图1，设AB 与y 轴交于M ，∵A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），∴AB ∥x 轴，且AM ＝2，OM ＝1，AB ＝5， ∴OA ＝OC =√5，∵DE ∥BC ，O 是AC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴AE =12AB ，BC ＝2OE ， ∴E （12，﹣1），∴EM =12，∴OE =√OM 2+ME 2=√12+(12)2=√52， ∴BC ＝2OE =√5，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=(2√5)2+(√5)2=25，AB 2＝52＝25， ∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°， ∴BC ⊥AC ，∵AC 为半圆O 的直径， ∴BC 是半圆O 的切线；（2）解：四边形OBCD 是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC ＝OD ＝OA =√5， ∵OD ∥BC ，∴四边形OBCD 是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD ＝OA =√5，E 是AB 的中点，且E （12，﹣1），OE =√52，过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，∴△ODN∽△OEM，∴ONOM =DNEM=ODOE，即ON1=DN12=√5√52，∴ON＝2，DN＝1，∴N（﹣1，2），设此抛物线的解析式为：y＝a（x−12）2﹣1，把N（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1−12）2﹣1，解得：a=4 3，∴此抛物线的解析式为：y=43（x−12）2﹣1，即y=43x2−43x−23；②存在，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，∵DG＝1+12=32，EG＝2+1＝3，∴DE =2+EG 2=√(32)2+32=3√52， tan ∠DEG =DG EG =323=12，∵tan ∠OAM =OM AM =12，且∠DEG 和∠OAM 都是锐角， ∴∠DEG ＝∠OAM ，如图3，当△EPD ∽△AOB 时，EPAO=DE AB，即√5=3√525，∴EP =32，∵S △AOB =12AB ⋅OM =12×5×1=52， ∵S △EPQ ＝S △OAB ， ∴12⋅EP ⋅|x −12|=52，即12×32×|x −12|=52，解得：x =236或−176；如图4，当△OAB ∽△DEP 时，AB EP=OA DE，即5EP=√53√52，∴EP =152，同理得：12⋅152⋅|x −12|=52，解得：x =76或−16；综上，存在符合条件的点Q ，Q 点的横坐标为236或−176或76或−16．(素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏)(素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) 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2020年湖北省荆州市中考数学试卷-解析版

2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.有理数−2的相反数是()A. 2B. 12C. −2 D. −122.下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象是()A. B.C. D.4.将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB=30°，则∠ACB的度数是()A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°5.八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则可列方程为()A. 102x −10x=20 B. 10x−102x=20 C. 10x−102x=13D. 102x−10x=136.若x为实数，在“(√3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+，−，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是()A. √3+1B. √3−1C. 2√3D. 1−√37.如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE=CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE=DF；④∠BCE=∠CDF.只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是()A. ①B. ②C. ③D. ④8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC=1，则点A的坐标为()A. (√3,√3)B. (√3,1)C. (2,1)D. (2,√3)9.定义新运算“a∗b”：对于任意实数a，b，都有a∗b=(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6.若x∗k=x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为()A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根10.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为()A. √55B. 2√55C. 12D. √32二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）)−1，c=|−3|，则a，b，c的大小关系为______.(用11.若a=(π−2020)0，b=−(12“<”号连接)12.若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则√2m+n的值为______．13.已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：______.(只需写一条)14.若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是______．15.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C=90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km.若tan∠ABC=34，∠DEB=45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了______km．16.我们约定：(a,b，c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为(m,−m−2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.先化简，再求值：(1−1a )÷a2−1a2+2a+1，其中a是不等式组{a−2≥2−a ①2a−1<a+3 ②的最小整数解．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4√x2+2x−5=0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设√x2+2x=t(t≥0)，则有x2+2x=t2原方程可化为：t2+4t−5=0【续解】19.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．(1)求证：BC//AD；(2)若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20.6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分)，收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数80859095100人数年级七年级22321八年级124a1平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30(1)请直接写出表格中a，b，c，d的值；(2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；(3)该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=______；x…−3−2−1−1212123…y (2)312442m23…描点：根据表中各组对应值(x,y)，在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；(2)通过观察图1，写出该函数的两条性质；①______；②______；(3)①观察发现：如图2.若直线y=2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C.则S四边形OABC=______；②探究思考：将①中“直线y=2”改为“直线y=a(a>0)”，其他条件不变，则S四边形OABC=______；③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数y=k|x|(k>0)的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则S四边形OABC=______．22.如图，在矩形ABCD中，AB=20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH=2：3，(1)求证：△EGC∽△GFH；(2)求AD的长；(3)求tan∠GFH的值．23.为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表(单位：元/吨)．目的地A B生产厂甲2025乙1524(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；(3)当每吨运费均降低m元(0<m≤15且m为整数)时，按(2)中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24.如图1，在平面直角坐标系中，A(−2,−1)，B(3,−1)，以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED//BC分别交AB和半圆O 于E，D，连接OB，CD．(1)求证：BC是半圆O的切线；(2)试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；(3)如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q.使S△EPQ=S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：有理数−2的相反数是：2．故选：A．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3.【答案】C【解析】解：一次函数y=x+1中，令x=0，则y=1；令y=0，则x=−1，∴一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(−1,0)，∴一次函数y=x+1的图象经过一二三象限，故选：C．依据一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(−1,0)，即可得到一次函数y=x+1的图象经过一二三象限．本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4.【答案】D【解析】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED//FA，∠EBC=∠CBA，∴∠EBC=∠ACB，∠CAB=∠DBA=30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD=180°，∴∠ACB+∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=75°，故选：D．根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则乘车学生的速度为2xkm/ℎ，依题意，得：10x −102x=13．故选：C．设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则乘车学生的速度为2xkm/ℎ，根据时间=路程÷速度结合ℎ)，即可得出关于x的分式方程，此题得解．骑车的学生比乘车的学生多用20min(即13本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：A.(√3+1)−(√3+1)=0，故本选项不合题意；B.(√3+1)(√3−1)=2，故本选项不合题意；C.(√3+1)与2√3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D.(√3+1)(1−√3)=−2，故本选项不合题意．故选：C．根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．(a+b)(a−b)=a2−b2．7.【答案】C【解析】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC=CD，AB//CD，∴∠B=∠DCF，①∵添加BE=CF，∴△BCE≌△CDF(SAS)，②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB=∠F=90°，∴△BCE≌△CDF(AAS)，③∵添加CE=DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE=∠CDF，∴△BCE≌△CDF(ASA)，故选：C．根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD=30°，∴AD=1OA，2∵C为OA的中点，∴AD=AC=OC=BC=1，∴OA=2，∴OD=√3，则点A的坐标为：(√3,1)．故选：B．根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．9.【答案】C【解析】解：∵x∗k=x(k为实数)是关于x的方程，∴(x+k)(x−k)−1=x，整理得x2−x−k2−1=0，∵△=(−1)2−4(−k2−1)=4k2+5>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．利用新定义得到(x+k)(x−k)−1=x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△>0可判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．10.【答案】B【解析】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD=√22+42=2√5，在Rt△BDC中，cos∠BDC=CDBD =2√5=2√55，由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，∴cos∠BAC=cos∠BDC=2√55，故选：B．作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．11.【答案】b<a<c【解析】解：∵a=(π−2020)0=1，b=−(12)−1=−2，c=|−3|=3，∴b<a<c．故答案为：b<a<c．利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．12.【答案】2【解析】解：根据题意得：m=1，m+n=3，解得n=2，所以2m+n=2+2=4，√2m+n=√4=2．故答案是：2．根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13.【答案】线段的垂直平分线的性质【解析】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA=OC=OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．14.【答案】23【解析】解：画树状图如图：共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为2；3．故答案为：23画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．15.【答案】24【解析】解：过D点作DF⊥BC，xkm，设EF=xkm，则DF=xkm，BF=43xkm，在Rt△BFD中，BD=√BF2+DF2=53∵D地在AB正中位置，xkm，∴AB=2BD=103∵tan∠ABC=3，4∴cos∠ABC =45， ∴x+43x+1103x =45，解得x =3，则BC =8km ，AC =6km ，AB =10km ，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，他跑了8+10+6=24(km)．故答案为：24．过D 点作DF ⊥BC ，设EF =xkm ，则DF =xkm ，BF =43xkm ，在Rt △BFD 中，根据勾股定理得到BD ，进一步求得AB ，再根据三角函数可求x ，可得BC =8km ，AC =6km ，AB =10km ，从而求解．此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16.【答案】(1,0)、(2,0)或(0,2)【解析】解：根据题意，令y =0，将关联数(m,−m −2,2)代入函数y =ax 2+bx +c ，则有mx 2+(−m −2)x +2=0，△=(−m −2)2−4×2m =(m −2)2>0， ∴mx 2+(−m −2)x +2=0有两个根，由求根公式可得x =m+2±√(−m−2)2−8m2mx =m +2±|m −2|2mx 1=m+2+(m−2)2m =1，此时m 为不等于0的任意数，不合题意；x 2=m+2+2−m2m =42m ，当m =1或2时符合题意；x 2=2或1； x 3=m+2−m+22m =42m，当m =1或2时符合题意；x 3=2或1；x 4=m+2−2+m2m=1，此时m 为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)；令x =0，可得y =c =2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)或(0,2)；故答案为：(2,0)，(1,0)或(0,2)．根据题意令y =0，将关联数(m,−m −2,2)代入函数y =ax 2+bx +c ，则有mx 2+(−m −2)x +2=0，利用求根公式可得m ，将m 代入可得函数图象与x 轴的交点坐标；令x =0，可得y =c =2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)．本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．17.【答案】解：原式=a−1a⋅(a+1)2(a+1)(a−1)=a+1a．解不等式组{a −2≥2−a ①2a −1<a +3 ②中的①，得a ≥2．解不等式②，得a <4．则2≤a<4．所以a的最小整数值是2，所以，原式=2+12=32．【解析】先化简分式，然后将a的整数解代入求值．本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．18.【答案】解：(t+5)(t−1)=0，t+5=0或t−1=0，∴t1=−5，t2=1，当t=−5时，√x2+2x=−5，此方程无解；当t=1时，√x2+2x=1，则x2+2x=1，配方得(x+1)2=2，解得x1=−1+√2，x2=−1−√2；经检验，原方程的解为x1=−1+√2，x2=−1−√2．【解析】利用因式分解法解方程t2+4t−5=0得到t1=−5，t2=1，再分别解方程√x2+2x=−5和方程√x2+2x=1，然后进行检验确定原方程的解．本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．19.【答案】(1)证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE=60°，∴AB=DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠CBE=∠DAB，∴BC//AD．(2)解：由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=60⋅π⋅4180+60⋅π⋅1180=5π3．【解析】(1)只要证明∠CBE=∠DAB=60°即可，(2)由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，利用弧长公式计算即可．本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：(1)观察八年级95分的有2人，故a=2；七年级的中位数为90+902=90，故b=90；八年级的平均数为：112[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90，故c=90；八年级中90分的最多，故d=90；(2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；(3)∵600×1320=390(人)，∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．【解析】(1)根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；(2)利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；(3)用样本的平均数估计总体的平均数即可．本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．21.【答案】1 函数的图象关于y轴对称当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小 4 4 2k【解析】解：(1)当x<0时，xy=−2，而当x>0时，xy=2，∴m=1，故答案为：1；补全图象如图所示：(2)故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小；(3)如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC =4S△OAM=4×12|k|=2|k|=4，②同①可知：S四边形OABC=2|k|=4，③S四边形OABC=2|k|=2k，故答案为：4，4，2k．(1)根据表格中的数据的变化规律得出当x<0时，xy=−2，而当x>0时，xy=2，求出m的值；补全图象；(2)根据(1)中的图象，得出两条图象的性质；(3)由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，由折叠对称知：∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，∴∠GHF=∠C=90°，∠EGC+∠HGF=90°，∠GFH+∠HGF=90°，∴∠EGC=∠GFH，∴△EGC∽△GFH．(2)解：∵S△GFH：S△AFH=2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH=2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG =AB =GH +AH =20， ∴GH =8，AH =12， ∴AD =AH =12．(3)解：在Rt △ADG 中，DG =√AG 2−AD 2=√202−122=16，由折叠的对称性可设DF =FH =x ，则GF =16−x ， ∵GH 2+HF 2=GF 2， ∴82+x 2=(16−x)2，解得：x =6， ∴HF =6，在Rt △GFH 中，tan∠GFH =GHHF =86=43．【解析】(1)由矩形的性质得出∠B =∠D =∠C =90°，由折叠的性质得出∠AGE =∠B =90°，∠AHF =∠D =90°，证得∠EGC =∠GFH ，则可得出结论；(2)由面积关系可得出GH ：AH =2：3，由折叠的性质得出AG =AB =GH +AH =20，求出GH =8，AH =12，则可得出答案；(3)由勾股定理求出DG =16，设DF =FH =x ，则GF =16−x ，由勾股定理得出方程82+x 2=(16−x)2，解出x =6，由锐角三角函数的定义可得出答案．本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 23.【答案】解：(1)设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨，则： {a +b =5002a −b =100，解得{a =200b =300，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；(2)由题意得：y =20(240−x)+25[260−(300−x)]+15x +24(300−x)=−4x +11000， ∵{x ≥0240−x ≥0300−x ≥0x −40≥0，解得：40≤x ≤240，又∵−4<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x =240时，可以使总运费最少，∴y 与x 之间的函数关系式为y =−4x +11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B 地，乙厂运往A 地240吨，运往B 地60吨；(3)由题意和(2)的解答得：y =−4x +11000−500m ，当x =240时，y 最小=−4×240+11000−500m =10040−500m ， ∴10040−500m ≤5200，解得：m ≥9.68，而0<m ≤15且m 为整数， ∴m 的最小值为10．【解析】(1)设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨，根据题意列方程组解答即可；(2)根据题意得出y 与x 之间的函数关系式以及x 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；(3)根据题意以及(2)的结论可得y =−4x +11000−500m ，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解． 24.【答案】(1)证明：如图1，设AB 与y 轴交于M ，∵A(−2,−1)，B(3,−1)，∴AB//x 轴，且AM =2，OM =1，AB =5， ∴OA =OC =√5，∵DE//BC ，O 是AC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴AE =12AB ，BC =2OE ， ∴E(12,−1)， ∴EM =12，∴OE =√OM 2+ME 2=√12+(12)2=√52， ∴BC =2OE =√5，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=(2√5)2+(√5)2=25，AB 2=52=25， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°， ∴BC ⊥AC ，∵AC 为半圆O 的直径， ∴BC 是半圆O 的切线；(2)解：四边形OBCD 是平行四边形，理由是：如图1，由(1)得：BC =OD =OA =√5， ∵OD//BC ，∴四边形OBCD 是平行四边形；(3)解：①如图2，由(1)知：OD =OA =√5，E 是AB 的中点，且E(12,−1)，OE =√52，过D 作DN ⊥y 轴于N ，则DN//EM ，∴△ODN∽△OEM ， ∴ON OM=DN EM=OD OE，即ON 1=DN12=√5√52，∴ON =2，DN =1， ∴N(−1,2)，设此抛物线的解析式为：y =a(x −12)2−1，把N(−1,2)代入得：2=a(−1−12)2−1，解得：a =43，∴此抛物线的解析式为：y =43(x −12)2−1，即y =43x 2−43x −23； ②存在，过D 作DG ⊥EP 于G ，设Q 的横坐标为x ，∵DG =1+12=32，EG =2+1=3， ∴DE =√DG 2+EG 2=√(32)2+32=3√52， tan∠DEG =DG EG=323=12， ∵tan∠OAM =OM AM=12，且∠DEG 和∠OAM 都是锐角， ∴∠DEG =∠OAM ，如图3，当△EPD∽△AOB 时，EPAO =DEAB ，即√5=3√525，∴EP =32，∵S △AOB =12AB ⋅OM =12×5×1=52， ∵S △EPQ =S △OAB ， ∴12⋅EP ⋅|x −12|=52，即12×32×|x −12|=52，解得：x =236或−176；如图4，当△OAB∽△DEP 时，ABEP =OADE ，即5EP =√53√52，∴EP =152，同理得：12⋅152⋅|x −12|=52，解得：x =76或−16；综上，存在符合条件的点Q ，Q 点的横坐标为236或−176或76或−16．【解析】(1)如图1，设AB 与y 轴交于M ，先证明OE 是△ABC 的中位线，得BC =2OE ，E(12,−1)，利用勾股定理计算OE 的长，可得BC 的长，根据勾股定理的逆定理计算AC 2+BC 2=AB 2，所以△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，可得结论；(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD 与BC 平行且相等，可得四边形OBCD 是平行四边形；(3)①作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得D 的坐标，利用顶点E 的坐标设抛物线的解析式为：y =a(x −12)2−1，把点D 的坐标代入可得结论；②以E ，D ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，存在两种情况，过D 作DG ⊥EP 于G ，设Q 的横坐标为x ，根据S △EPQ =S △OAB ，列方程可得x 的值．本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质、锐角三角函数，3勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2020年湖北省荆州市中考数学试卷(含解析)

2020年湖北省荆州市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．有理数﹣2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣2．（下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．4．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝6．若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1 B．﹣1 C．2D．1﹣7．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA 的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）9．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）12．若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为．13．已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）14．若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了km．16．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：80 85 90 95 100分数人数年级七年级 2 2 3 2 1八年级 1 2 4 a 1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89 b 90 39八年级 c 90 d 30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x …﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …y … 1 2 4 4 2 m …描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA 交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．A B目的地生产厂甲20 25乙15 24（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：有理数﹣2的相反数是：2．故选：A．2．【解答】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．3．【解答】解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），∴一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限，故选：C．4．【解答】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED∥FA，∠EBC＝∠CBA，∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，∴∠ACB＝75°，故选：D．5．【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：﹣＝．故选：C．6．【解答】解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B．（+1）＝2，故本选项不合题意；C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：C．7．【解答】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠DCF，①∵添加BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB＝∠F＝90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE＝DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．8．【解答】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD＝30°，∴AD＝OA，∵C为OA的中点，∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，∴OA＝2，∴OD＝，则点A的坐标为：（，1）．故选：B．9．【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．10．【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．二、填空题11．【解答】解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．12．【解答】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝2，所以2m+n＝2+2＝4，＝＝2．故答案是：2．13．【解答】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC＝OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．14．【解答】解：画树状图如图：共有3个可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为；故答案为：．15．【解答】解：过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，BD＝＝xkm，∵D地在AB正中位置，∴AB＝2BD＝xkm，∵tan∠ABC＝，∴cos∠ABC＝，∴＝，解得x＝3，则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．故答案为：24．16．【解答】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m ﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，由求根公式可得x＝x＝x1＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2＝＝，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；x3＝＝，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；x4＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．三、解答题17．【解答】解：原式＝•＝．解不等式组中的①，得a≥2．解不等式②，得a＜4．则2≤a＜4．所以a的最小整数值是2，所以，原式＝＝．18．【解答】解：（t+5）（t﹣1）＝0，t+5＝0或t﹣1＝0，∴t1＝﹣5，t2＝1，当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．19．【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，∴AB＝DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．20．【解答】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；七年级的中位数为，故b＝90；八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；八年级中90分的最多，故d＝90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×＝390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．21．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH＝．23．【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：，解得，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，∵，解得：0≤x≤240，又∵﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B 地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．24．【解答】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，∴OA＝OC＝，∵DE∥BC，O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AE＝AB，BC＝2OE，∴E（，﹣1），∴EM＝，∴OE＝＝＝，∴BC＝2OE＝，在△ABC中，∵＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵AC为半圆O的直径，∴BC是半圆O的切线；（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA＝，∵OD∥BC，∴四边形OBCD是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA＝，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE＝，过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，∴△ODN∽△OEM，∴，即，∴ON＝2，DN＝1，∴N（﹣1，2），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，把N（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1﹣）2﹣1，解得：a＝，∴此抛物线的解析式为：y＝（x﹣）2﹣1，即y＝；②存在，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，∵DG＝1+＝，EG＝2+1＝3，∴DE＝＝＝，tan∠DEG＝＝，∵tan∠OAM＝，且∠DEG和∠OAM都是锐角，∴∠DEG＝∠OAM，如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，∴EP＝，∵S△AOB＝＝，∵S△EPQ＝S△OAB，∴＝，即，解得：x＝或﹣；如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，∴EP＝，同理得：，解得：x＝或﹣；综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或﹣或或﹣。

2020年湖北省荆州市中考数学试卷(后附答案及详尽解析)

2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（） A ．2B ．12C ．﹣2D ．−122．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +1的图象是（）A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB ＝30°，则∠ACB 的度数是（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm /h ，则可列方程为（）A ．102x −10x =20 B ．10x −102x =20C ．10x−102x=13D ．102x−10x=136．（3分）（2020•荆州）若x 为实数，在“（√3+1）□x ”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是（） A ．√3+1B ．√3−1C ．2√3D ．1−√37．（3分）（2020•荆州）如图，点E 在菱形ABCD 的AB 边上，点F 在BC 边的延长线上，连接CE ，DF ，对于下列条件：①BE ＝CF ；②CE ⊥AB ，DF ⊥BC ；③CE ＝DF ；④∠BCE ＝∠CDF ．只选取其中一条添加，不能确定△BCE ≌△CDF 的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30°．C 为OA 的中点，BC ＝1，则点A 的坐标为（）A ．（√3，√3）B ．（√3，1）C ．（2，1）D ．（2，√3）9．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝（a +b ）（a ﹣b ）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则cos ∠BAC 的值为（）A ．√55B ．2√55C ．12D ．√32二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2020•荆州）若a ＝（π﹣2020）0，b ＝﹣（12）﹣1，c ＝|﹣3|，则a ，b ，c 的大小关系为．（用“＜”号连接）12．（3分）（2020•荆州）若单项式2x m y 3与3xy m +n 是同类项，则√2m +n 的值为． 13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC ，求作：△ABC 的外接圆．作法：①分别作线段BC ，AC 的垂直平分线EF 和MN ，它们相交于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）14．（3分）（2020•荆州）若标有A ，B ，C 的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B 前需先摘C ），直到摘完，则最后一只摘到B 的概率是．15．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1km ．若tan ∠ABC =34，∠DEB ＝45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了 km ．16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a ，b ，c ）为函数y ＝ax 2+bx +c 的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m ，﹣m ﹣2，2）的函数图象与x 轴有两个整交点（m 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1−1a ）÷a 2−1a 2+2a+1，其中a 是不等式组{a −2≥2−a ①2a −1＜a +3②的最小整数解． 18．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．【问题】解方程：x 2+2x +4√x 2+2x −5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设√x 2+2x =t （t ≥0），则有x 2+2x ＝t 2 原方程可化为：t 2+4t ﹣5＝0 【续解】19．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：BC ∥AD ；（2）若AB ＝4，BC ＝1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．20．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数人数年级80859095100七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣3﹣2﹣1−1212123…y (2)312442m23…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y=k|x|（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF 折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．A B目的地生产厂甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC 分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．2020年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（） A ．2B ．12C ．﹣2D ．−12【解答】解：有理数﹣2的相反数是：2．故选：A ．2．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：选项A 的俯视图是三角形，选项B 、C 、D 的俯视图均为圆．故选：A ．3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +1的图象是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：一次函数y ＝x +1中，令x ＝0，则y ＝1；令y ＝0，则x ＝﹣1， ∴一次函数y ＝x +1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0）， ∴一次函数y ＝x +1的图象经过一二三象限，故选：C ．4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB ＝30°，则∠ACB的度数是（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°【解答】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形， ∴ED ∥F A ，∠EBC ＝∠CBA ，∴∠EBC ＝∠ACB ，∠CAB ＝∠DBA ＝30°， ∵∠EBC +∠CBA +∠ABD ＝180°， ∴∠ACB +∠ACB +30°＝180°， ∴∠ACB ＝75°，故选：D ．5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm /h ，则可列方程为（） A ．102x −10x =20 B ．10x −102x =20C ．10x−102x=13D ．102x−10x=13【解答】解：设骑车学生的速度为xkm /h ，则乘车学生的速度为2xkm /h ，依题意，得：10x−102x=13．故选：C ．6．（3分）（2020•荆州）若x 为实数，在“（√3+1）□x ”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是（） A ．√3+1B ．√3−1C ．2√3D ．1−√3【解答】解：A．（√3+1）﹣（√3+1）＝0，故本选项不合题意；B．（√3+1）(√3−1)=2，故本选项不合题意；C．（√3+1）与2√3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（√3+1）（1−√3）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：C．7．（3分）（2020•荆州）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠DCF，①∵添加BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB＝∠F＝90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE＝DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（√3，√3）B．（√3，1）C．（2，1）D．（2，√3）【解答】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD＝30°，∴AD=12OA，∵C为OA的中点，∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，∴OA＝2，∴OD=√3，则点A的坐标为：（√3，1）．故选：B．9．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k 2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C ．10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则cos ∠BAC 的值为（）A ．√55B ．2√55C ．12D ．√32【解答】解：如图，作直径BD ，连接CD ，由勾股定理得，BD =√22+42=2√5，在Rt △BDC 中，cos ∠BDC =CD BD =25=2√55，由圆周角定理得，∠BAC ＝∠BDC ， ∴cos ∠BAC ＝cos ∠BDC =2√55，故选：B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2020•荆州）若a ＝（π﹣2020）0，b ＝﹣（12）﹣1，c ＝|﹣3|，则a ，b ，c 的大小关系为 b ＜a ＜c ．（用“＜”号连接）【解答】解：∵a ＝（π﹣2020）0＝1，b ＝﹣（12）﹣1＝﹣2，c ＝|﹣3|＝3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．12．（3分）（2020•荆州）若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则√2m+n的值为2．【解答】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝2，所以2m+n＝2+2＝4，√2m+n=√4=2．故答案是：2．13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：线段的垂直平分线的性质．（只需写一条）【解答】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC＝OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．14．（3分）（2020•荆州）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是23．【解答】解：画树状图如图：共有3个可能的结果，最后一只摘到B 的结果有2个， ∴最后一只摘到B 的概率为23；故答案为：23．15．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1km ．若tan ∠ABC =34，∠DEB ＝45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了 24 km ．【解答】解：过D 点作DF ⊥BC ，设EF ＝xkm ，则DF ＝xkm ，BF =43xkm ，在Rt △BFD 中，BD =√BF 2+DF 2=53xkm ， ∵D 地在AB 正中位置， ∴AB ＝2BD =103xkm ， ∵tan ∠ABC =34， ∴cos ∠ABC =45， ∴x+43x+1103x =45，解得x ＝3，则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．故答案为：24．16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m ﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）或（0，2）．【解答】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，由求根公式可得x=m+2±√(−m−2)2−8m2mx=m+2±|m−2|2mx1=m+2+(m−2)2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2=m+2+2−m2m=42m，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；x3=m+2−m+22m=42m，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；x4=m+2−2+m2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1−1a）÷a 2−1a 2+2a+1，其中a 是不等式组{a −2≥2−a ①2a −1＜a +3②的最小整数解．【解答】解：原式=a−1a •(a+1)2(a+1)(a−1)=a+1a ．解不等式组{a −2≥2−a ①2a −1＜a +3②中的①，得a ≥2．解不等式②，得a ＜4．则2≤a ＜4．所以a 的最小整数值是2，所以，原式=2+12=32． 18．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．【问题】解方程：x 2+2x +4√x 2+2x −5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设√x 2+2x =t （t ≥0），则有x 2+2x ＝t 2 原方程可化为：t 2+4t ﹣5＝0 【续解】【解答】解：（t +5）（t ﹣1）＝0， t +5＝0或t ﹣1＝0， ∴t 1＝﹣5，t 2＝1，当t ＝﹣5时，√x 2+2x =−5，此方程无解；当t ＝1时，√x 2+2x =1，则x 2+2x ＝1，配方得（x +1）2＝2，解得x 1＝﹣1+√2，x 2＝﹣1−√2；经检验，原方程的解为x 1＝﹣1+√2，x 2＝﹣1−√2．19．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：BC ∥AD ；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，∴AB＝DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=60⋅π⋅4180+60⋅π⋅1180=5π3．20．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数人数年级80859095100七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级 89 b 90 39 八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a ，b ，c ，d 的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？【解答】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a ＝2；七年级的中位数为90+902=90，故b ＝90；八年级的平均数为：112[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c ＝90；八年级中90分的最多，故d ＝90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×1320=390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y =2|x|的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m ＝ 1 ； x … ﹣3﹣2 ﹣1 −12121 2 3… y…2312442m23…描点：根据表中各组对应值（x ，y ），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质； ① 函数的图象关于y 轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝4；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝4；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y=k|x|（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝2k．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x ＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×12|k|＝2|k|＝4，②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF 折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S △GFH ：S △AFH ＝2：3，且△GFH 和△AFH 等高， ∴GH ：AH ＝2：3，∵将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处， ∴AG ＝AB ＝GH +AH ＝20， ∴GH ＝8，AH ＝12， ∴AD ＝AH ＝12．（3）解：在Rt △ADG 中，DG =√AG 2−AD 2=√202−122=16，由折叠的对称性可设DF ＝FH ＝x ，则GF ＝16﹣x ， ∵GH 2+HF 2＝GF 2， ∴82+x 2＝（16﹣x ）2，解得：x ＝6， ∴HF ＝6，在Rt △GFH 中，tan ∠GFH =GH HF =86=43． 23．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A 地240吨，B 地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地生产厂 AB甲 20 25 乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A 地x 吨，全部运往A ，B 两地的总运费为y 元．求y 与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m 元（0＜m ≤15且m 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m 的最小值．【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨，则： {a +b =5002a −b =100，解得{a =200b =300，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，∵{x≥0240−x≥0300−x≥0x−40≥0，解得：40≤x≤240，又∵﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC 分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：如图1，设AB 与y 轴交于M ，∵A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），∴AB ∥x 轴，且AM ＝2，OM ＝1，AB ＝5， ∴OA ＝OC =√5，∵DE ∥BC ，O 是AC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴AE =12AB ，BC ＝2OE ， ∴E （12，﹣1），∴EM =12，∴OE =√OM 2+ME 2=√12+(12)2=√52， ∴BC ＝2OE =√5，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=(2√5)2+(√5)2=25，AB 2＝52＝25， ∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°， ∴BC ⊥AC ，∵AC 为半圆O 的直径，∴BC 是半圆O 的切线；（2）解：四边形OBCD 是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC ＝OD ＝OA =√5， ∵OD ∥BC ，∴四边形OBCD 是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD ＝OA =√5，E 是AB 的中点，且E （12，﹣1），OE =√52，过D 作DN ⊥y 轴于N ，则DN ∥EM ，∴△ODN ∽△OEM ， ∴ON OM=DN EM=OD OE，即ON 1=DN12=√5√52，∴ON ＝2，DN ＝1， ∴N （﹣1，2），设此抛物线的解析式为：y ＝a （x −12）2﹣1，把N （﹣1，2）代入得：2＝a （﹣1−12）2﹣1，解得：a =43，∴此抛物线的解析式为：y =43（x −12）2﹣1，即y =43x 2−43x −23； ②存在，过D 作DG ⊥EP 于G ，设Q 的横坐标为x ，∵DG ＝1+12=32，EG ＝2+1＝3，∴DE =√DG 2+EG 2=√(32)2+32=3√52，tan ∠DEG =DG EG =323=12，∵tan ∠OAM =OM AM =12，且∠DEG 和∠OAM 都是锐角， ∴∠DEG ＝∠OAM ，如图3，当△EPD ∽△AOB 时，EPAO=DE AB，即√5=3√525，∴EP =32，∵S △AOB =12AB ⋅OM =12×5×1=52， ∵S △EPQ ＝S △OAB ， ∴12⋅EP ⋅|x −12|=52，即12×32×|x −12|=52，解得：x =236或−176；如图4，当△OAB ∽△DEP 时，AB EP=OA DE，即5EP=√53√52，∴EP =152，同理得：12⋅152⋅|x −12|=52，解得：x =76或−16；综上，存在符合条件的点Q ，Q 点的横坐标为236或−176或76或−16．。

2020年湖北省荆州市中考数学试题及答案

整理数据：
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中的值
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；
（3）该校七八年级共600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？
21.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
∴AE= AB= ，BC=2EO，
∴点E的坐标为( ， )，ME= ，OM=1，
∴OE= ，
∴BC=2OE= ，
∵ ，
是直角三角形，
即，
所以BC是半圆的O的切线；
（2）四边形OBCD是平行四边形，
由图知：BC=OD=OA= ，
∵OD∥BC，
∴四边形OBCD是平行四边形；
（3）①由（2）知：OD=OA= ，
二、填空题
11.【答案】
12.【答案】2
13.线段的垂直平分线的性质．
14.【答案】
15.【答案】24
16.【答案】或或
三、解答题
17.先化简，再求值：其中a是不等式组的最小整数解；
解：原式= ，
解不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴a的最小值为2
∴原式= ．
A. B.பைடு நூலகம்C. D.
9.定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）
A.有一个实根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根
10.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（）

湖北省荆州市中考数学真题试题(含解析)

2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数中最大的是（）A．B．πC．D．|﹣4|2．（3分）下列运算正确的是（）A．x﹣x＝B．a3•（﹣a2）＝﹣a6C．（﹣1）（+1）＝4 D．﹣（a2）2＝a4（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），3．其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°4．（3分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（）A．该几何体是长方体B．该几何体的高是3C．底面有一边的长是1D．该几何体的表面积为18平方单位5．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（）A．（，1）B．（，﹣1）C．（2，1）D．（0，2）8．（3分）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（）A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高C．丁同学的身高为1.71米D．四位同学身高的众数一定是1.659．（3分）已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1 10．（3分）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A．1：3 B．1：πC．1：4 D．2：9二、填空题（本大题共6小题每小题3分，共18分）11．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．12．（3分）如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD 的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为cm2．13．（3分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x的取值范围是．14．（3分）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，≈2.24）15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP 是直角三角形时，AP的长为．16．（3分）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y＝的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则S△OCD＝．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（8分）已知：a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|，b＝﹣2sin45°+（）﹣1，求b ﹣a的算术平方根．18．（8分）先化简（﹣1）÷，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值．19．（8分）如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），连接AF，DE（如图②）．（1）在图②中，∠AOF＝；（用含α的式子表示）（2）在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．20．（8分）体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：（1）表中的数a＝，b＝；（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．21．（8分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当点E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．23．（10分）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．2020年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．【解答】解：∵＜π＜＜|﹣4|＝4，∴所给的几个数中，最大的数是|﹣4|．故选：D．2．【解答】解：A、x﹣x＝x，故本选项错误；B、a3•（﹣a2）＝﹣a5，故本选项错误；C、（﹣1）（+1）＝5﹣1＝4，故本选项正确；D、﹣（a2）2＝﹣a4，故本选项错误；故选：C．3．【解答】解：∵直线m∥n，∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，故选：B．4．【解答】解：A、该几何体是长方体，正确；B、该几何体的高为3，正确；C、底面有一边的长是1，正确；D、该几何体的表面积为：2×（1×2+2×3+1×3）＝22平方单位，故错误，故选：D．5．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AE＝CE，而OA＝OC，∴OE为∠AOC的平分线．故选：C．6．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．7．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°∴∠AOE＝∠A′，∵OA＝OA′，∴△AOE≌△OA′F（AAS），∴OF＝AE＝，A′F＝OE＝1，∴A′（，1）．故选：A．8．【解答】解：A、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误；B、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误；C、丁同学的身高为1.65×4﹣1.63×3＝1.71米，正确；D．四位同学身高的众数一定是1.65，错误．故选：C．9．【解答】解：∵＝2，∴＝2，∴x＝2+k，∵该分式方程有解，∴2+k≠1，∴k≠﹣1，∵x＞0，∴2+k＞0，∴k＞﹣2，∴k＞﹣2且k≠﹣1，故选：B．10．【解答】解：连接OD交OC于M．由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，∴∠OAM＝30°，∴∠AOM＝60°，∵且：＝1：3，∴∠AOB＝80°设圆锥的底面半径为r，母线长为l，＝2πr，∴r：i＝2：9．故选：D．二、填空题（本大题共6小题每小题3分，共18分）11．【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．12．【解答】解：∵已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD 的中点，∴GF＝GE＝EF＝＝2，过G作GH⊥EF于H，∴GH＝GF＝，∴图②中阴影部分的面积＝×2×＝2cm2．故答案为：2．13．【解答】解：依题意得：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5解得13≤x＜15．故答案是：13≤x＜15．14．【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，∴BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AMNE是矩形，∴AE＝MN＝20，EN＝AM，∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，∴BE＝20﹣10＝10，∴AB＝＝10≈22.4海里．故答案为：22.4．15．【解答】解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，∴AB⊥BD，∴AB＝＝＝8，当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC，∴EP经过圆心O，∴AP＝AO＝4；当∠APE＝90°时，则EP∥BD，∴＝，∵DB2＝CD•AD，∴CD＝＝＝3.6，∴AC＝10﹣3.6＝6.4，∴AE＝3.2，∴＝，∴AP＝2.56．综上AP的长为4和2.56．故答案为4和2.56．16．【解答】解：设A（4，t），∵直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，∴×4×t＝4+1，解得t＝，∴A（4，），把A（4，）代入直线y＝k1x得4k1＝，解得k1＝，∴直线解析式为y＝x，当x＝2时，y＝x＝，则B（2，），∵双曲线y＝经过点B，∴k2＝2×＝，∴双曲线的解析式为y＝＝，当y＝2时，＝2，解得x＝，则C（，2）；当x＝3时，y＝＝，则D（3，），∴S△OCD＝3×2﹣×3×﹣×2×﹣（2﹣）×（3﹣）＝．故答案为．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．【解答】解：∵a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|＝3﹣1+﹣1＝1+，b＝﹣2sin45°+（）﹣1＝2﹣+2＝+2．∴b﹣a＝+2﹣1﹣＝1．∴＝＝1．18．【解答】解：（﹣1）÷＝＝＝，当a＝﹣2时，原式＝＝﹣1．19．【解答】解：（1）如图2，∵△OEF绕点O逆时针旋转α角，∴∠DOF＝∠COE＝α，∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AOF＝90°﹣α；故答案为90°﹣α；（2）AF＝DE．理由如下：如图②，∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD，∵∠DOF＝∠COE＝α，∴∠AOF＝∠DOE，∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF＝OE，在△AOF和△DOE中，∴△AOF≌△DOE（SAS），∴AF＝DE．20．【解答】解（1）抽查了九年级学生数：5÷0.1＝50（人），20≤x＜30的人数：50×＝20（人），即a＝20，30≤x＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20＝4（人），b＝＝0.08，故答案为20，0.08；（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×（1﹣0.1）＝405（人），答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为405人；（3）列表如下∴P（选出的2人为一个男生一个女生的概率）＝＝．21．【解答】解：∵y＝x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，∴﹣4＝0+p．∴p＝﹣4，∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，∴，∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，∴，解得，n＝﹣3，∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，∴﹣4＝﹣m﹣3，∴m＝1．22．【解答】解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∵FC＝FD∴∠FCD＝∠FDC∵∠FDC＝∠BDP∴∠OCB+∠FCD＝90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线．（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，由勾股定理得OP＝＝＝6，∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，∵＝tan∠ABC＝，即DP＝BP＝＝3∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．23．【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，依题意，得：，解得：．答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），∴租车总辆数为8辆．故答案为：8．（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，依题意，得：，解得：2≤m≤5．∵m为正整数，∴m＝2，3，4，5，∴共有4种租车方案．设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w的值随m值的增大而增大，∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．24．【解答】解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）∴BC＝OA＝6，BC∥x轴∴x B＝x C+6＝10，y B＝y C＝3，即B（10，3）设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P ∵C（4，3）∴OC＝∵BC∥OA∴∠OEC＝∠AOE∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE∴CE＝OC＝5∴x E＝x C+5＝9，即E（9，3）∴直线OE解析式为y＝x∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣7∴F（7，）∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上∴E'（9，﹣3），PE＝PE'∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小设直线E'F解析式为y＝kx+h∴解得：∴直线E'F：y＝﹣x+21当﹣x+21＝0时，解得：x＝∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）．（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．设AH与OE相交于点G（t，t），如图2∵AH⊥OE于点G，A（6，0）∴∠AGO＝90°∴AG2+OG2＝OA2∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62∴解得：t1＝0（舍去），t2＝∴G（，）设直线AG解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AG：y＝﹣3x+18当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5∴H（5，3）∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2则HE∥MN，MN＝HE＝4∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上∴x M＝7+4或7﹣4，即x M＝11或3当x＝3时，y M＝﹣×9+×9﹣＝∴M（3，）或（11，）②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3 则HE、MN互相平分∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点∴y M＝﹣×49+×7﹣＝4∴M（7，4）综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．。

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2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）有理数﹣2的相反数是（）A．2B．C．﹣2D．﹣2．（3分）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．3．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．4．（3分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．（3分）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝6．（3分）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1B．﹣1C．2D．1﹣7．（3分）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）9．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）12．（3分）若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为．13．（3分）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）14．（3分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．15．（3分）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB 与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC ＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了km．16．（3分）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数80859095100人数年级七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y ＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…12442m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE 折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地A B生产厂甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB 和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．2020年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）有理数﹣2的相反数是（）A．2B．C．﹣2D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：有理数﹣2的相反数是：2．故选：A．2．（3分）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．【解答】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．3．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．【分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），即可得到一次函数y ＝x+1的图象经过一二三象限．【解答】解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），∴一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限，故选：C．4．（3分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°【分析】根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．【解答】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED∥F A，∠EBC＝∠CBA，∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，∴∠ACB＝75°，故选：D．5．（3分）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：﹣＝．故选：C．6．（3分）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1B．﹣1C．2D．1﹣【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．【解答】解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B．（+1）＝2，故本选项不合题意；C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：C．7．（3分）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠DCF，①∵添加BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB＝∠F＝90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE＝DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【解答】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD＝30°，∴AD＝OA，∵C为OA的中点，∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，∴OA＝2，∴OD＝，则点A的坐标为：（，1）．故选：B．9．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．10．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c．（用“＜”号连接）【分析】利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．12．（3分）若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为2．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝2，所以2m+n＝2+2＝4，＝＝2．故答案是：2．13．（3分）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：线段的垂直平分线的性质．（只需写一条）【分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA＝OC＝OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．【解答】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC＝OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．14．（3分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解答】解：画树状图如图：共有3个可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为；故答案为：．15．（3分）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB 与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC ＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了24km．【分析】过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，从而求解．【解答】解：过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，BD＝＝xkm，∵D地在AB正中位置，∴AB＝2BD＝xkm，∵tan∠ABC＝，∴cos∠ABC＝，∴＝，解得x＝3，则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．故答案为：24．16．（3分）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）或（0，2）．【分析】根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．【解答】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，x＝由求根公式可得x＝，x1＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2＝＝，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；x3＝＝，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；x4＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．【分析】先化简分式，然后将a的整数解代入求值．【解答】解：原式＝•＝．解不等式组中的①，得a≥2．解不等式②，得a＜4．则2≤a＜4．所以a的最小整数值是2，所以，原式＝＝．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】【分析】利用因式分解法解方程t2+4t﹣5＝0得到t1＝﹣5，t2＝1，再分别解方程＝﹣5和方程＝1，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（t+5）（t﹣1）＝0，t+5＝0或t﹣1＝0，∴t1＝﹣5，t2＝1，当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．【分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，∴AB＝DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴A，C 两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数80859095100人数年级七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？【分析】（1）根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；（2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．【解答】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；七年级的中位数为，故b＝90；八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；八年级中90分的最多，故d＝90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×＝390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝1；x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…12442m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①函数的图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝4；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝4；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝2k．【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy ＝2，求出m的值；补全图象；（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x ＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE 折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠的性质得出∠AGE＝∠B ＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，证得∠EGC＝∠GFH，则可得出结论；（2）由面积关系可得出GH：AH＝2：3，由折叠的性质得出AG＝AB＝GH+AH＝20，求出GH＝8，AH＝12，则可得出答案；（3）由勾股定理求出DG＝16，设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，由勾股定理得出方程82+x2＝（16﹣x）2，解出x＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG ＝＝＝16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH ＝．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地A B生产厂甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；（3）根据题意以及（2）的结论可得y＝﹣4x+11000﹣500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：，解得，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，∵，解得：40≤x≤240，又∵﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB 和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC＝2OE，E（，﹣1），利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，可得结论；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形OBCD是平行四边形；（3）①作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得D的坐标，利用顶点E的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，把点D的坐标代入可得结论；②以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，存在两种情况，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，根据S△EPQ＝S△OAB，列方程可得x的值．【解答】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，∴OA＝OC ＝，∵DE∥BC，O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AE＝AB，BC＝2OE，∴E（，﹣1），∴EM＝，∴OE＝＝＝，∴BC＝2OE＝，在△ABC中，∵＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵AC为半圆O的直径，∴BC是半圆O的切线；（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA＝，∵OD∥BC，∴四边形OBCD是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA＝，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE＝，过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，∴△ODN∽△OEM，∴，即，∴ON＝2，DN＝1，∴D（﹣1，2），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，把D（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1﹣）2﹣1，解得：a＝，∴此抛物线的解析式为：y＝（x﹣）2﹣1，即y＝；②存在，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，∵DG＝1+＝，EG＝2+1＝3，∴DE＝＝＝，tan∠DEG ＝＝，∵tan∠OAM＝，且∠DEG和∠OAM都是锐角，∴∠DEG＝∠OAM，如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，∴EP＝，∵S△AOB＝＝，∵S△EPQ＝S△OAB，∴＝，即，解得：x＝或﹣；如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，∴EP＝，同理得：，解得：x＝或﹣；综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或﹣或或﹣．。