高中函数值域方法汇总优质课件PPT
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(高一)求函数的值域的常用方法ppt课件
常用以下方法： ①直接观察法； ②分离常数法； ③利用配方法； ④换元法； ⑤判别式法；
一.直接观察法:由函数解析式直接看出. 例1.求下列函数的值域：
(1) y12x; 值域为 ________ R
( 2 )y |x | 1 ,x { 2 , 1 ,0 ,1 ,2 } ;
{-1, 0, 1 } 值域为 ____________
(3)
y
2 x
2;
值域为 ___________(_－__∞_,_0_)_∪__(_0_, _+_∞__)__;
(4) y x 2 值域为 ________[_0_, _+_∞. )
二.分离常数法:可将其分离出一个常数.
例2.求下列函数的值域：
(5) y 21xx5;
解：由
y
7
1 2
(2x
5)
解: 由 y = ( x －1 ) 2 + 2,
∵ －1 ≤ x ≤ 2, zxxkw
由图知:2≤y≤6.
故函数的值域为[2,6].
y
•6
学.科.网 5 4 3 2 1
－1 o
•
1 2 3 4x
练一练
【3】已知y=2x2-x+5(0≤x≤15), 求值域.
解：y2x2
x5
2(x
1)2 4
389.
y
[
39 8
,
440].
四.换元法:利用换元化单一函数
y
(7) yx 1x
解：设 t 1 x ,
则 x = 1- t 2 且 t ≥ 0.
•
o
t
y = 1- t 2 + t
(t
12)2
高一数学值域的求法1精品PPT课件
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
解得 m=5, n=5.
当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件.
故所求 m 与 n 的值均为 5.
• 求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法（数形结合法）、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性，每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点 选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
例5
求函数
y
=
x2-x x2+x+1
的值域.
[1-
2
3 3
,
1+
2
3 3
]
例6 求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[-1, 1]
[4, +∞)
值域课堂练习题
1.求下列函数的值域:
(1) y= 3xx-+21; (2) y=2x+4 1-x ;
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
(3) y=x+ 1-x2 ;
(3)[-1, 2 ]
(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ; (4)[3, +∞)
(6)
y=
2x2-x-2 x2+x+1
高考数学函数的值域(PPT)4-1
体播种就是将浸种催芽后的胡萝卜种子配制成悬浮液，然后用专用播种机或喷壶等将悬浮液播种下去，这是播种小粒种子采用的新方法，比传统的撒播、条 播等效果好。 [] 流体播种方法：①催芽。先搓去种子上刺，用～℃温水烫种，水温降至室温时再浸泡～个小时，漂去空瘪粒后捞出催芽。种子露白后，芽长 不超过mm时即可播种。②配制保水剂； QQ业务乐园 https:// QQ业务乐园 ；胶状悬浮液。根据不同保水剂的吸水程度，采用不同用量，原 则上以种子均匀悬浮起来为准则，再加入.%的%久效磷、.%的%多菌灵粉剂、.%抗旱剂号及适量的激素。③播种方法。首先，把催芽种子置于保水剂胶状 悬浮液中，以～粒/cm为宜。然后，用单行或三行流体播种机按～粒/m种子密度播种，无流体播种机时，可把种子的悬浮液倒入铝壶中，流播于事先开好的 播种沟内。最后，覆土～.cm厚。 [] ⑶穴点播种法 定穴距播种具有省种、苗匀、规格和省工的优点。按照计划留苗密度确定穴距位置，一般穴距的见方标准 多是cm×cm、cm×cm、8cm×8cm、cm×cm四种。每穴点播～粒种子，覆土.～.cm。 [] 苗期管理 胡萝卜需要间苗，一般分三次进行。第一次当真叶长 到～片时间苗，间隔～cm；第二次在～片时进行间苗，间隔～cm；第三次视情况而定，最终间隔～cm。 [8] 胡萝卜根肥大，与相邻植株的间隙即栽培密度 关系很大。如果一次性按定苗间距播种或者仅通过一次间苗就定苗，苗子太小、太细会因风大而倒伏，造成根型不整。另外，栽培密度若突然降低，会引起 过量的生育，容易形成心部粗大，表皮粗燥，裂根也会增多。相反间苗过晚密度太大则是形成短根的原因。结合生育进城合理密植，根据生长状况最好要进 行两次间苗是科学的。 [8] 覆土 胡萝卜的覆土分三次进行。第一次在定植后，胡萝卜高～cm进行覆土；第二次在胡萝卜成长期间，胡萝卜达到直径cm时进 行覆土；第三次在采收前期进行覆土。 [8] 浅水与施肥 胡萝卜播后天内要防止干旱，注意适度灌水。故有“播后浇三水，保苗齐苗旺”的说法。“三水”即 播时浇水，不干时再浇水，幼芽顶土时浇水。特别是真叶～片时遇到干旱对根系下扎影响较大，裂根率也随之上升。因此要保持适当的湿度，过湿会促进病 害的发生，增加须根率。 [8] 根据胡萝卜前期以吸氮为主，初期吸磷、钾对根膨大影响最大，吸钙低于钾、氮，高于磷、镁的吸肥规律，着重施足基肥，适 时追肥。 [8] 基肥 每亩地施腐熟基肥和人粪尿～公斤，有机肥、有机-无机复混肥公斤，施基肥应在播种前结合耕地进行，
求函数值域的几种方法PPT课件
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
y
x2
1
2x
x2 2x
1 y
,
1 y
1 .
1 y
1
0
,
即
y
y
1
0
.
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
❖ 4. 利用反函数的定义域求函数的值域
若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就是 原函数的值域 .
例5 求函数 y 解：由 y 2x
3x
2x 3x
3 1
3 1
3
的值域 .
注：对于分式函 xy y 2数x ， 3如果它的分
子和分母都是 x
x
y3 3y2
,
y 2 . 的一次式，一般 3 用这种方法求值
所以函数的值域为 y y R , 且域y比 (x) 在某一区间上是单调的，
且函数在两个端点处的函数值（或左、右极限） 为 a、b，则 a、b 就是这个函数的最大、最小 值（或上、下确界，a，b也可能是 ∞）.
例6 求函数 y x 1 x 1 的值域 .
解：显然此函数的定义域为 [1，+∞）.
当 x 1 时，函数单调递增 .
又因 f (1) 2 , 函数值域为 2 ， .
当 u 0+ 时，y +∞ . 函数 y x(2 x)
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
y
x2
1
2x
x2 2x
1 y
,
1 y
1 .
1 y
1
0
,
即
y
y
1
0
.
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
❖ 4. 利用反函数的定义域求函数的值域
若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就是 原函数的值域 .
例5 求函数 y 解：由 y 2x
3x
2x 3x
3 1
3 1
3
的值域 .
注：对于分式函 xy y 2数x ， 3如果它的分
子和分母都是 x
x
y3 3y2
,
y 2 . 的一次式，一般 3 用这种方法求值
所以函数的值域为 y y R , 且域y比 (x) 在某一区间上是单调的，
且函数在两个端点处的函数值（或左、右极限） 为 a、b，则 a、b 就是这个函数的最大、最小 值（或上、下确界，a，b也可能是 ∞）.
例6 求函数 y x 1 x 1 的值域 .
解：显然此函数的定义域为 [1，+∞）.
当 x 1 时，函数单调递增 .
又因 f (1) 2 , 函数值域为 2 ， .
当 u 0+ 时，y +∞ . 函数 y x(2 x)
求函数的值域课件.ppt
三：换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为 代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围). 例2 求函数 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复 y=x+ 1-x 杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后 新元的取值范围。
求下列函数的值域： （ 1） y = x +
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
会生活。
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 A．电话 C．电报 B．汽车 D．火车 ( )
解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。 答案：D
[典题例析] [例1] 上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种
交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江 居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 A．江南制造总局的汽车 B．洋人发明的火车 ( )
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析]
由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民
到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。 [答案] C
[题组冲关] 1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
函数的值域与最值复习PPT优秀课件
达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖 南 卷 ) 函 数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
27
学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)， 可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可 知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函 数 的 值 域 是 函 数 值 的 集 合 ，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时 ， D=[N ， M] ， 其 中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数，要特别注意自变量 和新变量的范围.
《求函数值域的方法》教学课件
y)x
y
0
y 1
又
y 1
故值域为 [
0
1
,1)
1 3
y 1
3
6、均值不等式法
例 6求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
[-1, 1]
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[4, +∞)
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的 值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”.
点(cos x,sin x)与点(2,0)的斜率
如图所示：
2
sin x 0
3
(cosx 2)max 3
求例m1与1若n函的数值f.(x)=log3mxx2+2+81x+n 的定义域为 R, 值域为[0, 2],
解: ∵f(x) 的定义域为 R, ∴mx2+8x+n>0 恒成立.
∴△=64-4mn<0 且 m>0.
令 y=
mx2+8x+n x2+1
,
则 1≤y≤9.
问题转化为 x∈R 时,
y=
mx2+8x+n x2+1
的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
求函数y sin x 的最大值 2+cosx
高一数学课件-《函数的值域》课件 最新
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
x 3 (1) y ; x 3 1 (3) y x - 1 - 2 x ;
2 sin x 4 （2） y 1 2 sin x 2 sin x
2 - sinx (2) y 2 sinx 1 (4) y x 1 x 1 x
1 1 2x 0 x 2
2 - sinx (2) y 2 sinx 1 (4) y x 1 x 1 x
1 函数y x和y 1 2 x均在 , 上单调递增， 2 1 1 1 1 y 1 2 函数的值域为 y | y 2 2 2 2
m 0 m 0 m=0时,x∈ R;当m≠0时 , ,即 , 从而可求出 m的取值范围。 2 0 (6m) 4m(m 8) 0
第二章
第3课时
函
数
函数的值域
要点·疑点·考点
1. 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方 法求函数的值域,都应先考虑其定义域. 2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各 三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. 3.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、 配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
x 3 (1) y ; x 3 1 (3) y x - 1 - 2 x ;
3x y 解（ :1 ）由 y x , 得 x log 3 3 1 1 y y 0, y (0,1) 1 y
2 - sinx (2) y 2 sinx 1 (4) y x 1 x 1 x
高三复习-函数的定义域和值域PPT课件
(A)［2，+∞］ (B)(-∞，1) (C)(1，2) (D)(1，2)
5.若函数y 2log1 x 的值域是[-1，1]，则函数f-1(x)的值
2
域是( A )
(A)
2， 2
2
(C)
1 2
，2
(B) 1，1
(D) -，22 2，
2020年10月2日
返回5
能力·思维·方法
1.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，且a+b＞0，求f(x2)的 定义域
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
11
第3课时 函数的定义域和值域
❖ 要点·疑点·考点 ❖课 前 热 身 ❖ 能力·思维·方法 ❖ 延伸·拓展 ❖误 解 分 析
2020年10月2日
1
要点·疑点·考点
1.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.求 函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(4) yx11x1
x
2020年10月2日
7
【解题回顾】第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域，
求原函数的值域.也可将原函数式化为 y 0 ，可利用指
数函数的性质 3x＞0 得
y 1 y
0.
1 y
第(2)题采用了“部分分式法”求解，即将原分式分解成两
项
y cx d
，其中一项为常数，另一项容易求出值域．形如 ax b
si nx
(2a≠02，y c≠0)的函数均可使用这2 种 2方y 法 .1本题也可化为 1 y ，利用|sinx|≤1，得 1 y ，求函数的值域.
5.若函数y 2log1 x 的值域是[-1，1]，则函数f-1(x)的值
2
域是( A )
(A)
2， 2
2
(C)
1 2
，2
(B) 1，1
(D) -，22 2，
2020年10月2日
返回5
能力·思维·方法
1.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，且a+b＞0，求f(x2)的 定义域
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
11
第3课时 函数的定义域和值域
❖ 要点·疑点·考点 ❖课 前 热 身 ❖ 能力·思维·方法 ❖ 延伸·拓展 ❖误 解 分 析
2020年10月2日
1
要点·疑点·考点
1.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.求 函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(4) yx11x1
x
2020年10月2日
7
【解题回顾】第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域，
求原函数的值域.也可将原函数式化为 y 0 ，可利用指
数函数的性质 3x＞0 得
y 1 y
0.
1 y
第(2)题采用了“部分分式法”求解，即将原分式分解成两
项
y cx d
，其中一项为常数，另一项容易求出值域．形如 ax b
si nx
(2a≠02，y c≠0)的函数均可使用这2 种 2方y 法 .1本题也可化为 1 y ，利用|sinx|≤1，得 1 y ，求函数的值域.
人教A版高中数学必修第一册函数的概念函数值域优秀课件
人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第函一数册的第概 三念章函数3. 值1.域1 优函秀数p的 pt概课念件-函数值域课件
二.分离常数法：利用反函数法
例2.求函数y 3x 4的值域. x 1
解：y 3x 4 （ 3 x 1）1 3(x 1) 1
x 1
x 1
x 1 x 1
求函数的值域
直接法 分离常数法 配方法 换元法
一、函数值的集合我们叫函数的值域
二、求函数的值域的方法通常有 （1）直接法 （2）分离常数法 （3）配方法 （4）换元法等
一.直接法：结构不复杂
例1.已知函数f (x) 2x 3, x {0,1,2,3,5}.求f (x)的值域. f (x)的值域为{3,1,1,3,7}.
人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第函一数册的第概 三念章函数3. 值1.域1 优函秀数p的 pt概课念件-函数值域课件
由图可知，当 x 1 时，函数有最小值 f (1) 1 4 2 3；
当 x 1时，函数有最大值
f (1) 1 4 2 5
所求值域为 3,5
人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第函一数册的第概 三念章函数3. 值1.域1 优函秀数p的 pt概课念件-函数值域课件
t
2
t
1
t
1
2
5
2 4
t 0, 1 0,
2
∴当t
1 2
，即
x
3 4
时，
ymax
5 4
，Байду номын сангаас最小值
∴函数的值域为
,
5 4
当x 2 时，函数有最小值 f (2) 22 4 3 3 ，无最大值。
高中数学课件定义域与值域ppt课件.优秀文档PPT
1 3Leabharlann 1 2,＋∞)函数的定义域和值域
二、函数的值域
例４．求下列函数的值域：
⑴ y=log0.2 (－ x 2 +2x + 3)
解： y = log0.2 (－ x 2 +2x + 3) = log0.2 ［－( x－1) 2 + 4) ］
≥ log0.2 4 ∴函数的值域为 ［log0.2 4，＋∞）
小结： 本题解法 ①利用某已知函数的值域；
②利用函数的单调性
函数的定义域和值域
二、函数的值域
使函数解析例式有４意义．的自求变量下的一列切值函数的值域：
使函数解析式有意义的自变量的一切值 2 ［－( x－1) 2 + 4) ］ 求 f ( x ) = lg ( x －1 ) + lg (3 －x ) 定义域 该函数的值域为［—，＋∞］ ①利用某已知函数的值域； ∴ 函数的定义域为（１，３） 例２．已知 y = 3 求限定定义域， 例４．求下列函数的值域： 一、函数的定义域的确定 得 1＜ x ＜ 3 例４．求下列函数的值域： 列不等式组或混 一、函数的定义域的确定 +2)的定义域为（－∞,－ 一般应根据制约 一、函数的定义域的确定 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组。
函数的定义域和值域
二、函数的值域
例４．求下列函数的值域：
⑵ y = x + 12x
解： 令 12x = t (t≥0) 1
则 y = － （t－1）2＋1
2
∵t＝1时，ymax= 1
(t≥0)
∴函数的值域为（－∞，1 ]
小结： 本题解法 换元法
函数的定义域和值域
二、函数的值域
例４．求下列函数的值域：
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2021/02/02
3
例1 求函数 y x 2 x 1 ( 1 x 1 )的 值 域 。 2
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，
可用配方法或图像法求解。
解：y(x1)23, x1,1,
y
24
x=12，ymin
34,x1,ymax
3, 2
3/2
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
o 1/2
-1
即值域为y∈〔-4,2√2-2〕
2021/02/02
12
例6 求下列函数的值域：
( 1 ) y 2 x 2 2 x ; ( 2 ) y l o g 1 ( x 2 2 x 1 ) .
2
分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性采用换 元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域， 然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域 的取值范围。
2021/02/02
5
解法2：（函数的单调性法）
y 2 (x x 2 2 x x 1 1 ) 1 ,令 u x 2 x 1 0 ,
y 2 u u 1 2 1 1 , y 1 2 , y 2 1 1 在 u 0 上
u
u
是增函数，u取最小值时，y也取最小值。
而 ux2x 1(x1 2)24 3,故 x1 2,ym in2 11 31 3 0.
即 （ a b 3 ) ( a b 1 ) 0 由 于 a b 0 a b 3 0 , 即 a b 3 ,
当a=3,b=3时取等号，故ab ∈〔9，+∞）.
2021/02/02
10
例5 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
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求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法（数形结合法）、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性，每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点 选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y ∈〔1/2,+∞).
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(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0,故 y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函
数值域的为y ∈〔-1,+∞)。 例7 求下列函数的值域：
解 ： （ 1 ） 令 t = 3 x - 1 0 , 有 x = 1 3 ( t 2 + 1 ) ,
于 是 y = 5 - 1 ( t 2 + 1 ) + t = - 1 ( t - 3 ) 2 + 63 2 ， y m in 1 6 2 5,故 y - ,1 6 2 5 .
当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0<x<3
时函数y的值域为y∈〔9，+∞）。
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（2）解法1(均值不等式)
由 已 知 得 b = a a + - 3 1 1 a 4 1 即 a b = a + b + 3 = a + 4 + a 4 - 1
( a 1 ) 4 5 ,又 由 a b a b 3 得 ， a 1
b ( a 1 ) a 3 0 , a 1 0 .
a b (a 1 )4 5 2(a 1 )4 5 9 ,
a 1
a 1
当且仅当a=3时取等号。
故ab∈〔9，+∞）
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解法2：（不等式法）
由 a b a b 3 2 a b + 3 得 ， a b 2 a b 3 0
1x
-3/4
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例2 求函数
y= x2x1的 值 域 。 2x22x3
分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判 别式和单调性法求解。
解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故 ≠1/2. 当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2, 综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.
∴原函数的值域为y∈〔3/10,1／2） 4
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例3 求函数
y
e x 1的反函数的定义域. ex 1
分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的
值域，可用不等式法求解。
解：变形可得 (y 1 )e x 1 y , y 1 , e x 1 y 0 1 y
即 y y ＋ - 1 1 0 (y 1 ) (y 1 ) 0 ,故 － 1 < y < 1 .
∴反函数的定义域为(-1,1)。
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例4 求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0<x<3); (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值
范围（99年高考题）。
分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函
数值域问题，变形恰当，柳暗花明。
y (= 1)2 解x2( ：3- 原x)函=2数4可2 x变2 x形(3为x：)8 2 x2 x 3(3x) 38.
（1）y=√x-3+√5-x; (2)y=√x-3-√5-x.
分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形 适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2） 可用单调有界性解之。
解法1：不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函数 变形为：
y (x 3 5 x ) 2 2 2 x 2 8 x 1 5
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( 2 ) 令 x = 2 c o s , 0 , , 有 y 2 c o s 2 4 4 c o s
2 (c o s s in 1 ) 22 s in () 2 , 4 0 ,, 2 s i n ( ) 1 . 4 y 2 (2 1 ) , 24