高中函数值域方法汇总优质课件PPT
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（1）y=√x-3+√5-x; (2)y=√x-3-√5-x.
分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形 适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2） 可用单调有界性解之。
解法1：不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函数 变形为：
y (x 3 5 x ) 2 2 2 x 2 8 x 1 5
即 （ a b 3 ) ( a b 1 ) 0 由 于 a b 0 a b 3 0 , 即 a b 3 ,
当a=3,b=3时取等号，故ab ∈〔9，+∞）.
2021/02/02
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例5 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y ∈〔1/2,+∞).
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(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0,故 y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函
数值域的为y ∈〔-1,+∞)。 例7 求下列函数的值域：
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求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法（数形结合法）、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性，每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点 选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
b ( a 1 ) a 3 0 , a 1 0 .
a b (a 1 )4 5 2(a 1 )4 5 9 ,
a 1
a 1
当且仅当a=3时取等号。
故ab∈〔9，+∞）
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解法2：（不等式法）
由 a b a b 3 2 a b + 3 得 ， a b 2 a b 3 0
即值域为y∈〔-4,2√2-2〕
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例6 求下列函数的值域：
( 1 ) y 2 x 2 2 x ; ( 2 ) y l o g 1 ( x 2 2 x 1 ) .
2
分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性采用换 元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域， 然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域 的取值范围。
当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0<x<3
时函数y的值域为y∈〔9，+∞）。
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（2）解法1(均值不等式)
由 已 知 得 b = a a + - 3 1 1 a 4 1 即 a b = a + b + 3 = a + 4 + a 4 - 1
( a 1 ) 4 5 ,又 由 a b a b 3 得 ， a 1
∴反函数的定义域为(-1,1)。
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例4 求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0<x<3); (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值
范围（99年高考题）。
分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函
数值域问题，变形恰当，柳暗花明。
y (= 1)2 解x2( ：3- 原x)函=2数4可2 x变2 x形(3为x：)8 2 x2 x 3(3x) 38.
1x
-3/4
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例2 求函数
y= x2x1的 值 域 。 2x22x3
分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判 别式和单调性法求解。
解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故 ≠1/2. 当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2, 综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.
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解法2：（函数的单调性法）
y 2 (x x 2 2 x x 1 1 ) 1 ,令 u x 2 x 1 0 ,
y 2 u u 1 2 1 1 , y 1 2 , y 2 1 1 在 u 0 上
u
u
是增函数，u取最小值时，y也取最小值。
而 ux2x 1(x1 2)24 3,故 x1 2,ym in2 11 31 3 0.
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例1 求函数 y x 2 x 1 ( 1 x 1 )的 值 域 。 2
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，
可用配方法或图像法求解。
解：y(x1)23, x1,1,
y
24
x=12，ymin
34,x1,ymax
3, 2
3/2
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
o 1/2
-1
解 ： （ 1 ） 令 t = 3 x - 1 0 , 有 x = 1 3 ( t 2 + 1 ) ,
于 是 y = 5 - 1 ( t 2 + 1 ) + t = - 1 ( t - 3 ) 2 + 6 5 ,
3
3 21 2
t3 2 ， y m in 1 6 2 5,故 y - ,1 6 2 5 .
∴原函数的值域为y∈〔3/10,1／2） 4
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例3 求函数
y
e x 1的反函数的定义域. ex 1
分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的
值域，可用不等式法求解。
解：变形可得 (y 1 )e x 1 y , y 1 , e x 1 y 0 1 y
即 y y ＋ - 1 1 0 (y 1 ) (y 1 ) 0 ,故 － 1 < y < 1 .
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( 2 ) 令 x = 2 c o s , 0 , , 有 y 2 c o s 2 4 4 c o s
2 (c o s s in 1 ) 22 s in () 2 , 4 0 ,, 2 s i n ( ) 1 . 4 y 2 (2 1 ) , 24
分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形 适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2） 可用单调有界性解之。
解法1：不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函数 变形为：
y (x 3 5 x ) 2 2 2 x 2 8 x 1 5
即 （ a b 3 ) ( a b 1 ) 0 由 于 a b 0 a b 3 0 , 即 a b 3 ,
当a=3,b=3时取等号，故ab ∈〔9，+∞）.
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例5 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y ∈〔1/2,+∞).
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(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0,故 y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函
数值域的为y ∈〔-1,+∞)。 例7 求下列函数的值域：
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求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法（数形结合法）、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性，每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点 选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
b ( a 1 ) a 3 0 , a 1 0 .
a b (a 1 )4 5 2(a 1 )4 5 9 ,
a 1
a 1
当且仅当a=3时取等号。
故ab∈〔9，+∞）
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解法2：（不等式法）
由 a b a b 3 2 a b + 3 得 ， a b 2 a b 3 0
即值域为y∈〔-4,2√2-2〕
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例6 求下列函数的值域：
( 1 ) y 2 x 2 2 x ; ( 2 ) y l o g 1 ( x 2 2 x 1 ) .
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分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性采用换 元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域， 然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域 的取值范围。
当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0<x<3
时函数y的值域为y∈〔9，+∞）。
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（2）解法1(均值不等式)
由 已 知 得 b = a a + - 3 1 1 a 4 1 即 a b = a + b + 3 = a + 4 + a 4 - 1
( a 1 ) 4 5 ,又 由 a b a b 3 得 ， a 1
∴反函数的定义域为(-1,1)。
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例4 求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0<x<3); (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值
范围（99年高考题）。
分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函
数值域问题，变形恰当，柳暗花明。
y (= 1)2 解x2( ：3- 原x)函=2数4可2 x变2 x形(3为x：)8 2 x2 x 3(3x) 38.
1x
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例2 求函数
y= x2x1的 值 域 。 2x22x3
分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判 别式和单调性法求解。
解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故 ≠1/2. 当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2, 综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.
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解法2：（函数的单调性法）
y 2 (x x 2 2 x x 1 1 ) 1 ,令 u x 2 x 1 0 ,
y 2 u u 1 2 1 1 , y 1 2 , y 2 1 1 在 u 0 上
u
u
是增函数，u取最小值时，y也取最小值。
而 ux2x 1(x1 2)24 3,故 x1 2,ym in2 11 31 3 0.
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例1 求函数 y x 2 x 1 ( 1 x 1 )的 值 域 。 2
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，
可用配方法或图像法求解。
解：y(x1)23, x1,1,
y
24
x=12，ymin
34,x1,ymax
3, 2
3/2
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
o 1/2
-1
解 ： （ 1 ） 令 t = 3 x - 1 0 , 有 x = 1 3 ( t 2 + 1 ) ,
于 是 y = 5 - 1 ( t 2 + 1 ) + t = - 1 ( t - 3 ) 2 + 6 5 ,
3
3 21 2
t3 2 ， y m in 1 6 2 5,故 y - ,1 6 2 5 .
∴原函数的值域为y∈〔3/10,1／2） 4
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例3 求函数
y
e x 1的反函数的定义域. ex 1
分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的
值域，可用不等式法求解。
解：变形可得 (y 1 )e x 1 y , y 1 , e x 1 y 0 1 y
即 y y ＋ - 1 1 0 (y 1 ) (y 1 ) 0 ,故 － 1 < y < 1 .
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( 2 ) 令 x = 2 c o s , 0 , , 有 y 2 c o s 2 4 4 c o s
2 (c o s s in 1 ) 22 s in () 2 , 4 0 ,, 2 s i n ( ) 1 . 4 y 2 (2 1 ) , 24