2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷含参考答案

2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷

一、选择题（共10小题, 每小题4分, 满分40分）

1．（4分）若代数式有意义, 则实数x的取值范围是（）

A．x≥﹣1B．x≥﹣1且x≠3C．x＞﹣1D．x＞﹣1且x≠3 2．（4分）实数a、b在数轴上的位置如图所示, 则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）

A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b

3．（4分）如图, 4根火柴棒形成象形“口”字, 只通过平移火柴棒, 原图形能变成的汉字是（）

A．B．

C．D．

4．（4分）打开某洗衣机开关, 在洗涤衣服时（洗衣机内无水）, 洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程, 其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系, 其函数图象大致为（）

A．B．

C．D．

5．（4分）对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计, 结果如表：年龄131415161718

人数456672

则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）

A．17, 15.5B．17, 16C．15, 15.5D．16, 16

6．（4分）如图所示, 圆A和圆B的半径都为1, AB＝8．圆A和圆B都和圆O外切, 且三圆均和直线l相切, 切点为C、D、E, 则圆O的半径为（）

A．3B．4C．5D．6

7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示, 现有下列结论：

①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b＝0；④a+b＞0．

则其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．（4分）如图, 矩形纸片ABCD中, AB＝2, AD＝6, 将其折叠, 使点D与点B重合, 得折痕EF．则tan∠BFE的值是（）

A．B．1C．2D．3

9．（4分）如图是一个切去了一个角的正方体纸盒, 切面与棱的交点A, B, C均是棱的中点, 现将纸盒剪开展成平面, 则展开图不可能是（）

A．B．

C．D．

10．（4分）甲, 乙, 丙, 丁, 戊与小强六位同学参加乒乓球比赛, 每两人都要比赛一场, 到现在为止, 甲已经赛了5场, 乙已经赛了4场, 丙已经赛了3场, 丁已经赛了2场, 戊已经赛了1场, 小强已经赛了（）

A．1场B．2场C．3场D．4场

二、填空题：本大题共5小题, 每小题4分, 共20分, 请将正确答案填在答题卡相应位置

11．（4分）对正实数a, b作定义a*b＝﹣a, 若2*x＝6, 则x＝．

12．（4分）罗马数字有7个基本符号, 它们分别是I, V, X, L, C, D, M分别代表1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的, 如：I, II, III, IV, V, VI, VII, 分别表示1, 2, 3, 4, 5, 6, 7；用IX, X, XI, XII, 分别表示9, 10, 11, 12；根据以上规律, 你认为LII表示的数应该是．13．（4分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球, 其中3个白球, 4个黑球, 若往

口袋中再放入x个白球和y个黑球, 从口袋中随机取出一个白球的概率是, 则y与x 之间的函数关系式为．

14．（4分）若关于x的不等式组有且只有四个整数解, 则实数a的取值范围是．

15．（4分）将一副三角板按如图1位置摆放, 使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB＝AC＝8cm, 将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2）, 两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到0.1, ≈1.73）．

三、解答题：本大题共7小题, 共90分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算：+（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|

（2）先化简, 再求值：÷（﹣）, 其中x＝﹣6．

17．如图, 在平面直角坐标系xOy中, 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝的图象交于一、三象限内的A、B两点, 直线AB与x轴交于点C, 点B的坐标为（﹣6, n）, 线段OA＝5, E为x轴正半轴上一点, 且tan∠AOE＝．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

18．如图, 过圆O直径的两端点M、N各引一条切线, 在圆O上取一点P, 过O、P两点的直线交两切线于R、Q．

（1）求证：△NPQ∽△PMR；

（2）如果圆O的半径为, 且S△PMR＝4S△PNQ, 求NP的长．

19．如果方程x2+bx+c＝0的两个根是x1、x2, 那么x1+x2＝﹣b, x1x2＝c, 请根据以上结论, 解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1＝0的两根之差的绝对值为, 求a的值；

（2）已知关于x的方程x2+px+q＝0（q≠0）有两个实数根, 求出一个一元二次方程, 使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．

20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示, 班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成, 如图2, 菱形ABCD中, AB＝4, ∠A＝60°, △DMN为正三角形, 如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动, 且M、N不与A、B、C重合．

（1）证明：不论M、N如何滑动, 总有BM＝CN；

（2）在M、N滑动的过程中, 试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是, 求出这个定值；如果不是, 请说明理由．

（3）求△BMN的面积的最大值．

21．如图, 在平面直角坐标系中, 直线y＝x﹣与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点, 点A在x轴上, 点B的横坐标为﹣8．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）, 过点P作x轴的垂线, 垂足为C, 交直线AB于点D, 作PE⊥AB于点E, 设△PDE的周长为l, 点P的横坐标为x, 求l关于x的函数关系式, 并求出l的最大值．

22．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数, 比如：他们研究过图1中的1, 3, 6, 10, …, 由于这些数能够表示成三角形, 将其称为三角形数；类似的, 称图2中的1, 4, 9, 16, …, 这样的数位正方形数（四边形数）．

（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；

（2）试证明：当k为正整数时, k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；

（3）记第n个k边形数为N（n, k）（k≥3）．例如N（1, 3）＝1, N（2, 3）＝3, N （2, 4）＝4．

①试直接写出N（n, 3）N（n, 4）的表达式；

②通过进一步的研究发现N（n, 5）＝n2﹣n, N（n, 6）＝2n2﹣n, …, 请你推

测N（n, k）（k≥3）的表达式, 并由此计算N（10, 24）的值．