振动信号处理

第五章时频分析基础及短时傅利叶变换
所谓时变，是指信号的统计特性是随时间变化的。由于平稳信 号只不过是非平稳信号的最简单的例子，所以本章要着重讨论的信 号分析方法对任何信号都是适用的。这类分析方法统称为时频分析 方法，它是在时间—频率域而不是仅在时域或仅在频域上对信号进 行分桥的
6.1非平稳信号的研究领域 傅里叶变换及其反变换建立了时域(信号x(t))和领域(谱x(f))之间的—对一(射)关系。
4.短时傅里叶变换的时移频移特性
4。窗函数的选择 由于高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数，因此，最优时间局部 化的窗函数是高斯函数。
这里恒有 α > 0 ，图 示出了高斯窗函数的形状
5。时间分辨率和频率分辨率
考虑到短时傅里叶变换区分两个纯正弦波的能力，当给定了时窗函 数 h (t )和它的傅里叶变换H ( f ) ，则带宽∆ f 为：
(2) 某一频率成分自身的非线性耦合模式 旋转机械产生信号的周期性表现为一簇特征频率谐波,且在相 位上表现出一定的相关性,该频率成分自身会产生非线性耦合.
(3) 结构参数变化引起的耦合模式 由于故障使系统结构的几何参数变化,会使振动信号隐 含的频率成分与相位间存在一种相位耦合关系,即不同 频率之比与相应相位之比相同.
6.3 基本概念
1．解析信号 假设实信号s(t)
2。信号的解析化方法： 实信号的频谱中剔除负频率的表示复信号的频谱：
3。瞬时频率和群延迟
4。不确定性原理：
令：z(t)是一个具有有限能量的零均值复信号，令z(t)的有 限宽度T＝dt和频谱的有限宽度B＝df(或对应角频率dw)分 别称为该信号的时宽和带宽．并定义为：
由于频率与周期成反比，因此反映信号高频成份需要用窄时窗，而 反映信号低频成份需要用宽时窗
6.5时频分布的一般理论
更一般的方法是讨论二维的时频分布方法： 1.几个基本概念 （1）信号的能量
（2）时频分布的基本性质
希望时频分布所具有的性质： 时频分布必须是实的（最好是正的）一种能量的表示方式，所以为实的。 时频分布关于时间t和频率f的积分为信号的总能量
旋转机械的非线性耦合主要表现模式：.
(1) 调制信号的非线性耦合模式： 设载波信号为 x ( t) = A sin (ωt + φ1) 被调幅信号和被调相信号分别为 a ( t) = a′sin ( pt + φ 2) 和θ( t) = θ′sin ( pt + φ 2)
x ( t) = A [1 + a′sin ( pt + φ 2) ]sin (ωt + φ 1) =A { sin (ωt + φ 1) +a′2cos[ (ω p) t + φ 1 - φ 2 ] +a′2cos[ (ω + p) t + φ 1 + φ 2 ]}
同样{X(k)}, 的平均功率为：
2.2 能量信号的Fourier分析
如果{x(k)}为实，则有共轭对称性，有： X(ω)=X* (-ω )
2.3能量信号的矩 设{x(k)}为实能量有限信号k=0, ±1, ±2,且其矩存在。则n阶矩为 这些矩是对信号{x(k)} 与其延迟或超前信号乘积之间的相似程度的数字度量。
(4) 不同频率成分间的耦合模式.
旋转机械不同部件或零件产生的信号往往表现为不同 特征频率的谐波,由于相位的相关性,可能与其他部分自 激发生的谐波间产生相位耦合.
基于高阶谱的旋转机械故障征兆提取
振动信号非线性相位耦合主要有以下几种来源: 一是滚动轴承、齿轮等零件振动信号中的调制现象; 二是由于系统结构参数变化(如不对中) 产生的非线性相 位耦合; 三为非线性刚度、摩擦、复杂润滑条件等引起的非线性。 这些非线性因素会激发各种不稳定的振动模态, 随着故障 的发展, 在一定条件下会通过非线性耦合产生新的频率成 分, 能量通过耦合传递给新的频率成分, 从而达到稳定振动 模态。 因此, 非线性因素会使振动信号表现出一定的非线性,在频 域表现为不同频率成分间的相位变化与其频率的变化相同。
设计联合时频分布的基本要求是能够用相同的方式使用和处它．具 体说来，如果有了某信号的这样一种分布，我们就会问该信号在某 个频率和时间范围究竟有多少能量，要求能够计算出信号在某个频 率的能量，能够计箕分布的总体和局部均值（如平均频率及其局部 宽度）等等．为了满足这些要求，连续信号s(t)的时频分布定义为
双谱的性质
(1) 双谱满足以下对称性
(2) 零均值高斯信号的高阶谱(阶数大于2) 等于零。 因此双谱很适宜于分析淹没在高斯噪声中的非高斯信号, 理 论上可以完全抑制噪声, 提取有用信息。 (3) 双谱保留了信号的相位信息, 可以用来描述非线性相位耦合。 使用中常将双谱做归一化处理得到双相干谱
双相干谱的物理意义为: 频率X1 与X2 二次相位耦合产 生的能量在X1+ X2 处总能量中所占的比例。双相干谱 函数的平方, 值在0 与1 之间, 定量描述了二次耦合的程 度。当双相干谱函数的平方值为1时, 表示X1+ X2 处的 能量全部来自X1 与X2 间的相位耦合; 当其值为0 时, 表 示不存在相位耦合。
1) 在信号检测、参数估计和分类问题中可以抑制具有未 知谱特征的高斯噪声过程；双谱还可以抑制具有对称概 率密度函数pdf的非高斯噪声。
由于仅对高斯过程所有高于2阶的累积量（谱）均 为零。因此，如果一个非高斯过程与加性高斯噪声同时 被接收，当变换到高阶累积量域时，理论上可以消除该 噪声。所以，在这类信号处理中，从观察信号的累积量 谱中检测和/或估计信号参数将是有利的。累积量谱域 是高信噪比（SNR）域，可进行信号检测、参数估计， 甚至全信号重构。非零多谱可表明过程对正态性的偏离 程度。
不确定性原理： TB〉=1/4pi=dtdf
有任意小的时宽由有任意小的频宽的窗函数使不存在的。
6。4短时傅里叶变换
1。短时傅里叶变换的定义：
信号变换与综合：如果把传统的傅里叶变换看作是傅里叶分析的话，那 么傅里叶反变换则应称为傅里叶综合，因为反变换是利用频谱来重构或 综合原信号的类似地，短时交换也有分析和综合之分．很显然，为了使 STFT真正是一种有实际价值的非平稳信号分析工具，信号z(t)应该能够由 stft完全重构出来．设重构公式为
2) 重构信号或系统的相位和幅度响应；提取信号偏离高 斯性的信息，估计非高斯参量信号的相位。
多谱（矩和累计量）保留了信号的真实相位特征。对于 信号处理中时间序列数据的建模，过去几乎仅利用二阶 统计量，他们通常是最小二乘优化准则的结果。然而， 自相关域抑制了信号的相位信息。在自相关域（或功率 谱）仅对最小相位信号才能精确重构相位。而由于多谱 同时保留了幅度和非最小相位信息，因此在高阶谱域可 进行非最小相位信号重构或系统辨识
下面考虑时宽和带宽之间的关系．令信号z(t)具有严格意义下的时宽 T，现在让我们在不改变信号幅值的条件下沿时间轴拉伸k倍．若： zk(t)＝z(kt)代表拉伸后的信号，其中k为拉伸比．由时宽T的定义式知 拉伸信号的时宽是原信号时宽的k倍，即Tzk＝kTz．另外，计算拉伸 信号F变换得到。Zk(f)=1/kZ(f/k).
3) 通过谐波分量间的相位关系，可检测和表征时间序 列中的非线性，以及辨识非线性系统。
4) 检测和表征信号中的循环平稳性以及分析和处理循环平 稳信号。 高阶循环统计量能自动抑制任何平稳（高斯与非高斯）噪 声的影响。
2。确知信号的矩谱分析
2.1确定性信号的能量与功率 设 {X(k)})(k=0;±1,…为实确知信号,其瞬时功率为 !X(k)!2，总能量为:
振动信号处理
第四章高阶谱分析
1。高阶谱的定义
多谱特例： n=2 功率谱 n=3 三阶谱或双谱Bispectrum n=4 四阶谱（三谱）Trispectrum 高阶统计量包括：高阶矩、高阶累积量、高阶矩谱和累积量谱。
信号处理中为什么要用多谱？
多谱（polyspectra） 高阶矩谱（higher-order moment spectra） 高阶累积量谱(higher-order cumulant spectra)组成， 可对确定性信号和随机信号定义。
2。完全重构条件： 选择窗函数g(t)的条件：g(t)=r(t),g(t)=d(t),g(t)=1
3。短时傅里叶变换的物理意义：
定义式表明．信号z(t’)在时间t的STFT就是信号乘上一个以t为中心的 “分析窗”r*(t—t’)的F交换．由于信号z(t’)乘一个相当短的窗函数r*(t’— t)等价于取出信号在分析时间点t附近的一个切片，所以STFT(t，f)可以 理解为信号z(t’)在“分析时间”t附近的FM变换即“局部频谱”，如图 所示．
6.2 时频分析
时频分折的基本思想 是设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的 能量密度或强度．时间和频率的这种联合函数简称时频分布．假定我们 已知一群人的体重和身高的联合密度分布，该联合分布对体重积分就能 得到身高的分布，进而也可以从联合分布知道体重在60h65k8之间、身 高在1．6。1．65m之间的人所占的比例．
时域中的分辨率∆ t为
然而，时间分辨率t ∆ 和频率分辨率f ∆ 不可能同时任意小，根据Heisenberg 不确定性原理，时间和频率分辨率的乘积受到以下限制。
要提高时间分辨率，只能降低频率分辨率
表示的时间和频率分辨率一旦确定，则在整个时频平面上的时频 分辨率保持不变
短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，但由于其基础是傅里叶变换， 更适合分析准平稳信号如果一信号由高频突发分量和长周期准平稳分量组成， 那么短时傅里叶变换能给出满意的时频分析结果。
边缘特性
即时频分布关于时间t和频率f的积分分别给出信号在频率f的谱密度和 信号在t时刻的瞬时功率
时频分布的一阶矩给出信号瞬时赖率fi(t)和群延迟tg(f) 时频分布的二次叠加原理
第六章Wigner-Ville 分布及其应用
Wigner于1932年首先提出了Wigner分布的概念，并把它用于量子 力学领域。在之后的一段时间内并没有引起人们的重视。直到1948 年，首先由Ville把它应用于信号分析。因此，Wigner分布又称 Wigner－Ville分布，简称为WVD。1966年，Cohen给出了各种时 －频分布的统一表示形式.
性质:
特例
准周期能量信号的矩谱
另一种定义
矩谱的特殊情况
能量信号的标量度量ห้องสมุดไป่ตู้
旋转机械的非线性耦合
在状态监测和故障诊断中,系统及有关故障源所产生信号的基频及高阶谐 波会出现一种非线性耦合现象, 如3 个波形非线性耦合现象的产生与传递波连续介质中的非线性扰动有 关. 在介质中,各种非线性因素(如磨损、非线性刚度、间隙、波形的调制等等) 会激发各种不稳定的振动模态,最初这些模态线性变化,随着进一步发展, 在一定条件下会通过非线性耦合作用产生新的频率成分,能量从不稳定模 态通过耦合传递给新的频率成分,从而达到稳定振动模态. 可见非线性因素会使得拾取的时间序列表现出一定的非线性,在频域表现 为不同频率成分间的相位变化与其频率变化相同; 某一频率成分等于2个频率成分的和或差,且相应相位为2 个频率成分的 相和或差;相位之比等于频率之比等. 这就是所谓的非线性耦合现象. 大量 的实验证明,在旋转机械中存在非线性耦合现象.
时域和频域构成了观察一个信号的两种方式。虽然傅里叶变换建 立了从一个域到另一个域的通道，但它并没有把时域和频域组合 成一个域。特别是大多数的时间信息在频域是不容易得到的。而 谱x(f)只是显示任一频率f包含在信号x(t)内的总的强度，它通常不 能提供有关谱分量的时间局域化的信息。
通常的做法是在博里叶分析中引入时间相关性而又保持线性不变。其思 想是引入一个“局部频率”参数(在某时间内局部)。这样一来，“局部” 傅里叶变换便是通过一个窗口来观察信号，在这个窗口内信号接近平稳。 另一种等价的方法是将傅里叶变换中所用的正弦基函数修改为在时间上 更集中而在频率上较分散的基函数。
例一：碰摩引起的不同频率成分的二次相位耦合模式。用如下仿真 信号说明: 设转子振动信号包含两个不同的频率, 即
式中 X1 是由不平衡引起的与转速同步的频率, X2为异步自激频 率, 典型的波形如图1 (a) 所示。设由于发生碰摩, 一边的波形被截 断, 如图1(b) 所示, 则对应频谱上出现和频与差频频率成份,参见图 1 (c)。