微分中值定理.ppt

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拉格朗日中值公式
或 f (b) f (a ) f ( )( b a ).
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
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设 f ( x )在 在 ( a , b )内可导 , x 0 , x 0 x ( a , b ), 则有 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x
f ( ) M (a b )
因为 ( a , b ), 所以 f ( ) 存在 .又 f ( ) 是函数的最大值 , 且在 ( a , b )内部达到 , 因而是极大值 .于是由费尔马定理知
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f ( ) 0
(a b )
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注
① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等；
也可写成 y f ( x 0 x ) x
( 0 1 ).
( 0 1 ).
增量 y 的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零
'
注意 : 与罗尔定理相比条件中
去掉了 f ( a ) f ( b ).
结论亦可写成
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f (b ) f (a ) ba
f ( ).
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几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB .
y
C
y f (x)
M N
D
B
A
o a
（一）极值的定义：
设 函 数 f ( x )在 点 x0 的 某 邻 域 U ( x0 )有 定 义 .若 x U ( x 0 ), 有 f ( x ) f ( x0 ) (或 f ( x ) f ( x 0 )) 则 称 函 数 f 在 x 0 取 得 极 大 值 (或 极 小 值 ) 并 称 x 0 为 f 的 极 大 值 点 (或 极 小 值 点 ).
C
A
C
B
o 2012-10-24
a
b
x12
罗尔定理的证明：
由条件 (1 ) 知 , f ( x ) 在闭区间 [ a , b ]上达到 最大值 M 和最小值 m .
(1 )若 M m , 则 f ( x ) M , x [ a , b ].

f ( x ) 常数

f ( x ) 0 ,
例1 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证
设 f ( x ) x 5 x 1,
5
则 f ( x )在 [ 0 ,1 ]连续 ,
且 f ( 0 ) 1 , f (1 ) 3 .
由零点存在定理
x 0 ( 0 ,1 ), 使 f ( x 0 ) 0 . 即为方程的小于1的正实根.
x [ 1 ,1 ]
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x ,
f ( x ) 1 1 x
2
(
1 1 x
2
) 0
f ( x) C ,
x [ 1 ,1 ]
2 2 ,
又 f ( 0 ) arcsin 0 arccos 0 0
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二、罗尔 ( Rolle )定理
设 函 数 f ( x )满 足 条 件 ： (1) 在 闭 区 间[ a , b ]上 连 续 ; (2) 在 开 区 间 ( a , b )内 可 导 ; (3) f ( a ) f ( b ), 则 在 ( a , b )内 至 少 存 在 一 点 , 使 得 f ( ) 0 (a b )
1
x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 弦AB方程为 y f ( a )
曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,
f ( a ) f ( b ).
f (b ) f (a ) ba
( x a ).
所得曲线 a , b 两端点的函数值相等
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.
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作辅助函数
f ( x ) x ln( x 2)
在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
f ( x ) x x2 ln( x 2 )
但却不易找到使 f ( x ) 0的点 但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用
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取 1 , (1 ( 1 , 3 ))
几何解释:
y
C
y f (x)
若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等， 且除去两个端点外处 o a x 1 2 b 处有不垂直于横轴的 切线， 在曲线弧 AB 上至少有一点 C , 在该点处的
切线是水平的 .
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怎样证明罗尔定理 ？ 先利用形象思维 去找出一个C点来！ y 想到利用闭区间上连续函数 的最大最小值定理！
[注意 1 ] f ( x 0 ) 0 是可导函数取得极值的 必要条件 .
[注意 2 ] 满足 f ( x 0 ) 0 的点 x 0 不一定是 函数 f 的一个极值点 .这种点称为
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驻点 .
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y
y x
3
o
x
y 3 x
2
y ( 0 ) 0
x 0不是极值点 驻点未必是极值点！
应用导数研究函数性态
局部性态— 未定型极限 函数的局部近似 整体性态— 在某个区间上 函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形
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微分中值定理，包括： 罗尔定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理
微分中值定理的共同特点是： 在一定的条件下，可以断定在所给区间 内至少有一点，使所研究的函数在该点具有 某种微分性质。
设另有 x 1 ( 0 ,1 ), x 1 x 0 , 使 f ( x 1 ) 0 .
f ( x ) 在 x 0 , x 1 之间满足罗尔定理的条 至少存在一个
件,
f ( ) 0 .
( 在 x 0 , x 1 之间 ), 使得
4 但 f ( x ) 5 ( x 1 ) 0 , ( x ( 0 ,1 )) 矛盾, 为唯一实根 .
再例如 f ( x ) x , x [0,1]. 在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件 但也找不到使 f ( x ) 0的点 . ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
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另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点， 如
F ( x ) f ( x ) [ f (a ) f (b ) f (a ) ba
,
( x a )].
F ( x ) 满足罗尔定理的条件
则在 ( a , b )内至少存在一点 , 使得 F ( ) 0 .
即 f ( )
f (b ) f (a ) ba
在 [ 2 , 2 ]上除 f ( 0 )不存在外 , 满足罗尔定理的 一切条件 , 但在内找不到一点能使
f ( x ) 0 .
又例如, f ( x ) 1 x , x (0,1], f (0) 0; 在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件 但在内找不到一点能使 f ( x ) 0 .
微分中值定理是微分学的理论基础。是 利用导数研究函数性质的理论依据。
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2.4
微分中值定理
一、费尔马 ( Fermat )定理 二、罗尔 ( Rolle )定理 三、拉格朗日(Lagrange )定理
四、柯西 (Cauchy )定理
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一、费尔马 ( Fermat )定理
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 . 推论2 如果 在区间 I 上 f ( x ) g ( x ), 那末 在区间 I 上
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,
f ( x ) g( x ) C
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例2
证明 arcsin x arccos x
2
( 1 x 1).
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[证]
即
( 只须证明 : f ( x 0 ) 0 且 f ( x 0 ) 0 )
不妨设 f ( x ) 在点 x 0 处取得极大值 .
在点 x 0的邻域Hale Waihona Puke Baidu( x 0 , x 0 )内, 有
f ( x ) f ( x0 )
考察 f ( x0 ) x



f ( x ) f ( x0 ) x x0
f ( x ) f ( x0 ) x x0
f ( x ) f ( x0 ) x x0
x x0
x x0
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0
0
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因为 f ( x 0 ) 存在 , 所以 f ( x 0 ) 和 f ( x 0 ) 都存在 , 并且有
x [a , b ]
因此 , 可在 ( a , b )内任取一点作为 , 有
( 2 )若 M m ,
f ( ) 0
由 f ( a ) f ( b ) 知 , M 和 m 至少有一个 不等于 f ( a ). 2012-10-24
不妨设 M f (a ).
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因为 f ( b ) f ( a ), 从而有 M f ( b ). 这就是说 , 最大值 M 只能在 ( a , b )内部 某点 处达到 , 即
这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
y
x0
2x
x0
0
但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。 例如, y x , x [2,2];
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例如,
f ( 2012-10-24 x )
f ( x ) x 2 x 3 ( x 3 )( x 1 ).
2
在 [ 1 , 3 ]上连续 ,
2 ( x 1 ),
在 ( 1 , 3 )上可导 ,
且 f ( 1) f ( 3 ) 0 ,
f ( ) 0 .
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y
y f ( x)
f ( x 1 ) 极小值
f ( x 0 ) 极大值
o
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x 0 (极大值点)
x
x1(极小值点)
极值的研究是微积分产生的主要动力之一 5
（二）费尔马定理 (极值必要条件)
设函数 f ( x ) 在点 x 0 取得极值 , 并且 f ( x ) 在点 x 0 可导 , 则必有 f ( x 0 ) 0
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二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理
( 2) (1)
如果函数 f(x)在
闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导,那末在
( a , b ) 内至少有一点( a b ) ，使等式
f ( b ) f ( a ) f ( )( b a ) 成立.
f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim
x x0
f ( x ) f ( x0 ) x x0 f ( x ) f ( x0 ) x x0
0
f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim
x x0
0

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f ( x 0 ) 0
2 arcsin x arccos x . 2
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即C

.
例3 证明当x 0时,
x 1 x
ln(1 x ) x .
证 设 f ( x ) ln( 1 x ),
f ( x )在 [ 0 , x ]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x ) f ( 0 ) f ( )( x 0 ), ( 0 x )