第十三章 早期量子论和量子力学基础
高三物理学史《早期量子论和量子力学的准备》课件
1）辐射出射度 (辐出度) --- M
2) 单色辐射出射度（单色辐出度） （光谱辐射出射度） M
dM
M d
单位：W/(m2.Hz)
式中 dM 是频率在 ν ν +dν 范围内单位时间从物体表面单位
2. 光子与石墨中和原子核束缚很紧的内层电子 的碰撞，应看做是光子和整个原子的碰撞。
∵ m原子 m光子
∴ 弹性碰撞中，入射光子几乎不损失能量， 这时散射光子波长不变。
物理意义
光子假设的正确性，狭义相对论力学的正确性 . 微观粒子也遵守能量守恒和动量守恒定律.
29
氢原子光谱 玻尔的氢原子理论
一、氢原子光谱规律
4861.3Å 蓝
4340.5Å 紫
氢原子光谱经验规律（1885~1908年）
巴尔末公式
B
n2 n2
4
(n 3, 4,5, )
里德堡 波数 1 R( 1 1 )
22 n2
式中R：里德堡常数 R 4 1.096776107 m1 B
32
氢光谱的其他线系:
33
能量 h
质量 动量
E
P
mc2
mc
m
h
h
c2
光具有波粒二象性
一些情况下 突出显示波动性，如光的干涉和衍射
一些情况下 突出显示粒子性，如光电效应等
基本关系式 粒子性：能量 波动性：波长
动量P 频率
h
p h
22
四、光电效应的应用
第十三章 6,7不确定度 波函数
( J s) ，则有类似的不确定度关系，如：
b. 对于微观粒子的能量E及它在能态上停留的平均 时间 t 之间也有类似的不确定度关系:
E t h
c. 不确定度关系式说明用经典物理学量—动量、坐 标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制， 因为 微观粒子不可能同时具有确定的动量及位置
i 2 ( t x )
e iz cos z i sin z
取实部
考虑沿x方向传播的自由粒子波
利用波粒二象性关系式： E h,
自由粒子的波函数： ( x, t ) 0e
i
( E , P)
h P
2 ( Et px ) h
二、 波函数及其统计意义
波函数： 用来描述与微观粒子相联系的物质波 的函数，称为波函数。 用 表示波函数.
11
例：作一微运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内.已知其
波函数为 ： Ψ
( x) Asin(x a)
求：（1）常数 A； （2）粒子在0到 a/2区域出现的概率； （3）粒子在何处出现的概率最大？ 解:（1）由归一化条件得:
0 A sin (x a) dx 1
a 2 2
A
a 2
（2）粒子的概率密度为:
3
x 方向电子坐标范围为缝宽： x
x方向 p x的范围为：
0 ≤ px ≤ p sin
Δpx = p sin (1) Δ x
x
屏 幕
由衍射知识 一级极小满足： 即：
a sin k
(2)
x sin =
pxx x h p
由式（1）和（2）得到：
定义：
(完整版)南华物理练习第13章答案
第十三章 早期量子论和量子力学基础练 习 一一. 选择题1. 内壁为黑色的空腔开一小孔，这小孔可视为绝对黑体，是因为它（ B ） (A) 吸收了辐射在它上面的全部可见光； (B) 吸收了辐射在它上面的全部能量； (C) 不辐射能量； (D) 只吸收不辐射能量。
2. 一绝对黑体在温度T 1 = 1450K 时，辐射峰值所对应的波长为λ1，当温度降为725K 时，辐射峰值所对应的波长为λ2，则λ1/λ2为（ D ） (A)2； (B) 2/1； (C) 2 ； (D) 1/2 。
3. 一般认为光子有以下性质（ A ）(1) 不论在真空中或介质中的光速都是c ；(2) 它的静止质量为零；(3) 它的动量为h ν/c 2； (4) 它的动能就是它的总能量；(5) 它有动量和能量，但没有质量。
以上结论正确的是 （ A ）(A) （2）（4）； (B) （3）（4）（5）； (C) （2）（4）（5）； (D) （1）（2）（3）。
4. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0（使电子从金属逸出需做功eU 0），则此单色光的波长λ必须满足：（A ） (A) 0hc eU λ≤； (B) 0hc eU λ≥； (C) 0eU hc λ≤； (D) 0eU hcλ≥。
二. 填空题1. 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm 2，则炉内的温度为 1.416×103K 。
2. 设太阳表面的温度为5800K ，直径为13.9×108m ，如果认为太阳的辐射是常数，表面积保持不变，则太阳在一年内辐射的能量为 1.228×1034 J ，太阳在一年内由于辐射而损失的质量为1.3647×1017 kg 。
3. 汞的红限频率为1.09×1015Hz ，现用λ=2000Å的单色光照射，汞放出光电子的最大初速度0v =57.7310 m/s ⨯ ，截止电压U a = 1.7V 。
第十三章早期量子论和量子力学基础2
鲁斯卡：电子物理领域的基础研究工作，设计出世界 上第一台电子显微镜，1986年诺贝尔物理学奖。
三、微观粒子的波粒二象性
少女？ 老妇？
两种图象不会 同时出现在你 的视觉中。
例2 试估算热中子的得布罗意波长 (中子的质量 mn=1.67×10-27㎏)。 解：热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于热
(2)弱电子束入射 电子几乎是一个一个地通过双缝，衍射图样不是电子相互作用
的结果。
底片上出现一个一个的点子显示出电子具有粒子性。开始时 底片上的点子无规分布，随着电子增多，逐渐形成衍射图样，衍 射图样来源于“一个电子”具有的波动性。
一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果。
(3)概率波的干涉结果。
实物粒子的能量 E 和动量 p 与它相应的波动频率 和波长λ
的关系与光子一样
E mc2
p mv
h
h
这种和实物粒子相联系的波通常称为德布罗意波, 或叫物质波。
具有静止质量m0的实物粒子以速度v 运动，则和该粒子相联系 的平面单色波的波长为：
h h h
p mv m0v
1
v2 c2
德布罗意公式
例3 氢原子中的电子的轨道运动速度为106m/s，求电 子速度的不确定度。
—— 玻尔轨道角动量量子化条件
二、德布罗意波的实验验证
1 、戴维孙—革末的电子衍射实验
德布罗意波是1924年提出的，1927年 便得到了验证。戴维孙—革末看到电子 的德布罗意波波长与 X 射线的波长相近， 因此想到可用与 X 射线衍射相同的方法 验证。
I 2d sin k
U
电流出现了周期性变化
➢ 实验结果的解释
按德布罗意假设，电子加速后的波长满足
程守洙《普通物理学》(第6版)(下册)-第13章 早期量子论和量子力学基础-复习笔记【圣才出品】
第13章 早期量子论和量子力学基础13.1 复习笔记一、热辐射 普朗克的能量子假设1．热辐射现象任何固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射，物体向四周所发射的能量称为辐射能．2．基尔霍夫辐射定律（1）辐射相关的物理量单色辐出度M辐出度M （T ）单色吸收比和单色反射比（2）黑体黑体在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于1．（3）基尔霍夫提出的重要定律在同样的温度下，各种不同物体对相同波长的单色辐出度与单色吸收比的比值都相等，并等于该温度下黑体对同一波长的单色辐出度，即式中，表示黑体的单色辐出度，基尔霍夫定律表明，吸收能力强的物体辐射能力也较强．3．黑体辐射实验定律（1）斯特藩-玻尔兹曼定律：黑体的总辐出度随温度的升高而增大，且满足式中，为斯特藩常量，数值上等于．σ（2）维恩位移定律：黑体单色辐出度的峰值波长与温度成反比，即bT =m λ式中，b 是维恩常量，数值上等于．4．普朗克的能量子假设（1）普朗克能量子假设：辐射黑体分子、原子的振动可以看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能．但是这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中，谐振子的能量并不像经典物理所允许的具有任意值．相应的能量是某一最小能量的整数倍ε，其中n 为正整数，称为量子数．这个假设称为普朗克能量子假设．对于频率为v 的谐振子，最小能量为ε＝hv （h 为普朗克常量）（2）普朗克公式式中，c 是光速，k 是玻耳兹曼常量，h 是普朗克常量，h ＝6.6260693（11）×10－34 J·s.二、光电效应 爱因斯坦的光子理论1．光电效应的实验规律（1）实验原理图13-1-1 光电效应实验图如图13-1-1所示，K 为光阴极，A 为阳极，在光照射下阴极可能释放电子，称为光电子．在两极间加上电势差U ，U 不同则形成不同大小的电流由电流计读出，称为光电流．光电流为0时外加电势差的绝对值称为遏止电势差．（2）实验规律①饱和电流单位时间内，受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的强度成正比．②遏止电势差光电子从金属板逸出时具有一定动能，最大初动能等于电子的电荷量和遏止电势差的乘积，与入射光的强度无关．③遏止频率（红限）光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系．当入射光频率小于时，不会产生光电效应．0 ④弛豫时间从入射光开始照射直到金属释放出电子，无论光多微弱，几乎都是瞬时的，弛豫时间不超过．910s 图13-1-2 光电效应的伏安特性曲线图13-1-3遏止电势差与频率的关系2．光的波动说的缺陷按照光的经典电磁理论，金属在光的照射下，金属中的电子将从入射光中吸收能量，从而逸出金属表面．逸出时的初动能应决定于光振动的振幅，即决定于光的强度．因而按照光的经典电磁理论，光电子的初动能应随入射光的强度而增加．但实验结果是，任何金属所释出的光电子的最大初动能都随入射光的频率线性地上升，而与入射光的强度无关．3．爱因斯坦的光子理论把光当成以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子，每一个光子的能量为光电效应解释如下：当金属中一个自由电子从入射光中吸收一个光子后，可获得能量．如果此能量大于金属表面逸出功A ，这个电子逸出，否则不逸出，与光强无关．光强只决定光子数的多少，决定光电流的大小．根据能量守恒定律，可以得到爱因斯坦光电效应方程式中，是入射光的频率，m 和分别是出射光电子的质量和速度．νmv 4．光的波粒二象性光子的动质量m φ可由相对论的质-能关系式得到m φ的量值应是有限的，视光子的能量而定，而光子的静质量m φ0＝0．光子的动量为动量和能量是描述粒子性的，而频率和波长则是描述波动性的．光的这种双重性质称为光的波粒二象性.三、康普顿效应1．康普顿效应在散射光中，除有与入射线波长相同的射线外，同时还有波长的射线．这种0λ0λλ>改变波长的散射称为康普顿效应．实验结果表明：（1）波长的偏移Δλ＝λ－λ0随散射角φ（散射线与入射线之间的夹角）而异；当散射角增大时，波长的偏移也随之增加，而且随着散射角的增大，原波长的谱线强度减小，而新波长的谱线强度增大；（2）在同一散射角下，对于所有散射物质，波长的偏移Δλ都相同，但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加，新波长的谱线强度随之减小．2．光子理论的解释将光子当作能量为、动量为的粒子，与电子发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒（电子动能应考虑狭义相对论修正），得到康普顿公式式中，称为康普顿波长．四、氢原子光谱 玻尔的氢原子理论1．氢原子光谱的规律性氢原子发光频率满足以下里德伯方程式中，是波数，k ＝1,2,3,…，n ＝k ＋1,k ＋2,k ＋3,…，R 是里德伯常量，其大小为ν%2．玻尔的氢原子理论玻尔理论的基本假设：（1）定态假设：原子系统只能处在一系列不连续的能量状态，在这些状态电子不辐射也不吸收电磁波．（2）频率条件：当原子从一个能量为的定态跃迁到另一个能量为的定态时，会n E k E 发射或吸收一个频率为的光子．kn ν（3）量子化条件：电子绕核作圆周运动，其稳定状态的角动量L 需满足。
第十三章 早期量子论和量子力学基础1
2. 普朗克公式
普朗克既注意到维恩公式在长波(即低频）方面的不足，又 注意到了瑞利－金斯在短波（即高频）方面的不足。 普朗克利用内插法，使两个波段分别与维恩公式和瑞 利—金斯公式一致，得到正确的黑体辐射公式：
M 0 (T ) 2hc
2
5
1 e
hc kT
1
34
普朗克常数：
h 6.6260755 10 J s
维恩公式 取高频 极限
M = T 4 积分
普朗克公式
取低频 极限 求极值
瑞－金公式
m = C T
普朗克假设的意义
当时普朗克提出能量子的假设并没有很深刻的道理，仅仅 是为了从理论上推导出一个和实验相符的公式。
这件事本身对物理学的意义是极其深远的。能量子假设是 对经典物理的巨大突破，它直接导致了量子力学的诞生。 能量子概念在提出5年后没人理会，首先是爱因斯坦认识 到其深远的意义，并成功地解释了“固体比热”和“光电效 应”。 普朗克本人一开始也没能认识到这一点。13年后才接受了 他自己提出的这个概念（1918年，获诺贝尔奖）。
M 1 (T ) M 2 (T ) M 0 (T ) a1 (T ) a 2 (T )
①这个恒量与物体的性质无关，而只与物体的温度和辐射能 的波长有关。
②说明单色吸收比大的物体，其单色辐出度也大。 （例如黑色物体，吸热能力强，其辐出本领也大）
③若物体不能发射某一波长的辐射能，那么该物体也就不能 吸收这一波长的辐射能。 ＊关于物体颜色的说明：――均指可见光范围。例如， 红色――表示除红光外，其余都吸收（余类推） 白色――表示对所有波长的光都不吸收。 黑色――表示对所有波长的光都吸收。
经典电磁理论：辐射黑体分子、原子的振动可看作谐振子， 这些谐振子可以发射和吸收辐射能。谐振子的能量可具有任 意连续值。 普朗克的能量子假设：振子振动的能量是不连续的，只能取 最小能量 的整数倍 ， 2， 3，…， n n 为正整数
程守洙《普通物理学》(第5版)辅导系列-课后习题-第13章 早期量子论和量子力学基础【圣才出品】
第13章 早期量子论和量子力学基础13-1 估测星球表面温度的方法之一是：将星球看成黑体，测量它的辐射峰值波长λm ，利用维恩位移定律便可估计其表面温度。
如果测得北极星和天狼星的λm 分别为0.35 μm 和0.29 μm，试计算它们的表面温度。
解：根据维恩位移定律，可知与黑体辐射本领极大值相对应的波长与绝对温度T 的乘积为一常数。
则北极星表面温度：天狼星表面温度：。
13-2 在加热黑体过程中，其单色辐出度的峰值波长是由0.69 μm 变化到0.50μm，求总辐出度改变为原来的多少倍?解：设加热前后黑体的温度分别为T 1、T 2，其单色辐出度的峰值波长分别为、，则根据维恩位移定律，可得黑体温度之比为：根据斯特藩-玻尔兹曼定律，可得总辐出度之比为：因此，总辐出度变为原来的3.63倍。
13-3 假设太阳表面温度为5 800 K ，太阳半径为6.96×108 m 。
如果认为太阳的辐射是稳定的，求太阳在1年内由于辐射，它的质量减小了多少?解：由斯特藩一玻尔兹曼定律，太阳通过其表面辐射出的总功率为：太阳在一年内辐射出的总能量为。
由狭义相对论质能关系，可得太阳在一年内的质量亏损：*13-4 黑体的温度T 1＝6000 K ，问λ1＝0.35 μm 和λ2＝0.70 μm 的单色辐出度之比等于多少?当温度上升到T 2＝7000 K 时，λ1的单色辐出度增加到原来的多少倍?解：（1）利用普朗克单色辐出度公式：可得时，和的单色辐出度之比：而因此，单色辐出度之比：。
（2）当黑体温度上升到时，的单色辐出度：与温度为T 1时，黑体的单色辐出度的比值：解得：代入上式可得：。
*13-5 假定太阳和地球都可以看成黑体，如太阳表面温度T S ＝6 000 K ，地球表面各处温度相同，试求地球的表面温度（已知太阳的半径R S ＝6.96×105 km ，太阳到地球的距离r ＝1.496×108 km ）。
早期量子论
实验上用绕有电热丝的空 腔开小孔实现黑体 加热空腔， 加热空腔，小孔辐射能 从孔外可探测辐射， 量，从孔外可探测辐射，测 量辐射规律
− λ + d λ内辐射能量 dM 与波长间隔 d λ 之比
或，单位表面积单位波长间隔内的辐出功率 反映物体在某温度下辐射某种波长的能力 如果要反映物体在某温度下对各种波长的辐射能力？ 如果要反映物体在某温度下对各种波长的辐射能力？ 定义2： 定义 ： 总辐出度
∞
M (T ) = ∫ M λ (T )d λ
M = aM B
虽然实际物体不是黑体， 虽然实际物体不是黑体，但可以设计黑体模型 设想， 设想，用不透明材料制成一个 空腔并开一小孔。 空腔并开一小孔。
光线从小孔射入，很难出去（ 光线从小孔射入，很难出去（腔 壁多次反射吸收）。 ）。带有小孔的空 壁多次反射吸收）。带有小孔的空 腔物体就是黑体， 腔物体就是黑体，小孔相当于黑体 表面。 表面。
o
∞
面积
λm
T ↑ λm ↓ T ↑ 面积 ↑ M (T ) ↑
M λ (T )
{
实验得出两个重要公式：
λmT =b
b = 2.898 ×10−3 mK
σ =5.67 × 10-8TWm-2 K -4
λm3 λm1 λ
m2
——维恩位移定律 维恩位移定律
M λ (T )
Hale Waihona Puke M (T ) = σ T 4
∆ε = ∆nhν
由以上假设经推导可得 到普朗克公式：
第十三章 早期量子论和量子力学基础2
（3）角动量量子化条件：电子绕核作圆周运动时 角动量是量子化的，取值为：
h L mvn rn n n 2
n = 1，2，3 … 量子数
三、氢原子轨道半径和能量的计算
经典理论结合Bohr 理论
vn
rn -e m
mp +e
En
• 氢原子的半径和玻尔半径
0h 2 r1 a0 0.053nm 2 me
可以证明：只有处于束缚态的电子才可能吸收光子，自由 电子不能吸收光子。
例1 波长为 0 0.02nm 的X射线与静止的自 由电子碰撞，现在从和入射方向成 90 角的方向去 观察散射辐射。求： (1) 散射X射线的波长；(2)反冲 电子的 能量；(3)反冲电子的动量。 解： (1) 散射后X射线波 长的改变为：
• X 射线光子与原子“内层电子”的弹性碰撞
内层电子与核结合较为紧密（keV)，他认为碰撞实际上可以 看作是发生在光子与质量很大的整个原子间的碰撞—光子基 本上不失去能量—保持原性质不变。
• X 射线光子与原子“外层电子”的弹性碰撞
外层电子与核结合较弱（几个eV）—与 X 光子相比，这些 电子近似看成为 “静止” 的 “自由”电子。
2d sin 1.65 A
0
2 、电子多晶薄膜的衍射实验（G.P.汤姆孙实验）
金多晶 薄膜
电子束
在此之后，人们陆续用实验证实了原子，分子，中子，质 子也具有波动性。
实物粒子波动性的一个重要应用就是电子显微镜，其分辨 本领比普通光学仪器要高几千倍，如我国制造的电子显微镜， 其放大率高达８０万倍,其分辨本领达 1.44Å,可分辨到单个原子 的尺度，为研究分子结构提供了有力武器。
• 康普顿散射的实验装置
量子力学发展简史.ppt
3. 固体比热的研究
1906年，爱因斯坦将普朗克的量子假说应用于 固体比热，解释了固体比热的温度特性并且得 到定量结果。然而，这一次跟光电效应一样， 也未引起物理界的注意。不过，比热问题很快 就得到了能斯特的低温实验所证实。量子理论 应用于比热问题获得成功，引起了人们的关注， 有些物理学家相继投入这方面的研究。在这样 的形式下，能斯特积极活动，得到比利时化学 工业巨头索尔威的资助，促使有历史意义的第 一届索尔威国际物理会议的召开，讨论的主题 就是《辐射理论和量子》，这次会议在宣传量 子理论上起了很好的作用。
3.矩阵力学的创立
矩阵力学的创立者海森伯1924年到哥本哈根跟玻尔和克拉末斯合 作研究光色散理论。在研究中，他认识到不仅描写电子运动的偶 极的振幅的傅里叶分量的绝对值平方决定相应辐射的强度，而且 振幅本身的位相也是有观察意义的。海森伯由这里出发，假设电 子运动的偶极和多极电矩辐射的经典公式在量子理论中仍然有效。 然后运用玻尔的对应原理，用定态能量差决定的跃迁频率来改写 经典理论中电矩的傅里叶展开式。这样，海森伯就不再需要电子 轨道等经典概念代之以频率和振幅的二维数集。他当时并不知道 这就是矩阵运算，于是就向玻恩请教有没有发表价值。玻恩经过 几天思索才发现海森伯用来表示观察量的二维数集正是线性代数 中的矩阵，此后，海森伯的新理论就叫《矩阵力学》。 玻恩着手 运用矩阵方法为新理论建立一套严密的数学基础。与数学家约丹 联名发表了《论量子力学》一文，首次给矩阵力学以严格的表述。 接着，玻恩、约丹、海森伯三人合作，系统地论述了本征值问题、 定态微扰和含时间的定态微扰，导出了动量和角动量守定律，以 及强度公式和选择定则，从而奠定了量子力学的基础。
三 .关于量子力学完备性的争论
玻恩、海森伯等人提出了量子力学的诠释之后，遭到了爱因斯坦 和薛定谔等人的批评，他们不同意对方提出的波函数的几率解释、 测不准原理和互补原理，双方展开了一场长达半个世纪的大论战， 许多理论物理学家、实验物理学家和哲学家卷入了这场论战，至 今还未告结束。 正是由于以爱因斯坦为代表的EPR一派和以玻尔 为代表的哥本哈根学派的长期争论，才使得量子力学越来越完备， 很多问题得到了系统性的研究。 1965年，贝尔在定域隐参量理论 的基础上提出了一个著名的关系，人称贝尔不等式，于是有可能 对隐参量理论进行实际的实验检验，从而判断哥本哈根学派对量 子力学的解释是否正确。从70年代开始，各国物理学家先后完成 了十几项检验贝尔不等式的实验。这些实验大多数都明显地违反 了贝尔不等式，而与量子力学理论预言的相符。但也不能就此对 爱因斯坦和玻尔的争论作出最后裁决。目前这场论战还在进行之 中，没有得出最后的结论。
第十三章早期量子论和量子力学基础3
一维运动自由粒子(v <<c ) 的薛定谔方程
2. 在势场中粒子的薛定谔方程 对处于保守力场U(x, t) 中的粒子：
2 px E U ( x, t ) 2m
薛定谔方程变为：
2 2 ( x, t ) [ i U ( x, t )]( x, t ) 2 t 2m x
f (t ) 1 i E t f (t )
2
f (t ) e
i Et
— E 代表粒子的总能量
2 1 2m ( r ) U ( r ) ( r ) ( r ) E 2m 2 2 ( E U ) 0
马克斯· 玻恩(1882～1970)，德国犹太裔理论物理学家，量 子力学奠基人之一。主要成就是创立矩阵力学和对薛定谔 的波函数作出统计解释。获得1954年的诺贝尔物理学奖。
玻恩25岁获哲学博士学位，27岁获大学任教资格。33岁去柏林大学任理论 物理学教授，与普朗克、爱因斯坦、能斯特并肩工作。1925年至1926年与 泡利、海森堡和帕斯库尔· 约尔丹（Pascual Jordan）一起发展了现代量子 力学（矩阵力学）的大部分理论。1926年又发表了他自己的研究成果玻恩 概率诠释（波函数的概率诠释），后来成为著名的“哥本哈根解释”。 卢瑟福-玻尔的原子行星模型和玻尔关于电子能级的假设（其中把普朗 克的量子概念与原子光谱联系起来了）曾被用来解释后来知道的一些数据和 现象，但只取得了一些微不足道的成功。在物理理论从经典向现代过渡的这 一时期（约在1923年前后），泡利和海森堡都在哥廷根大学做玻恩的助手。 玻恩以海森堡的测不准原理和德布罗意物质波为起点进行研究，系统地 提出了一种理论体系，在其中把德布罗意的电子波认为是电子出现的几率波。 玻恩-海森堡-约当矩阵力学与薛定谔发展起来的波动力学的数学表述不同， 狄拉克证明了这两种理论体系是等效的并可相互转换。今天，我们把它称为 量子力学。
第十三章 8,9,10波函数 氢原子 自旋_
n =1, K
1s 2s 3s 4s 2p 3p 4p 3d 4d 4f
11
n =2, L n =3, M n =4, N
（3）轨道角动量空间量子化和磁量子数
核外电子绕核运动，具有磁矩，在外磁场中发生转动，其方 向也是量子化的。 设外磁场 B 的方向沿 z 方向，角动量在 z 轴上的投影 L z 只能取
9
§13-9 量子力学中的氢原子问题
一、氢原子的严格解的结果
z
电子
θ (r ) = R(r ) ( ) 设波函数为 r y 原子核 （1）能量量子化 φ 13.6 x 求解 R (r ) 得氢原子能量：En 2 n = 1, 2, 3, 4, 5,, n 称 n 为主量子数。
2 2 2 2 K 2 2 ka n , (k 0, n 1,2,) En n n ∝ 2 2m 2ma 将k代入得： 2 E = E n n 1 (1) 粒子能量量子化 n 2 2 E1 (2) 粒子的最小能量不等于零 2ma 2
6
2 n x) 波函数 n ( x) ( sin a a ( n 1,2,3,)
自旋磁量子数 实验表明 s, ms只能取值如下：
L l (l 1)
对比轨道角动量 L
S
自旋角动量 S
s( s 1)
1 s 2
1 ms 2
14
三、 原子的电子壳层结构
（1）原子中电子的状态由四个量子数确定：
①主量子数 n=1,2,3,… ②角量子数 ③磁量子数 ④自旋磁量子数
2 2
阱外
x 0, x a
2 d 2 ] ( x) E (x) 方程： [ 2 2m dx
13-0 早期量子论和量子力学基础
上页 下页 返回 退出
选择进入下一节 §13-0 教学基本要求 §13-1 热辐射 普朗克的能量子假设 §13-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论 §13-3 康普顿效应 §13-4 氢原子光谱 波尔的氢原子理论 §13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 §13-6 不确定关系 §13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 §13-8 一维定态薛定谔方程的应用 §13-9 量子力学中的氢原子问题 §13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
上页 下页 返回 退出
上页 下页 返回 退出
本章目录 §13-0 教学基本要求 §13-1 热辐射 普朗克的能量子假设 §13-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论 §13-3 康普顿效应 §13-4 氢原子光谱 波尔的氢原子理论 §13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 §13-6 不确定关系 §13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 §13-8 一维定态薛定谔方程的应用 §13-9 量子力学中的氢原子问题 §13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
上页 下页 返回 退出
பைடு நூலகம்
§13-0 教学基本要求
一 理解黑体辐射、光电效应、康普顿效应和 氢原子光谱等的实验规律，经典理论解释的困难和 早期量子论的解释.
二 理解戴维孙-革末实验规律，德布罗意的 物质波假设.理解物质波的波粒二象性和不确定关系.
三 理解波函数及其概率解释，理解薛定谔方 程及其对一维无限深势阱、一维势垒和遂道效应的 量子力学描述.
早期量子论202-精品文档98页
光控继电器、自动控制、 自动计数、自动报警等.
光控继电器示意图 光
放大器 接控件机构
光的波粒二象性
粒子性
波动性
（具有能量） E
（具有频率）
h
（具有动量） P
（具有波长）
二者通过h来联系
E h
P E
/Chh C
I光强 Nh
N为单位时间垂直通过单位面积的光子数
由相对论动量能量关系式 E2p2c2m02c4
光子m0=0
p E h h c c
光子动量：
p h
h
爱因斯坦光电方程
1 2
mVm2
h
A
A
为电子逸出功，
1 2
m
V
2 m
为光电子的最大初动能。
解释光电效应
1）光强越大 光子数越多 光电子越多 饱和光电流越大 --- 入射频率一定时饱和光电流和入射光强成正比
例. 某金属红限波长为 λ0 ， 波长为λ(λ<λ0 )照射该金属， 金属释放出的电子(质量为 me )的动量？
相对能量变化 ΔE1.0 51 03321 026 E 51 08
24.2 光电效应与爱因斯坦理论
24.2.1 光电效应
光电效应 光电子
实验规律
1. 饱和电流 2. 遏止电压 3. 红限频率 4. 具有瞬时性
光电管
K
照射光
A.
OO
OO
OO
G
V
B
OO
1. 饱和电流
I
入射光频率一定时，饱和光电流强度 饱
U
Uc
Uc KU0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14
练习13-19．在氢原子中，处于 3d 量子态的电子的四个 量子数 (n, l , m l , ms ) 可能的取值为：
(A)
(3,1,1,
( 2,1,2,
1 )（B） (1,0,1, 1 ) 2 2
（C）
1 ) 2
（D） (3,2,0,
1 ) 2
√
1 2
练习13-20．在主量子数 n 3 ，自旋磁量子数 中，能够填充的最多电子数是 。
2
dV 1
。填：相同
光电效应——光的粒子性 康普顿散射——光的粒子性 戴维孙-革末实验——电子波动性 施特恩-格拉赫实验——电子自旋
（8）势阱
2 概率图的峰值个数 n： 概率最大的个数，位置 （9）填充电子遵守两个原理 泡利（Pauli）不相容原理， 能量最小化原理。 3
势阱宽 a 与物质波波长 ：a n
﹏
代入数据得：
E 2.56 eV
上式用氢原子能量表示：
13.6 13.6 Em E2 ( 2 ) ( 2 ) 2.56 m 2
2
13.6 eV
m2 16.2
m 4 Em 0.85 eV
基 态
7
练习13-23 基态的氢原子被外来单色光激发后，仅观察 到三条可见光谱线。求（1）外来光的波长；（2） 被观察到的三条谱线的波长。
(a x a)
那么粒子在 x 5a 6 处出现的概率密度为：
(A) 1 (2a )
√
(B) 1 a
(C) 1
2a
(D) 1 a
11
例 试确定处于基态氦原子中电子的量子数。 解：氦原子有两个电子。 据能量最小原理，两电子处于1s态，即n=1，则：
l 0, ml 0
据泡利不相容原理，它们的自旋磁量子数应分别 为1/2和-1/2。 因此，处于基态的氦原子中的两个电子的四个 1 1 量子数分别为： (1,0,0, ) 和 (1,0,0, ) 2 2 练习13-16．在主量子数 n 4 的量子态中，角量子数 l 的可能取值为 l 0,1, 2,3 ，磁量子数 ml 的可能取值 为 ml 0, 1, 2, 3 。
12
例： 分别计算量子数 n 2, l 1 和 n 2 的电子的可能 的状态数。 解：对 n 2, l 1的电子， ml 1, 0, 1
1 1 m 对每一种 l ， 又可取 ms , 。 2 2
故总的状态数为：3 2 6
2n 8
2
13
ml 、ms 四个量子数表 练习13-17．原子内电子的量子态由 n 、 l 、 l 、ml 一定时，不同的量子态有 2 个；当 n 、 l 征，当 n 、 一定时，不同的量子态有 2(2l 1) 个；当 n 一定时，不同的量子 态数目为 。
解：(1)对应的光子能量
(2)巴尔末系的可见光，由n=5，4，3， 到k=2能级跃迁产生。即，
13.6 13.6 En 2 ( 2 ) ( 2 ) 2.86(eV ) n 2 得： n 5 即：从n=5的n=2能级的跃迁， 可产生434nm的光谱线。
hc h 2.86(eV ) e
例题13-6 气体放电管中，用能量为12.5 eV的电子通过碰撞使氢 原子激发，问受激发的原子跃迁时，能发射哪些波长的光谱线? 解： 设氢原子最高能被激发到第n 能级，此能级的能量为
n3 n2 n3 n1 n n 因为n只能取整数, 所以n=3。于是，能发射3条谱线。 2 1 ~ R( 1 1 ) 8 R n 3 n 1 1 9 12 32 9 1 9 m 102.6nm 7
8R 8 1.096776 10
.6 , 即： 13 2 eV n
6 12.5 En E1 13.6 13. n2 把 En E1 12.5eV 代入上式得： n 3.5
n 3 n 2
n 2 n 1
~ R( 1 1 ) 5 R 2 2 2 2 3 36
4
5
3
k2
(3) 由n=5向下跃迁能产生谱线： 10条，分布在4个线系中。
基 13.6eV 态
9
例：氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小。
13.6 eV 2 n
解 ：
En
L
l (l 1)
据题义 n 2, l 1 得：E2
13.6 eV 3.40 eV 2 2
h h P 2eRB
16
练习13-15．设粒子运动的波函数曲线分别如图（A）、（B）、 （C）、（D）所示，则其中确定粒子动量的精确度最高的波 函数是哪个图？
√
(A)
x
(B)
x
(C)Leabharlann x(D)x
17
L l (l 1) 2
10
练习13-13 将波函数在空间各点的振幅同时增长D倍，
则粒子在空间的分布概率将是（
（A）增大D2倍
）
（B）增大2D倍 （C）增大D倍 （D）不变
√
练习13-14 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，
1 3x ( x) cos 其波函数为： 2a a
2 36 656.3nm
5R
~ R( 1 1 ) 3 R 3 2 2 1 2 4
3 4 121.6nm
3R
4
练习13-5．氢原子基态的电离能是 氢原子，其电子在主量子数 n
ev;电离能为 0.544ev 的
的轨道上运动。
电离态：核外电子，脱离原子核束缚（能量为零）的状态， 即电子处于自由态。 电离能：电子从n态到电离态所需的能量，称电离能。 解：椐题意画示意图：
1
（6）原子中电子的量子数和电子组态
(n, l , ml , ms ) 1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p6
（7）能级跃迁： n能态电子电离能 （8）能级跃迁对应的波长公式
E En
1 1 R( 2 2 ) k n 1
hc eE
其它
（1）普朗克假设 （2）爱因斯坦假设 （3）波粒二象性
解：（1）椐题意高能态量子数为m=5，见图：
外来单色光频率满足：
m5
4
3
外来单色光波长满足：
（2）三条谱线波长：
n 5n 2
h E5 E1 hc E5 E1 95.2nm
2 5 100
～ ～ ～ ～
2
13.6eV
~ R( 1 1 ) 21 R 1 2 2
L l (l 1)
l 为角量子数，取值n个
（3）轨道角动量空间量子化和磁量子数 取值 2l 1。
S
Lz ml
ml 为磁量子数。
s( s 1) s 为自旋量子数。
1 s 2
（4）自旋角动量和自旋磁量子数
（5）自旋角动量空间量子化和自旋磁量子数
ms 为自旋磁量子数。
1 S z m s ms 2
第十三章
（1）能量量子化
氢原子问题
13.6 En 2 n
称 n 为主量子数。
第n个轨道的半径
rn n 2 r1
电子主量子数为n时具有的动能 （2）轨道角动量和角量子数
1 Ek 2 n
l = 0, 1, 2, 3, , (n - 1) s, p, d, f, ... ...
ml 0,1,2,..., l
基 13.6 eV 态
6
练习13-22．氢原子从某初态跃迁到第一激发态，所发射 光子的波长为 486nm ，求该初态能量和主量子数。 解：设初态量子数为m，椐题意画示意图： “m”态到“第一”激发态，能量差：
h hc hc E h ( J ) (eV ) T e
m
486 nm
1 100 434nm
21R
基 态
同理得：
n 4n 2
n 3n 2
2 486nm
3 656.3nm
8
练习（1）氢原子光谱巴耳末线系中的434nm波对应的光 子能量？（2）哪两个能级之间的跃迁能观察到上述光 谱线？（3）在上述两个能级的高能态向下跃迁时，能 产生几条光谱线，分布在几个线系中？
0
n
若电离能 E 0.544eV
0.544eV
基态
13.6eV
5
练习13-21 （1）氢原子从基态激发到某定态需要能量 10.19ev， 则该定态的能量为 。 （2）若氢原子从能量为0.85ev 的状态跃迁到上述定态，则 所发射光子的能量为 。
解（1）设题中“某定态”量子数为n，椐题意：
2 2(2 l 1) 2 n l 0 n 1
练习13-18．氩（Z=18）原子基态的电子组态是
(A)
1s 2s 3 p
2
8
8
(B)
1s 2s 2 p 3d
2
2
6
8
(C) 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 （D）1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 4 3d 2 √
En E1 10.19 En (13.6) 10.19
En 3.40(eV )
m
0.85 eV
（2）设-0.85eV的状态量子数为m： 则从m→n态跃迁，发射光子的能量：
E Em En [( 0.85) (3.40)]eV 2.55eV
n
10.19 eV
谐振子，能量量子化，能量子 光（量）子 h p E h
（4）波尔的氢原子理论
（1）定态假设 （2）频率条件 （3）角动量量子化条件