圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段

以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,

2,

2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12

222 b a b

y a

x

=+

. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12

22

2

b a b x a y

=+

.

②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.

③椭圆的标准方程：122

2

2=+

b y a x 的参数方程为⎩⎨

⎧==θ

θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π

θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.

>

②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.

③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c

a y 2

±=.

⑥离心率：)10( e a

c

e =. ⑦焦点半径：

i. 设),(00y x P 为椭圆

)0(12222 b a b y a x =+

上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 》

ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12

22

2 b a a

y b

x =+

上的一点，21,F F 为上、下焦点，则

由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002

200201 x a ex x c

a e pF x ex a c

a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222

2a b c a b d -=和),(2a

b c

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆

)0(12

22

2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a

c

e -==

，方程t t b y a x (2

22

2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a

c

e =

我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：

12

22

2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2

tan

2θ

b （用

⇒

-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒

-=+=0201,ey a PF ey a PF

余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2

cot 2θ

⋅b .

&

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

以无轨迹

方程为双曲线

21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=- ⑴①双曲线标准方程：

)0,(1),

0,(12

22

22

22

2 b a

b x a y b a b y a x

=-

=-

.

一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.

}

⑵①i. 焦点在x 轴上：

顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b y

a x 或02222=-b

y a x

ii. 焦点在y 轴上：

顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：

),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2

±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b

x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩

⎨⎧==θθ

sec tan a y b x .

②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a

c

e =

. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a

b 2

2.

-

⑤参数关系a

c

e b a c =

+=,222.

⑥焦点半径公式：对于双曲线方程

1

2

22

2=-

b y a x

（21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

a

ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-

M a ex F M '--='01asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆