二面角求法(叶小兵)
二面角的求法
二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。
二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角。
以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小可用平面角表示。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
二、二面角的基本求法1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。
例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角11A B C A--的大小；（2）平面11A DC与平面11ADD A所成角的正切值。
例2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为.例3 广东高考理18.(本小题满分13分)如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，分别是BC,PC的中点.(1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.︒PA PD==⊥图1AGPAＳBＳCＳDＳFEB例3.在长方体1111ABCD A BC D -中，AD =1AA =1，2AB =，点E 是AB 上的动点. (1)若直线1D E EC 与垂直，请确定点E 的位置，并求出此时直线1AD 与EC 所成的角; (2) 在（1）的条件下求二面角1D EC D --正切值的大小.例4．四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点. （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.2．三垂线法例5．ABCD ABEF ABCD ^平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=12AD=a ，G 是EF 的中点， （1）求证：AGC BGC ^平面平面； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角B AC G --的大小。
浅谈二面角的求法
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Ｓ△ Ｂ Ｆ Ｅ
２１
在棱ｌ 上找一点０ 两个平 面 内分别作 棱的垂线ＡＯ Ｂ ， 、 Ｏ 则
Ａ Ｂ Ｏ 为二 面 角 —— 的 平 面 角 ，此 法 较 多 适 用 于 两 面 是 共 底 ｌＢ
的等 腰 三 角 形 或 全等 三 角 形 ． 例 １ 在 正 四 面 体Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， 相 邻 两 个 平 面 所 成 的 二 面 角 求
，
ห้องสมุดไป่ตู้即所 求 二 面 角 Ｃ Ａ － － Ｂ Ｄ的大 小 为 ａｃ。＝Ｘｊ ｒｃｓ — ３ ／
总 评 ： 用 几 何 法 和 向 量 法 求 ： 面 角 时 各 自有 其 优 势 ， 运 二 一般
别 是Ｂ Ａ 的 中点 ， 求 平 面 ＢＥ Ｃ、 Ａ， ，Ｆ与底 面 ＡＩ。 Ｄ 成 二 面 角 的大 小 ． ＢＣ
直 的 两个 向量 的夹 角 ． 例４ 如 图 ， 在 四 面 体 Ａ Ｃ 中 ， Ｃ上平 面 Ｂ Ｄ Ｂ ＢＤ Ａ Ｃ ， Ｄ上平 面
Ａ Ｄ， Ｂ Ｄ＝ ５ ， ＿ Ｂ ３ ｏ求 二 面 角Ｃ Ａ — Ｃ Ａ ４ ｏ ＸＡ Ｃ＝ ０ ， — Ｂ Ｄ的大 小 ．
．
正 旧 面 体Ａ Ｃ ．Ｅ上Ｂ ， Ｅ上Ｂ ＢＤ Ａ ＣＤ Ｃ Ａ Ｄ 二 面 角 一一 的 平 面 角 ， Ｅ为 １Ｂ
所 求 二面 角 的大 小 为 ｃ。 ｒ
２ｌ
．
二、 向量 法
将 所 求 二 面 角 转 化 为 有 关 向量 的 夹 角 ， 利 用 向量 的 夹 角 再
公 式 计算 ．
的平 面 角 的 大 小 ． 解 ： Ｂ 的 中点 Ｅ 连 接 Ａ ， Ｅ 取 Ｃ ， ＥＤ
二面角的计算方法
图1二面角计算一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。
通常作二面角的平面角的途径有：⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面β内的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD⊥AB 于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是 所求二面角的平面角。
⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。
例1 如图2，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD⊥底面ABCD ． （1）证明AB⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小． 解：（1）证明：VAD ABCD AB AD AB VADAB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⎭平面平面平面平面平面平面 （2）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ， ∵△VAD 是正三形，四边形ABCD 为正方形， ∴由勾股定理可知，BD VB,===∴AE⊥VD，BE⊥VD，∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt△ABE 中，∠BAE=90°，AB ，因此，tan∠AEB=.332=AE AB 即得所求二面角的大小为.332arctan例2 如图3，AB⊥平面BCD ，DC⊥CB，AD 与平面BCD成30°的角，且AB=BC.（1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小； （2）求二面角C-AD-B 的大小；（3）若AB=2，求点B 到平面ACD 的距离。
解：(1) ∵AB⊥平面BCD ，∴∠ADB 就是AD 与平面BCD 所成的角,即∠ADB=300,且CD⊥AB， 又∵DC⊥BC，ABBC B =,∴ CD⊥平面ABC ，∴ AD 与平面ABC 所成的角为∠DAC ，设AB=BC=a,则AC=a 2， BD=acot300=a 3,AD=2a, a BC BD CD 222=-=,∴ tan∠DAC=122==aa CDAC , ∴ 045=∠DAC ,即，AD 与平面ABC 所成的角为450. (2)作CE⊥BD 于E ，取AD 的中点F ，连CF ， ∵ AB⊥面BCD ，ABD AB ⊂面， ∴ 面ABD⊥面BCD ， 又∵ 面ABD面BCD=BD ，BCD CE ⊂面，CE⊥BD，∴ CE⊥面ABD ，又∵AC=BC=a 2，AF=FD ，∴AD⊥EF，有三垂线定理的逆定理可知，∠CFE 就是所求二面角的平面角.计算可知, BC CD CE BD ⋅=，2AD a,=12CF AD a ==，∴ CE sin CFE CF ∠==故，所求的二面角为3.略例3如图4，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O.（1）证明PA ⊥BF ；（2）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。
数学二面角的求法总结
数学二面角的求法总结数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
它是一个重要的几何概念，在计算机图形学、物理学、化学等领域都有广泛的应用。
本文将总结数学二面角的求法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、定义数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
具体来说，设平面P1和平面P2相交于一条直线L，将P1和P2分别沿着L旋转，直到它们重合为止。
此时，P1和P2的夹角就是它们的二面角。
二、求法1. 余弦定理法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：cosθ =(n1·n2) / (|n1|·|n2|)其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模长。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：cosθ = n1·n2这个式子就是余弦定理。
它告诉我们，两个向量的点积等于它们的模长乘以夹角的余弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的点积来计算二面角的余弦值，然后再用反余弦函数求出夹角。
2. 向量叉积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = |n1×n2| / (|n1|·|n2|)其中，×表示向量的叉积。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：sinθ = |n1×n2|这个式子就是向量叉积的模长公式。
它告诉我们，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘以夹角的正弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的叉积的模长来计算二面角的正弦值，然后再用反正弦函数求出夹角。
3. 三角形面积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = 2·S / (|P1|·|P2|)其中，S表示P1和P2的交线段所在的平面的面积，|P1|和|P2|分别表示P1和P2的面积。
立体几何中二面角的求法
立体几何中二面角的求法★★★高考在考什么二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点，从近几年的高考试题来看，几乎每年都涉及到二面角的求法。
二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法(6)法向量法一、定义法： 在二面角的棱上找一点，在俩个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。
二、垂线法：利用线面垂直的性质群钊二面角的平面角。
最常用最有效的一种方法例2 如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的度数。
三、垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的俩个半平面形成交线，这俩条射线（交线）所成的角即为二面角例3 如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。
（1）求证：A 1、E 、C 、F 四点共面； （2）求二面角A 1-EC-D 的大小。
四、延伸法中点，例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC1求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。
五、射影法例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。
参考答案例1、分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EO⊥⊥BD，A 1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。
例2、分析与解本题应用垂线法作出二面角的平面角，因△VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC。
实用二面角的求法(一)
二面角的求法（一）一、基本概念1、二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
2、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点在两个面分别作垂直于棱上两条射线，这两条射线所成的夹角。
3、二面角的平面角应满足的条件：①角的顶点在棱上。
②角的两边在两个平面内③角的两边均垂直于棱。
④角的范围：00≤α≤1800二、求二面角的方法方法1：定义法在棱上找一点在两个平面内分别作棱的垂线, 两垂线所夹的平面角为二面角，此法适用于两面是共底的等腰三角形或全等三角形。
方法2：三垂线法过其中一个平面内一点A 作另一个平面的垂线，然后过垂足B 作棱的垂线交棱于C ，连接AC 形成三条垂线，在Rt ΔABC 中∠ACB 是二面角的平面角。
此法一般用已知的垂线开始作解，作出平面角，直观简洁，是常用方法。
方法3：垂面法过二面角内一点或过垂直于棱的异面直线作棱的垂面，则这个垂面与二面角的两个面的交线的夹角就是二面角的平面角。
此法不常用。
方法4：射（投）影面积法把两面角的一个面作为基准面，另外一面在基准面上作投影，用公式cos =原射S S 求解二面角大小，通常用于在两个内对应点的连线是基准面的垂线即投影线或无棱的二面角计算。
方法5：向量法建立空间直角坐标系，把解决两个平面的夹角大小转化为两个向量的夹角的大小，常用棱上取两点向量法和平面法向量法。
该法适用于二面角不易图示求解和易于建立空间直角坐标系的直棱柱（锥）体及无棱的二面角。
也可引申证明直线与平面垂直或平行。
（※本法高考常用）（1）棱上取两点向量法(2)平面法向量法方法6：无棱补棱法对于无棱的二面角，过交点在一个面内作一条边的平行线等方法构成可视的棱，然后求解。
求二面角的6种方法【自己总结全面】
a O课题3：二面角求法总结一、知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、 二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 5、二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有： 6、 （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； 7、 （2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。
（3）射影法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
（4）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（5）无交线的二面角处理方法（6）向量法二、二面角的基本求法及练习1、定义法（从两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线可以相交也可异面，从而面面角就转化为线线角来求）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
二面角的计算方法精讲
(2)求面VAD与面VDB丄平面二面角的计算方法精讲二而角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的三种基本计算方法，供同学们学习参考。
一＞直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。
通常作二面角的平面角的途径有:⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作檢的垂线；⑵三垂线法：如图1, C是二面角a-AB-p的面0内的一个点，CO丄平面a于0,只需作0D丄AB 于D,连接CD,用三垂线定理可证明ZCDO就是所求二面角的平面角。
⑶垂面法：即在二面角的稜上取一点，过此点作平面了，使了垂直于二面角的棱，则厂与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。
例1如图2.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形, 平面VAD丄底面ABCD.(1)证明AB丄平面VAD：解：(1)证明：平面VXD丄平面ABCDAB 丄ADAB u 平面ABCDAD =平面VADC\平面ABCD(2)解：取VD的中点E,连结AF, BE,•「△VAD是正三形，四边形ABCD为正方形,•••由勾股定理可知，BD = y/AB2+AD2 =y/AB2+VA2 =VB9•••AE丄VD, BE丄VD,••• ZAEB就是所求二面角的平面角.又在RtAABE 中，ZBAE=90°, AE=^AD=^AB,2 2怪I2因此，5ZAEB二也二空AE 3即得所求二面角的大小为arctan二』.3例2 如图3, AB丄平面BCD, DC丄CB, AD与平面BCD 成30°的角，且AB二BC.(1) 求AD与平面ABC所成的角的大小：(2) 求二面角C-AD-B的大小;(3) 若AB二2,求点B到平面ACD的距离。
解：(1) TAB丄平面BCD ,••• ZADB就是AD与平面BCD所成的角，即Z ADB二30°,且CD丄AB, 又TDC丄BC, =A CD丄平面ABC,••• AD与平面ABC所成的角为ZD AC ,设AB二BC二a,則AC二y[la , BD=acot30°=怎ci, AD二2a, CD = Q BD'一BC，=迈a,•: tan Z DAO 竺== 1, /. ZDAC = 45°,CD 、伍a即.AD与平面ABC所成的角为45°.⑵作CE丄BD于E,取AD的中点F,连CF.V AB丄面BCD, ABu面ABD,面ABD丄面BCD,又T 面ABD"面BCD二BD, CEu面BCD,CE丄BD,•I CE丄面ABD,又TAC二BC二"a, AF=FD, ••.ADIEF.有三垂线定理的逆定理可知，ZCFE就是所求二面角的平面角.计算可知，CE」© °)=並口, AD = si AC2 + CD2 =2a t CF = -AD = a. BD 32sin Z.CFE = -Z CFE=arcs i n .CF 3 3故，所求的二面角为arcsin^E3BO =T °在仙。
求二面角的方法
解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。
求二面角平面角的方法
OABO A B l寻找二面角得平面角得方法二面角就是高中立体几何中得一个重要内容,也就是一个难点。
对于二面角方面得问题,学生往往无从下手,她们并不就是不会构造三角形或解三角形,而就是没有掌握寻找二面角得平面角得方法。
我们试将寻找二面角得平面角得方法归纳为以下六种类型、１。
1 二面角得相关概念新教材在二面角中给出得定义如下:从一条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角、定义只给出二面角得定性描述,关于二面角得定量刻画还必须放到二面角得平面角中去研究.教材如下给出了二面角得平面角得概念: 二面角得平面角就是指在二面角得棱上任取一点Ｏ,分别在两个半平面内作射线,则为二面角得平面角.2. 二面角得求解方法对二面角得求解通常就是先定位二面角得平面角,从而将三维空间中得求角问题转化为二维空间并可以通过三角形得边角问题加以解决。
定位出二面角为解题得关键环节,下面就二面角求解得步骤做初步介绍:一、“找”:找出图形中二面角,若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角得平面角 二、“证":证明所找出得二面角就就是该二面角得平面角 三、“算”:计算出该平面角由于定位二面角得难度较大,对于求解二面角还有一种思路就就是绕开定位二面角这一环节,通过一些等价得结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角得大小、本文将根据这两种解题思路对二面角得解题方法做一一介绍.2、１ 定位二面角得平面角,求解二面角二面角常见题型中根据所求两面就是否有公共棱可分为两类:有棱二面角、无棱二面角.对于前者得二面角得定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角得平面角;而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱"而“现棱"再进一步定位二面角得平面角。
一、根据平面角得定义找出二面角得平面角例1 在得二面角得两个面内,分别有与两点、已知与到棱得距离分别为２与4,且线段,试求:(1)直线与棱所构成得角得正弦值; (2)直线与平面所构成得角得正弦值.分析:求解这道题,首先得找出二面角得平面角,也就就是找出角在哪儿。
二面角的几种求法1
二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：以二面角的棱a 上任意一点O 为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB ，则∠AOB 就是此二面角的平面角。
例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
αβaO AB二、三垂线定理法：在一个平面α内选一点A 向另一平面β作垂线AB ，垂足为B ，再过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连结AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。
例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
例、如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.三、垂面法：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。
ABOαβa aαβABCOABC DA 1B 1C 1D 1EpA BCD例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
例、如图，设M 为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD 1与底面ABCD 所成的二面角的大小。
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
求二面角的六种常规方法
求二面角的六种常规方法二面角是指两个平面或两条直线的交角，常见的二面角有以下六种常规方法：1.夹角法：即利用两个平面的夹角来计算二面角。
给定两个平面，可以通过计算它们的法向量之间的夹角来得到二面角。
这个方法常用于计算两个平面的夹角，如计算棱镜的二面角、计算物体的棱角二面角等。
2.夹线法：这种方法主要用于计算两条直线的交角。
给定两条直线，可以通过计算它们的斜率之差来得到交角。
这个方法常用于计算直线的交角，如计算两个平面的交线的二面角、计算两个物体的接触面边缘的二面角等。
3.余角法：这种方法是在夹角法的基础上进行的改进。
给定两个平面或两条直线的夹角，可以通过计算其余角来得到二面角。
余角是指二面角的补角，即与二面角相加等于180度的角。
通过计算余角，可以得到二面角的大小和方向。
4.三角函数法：利用三角函数的性质，可以通过已知的边长或角度来求解二面角。
根据已知的边长和角度，可以使用正弦、余弦或正切函数等来求解二面角。
这个方法在计算复杂的三维图形或角度时非常有效。
5.矢量法：这种方法利用矢量的性质来计算二面角。
给定两个平面或两条直线的法向量，可以通过计算它们的夹角来得到二面角。
矢量法常用于计算立体图形的面角二面角、计算两个物体的平行面边缘的二面角等。
6.投影法：这种方法利用到给定的图形在投影面上的投影来计算二面角。
给定两个平面或两条直线的投影面，可以通过计算它们的投影线之间的夹角来得到二面角。
投影法常用于计算物体的棱角二面角、计算物体在投影面上的映射角等。
以上六种常规方法是计算二面角常用的方法，根据具体情况选择合适的方法进行计算，可以提高计算的准确性和效率。
二面角的正弦值怎么求
二面角的正弦值怎么求
二面角的正弦值的求法是先建立直角坐标系，求出各点坐标，设面S1的法向量，用sin²+cos²=1即可计算正弦值，且为正值，二面角就是该夹角或其补角。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角介绍
平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，每一部分都叫作半平面。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。
这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。
二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。
二面角也可以看作是从一条直线出发的一个半平面绕着这条直线旋转，它的最初位置和最终位置组成的图形。
二面角的平面角的大小，与其顶点在棱上的位置无关。
如果两个二面角能够完全重合，则说它们是相等的．如果两个二面角的平面角相等，那么这两个二面角相等。
反之，相等二面角的平面角相等。
二面角的求法课件5
A
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角。
• 二面角的大小用它的平面角来度量； 求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角； （2） 用三垂线定理或其逆定理；
P
a
B
A
A
（3）垂面法： 作二面角棱的垂面，则垂面
O
P
和二面角的两个面的交线所成的角即是该二
面角的平面角。
B
二面角求法
3
例1 在正方体AC1中，E为BC中点，3（1）求面 B1BCC1与面AB1C所成的二面角的正弦值；（2）
求二面角E—B1D1—C1的正切值。2 2
D A
C
D
B
A
C E
B
F
D1
A1
（1）
C1
B1
A1
D1
H
（2）
C1 G B1
例2、如图，△ABC在平面α上的射影为正△AB1 C1，
CF 2 m2 n2 2mn cos 再由RtECF可得 EF 2 d 2 m2 n2 2mn cos
mA
E
d d
mB n
C
F
用此公式亦可求二面角的平面角；这实为异
l
面直线上两点的距离公式，但这里不局于限(0º,90º],
(0º,180º)。
B
5
600 aE
P 3
A
例4 已知Rt△ABC顶点A不在α内，斜边BC在α内，
AB、AC分别与平面α成300、450角，求△ABC所在
平面与α所成角。
A
A1
300
450
B
E
二面角解题方法
二面角解题方法
二面角是指两条线段之间的夹角，解题方法通常有以下几种：
1. 利用三角函数：可以使用余弦定理或正弦定理来求解二面角。
余弦定理适用于已知三边长度的情况，可以计算出两条边的夹角。
正弦定理适用于已知两边长度和其夹角的情况，可以计算出第三条边的长度和另外两条边的夹角。
2. 行列式法：可以将两个向量的坐标表示为行向量，然后计算它们的行列式。
行列式的值的绝对值即为两个向量之间的二面角的正弦值。
3. 向量法：可以将两个向量标准化后进行内积计算，再使用反余弦函数求解夹角。
向量法适用于已知两个向量的坐标的情况。
4. 投影法：将两个向量的投影分解到一个平面上，然后计算平面上的夹角。
投影法适用于已知两个向量的坐标的情况。
需要注意的是，在使用这些解题方法时，需要确保两个向量或线段之间的距离和方向正确，以及计算时使用的单位和坐标系一致，否则可能会得到错误的结果。
二面角的求法
【课后作业】
1.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD， ,E，F分别是BC,PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
二面角的求法
【知识梳理】
(一).求二面角的主要方法：
（1）定义法：①找（作）二面角的平面角；【先证】②解三角形求出角。【后算】
（2）公式法：设二面角的度数为θ，则 (多用于求无棱二面角)。
(二)求作二面角的平面角
求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求二面角E—AF—C的余弦值.
2．如图，正四棱柱 中， ，点 在源自上且 ．（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小．
3.长方体 中， ， 与平面 成 角，与平面 成 角，求二
面角 的正弦值或余弦值的大小．
4.如图，已知边长为 的正 ，以它的高 为折痕，把它折成一个二面角 ．
1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.
2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.
3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.
2．如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
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有棱二面角1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.例1 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为 二面角C-BD-C 1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉 思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC 1 是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。
将题目略作变化，二面角A 1-BD-C 1的余弦值为 .在图1中，∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cos ∠A 1OC 1=31例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A 1EF 的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连 接A 1B 、A 1P.(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A 1P-F 的余弦值。
分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△ PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=552，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=87-。
练习：2011广东高考理18.(本小题满分13分)如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形， 且∠DAB=60︒，PA PD ==分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 解：(2) 由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在R t B G A ∆中， DB 1图1AOA 1CBD 1C 1O 1M AFA 1QPECPEF 图2(2)图2(1)QPCF222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅. 2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作 出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt △PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例3(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为AB ，不像图3的那样一看就明白 的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥A B 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的 平面角.依次可求得AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23，则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .与图3中的Rt △PAB 比较，这里的Rt △A 1EF 就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备. 3 垂面法事实上，图1中的平面COC 1、图2(2)中的平面QMF 、图3中的平面PAB 、图4中的平面A 1FE 都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.例4空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小. 分析与略解：如图5，分别作PA ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，则易知 l ⊥平面PAB ，设l ∩平面PAB=C ，连接PC ，则l ⊥PC.分别在Rt △PAC 、Rt △PBC 中，PC=3392，PA=4，PB=3，则AC=332，BC=335. A图3αβPBl图4 B 1A αβA 1B lEF P图5βαlCBA因为P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为直径，设PC=2R ，二面角βα--l 的大小为θ. 分别在△PAB 、△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2·AC ·BCcos θ=PA 2+PB 2-2·PA ·PBcos(θπ-)， 则可解得cos θ=21-，θ=120o ，二面角βα--l 的大小为120o . 4 面积法如图1，设二面角C-BD-C 1的大小为θ，则在Rt △COC 1中，cos BDC CBD S S BD O C BDCO O C CO1112121∆∆=⋅⋅==θ，在某些情况下用此法特别方便.例5 如图6，平面α外的△A 1B 1C 1在α内的射影是边长为1的正三角形ABC ，且AA 1=2，BB 1=3，CC 1=4，求△A 1B 1C 1所在的平面与平面α所成锐二面角的余弦值分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB 1、CC 1取BD=CE=AA 1， 则△A 1B 1C 1≌△A 1DE ，可求得A 1B=2，A 1C 1=5，B 1C 1=2，所以等腰△A 1B 1C 1的面积为415，又正△ABC 的面积为43.设所求二面角的大小为θ，则cos θ=55.无棱二面角题目：如图1，正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是1，M 是棱C C 1的中点，求截面BM A 1与底面ABC 所成锐角二面角的大小。
图1一. 平移法我们知道，两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同向二面角相等。
根据这个道理，可将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置，使其相交，构成一个易求解的二面角。
解法1：如图2，取1AA 的中点D ，AB 的中点E ，则平面DEC 中的DE//M A //DC ,B A 11，则//B A 1αD AM 图6E CB C 1A 1B 1H G面DEC ，//M A 1面DEC ，从而面//BM A 1面DEC 。
这样，面BM A 1与面ABC 所成的锐二面角等于面DEC 与面ABC 所成的锐二面角，即二面角A EC D --。
图2由题设条件的正三棱柱，易知AE CE ⊥，DE CE ⊥，则AED ∠是二面角A EC D --的平面角。
在等腰AED Rt ∆中，︒=∠45AED 。
所以面BM A 1与面ABC 所成的锐二面角为︒45。
二. 补形法将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角。
解法2：延长M A 1与AC ，相交于点P ，连结BP ，则所求的二面角是A BP A 1--（图3）图3在AP A 1∆中，由A A //MC 1，且A A 21MC 1=，可得CP AC =。
再由正ABC ∆，可得AC=BC=PC ，则AB BP ⊥。
又B A BP ABC,A A 11⊥⊥则有面。
所以BA A 1∠是二面角A BP A 1--的平面角。
由等腰BA A Rt 1∆，知︒=∠45BA A 1。
三. 射影法设二面角β--αl 的大小为θ，面α内有一个面积为S 的封闭图形，该图形在面β内的射影面积为S'，则S'S cos =θ。
利用这个结论，只要计算S 和S'的值，就可求出二面角的大小。
这种方法可以免去寻找二面角的平面角及其证明过程，使解法直截了当，方便快捷。
解法3：由正三棱柱的条件，可知ABC ∆是BM A 1∆在底面内的射影。
取B A 1的中点N ，连结MN ，易求得2B A ,23MN 1==则等腰BM A 1∆的面积46MN B A 21S 1=⋅=， 等边ABC ∆的面积43'S =。
设所求二面角的大小为θ，由22S 'S cos ==θ，得︒=θ45。
四. 向量法设二面角β--αl 的大小为θ，→→n m 和分别是平面α和平面β的法向量，则角θ与角<→→n ,m >相等或互补。
所以|n ,m cos ||cos |><=θ→→。
特别地，当θ为锐角时，|n ,m cos |cos ><=→→θ。
解法4：以B 为原点，与AC 平行的直线为x 轴，与AC 垂直且相交的直线为y 轴，1BB 为z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，知B （0，0，0），M )21,23,21(，)1,23,21(A 1-。
从而)1,23,21(BA ),21,23,21(BM 1-==→→。
图4设平面BM A 1的法向量是)z ,y ,x (m =→，则由→→→→⊥⊥1BA m ,BM m ，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++0z y 23x 210z 21y 23x 21 取特值1x =，可解得2z ,3y =-=。
所以)2,3,1(m -=→。
显然可取平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(BB n 1==→→。
设平面BM A 1与平面ABC 所成锐角二面角为θ，由22182|n ||m ||n m ||n m cos |cos ==⋅=>⋅<=θ→→→→→→， 得所求二面角的大小为︒45。
公式法大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理． 定理 设为一个三面角， ，，，二面角的平面角为，则有．略证：如图，，，则．令，．在△中，，．同理，，．故．又在△中，，①在△中，．②由①，②得．证毕同理可证，当，中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立（这里从略）．由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了，，，即可求平面角；（2）此公式与三角形中的余弦定理有相似之处，不妨把它叫做三面角的余弦定理．例如图，在梯形中，，，，，，，平面，求以为棱的二面角的大小．略解：构成三面角，令，则，cosϕ=，设，，，．由，，，知，．又在△中，由，，得．在△中，．令，则， ．由公式得 ， ．∴ ．扩展：三面角是立体几何的基本概念之一，是组成多面体的重要元素。