现代控制理论 状态转移矩阵
现代控制理论-02
3. 状态转移矩阵是可逆的，且 Φ −1 (t ) = Φ(−t )
根据 Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
x2 = e A(t2 −t1 ) x1 = Φ(t2 − t1 ) x1
x x(t0) x(t1) x(t2)
x1 = e A(t1−t0 ) x0 = Φ(t1 − t0 ) x0
2. 对任意的t和s，Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
Φ(t )Φ(s) = e At e As 1 2 2 1 A t + L)(I + As + A2 s 2 + L) 2! 2! 1 ⎞ 1 1 1 ⎞ ⎛1 ⎛1 = I + A(t + s) + A2 ⎜ t 2 + ts + s 2 ⎟ + A3 ⎜ t 3 + t 2 s + ts 2 + s 3 ⎟ + L 2! ⎠ 2! 2! 3! ⎠ ⎝ 3! ⎝ 2! 1 2 1 3 2 = I + A(t + s) + A (t + s) + A (t + s) 3 + L 2! 3! = e A(t + s) = Φ(t + s) = ( I + At +
故
e
At
1 −1 1 (T DT ) 2 t 2 + L + (T −1 DT ) n t n + L 2! n! 1 −1 2 2 1 −1 n n −1 −1 = T IT + T DTt + T D Tt + L + T D Tt + L n! 2! 1 1 ⎛ ⎞ = T −1 ⎜ I + Dt + D 2t 2 + L + D nt n + L⎟T n! 2! ⎝ ⎠ =e
《现代控制理论》(刘豹_唐万生)
第1章 控制系统的状态空间表达式1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令θ(s)=y ，则y =x 1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[ x 1•x 2•x 3•x 4•x 5•x 6•]=[ 01000000K b J 200000−K p J 1−K n J 11J K p J 100100000−K 100K 1−K 1p−K 1p ][ x 1x 2x 3x4x 5x 6]+[ 00000K 1K p ]uy =[100000][ x 1x 2x 3x 4x 5x 6]1-2有电路如图1-28所示。
以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压作为输出量的输出方程。
L1L2U图1-28 电路图解：由图，令i 1=x 1,i 2=x 2,u c =x 3，输出量y =R 2x 2 有电路原理可知：R 1x 1+L 1x 1•+x 3=uL 2x •2+R 2x 2=x 3x 1=x 2+Cx 3•既得 x 1•=−R1L 1x 1−1L 1x 3+1L 1ux •2=−R 2L 2x 2+1L 2x 3 x 3•=−1C x 1+1C x 2y =R 2x 2写成矢量矩阵形式为：[ x 1。
x 2。
x 3。
] =[−R 1L 10−1L 10−R 2L 21L 21C−1C 0][x 1x 2x 3]+[1L 100]u y =[0R 20][x 1x 2x 3] 1-3有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.解:以弹簧的伸长度y 1，y 2 质量块M 1， M 2的速率c 1，c 2作为状态变量 即 x 1=y 1，x 2=y 2，x 3=c 1，x 4=c 2根据牛顿定律，对M 1有：M 1dc1dt =f 1-k 1(y 1-y 2)-B 1(c 1-c 2) 对M 2有：M 2dc2dt =f 2+k 1(y 1-y 2)+B 1(c 1-c 2)-k 2y 2-B 2c 2将x 1,x 2,x 3,x 4代入上面两个式子，得 M 1ẋ3=f 1-k 1(x 1-x 2)-B 1(x 3-x 4) M 2ẋ4=f 2+k 1(x 1-x 2)+B 1(x 3-x 4)-k 2x 2-B 2x 4B 1\y 2 c 2 y 1 c 1f 2(t)M 2M 1f 1(t) B 2 K 2K 1整理得 ẋ1=x 3ẋ2=x 4ẋ3=1M 1f 1-k 1M 1x 1+k 1M 1x 2-B 1M 1x 3+B1M 1x 4ẋ4=1M 2f 2+k1M 2x 1-k 1+k 2M 2x 2+B1M 2x 3-B 1+B 2M 2x 4输出状态空间表达式为 y 1=c 1=x 3 y 2=c 2=x 4 1-4两输入u 1，u 2，两输出y 1，y 2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论第二章答案
et
2e 2t
4e2t 2et
4e2t
et
0 1
2 3
(4)
(t)(t)
1
2
(et
e3t
)
(et e3t )
141((eet tee33t t))
1 (et 2 (et
e3t ) e3t )
2
141((eet tee33t t)) I
2
(t)
d dt
1 2
(t)
et
e2t
2e2t 2et
2e2t
et
(4)
(t )
1
2
(et
e3t
)
(et e3t )
141((eet tee33t t))
2
【解】 主要验证矢量不变性:
(t)(t) I
和组合性质: (t2 t1)(t1 ) (t2 )
(1)
1
(t)(t) 0
0
0 sin t cost
8
8
(
z
1 8
3)(z
5)
8
8
(
z
z1 2
3)(z
5)
8
8
x(z) (zI G) 1 zx(0) Hu(z)
(
z
z1 2
3)(z
5)
8
8
1 8
(
z
3)(z
5)
8
8
( (
z z
1 8
3)(z 8 z1
2 3)(z
5 8
5
) )
z
1
3
1 0
8
8
zT
(et
(et
现代控制理论第二章
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
《现代控制理论》复习提纲()
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
现代控制理论第三章
Hu i
i0
从该式可知, 在线性定常离散系统中,设其状态转移 阵为 k ，则 k G k 是满足下列方程的唯一解
k 1 G k
0 I
3.5 线性定常离散系统的受控运动
（二）Z变换法
G
k
G
i0
k 1
k i 1
zI G z Hu i Z zI G
a 0 t , a 1 t , , a n 1 t
e
At
n 1
n 1
a k t A
k
k 0
式中,
为 t 的函数. 根据 A 的不同
特征值情况， 由不同的公式给出.
3.3 线性系统的受控运动
动态系统在控制作用下的运动,称为受控运动. 若受控线性状态方程
x t A t x t B t u t , x t 0 x 0
k 1 T
1 T , kT
kT
k 1 T , B d
D k D t t kT
t , t 0 ——连续系统的状态转移矩阵
3.6 线性连续系统的离散化
当采样周期很小时, 有下面的近似关系.
G kT I TA kT
线性时变离散系统的状态空间模型如下:
x k 1 G k x k H k u k
y k C k x k D k u k , k 0 , 1, 2 ,
线性定常离散系统的状态空间模型如下:
x k 1 Gx k Hu k
（三）矩阵指数（状态转移矩阵）的性质:
现代控制理论(8-11讲：第3章知识点)
f () I - A n an1 n1 a1 a0
f (A) An an1An1 a1A a0I 0
f () I - A 2 5 7 0
用A代替λ ，则
f (A) A 5A 7I 0
1 2 2 t 0 0 1t 2! 1 1 1 .. .. 0 nt 1 0
1 2 2 1 k k P (I + At + A t + ... + A t + ...)P 2! k!
11
习题: 2.4 (2) (3) 2.5 (1):1, 2
12
（2）系统矩阵A具有n重特征值: 则
Φ(t ) e
At
i t e Q
te e
i t
i t
0
1 ( n 1) i t ... t e (n 1)! 1 ... ... Q .. tei t i t e
2
15
例2：设矩阵为:
0 0 A 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
试用Cayly-Hamilton定理，求A7-A3+2I。 解：
0 1 0 0 1 0 4 1 0 I A 0 0 1 1 0 0
At
e 0 (t )I 1 (t )A an1 (t )A
At
n1
证： A 即
n
an1A
n1
a1A a0I 0
An an1An1 a1A a0I
an1 (an1An1 a1A a0I) an2 A n1 ... a0 A
现代控制理论32g状态转移矩阵计算
ni a1ni 1 ... an1i an
i 1, n
eit 0 (t) 1(t)i ... n1(t)ni 1 i 1, n
✓ 因此设d()整除|I-A|得到的因式记为(),故有 |I-A|=d()(),
最小多项式(4/3)
由于首一多项式d()的最高阶次的系数为1,所以()的最高
阶次的系数也应为1。 ➢ 因此,综合上两式,可得
(I-A)B()=()I
因而
(A)=0 即()亦为A的零化多项式。 ➢ 设()为A的最小多项式,因此零化多项式()可写为
约旦规范形法—例3-5
故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为
1 1 1 P 0 2 6
1 4 9
3 5/2 2
P1 3 4
3
1 3/2 1
3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有
1 0 0
A~
P
1
AP
0
2
0
0 0 3
et 0 0
e A~t
0
e2t
即Am可用有限项Am-1,…,A,I的线性组合来表示。
塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(2/4)
将上式两边乘以矩阵A,则有
Am1 1 Am ... m1 A2 m A
1 1 Am1 ... m1A m I ... m1A2 m A
(12 2 ) Am1 ... (1m1 m ) A 1m I
I A ()
d ( )
最小多项式(7/3)
根据上述定理3-2,n×n维矩阵A的最小多项式可按以下步骤 求出。
1) 根据伴随矩阵adj(I-A),写出作为的因式分解多项式的 adj(I-A)的各元素;
2) 确定作为伴随矩阵adj(I-A)各元素的最高公约式d()。 ✓ 选取d()的最高阶次系数为1。 ✓ 如果不存在公约式,则d()=1;
现代控制理论(第二章)讲解
sI
A 1
s 2
s3
1 1 s 3
(s
1)(s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)(s s
2)
(s 1)(s 2)
s3
e At
L1
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)( s s
2)
(s 1)(s 2)
eAt L1
sI A 1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
et
2e2t
例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 方程为非齐次矩阵微分方程：
现代控制理论理论.ppt
(t) eAt
1
(sI
A)1
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
1(t)
(t)
e At
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
§2 状态转移矩阵的求解
(m
1
1)
!
t
m1
e At e1t
1t
.
.
(m
1
2)
!
t
m
1
...
.
..
.
.
t
0
1
(2-23)
§2 状态转移矩阵的求解
若矩阵A为一约当矩阵，即
A1
A
J
A2
Aj
其中 A1, A2 , , Aj 为约当块
(t) eAt
(2-9)
t0 0
(t t0 ) e A(tt0 )
(2-10)
§1 自由运动
齐次方程的解，可表示为
x(t) (t)x(0)
或
x(t) (t t0)x(t0)
(2-11) (2-12)
上式表明齐次状态方程的解，在初始状态确定情况下，由状态
转移矩阵唯一确定，即状态转移矩阵 (t)包含了系统自由运动的全
§2 状态转移矩阵的求解
例2-5
考虑如下矩阵
《现代控制理论》课后习题答案2
⎪ ⎪⎪an−2
=
−
1 2
tr( AHn−2 )
⎪⎪
#
⎨
(6)
⎪ ⎪
a1
=
−
1 tr( n −1
AH1 )
⎪ ⎪ ⎪⎩
a0
=
−
1 n
tr( AH0 )
利用式（5）和（6），未知矩阵 Hi 和 ai 可以交替计算得到，从而可求出预解矩阵 (sI − A)−1
的解。
求解预解矩阵 (sI − A)−1 的 Matlab 程序为:
x(t) = eA(t−t0 ) x(t0 )
和
∫ x(t) = eAt x(0) + t eA(t−τ )Bu(τ )dτ 0
2.5 试求下列矩阵 A 对应的状态转移矩阵 Φ(t) 。
(1)
A
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ −2⎥⎦
，
(2)
A
=
⎡0 ⎢⎣4
−1⎤ 0⎥⎦
，
(3)
A
=
⎡0 ⎢⎣−1
1⎤ −2⎥⎦
，
⎡0 1 0 0⎤
⎡λ 0 0 0⎤
⎡0 (4) A = ⎢⎢0
⎢⎣2
1 0 −5
0⎤ 1⎥⎥ ， (5) 4⎥⎦
A
=
⎢⎢0 ⎢0
⎢⎣0
0 0 0
1 0 0
0⎥⎥ ， 1⎥
(6)
A
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0
0⎥⎦
⎢ ⎣
0
λ 0 0
1 λ 0
0
⎥ ⎥
1⎥
λ
⎥ ⎦
答：（1） Φ(t) = L−1 ⎡⎣(sI − A)−1 ⎤⎦
《现代控制理论》第二章习题解答
现代控制理论_控制系统状态空间表达式的解数学知识准备
Y1(s) W11(s)U1(s) W12(s)U2(s) W1 j(s)U j(s) W1r(s)Ur(s)
Yi(s) Wi1(s)U1(s) Wi 2(s)U2(s) Wij(s)U j(s) Wir(s)Ur(s) Ym(s) Wm1(s)U1(s) Wm2(s)U2(s) Wmj (s)U j(s) Wmr (s)Ur(s)
b1 Ab0 2b Ab 2 1 3b 3 Ab2 kb k Abk 1
b1 Ab0 1 b 2 1 Ab1 A 2b 0 2! 2 1 1 b 3 Ab 2 A 3b 0 3! 3 1 b k 1 Ab k 1 A k b 0 k! k
选取
n
2
c1 c x 2 u n c n
i 1
i
y 1 1 1x
对角标准型2
对角标准型2
系统模拟结构图：
1 x
2
c1 c x 2 u n c n
1 s ( s 2) 1 s2
1 传递函数 s ( s 2) 1 组成的矩阵！ s2
耦合关系
Y1(s) W11(s) W12(s) W1r(s) U1(s) Y (s) W (s) W (s) W (s) U (s) 22 2r 2 21 2 Ym(s) Wm1(s) Wm 2(s) Wmr (s) U r(s)
从时间角度看状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换不断地在状态空间中作转移故称为状态转移矩阵转移至的状态转移矩阵为11新的系统矩阵新的状态转移矩阵拉氏反变换法求出的解不是解析形式适合于计算机求解
现代控制理论总结
2 根据传递函数（微分方程）建立状态空间表达式
考虑单入单出的线性定常系统：
相应的传递函数为：
G(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
相应的微分方程为：
c13
(s 1)
n i4
ci
s i
状态变量选取:
x1(s)
(s
1
1)3
U
(s)
(s
1
1)
(s
1
1)2
U
(s)
(s
1
1)
x2 (s)
x2
(s)
(s
1
1)2
U (s)
(s
1
1)
(s
1
1)
U
(s)
(s
1
x Ax bu y cx
x px
x Ax bu y cx
P变换， 变换矩阵： p p1 p2
pn
这里
A p1Ap
b p1b
y cx cpx cx c cp
对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。
化A阵为对角阵
a) A阵具有不相同的实数特征值，即λi
1
xn1
0
an1 xn 1
y 0 1
x1
x2
n1
现代控制理论 状态转移矩阵
状态转移矩阵的物理意义 ：
− 0 就是在零输入条件下将时刻 0 的状态 0 转移到时刻t的状态 () 的一个线性变换。
2.2 状态转移矩阵
二. 状态转移矩阵的性质
1. 分解性 + =
证明：由状态转移矩阵的物理意义：
= − (− )(−) = + −
= 0 = 0 − (− ) − =()() (−)
故有： + =
从- 到t的转移，可以看作是从- 转移到0，再从0转移到t的组合。
2. 可逆性
−
= −
证明： 由性质1
− = − =
故有： ሶ = =
6. 唯一性
系统的状态转移矩阵唯一地由系统的系统矩阵决定。
ሶ − 0 ) =A − 0 ， 0 = ， ≥ 0
由状态转移矩阵的定义 (
其唯一的参数就是系统矩阵。
2.2 状态转移矩阵
2.2 状态转移矩阵
三. 状态转移矩阵的算法
状态转移矩阵实质上就是矩阵指数函数，其求解方法与矩阵指数函数相同。
例：已知线性定常系统的状态转移矩阵 为：
1 −
1
3
( + )
(− − + 3 )
4
= 2
1 −
−
3
− +
( + 3 )
2
求系统矩阵。
ሶ
解：由状态转移矩阵的定义：()
=A ， 0 = ， ≥ 0
ሶ
解法1：由 A = ()
− 计算
ሶ
解法2：由 A = ()
现代控制理论习题解答(第二章)
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A（2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A（5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ0100010000A【解】： （1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11111s s s s L s sL A sI L t⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-=---ttees s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t tt ts s s s s s L s sL A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 444414}41{])[()(222211111（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211111)1()1(1)1(1)1(2}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=Φ------tttttt teetete e te t )(（4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-20010011~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t tt ttA e ete e e2~0000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===Φ-121132120000421211101)(21~t t tttA Ate te eePPeet⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-----++-----++--=Φt t ttt tt t t t t t t tt tt t ttt t tt t t e te eete ee te e e te e e te e ete e ete e e te e tee t 34838424225342222322)(222222222（5）为结构四重根的约旦标准型。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u uy y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。
现代控制理论 第2章 线性系统的运动分析修改
，并得到T阵及T的逆阵。
3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
即：A
det(I
A)
=
0
i
(i I
A)pi
=
0
pi
T
19
（2）当A具有n重特征根
i
：约当标准型
约当矩阵 A 的矩阵指数函数
eit teit
e At
= Te AtT1
=
T
0
0 0
(n
1
1)
tn !
e 1 i
t
T
1
4
9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P = 0 2 6
1 4 9
3
P1
=
3
5 2 4
2
3
1
3
1
2
23
第三章 状态方程的解
则有：
et 0 0
e At
=
P
0
e2t
0
P
1
0 0 e3t
3et 3e2t + e3t
=
6et + 6e3t
3et 12e2t + 9e3t
5 et 4e2t + 3 e3t
2et 7tet + 2e2t
et + 3tet 2e2t
3et + 5tet 2e2t
27
3、待定系数法：
思路:将 e At化为A的有限项多项式来求解：
（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即
所以有
它是 同理
的线性组合。
28
以此类推，
都可用
线性表示。
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= 0 = 0 − (− ) − =()() (−)
故有： + =
从- 到t的转移，可以看作是从- 转移到0，再从0转移到t的组合。
2. 可逆性
−
= −
证明： 由性质1
− = − =
再从 1 转移到 2 。
证明：由状态转移矩阵的物理意义：
2 = 2 − 0 (0 )
2 = 2 − 1 (1 ) = 2 − 1 1 − 0 (0 )
故有： 2 − 1 1 − 0 = 2 − 0
4. 倍时性 ()
状态转移矩阵实质上就是矩阵指数函数，其求解方法与矩阵指数函数相同。
例：已知线性定常系统的状态转移矩阵 为：
1 −
1
3
( + )
(− − + 3 )
4
= 2
1 −
−
3
− +
( + 3 )
2
求系统矩阵。
ሶ
解：由状态转移矩阵的定义：()
=A ， 0 = ， ≥ 0
求解矩阵微分方程可得，状态转移矩阵为： − 0 = (−0 ) ， ≥ 0
当 0 = 0时，状态转移矩阵可表示为: = ， ≥ 0
系统的零输入响应可用状态转移矩阵表示：
=
−0
0 = − 0 0 ， ≥ 0
或 = 0 = 0 ， ≥ 0
《现代控制理论》MOOC课程
2.2 状态转移矩阵
2.2 状态转移矩阵
一. 状态转移矩阵的定义
定义：对于给定的线性定常系统 ሶ =A + 其中，x为n维状态向量
称满足如下矩阵微分方程
ሶ − 0 ) =A − 0 ， 0 = ， ≥ 0
(
的n×n维解阵 − 0 为系统的状态转移矩阵。
状态转移矩阵的物理意义 ：
− 0 就是在零输入条件下将时刻 0 的状态 0 转移到时刻t的状态 () 的一个线性变换。
2.2 状态转移矩阵
二. 状态转移矩阵的性质
1. 分解性 + =
证明：由状态转移矩阵的物理意义：
= − (− )(−) = + −
ሶ
解法1：由 A = ()
− 计算
ሶ
解法2：由 A = ()
− ห
=
Байду номын сангаас
ሶ
= ()
ห=
1
1 −
−
3
(− + 3 )
( + 3 3 )
4
ሶ
()
= 2
1
−
3
+ 3
(− − + 3 3 )
2
ሶ
A = ()
ห= = 1 1
4 1
故有：
−
= −
状态转移矩阵的逆意味着状态向量按时间的逆向转移。
即从0状态到t状态转移的逆，等于从t状态到0状态的转移。
二. 状态转移矩阵的性质
2.2 状态转移矩阵
3. 传递性 2 − 1 1 − 0 = 2 − 0
一个转移过程可以分解为若干个小的转移过程。即从0到2的转移等于从 0 转移到 1 ，
=
状态转移矩阵的k次方等于该转移矩阵的时间自变量扩大k倍。
证明：由性质1
()
= () ⋯ () =
二. 状态转移矩阵的性质
5. 微分性和交换性 ሶ = =
状态转移矩阵与矩阵A的乘积是可以互换的。
证明：由矩阵指数函数的性质
( ) = =
故有： ሶ = =
6. 唯一性
系统的状态转移矩阵唯一地由系统的系统矩阵决定。
ሶ − 0 ) =A − 0 ， 0 = ， ≥ 0
由状态转移矩阵的定义 (
其唯一的参数就是系统矩阵。
2.2 状态转移矩阵
2.2 状态转移矩阵
三. 状态转移矩阵的算法