同济大学高等数学第九章多元函数微分习题答案.

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第9章多元函数微分法及其应用(题库)答案

C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
第 3 页共计 10 页
dz . dt
第 9 章多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2

z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y

第九章多元函数微积分及其应用习题参考答案

习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域：（1）ln(z y x =- （2）u =。

解 (1) 函数的定义域为(){}22,,0,1x y y x x xy >≥+<.(2) 函数的定义域为(){}22,0x y z x y ≤+≠.2.求下列各极限：（1）(,)(0,0)limx y →；（2）(,)(2,0)tan()lim x y xy y →.（3）2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+ （4）()(,0,0limx y →解 (1) 原式()(()(()(,0,0,0,0,0,0441limlim lim 4x y x y x y xy →→→-+====-(2) 原式()()()()()()()()()()(),2,0,2,0,2,0,2,0tan tan tan limlim lim lim 122x y x y x y x y xy xy xy x x yxy xy →→→→⎡⎤==⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦(3) 令22u x y =+，原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===(4) 令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数：（1）2sin()cos ()z xy xy =+；（2）(1)yz xy =+；（3）arctan()zu x y =-. 解 (1)()()()()()cos 2cos sin cos sin 2zy xy xy xy y y xy xy x∂=+⋅-⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ ()()()()()cos 2cos sin cos sin 2zx xy xy xy x x xy xy y∂=+⋅-⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ (2)()121y z y xy x -∂=+∂; ()()()ln 11ln 11y y xy z xy e xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦. (3) ()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-.（4）设()23y z xy x ϕ=+，其中()u ϕ可导，证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 证 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂,左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂，22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.（1）arctany z x=；（2）xz y =. 解 (1) ()22222222212,;1z y y z xy xx x y x y x y x ∂∂⎛⎫=⋅-=-= ⎪∂+∂⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22222222112,;1z x z xy yx x y y y x y x ∂∂⎛⎫=⋅=-=- ⎪∂+∂⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭()()()22222222222222x y y y z y y x x y y x y x y x y +-⋅⎛⎫∂∂-=-=-= ⎪∂∂∂+⎝⎭++. (2) 222ln ,ln x x z z y y y y x x ∂∂==⋅∂∂, ()2122,1x x z z xy x x y y y--∂∂==-∂∂, ()()21ln 1ln x x z y y y x y x y y -∂∂==+∂∂∂. 习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分：（1）y xz e =；（2）yzu x =. （3）sin2yz yu x e =++. （4）()222tan z y x u ++=解 (1) 因为2y x z y e x x ∂=-∂, 1y x z e y x ∂=∂,所以()21yxz z dz dx dy e ydx xdy x y x∂∂=+=--∂∂. (2) 因为1,ln ,ln yz yz yz u u u yzx zx x yx x x y z-∂∂∂===∂∂∂,所以 ()1ln yz yz u u udu dx dy dz yzx dx x x zdy ydz x y z-∂∂∂=++=++∂∂∂.(3)11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂，所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.(4) 因为u x ∂=∂，u y ∂=∂u z ∂=∂,所以)du xdx ydy zdz =++.2.求函数yz x=，当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分。

同济版大一高数第九章第6节多元函数微分学的几何应用

1 f y (1,1) = 1+ y2
1 = −1 − 2 f x (1,1) = 2 2 1 x 1+ x=1 1 x = y=1 2 1
1 r 1 1 ∴ n = (− , ,−1) = − (1, − 1, 2 ) 2 2 2 π 1 1 切平面方程：切平面方程： z − = − ( x − 1) + ( y − 1) 4 2 π 2
时, 令
F ( x, y , z ) = f ( x, y ) − z
则在点 ( x, y , z ), 故当函数在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
Σ 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有
切平面方程
z − z 0 = f x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ( x0 , y 0 ) ( y − y 0 )
12
证:
在 ∑ 上,
∴ F (ϕ (t ) , ψ (t ) , ω (t ) ) ≡ 0
T
M
Γ
两边在 t = t0 处求导, 注意 t = t0 对应点M ,
得
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ϕ ′(t0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 ) ψ ′(t0 )
+ Fz ( x0 , y0 , z0 )ω ′(t0 ) = 0
高等数学
第十一讲
1
第六节多元函数微分学的几何应用
第九章
一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线
2
复习: 复习平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线在点 ( x0 , y0 ) 有
切线方程 y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ) y − y 0 = − 1 ( x − x0 ) 法线方程 f ′( x0 ) Fx ( x, y ) dy 若平面光滑曲线方程为 =− 因 dx Fy ( x, y ) 故在点有切线方程 Fx ( x0 , y0 ) ( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 )( y − y0 ) = 0 法线方程 Fy ( x0 , y0 )( x − x0 ) − Fx ( x0 , y0 ) ( y − y0 ) = 0

高等数学(同济第七版)第九章课后答案

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高等数学(经济类)课后习题及答案第九章多元函数微分

习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式：（1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+．（4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式．解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）)ln(x y z -=；（2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=；（4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+；（2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→；（4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--；（6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+；（2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ；沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ．由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ．解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=，该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=．根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→；（2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→；（3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→；（4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ．（2）法1：令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221．法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ．（3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤，而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ．（4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性．解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =；（2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）；（6）z = （7）22y x xyz +=；（8）arctanx yz x y+=-；（9）yx z u =；（10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂．（2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂．（3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+．（4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++．（5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂．（6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂．（7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂，由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂．（8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-．（9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂，用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂；解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu，所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ．（2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=，当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性．解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂，有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂，由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=．习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+；（2）22z x y =+；（3）xyz e =；（4）yxz tanln =；（5）22y x z u +=；（6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++．（3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂，所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解：设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值．解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数：（1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ；（2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ；（3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ．解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂；（2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--，（2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，；（2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=；（4）(,,)u f x xy xyz =．解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+．（2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂．证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂，所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂．证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=，注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）：（1）),(y x xy f z +=；（2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂．（2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ：（1）1cos y x y =+；（2）yx y e 2+=；（3）xyy x arctan ln22=+；解（1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、，所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+．（2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=．（3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--，当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ．解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂．（1）21z y xz -=；（2）xyz z y x 2222=-+；（3）22)sin(xyz xyz =；（4）yz z x ln =．解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，．法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2，方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂，方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222，即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂．（4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=，方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解：令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ．证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ．解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2，方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解：令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z，即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---．法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ．（2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ，得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂．方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ，与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=；（2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=；（3）)2(e ),(2y y x y x f x++=；（4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值．解：由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，，因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和使得z y x u 23=为最大. 解令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ．设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、，根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。

高等数学课后习题答案--第九章

9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)

《高等数学》同济第六版第9章答案

1 得C = 0 ， 9 1 1 故所求的特解为: y = x ln x − x 3 9
代入初始条件 y (1) = − 11．求下列微分方程的通解（1） y′′ − 4 y′ + 3 y = 0 （3） y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 解：（1）特征方程为（2） y′′ − 4 y′ = 0 （4） y′′ − 4 y′ + 5 y = 0
x )dy = 0 y
解：（1）原方程可化为: 3
dy x 2 y = + , 这是齐次方程. dx y 2 x
设u
=
y dy du ,由 y = xu 得 =u + x⋅ dx dx x
3u 2 1 du = dx 代入原方程并分离变量得： 3 x 1 − 2u
两边积分得： −
3
1 ln 1 − 2u 3 = ln x + ln C1 2 1 C 3 ，即 1 − 2u = 2 ， 2 2 C1 x x
3 3 ⎤ ∫ y dy ⎡ y − ∫ y dy x=e dy + C ⎥ ⎢∫ − e ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦
y 1 1 y2 = y 3 ( ∫ − ⋅ 3 dy + C ) = y 3 ( + C ) = Cy 3 + 2 2 y 2y
10．求微分方程 xy′ + 2 y = x ln x 满足 y (1) = − 解：原方程化为将 P ( x) =
有⎨
⎧ C1 = 0 解得 C1 = 0, C2 = 1 . C + 2 C = 1 ⎩ 2 1
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程．
4
（1）曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标的 5 倍. (2) 曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标与纵坐标乘积的倒数. 答案．(1) y ′ = 5 x (2) y ′ =

高等数学第九章多元函数微分学试题及答案

第九章多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ，此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

高数答案第9章

第9章（之1）（总第44次）*1．微分方程7359)(2xy y y y =''''-''的阶数是（）（A ）3；（B ）4；（C ）6；（D ）7．答案（A ）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2．下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是（）（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=；（B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=；（C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=；（D ）)2cos(α+=x C y ．答案（D ）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了x C x C y 2sin 12cos 2++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．*3．在曲线族 xxec e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．解根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ，由xxe c e c y -+=21， xx ec e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(21x x e e y --=，即x y sinh =．*4．证明：函数y e x x =-2333212sin 是初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x yx y 的解．证明 '=-+--y e x e x x x 3332321212sin cos ，''=----y e x e x x x 3332321212sin cos ，代入方程得 ''+'+=y y y 0，此外，，1)0(0)0(='=y y 故y e x x =-2333212sin 是初始值问题的解．*5．验证y e e t Ce x t xx=+⎰20d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y ye x x 2的通解．证明 '=+⋅+⎰y ee t e e Ce xt xx x x 220d =++ye x x 2，即 2x x e y y +=-'，说明函数确实给定方程的解．另一方面函数y ee t Ce xt x x=+⎰2d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．**6．求以下列函数为通解的微分方程：（1）31+=Cx y ；解将等式31+=Cx y 改写为13+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='23，代入上式，即可得到所求之微分方程为1332-='y y xy ．（2）xC x C y 21+=．解因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得221x C C y -='，322xC y =''．从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为02=-'+''y y x y x ．**7．建立共焦抛物线族)(42C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．解在方程)(42C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．解任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dxdy ．所以过点),(y x 的法线斜率为y '-1，法线方程为y Y -=y '-1)(x X -，因为法线过原点，所以=-y 0y '-1)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．第9章（之2）（总第45次）教学容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：（1）21)1(x y x y +-='；解：分离变量21d 1d x x x y y +=-，两边积分⎰⎰+=-21d 1d x xx y y ，得C x y ln )1ln(21)1ln(2-+=--，即211xC y +-=．（2）222y x e yx y -='；解：分离变量x xe y ye x y d d 222=，两边积分就得到了通解)d (21222x e xe e x x y ⎰-=c e xe x x +-=)21(2122．（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．解： 12d 42d +-=-x xe y e y y ，C x e y ln 21)12ln(21)2ln(21++-=-，即 ()()e x C y-+=221．**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．解法一（可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易．分离变量，)1)(1(y x y --='，x x y y d )1(1d -=-，并积分 x x y yd )1(1d -=-⎰⎰ 得c x x y +-=--221)1ln(，所求通解为 x x ce y -+=2211．解法二（线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=221．代入原非齐次方程得x e C x x -='-1221，解得○2C eC x x +=-221，○2代入○1即可得原方程的通解xx Cey -+=2211．*3．求解下列初值问题：（1）21x yy -='，6)21(πe y -=．解：Θy '=21xy -，∴21d d xx y y -= (0≠y )， 21d d xx y y -=⎰⎰，∴C x y +=arcsin ln ， ∴ x Ce y arcsin =，Θπ6)21(e y -=，∴21arcsin 6Ce e =-π，∴1-=C ， ∴ x e y arcsin -=．（2）22x e xy y -=+'，1)0(=y ；解: Θ22x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2)(x e x q -=，=∴)(x y ⎰-xx ed 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 222x e -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， Θ 1)0(=y ， 101=⇒+=∴c c ， 2)1(x e x y -+=∴．（3）xex y y cos cot =+'，1)2(=πy ；解： Θ xex y y cos cot =+'， ∴x x P cot )(=，xex Q cos )(=．∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x C y xx x x x d e e e d cot cos d cot )d e e (e sin ln cos sin ln ⎰+=-x C x x x)d sin e (csc cos ⎰+=x x C x x x C xcsc )e(cos -=，由1)2(=πy ，可确定 2=C ，所以x y x csc )e 2(cos -=．（4）0d )12(d 2=+-+x x xy y x ，01==x y ．解：方程变形为 2112xx y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=⎰-dx ex x c e y dx x dx x 222)11( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰dx x x x c x 222)11(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x x c x22211x xc 1212-+= 由 0)1(=y ，得 21=c ，所以特解为：x xy 121212-+=．**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）．解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为yx y y dy dx 1ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中yy Q y y y P 1)( ,ln 1)(==代入一阶线性方程求解公式，得通解 1e 1)ln(ln )ln(ln ln 1ln 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰--dy e y c dy ey c e x y y dy y y dy y y y y c dy y y c y ln 21ln ln ln 1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰．**5．求满足关系式)(d )(22x y x u u uy x +=⎰的可导函数)(x y ．解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x y x()d d =+2，即d d yxxy x -=-2，分离变量得d d y y x x -=2，积分得y Ce x =+222，在原方程两边以2=x 代入，可得初试条件22-==x y．据此可得14--=e C ，所以原方程的解为 24122+-=-x e y ．**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系．解：根据牛顿运动第二定理有kv mg tvm -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得--=+1k mg kv tmC ln()．由初始条件0)0(=v ，得)ln(1mg k C -=，即得 v mg k e kmt =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1．**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ．解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '-1，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为 y y x X '+= ．据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线C x k y =-+22)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求曲线方程为 y k x 2211+-=()．***8．求与抛物线族2Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．解：在给定曲线2cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消去c 得x y y k 20='=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程xyy 2='．设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程yx y 2-='．这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2221，即椭圆族c x y =+2221． ***9．作适当变换，求微分方程 1224+-='-x e y y的通解．解原方程可化为4122=++'y ye x y e ，在换元y e z =下方程可化为4122=++'x zz ，这是一个一阶线性方程，其通解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎰+⎰+-⎰x eC ez x xx xd 412d 212d 2}44{1212x x C x +++=．***10．作适当变换，求微分方程 d d tan y x y x y y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪2122的通解．解：令ux y =2，代入方程整理得 xxu u d tan d =，积分得 Cx u =sin ，以 x y u 2= 代入上式，即得原方程的通解： Cx xy =2sin ．第9章（之3）（总第46次）教学容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．**1．求下列微分方程的通解：(1) )ln ln 1(d d x y xyx y -+=；解： Θ )ln ln 1(d d x y x y x y -+=， ∴ dx dy =x y (1+xyln )，这是一个一阶齐次型方程．令 xyu =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．分离变量x dx u u du =ln ，并积分⎰⎰=xdxu u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =．以 xy u =代入，得所求的通解为cxxe y =．（2）()arctan xy y yxx '-=．解：方程可化为xy xy y arctan1+='，这是一个一阶齐次型方程．令 x y u =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为ux u x arctan 1d d =，这是一个可分离变量方程．分离变量后积分得 x u Ce u u 12+=arctan ．以 xy u =代入上式得原方程的通解：x y Cey x yx 22+=arctan ． **2．求解下列初值问题：（1）0d )2(d 22=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解．解: Θ 0d )2(d 22=+-y y x x xy ，dy dx =x y y x +2，令 yxu = ，则 u u dy du yu 12+=+， u u du 1+=y dy ， ∴⎰+uu du 1=⎰y dy，c y u ln ln )1ln(212+=+∴， cy u =+∴12，即 2221y c u =+ ，代回即得22y x +1=22y c ， 1)2(=y Θ， ∴52=c ，因此 22y x +=54y ．（2）⎩⎨⎧==-++=.0,0d )(d )(0x y y y x x y x解：原方程可表为11d d -+=-+=x y x yx y y x x y ，令 x y u =，u x u y '+='，代入方程，有 11-+='+u uu x u ，即 121d d 2--+=u u u x u x ，分离变量x x u uu u d 1d 2112=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(212-=-+- ⇒通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程)(222111c y b x a c y b x a f y ++++='在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程)(d d 2211sb t a s b t a f t s++=．并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．证明：令⎩⎨⎧+=+++=++s b t a c y b x a sb t ac y b x a 2222211111 1221b a b a ≠Θ，∴可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112212112b a b a c b c b h b a b a c a c a k解：0)32()12(=++++dy y x dx y x Θ，令⎩⎨⎧-=+=32x t y s ⎩⎨⎧==⇒x t ys d d d d[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，ts t sdt ds dtdst s t s 32210)32(21++-=⇒=+++⇒，令dt dutu dt ds t s u +=⇒=， 23)1)(13(3221+++-=⇒++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ， ⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∴-=+++⇒t dtdu u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(21+-=++即，c tst s t ct u u =++⇒=⋅++∴)13)(1()13)(1(，c x xy x y c x y x y x 243)3631)(321()3(22=+++⇒=-++-++-∴．**4．求下列微分方程的通解（1）0ln 2=+-'x y y y x ；解： 0ln '2=+-x y y xy Θ xxy x y y ln 1'12-=-∴-- 令x x t x dx dt y t ln 11=+⇒=-， ,ln )Q( ,1)(xx x x x P ==∴ln 1 d ln )(d 1d 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=∴⎰⎰-xdx x x C x x e x x C e x t x x x x1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．解： Θ 0d d )2(=+-y x x xy y ， x y d d +y x 1=212y x， y y '-21+211y x =x 2， 21y u =，x u d d +x 21x u 1=， ∴x x P 21)(=，xx Q 1)(．∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x e x C e x u x x x x d 1)(d 21d 2121-=x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x x x C d 121[]x C x +=-21， ∴ []x C xy +=-2121， ∴xC x y +=．（3）'=-y y xy x 3222()解一：令u y =2，原方程化为： d d u x u x u x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-21，解此方程得 u Ce u x =，以u y =2代入上式，原方程通解为 y Ce y x22=．解二：原方程写成d d x y y x yx -=-2232，令x z -=1，则方程化为：322d d yz y y z =+，则通解 z eC y e y yy y y =+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-⎰⎰⎰2322d d d ]ln 2[12y C y+= ，故原方程通解：1122x yC y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：yxy y 2-='，1)0(=y ．解：x y yy', xy y y 22'21-=-∴-=-Θ，令 x t dxdty t 42 2-=-⇒=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴， []12010211)0(1212 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=⇒++⨯=∴=++=∴++=++=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=∴----⎰⎰x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e xxe C e x e x C e x t xx x x x x x x x，Θ****6．作适当的变换求方程 12222212+⋅'=++x y y x y e x sin sin 的通解．解：原方程化为：12222212+=++x yxx y e x d sin d sin ，令z y =sin 2，得d d z x x x ze x x -+=++21122122，故 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=⎰⎰+-+⎰+x exeC ez xx x x x x x d 1d 12212d 12222)1ln(2121222x x eCex x +++=++原方程的通解为 sin ln()221212221y Ce e x x x x =+++++．***7．已知)(2d )(1)(2202x y x y y x+='+⎰ξξξ，求y x ()．解：两边关于x 求导得212yy y '-=-，解得 y Ce x 21=+，由yx ==00，求得C =-1，故原方程的解为：y e x21=-．***8．曲线过点(,)11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程．解：x y x x yy y 22211+=+'=(),(), 212yy xy x '-=- 令y z 2=，解得z y x C x ==-2()由y ()11=，得 C =2，曲线方程为： x y x 222+=．***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器的水才会完全流尽？解：设在时刻t 时，容器中液面高度)(t h ，则经过t ∆后液面高度为)(t t h ∆+，于是有t t gh A t t h t h r ∆=∆+-)(2))()((2απ，即 22)()(rghA t t h t t h πα=∆-∆+-，令0→∆t ，得⎪⎩⎪⎨⎧==-200)0(2d d 2h gh r At h πα解得 200222+=t g rAh πα，代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4π=A ， 62.0=α，得10304=t （秒）．第9章（之4）（总第47次）教学容：§9.3可降阶的高阶微分方程**1．解下列问题：（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是（）（A ）y x =-()12（B ）y x =+-()122142（C ）y x =-+121122() （D ）y x =--()12542解：（C ）（2）．微分方程''-'=y yy 203满足条件'=-=y y (),()0101的解是（）（A ）y x 3313=+（B ）x y 331=- （C ）y x 3313=-+（D ）x y 331=-+ 解：（C ）**2．求下列微分方程的通解．（1）0='+''y y x ；解： Θ 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程，令 y p '= ⇒ y ''x p d d =∴0=+'p p x ， ⇒p p d =xxd -，⇒⎰⎰-=x xp p d d ⇒ 1ln ln ln C x p +-= ⇒xC p 1=， ∴=xy d d x C 1， x x C y d d 1=， ⎰⎰=x x C y d d 1 ，21ln C x C y +=．（2）()1212+''+'=x y xy ；解：''++'=+y x x y x 211122， '=++y x x C 1121()， y x C x C =+++121212ln()arctan．（3）()02='+''y y y ；解：∵()02='+''y y y ，令 y p '=，则 yppy d d =''，代入方程有 0d d 2=+⋅⋅p ypp y ， 0)d d (=+⋅⇒p ypy p ，因为求通解，所以 p 满足 0d d =+⋅p ypy ．由⎰⎰-=⇒-=y yp p y y p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=⇒+-=⇒， ⎰⎰'=⇒'=⇒'=⇒x C y y x C y y yC x y d d d d d d 111 212C x C y +=⇒． ∴ 通解：212C x C y +=．（4）()1222+''='y y yy解：令：'=''='y p y y pp (),，得()1222+⋅'=y p p p y ，即d d p p yy y =+212，得 p C y =+121()，所以 d d yyC x 121+=，通解为：arctan y C x C =+12．第9章（之5）（总第48次）教学容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解．所以成立下式：)2()()()()1()()()(222111x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''将 (1)、(2) 两式相减，得)3(0))(())(()(212121=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y(2) 式可写为0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，所以 21y y - 是齐次方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．***2．已知23211,1,1x y x y y +=+==是方程22222xy x y x y =+'-''的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．解：按（1）证明可知 21312,x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程0222=+'-''y xy x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解．所以原方程的通解可以表示为：1221++=x C x C y ．*3．验证：22,t t e e -是微分方程''-'-=x tx t x 1402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．证明：因为()()222241t t t e t e t e -'-"0421********=-⨯-+=t t t t e t te te t e ，()()2222"41t t t e t e t e ----'-=-+-⨯--=--241240222222e t e tte t e t t t t ()，故22,t t e e -是方程的解，且≠=-2222t t t e ee 常数．于是22,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为2221t t e C e C x -+=，其中21,C C 为任意常数．*4．已知函数 x y e y x==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．解：方程的通解为 x c e c y x21+=，将初始条件代入，有：，，0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x解得21,c c 为： 1,121-==c c ，所以特解为：x e y x -=．**5．设x t 1()是非齐次线性方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1211的解．x t 2()是方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1222的解．试证明 x x t x t =+12()()是方程''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()()12123的解．解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以)1()()()()()()(112111'≡+'+''t f t x t a t x t a t x''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()()()12'+'得：()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +='++'++"+即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．第9章（之6）（总第49次）教学容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法**1．解下列问题：（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________．解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________．解：)4sin 4cos (213x c x c e y x+=-．（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________．解：x xC C y 5231e e +=．（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________．解：)(21515C x C e y x +=-．（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx+=，则=p ___，=k _____．解：11，3-．**2．求解下列初值问题：（1）0)1(,)1(,01684='==+'-''y e y y y y ；解：∵0)4(16822=-=+-λλλ， ∴421=，λ，通解为：xe x c c y 421)(+=．将初始条件代入，有 4421)()1(e e c c y =+=，04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x得到：4521-==c c ，所以特解为：x e x y 4)45(-=．（2）3)2(,1)2(,0294='==+'+''ππy y y y y ；解：02942=++λλ， i i5221042116164±-=±-=-±-=λ，通解为：)5sin 5cos (212x c x c ey x+=-．代入初始条件有： πππe c c ey =⇒=+=-221)0()2(，)5cos 55sin 5()5sin 5cos (2)2(212212x c x c e x c x c ey x x+-++-='--π，得：πe c -=1．特解为：)5sin 5cos (2x x e y x+-=-π．（3）10)0(,6)0(,034='==+'+''y y y y y ；解： 0342=++λλ， 0)3)(1(=++λλ，所以通解为 x xe c e c y 321--+=．代入初始条件有：6)0(21=+=c c y ，1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，特解为：x xe ey 3814---=．**3．求解初值问题'++==⎧⎨⎪⎩⎪≥⎰y y y x y x x210100d ()解：将原方程对x 求导得 ''+'+=y y y 201()且有'=-=-y y ()()01201微分方程（1）的通解为：y e C x C x =+-()12，代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ，故所求问题的解为：xe y -=．***4．设函数)(x ϕ二阶连续可微，且满足方程⎰-+=xu u u x x 0d )()(1)(ϕϕ，求函数ϕ()x ．解：原方程关于x 求导得⎰⎰=-+='xxu u x x x x u u x 0d )()()(d )()(ϕϕϕϕϕ,0)0(='ϕ，再求导得： )()(x x ϕϕ=''，且由原方程还有：1)0(=ϕ，微分方程的通解为： xxeC e C x -+=21)(ϕ，代入条件0)0(,1)0(='=ϕϕ，得2121==C C ，故所求函数为：x e e x x x ch )(21)(=+=-ϕ．***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：gx dt x d ρρ=22100，即 010022=-x gdtx d ．又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==-0)0(20)0(010022x x x gdt x d ，解得方程的通解为：tg tgec ec x 102101-+=．又因为有初始条件： ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==1010020021'c c x x 所以 tg t gee x 10101010-+=．又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：tg tg e e 10101010100-+=，即： 510=t gch， 510arch gt =．***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期．解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛顿第二定律：22222d d ()xtg g x gx =-+=- ，其中g =980厘米/秒2其解为：x C g t C g t =+1222cossin ，振动周期为 T g ==≈222490028ππ.．第9章（之7）（总第50次）教学容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程x x y y sin =+''的一个特解应具有形式（）（A ）()sin Ax B x +（B ）x Ax B x x Cx D x ()sin ()cos +++ （C ）x Ax B x x ()(cos sin )++ （D ）x Ax B C x D x ()(sin cos )++ 解：（B ）**2．设A B C D ,,,是待定常数，则微分方程''+=+y y x x cos 的一个特解应具有形式（）（A ）Ax B C x ++cos（B ）Ax B C x D x +++cos sin（C ）Ax B x C x D x +++(cos sin ) （D ）Ax B Cx x ++cos 答：（C ）**3．求下列非齐次方程的一个解（1）122+=-'-''x y y y ；解：∵ 022=--λλ， ∴1,22,1-=λ， 0Θ不是特征根．设 01b x b y p +=，代入原方程，得：1222011+=---x b x b b ，有：1,010-=b b ，特解为：x y -=．（2）xey y y -=+'+''2．解： ∵ 1- 是二重特征根， ∴ 设 02b e x y xp -=， 0202b e x b xe y xxp ---='，02002022b e x b xe b e x b e y x x x x p----+--=''，代入 xe y y y -=++'2''，解得：210=b ，特解为：xe x y -=221．**4．求微分方程''-'+=y y y xe x32满足条件y y ()()000='=的特解．解：特征方程0232=+-r r 的根为2,121==r r ，相应齐次方程的通解为x x h e C e C y 221+=，设特解为x p e B Ax x y )(+=，代入方程得： 1,21-=-=B A ．故方程的通解为xxx e x x eC e C y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=22221，代入条件0)0()0(='=y y ，得1,121=-=C C ，因此所求特解为 x xe x x ey ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=1222．**5．求下列非齐次方程的通解：)(2x f y y ='+''x x f e x f x x f x cos )()3,)()2,14)()12==+=；解：特征方程：022=+λλ，特征根： 2,021-==λλ，所以方程0'2=+''y y 的通解为 xh e c c y 221-+=．1）对于方程14'2+=+''x y y ，由于0是特征方程的单根，故设其特解为：x b x b y p )(10+=，代入方程有：14242100+=++x b x b b ，解得 21110-==b b ，所以特解为：x x y p 212-=．所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h 212221-++=+=-．2）对于方程xe y y 2'2=+'''，由于2不是特征方程的根，故设其特解为：02b e y xp =，代入方程有：810=b ， xp e y 281=，所以方程的通解为：x xp h e ec c y y y 222181++=+=-．3）对于方程：x y y cos '2=+'''，由于i ±不是特征方程的根，故设其特解为： x b x b y p sin cos 10+=，代入方程有：x b x b y p cos sin '10+-=， x b x b y p sin cos "10--=，x x b x b x b x b cos cos sin 2sin cos 1010=+---，得：525120=-=b b ， x x y p sin 52cos 51+-=，所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h sin 52cos 51221+-+=+=-．**6．求微分方程''-'+=y y y e x x6925sin 的通解．解：特征方程r r 2690-+=的根为r 123,=，相应齐次方程的通解为xh e x C C y 321)(+=设特解为y e A x B x p x=+(cos sin )，代入方程得：A B ==43,故方程的通解为 y C C x e e x x x x =+++()(cos sin )12343***7．已知曲线y y x x =≥()()0过原点，位于x 轴上方，且曲线上任一点),(00y x M =处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，直线x x =0所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．解：由已知y ()00=，且'=+'=⎰y y x x y xd ,()000，将此方程关于x 求导得''=+y y 1其通解为： y C e C exx=+--121 ，代入初始条件y y (),()0000='=，得 C C 1212==，故所求曲线方程为：y e e x xx =+-=--1211()ch ．***8．设一物体质量为m ，以初速v 0从一斜面滑下，若斜面与水平面成θ角，斜面摩擦系数为μμθ(tan )0<<，试求物体滑下的距离与时间的关系．解：设t 时刻物体滑过的距离为S ，由牛顿第二定律m Stmg mg d d sin cos 22=-θμθ 且 S S v (),()0000='=方程的通解为S gt C t C =-++12212(sin cos )θμθ 代入初始条件得C v C 1020==,，故物体滑下的距离与时间的关系为S gt v t =-+1220(sin cos )θμθ***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m 的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k ，求物体的运动规律．解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，x 轴垂直向下，设t 时刻物体位于x t ()处，由牛顿第二定律： m xtkx mg d d 22+=，且 0)0(0)0(='=x x ，．方程的通解为： x C k m t C k m t m kg =++12cos sin ，代入初始条件得C mkg C 120=-=,，故物体的运动规律为x mg k k m t =-⎛⎝ ⎫⎭⎪1cos．***10．求下列方程的通解：（1）02)4(=''+'''-y y y；解： 02234=+-λλλ， 0)12(22=+-λλλ， 0)1(22=-λλ，所以通解为 x e x c c x c c y ）（4321+++=．（2）0365)4(=-''+y y y．解：036524=-+λλ， 0)9)(2)(2(2=++-λλλ，所以通解为 x c x c ec e c y xx 3sin 3cos 432221+++=-．****11* 试证明，当以 x t ln =为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c 为常数，这是欧拉方程）)('"2x f cy bxy y ax =++可化为常系数线性方程)()(22t e f cy dt dya b dty d a =+-+并求下列方程通解：（1）022=-''y y x ；（2）x x y y x y x ln 22=+'-''．证明：令 x t ln =， t e x =，dtdyx dx dt dt dy dx dy 1==，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt dy dt y d x dt dy dx d x dt dy x dx y d 222222111，将y y ''',代入方程有：()()te f cy dt dy a b dt y d a cy dt dy b dt dy dt y d a cy y bx y ax =+-+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+'+''22222，得证．（1）令 x t ln =， te x =，原方程化为：0222=--y dt dydty d ．其通解为t t e c e c y -+=221．将x 代入，得：xc x c y 221+=．（2）令 x t ln =， te x =，原方程化为：tte y dt dy dty d =+-2222，上述方程的相应其次方程的通解为：()t c t c e y t h sin cos 21+=．令上述方程一个特解为：()10b t b e y t p +=，代入方程得：0,110==b b ，即：t e y t p =．原方程得通解为：()t t c t c e y t ++=sin cos 21，即：()()[]x x c x c x y ln ln sin ln cos 21++=．***12．一质量为m 的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k >0），浮力为常数B ，求潜水艇下降深度x 与时间t 之间的函数关系．解： ma B F F =--阻重， a 为加速度， ma B kv mg =--， v 为下降速度，因为 22,dt x d dt dv a dt dx v ===，所以 22dt xd m B dt dx k mg =--，即 m Bg dt dx m k dtx d -=+22 ，其特征方程为： 02=+λλmk ，解得特征根为 m k-==21,0λλ．所以对应的齐次方程的通解为：21c e c x t mkh +=-．由于0是特征方程的单根，故设其特解为：t b x 01=，代入方程有：m B g b m k -=0，得 kBmg b -=0．所以微分方程的通解为：t kBmg c e c x t mk-++=-21，因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件 ()()00,00'==x x ，代入微分方程有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++000121k Bmg c mk c c 求得：222221,kgm Bm c k Bm g m c -=-=，所以x 与t 的关系可表示为： t k B mg e k g m Bm x t m k-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-122．***13．证明：若有方程'=-f x f x ()()1，则必有''+=f x f x ()()0，并求解此方程．证明：由于'=-f x f x ()()1，两边关于x 求导得''=-'-=---=-f x f x f x f x ()()[()]()111故得''+=f x f x ()()0（1）解方程（1）得通解为 f x C x C x ()cos sin =+12（2）'=-+f x C x C x ()sin cos 12 （3）'='=f f f f ()(),()()0110，将此代入(2),(3)得C C C C C C 1221211111cos sin sin cos +=-+=⎧⎨⎩ 解得：C C 21111=+sin cos所以原方程的解为： f x C x x ()cos sin cos sin =++⎛⎝⎫⎭⎪1111．第9章（之8）（总第51次）教学容：§9.6 微分方程应用举例 (机动)第9章（之9）（总第52次）教学容：§9.7 差分方程1. 已知t t e y 3=是二阶差分方程tt t e ay y =+-+11的一个特解，求a ．解： )31(3e ea -=．2. 求下列差分方程的一般解： (1) 0721=+-t t y y ；解：tt C y )27(-=(2) 431-=--t t y y ；解：23+=tt C y(3) 051021=-++t y y t t ；解：)61(125)5(-+-=t C y tt (4) tt t y y 2124=-+；解：144-+=t t t t C y (5) tt t t y y 21⋅=-+．解：tt t C y 2)2(-+=3. 写出下列差分方程的一个特解形式： (1) t y y t t sin 1=-+；解：t B t B Y t cos sin 21+=(2) t y y t t πcos 31-=++．解：)sin cos (21t B t B t Y t ππ+=4. 设t y 为第t 期国民收入，t C 为第t 期消费，I 为每期投资（I 为常数）．已知t y ，t C ，I 之间有关系 I C y t t +=，βα+=-1t t y C ，其中10<<α，0>β，试求t y ，t C ．解：t y 满足：βα+=--I y y t t 1，解得 αβα-++=1I C y tt ，从而 =-=I y C t t ααβα-++1I C t．5. 已知差分方程t t t cy y by a =++1)(，其中a ，b ，c 为正的常数．设初始条件0)0(0>=y y ，证明：(1) 对任意Λ,2,1=t ，有0>t y ；(2) 在变换tt y u 1=之下，原差分方程可化为有关t u 的线性差分方程，写出该线性差分方程并求其一般解；(3) 求方程t t t y y y =++1)21(的满足初始条件20=y 的解．解：（1）归纳法证明．（2）令 t t y u 1=，即t t u y 1=，111++=t t u y ，则原方程化为线性差分方程 b au cu t t =-+1，其一般解为 a c ≠时， ac bcaC u tt -+=)( ； a c =时， b C u t +=．（3）令 tt y u 1=，原方程化为 21=-+t t u u ，一般解为 2+=C u t ，所以原方程的一般解为 t t u y 1=21+=C ，代入 20=y ，得 23-=C ，所以特解为 2=t y ．。

高等数学第六版(同济版)第九章复习资料

第九章多元函数微分法及其应用引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学.由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n 元函数上去.第一节多元函数的基本概念一、平面点集的相关概念1. 平面点集：),|}(),{(y x y x E =具有性质}P},|}),{(2R y R x y x R R R E ∈∈=⨯=⊂例如：}|||{}|}),{(222r OP P r y x y x C <=<+=，其中点P 表示点),(y x . 2. 邻域：2000),(R y x P ∈.(1). 邻域：})()()(),{(}||{),(20202000δδδ<-+-+-=<=z z y y x x y x P P P P U (2). 去心邻域：)(}||0{),(000P U P P P P U oo∧=<<=δδ 3. 坐标面上的点P 与平面点集E 的关系：22,R E R P ⊂∈ (1). 内点：若0>∃δ，使E P U ⊂),(δ，则称P 为E 的内点. (2). 外点：若0>∃δ，使Φδ=⋂E P U ),(，则称P 为E 的外点.(3). 边界点：若0>∀δ，Φδ≠⋂E P U ),(，且E P U ⊄),(δ，则称P 为E 的边界点.边界：E 的边界点的全体称为它的边界，记作E ∂. (4). 聚点：若0>∀δ，Φδ≠⋂E P U o),(，则称P 为E 的聚点.导集：E 的聚点的全体称为它的导集.注：1°. 若P 为E 的聚点，则P 可以属于E ，也可以不属于E .2°. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：}21),{(221≤+<=y x y x E ；)}0,0{(}21),{(222⋃≤+<=y x y x E . 4. 一些常用的平面点集：(1). 开集：若点集E 的点都是其内点，则称E 为开集.(2). 闭集：若点集E 的边界E E ⊂∂，则称E 为闭集. (开集加边界) (3). 连通集：若E 中任何两点都可用属于E 的折线连接，则称E 为连通集. (4). 开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域. (5). 闭区域：开区域加上其边界称为闭区域.例如：}21),{(221≤+<=y x y x E 为区域. }21),{(222≤+≤=y x y x E 为闭区域. (6). 有界集：若0>∃r ，使),(r O U E ⊂，则称E 为有界集. (7). 无界集：若0>∀r ，使),(r O U E ⊄，则称E 为无界集.二、n 维空间：对取定的自然数n ，称n 元数组),,,(21n x x x 的全体为n 维空间，记为n R . 注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到n 维空间. 三、多元函数的概念 1. 定义：.y x f z ↓↓↓=),(，或)(P f z =，其中D y x P ∈),(.因映自变变量射量定义域：D .值域：R D y x y x f z z D f ⊂∈==}),(),,({)(.注：可推广：n 元函数：),,,(21n x x x f u =，n n R D x x x ⊂∈),,,(21 . 例: 1. )arcsin(22y x z +=，}1),{(22≤+=y x y x D .2. )ln(y x z +=，}0),{(>+=y x y x D .2. 几何表示：函数),(y x f z =对应空间直角坐标系中的一张曲面:0),(),,(=-=y x f z z y x F . 四、二元函数的极限1.定义：设函数),(y x f 的定义域为D ，点),(000y x P 为D 的聚点，若R A ∈∃，0>∀ε，0>∃δ，),(),(0δP U D y x P o⋂∈∀，满足ε<-|),(|A y x f ，则称A 为),(y x f 当),(),(000y x P y x P →时的极限，记作A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00，称之为),(y x f 的二重极限.例1. 设22221sin )(),(y x y x y x f ++=，求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .证明：0>∀ε，要使不等式ε<+≤++=-++22222222221sin )(01sin)(y x yx y x y x y x 成立，只须取εδ=，于是，0>∀ε，εδ=∃，),0(),(δoU D y x P ⋂∈∀，总有ε<-++01sin)(2222yx y x ，即 0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .例2. 证明),(lim)0,0(),(y x f y x →不存在，其中⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f . 证明：当),(y x P 沿直线)0(≠=k kx y 趋于)0,0(O 时，总有222220)0,0(),(1lim ),(limkkx k x kx y x f x kxy y x +=+=→=→， ),(y x f 随着k 的不同而趋于不同的值，故极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.例3. 求极限x xyy x sin lim)2,0(),(→.解：221lim sin lim sin lim sin lim20)2,0(),()2,0(),(=⋅=⋅=⋅=→→→→y xy xyy xy xy x xy y xy y x y x .五、二元函数的连续性1. 二元函数的连续性:设函数),(y x f 的定义域为D ，点),(000y x P 为D 的聚点，且D P ∈0，若),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→，则称),(y x f z =在点),(000y x P 连续.2. 二元函数的间断点: 设函数),(y x f 的定义域为D ，点),(000y x P 为D 的聚点，若),(y x f 在点),(000y x P 不连续，则称),(000y x P 为),(y x f 的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点. 3. 性质：设D 为有界闭区域.(1). 有界性：0>∃M ， D y x ∈∀),(，有M y x f ≤|),(|.(2). 最值性：D P P ∈∃21,，使得D P D P P f P f D P P f P f ∈∀⎩⎨⎧∈=∈=,|)(min{)(}|)(max{)(21，有)()()(21P f P f P f ≤≤. (3). 介值性：])(),([21P f P f C ∈∀，D y x P ∈∃),(，使得C y x f =),(. 4. 二元连续函数的运算性质 (1). 和、差、积仍连续； (2). 商 (分母不为零) 连续； (3). 复合函数连续. 5. 二元初等函数及其连续性(1). 二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. (2). 二元初等函数在其定义区域内连续. 例4. 求xy yx y x +→)2,1(),(lim.解：令xy y x y x f +=),(，则23)2,1(lim)2,1(),(==+→f xy y x y x . 例5. 求xyxy y x 11lim)0,0(),(-+→. 解：=-+→xy xy y x 11lim)0,0(),((分子有理化) 21111lim )11(11lim)0,0(),()0,0(),(=++=++-+→→xy xy xy xy y x y x .第二节偏导数引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数. 一、偏导数的相关概念1. 偏导数：设函数),(y x f z 在点),(000y x P 的某邻域内有定义，把y 暂时固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时，z 相应地有增量),(),(0000y x f y x x f -+∆.若极限xy x f y x x f x ∆∆∆),(),(lim00000-+→存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(000y x P 处对x 的偏导数，记为00y y x x xz ==∂∂；0y y x x xf ==∂∂；00y y x x xz ==或),(00y x f x .注: 1°. 0),(),(),(lim),(00000000x x x x y x f x d dx y x f y x x f y x f =→=-+=∆∆∆.2°. 0),(),(),(lim),(00000000y y y y y x f yd dy y x f y y x f y x f =→=-+=∆∆∆.2. 偏导函数：若函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对x 或y 偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数，记为x z x f x z ,,∂∂∂∂或),(y x f x ；y z yfy z ,,∂∂∂∂或),(y x f y . 注：可推广：三元函数),,(z y x f u =在点),,(z y x 处对x 的偏导数定义为xz y x f z y x x f z y x f x x ∆∆∆),,(),,(lim),,(0-+=→.例1. 求223y xy x z ++=在)2,1(处的偏导数. 解：先求偏导函数：y x x z 32+=∂∂，y x yz 23+=∂∂. 再求偏导数：821=∂∂==y x xz ，721=∂∂==y x yz .例2. 求y x z 2sin 2=的偏导数. 解：y x x z 2sin 2=∂∂，y x yz 2cos 22=∂∂. 例3. 求222z y x r ++=的偏导数. 解：rxz y x x x r =++=∂∂22222.由轮换对称性可知r y y r =∂∂，r z z r =∂∂. 3. 偏导数的几何意义(1). 偏导数),(00y x f x 是曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(00000y x f y x M 处的切线关于x 轴的斜率.(2). 偏导数),(00y x f y 是曲线⎩⎨⎧==0),(x x y x f z 在点)),(,,(00000y x f y x M 处的切线关于y 轴的斜率.4. 函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系. (1). 函数),(y x f z =在点),(000y x P 处偏导数存在，但它在点),(000y x P 却未必连续.例如：函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==0,00,),(222222y x y x y x xy y x f z 在点)0,0(的两个偏导数都存在，即00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00==-+=→→x x x x f x f f ∆∆∆∆， 00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00==-+=→→y y y yf y f f ∆∆∆∆. 但二重极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在，故),(y x f z =在点)0,0(不连续.(2). 函数),(y x f z =在点),(000y x P 连续，但它在点),(000y x P 处却未必存在偏导数.例如：函数22),(y x y x f z +==在点)0,0(连续，但它在点)0,0(对x 及y 的偏导数都不存在，这是因为：⎩⎨⎧<->==-+→→0,10,1||lim )0,0()0,0(lim00x x x x x f x f x x ∆∆∆∆∆∆∆∆， ⎩⎨⎧<->==-+→→0,10,1||lim )0,0()0,0(lim00y y y y y f y f x y ∆∆∆∆∆∆∆∆，即),(y x f z =在点)0,0(对x 及y 的偏导数都不存在. 二、高阶导数1.二阶偏导数：若函数),(y x f z =对x 及y 的偏导数),(y x f x 及),(y x f y 对x 及y 的偏导数也存在，则称它们是函数),(y x f z =的二阶偏导数.记作：),(22y x f x z x z x xx =∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂； ),(22y x f yz y z y yy =∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ；(二阶纯偏导数) ),(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂；),(2y x f x y zy z x yx =∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂. (二阶混合偏导数) (二阶纯偏导数)注：1°. 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导数的偏导数称为它的n 阶偏导数.2°. 二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°. 二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数至多有n 2个. 例4. 设13323+--=xy xy y x z ，求它的二阶偏导数. 解：y y y x x z --=∂∂32233；x xy y x yz --=∂∂2392； 2226xy x z =∂∂；xy x yz 182322-=∂∂； 196222--=∂∂∂y y x y x z ；196222--=∂∂∂y y x xy z . 总结：从这一例题，我们看到：x y z y x z ∂∂∂=∂∂∂22，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢我们说不是的，例如：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-==0,00,),(22222222y x y x y x y x xy y x f z ，在点)0,0(，有)0,0()0,0(yx xy f f ≠，事实上，yf y f f x x y xy ∆∆∆)0,0()0,0(lim)0,0(0-+=→；xf x f f y y x yx ∆∆∆)0,0()0,0(lim)0,0(0-+=→.而0)0,0()0,0(lim)0,0(0=-+=→xf x f f x x ∆∆∆，0)0,0()0,0(lim)0,0(0=-+=→y f y f f y y ∆∆∆， y xy x y x yx x y f y x f y f x x x -=+-⋅=-+=→→∆∆∆∆∆∆∆∆222200)()(lim ),0(),0(lim ),0(，x y y x y x x y y x f y x f x f y y y =+-⋅=-+=→→∆∆∆∆∆∆∆∆222200)()(lim )0,()0,(lim )0,(.于是，1lim )0,0()0,0(lim)0,0(00-=-=-+=→→y yyf y f f y x x y xy ∆∆∆∆∆∆， 1lim)0,0()0,0(lim)0,0(00==-+=→→xxxf x f f x y y x yx ∆∆∆∆∆∆，即)0,0()0,0(yx xy f f ≠.那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢有下面的定理： 2. 二阶混合偏导数的性质定理：若函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数),(y x f xy 与),(y x f yx 在区域D 内连续，则它们在D 内必相等，即),(),(y x f y x f yx xy =.注：1°. 可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°. 一般地，若二元函数),(y x f z =的高阶混合偏导数都连续，则),(y x f z =的n 阶偏导数只有1+n 个.第三节全微分一、全微分的相关概念1. 偏增量：称),(),(y x f y x x f z x -+=∆∆为函数),(y x f z =对x 的偏增量;称),(),(y x f y y x f z y -+=∆∆为函数),(y x f z =对y 的偏增量.2. 偏微分：称x y x f x ∆),(与y y x f y ∆),(为),(y x f z =对x 及y 的偏微分. 注：x y x f y x f y x x f x ∆∆),(),(),(≈-+，y y x f y x f y y x f y ∆∆),(),(),(≈-+.但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量x ∆、y ∆时，相应的函数增量z ∆与自变量的增量x ∆、y ∆之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量. 3. 全增量：称),(),(y x f y y x x f z -++=∆∆∆为函数),(y x f z =在点),(y x P 对应于自变量增量x ∆、y ∆的全增量.一般来讲，计算全增量z ∆是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用x ∆、y ∆的线性函数来近似代替函数的全增量z ∆，为此，引入了全微分.4. 全微分：若函数),(y x f z =在点),(y x P 的某领域内有定义，且在),(y x P 的全增量),(),(y x f y y x x f z -++=∆∆∆可表示为)(ρ∆∆∆o y B x A z ++=，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，而仅与x 、y 有关，22)()(y x ∆∆ρ+=，则称),(y x f z =在点),(y x P 可微分，而称y B x A ∆∆+ 为),(y x f z =在点),(y x P 的全微分，记作dz ，即y B x A dz ∆∆+=.若),(y x f z =在区域D 内每一点都可微分，则称),(y x f z =在D 内可微分. 注：)(ρ∆o z dz -=.我们知道，当一元函数)(x f y =在点x 的微分x A dy ∆=存在时，)('x f A =，那么，当二元函数),(y x f z =在点),(y x P 的全微分y B x A dz ∆∆+=存在时，A 、B 又为何值呢下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到A 、B 的值. 二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系 1．函数可微分的必要条件定理 1.若函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分，则它在点),(y x P 的两个偏导数),(y x f x 及),(y x f y 必定存在，且),(y x f z =在点),(y x P 的全微分dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.证明：由于),(y x f z =在点),(y x P 可微分，则有)(ρ∆∆∆o y B x A z ++=，其中22)()(y x ∆∆ρ+=，当0=y ∆时，有|)(|),(),(x o x A y x f y x x f z x ∆∆∆∆+=-+=，从而A xx o x A x y x f y x x f x x =+=-+→→∆∆∆∆∆∆∆|)(|lim ),(),(lim00，即),(y x f A x =，同理可得),(y x f B y =，于是y y x f x y x f dz y x ∆∆),(),(+=.特殊地，令x y x f =),(，有1),(=y x f x ，0),(=y x f y ，从而有x dx ∆=，同理令y y x f =),(，有0),(=y x f x ，1),(=y x f y ，从而有y dy ∆=.于是有dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=，也称之为二元函数微分学的叠加原理.注：定理说明：函数),(y x f z =可微分，),(y x f z =一定可偏导，且全微分可用偏导数表示. 但反之未必，即偏导数存在，函数),(y x f z =未必可微分.例如：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==0,00,),(222222y x y x y x xy y x f z 在点)0,0(处两个偏导数都存在，且)0,0()0,0(y x f f =，但),(y x f z =在点)0,0(却不可微分.事实上，假设),(y x f z =在点)0,0(可微分，则y y x f x y x f dz y x ∆∆),(),(+=，又)(ρ∆o dz z +=，从而0→-ρ∆dzz ，当0→ρ时. 而22)()(0)0,0()0,0(y x yx f y x f dz z ∆∆∆∆∆∆∆+⋅=-+++=-，有222)0,0(),(0))()((lim),(),(limy x yx x y x f y x x f y x x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆+⋅=-+→→不存在，更谈不上等于0，从而假设不成立，即),(y x f z =在点)0,0(不可微分. 2. 函数可微分的必要条件定理2若函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分，则它在点),(y x P 连续.证明：由于),(y x f z =在点),(y x P 可微分，有)(ρ∆∆∆o y B x A z ++=，其中22)()(y x ∆∆ρ+=，于是有，0lim 0=→z ∆ρ.又),(y x f z =的全增量为),(),(y x f y y x x f z -++=∆∆∆，从而0),(),(lim )0,0(),(=-++→y x f y y x x f y x ∆∆∆∆，即),(),(lim)0,0(),(y x f y y x x f y x =++→∆∆∆∆，这说明),(y x f z =在点),(y x P 连续.注：函数连续，未必可微分.例如：函数22),(y x y x f z +==在点)0,0(连续，但由于偏导数不存在，从而不可微分. 3. 函数可微分的充分条件定理3若函数),(y x f z =的偏导数),(y x f x 与),(y x f y 在点),(y x 都连续，则),(y x f z =在点),(y x 可微分.注：反之未必.例如：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++==0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f z 在点)0,0(可微分，但),(y x f x 与),(y x f y 在点)0,0(都不连续.(1).先说明),(y x f z =在点)0,0(可微分. 设0)0,0()0,0(),(=+=y f x f y x y x ∆∆∆∆ϕ，因为01sin lim )0,0()0,(lim)0,0(2200==-=→→xx x xf x f f x x x ，01sinlim )0,0(),0(lim)0,0(2200==-=→→yy y yf y f f y y y ，令2222)()(1sin])()[()0,0()0,0(y x y x f y x f u ∆∆∆∆∆∆∆++=-++=，由于01sinlim ),(lim2200==-→→ρρρρ∆∆ϕ∆ρρy x u ，其中22)()(y x ∆∆ρ+=，于是)()0,0()0,0()(),(ρ∆∆ρ∆∆ϕ∆o y f x f o y x u y x ++=+=，由全微分的定义知),(y x f z =在)0,0(可微分.(2). 再说明偏导数),(y x f x 及),(y x f y 在点)0,0(不连续. 易知 0,1cos 21sin2),(22222222≠+++-+=y x yx y x x y x x y x f x , 由于⎪⎭⎫ ⎝⎛-==→→=→2200)0,0(),(21cos 121sin 2lim ),(lim ),(limx x x x x x f y x f x x x x xy y x 不存在，从而),(y x f x 在点)0,0(不连续.同理可知)0(1cos 21sin2),(22222222≠+++-+=y x yx y x y y x y y x f y 在点)0,0(也不连续. 例1. 计算函数22y y x z +=的全微分. 解：dy y x xydx dy yzdx x z dz )2(22++=∂∂+∂∂=. 例2. 计算函数xy e z =在点)1,2(处的全微分. 解：由于xy xy xe y z ye x z =∂∂=∂∂,，有2122122,e yz e xz y x y x =∂∂=∂∂====，所以dy e dx e dz y x 22122+===.例3. 计算yz e yx u ++=2sin 的全微分. 解： dz ye dy ze y dx dz z u dy y u dx x u du yz yz +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∂∂+∂∂+∂∂=2cos 21.第四节多元复合函数的求导法则一、一元函数与多元函数复合的情形定理1.若函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=在点t 都可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导，且dtdvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.(全导数公式) 注：可推广：),,(ωv u f z =，)(t u ϕ=，)(t v ψ=，)(t ωω=复合而成的函数)](),(),([t t t f z ωψϕ=在点t 可导，且dtd z dt dv v z dt du u z dt dz ωω⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=. 二、多元函数与多元函数复合的情形定理2. 若函数),(y x u ϕ=及),(y x v ψ=在点),(y x 具有对x 及y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且xvv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂；y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 注：可推广：由),,(ωv u f z =，),(y x u ϕ=，),(y x v ψ=，),(y x ωω=复合而成的函数)],(),,(),,([y x y x y x f z ωψϕ=在点),(y x 两个偏导数都存在，且xz x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ωω；y z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ωω. 三、其它情形1. 函数),(y x u ϕ=在点),(y x 对x 及y 的偏导数都存在，函数及)(y v ψ=在点t 可导，),(v u f z =在点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数]),,([y y x f z ϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且xuu z v z x u u z dx dv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂=⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0； dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 2. 函数),(y x u ϕ=在点),(y x 具有对x 及y 的偏导数，),,(y x u f z =在点),,(y x u 具有连续偏导数，则复合函数],),,([y x y x f z ϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且1⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xf x u u f dx dy y f dx dx x f x u u f x z ； 1⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂yf y u u f dy dy y f dy dx x f y u u f y z . 例1. 设v e z u sin =，而xy u =，y x v +=，求xz∂∂及y z ∂∂. 解：)]cos()sin([1cos sin y x y x y e v e y v e xvv z x u u z x z xy u u +++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂； )]cos()sin([1cos sin y x y x x e v e x v e yv v z y u u z y z xy u u +++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 例2.设222),,(z y xe z y xf u ++==，而y x z sin 2=，求xu ∂∂及y u ∂∂. 解：xzz f dx dy y f dx dx x f x u ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂ yx y xz y xz y xe y x x y x ze xe 2422222222sin 22)sin 21(2sin 222+++++++=⋅+=；yz z f dy dx x f dx dy y f y u ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂ yx y xz y xz y xe y y x y y x ze ye 2422222222sin 42)cos sin (2cos 22+++++++=⋅+=.例3. 设t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求求导数dtdz . 解：t t u ve dtdt t z dt dv v z dt du u z dt dz t cos sin +-=⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= t t t e t t e t e t t t cos )sin (cos cos sin cos +-=+-=.四、全微分形式不变性:若函数),(v u f z =具有连续偏导数，则有全微分dv vz du u z dt dz ∂∂+∂∂=.若函数),(y x u ϕ=及),(y x v ψ=也具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的全微分为dy y z dx x z dt dz ∂∂+∂∂=，有dy yzdx x z dv v z du u z dt dz ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=，称此性质为全微分形式不变性. 事实上：dy y z dx x z dt dz ∂∂+∂∂=dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=dy y v dx x u v z dy y u dx x u u z dv v z du uz∂∂+∂∂=. 例4. 利用全微分形式不变性求xu∂∂与y u ∂∂，其中v e z u sin =，xy u =，y x v +=. 解：由于vdv e vdu e v e d dz u u u cos sin )sin (+==，而 xdy ydx xy d du +==)(，dy dx y x d dv +=+=)(，于是dy v e x v e dx v e y v e dz u u u u )cos sin ()cos sin (+⋅++⋅=，即dy y x y x x e dx y x y x y e dy yzdx x z xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++=∂∂+∂∂，比较两端dx 、dy 的系数得：)]cos()sin([y x y x y e xzxy +++=∂∂， )]cos()sin([y x y x x e xzxy +++=∂∂.第五节隐函数的求导公式一、隐函数：称对应关系不明显，而是隐含在方程(方程组)中的函数(函数组)为由方程(方程组)确定的隐函数(隐函数组).注：并不是每一个方程都能确定一个隐函数，例如：01242=+++z y x . 二、隐函数存在定理 1.由一个方程确定的隐函数定理 1.若函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且0),(00=y x F ，0),(00≠y x F y ，则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续可导的函数)(x f y =，满足)(00x f y =，且yx F Fdx dy -=. 注：若),(y x F 的二阶偏导数也连续，则有 dxdy F F y dx dx F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=y x y x yy y xy y xyx y xx F F F F F F F F F F F F 223222y x yy y x xy y xx F F F F F F F F +--=.定理2. 若函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，满足),(000y x f z =，且zx F Fx z -=∂∂，z y F F y z -=∂∂. 例1. 设0122=-+y x ，求dxdy及22dx y d .解：令1),(22-+=y x y x F ，则x F x 2=，y F y 2=，从而yxF F dx dy y x -=-=. 33222221'yy x y y xy y y x dx d dx y d -=+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 例2.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解：设z z y x z y x F 4),,(222-++=，则x F x 2=，42-=z F z ，于是zxF F x z z x -=-=∂∂2，从而 3222222)2()2()2(2)2()2()2(z x z z z x x z z x z x z x z -+-=--⋅+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂---=∂∂. 2.由方程组确定的隐函数组定理3. 若函数),,,(v u y x F 与),,,(v u y x G 在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ，且函数行列式vu v uG G F F v u G F J =∂∂=),(),(在点),,,(0000v u y x P 不等于零，则方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内恒能确定唯一一组连续且具有连续偏导数的函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，且v uv u v xvxG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1，vuv u xu x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1；vuv u v y v yG G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1，vuv u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.例3. 设0=-yv xu ，1=+xv yu ，求xu ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、和y v ∂∂. 解：设方程组⎩⎨⎧=+=-1xv yu yv xu ，两端对x 求导得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+00v x v x x u y x v y x u x u 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂v x v x x u y u xv y x u x ，在022≠+=-=y x xyy x J 的条件下，有22y x yv xu x y y x x v yu x u ++-=-----=∂∂，22y x xvyu xy y x v y ux x v +--=----=∂∂；同理可得22y x yu xv y u +-=∂∂，22y x yv xu y v ++-=∂∂.第六节多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数1. 一元向量值函数的定义： )(t f r =，D t ∈(数集)，n R ∈. 注：1°. 在3R 中，))(),(),(()()()()(321321t f t f t f t f t f t f t f =++==.2°. 向量值函数)())(),(),(()(321D t t f t f t f t f r ∈==称为曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:321t f z t f y t f x Γ的向量方程.2. 一元向量值函数的极限：设向量值函数)(t f 在点0t 的某一去心邻域内有定义，若存在常向量0，0>∀ε，0>∃δ，t ∀：满足δ<-<||00t t ，总有ε<-|)(|0t f ，则称0为)(t f 当0t t → 时的极限，记作0)(lim 0t f t t =→.注：)(lim 0t f t t →存在⇔)(lim 10t f t t →、)(lim 20t f t t →、)(lim 30t f t t →都存在.⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→→)(lim ),(lim ),(lim )(lim 3210000t f t f t f t f t t t t t t t t . 3. 一元向量值函数的连续性：设向量值函数)(t f 在点0t 的某一邻域内有定义，若)()(lim 00t f t f t t =→，则称向量值函数)(t f 在点0t 连续.注：)(t f 在点0t 连续⇔)(1t f 、)(2t f 、)(3t f 点0t 连续.4.一元向量值函数的导数(导向量)：设向量值函数)(t f r =在点0t 的某一邻域内有定义，若tt f t t f t t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim0000-+=→→存在，则称此极限值为)(t f 在点0t 的导数或导向量，记作)('t f 或x t dtr d =.注：1°. )(t f 在点0t 可导⇔)(1t f 、)(2t f 、)(3t f 点0t 都可导.t f t f t f t f )()()()(''3'2'1++=.2°. 一元向量值函数的导向量的几何意义：tt f t ∆∆∆00lim)('→=是向量值函数)(t f =的终端曲线Γ在点)(0t M 处的一个切向量,其指向与t 的增长方向一致.例1.设t t t t f ++=)(sin )(cos )(，求)(lim 4/t f t π→.解：k t j t i t t f t t t t )lim ()sin lim ()cos lim ()(lim 4/4/4/4/ππππ→→→→++=k 422π++=. 例2.设空间曲线Γ的向量方程为R t t t t t t f ∈--+==),62,34,1()(22，求曲线Γ在点20=t 相应的点处的单位切向量.解：由于)64,4,2()('-=t t t f ，有)2,4,4()2('=f ，进而6244|)2('|222=++=f ，于是⎪⎭⎫⎝⎛==31,32,32)2,4,4(611n 为指向与t 的增长方向一致的单位切向量.⎪⎭⎫⎝⎛---=31,32,322n 为指向与t 的增长方向相反的单位切向量.二、空间曲线的切线与法平面1. 参数式情形：设空间曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z t y t x ωψϕ，],[βα∈t ，假设)(t ϕ、)(t ψ以及)(t ω在],[βα上可导，且三个导数不同时为零.(1). 切线：曲线Γ上的一点),,(000z y x M 处的切线方程为：)(')(')('000t z z t y y t x x ωψϕ-=-=-，参数0t 对应点),,(000z y x M .推导：由于曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z t y t x ωψϕ，记向量值函数))(),(),(()(t t t t f ωψϕ=，由向量值函数导数的几何意义知：向量)('),('),('()('0000t t t t f T ωψϕ==即为曲线Γ在其上的点),,(000z y x M 处的一个切向量，从而曲线Γ在其上的点),,(000z y x M 处的切线方程为：)(')(')('000000t z z t y y t x x ωψϕ-=-=-. (2). 法平面：通过曲线Γ上的点),,(000z y x M 而与曲线Γ在点M 处的切线垂直的平面方程称为曲线Γ在点M 处的法平面，方程为0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωψϕ.其中法向量为))('),('),('()(0000t t t t f ωψϕ==.2. 特殊式情形：设空间曲线Γ的方程为⎩⎨⎧==)()(x z x y ψϕ，且)(x ϕ、)(x ψ在点0x x =处可导，曲线Γ的方程可改写为⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z x y x x ψϕ，x 为参数，从而曲线Γ在点),,(000z y x M 处的切线与法平面方程分别为： (1). 切线方程：)(')('100000x z z x y y x x ψϕ-=-=-. (2). 法平面方程：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψϕ.3. 一般式(隐函数)情形：设曲线Γ的方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，),,(000z y x M 为曲线Γ上的一点，又设F 、G 有对各个变量的连续偏导数，且0),(),(≠∂∂Mz y G F ，这时方程组在点),,(000z y x M 的某一邻域内确定了一组隐函数⎩⎨⎧==)()(x z x y ψϕ，从而曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z x y xx ψϕ，x 为参数，于是切向量为))('),(',1(00x x T ψϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M z yzy Myxy x Mzyz y Mx z x z G G F F G G F F G G F F G G F F ,,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M yxy x M x zxzM z y z y Mzyz y G G F F G G F FG G F F G G F F ,,1. (1). 切线方程：)(')('100000x z z x y y x x ψϕ-=-=-. (2). 法平面方程：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψϕ.例3. 求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线与法平面方程.解：在方程组⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 两端对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x ，整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+1dxdz dx dy x dxdz z dx dyy ，于是z y x z z y z x dx dy --=--=1111，0)1,2,1(=-dx dy ；z y y x z y xy dx dz --=--=1111，1)1,2,1(=-dx dz，故切向量为)1,0,1(=T ，从而所求切线方程为：110211--=+=-z y x ，或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-21111y z x .法平面方程为0)1()2(0)1(=--++-z y x 或0=-z x .三、曲面的切平面与法线 1.定义(1). 切平面：若曲面∑上通过点M 的一切曲线在点M 的切线都在同一个平面上，则称此平面为曲面∑在点M 的切平面.(2). 法线：通过点M 且与切平面垂直的直线称为曲面∑在点M 的法线. 2. 切平面与法线方程(1). 一般式情形：设曲面∑的方程为0),,(=z y x F ，点),,(000z y x M 为其上一点，且函数),,(z y x F 的偏导数在点M 连续.切平面方程：0))(())(())((000=-+-+-z z M F y y M F x x M F z y x ；法线方程：)()()(000M F z z M F y y M F x x z y x -=-=-. 推导：在曲面∑上过点M 任意引一条曲线Γ，设其参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z t y t x ωψϕ，且函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=以及)(t z ω=在0t t =都可导，0t t =对应点),,(000z y x M ，有方程0))(),(),((=t t t F ωψϕ，两端对x 求导，在0t t =处，有0)('),,()('),,,()('),,(000000000000=++t z y x F t z y x F t z y x F z y x ωψϕ. 记()),,(),,,(),,,(000000000z y x F z y x F z y x F N z y x =.又))('),('),('(000t t t T ωψϕ=为曲线Γ在点),,(000z y x M 处的切向量，由上式可知0=⋅，即曲面∑上通过点),,(000z y x M 的任意一条曲线的切向量都垂直于同一个向量，从而这些切线都在同一平面上，即曲面∑在点),,(000z y x M 的且平面存在，该切平面以向量()),,(),,,(),,,(000000000z y x F z y x F z y x F N z y x =为一法线向量.(2). 特殊式 (显函数) 情形：曲面∑：),(y x f z =，且函数),(y x f 的偏导数在点),(00y x 连续.切平面方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x .法线方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x •y x .推导：记0),(),,(=-=z y x f z y x F ，有),(),,(y x f z y x F x x =，),(),,(y x f z y x F y y =，1),,(-=z y x F z ，故有法向量()1),,(),,(0000-=y x f y x f N y x .例4. 求球面14222=++z y x 在点)3,2,1(处的且平面及法线方程.解：设14),,(222-++=z y x z y x F ，有x z y x F x 2),,(=，y z y x F y 2),,(=，z z y x F z 2),,(=，故所求切平面的法向量为())6,4,2(2,2,2)3,2,1(==z y x ，于是所求切平面方程为：0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x ，即01432=-++z y x ，法线方程为：332211-=-=-z y x •，即321zy x •==.例5. 求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面即法线方程.解：设1),(22-+=y x y x f ，有x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(=，于是所求切平面的法向量为())1,2,4(1,2,2)4,1,2(-=-=y x N .从而所求切平面方程为0)4()1(2)2(4=---+-z y x ，即0624=--+z y x ，法线方程为142142--=-=-z y x •.第七节方向导数与梯度引入:由函数),(y x f 在点),(000y x P 的偏导数的几何意义可知：偏导数),(00y x f x 、),(00y x f y 只是函数),(y x f 过点),(000y x P 沿平行坐标轴法线的变化率.但在实际应用中，往往要求我们知道函数),(y x f 在点),(000y x P 沿任意确定的方向的变化率，以及沿什么方向函数的变化率最大，这就涉及到函数的方向导数和梯度. 一、方向导数1. 定义：设函数),(y x f 在点),(000y x P 的某个邻域)(0P U 内有定义，)sin ,cos (000ααt y t x P ++为过点),(000y x P 的射线l ()sin ,(cos αα=l e )上另一点，且)(0P U P ∈.若极限ty x f t y t x f t ),()sin ,cos (lim 00000-+++→αα存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(000y x P 沿方向l 的方向导数，记作),(00y x lf ∂∂.注：若函数),(y x f 在点),(000y x P 的偏导数存在，且i e l ==)0,1(，则),(),(),(lim 0000000),(00y x f ty x f y t x f lf x t y x =-+=∂∂+→.若函数),(y x f 在点),(000y x P 的偏导数存在，且j e l ==)1,0(，则),(),(),(lim 0000000),(00y x f ty x f t y x f lf y t y x =-+=∂∂+→.2. 方向导数的存在性定理：若函数),(y x f 在点),(000y x P 可微分，则函数),(y x f 在点),(000y x P 沿任意方向l 的方向导数都存在，且有βαcos ),(cos ),(0000),(00y x f y x f lf y x y x +=∂∂，其中αcos 、βcos 的方向余弦.注：1°. 可推广：若函数),,(z y x f 在点),,(0000z y x P 可微分，则),,(z y x f 在点0P 沿方向)cos ,cos ,(cos γβα=l e 的方向导数为γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(000000000),,(000z y x f z y x f z y x f lf z y x z y x ++=∂∂.2°. 方向导数存在，函数未必可微分.例如：22),(y x y x f +=在点)0,0(沿方向)cos ,(cos βα=l e 的方向导数都存在，但),(y x f 在点)0,0(不可微分.事实上：由于1lim )0,0()cos 0,cos 0(lim 00==-++++→→t ttf t t f t t βα，从而22),(y x y x f +=在点)0,0(沿方向l 的方向导数都存在.但22),(y x y x f +=在点)0,0(的两个偏导数都不存在，从而不可微分. 例1. 求函数y xe z 2=在点)0,1(P 处从点)0,1(P 到)1,2(-Q 方向的方向导数.解：由题可知方向l 就是向量)1,1(-=的方向，有⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,21l e .又1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz，22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz ，故所求方向导数为22212211)0,1(-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⋅=∂∂lz . 例 2.求zx yz xy z y x f ++=),,(在点)2,1,1(沿方向l 的方向导数，其中l 的方向角分别为o o o 60,45,60.解：由题可知与方向l 同向的单位向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛==21,22,21)60cos ,45cos ,60(cos o o o l ，又3)()2,1,1()2,1,1(=+=z y f x ，3)()2,1,1()2,1,1(=+=z x f y ，2)()2,1,1()2,1,1(=+=x y f z ，故所求方向导数为)235(21212223213)2,1,1(+=⋅+⋅+⋅=∂∂lf.二、梯度1.梯度的定义：设函数),(y x f 在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，对每一个点D y x P ∈),(000，称向量y x f y x f y x ),(),(0000+为函数),(y x f 在点),(000y x P 的梯度，记作),(00y x f grad ，或),(00y x f ∇，即j y x f i y x f y x f y x f grad y x ),(),(),(),(00000000+=∇=. 注：可推广：k z y x f j z y x f i z y x f z y x f z y x f grad z y x ),,(),,(),,(),,(),,(000000000000000++=∇=. 2.梯度与方向导数的关系(1).沿梯度方向，方向导数达到最大值； (2).梯度的模为方向导数的最大值.推导：设)cos ,(cos βα=l ，若函数),(y x f 在点),(000y x P 可微分，则),(y x f 在点0P 沿方向l 的方向导数为βαcos ),(cos ),(0000),(00y x f y x f lfy x y x +=∂∂)),,((cos |||),(|),(000000∧⋅⋅=⋅=l l l e y x f grad e y x f grad e y x f gradθ∆cos |||),(|00⋅⋅=l e y x f grad .1. 当0=θ时，|),(|00),(00y x f grad lf y x =∂∂.这说明函数),(y x f 在一点),(y x 的梯度),(y x f grad 是这样一个向量，它的方向是),(y x f 在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值.2. 当πθ=时，有l e 与),(00y x f grad 的方向相反，函数),(y x f 减小最快，),(y x f 在这个方向上的方向导数达到最小值，|),(|00),(00y x f grad lfy x -=∂∂.3. 当2πθ=时，有l e 与),(00y x f 的方向正交，函数),(y x f 的变化率为零，即0cos |),(|00),(00==∂∂θy x f grad lf y x .例3. 求221y x +.解：令221),(y x y x f +=，有222)(2),(y x x y x f x +-=，222)(2),(y x yy x f x +-=，于是j y x yi y x x y x grad22222222)(2)(21+-++-=+. 例4.设)(21),(22y x y x f +=，)1,1(0P ，求(1). ),(y x f 在0P 处增加最快的方向以及),(y x f 沿这个方向的方向导数； (2). ),(y x f 在0P 处减少最快的方向以及),(y x f 沿这个方向的方向导数； (3). ),(y x f 在0P 处变化率为零的方向.解：(1). ),(y x f 在点)1,1(0P 处沿)1,1(f ∇的方向增加最快，由于j i j y i x f +=+=∇)1,1()()1,1(，故所求方向可取为f 2121)1,1(+=∇=2|)1,1(|)1,1==f . (2). ),(y x f 在点)1,1(0P 处沿)1,1(f -的方向减少最快，故所求方向可取为j i n n 21211--=-=2|)1,1(|)1,1-=∇-=f .(3). ),(y x f 在点)1,1(0P 处沿垂直于)1,1(f 的方向变化率为零，故所求方向为21212+-=或21213-=.第八节多元函数的极值及其求法引入：在一元函数微分学中，我们讨论了一元函数的极值和最值问题，但在许多实际问题中，往往会遇到多元函数的极值和最值问题，我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值与最值问题.一、二元函数的极值与最值1. 极值：二元函数),(y x f 的定义域为D ，),(000y x P 为D 的内点，若存在0P 的某个邻域D P U ⊂)(0，)(),(0P U y x P ∈∀，且),(),(000y x P y x P ≠，都有),(),(00y x f y x f <(),(),(00y x f y x f >),则称),(y x f 在点0P 有极大值(极小值).点),(000y x P 称为函数),(y x f 的极大值点(极小值点). 统称极大值、极小值为极值；使函数取得极值的点称为函数的极值点.2. 最值：设函数),(y x f 的定义域为D ，若存在D y x P ∈),(000，D y x P ∈∀),(，都有),(),(00y x f y x f ≤(),(),(00y x f y x f ≥),则称),(00y x f 为),(y x f 在D 上的最大值(最小值). 注：1°. 极值是一个局部概念，最值是一个整体概念.2°. 极值与最值的关系：极值可以是最值，但最值未必是极值. 例1. 函数2243y x z +=在点)0,0(取得极小值，也是最小值. 例2. 函数22y x z +-=在点)0,0(取得极大值，也是最大值. 例3.函数xy z =在点)0,0(既不取得极大值，也不取得极小值.由此可见，并不是每一个函数在其定义域上都有极值点，那么什么样的点可能是函数的极值点呢又如何判断函数在该极值点处取得极大值还是极小值呢下面我们来学习极值点的必要条件和充分条件，从中得到这些问题的答案. 二、极值点的条件。

(完整版)第九章多元函数微分法及其应用答案.doc

第九章多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的必要条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的充分条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （） xy cos(xy 2（） 22) ; （） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （） 1 ; （C ） 12 ; （） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。

高等数学(同济大学第六版)第9章多元函数微分法小结

法平面方程为
⎧x = x ⎧ F ( x, y , z ) = 0 ⎪ 情况 2．若空间曲线的方程为： ⎨ ，可化为情况 1 的形式为 ⎨ y = y ( x ) , 可得曲线在 ⎩G (x, y, z ) = 0 ⎪ z = z (x ) ⎩
y 0 = f ( x0 ) ,并有
F' dy = − x' . dx Fy
高等数学 -4-
高等数学阶段小结
第九章多元函数的微分法及其应用
2)一个三元方程确定一个二元隐函数的情形设函数 F ( x, y , z ) 在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数 , 且
Fy' Fx' ∂z ∂z =− ' , =− ' . ∂x Fz ∂y Fz
3)一个四元方程组确定两个二元隐函数的情形设 F ( x, y , u , v ) 、 G ( x, y , u , v ) 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v0 ) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 , 又
Gu' Gv'
Gu' Gv'
Fy' Fv'
' Gy Gv' 1 ∂ (F , G ) ∂u =− =− ' ' ∂y J ∂ ( y, v ) Fu Fv
Fu' Fy
,
' Gu' G y ∂v 1 ∂ (F , G ) =− =− ' ' ∂y J ∂ (u, y ) Fu Fv
'
Gu' Gv'
Gu' Gv'

同济高等数学第九章学习指导及习题详解

F(x, y, u, v) 0 3.方程组 G(x, y, u, v) 0 ，在什么条件下可以确定二元隐函数
u u(x, y) ，v v(x, y) ？如何求它们的偏导数？仔细阅读本节第二
部分找出答案，通过阅读本节例 3，从中你会找到解题方法.
第六节多元函数微分学的几何应用
1.向量值函数的定义、极限、连续、导数等如何定义？与我们前面学习过的函数的定义、极限、连续、导数等有何区别与相似？阅读本节第一部分你会找到答案.
522
2.如何借助一元函数的求导方法求多元函数的偏导数？阅读本节例 1-例 5，从中你会找到方法.
3.阅读本节第二部分，列出多元函数高阶偏导数的定义、求法及与一元函数的相关内容的异同点.
第三节全微分
1.阅读本节第 72 页，仔细揣摩二元函数全微分的概念与一元函数微分概念有什么区别与联系.
2.一元函数中连续、可导、可微分之间的关系能类似地推广到二元函数中吗？若不能，那么二元函数在一点连续、偏导数存在、可微分之间又有怎样的关系？阅读本节定理 1 至定理 2，从中找出答案.
3.二元函数全微分有什么简单应用，与一元函数有什么异同？阅读本节第二部分，从中找出答案.
第四节多元复合函数的求导法则
1.在第二章中，我们学习了一元复合函数的求导法则（连锁法则），如何将这一法则推广到多元复合函数的情形？阅读本节第一部分你会知道一元函数与多元函数复合可以得到一个一元复合函数，如何求其全导数？阅读定理 1 找出答案.
2.在第一章中我们用“数轴上的非空点集到实数集的一个映射” 定义了一元函数，那么“平面上的非空点集到实数集的一个映射”是否也可以定义一个函数？如果可以，这样定义的函数与一元函数有什么异同？仔细阅读本节第二部分，从中找出答案.并解答下列问题：怎样确定二元函数的定义域？二元以上函数的定义域呢？一元函数的图形是平面上的一条曲线，二元函数的图形是什么样的？

《高等数学》(同济六版)教学★第9章.多元函数微分法及其应用ppt课件

定义域为圆域 (x, y) x2 y2 1
图形为中心在原点的上半球面.
又如, z sin(xy), (x, y) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
三元函数 u arcsin(x2 y2 z2 )
定义域为单位闭球
z
o 1y
2
19
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• 二重极限 lim f (x, y) 与累次极限 lim lim f (x, y)
x x0
xx0 y y0
y y0
不同.
如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.
例如,
显然
lim lim f (x, y) 0,
x0 y0
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
3
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在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆邻域可以互相包含.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
6
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(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;

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