理论力学第二章 质点组力学(2)
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质点组力学
rc = OC =
质点系
mi
∑m r
i =1 n
n
r ri
c质心
6
i i
∑m
i =1
i
o
r rc
rc = OC =
∑m r
i =1 n
n
i i
∑m
i =1
i
∑ mi xi xC = ∑ mi ∑ mi yi 分量式： 分量式： yC = ∑ mi 少数几个质点 zC = ∑ mi zi ∑ mi
2. 靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。 靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。
13
理论力学
质点组力学
均质曲柄AB长为 质量为m 长为r, 例2-5 均质曲柄 长为 ,质量为 1,假设受力偶作用以不 转动， 变的角速度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D， 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C。在 活塞上作用一恒力F。不计摩擦及滑块 的质量 的质量。 活塞上作用一恒力 。不计摩擦及滑块B的质量。 求：作用在曲柄轴A处的最 作用在曲柄轴 处的最 大水平约束力Fx。
dp d = ∑( mi vi ) = ∑ Fi (e ) 或 dp = ∑ Fi (e ) dt 16 即质点组动量定理： 即质点组动量定理： dt dt
理论力学
即得质点组动量定理： 即得质点组动量定理：
质点组力学
dp d = dt dt
∑mv
i =1 i
n i =1
n
n
i
=
∑
=
=
n
i =1
n
y A l l
质点系
mi
∑m r
i =1 n
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r ri
c质心
6
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∑m
i =1
i
o
r rc
rc = OC =
∑m r
i =1 n
n
i i
∑m
i =1
i
∑ mi xi xC = ∑ mi ∑ mi yi 分量式： 分量式： yC = ∑ mi 少数几个质点 zC = ∑ mi zi ∑ mi
2. 靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。 靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。
13
理论力学
质点组力学
均质曲柄AB长为 质量为m 长为r, 例2-5 均质曲柄 长为 ,质量为 1,假设受力偶作用以不 转动， 变的角速度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D， 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C。在 活塞上作用一恒力F。不计摩擦及滑块 的质量 的质量。 活塞上作用一恒力 。不计摩擦及滑块B的质量。 求：作用在曲柄轴A处的最 作用在曲柄轴 处的最 大水平约束力Fx。
dp d = ∑( mi vi ) = ∑ Fi (e ) 或 dp = ∑ Fi (e ) dt 16 即质点组动量定理： 即质点组动量定理： dt dt
理论力学
即得质点组动量定理： 即得质点组动量定理：
质点组力学
dp d = dt dt
∑mv
i =1 i
n i =1
n
n
i
=
∑
=
=
n
i =1
n
y A l l
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
理论力学第二章
内力：质点组内各个质点之间相互作用的力，就叫做内力 。 F(i) 外力：质点组以外的物体作用于质点组的力就叫外力。 F(e)
内、外力之分是相对的。 三、质点系动力学研究方法
方法1 对质点系内每个质点建立运动微分方程，用计算机数值求解；
方法2 从整体上研究质点系存在哪些普遍规律（动量、角动量等）。
i1
M
质心系总动量的另一表达式
p miri MvC
二、质点系的动量定理
d n
dp
dti1
pi
dt
=0
dp
F (e)
dt
质点组总动量的变化与内力无关，内力只能改变组内各 质点的运动情况而不能改变整体的动量 。
三、质心运动定理 质心的加速度
ac
rc
n miri
i1
M
n miai
积分后即可计算出时间为 t 2mL F
因此当轻杆转过θ角度时杆的角速度为
2F mL
课本p92例题
例题、半径为r,质量为M的水平匀质圆盘可绕通过其圆心的铅
直轴转动。一个质量为m的甲虫，以相对圆盘速度为 v at
（ a 为常数）的规律沿圆盘的边缘爬行。开始时，两者都静止，
假设桌面光滑，试求甲虫爬行后，圆盘的角速度。
d
i
(1 2m ir 'i2)i
F ied r i'
i
F i(i)d r i'
rc
midri '
rc
i
d
miri ' 0
i
小结：
对固定点
dp
F (e)
dt
dJ
M(e)
dt
对质心
Mrc
F(e)
内、外力之分是相对的。 三、质点系动力学研究方法
方法1 对质点系内每个质点建立运动微分方程，用计算机数值求解；
方法2 从整体上研究质点系存在哪些普遍规律（动量、角动量等）。
i1
M
质心系总动量的另一表达式
p miri MvC
二、质点系的动量定理
d n
dp
dti1
pi
dt
=0
dp
F (e)
dt
质点组总动量的变化与内力无关，内力只能改变组内各 质点的运动情况而不能改变整体的动量 。
三、质心运动定理 质心的加速度
ac
rc
n miri
i1
M
n miai
积分后即可计算出时间为 t 2mL F
因此当轻杆转过θ角度时杆的角速度为
2F mL
课本p92例题
例题、半径为r,质量为M的水平匀质圆盘可绕通过其圆心的铅
直轴转动。一个质量为m的甲虫，以相对圆盘速度为 v at
（ a 为常数）的规律沿圆盘的边缘爬行。开始时，两者都静止，
假设桌面光滑，试求甲虫爬行后，圆盘的角速度。
d
i
(1 2m ir 'i2)i
F ied r i'
i
F i(i)d r i'
rc
midri '
rc
i
d
miri ' 0
i
小结：
对固定点
dp
F (e)
dt
dJ
M(e)
dt
对质心
Mrc
F(e)
理论力学第二章质点组力学
(质心的运动就等于所有外力和 质量都集中在质心时质点的运动).
*质点组中质点运动定律 d ri ( e ) (i ) mi 2 F i F i dt ( e) (i ) d 2 rci mi 2 Fi Fi (mi r c) dt
2
roi f i 0
i
roi
:质点i相对于参考点o的位矢
③在质点组中,内力所作元功之和一般不能互相抵消 (刚体例外).
*表明在计算质点组的运动、动量和动量矩时不必考虑内力 的作用. 但在计算质点组的动能时,还应考虑内力所作之元功.
证明: (1)质点组中所有内力之和(矢量和)等于零。
(在质心系)
例 自然长度为 l ,劲度系数为 k 的弹簧，两端连结质量为m的质点，静置在 光滑水平面上。在t=0时,质点2获一向右速度 v0 ,讨论其后运动。
解 这是两质点的质点组。选择静系为ox.
1 x 质心在静系的位置为 c 2 ( x1 x 2 ) 1 x ( 0 ) ( x10 x 20 ) 且设t=0时x10 =a,x20=b c 2
0
ri fi 0
i
(3)在质点组动能定理中，内力所作元功之和一般不能互相抵 消的证明:
则
i i dw i f 12 dr d r2 1 f 21 i = f 21 d r2 r1 i = f 21 dr i =- f 12 dr
对任何一对质点间的相互作用力,由牛顿第三定律知:
fij f ji fij f ji 0
fij
n (i ) F i
f ij 0
理论力学基础知识
《理论力学教程》基础知识第一章 质点力学1. 在求解平面曲线运动问题时，可采用平面极坐标系，常将速度矢量分解为径向速度和横向速度，其表达式分别为：rv r =；θθ r v =；将加速度矢量分解为径向加速度和横向加速度，其表达式分别为2θ r r a r -=； θθθ r r a 2+=。
第2题图2. 求解线约束问题，通常用内禀方程，它的优点是运动规律和约束反作用力可以分开解算，这套方程可表示为，切向：τF dtdv m =；法向：n n R F v m +=ρ2；副法向：b b R F +=0。
3. 试写出直角坐标系表示的质点运动微分方程式x F x m =、y F y m = 、z F z m = 。
4. 质点在有心力作用下，只能在垂直于动量矩J 的平面内运动，它的两个动力学特征是：（1）对力心的动量矩守恒；（2）机械能守恒。
5. 牛顿运动定律能成立的参考系，叫做惯性系；牛顿运动定律不能成立的参考系，叫做非惯性系，为了使得牛顿运动定律在此参考系中仍然成立，则需加上适当的惯性力。
6. 在平面自然坐标系中，切向加速度的表达式为dtdv a =τ，它是由于速度大小改变产生的；法向加速度的表达式为ρ2v a n =，它是由于速度方向改变产生的。
7. 质心运动定理反映了质点组运动的总趋势，而质心加速度完全取决于作用在质点组上的外力，而内力不能使质心产生加速度。
第8题图8. 一质量为m 的小环穿在光滑抛物线状的钢丝上并由A 点向顶点O 运动，其建立起的运动微分方程为：θsin mg dt dv m =；θρcos 2mg R v m -=。
注：此题答案不唯一。
第9题图9．一物体作斜抛运动，受空气阻力为v mk R -=，若采用直角坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：x x mkv dtdv m -=；y y mkv mg dt dv m --=；若采用自然坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：θsin mg mkv dtdv m--=； θρc o s 2mg v m =。
理论力学课件 第二章质点组力学讲解
心重合。
重心：质点系所受重力的合力的作用点。
（3）对于只有两个质点所组成的质点组 而言，其质心位置在质点1与质点2这两点连 线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、 2的质量。
例1 一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为 R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（d<h）的 共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。
v
2 y
V
1 m(2M m) cos2
(M m)2
tan vy (1 m ) tan
vx
M
故由于炮车反冲 v V 而 。
例3 一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物
体到最,以高与时水，平将线物成体α以角相的对速于度他v自0向己前的跳速。度当他u跳
水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远 的距离增加了多少？
m m
4 V v 4
zc
h
s
(3h d ) 4
§2.2 动量定理与动量守恒律
一、动量定理
假设由n个质点所组成的质点组，其中某一
个O的质位点矢的为质r量i ，为作m用i，其对上某的惯诸性力参的考合系力坐为标原点
Fi Fi(i) Fi(e)
质点pi的运mi 动dd2t微r2i 分F方i(i) 程Fi(e)
本章重点研究内容
〈一〉质心及质心运动定理 〈二〉动量定理及其守恒律 〈三〉动量矩定理及其守恒律 〈四〉动能定理、机械能守恒律 〈五〉两体问题、变质量问题
§2.1 质点组的基本概念
一、质点组的内力和外力 质点组：由许多（有限或无限）相互联系
着的质点所组成的系统。
内 力：质点组内质点间的相互作用力。
外 力：质点组外的物体对质点组内质点
力学讲义-2质点动力学
K dr
≠
0
势能：保守力所作的功等于势能函数的减少（即势能增量的负值），即
重力势能为
A = −ΔEP
Ep = mgh （以 h = 0 处为势能零点）
弹性势能为
EP
=
1 2
kx2
万有引力势能为
（ k 为劲度系数，以弹簧原长处为势能零点）
EP
=
−G
m′m r
（以 r = ∞ 处为势能零点）
机械能守恒定律：若作用于系统的外力和非保守内力都不对系统作功或作功之和为
以摩擦力作功为变力作功，而从开始到链条离开
桌面，可由功能原理求得离开桌面的动能，从而求得速率。
解
（1） 建立坐标如图 2-3(b)所示，设任意时刻，链条下垂长度为 x，则摩擦力大小为
f = μ m (l − x)g l
摩擦力的方向与位移方向相反，故整个过程中摩擦力作功为
（1）
6
∫ ∫ Af
=
l f cos180o dx =
⋅
l 2
Ek
=
1 mυ 2 2
Ek0 = 0
将（3）、（4）、（5）、（6）、（7）代入（2）得
− μmg (l − a)2 = −mg l + 1 mυ 2 + mg a 2
2l
22
2l
解得
（4） （5） （6） （7）
υ = [l 2 − a 2 − μ (l − a)2 ]g L
（8）
【方法要略】 此题的关键是正确写出变力作功的表达式，求得摩擦力作的功；然后应
【知识扩展】 由上式结论知，当 t → ∞ ，υ → 0 ，其原因为，摩擦力与正压力 N 成正
比，而 N 与速度平方成正比，随着 t 增大，速度越来越小，但正压力也变小，随之摩擦力变
理论力学第2章质点组力学ppt课件
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25
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26
和
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27
举例
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28
§2.4 动能定理与机械能守恒定 律
1 质点组的动能定理
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30
刚体情形
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31
2 机械能守恒定律
▪ 对质点组来讲，内力所作的功之和一般并不 为零，所以，若只有外力是保守力而内力并 不是保守力，质点组的机械能并不守恒；
54
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55
举例
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56
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57
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58
2 火箭原理
时间关系不讲， 若有兴趣请自己看书
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59
作业8讲解
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60
第15讲到此结束
最
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10
§2.2 动量定理与动量守恒定律
1 质点组动量定理
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12
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13
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14
2 质心运动定理
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15
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16
3 动量守恒定律
（3）由于 pmvC
，所以质心作惯性运动。
（4）如果合外力在某轴投影为零，则动量投影为常量。
i 1
i 1
i 1
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35
小结
▪ 质点组的三个动力学基本定理在分量形式下 一共有七个方程，和它们相关的守恒律成立 时也是这样。
▪ 但由于质点组的独立变量通常都大于七，所 以这些方程并不能用来确定质点组中每一质 点的运动，而只能由它们得出运动总的趋向 和某些特征，特别是与质心有关的总的特征。
理论力学(周衍柏)第二章质点组力学.
⑵ 机械能守恒定律
如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力 （或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。
T V E
⑶柯尼希定理
质点组动能 ' 1 T= mi rc ri 2 i 1
n n 2 n 2
n ' 1 1 mi rc mi ri rc mi ri 2 i 1 2 i 1 i 1 n ' 1 1 m rc mi ri rc mi ri 2 2 i 1 i 1 n 2 2 '
(i ) (e) 1 2 d ( mi ri ) dTi Fi dri Fi dri 2 其中, ri 是质点的速度, dri 则是它的位移。
对i求和
n
n n 1 2 ( i ) (e) d ( mi ri ) Fi dri Fi dri i 1 2 i 1 i 1
t2
t1 t2
M ox dt M oy dt M oz dt
t1 t2
t1
⑵动量矩守恒定律
① 如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即
② 如果 ，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上 的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。
M ox 0 yi Fiz e zi Fiy e 0,
(e) xi Fiz (e) yi Fix
(e) iy
dJ y dJ x dJ 即 M ox , M oy , z M oz dt dt dt
质点组的动量矩的积分形式 t2
t1
J 2 J1 Mdt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
理论力学第二章 质点组力学-2)
m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)
质点组力学解析.pptx
2、 部分守恒
条件
n i 1
F (e) ix
0
dpx dt
0
n
或 px mivix mvcx 常数 i 1
因而，在这一情形下，虽然质点组的动量并不是一个恒矢量，但它在 这一轴（现在 x 轴）上的投影却保持为常数，或者说，质点组质心的 速度，在这一轴上的投影为一常数，亦即我们得到了一个第一积分， 在解算具体问题时，常常要用到这个关系。
zi Fiy(e) )
d
dt
n
mi (zi xi
i 1
xi zi )
n
(zi Fix(e)
i 1
xi Fiz(e) )
d
dt
n
mi (xi yi
i 1
yi xi )
n
(xi Fiy(e) yi Fix(e) )
i 1
（2.3.6）
第20页/共69页
（2）动量矩守恒律
1、全部守恒 如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点 O 的合力矩为零，即
第9页/共69页
式中
d 2rc dt 2
是质心的加速度。方程（2.2.9）表明，质点组质心的运动，
就好像一个质点的运动一样，此质点的质量等于整个质点组的质量，作用 在此质点上的力，等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质心 运动定理。
第10页/共69页
（3）动量守恒律
1、 全部守恒：条件
以
F (i) i
表之；另一为外力，以
F (e) i
表之。由牛顿运动第二定律，得质
点 pi 的运动微分方程为
第5页/共69页
mi
d 2ri dt 2
F (e) i
F (i) i
理论力学第二章 质点组力学习题(带答案解析)
《理论力学》第二章质点组力学一、单选题（共14题）1、对功的概念有以下儿种说法:()①保守力作正功时,系统内相应的势能增加②质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零.③作用力和反作用力大小相等、方向相反,两者所作功的代数和必为零.A、①、②是正确的B、②、③是正确的C、只有②是正确的D、只有③是正确的正确答案：C解析：①错(保守力作正功时,系统相应的势能减少)。
③错.(作用力和反作用力虽然大小相等、方向相反,但两者所作功的代数和不一定为零;而等于力与两者相对位移的乘积。
)2、一小球在竖直平面内作匀速圆周运动,则小球在运动过程中:()A、机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒;B、机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒;C、机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒;D、机械能守恒、动量守恒、角动量守恒。
正确答案：A解析：小球在竖直平面内作匀速圆周运动,其动能不变,势能改变,所以机械能不守恒。
小球在运动过程中,速度方向在改变,所以动量不守恒。
由于小球作匀速圆周运动,它所受的合力指向圆心,力矩为零,所以角动量守恒。
3、甲、乙、丙三物体的质量之比是1:2:3,若它们的动能相等,并且作用于每一物体上的制动力都相同,则它们制动距离之比是:()A、1:2:3B、1:4:9C、1:1:1D、3:2:1正确答案：C解析：由动能定理可知三个制动力对物体所作的功相等;在这三个相同的制动力作用下,物体的制动距离是相同的.4、如图的系统,物体A,B置于光滑的桌面上,物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零,首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧压缩,后拆除外力,则A和B弹开过程中,对A、B、C、D和弹簧组成的系统()A、动量守恒,机械能守恒;B、动量不守恒,机械能守恒;C、动量不守恒,机械能不守恒;D、动量守恒,机械能不一定守恒.正确答案：D解析：桌面光滑,A、B、C、D和弹簧组成的系统不受外力,动量守恒;在A和B弹开过程中,物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零,一定存在摩擦力,如果A、C或B、D之间没发生相对位移,摩擦力不做功,则机械能守恒,若发生了相对位移,摩擦力做负功,机械能不守恒。
2023大学_理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载
2023理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律 2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系 2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动 3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解__3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。
本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。
本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。
理论力学_第二章质点组力学
n dpz d n e mi viz Fiz dt dt i 1 i 1
mi ri mrc
d ( m i ri ) p mi vi mi ri
i i
i
）
dt
i
d ( m rc ) mrc m v c dt
i 1
n
m
i
质心的位矢 rc 是质点组中各质点的位置 ri 以其质量 mi 为权
重的平均矢量。它可以代表质点组的整体位置。
质心位矢的分量形式为：
xc
m x
i 1 n i
n
i
m
i 1
yc
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
zc
m z
i 1 n
n
i i
i
m
i 1
点，这些点对某一指定的参照点 O 的位矢是 r , r2 ，„， rn ，则质心 C 对此 1
同一点的位矢 rc 满足以下关系：
y
yC
r3
m2
O
m3
r2
zC
z
rc
C
r1
m1
xC x
rc OC
mi ri
i 1 n
n
m
i 1
mi ri
虽然
3、对质心的动量矩定理
C系：随着C相对于S系平动 ri rc ri S系 y C系 y
ri
Pi
由n 个质点 组成的 质点
组中，任一质点Pi 在C系的
ri
d ri ( e ) ( i ) ) mi 2 Fi Fi ( mi rc dt 用ri 左矢乘方程两边，并对i 求和，得 2 n n n d ri (e) (i ) n mi (ri dt2 ) (riFi ) (riFi ) rc mi ri i 1 i 1 i 1 i 1
理论力学第2节 质点系相对于质心的动量矩定理
LC (ri mivi ) (ri mivir )
结 论 LC (ri mivi ) (ri mivir )
计算质点系相对于质心的动量矩，用绝对速度和相 对速度结果都是一样的。对一般运动的质点系，通常 可以分解为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用 相对速度计算质点系相对质心的动量矩往往更方便。
i 1
dLC dt
n
ri Fi(e)
i 1
或
dLC dt
n
MC (Fi(e) )
i 1
质点系相对于质心的动量矩定理表明：质点系相 对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系 的外力对质心的主矩。该定理在形式上与质点系相对 固定点的动量矩定理完全相同。
dLC dt
n
ri Fi(e)
i 1
或
dLC dt
n
MC (Fi(e) )
i 1
注意
质点系相对于质心的动量矩定理所涉及的随质 心运动的动坐标系，一定是平移坐标系，定理只适 用于质心这个特殊的动点。对于其他动点，定理将 出现附加项或附加条件。
• 质点系相对于质心的动量矩定理
质点系的 动量矩定理
定点动量矩与相对于 质心动量矩间的关系
dLO dt
n
MO (Fi(e) )
i 1
LO rC MvC LC
dLO dt
d dt
(rC MvC
n
LC ) ri பைடு நூலகம் Fi(e)
i 1
将 ri rC ri代入得
• 质点系对定点动量矩与相对于质心动量矩间的关系
在固定参考系Oxyz中，质点系对固定点O的动量矩为
理论力学第二章质点组力学
i 1 i 1
n
n
e
dri Fi dri
i i 1
n
注意：1）质点的位矢都以固定点O为起点； 2）内力的功一般不为零。
1 f i
12
dWi f12 dr1 f 21 dr2
i i i f 21 d r2 r1 f 21 dr f12 dr
km1m2 1 km1m2 1 2 2 m1v1 m2 v2 a 2 2 a/2
解得
v1 m2
2k 2k , v2 m1 a m1 m2 a m1 m2
用动能定理
km1m2 1 1 2 2 d m1v1 m2v2 2 dr 2 r 2
i
i
m
i 1
i
不均匀的连续体
xc
V
xdm
V
dm
yc
V
ydm
V
dm
zc
V
zdm
V
dm
3. 质点组的动量守恒定律 若
F
i 1
n
e
i
0
dp 0 dt
p mvc 恒矢量
px mvcx 恒矢量
p y mvcy 恒矢量
F ix
J mvr mvr 力矩为 M mgr mgr
由动量矩定理，得
d mv mv r dt m m gr
即
ma ma m m g 2 2 a 2 s / t , a 2 s / t 若t为共同到达时间，则
i
i
r1
r
f 21
i
2
n
n
e
dri Fi dri
i i 1
n
注意：1）质点的位矢都以固定点O为起点； 2）内力的功一般不为零。
1 f i
12
dWi f12 dr1 f 21 dr2
i i i f 21 d r2 r1 f 21 dr f12 dr
km1m2 1 km1m2 1 2 2 m1v1 m2 v2 a 2 2 a/2
解得
v1 m2
2k 2k , v2 m1 a m1 m2 a m1 m2
用动能定理
km1m2 1 1 2 2 d m1v1 m2v2 2 dr 2 r 2
i
i
m
i 1
i
不均匀的连续体
xc
V
xdm
V
dm
yc
V
ydm
V
dm
zc
V
zdm
V
dm
3. 质点组的动量守恒定律 若
F
i 1
n
e
i
0
dp 0 dt
p mvc 恒矢量
px mvcx 恒矢量
p y mvcy 恒矢量
F ix
J mvr mvr 力矩为 M mgr mgr
由动量矩定理，得
d mv mv r dt m m gr
即
ma ma m m g 2 2 a 2 s / t , a 2 s / t 若t为共同到达时间，则
i
i
r1
r
f 21
i
2
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mr1
k2m
M m2
1 r22
r1 r1
从上式看出，力仍然与距离平方成反比， 故行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也如此。
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第二章 质点组力学（2）
12
行星相对于太阳的相对运动
由方程
M
d 2 rS dt 2
GMm r r2 r
m
d 2 rP dt 2
GMm r2
r r
m1
m2
m2
v2
u2
u1
u2
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
且定义e: u1 u2 ev1 v2
式中e称为恢复系数。
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第二章 质点组力学（2）
23
所以,考虑弹性碰撞问题,有以下两个方程
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
mv1 mv2 0
机械能守恒
r
（1） m1 v1
v2 m2
km1m2 a
1 2
m1v12
1 2
m2v22
km1m2 a/2
联立求解：
（2）
2k
2k
v1 m2
,
a m1 m2
v2 m1
a m1 m2
（3）
另：如果从动能定理出发
d
1 2
m1v12
1 2
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
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第二章 质点组力学（2）
1
第二章 质点组力学
• §2.1 质点组 (1)内力和外力 (2)质心
• §2.2 动量定理与动量守恒律 (1)动量定理 (2)质心运动定理 (3)动量守恒律
• §2.3 动量矩定理与动量矩守恒律 (1)对固定点 (2)动量矩守恒律 (3)对质心
2
m2
v1 v1
'
cos
r
m2 m2
m1 m1
0
讨论 m1 m2 这一特殊情况，此时
v1 ' v1
cosr
若
r
2
，相应 C
能量转移最大。
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第二章 质点组力学（2）
22
碰撞，恢复系数e
碰撞前： 碰撞后：
v1
v2
m1
v1
u1
根据上节讨论，可以把它 化为单体问题，即认为一 个不动，而把另一个的质 量改为折合质量。
然而，在上述两种情况下，散射角并不相同。 （见图2.6.1）
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第二章 质点组力学（2）
15
实验室坐标系 观察者在静止坐标观察散射过程。 质心坐标系 观察者随质心运动的坐标系观察。
r
实验室坐标系测出来 的散射角
（2.5.9）
（2.5.9）还可以写成
Mm d 2 r k 2m r M m dt2 r2 r
式中
Mm m
M m 1 m/ M
称为折合质量。
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第二章 质点组力学（2）
14
§2.6 质心坐标系与实验室坐标系
碰撞和散射都是两体问题。 在散射（或碰撞）前后， 质心都有运动。
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第二章 质点组力学（2）
5
（3）柯尼希定理
ri rC ri '
质点组的动能
T
1 2
n i 1
mi
rC ri ' 2
1 2
mrC 2
1 2
n i 1
mi ri
'2
n i 1
mi rC ri
'
因为
n
n
mirC ri ' rC miri '
24
[例] （P114， 2.9）
一光滑小球与另一相同的静止小球碰撞.在碰撞前,
第一小球运动的方向与碰撞时两球的联心线成a角. 求碰撞后第一小球偏过的角度b以及在各种a值下b
角的最大值.设恢复系数e为已知.
解： 动量守恒
mv1 sina mv1 'sin （1）
mv1 cosa mv1 'cos mv2 ' （2）
(2.6.10)
(2.6.11)
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第二章 质点组力学（2）
20
(2.6.10)、(2.2.11)代入(2.6.7)
tan r
sinC cosC m1
/ m2
(2.6.12)
重靶（如a粒子散射）m1 m2
tanr tanC r C
中子－质子散射 m1 m2
再求 bmax ? （略）
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第二章 质点组力学（2）
27
作业
• P152 2.8, 2.10, 2.12
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第二章 质点组力学（2）
28
tan r
sin C cosC 1
tan C
2
C 2r
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第二章 质点组力学（2）
21
能量的转移
V1 '2 v1 '2 V 2 2Vv1 'cosr
(2.6.15)
利用(2.6.10),(2.6.11)两式，上式变为
2
v1 ' v1
e
Fi
d ri
'
对质心的动能定理
[例] (P96) 质量为m1和m2的两个自由质点互相以力吸引， 引力与其质量成正比，与距离平方成反比，比
例常数为k。开始时，两质点皆处于静止状态， 其间距离为a。试求两质点的距离为a/2时两质 点的速度。
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第二章 质点组力学（2）
8
解： 动量守恒
O x
r1 P
rP
y
太阳和行星绕它们的质心作圆锥曲线运动。(待证!)
行星对质心C的运动微分方程还可以写为
mr1
k 2m
r1 r2 2
r1 r1
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第二章 质点组力学（2）
11
由于C是质心 mr1 Mr2
r1
r2
1
m M
r1
M m M r1
于是
v2 '
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第二章 质点组力学（2）
26
第一小球偏过的角度
b a
(6)
(6)代入(5)： tan a b 2 tana
1 e
即
1 e tana
tan b 1 e 2 tan2 a
b
tan 1
1 e tana
1 e 2 tan2 a
r2 r
上两式相加
d2 dt 2
M rS mrP
0
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第二章 质点组力学（2）
z rS s r2 c
rC
O x
r1 P
rP
y
10
由质心的定义，得
M rS mrP M m rC
所以
M
m
d 2 rC dt 2
0
质心作惯性运动。
z rS s r2 c
rC
z rS s r2 c
rC
O x
r1 P
rP
y
可得
Mm
d 2 rP dt 2
d 2 rS dt 2
GMm r2
M
m
r r
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第二章 质点组力学（2）
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即
m
d2r dt 2
Gm M
r2
m
r r
k '2 r2
r r
式中 k '2 G M m
（1）质点组的动能定理 质点组中的任一质点
d
1 2
mi
vi
2
dTi
e
Fi
d ri
i
Fi
d ri
求和 d
n i1
1 2
2
mi vi
n i1
e
Fi
d ri
n i1
i
Fi
d ri
n e
n i
dT F i d ri F i d ri
19
由质心定义
r1
'
m2 m1 m2
r
对上式时间求导
(2.6.8)
V1
'
m1
r
(2.6.9)
散射后,当两质点远离到无引力场作用时,因系统是
保守的,这时两质点相对速度的量值 r 必与其起始
时两粒子相对速度的量值即 v1相等,即
V1 ' m1 v1 又由(2.6.1) V
m2
v1
质点2相对于质心的速度大小
V2
v2
V
m1v1 m1 m2
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