理论力学第二章 质点组力学(2)

mr1



k2m
M m2
1 r22
r1 r1
从上式看出，力仍然与距离平方成反比， 故行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也如此。
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第二章 质点组力学（2）
12
行星相对于太阳的相对运动
由方程
M
d 2 rS dt 2

GMm r r2 r
m
d 2 rP dt 2


GMm r2
r r
m1
m2
m2
v2
u2
u1
u2
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
且定义e: u1 u2 ev1 v2
式中e称为恢复系数。
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第二章 质点组力学（2）
23
所以,考虑弹性碰撞问题,有以下两个方程
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
mv1 mv2 0
机械能守恒
r
（1） m1 v1
v2 m2
km1m2 a

1 2
m1v12

1 2
m2v22

km1m2 a/2
联立求解：
（2）
2k
2k
v1 m2
,
a m1 m2
v2 m1
a m1 m2
（3）
另：如果从动能定理出发
d

1 2
m1v12

1 2
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
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第二章 质点组力学（2）
1
第二章 质点组力学
• §2.1 质点组 (1)内力和外力 (2)质心
• §2.2 动量定理与动量守恒律 (1)动量定理 (2)质心运动定理 (3)动量守恒律
• §2.3 动量矩定理与动量矩守恒律 (1)对固定点 (2)动量矩守恒律 (3)对质心

2
m2

v1 v1
'

cos
r

m2 m2
m1 m1

0
讨论 m1 m2 这一特殊情况，此时
v1 ' v1

cosr
若
r


2
，相应 C
能量转移最大。
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第二章 质点组力学（2）
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碰撞，恢复系数e
碰撞前： 碰撞后：
v1
v2
m1
v1
u1
根据上节讨论，可以把它 化为单体问题，即认为一 个不动，而把另一个的质 量改为折合质量。
然而，在上述两种情况下，散射角并不相同。 （见图2.6.1）
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第二章 质点组力学（2）
15
实验室坐标系 观察者在静止坐标观察散射过程。 质心坐标系 观察者随质心运动的坐标系观察。
r
实验室坐标系测出来 的散射角
（2.5.9）
（2.5.9）还可以写成
Mm d 2 r k 2m r M m dt2 r2 r
式中
Mm m
M m 1 m/ M
称为折合质量。
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第二章 质点组力学（2）
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§2.6 质心坐标系与实验室坐标系
碰撞和散射都是两体问题。 在散射（或碰撞）前后， 质心都有运动。
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第二章 质点组力学（2）
5
（3）柯尼希定理
ri rC ri '
质点组的动能
T

1 2
n i 1
mi
rC ri ' 2

1 2
mrC 2

1 2
n i 1
mi ri
'2

n i 1
mi rC ri
'
因为
n
n
mirC ri ' rC miri '
24
[例] （P114， 2.9）
一光滑小球与另一相同的静止小球碰撞.在碰撞前,
第一小球运动的方向与碰撞时两球的联心线成a角. 求碰撞后第一小球偏过的角度b以及在各种a值下b
角的最大值.设恢复系数e为已知.
解： 动量守恒
mv1 sina mv1 'sin （1）
mv1 cosa mv1 'cos mv2 ' （2）
(2.6.10)
(2.6.11)
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第二章 质点组力学（2）
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(2.6.10)、(2.2.11)代入(2.6.7)
tan r

sinC cosC m1
/ m2
(2.6.12)
重靶（如a粒子散射）m1 m2
tanr tanC r C
中子－质子散射 m1 m2

再求 bmax ? （略）
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作业
• P152 2.8, 2.10, 2.12
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第二章 质点组力学（2）
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tan r

sin C cosC 1

tan C
2
C 2r
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第二章 质点组力学（2）
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能量的转移
V1 '2 v1 '2 V 2 2Vv1 'cosr
(2.6.15)
利用(2.6.10),(2.6.11)两式，上式变为
2

v1 ' v1

e
Fi
d ri
'
对质心的动能定理
[例] (P96) 质量为m1和m2的两个自由质点互相以力吸引， 引力与其质量成正比，与距离平方成反比，比
例常数为k。开始时，两质点皆处于静止状态， 其间距离为a。试求两质点的距离为a/2时两质 点的速度。
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第二章 质点组力学（2）
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解： 动量守恒
O x
r1 P
rP
y
太阳和行星绕它们的质心作圆锥曲线运动。(待证!)
行星对质心C的运动微分方程还可以写为
mr1

k 2m
r1 r2 2
r1 r1
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由于C是质心 mr1 Mr2
r1

r2

1
m M

r1
M m M r1
于是

v2 '
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第一小球偏过的角度
b a
(6)
(6)代入(5)： tan a b 2 tana
1 e
即
1 e tana
tan b 1 e 2 tan2 a
b

tan 1
1 e tana
1 e 2 tan2 a
r2 r
上两式相加
d2 dt 2
M rS mrP
0
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第二章 质点组力学（2）
z rS s r2 c
rC
O x
r1 P
rP
y
10
由质心的定义，得
M rS mrP M m rC
所以
M

m

d 2 rC dt 2
0
质心作惯性运动。
z rS s r2 c
rC
z rS s r2 c
rC
O x
r1 P
rP
y
可得
Mm

d 2 rP dt 2

d 2 rS dt 2




GMm r2
M

m
r r
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第二章 质点组力学（2）
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即
m
d2r dt 2


Gm M
r2

m
r r


k '2 r2
r r
式中 k '2 G M m
（1）质点组的动能定理 质点组中的任一质点
d

1 2
mi
vi
2


dTi

e
Fi
d ri

i
Fi
d ri
求和 d
n i1
1 2
2
mi vi


n i1
e
Fi
d ri

n i1
i
Fi
d ri
n e
n i
dT F i d ri F i d ri
19
由质心定义
r1
'


m2 m1 m2
r
对上式时间求导
(2.6.8)
V1
'


m1
r
(2.6.9)
散射后,当两质点远离到无引力场作用时,因系统是
保守的,这时两质点相对速度的量值 r 必与其起始
时两粒子相对速度的量值即 v1相等,即

V1 ' m1 v1 又由(2.6.1) V


m2
v1
质点2相对于质心的速度大小
V2
v2
V

m1v1 m1 m2
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即
m1V1 m2V2 0
从质心系看来，根据动量守恒定律，两质点散射 后必将沿相反方向运动。如图2.6.2a
同一现象，在实验室坐标系看来，如图2.6.2b.
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C
质心坐标系中的散射角 由计算给出。
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散射前
m1 速度 v1
m2
v2 0
散射前后，质心的速度不变，设为 V
m1 m2 V m1v1
即 散射前
V m1v1 m1 m2
质点1相对于质心的速度大小
(2.6.1)
V1

v1
V

m2v1 m1 m2
mirC d ri ' rC
n
min
mi
ri
'

0
i 1
i 1
i1

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所以
d
n i 1

1 2
mi
vi
2


n i 1
i
F i d ri
'
n i 1
对于一般质点组 dr 0 ，故内力作功一般
不为零。
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第二章 质点组力学（2）
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（2）机械能守恒律
如果作用在质点组上的内力和外力均是 保守力（或其中只有保守力作功）， 则质点组的机械能守恒。
T V E
T 为质点组的动能，
V 为质点组的势能（包含内力和外力的势能）
E 为质点组的总机械能
• §2.4 动能定理与机械能守恒律 (1)质点组动能定理 (2)机械能守恒 (3)柯尼希定理 (4)对 质心的动能定理
• §2.5 两体问题
• §2.6 质心坐标系与实验室坐标系
• §2.7变质量物体的运动
• §2.8维里定理
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2
§2.4 动能定理与机械能守恒律
第二章 质点组力学（2）
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由相对运动关系，有
V1 'V v1 '
写成分量式 V1 'cosC V v1 'cosr ,
V1 'sinC v1 'sinr

所以
tan r

V1 'sinC V1 'cosC V
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第二章 质点组力学（2）
(2.6.6) (2.6.7)
m2v22



km1m2 r2
dr
积分得（2）式
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第二章 质点组力学（2）
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§2.5 两体问题 事实上，太阳在运动，开普勒定理只是近似的。
对于惯性系，太阳运动微分方程
M
d 2 rS dt 2
GMm r r2 r
行星运动微分方程
m d 2 rP GMm r
dt 2
i 1
i 1
质点组的动能定理
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第二章 质点组力学（2）
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内力所作元功一般不会互相抵消
O
两个质点的情况 内力作功
i
i
dWi f 12 d r1 f 21 d r2
i
f 21 d r2 r1
r1
f 12
r2
r f 21
i
i
f 21 d r f 12 d r
a v1
碰撞前
v1 '

v2 '
碰撞后
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弹性碰撞
v1 'cos v2 ' ev1 cosa
（3）
(3)-(2):
2v1 'cos 1 ev1 cosa
(4)代入(1)：
tan 2 tana
1 e
（4） （5）
a v1
v1 '
及
u1 u2 ev1 v2
若 e 0 是完全非弹性碰撞 若 e 1 是完全弹性碰撞
一般情况下 0 e 1
可以 解得
u1

v1

v1 v2 1
1 m1 / m2
e
u2

v2

v1 v2 1
1 m1 / m2
e
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第二章 质点组力学（2）
i 1
i 1
rC
d dt
n
mi ri '
i 1
0
所以
T

1 2
mrC 2

1 2
n i 1
mi ri
'2
柯尼希定理
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第二章 质点组力学（2）
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（4）对质心的动能定理
质心系
mi
d 2 ri dt 2
'

i
Fi

e
Fi

mi rC
n
i 1
mi
d 2 ri dt 2
' d ri
'
n i
n e
n
F i d ri ' F i d ri ' mirC d ri '
i 1
i 1
i 1
因为
n i1
mi
d 2 ri dt 2
' d ri