平行线的经典题型

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相交线和平行线35道核心题——韩春成老师

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题不在多，而在于精！
韩老师告诉你个秘密：越付出越富有！
5.
【中】平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？
6.
【中】（北京市八一中学 2013 年初一数学第二学期期中试卷）如图，直线 AB 、 CD 被直线 AC 所截，且 AB ∥CD ，按要求画图并填空： ⑴ 分别画 BAC 和 DCA 的平分线，且两线相交于点 E ； ⑵ AEC _____ ； ⑶ 过点 E 分别画 EF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ，垂足分别为 F ， G ． ⑷ 请借助刻度尺比较点 E 到直线 AB 的距离和点 E 到直线 AC 的距离的大小．
b， c， d ，且 a b ， b c ， c d ，则 a 与 d 的位 15. 【易】在同一平面内的四条直线 a ，置关系是（） a d A． B． a ∥ d C．相交但不垂直 D．不能确定
16. 【易】⑴ 如图 1，在直角三角形 ABC 中， C 90°， CD AB 于 D ，比较线段 AC 、 AB 、 CD 的大小． ⑵ 如图 2， A 点处是一座小屋， BC 是一条公路，一人在 O 处， ①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？
A D′ B C′ F C E D
26. 【中】（北京五中分校 2013 年初一数学第二学期期中考试）如图， AB ∥ EF ∥CD ， ABC 46 ， CEF 154 ，则 BCE __________ ．
A 46° E 154° C D B
F
27. 【中】（2012 年青羊区初一下期末）已知：如图， BD ∥ AF ∥CE ， ABD 72 ， ACE 40 ， AP 是 BAF 的平分线，求 PAC 的度数．

平行线四种常见模型解题技巧(解析版)--2024年新八年级数学

平行线四种常见模型解题技巧题型聚焦题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型难题突破模型一：“猪蹄”模型如图，若AB⎳CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B+∠D=∠DEB．理由如下：过点E 作 EF⎳AB又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB即∠B+∠D=∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。

如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。

重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。

猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄(拐点)作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB⎳CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B+∠D+∠DEB=360°．理由如下：过点E 作 EF⎳AB．又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠B+∠BEF=180°．∠D+∠DEF=180°．∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°．即∠B+∠D+∠DEB=360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB⎳CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG⎳AB∵ AB⎳FG，AB⎳CD∴ FG⎳CD∵ AB⎳FG∴∠BEF+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵FG⎳CD∴ ∠D+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB⎳CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。

人教版初中七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典题(含答案解析)(1)

一、选择题1．下列语句是命题的是（）A ．平分一条线段B ．直角都相等C ．在直线AB 上取一点D ．你喜欢数学吗？B解析：B【分析】根据命题的定义分别进行判断．【详解】A.平分一条线段，为描述性语言，不是命题；B.直角都相等，是命题；C.在直线AB 上取一点，为描述性语言，不是命题；D.你喜欢数学吗？是疑问句，不是命题．故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．2．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（）A ．∠1+∠2−∠3=90°B ．∠1−∠2+∠3=90°C ．∠1+∠2+∠3=90°D ．∠2+∠3−∠1=180°D 解析：D【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE ，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EF ∥CD∴∠3=∠COE∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE∵AB ∥EF∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补． 3．如图，直线12l l ，130∠=︒，则23∠+∠=（）A ．150°B ．180°C ．210°D ．240°C解析：C【分析】根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.【详解】解：作直线l 平行于直线l 1和l 212////l l l1430;35180︒︒∴∠=∠=∠+∠=245∠=∠+∠2+3=4+5+3=30180210︒︒︒∴∠∠∠∠∠+=故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.4．如图，将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF 若5BC cm =，则EC 的长为（）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm A解析：A【分析】由平移性质可得：BC=EF ，CF=3,cm 可得EC=EF-CF ．【详解】因为将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF所以EF=5BC cm ，CF=3,cm所以EC=5-3=2(cm)故选：A【点睛】考核知识点：平移性质．抓住平移性质：对应边相等，是解题关键．5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④C解析：C【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．【详解】图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C ．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．6．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB ∥CE ，且∠ADC ＝∠B ：④AB ∥CE ，且∠BCD ＝∠BAD ．其中能推出BC ∥AD 的条件为（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．②③④D解析：D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC ∥AD ，符合题意；③∵AB ∥CD ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠ADC ＝∠B ，∴∠ADC+∠BCD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意； ④∵AB ∥CE ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠BCD ＝∠BAD ，∴∠B+∠BAD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意；故能推出BC ∥AD 的条件为②③④．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．7．已知//AB CD ，∠EAF=13∠EAB ，∠ECF=13∠ECD ，若∠E=66°，则∠F 为（）A ．23°B ．33°C ．44°D ．46°C解析：C【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得66EAB EC C D AE ∠+∠=∠=︒，同样的方法可得F FAB FCD ∠=∠+∠，再根据角的倍分可得,2323FAB EAB FCD ECD ∠=∠∠=∠，由此即可得出答案．【详解】如图，过点E 作//EG AB ，则////EG AB CD ，,EAB CE C A D G G E E ∴∠=∠∠∠=，66AEG EAB ECD CE A C G E ∴∠+=∠+=∠=∠∠︒，同理可得：F FAB FCD ∠=∠+∠，11,33EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠， ,2323FAB EAB FCD ECD ∴∠=∠∠=∠， ()266443333222F FAB FCD EAB ECD EAB ECD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 8．如图，在Rt ABC △中，90,BAC ︒∠=3,AB cm =4AC cm =，把ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到DEF ，连接AE ，AD ，有以下结论：①//AC DF ；②//AD BE ；③ 2.5CF cm =；④DE AC ⊥.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小可对①②③进行判断；根据∠BAC=90°及平移的性质可对④进行判断，综上即可得答案.【详解】∵△ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到△DEF ，∴AB//DE ，AC//DF ，AD//CF ，CF=AD=2.5cm ，故①②③正确.∵∠BAC=90°，∴AB ⊥AC ，∵AB//DE DE AC ∴⊥，故④正确.综上所述：之前的结论有：①②③④，共4个，故选D.【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．9．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点E ，且,40BE AF BED ⊥∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒B【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，∴50FED ∠=︒，∵AB CD ∕∕，∴50A FED ∠=∠=︒．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键． 10．如图，A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ．则下列说法正确的是（）A ．AC=BPB ．△ABC 的周长等于△BCP 的周长 C ．△ABC 的面积等于△ABP 的面积D ．△ABC 的面积等于△PBC 的面积D解析：D【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．【详解】解：∵A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ，根据平行线之间的距离相等可得：△ABC 与△PBC 是同底等高的三角形，故△ABC 的面积等于△PBC 的面积．故选D ．【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．二、填空题11．已知A ∠与B （A ∠，B 都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且227A B ∠-∠=︒，则A ∠的度数为_________．或【分析】分两种情况：①如图1作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B=∠BEF ∠A=∠AEF 根据∠A+∠B=求出∠A=；②如图2作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B+∠BEF=∠A 解析：39︒或99︒．【分析】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B=∠BEF ，∠A=∠AEF ，根据∠A+∠B=90︒，227A B ∠-∠=︒，求出∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B+∠BEF=180︒，∠A+∠AEF=180︒，根据∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，227A B ∠-∠=︒，计算得出答案．【详解】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，∴∠B=∠BEF ，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A=∠AEF ，∴∠A+∠B=∠AEF+∠BEF=90︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，∴∠B+∠BEF=180︒，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A+∠AEF=180︒，∴∠A+∠AEB+∠B=360︒，∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，∴∠A+∠B=270︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=99︒；故答案为：39︒或99︒．．【点睛】此题考查平行线的性质，平行公理的推论，根据题意作出图形，引出恰当的辅助线解决问题是解题的关键．12．在平面内，若OA ⊥OC ，且∠AOC ∶∠AOB ＝2∶3，则∠BOC 的度数为_______________；45°或135°【分析】根据垂直关系可得∠AOC=90°再由∠AOC ：∠AOB=2：3可得∠AOB 然后再分两种情况进行计算即可【详解】解：如图∠AOC 的位置有两种：一种是∠AOC 在∠AOB 内一种是在解析：45°或135°根据垂直关系可得∠AOC=90°，再由∠AOC ：∠AOB=2：3，可得∠AOB ，然后再分两种情况进行计算即可．【详解】解：如图，∠AOC 的位置有两种：一种是∠AOC 在∠AOB 内，一种是在∠AOB 外．∵OA ⊥OC ，∴∠AOC=90°，①当∠AOC 在∠AOB 内，如图1，∵∠AOC ：∠AOB=2：3，∴∠BOC=12∠AOC=45°， ②当∠AOC 在∠AOB 外，如图2，∵∠AOC ：∠AOB=2：3，∴∠AOB=32∠AOC=135°， ∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=135°．故答案为：45°或135°．【点睛】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．13．如图，//AB EF ，设90C ∠=︒，那么x ，y ，z 的关系式______．【分析】过作过作根据平行线的性质可知然后根据平行线的性质即可求解；【详解】如图过作过作∴∴∵∴∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质两直线平行同位角相等两直线平行内错角相等正确理解平行线的解析：90x y z +-=︒过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，根据平行线的性质可知//////AB CN DM EF ，然后根据平行线的性质即可求解；【详解】如图，过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，∴//////AB CN DM EF ，∴1x =∠，23∠∠=，4z ∠=，∵90BCD ∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴390x +∠=︒，∴3490x z +∠+∠=︒+，∴90x y z +=︒+，∴90x y z +-=︒．故答案为：90x y z +-=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；14．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___ 130cm2【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH ≌梯形ABCD 那么GH=CDBC=FG 观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD 再根据梯形的面积计算公式计算即可【解析：130cm 2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH ≌梯形ABCD ，那么GH=CD ，BC=FG ，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD ，再根据梯形的面积计算公式计算即可．【详解】解：∵直角梯形EFGH 是由直角梯形ABCD 平移得到的，∴梯形EFGH ≌梯形ABCD ，∴GH=CD ，BC=FG ，∵梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，∴S 梯形ABCD -S 梯形EFMD =S 梯形EFGH -S 梯形EFMD ，∴S 阴影=S 梯形MGHD =12（DM+GH ）•GM=12（28-4+28）×5=130（cm 2）．故答案是130cm 2．【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等． 15．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2即可求出α的度数【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角∠2=50°∴∠1=∠2∵∠2=50°∴α+10°=50°∴α=40°故答案为：40°【点睛】本题考解析：40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵110α∠=+︒，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．16．如图，已知AB ，CD ，EF 互相平行，且∠ABE ＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC ＝________°.40【解析】根据平行线的性质先求出∠BEF 和∠CEF 的度数再求出它们的差就可以了解：∵AB ∥EF ∴∠BEF=∠ABE=70°；又∵EF ∥CD ∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°解析：40【解析】根据平行线的性质，先求出∠BEF 和∠CEF 的度数，再求出它们的差就可以了．解：∵AB ∥EF ，∴∠BEF=∠ABE=70°；又∵EF∥CD，∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；故应填40．“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．17．运动会上裁判员测量跳远成绩时，先在距离踏板最近的跳远落地点上插上作为标记的小旗，再以小旗的位置为赤字的零点，将尺子拉直，并与踏板边缘所在直线垂直，把尺子上垂足点表示的数作为跳远成绩．这实质上是数学知识____________在生活中的应用．垂线段最短【分析】根据题干跳远落点视为一个点直尺垂直踏板边缘可理解为作垂线然后用数学语言描述出来即可【详解】根据题意可知答案为：垂线段最短【点睛】本题考查点到直线距离在生活中的实际应用注意在书写答案解析：垂线段最短【分析】根据题干，跳远落点视为一个点，直尺垂直踏板边缘可理解为作垂线，然后用数学语言描述出来即可．【详解】根据题意，可知答案为：垂线段最短【点睛】本题考查点到直线距离在生活中的实际应用，注意在书写答案时，尽量用“数学化”的语言来描述．18．如图所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC＝30°，则∠ABE的度数为_____．120°【分析】先根据平行线的性质得到∠GEC=90°再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可【详解】过点E作EG∥AB则EG∥CD由平行线的性质可得∠GEC=90°所以∠GEB=90°﹣30°解析：120°．【分析】先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．【详解】过点E作EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEC=90°，所以∠GEB=90°﹣30°=60°，因为EG∥AB，所以∠ABE=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．19．如图，a∥b，∠1＝80°，∠2＝45°，∠3＝_____．55°【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论【详解】解：∵a∥b∴∠1+∠3+∠4=180°∵∠2=∠4∠2＝45°∴∠4=∠2＝45°∵∠1＝80°∴∠3=180°-45°-80°=5解析：55°【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论．【详解】解：∵a∥b，∴∠1+∠3+∠4=180°，∵∠2=∠4，∠2＝45°，∴∠4=∠2＝45°∵∠1＝80°，∴∠3=180°-45°-80°=55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 20．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．（n ﹣1）×180【分析】分别过P1P2P3作直线AB 的平行线P1EP2FP3G 由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°∠5+∠6=180°∠7+∠8=180°∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠ 解析：（n ﹣1）×180【分析】分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，∠1+∠P 1+∠2=2×180，∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．【详解】解：如图，分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥P 1E ∥P 2F ∥P 3G ．由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180° ∴（1）∠1+∠2=180°，（2）∠1+∠P 1+∠2=2×180，（3）∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，（4）∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，∴∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．故答案为：（n+1）×180．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．三、解答题21．在ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，且与BC 平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法）（1）如图①，在直线l 上画出一点P ，使得APC ACB ∠=∠；（2）如图②，在直线l 上画出所有的点Q ，使得12AQC ACB ∠=∠．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)以C 为圆心,以CA 为半径画弧,交点即为所求;(2)以A 为圆心,以AC 为半径画弧,交点即为所求.【详解】（1）如图所示，点P 即为所求，理由如下:CP CA =，//l BC ，则APC CAP ACB ∠=∠=∠．（2）如图所示，点12Q Q 、即为所求，理由如下：1AC AQ =，//l BC ，则11112AQ C ACQ BCQ ACB ∠=∠=∠=∠； 12CQ CQ =，则1221CQ Q CQ Q ∠=∠．【点睛】本题考查了基本作图,熟记等腰三角形的性质,平行线的性质是解题的关键.22．如图，已知在每个小正方形的网格图形中，ABC的顶点都在格点上，,,A B C为格点．（1）先将ABC先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后DEF，（点A，B，C所对应的顶点分别是D，E，F）（2）求出DEF的面积；（3）连结AD，BE，直接说出AD与BE的关系（不需要理由）．解析：（1）见解析；（2）8；（3）AD=BE且AD∥BE【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点D、E、F，再依次连接即可；（2）根据三角形的面积公式计算；（3）根据平移的性质回答．【详解】解：（1）如图，△DEF即为所作；（2）S△DEF=1442⨯⨯=8；（3）如图，由平移可知：AD=BE且AD∥BE．【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．23．如图，已知：AD BC ⊥于D,EG BC ⊥于G,AD 平分BAC ∠．求证：1E ∠∠=．下面是部分推理过程，请你填空或填写理由．证明：∵AD BC EG BC ⊥⊥，（已知），∴ADC EGC 90∠∠==︒（垂直的定义）,∴AD //EG （）∴21∠=∠（），3∠= （）．又∵AD 平分BAC ∠(已知)，∴23∠∠=（），∴1E ∠∠=（）解析：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E ；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换．【分析】根据垂直的定义、平行线的判定与性质、角平分线的定义以及等量代换进行解答即可．【详解】证明：∵AD BC EG BC ⊥⊥，（已知），∴ADC EGC 90∠∠==︒（垂直的定义）,∴AD //EG （同位角相等，两直线平行）∴21∠=∠（两直线平行，内错角相等），3∠=∠E （两直线平行，同位角相等）．又∵AD 平分BAC ∠(已知)，∴23∠∠=（角平分线的定义），∴1E ∠∠=（等量代换）．【点睛】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定与性质和角平分线的定义等知识点，灵活应用平行线的判定与性质成为解答本题的关键．24．如图，DE 平分∠ADF ，DF ∥BC ，点E ，F 在线段AC 上，点A ，D ，B 在一直线上，连接BF ．（1）若∠ADF ＝70°，∠ABF ＝25°，求∠CBF 的度数；（2）若BF 平分∠ABC 时，求证：BF ∥DE ．解析：（1）∠CBF ＝45°；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件即可求出∠CBF 的度数；（2）根据平行线的性质可得∠ABC ＝∠ADF ，再根据BF 平分∠ABC ，DE 平分∠ADF ，可得∠ADE ＝∠ABF ，再根据同位角相等，两直线平行即可证明BF ∥DE ．【详解】解：（1）∵DF ∥BC ，∴∠ABC ＝∠ADF ＝70°，∵∠ABF ＝25°，∴∠CBF ＝70°﹣25°＝45°；（2）证明：∵DF ∥BC ，∴∠ABC ＝∠ADF ，∵BF 平分∠ABC ，DE 平分∠ADF ，∴∠ADE 12=∠ADF ，∠ABF 12=∠ABC ， ∴∠ADE ＝∠ABF ，∴BF ∥DE ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 25．如图，已知12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠．解析：证明见解析【分析】根据平行线的判定与性质即可得证．【详解】解：∵12∠=∠，∴//BD CE ，∴C ABD ∠=∠，∵C D∠=∠，∴D ABD∠=∠，∴//AC DF，∴A F∠=∠．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质定理是解题的关键．26．如图，已知，AB//CD，EF交AB，CD于G、H，GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD．试说明GM//HN．解析：证明见解析．【分析】首先根据平行线的性质可得∠BGF=∠DHE，再根据角平分线的性质可证明∠1=∠2，然后根据内错角相等，两直线平行可得HN∥GM．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠AGF=∠DHE，∵GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD，∴∠1=12∠AGF，∠2=12∠DHE，∴∠1=∠2，∴GM∥HN．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理．27．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．例如：如果ab<0，那么a+b<0．反例：设a=4，b=-3，ab=4⨯（-3）=-12<0，而a+b=4+（-3）=1>0，所以这个命题是假命题．（1）如果a+b>0，那么ab>0．（2）如果a是无理数，b也是无理数，那么a+b也是无理数．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数．（2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如1±2，两数相加就是有理数．【详解】解：（1）取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题．（2）取a=1+2，b=1-2，a 、b 均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．【点睛】本题主要锻炼了学生的逆向思维．在证明几何题的过程中，有时需从反例上先去判断，然后再证明．28．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，FO ⊥CD 于点O ，若∠BOD ∶∠EOB=2∶3，求∠AOF 的度数．解析：45︒．【分析】设2BOD x ∠=，从而可得3EOB x ∠=，先根据角平分线的定义3EOC EOB x ∠=∠=，再根据平角的定义可得求出x 的值，然后根据垂直的定义可得90DOF ∠=︒，最后根据平角的定义即可得．【详解】设2BOD x ∠=，则3EOB x ∠=，∵OE 平分BOC ∠，∴3EOC EOB x ∠=∠=，180BOD EOB EOC ∠+∠+∠=︒，233180x x x ∴++=︒，解得22.5x =︒，45BOD ∴∠=︒，FO CD ⊥，90DOF ∴∠=︒，又180BOD DOF AOF ∠+∠+∠=︒，4590180AOF ∴︒+︒+∠=︒，解得45AOF ∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、垂直的定义等知识点，熟练掌握并理解各定义是解题关键．。

新高考核心考点与题型立体几何第3讲空间直线与平面的平行 - 解析

第3讲空间直线与平面的平行1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理2.(1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[微点提醒] 平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊄α，a ⊄β，则α⊄β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α⊄β，β⊄γ，则α⊄γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊄α，b ⊄α，则a ⊄b .考点一直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1 直线与平面平行的判定【例2－1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，P A ＝AB ＝1.证明：EF ∥平面PDC ；证明取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点，∴MF ∥CB ，MF ＝12CB ，∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形，∴DE ∥CB ，DE ＝12CB ，∴MF ∥DE ，MF ＝DE ，∴四边形DEFM 为平行四边形，∴EF ∥DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，∴EF ∥平面PDC .规律方法利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【变式】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .证明：如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC .又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .角度2直线与平面平行性质定理的应用【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.解(1)如图所示，V B1－A1BE ＝V E－A1B1B＝13S△A1B1B· DA＝13×12×2×2×2＝43.(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BG∥B1F，BG就是所求直线.规律方法在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【变式1】如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.证明：在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.【变式2】如图所示，在四棱锥P ABCD-中，//BC平面PAD，12BC AD=，E是PD的中点．（⊄）求证：//BC AD；（⊄）求证：//CE平面PAB；（⊄）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使//MN平面PAB？说明理由．【分析】（⊄）根据线面平行的性质定理即可证明；（⊄）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；（⊄）取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．【解答】（⊄）在四棱锥P ABCD-中，//BC平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD⋂平面PAD AD=，//BC AD∴，（⊄）取PA的中点F，连接EF，BF，E是PD的中点，//EF AD∴，12EF AD=，又由（⊄）可得//BC AD，12BC AD=，//BC EF∴，BC EF=，∴四边形BCEF是平行四边形，//CE BF∴，CE⊂/平面PAB，BF⊂平面PAB，//CE∴平面PAB．（⊄）取AD中点N，连接CN，EN，E，N分别为PD，AD的中点，//EN PA∴，EN⊂/平面PAB，PA⊂平面PAB，//EN∴平面PAB，又由（⊄）可得//CE平面PAB，CE EN E=，∴平面//CEN平面PAB，M是CE上的动点，AN⊂平面CEN，//MN∴平面PAB，∴线段AD存在点N，使得//MN平面PAB．考点二面面平行的判定与性质典例迁移【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EF A1∥平面BCHG.证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.【变式1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，⊄四边形A1ACC1是平行四边形，⊄M是A1C的中点，连接MD，⊄D为BC的中点，⊄A1B⊄DM.⊄A1B⊄平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，⊄DM⊄平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，⊄四边形BDC1D1为平行四边形，⊄DC1⊄BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊄平面A1BD1，⊄DC1⊄平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊄平面AC1D，因此平面A1BD1⊄平面AC1D.【变式2】如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，求证：平面//EBC 平面PDA ．【分析】推导出//AD BC ，//PD EC ，由此能证明平面//EBC 平面PDA ．【解答】底面ABCD 为正方形，//AD BC ∴，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，//PD EC ∴， ADPD D =，BCEC C =，∴平面//EBC 平面PDA ．【例4】如图，已知//αβ，P 是平面α，β外的一点，直线PAB ，PCD 分别与α、β相交于A 、B 和C 、D ．（1）求证：//AC BD ；（2）已知4PA =，5AB =，3PC =，求PD 的长．【分析】（1）由面面平行的性质即可得证；（2）由平行线的性质即可求解．【解答】解：（1）证明：//αβ，平面PBD AC α=，平面PBD BD β=，//AC BD ∴；（2）由（1）可知，PA PC PB PD =，即4345PD =+，∴274PD =．规律方法利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．【变式】如图，平面//αβ，线段AB 分别交α，β于M ，N ，线段AD 分别交α，β于C ，D ，线段BF 分别交α，β于F ，E ，若9AM =，11MN =，15NB =，78FMC S ∆=．求END ∆的面积．【分析】利用面面平行的性质得到两个三角形对应边的比，结合面积公式即可得解．【解答】解：平面//αβ，又平面AND ⋂平面MC α=，平面AND ⋂平面ND β=，//MC ND ∴，同理//EN FM ，又9AM =，11MN =，15NB =，∴926,2015MC AM FM BM ND AN EN BN ====，又FMC END ∠=∠，所以1sin 92678212015100sin 2FMC ENDFM MC FMCS SEN ND END ∠==⨯=∠，78FMC S ∆=，100END S ∆∴=．故END ∆的面积为：100．方法总结（1）线面平行思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行； III.转化为面面平行支持定理 ①； ②； ③配图助记（2）线线平行：思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点；II.转化为二直线同与第三条直线平行； III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直； V.转化为面面平行.支持定理①；②；③；④配图助记（3）面面平行：思考途径 I.转化为判定二平面无公共点；II.转化为线面平行； III.转化为线面垂直.////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭//a a a αββαα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⊄⎭////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭//////a b c b a c ⎫⇒⎬⎭αb βa a b αb γβ α aαβaaαbβαa支持定理 ①；②；③配图助记空间平行的判定与性质基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A.α内的所有直线与l 异面 B.α内不存在与l 平行的直线 C.α与直线l 至少有两个公共点 D.α内的直线与l 都相交解析因为l ⊄α，直线l 不平行于平面α，所以直线l 只能与平面α相交，于是直线l 与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l 平行的直线. 答案 B2.已知直线l ，m ，平面α，β，γ，则下列条件能推出l ∥m 的是( ) A.l ⊂α，m ⊂β，α∥β B.α∥β，α∩γ＝l ，β∩γ＝m C.l ∥α，m ⊂αD.l ⊂α，α∩β＝m解析选项A 中，直线l ，m 也可能异面；选项B 中，根据面面平行的性质定理，可推出l ∥m ，B 正确；选项C 中，直线l ，m 也可能异面；选项D 中，直线l ，m 也可能相交.故选B. 答案 B3.如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，,////,//a b a b o a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//////αβαγγβ⎫⇒⎬⎭a β αbOβ aαβ αγ∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案B4.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.答案D5.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.1条或2条解析如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(面EFGH)平行的棱有2条.答案C二、填空题6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.解析根据题意，因为EF ∥平面AB 1C ，所以EF ∥AC .又E 是AD 的中点，所以F 是CD 的中点.因为在Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝1，故EF ＝ 2. 答案27.如图，平面α∥平面β，△ABC ，△A ′B ′C ′分别在α，β内，线段AA ′，BB ′，CC ′共点于O ，O 在α，β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________.解析相交直线AA ′，BB ′所在平面和两平行平面α，β相交于AB ，A ′B ′，所以AB ∥A ′B ′.同理BC ∥B ′C ′，CA ∥C ′A ′.所以△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角相等，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′，A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.S △ABC ＝12×2×1×32＝32，所以S △A ′B ′C ′＝32×⎝⎛⎭⎫232＝32×49＝239.答案2398.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，m ∥α，则m ∥β； ④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；③m ∥β或m ⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误. 答案 ② 三、解答题9.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面P AB ⊥平面ABCD ，E 是棱P A 的中点.(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)平面BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.(1)证明在平行四边形ABCD 中，连接AC ，设AC ，BD 的交点为O ，则O 是AC 的中点.又E 是P A 的中点，连接EO ，则EO 是△P AC 的中位线，所以PC ∥EO ，又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC ∥平面EBD .(2)解设三棱锥E －ABD 的体积为V 1，高为h ，四棱锥P －ABCD 的体积为V ，则三棱锥E －ABD 的体积V 1＝13×S △ABD ×h ，因为E 是P A 的中点，所以四棱锥P －ABCD 的高为2h ，所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×S 四边形ABCD ×2h ＝4×13S △ABD ×h ＝4V 1，所以(V －V 1)∶V 1＝3∶1，所以平面BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.10.如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点.求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明 (1)连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ，所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，所以平面BDE ∥平面MNG .能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A.4条B.6条C.8条D.12条解析如图，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线.答案B12.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.答案D13.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面P AO.解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥P A.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面P AO，QB⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，P A⊂平面P AO，所以D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面P AO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面P AO.答案Q为CC1的中点14.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E－ABC的体积.解(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，易知DH ＝3，∴NG ＝32，又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×2×32－12＝22， ∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝63.。

初中数学题大题经典题型及解析

初中数学题大题经典题型及解析一、平行线和相交线1. 同位角对顶角的性质在平行线和相交线的情况下，同位角对顶角的性质是初中数学中非常基础也非常重要的一部分。

同位角是指两条平行线被一条交线切割后，同位于交线的对应两个角，对顶角是指两条平行线被一条交线切割后，位于交线的两侧且不相邻的两个角。

这两种角的性质分别为：同位角相等，即∠1=∠3、∠2=∠4；对顶角相等，即∠1=∠4、∠2=∠3。

2. 平行线与三角形内角和的性质当两条平行线被一条交线所切割而构成的多边形中有三角形时，其内角和的性质为：同位角和对顶角的性质相似。

即∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°，且∠1+∠2+∠3=180°。

二、圆3. 圆的性质圆是初中数学中的一个重要概念，而圆的性质又是学习圆相关知识的基础。

圆包括圆心、直径、半径等重要概念。

圆的性质有很多，其中包括：同弧相等、同角相等、圆心角的性质等。

这些性质在解决关于圆的题目时非常重要。

4. 圆的面积和周长圆的面积和周长是初中数学中涉及圆的题目时非常重要的内容。

圆的面积公式为S=πr²，周长公式为C=2πr。

在解决圆相关的题目时，需要掌握这两个公式并灵活运用。

三、等腰三角形和等边三角形5. 等腰三角形的性质等腰三角形是指两边相等的三角形，其性质包括：等腰三角形的两底角相等，顶角等于180°减去底角的一半，等腰三角形的高、底边、斜边之间的关系等。

6. 等边三角形的性质等边三角形是指三边都相等的三角形，其性质包括：三个内角都相等且等于60°，三条边相等，三条高相等等。

初中数学中关于平行线和相交线、圆、等腰三角形和等边三角形的大题经典题型包括同位角对顶角的性质、平行线与三角形内角和的性质、圆的性质、圆的面积和周长、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等。

这些题型涉及了数学中的基础知识和性质，对于学生来说是非常重要的。

希望同学们能够在学习这些题型的过程中，掌握其相关性质，并能够灵活运用到解题中。

平行线判定大题30道

平行线判定大题30道摘要：一、引言1.问题背景及重要性2.文章目的与结构二、平行线判定方法1.同位角相等2.内错角相等3.同侧角相等4.两直线平行，同位角相等5.两直线平行，内错角相等6.两直线平行，同侧角相等三、平行线判定大题解析1.例题1：同位角相等判定2.例题2：内错角相等判定3.例题3：同侧角相等判定4.例题4：两直线平行，同位角相等判定5.例题5：两直线平行，内错角相等判定6.例题6：两直线平行，同侧角相等判定四、平行线判定大题练习1.练习1：同位角相等判定2.练习2：内错角相等判定3.练习3：同侧角相等判定4.练习4：两直线平行，同位角相等判定5.练习5：两直线平行，内错角相等判定6.练习6：两直线平行，同侧角相等判定五、总结与展望1.平行线判定方法总结2.平行线判定大题技巧概述3.后续学习建议正文：一、引言1.问题背景及重要性在初中数学几何部分，平行线的判定与性质是重点内容。

掌握平行线的判定方法，对于解决各类几何问题具有重要意义。

本文将为大家详细解析平行线判定大题30道，帮助大家更好地理解和应用平行线判定方法。

2.文章目的与结构本文旨在通过解析平行线判定大题，使大家对平行线的判定方法有更深刻的理解。

文章共分为五个部分，分别为：引言、平行线判定方法、平行线判定大题解析、平行线判定大题练习和总结与展望。

二、平行线判定方法1.同位角相等若两条直线被第三条直线所截，且有同位角相等，则这两条直线平行。

2.内错角相等若两条直线被第三条直线所截，且有内错角相等，则这两条直线平行。

3.同侧角相等若两条直线被第三条直线所截，且有同侧角相等，则这两条直线平行。

4.两直线平行，同位角相等若两条直线平行，则它们被第三条直线所截时的同位角相等。

5.两直线平行，内错角相等若两条直线平行，则它们被第三条直线所截时的内错角相等。

6.两直线平行，同侧角相等若两条直线平行，则它们被第三条直线所截时的同侧角相等。

三、平行线判定大题解析1.例题1：同位角相等判定已知直线AB与CD被直线EF所截，若∠AEF = ∠CED，证明AB平行于CD。

平行线常考经典较难题、压轴题例题和巩固练习

平行线例1 翻折1、如图，把一张长方形纸带沿着直线GF 折叠，∠CGF=30°,则∠1的度数是．2、如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为．例2 旋转1、将一副直角三角尺ABC 和CDE 按如图方式放置,其中直角顶点C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE 绕点C 旋转，若DE ∥BC,则直线AB 与直线CE 的较大的夹角∠1的大小为度．1A EDBC例3 平行线的性质1、已知，直线AB ∥DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC ．（2)如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系,并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外,∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，∠AKC 与∠APC 有何数量关系?并说明理由．2、如图，两直线AB、CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．3、已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；(2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系,并证明你的结论;（3）如图3,∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．例4 平移1、如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°（1）说明OB∥AC成立的理由．（2）如图2所示，若点E,F在BC上，且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．(3）在（2)的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化?若变化,请说明理由；若不变，请求出这个比值．（4)在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．2、如图,已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C,D．(1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是．例5 作图—应用1、（1）如图1,一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水,则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，在一条河的两岸有A,B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥,桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．图2图1BA2、如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；（2)过B作BH⊥直线m,并延长BH至B′，使得BB′为直线a、m之间的距离;（3）若直线a、m表示一条河的两岸,现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．【巩固练习】1、如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于( ）A．24° B．34° C．26° D．22°第1题图第2题图2、如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K ﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76° B．78° C．80° D．82°3、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2,l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（)A．平行 B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定4、如图,AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE,∠1+∠2=90°，M，N分别是BA,CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值,其中结论正确的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个第4题图第5题图5、如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于( ）A．180° B．360° C．540° D．720°6、如图所示,AB∥EF,∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为．第7题图第8题图第9题图7、如图所示，AB∥CD，∠E=35°,∠C=20°，则∠EAB的度数为．8、如图，AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，则∠GEF= ．9、已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直接于F,DE ∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°，则∠FDE的度数是．10、如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上,过点B作BG⊥AD,垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合）,连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3)若直线AD的位置如图3所示，(2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG 与∠AHB的数量关系．11、已知AM∥CN,点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证:∠ABD=∠C;（3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数．12、如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角,求∠BAE的大小．13、已知:如图,BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题:（1）如图①所示,求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据)（2）如图②,若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ)求∠EOC的度数; (ⅱ)求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）14、已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧,BF,DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．。

平行线与相交线经典例题

相交线与平行线经典题型汇总班级: : 1. 如图，∠B=∠C ，AB ∥EF 求证：∠BGF=∠C2.如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。

求∠AGD3.：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE=500 ，求：∠BHF 的度数。

4.：如图∠1=∠2，∠C=∠D ，那么∠A=∠F 吗？试说明理由GF EDCBA5.：如图，AB//CD ，试解决以下问题：〔1〕∠1＋∠2＝___ ___；〔2〕∠1＋∠2＋∠3＝___ __；〔3〕∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __ __；〔4〕试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝；6．如图11，E 、F 分别在AB 、CD 上，1D ∠=∠，2∠与C ∠互余且EC AF ⊥，垂足为O ，求证：//AB CD ．7．如图12，//AC BD ，//AB CD ，E ∠=∠1，F ∠=∠2，AE 交CF 于点O ，试说明：CF AE ⊥.12O BCDE8．如图13，AEB NFP ∠=∠，M C ∠=∠，判断A ∠与P ∠的大小关系，并说明理由.9．如图14，AD 是CAB ∠的角平分线，//DE AB ，//DF AC ，EF 交AD 于点O ．请问：〔1〕DO 是EDF ∠的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．〔2〕假设将结论与AD 是CAB ∠的角平分线、//DE AB 、//DF AC 中的任一条件交换，•所得命题正确吗？10.如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B = 30°，你能算出∠EAD 、∠DAC 、∠C 的度数吗？F E M PACN B3AD BCEF123 411. 如图, ∠1=∠2 , ∠3=1050，求 ∠4的度数。

12．如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。

七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)

七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)1、已知∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4的度数。

2、已知AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，且∠A=37°，求∠D的度数。

3、在图中，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，探索∠A，∠AEC，∠C之间具有的关系并说明理由。

根据提示，可分类讨论E点在AB，CD之间或之外。

结论：①∠AEC＝∠A＋∠C②∠AEC＋∠A＋∠C＝360°③∠AEC＝∠C－∠A④∠AEC＝∠A－∠C⑤∠AEC＝∠A－∠C⑥∠AEC＝∠C－∠A．4、在图中，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，已知∠1=30°，∠2=50°，求∠3的度数。

5、在图中，将一个直角三角板和一把直尺放置，已知∠α=43°，求∠β的度数。

6、在图中，点A、B分别在直线CM、DN上，且CM∥DN。

1）连接AB，则∠CAB+∠ABD=180°；2）连接AC、BD，则∠CAD=∠BDA，即∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA=360°；3）连接AC、BD、AD，则∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠CDA=540°，又∠CDA=180°，故∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA=360°；4）根据（2）和（3）的结果，猜想∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠EDA=720°。

2、当点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化。

3、当点P在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系取决于点P的具体位置。

如果P在AB的延长线上，则∠1、∠2、∠3之和为180度；如果P在AC和BD的交点之外，则∠1=∠PAC，∠2=∠APB，∠3=∠PBD，且∠1+∠2+∠3=180度。

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 线段【命题规律】主要考查：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线这两个基本事实．【命题预测】与图形的变换中立体图形的侧面展开结合，求两点之间的最短距离，另外也会与对称性结合，考查两线段和的最小值．1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A. 垂线段最短B. 经过一点有无数条直线C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 两点之间，线段最短1. D第1题图第2题图2. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条2. D【解析】AD是点A到直线BC的距离；BA是点B到直线AC的距离；BD是点B到直线AD的距离；CA是点C到直线AB的距离；CD是点C到直线AD的距离，共5条，故答案为D.命题点2 角、余角、补角及角平分线【命题规律】主要考查：①角度的计算(度分秒之间的互化)；②余角、补角的计算；③角平分线的性质．【命题预测】角、余角、补角及角平分线等基本概念是图形认识的基础，应给予重视．3. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )3. B4. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．4. 3【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.5. 1.45°＝________′.5. 87【解析】∵1°＝60′，∴0.45°＝27′，∴1.45°＝87′.6. 已知∠A＝100°，那么∠A的补角为________度．6. 80【解析】用180度减去已知角，就得这个角的补角．即∠A的补角为：180°－100°＝80°.命题点3 相交线与平行线【命题规律】考查形式：①三线八角中同位角、内错角、同旁内角的识别或计算，有时综合对顶角、邻补角求角度；②综合角平分线、垂线求角度；③综合三角形的相关知识求角度；④根据角的关系判断两直线的关系．【命题预测】平行线性质是认识图形的基础知识，也是全国命题的潮流和方向．7. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( )A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 对顶角7. B【解析】根据相交线的性质及角的定义可知∠1与∠2的位置关系为内错角，故选B.第7题图第8题图第9题图8. 如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1＝110°，则∠2等于( )A. 50°B. 70°C. 90°D. 110°8. B【解析】如解图，∵a∥b，∴∠3＋∠4＝180°，∵c∥d，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠2＝180°－∠1＝70°，故本题选B.9. 如图，在下列条件中，不能．．判定直线a与b平行的是( )A. ∠1＝∠2B. ∠2＝∠3C. ∠3＝∠5D. ∠3＋∠4＝180°9. C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A∵∠1＝∠2，即同位角相等，两直线平行，∴a∥b √B∵∠2＝∠3，即内错角相等，两直线平行，∴a∥b √∵∠3、∠5既不是a与b被第三直线所截的同位角，也不是内错角，×C∴∠3＝∠5，不能够判定a与b平行D∵∠3＋∠4＝180°，即同旁内角互补，两直线平行，∴a∥b √10. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°10. B 【解析】如解图，∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－50°＝40°，由平行线性质得∠2＝∠3＝40°.11. 如图所示，AB ∥CD ，EF ⊥BD ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2的度数为( )A . 50°B . 40°C . 45°D . 25°11. B 【解析】∵EF ⊥BD ，∠1＝50°，∴∠D ＝90°－50°＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠D ＝40°.第10题图第11题图第12题图第13题图12. 如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH 与AB 交于点P ，则下列结论错误的是( )A . ∠EMB ＝∠END B . ∠BMN ＝∠MNC C . ∠CNH ＝∠BPGD . ∠DNG ＝∠AME12. D 【解析】A.两直线平行，同位角相等，∴∠EMB ＝∠END ；B.两直线平行，内错角相等，∴∠BMN ＝∠MNC ；C.两直线平行，同位角相等，∴∠CNH ＝∠APH ，又∠BPG ＝∠APH ，∴∠CNH ＝∠BPG ；D.∠DNG 和∠AME 无法推导数量关系，故不一定相等，答案为D.13. 如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝________°.13. 75 【解析】如解图，过点P 作PH ∥a ∥b ，∴∠FPH ＝∠1，∠EPH ＝∠2，又∵∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠EPF ＝∠EPH ＋∠HPF ＝30°＋45°＝75°.命题点4 命题【命题概况】命题考查的知识点比较多，一般几个知识点结合考查，考查形式有：①下面说法错误(正确)的是；②写出命题…的逆命题；③能说明…是假命题的反例．【命题趋势】命题为新课标新增内容，考查知识比较综合，是全国命题点之一．14. (2016宁波)能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是( )A . a ＝－2B . a ＝13C . a ＝1D . a ＝ 214. A 【解析】由于一个正数的绝对值是它本身，它的相反数是一个负数，所以当a ＝13，1，2时，|a |>－a 总是成立，当a ＝－2时，|－2|＝2＝－(－2)，此时|a |＝－a ，故本题选A.15. 写出命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b”的逆命题．．．：________________________． 15. 如果3a ＝3b ，那么a ＝b 【解析】命题由条件和结论构成，则其逆命题只需将原来命题的条件和结论互换即可，即将结论作为条件，将条件作为结论. ∵命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ，”中条件为“如果a ＝b ”，结论为“那么3a ＝3b ”，∴其逆命题为“如果3a ＝3b ，那么a ＝b ”．中考冲刺集训一、选择题1. 如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC＝35°，则∠1的度数为( )A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°第1题图第2题图第3题图2. 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝( )A. 65°B. 115°C. 125°D. 130°3. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( )A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′二、填空题4. 如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝________.第4题图第5题图第6题图5. 如图，直线CD∥EF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，若∠1＝30°，则∠2＝________．6. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB＝75°，则∠PNM等于________度．7. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠1＝54°，则∠2＝________°.第7题图第8题图第9题图8. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝________．9.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________．答案与解析：1. B【解析】∵DA⊥AC，∠ADC＝35°，∴∠ACD＝90°－∠ADC＝90°－35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°，故选B.2. B【解析】∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝12∠CAB＝65°.又∵AB∥CD，∴∠AED＋∠EAB＝180°，∴∠AED＝180°－∠EAB＝180°－65°＝115°.3. B【解析】根据平面镜反射原理可知，∠ADC＝∠ODE，∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOE，∴∠ODE＝∠AOE＝37°36′，∴∠DEB＝∠ODE＋∠AOE＝37°36′＋37°36′＝75°12′，故选B.4. 50°5. 30°6. 307. 72【解析】∵CD∥AB，∴∠CBA＝∠1＝54°，∠ABD＋∠CDB＝180°，∵CB平分∠ABD，∴∠DBC＝∠CBA＝54°，∴∠CDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠2＝∠CDB＝72°.8. 15°【解析】由两直线平行，内错角相等，可得∠A＝∠AFE＝30°，∠C＝∠CFE，由∠AFC＝15°，可得∠CFE＝∠C＝∠AFE－∠AFC＝15°.第9题解图9. 2【解析】如解图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OP平分∠AOB，∴PD＝PE，∠AOB＝2∠AOP＝30°，∵PC∥OA，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，∴PE＝12PC＝2，∴PD＝PE＝2.。

四年级数学平行与垂直的练习

设计：四年级备课组【知识分析】平行线：同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。

垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。

点到直线的距离：从直线外一点向这条直线做垂线，这点到垂足间线段的长度叫点到直线的距离。

垂线段最短：点到直线的线段中，和直线垂直的线段最短。

【例题解读】1.例1意在考查学生对平行线和垂线概念的理解和掌握，能够通过画图建构问题解决几何直观表象，领悟概念本质。

2.例2意在考查学生对正方形周长和面积计算方法的掌握情况和对“距离”概念的理解，渗透数形结合思想和推理思想。

【例1】一张纸上画了三条直线，已知直线a垂直于直线b，直线b垂直于直线c，那么直线a与直线c的位置关系是怎样的？【思路简析】直线a和直线b的关系可以通过画图确定，如右图直线a和直线b互相平行。

【例2】正方形内有一点，它到各边的距离分别是11厘米、12厘米、13厘米、14厘米，这个正方形的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？【思路简析】要求正方形的周长和面积，就要知道正方形的边长，通过画图不难得到正方形的边长为12＋13＝25（厘米）或11＋14＝25（厘米），周长为25×4＝100（厘米），面积为25×25＝625（平方厘米）。

【经典题型练习】1.一张纸上画了三条直线，已知直线a和直线b互相平行，直线c垂直于直线a，那么直线b和直线c的位置关系是怎样的？2.长方形内有一中心点，它到各边的距离分别是3厘米和2厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？平行与垂直专项练习设计：四年级备课组1.小明家想修一条水泥路到公路上，怎样修最近？请你在图中画出来。

2.过点D分别画线段AB和AC的平行线，你有什么发现？3.一张纸上画了三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a与直线c的位置关系是怎样的？4.下图中有（）组线段互相平行，有（）组线段互相垂直。

5.直线a外一点A到直线的距离是4厘米，在下图中标出A点。

(完整版)平行线的经典题型

平行线的经典题型一、平行线之间的基本图形1、如图已知，AB ∥CD .,AF CF 分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F 是两条角平分线的交点；求证：12F AEC ∠=∠.2、已知AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFC ∠和C ∠的关系如何？你能找出其中的规律吗？3、将题变为如下图：AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFD ∠和D ∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？4、如图，AB//CD ，那么AEC C A ∠∠∠与、有什么关系？ABCDEABCDEABCDEA BDCE二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】1.已知：如图，CD 平分∠ACB ，AC ∥DE ，∠DCE=∠FEB ，求证：EF 平分∠DEB ．2、已知：如图,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图，已知EF ⊥AB ，∠3=∠B ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB 。

4、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.DB CA F E AD F BE CA BEFDABE F CM N A D B C b 21a E 三、两组平行线构造平行四边形1．已知：如图，AB 是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D 互余，BE ⊥FD 于G ．求证：AB ∥CD ．2、如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，∠C =∠D ，求证DF ∥AC ．3、如图，M 、N 、T 和A 、B 、C 分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T ，求证：∠M=∠R 。

四、证特殊角1、AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是．2、AB CD ∥，直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF ，过点F 作PF EP 垂足为P ，若∠PEF ＝300，则∠PFC ＝_____．3、如图，已知：DE ∥AC ，CD 平分∠ACB ，EF 平分∠DEC ，∠1与∠2互余，求证：DG ∥EF.4．已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ．5.如图已知直线a ∥b ，AB 平分∠MAD ，AC 平分∠NAD ，DE ⊥AC 于E ，求证：∠1=∠2．6、求证：三角形内角之和等于180°．五、寻找角之间的关系1、如图,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.A B C D EF 1423 21GFEDB CAE 2、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

平行线性质练习题30题

平行线性质练习题1. 已知直线AB和CD平行，若BE平分∠ABC，求证：BE也平分∠ECD。

2. 在平行线l1和l2之间，有一条横穿它们的直线l3，形成了八个角。

求证：同旁内角互补。

3. 若直线a ∥ b，直线b ∥ c，求证：直线a ∥ c。

4. 已知直线AB ∥ CD，点E在AB上，点F在CD上，且∠BEF = 120°，求∠EFD的度数。

5. 在平行线l1和l2上分别取点A、B、C、D，若AB = CD，BC = DA，求证：四边形ABCD是平行四边形。

6. 已知直线l1 ∥ l2，点P在l1上，点Q在l2上，若PQ垂直于l1，求证：PQ也垂直于l2。

7. 在平行线l1和l2之间，有一条横穿它们的直线l3，形成了八个角。

求证：内错角相等。

8. 若直线a ∥ b，直线c与a、b都相交，且∠1 = ∠2，求证：直线c ∥ b。

9. 已知直线AB ∥ CD，点E在AB上，点F在CD上，且∠AEF = 30°，求∠CFD的度数。

10. 在平行线l1和l2上分别取点A、B、C、D，若AB = CD，AD = BC，求证：四边形ABCD是矩形。

11. 已知直线l1 ∥ l2，点P在l1上，点Q在l2上，若PQ = QR，PR = QR，求证：∠PQR = 90°。

12. 在平行线l1和l2之间，有一条横穿它们的直线l3，形成了八个角。

求证：同位角相等。

13. 若直线a ∥ b，直线c与a、b都相交，且∠1 + ∠2 = 180°，求证：直线c ∥ a。

14. 已知直线AB ∥ CD，点E在AB上，点F在CD上，且∠BEF = 135°，求∠EFD的度数。

15. 在平行线l1和l2上分别取点A、B、C、D，若AB = CD，AC= BD，求证：四边形ABCD是菱形。

16. 已知直线l1 ∥ l2，点P在l1上，点Q在l2上，若PQ垂直于l1，且PQ = QR，求证：PR垂直于l2。

七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典测试(1)

一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A ．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直B ．两直线相交，对顶角互补C ．垂线段最短D ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离C解析：C【分析】依据垂线的性质、对顶角的性质、垂线段的性质以及点到直线的距离的概念，即可得出结论．【详解】解：A ．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误； B ．两直线相交，对顶角相等，故本选项错误；C ．垂线段最短，故本选项正确；D ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂线的性质、对顶角的性质、垂线段的性质以及点到直线的距离的概念，熟练掌握概念是解题的关键．2．如图，两个直角三角形重叠在一起，将ABC 沿AB 方向平移2cm 得到DEF ，2cm CH =，4cm EF =，下列结论：①//BH EF ；②AD BE =；③BD CH =：④C BHD ∠=∠；⑤阴影部分的面积为26cm ．其中正确的是（）A ．①②③④B ．②③④⑤C ．①②③⑤D ．①②④⑤D解析：D【分析】根据平移的性质可直接判断①②③，根据平行线的性质可判断④，阴影部分的面积=S 梯形BEFH ，于是可判断⑤，进而可得答案．【详解】解：因为将ABC 沿AB 方向平移2cm 得到DEF ，所以//BH EF ，AD BE =，DF ∥AC ，故①②正确；所以C BHD ∠=∠，故④正确；而BD 与CH 不一定相等，故③不正确；因为2cm CH =，4cm EF BC ==，所以BH=2cm ，又因为BE=2cm ，所以阴影部分的面积=S △ABC －S △DBH = S △DEF －S △DBH =S 梯形BEFH =()12422⨯+⨯=26cm ，故⑤正确；综上，正确的结论是①②④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查了平移的性质，属于基础题目，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键．3．下列命题中是真命题的有（）①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；④图形B 由图形A 平移得到，则图形B 与图形A 中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B 解析：B【分析】根据补角和邻补角的定义可判断①，根据平行公理可判断②，根据平行线的性质和判定可判断③，根据平移的性质可判断④，进而可得答案．【详解】解：两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，故命题①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题②是假命题；两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，故命题③是真命题；图形B 由图形A 平移得到，则图形B 与图形A 中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，故命题④是真命题．综上，真命题有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了真假命题、平行线的判定和性质以及平移的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．4．下列说法正确的是（）A ．命题一定是正确的B ．定理都是真命题C ．不正确的判断就不是命题D ．基本事实不一定是真命题B 解析：B根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得．【详解】A 、命题有真命题和假命题，此项说法错误；B 、定理都是经过推论、论证的真命题，此项说法正确；C 、不正确的判断是假命题，此项说法错误；D 、基本事实是真命题，此项说法错误；故选：B ．【点睛】本题考查了命题、真命题与假命题，熟练掌握理解各概念是解题关键．5．如图a 是长方形纸带，26DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE ∠的度数是（）A ．102°B ．112°C ．120°D ．128°A解析：A【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a ），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b ），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c ）．【详解】解：∵AD ∥BC ，∠DEF=26°，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠EFC=154°（图a ），∴∠BFC=154°-26°=128°（图b ），∴∠CFE=128°-26°=102°（图c ）．故选：A ．【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．6．已知//DE FG ，三角尺ABC 按如图所示摆放，90C ∠=︒，若137∠=︒，则2∠的度数为（）A ．57°B ．53°C ．51°D ．37°B【分析】作GH ∥FG ，推出GH ∥FG ∥DE ，得到∠1=∠3，∠2=∠4，由90C ∠=︒， 137∠=︒，即可求解．【详解】作GH ∥FG ，∵DE ∥FG ，∴GH ∥FG ∥DE ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵90C ∠=︒， 137∠=︒，∴∠3+∠4=90︒，即37︒+∠2=90︒，∴∠2=53︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 7．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C ．【点睛】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图所示，已知 AB ∥CD ，下列结论正确的是（）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠4C解析：C【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠1=∠4，故选 C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，∠B ＝90°，AB ＝8，DH ＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）A ．20B ．24C ．25D ．26D 解析：D【解析】由平移的性质知，BE=4，DE=AB=8，可得HE=DE-DH=8-3=5，所以S 四边形HDFC =S 梯形ABEH=12（AB+EH ）×BE=12（8+5）×4=26．故选D. 10．如图是一块长方形ABCD 的场地，长102AB m =，宽51AD m =，从A 、B 两处入口的中路宽都为1m ，两小路汇合处路宽为2m ，其余部分种植草坪，则草坪面积为（）A ．5050m 2B ．5000m 2C ．4900m 2D ．4998m 2B解析：B【详解】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（102-2）米，宽为（51-1）米．所以草坪的面积应该是长×宽=（102-2）（51-1）=5000（米2）．故选B．二、填空题11．如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m 的距离为b，线段AB的长度为c，通过测量等方法可以判断在a，b，c三个数据中，最大的是_____________．【分析】过点A作AD垂直于垂足为D过点B作BH垂直于垂足为H连接AB根据点到直线垂线段最短可知AB ＞ADAB＞BH可得最大【详解】过点A作AD垂直于垂足为D过点B作BH垂直于垂足为H连接AB由题意得解析：c【分析】过点A作AD垂直于l垂足为D，过点B作BH垂直于m垂足为H,连接AB，根据点到直线垂线段最短，可知AB＞AD，AB＞BH，可得c最大．【详解】过点A作AD垂直于l垂足为D，过点B作BH垂直于m垂足为H,连接AB，由题意得：AD=a， BH=b，AB=c；根据点到直线垂线段最短，可知AB＞AD，AB＞BH∴c ＞a ，c ＞b ；∴c 最大故答案：c【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．12．在同一平面内，A ∠与B 的两边分别平行，若50A ∠=︒，则B 的度数为__________︒．50或130【分析】由∠A 与∠B 的两边分别平行可得∠A=∠B 或∠A+∠B=180°继而求得答案【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行∴∠A=∠B 或∠A+∠B=180°∵∠A=50°∴∠B=50°或∠解析：50或130【分析】由∠A 与∠B 的两边分别平行，可得∠A=∠B 或∠A+∠B=180°，继而求得答案．【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行，∴∠A=∠B 或∠A+∠B=180°，∵∠A=50°，∴∠B=50°，或∠B=180°-∠A=180°-50°=130°．故答案为：50或130．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意由∠A 与∠B 的两边分别平行，可得∠A 与∠B 相等或互补．13．若∠A 与∠B 的两边分别平行，且∠A 比∠B 的3倍少40°，则∠B ＝_____度．55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B ＝180°①∠A ＝∠B②求出∠A ＝3∠B ﹣40°③把③分别代入①②求出即可【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行∴∠A+∠B ＝180°①∠A ＝∠B②∵∠解析：55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B ＝180°①，∠A ＝∠B②，求出∠A ＝3∠B ﹣40°③，把③分别代入①②求出即可．【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行，∴∠A+∠B ＝180°①，∠A ＝∠B②，∵∠A 比∠B 的3倍少40°，∴∠A ＝3∠B ﹣40°③，把③代入①得：3∠B ﹣40°+∠B ＝180°，∠B ＝55°，把③代入②得：3∠B ﹣40°＝∠B ，∠B ＝20°，故答案为：55或20．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握由∠A 和∠B 的两边分别平行，即可得∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝180° ，注意分类讨论思想的应用．14．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2即可求出α的度数【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角∠2=50°∴∠1=∠2∵∠2=50°∴α+10°=50°∴α=40°故答案为：40°【点睛】本题考解析：40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵110α∠=+︒，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．15．一副直角三角板叠放如图①所示，现将含30角的三角板固定不动，把含45角的三角板CDE 由图①所示位置开始绕点C 逆时针旋转(a DCF α=∠且018)0a <<，使两块三角板至少有一组边平行．如图,30a =︒②时，//AB CD ．请你在图③、图④、图⑤内，各画一种符合要求的图形，标出a ，并完成各项填空：图③中α=_______________时，___________//___________﹔图④中α=_____________时，___________//___________﹔图⑤中α=_______________时，___________//___________﹔；（答案不唯一)【分析】画出图形再由平行线的判定与性质求出旋转角度【详解】图中当时DE//AC ；图中当时CE//AB 图中当时DE//BC 故答案为：；（答案不唯一）【点睛】考查了平行线的判定和性质解题解析：45,//DE AC ︒；120,//;135,//CE AB DE BC ︒︒（答案不唯一)【分析】画出图形，再由平行线的判定与性质求出旋转角度．【详解】图③中，当45DCF D α=∠=∠=时，DE//AC ；图④中，当9090120DCF DCB BCF B α=∠=∠+∠=︒-∠+︒=︒ 时，CE//AB ，图⑤中，当90135a DCF DCB BCF D =∠=∠+∠=∠+=︒ 时，DE//BC ．故答案为：45,//DE AC ︒；120,//;135,//CE AB DE BC ︒︒（答案不唯一）．【点睛】考查了平行线的判定和性质，解题关键是理解平行线的判定与性质，并且利用了数形结合．16．如图，ABC ∆沿着由点B 到点E 的方向，平移到DEF ∆．若10BC =，6EC =，则平移的距离为__________．4【分析】观察图象发现平移前后BE对应CF对应根据平移的性质易得平移的距离为BE=BC-EC=4进而可得答案【详解】由题意平移的距离为BE=BC-EC=10-6=4故答案为：4【点睛】本题考查了平移解析：4【分析】观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离为BE=BC-EC=4，进而可得答案．【详解】由题意平移的距离为BE=BC-EC=10-6=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．17．如图所示，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草，则道路的面积是________平方米．79【分析】可以根据平移的性质此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路道路的面积=横纵小路的面积-小路交叉处的面积计算即可【详解】由题意可得道路的面积为：(30+50)×1−1=79解析：79【分析】可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路，道路的面积=横纵小路的面积-小路交叉处的面积，计算即可．【详解】由题意可得，道路的面积为：(30+50)×1−1=79(m2).故答案为79.【点睛】此题考查生活中的平移现象，解题关键在于掌握运算公式.18．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__°．46【分析】过点C作CF∥AB根据平行线的传递性得到CF∥DE根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF∠CDE+∠DCF＝180°根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°由等式性质得到∠DCF＝30°解析：46【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．【详解】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，∴∠BCD＝46°，故答案为：46．【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．19．如图，CB∥OA，∠B＝∠A＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，若平行移动AC，当∠OCA的度数为_____时，可以使∠OEB＝∠OCA．60°【分析】设∠OCA=a∠AOC=x利用三角形外角内角和定理平行线定理即可解答【详解】解：设∠OCA=a∠AOC=x已知CB∥OA∠B=∠A=100°即a+x=80°又因为∠OEB=∠EOC+∠解析：60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.【详解】解：设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，即a+x=80°，又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,解得∠OCA=60°.【点睛】本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.20．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为8，则阴影部分的面积是_______________．64【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得出两个三角形大小一样阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB根据线段的和差关系可求出HE的长度再根据梯形的面积公式即可得答案【详解】解析：64【分析】根据平移变化只改变图形的位置，不改变图形的形状，可得出两个三角形大小一样，阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB，根据线段的和差关系可求出HE的长度，再根据梯形的面积公式即可得答案．【详解】∵两个三角形大小一样，∴S△ABC=S△DEF，∴S△ABC-S△HEC=S△DEF-S△HEC，∴S阴影=S梯形ABEH，∵其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，∴DE=AB=10，∵DH=4，∴HE=DE-DH=6，∵平移距离是8，∴BE=8，∴S 阴影=S 梯形ABEH =12（HE+AB ）·BE=12×（10+6）×8=64，故答案为：64【点睛】本题主要考查了平移的性质，通过观察图形把阴影部分的面积转化为熟知图形的面积是关键的一步．三、解答题21．如图，AD 平分∠BAC ，点E ，F 分别在边BC ，AB 上，且∠BFE ＝∠DAC ，延长EF ，CA 交于点G ，求证：∠G ＝∠AFG ．解析：见解析【分析】先利用角平分线的定义得到∠BAD ＝∠DAC ，结合已知条件∠BFE ＝∠DAC ，可得∠BFE ＝∠BAD ，根据平行线的判定可证EG ∥AD ，再由平行线的性质得∠G ＝∠DAC ，∠AFG ＝∠BAD ，则利用等量代换即可证得结论．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∵∠BFE ＝∠DAC ，∴∠BFE ＝∠BAD ，∴EG ∥AD ，∴∠G ＝∠DAC ，∠AFG ＝∠BAD ，∴∠G ＝∠AFG ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定的方法及利用性质证明角相等是解答此题的关键．22．完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据．如图，已知：//AB EF ,EP EQ ⊥，90EQC APE ∠+∠=︒，求证：//AB CD证明：//AB EFAPE ∴∠=__________（__________）EP EQ ⊥ PEQ ∴∠=_________（___________）即90QEF PEF ∠+∠=︒90APE QEF ∴∠+∠=︒90EQC APE ∠+∠=︒EQC ∠=________//EF ∴_______（__________________）//AB CD ∴（________________）解析：∠PEF ；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠QEF ；CD ；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行．【分析】根据平行线的性质得到∠APE=∠PEF ，根据余角的性质得到∠EQC=∠QEF 根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AB ∥EF∴∠APE=∠PEF （两直线平行，内错角相等）∵EP ⊥EQ∴∠PEQ=90°（垂直的定义）即∠QEF+∠PEF=90°∴∠APE+∠QEF=90°∵∠EQC+∠APE=90°∴∠EQC=∠QEF∴EF ∥CD （内错角相等，两直线平行）∴AB ∥CD （同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行），故答案为：∠PEF ；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠QEF ；CD ；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．23．三角形ABC 中，D 是AB 上一点，//DE BC 交AC 于点E ，点F 是线段DE 延长线上一点，连接FC ，180BCF ADE ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//CF AB ；（2）如图2，连接BE ，若40ABE ∠=︒，60ACF ∠=︒，求BEC ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 是线段FC 延长线上一点，若:7:13EBC ECB ∠∠=，BE 平分ABG ∠，求CBG ∠的度数．解析：（1）证明见解析；（2）100°；（3）12°．【分析】（1）根据平行线的判定及其性质即可求证结论；（2）过E 作//EK AB 可得//CF AB ∥EK ，再根据平行线的性质即可求解；（3）根据题意设7EBC x ∠=︒，则13ECB x ∠=︒，根据∠AED ＋∠DEB ＋BEC ＝180°，可得关于x 的方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，又∵∠BCF ＋∠ADE ＝180°，∴180BCF B ∠+∠=︒，∴//CF AB ，（2）解：过E 作//EK AB ，∵//CF AB ，∴//CF EK ，∵//EK AB ，40ABE ∠=︒，∴40BEK ABE ∠=∠=︒，∵//CF EK ，60ACF ∠=︒，∴60CEK ACF ∠=∠=︒，又∵BEC BEK CEK ∠=∠+∠，∴4060100BEC ∠=︒+︒=︒，答：BEC ∠的度数是100°，（3）解：∵BE 平分ABG ∠， 40ABE ∠=︒，∴40EBG ABE ∠=∠=︒，∴:7:13EBC ECB ∠∠=，∴设7EBC x ∠=︒，则13ECB x ∠=︒，∵DE ∥BC ，∴7DEB EBC x ∠=∠=︒，13AED ECB x ∠=∠=︒，∵180AED DEB BEC ∠+∠+∠=︒，∴137100180x x ++=，∴4x =，∴728EBC x ∠=︒=︒，又∵EBG EBC CBG ∠=∠+∠，∴CBG EBG EBC ∠=∠-∠，∴402812CBG ∠=-=︒，答：CBG ∠的度数是12°．【点睛】本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及其性质的有关知识．24．如图，AE //CF ，∠A =∠C ．（1）若∠1=35°，求∠2的度数；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．解析：（1）∠2=145°；（2）BC∥AD，理由见解析．【分析】（1）由平行线的性质求得∠BDC=∠1=35°，再根据邻补角的定义即可求得∠2；（2）由平行线的性质可知：∠A+∠ADC=180°，然后根据∠A=∠C，可证得∠C+∠ADC=180°，从而可证得BC∥AD．【详解】解：（1）∵AE∥CF，∴∠BDC=∠1=35°，又∵∠2+∠BDC=180°，∴∠2=180°-∠BDC=180°-35°=145°；（2）BC∥AD．理由：∵AE∥CF，∴∠A+∠ADC=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，∴BC∥AD．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．在本题中能正确识图找出同位角和同旁内角是解题关键．25．如图，已知∠1＝∠2，∠A＝29°，求∠C的度数．解析：∠C的度数是151°．【分析】根据对顶角相等，等量代换得∠1=∠3，根据同位角相等判断两直线平行，再由两直线平行得同旁内角互补则可解答．【详解】解：如图，∵∠1＝∠2又∵∠2＝∠3∴∠1＝∠3∴AB∥CD∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝29°∴∠C＝151°答：∠C的度数是151°．【点睛】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．26．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠DEF，求证：DE∥BC．请将下面的推理过程补充完整．证明：∵∠1+∠2＝180（已知）∠2＝∠3（对顶角相等）∴∠1+∠3＝180°∴AB∥EF（），∴∠B＝∠EFC（）∵∠B＝∠DEF（），∴∠DEF＝（）∴DE∥BC（）解析：见解析【分析】根据平行的性质和判定定理填空．【详解】解：证明：∵∠1+∠2＝180（已知），∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1+∠3＝180°，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠DEF（已知），∴∠DEF＝∠EFC（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查平行的性质和判定，解题的关键是掌握平行的性质和判定定理．27．已知：如图，∠AGD=∠ACB，∠1=∠2，CD与EF平行吗？为什么？解析：平行，见解析．【分析】先判定GD//CB,然后根据平行的性质得到∠1=∠BCD,然后利用同位角相等、两直线平行即可证明．【详解】解：平行. 理由如下：∵∠AGD =∠ACB，（已知）∴ GD∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠BCD（两直线平行,内错角相等）∵∠1=∠2，（已知）∴∠2=∠BCD（等量代换）∴ CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，灵活运用同位角相等、两直线平行是解答本题的关键．28．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．例如：如果ab<0，那么a+b<0．反例：设a=4，b=-3，ab=4⨯（-3）=-12<0，而a+b=4+（-3）=1>0，所以这个命题是假命题．（1）如果a+b>0，那么ab>0．（2）如果a是无理数，b也是无理数，那么a+b也是无理数．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数．（2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如【详解】解：（1）取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题．（2）取，，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．【点睛】本题主要锻炼了学生的逆向思维．在证明几何题的过程中，有时需从反例上先去判断，然后再证明．。

四年级平行与垂直专项练习题

四年级平行与垂直专项练习题范文一一、想一想，填一填。

1、直线上两点间的一段叫做〔〕，线段有〔〕个端点。

2、〔〕、〔〕都可以无限延长，其中〔〕没有端点，〔〕只有一个端点。

通过一点，可以画〔〕条直线。

从一点引出两条( )所组成的图形叫做角，这个点叫做角的( )，这两条射线叫做角的( )。

4.角的两边在一条直线上，这样的角叫做( )角，它有( )度。

5.计量角的单位是( ),用符号〔〕来表示。

1周角=( )平角=( )直角=( )个45°的角。

6.时钟在5时的时候，它的时针和分针成( )角。

7.假如∠1是∠2的3倍，∠1=120°，∠2=( )。

8、度量角的大小可以使用〔〕。

下午6时，时针和分针形成了〔〕角。

9、在同一平面内不想交的两条直线叫做〔〕，也可以说着两条直线〔〕。

假如两条直线相交成直角，就说这两条直线〔〕，其中一条直线叫做另一条直线的〔〕，这两条直线的交点叫做〔〕。

10、在同一平面内的两条直线的位置关系有〔〕、〔〕两种情况。

11、从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段〔〕，它的长度叫做这点到直线的〔〕。

12、通过直线上一点，在一个平面内只能画〔〕条直线与直线垂直。

13、平行线之间的间隔处处〔〕。

14、长方形的对边( 〕,邻边〔〕。

15、通过直线外一点，只能画〔〕条直线与直线平行。

16、过A点可以画〔〕条直线，可以画〔〕条射线。

17、直线a垂直于直线b,直线c也垂直于直线b，那么直线a和直线c的关系是〔〕。

二、按要求做一做。

1、用量角器画一个48°和145°的角2、用三角板画一个15°和135°的角(保存作图痕迹)三、看下列图计算各角度数。

1、∠1=35°求∠22、∠1=30°，求∠2、∠3的度数。

3、∠1=28°求∠2、∠3、∠4和∠5各是多少度?4、∠1=65°，求∠2、∠3、∠4的度数。

七年级下册数学期中复习提纲及经典题型

七年级下册数学期中复习提纲第五章相交线与平行线5.1 相交线对顶角相等。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简单说成：垂线段最短）。

过两点有且只有一条直线两点之间线段最短余角：两个角的和为90度，这两个角叫做互为余角。

补角：两个角的和为180度，这两个角叫做互为补角。

对顶角：两个角有一个公共顶点，其中一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。

这两个角就是对顶角。

同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，就是同位角。

内错角：在“三线八角”中，夹在两直线内，位置错开的角，就是内错角。

同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线内，在第三条直线同旁的角，就是同旁内角。

5.2 平行线经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。

5.3 平行线的性质同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

判断一件事情的语句，叫做命题。

第六章实数平方根如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，2是根指数。

a的算术平方根读作“根号a”，a叫做被开方数。

0的算术平方根是0。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。

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M
N A
D
B
C
b
2
1
a
E 平行线的经典题型
一、平行线之间的基本图形
1、如图已知，AB ∥CD .,AF CF 分别是
EAB 、ECD 的角平分线，F 是两条角平分线的交点；求证：
1
2
F
AEC .2、已知AB//CD ，此时A 、AEF 、EFC 和
C 的关系如何？
你能找出其中的规律吗？3、将题变为如下图：AB//CD ，此时A 、AEF 、EFD 和
D 的关系又如何？
你能找出其中的规律吗？4、如图，AB//CD ，那么
AEC
C A 与
、
有什么关系？
二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】
1.已知：如图，CD 平分∠ACB ，AC ∥DE ，∠DCE=∠FEB ，求证：EF 平分∠DEB ．
2、已知：如图,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,
求证：DO ⊥AB. 3、如图，已知EF ⊥AB ，∠3=∠B ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB 。

4、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.
三、两组平行线构造平行四边形
1．已知：如图，AB 是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D 互余，BE ⊥FD 于G ．求证：AB ∥CD ．
2、如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，∠C =∠D ，求证DF ∥AC
．3、如图，M 、N 、T 和A 、B 、C 分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T ，求证：∠M=∠R 。

四、证特殊角
1、AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数
是．
2、AB CD ∥，直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF ，过
点F 作PF EP 垂足为P ，若∠PEF ＝300
，则∠PFC ＝_____．
3、如图，已知：DE ∥AC ，CD 平分∠ACB ，EF 平分∠DEC ，∠1与∠2互余，求
证：DG ∥EF.
4．已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ．5.如图已知直线a ∥b ，AB 平分∠MAD ，AC 平分∠NAD ，DE ⊥AC 于E ，求证：∠1=∠2．
6、
求证：三角形内角之和等于
180°．
五、寻找角之间的关系
1、如图,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.
2、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：AD
∥BE 。

3．如图，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．
求证：（1）AB ∥CD ；（2）∠2 +∠3 = 90°．D
B C
A
F
E
A
D
F B
E C D
E
F
1
2
1
G
F
E D
B
C
A
1
A
B A D
B C E F
1 2
3 4 A
B
E
F
D
C。