2015初中概率知识点-古典概型
古典概型概率
古典概型概率
古典概型概率是由法国数学家保罗·科尔贝于1812年提出，是有限随机实验中计算概率的一种理论。
它认为随机实验的可能性取决于该实验所包含的样本空间无外乎两个：实验成功或失败。
对于一个有限的样本空间来说，如果注意到其中某些成功的情况数量（即S1），则失败情况的数量也就已经定义好了(即F=N-S1)。
因此，可以将该随机实验的成功概率表述为S1/N。
古典概型概率通常用来估计一件特定事件发生的几率。
例如在随机试验中用一个面值为6的正方体来代表6个不同情况时，如果要估计在这6 个情况中出现特定情况的几率，则可以使用古典概型概率估计这一特征情况出现的几率是1/6.
总之，古典概型概率是利用样本量少但是样本数量单一、容易数量化的情况来估计特征情况出现的几���；考量到不同因子影响、分布开展大量样本测得、不易数量化时对此理论进行扩展使之通用性加强.。
概率综合(古典概型)
知识点之三：分房问题
例三、有n个人，每个人都以同样的概率1/N 被分配在N（n间房间中的每一间，试求下 列各事件的概率： （1）指定的n间房中各有一人 (2)恰有n间房中各有一个; (3)指定的某间房中恰有r（r≤N)个人; （4)第一间房、第二间房…第n间房中分别有 r1,r2,…rN个人，（ r1+r2+…+rN=n，0≤r≤n)
有放回的抽样问题练习
4、袋中装有编号为1，2……N的球各一只, 采用有放回方式摸球,试求在第k次摸 球 时首次摸到1号球的概率.
解题分析：
从N个球中有放回地摸出k个球的所有各种可 能的结果为Nk个,把它们作为全体基本事件,有 利场合数为(N-1)k-1,故所求概率为:
(N 1) P K N
知识点练习一(不放回抽样练习)
1、甲袋中有3只白球，7只红球，15只， 黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9 只黑球，现从两袋中各取一球 ，求两球颜
色相同的概率。
解答： 从两袋中各取一球的所有可能作为基本事 件，总数有252，有利场合数 为3×10+7×6+15×9,故所求的概率 P=207/625
知识点练习一(不放回抽样练习)
3、从52张扑克牌中任取5张，求下列事件的 概率：①、4张A集中在一个人的手中。 ②、 以K打头的同花顺次五张牌； ③ 、同花顺 次五张牌；④ 、有四张牌同点数； ⑤ 、三 张同点数且另两张取其它同点数； ⑥、同 花五张； ⑦ 、异花顺次五张； ⑧ 、三张 同点数，另两张不同； ⑨ 、五张中 有两对； ⑩ 、五张中有一对。 说明：扑克牌的顺次为：A2345678910JKA
分析：这n个人在N间房中的所有不同的分配 ，相当于从N个元素中选取n个进行有重复的排列
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结古典概型是概率论中的一个重要内容，它是指在相同的条件下，可能的结果均等可能的情况下，通过计算各种结果出现的可能性的概率。
在古典概型中主要涉及排列、组合、二项式定理、排列组合概率等基础知识。
下面就各个知识点做详细介绍。
一、排列排列是指从n个不同元素中取出m个进行排列，如果这m个元素的顺序不同则视为不同的排列。
排列数用P(n,m)表示，表示n中取m的排列数。
公式为P(n,m) = n!/(n-m)!例如，从5个不同的元素中取出3个元素进行排列，那么排列数就是P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5*4*3 = 60。
二、组合组合是指从n个不同元素中取出m个进行组合，不考虑元素的排列顺序。
组合数用C(n,m)表示，表示n中取m的组合数。
公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)例如，从5个不同的元素中取出3个元素进行组合，那么组合数就是C(5,3) = 5!/(3!*(5-3)!) = 10。
三、二项式定理二项式定理是代数中一个重要的定理，它包括二项式系数的公式以及二项式的展开式。
二项式系数的公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)二项式展开式为(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,n)*a^0*b^n例如，(a+b)^3 = C(3,0)*a^3*b^0 + C(3,1)*a^2*b^1 + C(3,2)*a^1*b^2 + C(3,3)*a^0*b^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3。
四、排列组合概率排列组合概率是指在进行某种排列或组合的情况下，发生一定事件的概率。
在排列组合概率中，一般会出现某个事件的发生总数以及排列或组合的总数，然后通过计算得出该事件的概率。
例如，从一副扑克牌中随机取5张牌，计算得到顺子的概率。
我们可以计算出顺子的排列数，即5个元素的排列数P(5,5)=5!=120，然后计算出总的排列数，即从52张牌中取5张的排列数P(52,5)=52!/(52-5)!=2,598,960，最后通过计算得出顺子的概率为120/2,598,960≈0.000046。
古典概型知识点总结
例 2 盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品， 4 只正品，有放回地从中任取 2 次，每次只取 1 只，试求下列事件的概率： (1)取到的 2 只都是次品； (2)取到的 2 只中正品、次品各 1 只；(3)取到的 2 只中至少有 1 只正品．
2
同取法．
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古典概型知识点总结
古典概型知识点总结古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型。
它是指在所有可能的结果中，每个结果的概率相等的模型。
本文将总结古典概型的相关知识点，并探讨其应用场景和注意事项。
一、基础定义1. 古典概型的定义古典概型是指在所有可能的结果中，每个结果的概率相等的模型。
例如，掷一次骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
2. 样本空间样本空间是指古典概型中所有可能结果的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
3. 事件事件是样本空间的子集，表示发生某种结果的可能性。
例如，掷一枚硬币出现正面的事件为{正面}。
4. 概率概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用小数表示，取值范围在0到1之间。
在古典概型中，概率可以用公式“事件发生的次数÷样本空间中总的可能结果数”来计算。
二、应用场景古典概型主要应用于以下场景：1. 骰子、硬币等随机游戏例如，掷骰子、抛硬币等游戏中，每个结果的概率都相等，符合古典概型的条件。
2. 假设检验在做假设检验时，常常需要确定某种情况下出现某种结果的概率。
如果符合古典概型条件，可以直接根据概率公式计算概率。
3. 统计学在统计学中，古典概型被广泛应用于概率分布的研究与推导。
三、注意事项在使用古典概型时，需要注意以下事项：1. 每个结果的概率相等古典概型中的最重要条件是每个结果的概率相等。
如果存在某些结果概率不等的情况，就不能使用古典概型进行概率计算了。
2. 互斥事件在计算概率时，需要注意事件之间是否互斥。
如果两个事件不互斥，那么它们的概率应该加在一起。
3. 独立事件在计算概率时，需要注意事件之间是否独立。
如果两个事件是独立的，那么它们的概率应该相乘。
四、结论古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型，应用范围广泛。
在使用古典概型进行概率计算时，需要注意每个结果的概率相等、事件之间是否互斥、事件之间是否独立等问题，才能准确计算概率，避免出现错误的结果。
古典概型
（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为
P(
xi )
pi ，则称表为随机变量 ξ
的概率分布，简称 ξ
的分布列
新疆 王新敞
奎屯
ξ
x1
x2
…
8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列．
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题 基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析：
（一） 古典概型
１．随机事件 A 的概率： 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件；
2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= m 。理解这里 m、ｎ的意义。 n
3．互斥事件：A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质： Da b a2D ；
7．二项分布：在 一 次随机 试 验 中 ，某事 件 可能发 生 也 可能 不 发生 ，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的 次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰好发生 k 次的概率是
古典概型与几何概型知识点总结
古典概型与几何概型知识点总结古典概型和几何概型是概率论中最基础的概率模型，它们分别适用于简单事件和几何事件的计算。
以下是古典概型和几何概型的知识点总结：一、古典概型：1.古典概型是指事件的样本空间具有有限个数的元素，样本点的概率相等。
2.样本空间是指实验中所有可能的结果的集合，例如掷一枚骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
3.事件是样本空间的子集，例如“掷一枚骰子，出现的点数为偶数”的事件为{2,4,6}。
4.古典概型的概率计算公式为：P(A)=n(A)/n(S)，其中P(A)为事件A发生的概率，n(A)为事件A包含的样本点个数，n(S)为样本空间的样本点个数。
5.古典概型的概率计算要求样本点的概率相等，且样本点的个数有限。
二、几何概型：1.几何概型是指事件的样本空间是一个几何图形，而不是有限个元素。
2.在几何概型中，事件的概率等于事件所占的几何图形的面积或体积与样本空间所占的几何图形的面积或体积的比值。
3.几何概型的概率计算需要使用几何图形的面积或体积的计算方法，例如计算矩形的面积为长乘以宽，计算圆的面积为π乘以半径的平方。
4.几何概型可以应用于连续变量的概率计算，例如计算一些范围内的事件发生的概率。
5.几何概型的概率计算要求事件与样本空间之间存在其中一种几何关系，例如事件发生的可能性与事件所占的几何图形的面积或体积成正比。
综上所述，古典概型适用于简单事件且样本空间的样本点个数有限的情况，其概率计算公式为P(A)=n(A)/n(S)；几何概型适用于事件的样本空间是一个几何图形的情况，概率等于事件所占的几何图形的面积或体积与样本空间所占的几何图形的面积或体积的比值。
掌握古典概型和几何概型的知识点，能够帮助我们更好地理解和计算事件的概率，为概率论的进一步学习奠定基础。
概率2 古典概型
由于事件A比较复杂，可考虑它的对立事件,即“输入由0,3,2,5组成的
一个四位数字,恰是密码”显然它只有一种结果四个数字0,3,2,5随机编
排顺序 所有可能结果可用树状图表示,如图7-10。
2
3 5
5 3
0
3 5
例5 某网站登录密码由四位数字组成.某同学注册时将自己生日的四 个数字0,3,2,5重新编排了一个顺序作为密码.由于长时间末登录该网站， 他忘记了密码.若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个四位数字,则该 同学不能顺利登录的概率是多少?
解:用事件A表示“输入由0,3,2,5组成的的一个四位数字,但不是密码”.
牌是红心”，试探究P(A),P(B)与P(A∪B)的关系。
将上述探究的结果填入表7-2(课本P200).
E
E5
E12
A与B的关系
P(A)
P(B)
P(A∪B)
P(A)+P(B)
知识探究·素养培育 探究点一互斥事件的概率加法公式
[问题1] 在集合{1,2,3,4,5,6,7}中随机取一个数, (1)设事件A表示“取到数字1”,事件B表示“取到数字2或3”,求 P(A),P(B),P(A∪B); (2)设事件A表示“取到数字1或2”,事件B表示“取到数字2或3”,求 P(A),P(B),P(A∪B).
例3 口袋里共有4个球,其中有2个是白球,2个是黑球,这4个球除颜色 外完全相同.4个人按顺序依次从中摸出一个球(不放回),试计算第二个 人摸到白球的概率. 解法4:进一步简化，只考虑第二个人摸球的情况.
考察试验E11:4个人按顺序依次从中摸出一 个球，只记录第二个人摸
出球的情况. 把2个白球、2个黑球分别编上序号1,2，记摸到1,2号白球的结果分别
2、概率的几种定义(古典概型)
5
② 从 个元素中取出 个元素，而 不考虑其顺序，称为组合，其组合 的总数为：
6
三、举 例
例1 有一号码锁上有6个拨盘，每个 拨盘有 才能将锁打开。 十个数字，给定 一个6位数字暗码，只有拨对号码时，
问：“一次就能打开”的概率是多
少？
7
解：样本空间中样本点总数为 设 A=“一次就把锁打开” A所含样本点数
1.2
随机事件的概率
对于一个随机事件来说，在一
次试验中可能发生，也可能不发生， 我们希望有一个能刻划随机事件发 生的可能性大小的数量指标，即概 率，以 表示事件A的概率 。
1
一、概率的古典定义 定义2.1 满足以下两个特征的随 机试验称为古典概型。 （1）有限性：试验E的样本空间 中只有有限个样本点 如： （2）等可能性：每个基本事件出现 的可能 性相同，即：
49
推广到n个事件：
50
例：若A与B同时发生时事件C必发生，
则
证：
结论成立
53
例：设 1） 若
， ，求
A
解：
S
A B
54
例：设 2）若 解：
P A
1 3
，PB
1 2
，求
S
A B
A
55
例：设 3）若
P A
1 3
，PB ，求
1 2
解：
S
A B
A
56
例 已知 求事件A，B，C全不发生的概率。
本点数，我们先取m个球放入指 定盒中，共有 种取法，然 后再把剩下的（n-m）个球任意 放入其余（N-1）个盒中,放法有 种，
16
根据乘法原理可得C的样本点数为：
概率论-古典概型
若甲乙必须从左到右排 (去序法)
6! 2!
5.组合：从n个不同元素取 r 个组成一组（去序）
（ 从n个不同元素一次取 r 个）
不同取法有
C
r n
Anr r!
n! 种 r!(n r)!
(相当于将n个元素分成两组)
推广1. n个元素分成k组，每组有rk个元素，(r1 rk n)
解 设A {至少有1人生日在元旦 }
P( A) 1 P( A)
A {无人生日在元旦}
key
:
1
36435 36535
Ex13.某班有n个同学(n 365),求至少有人两数位同至学少的有生两日人在
同一天的概率.(一年按365天计)
同生日的概率
设A {至少有两人生日在同一天 }
到达时间(与6点之差) . 根据题意有 0 x 60 ,0 y 60 ,
将( x, y)看作平面上的一个点，则样本空间可取作
{(x, y) | 0 x 60, 0 y 60}
y
60 A
15
事件A发生当且仅当( x, y) ,且 | x y | 15 , 0 15
它的特点是称为古典概型最简单的一类试验模型个基本事件复合成的个基本事件中的某是由全部若事件的基本事件数称为有利于a可以如下计算概率有利于a的基本事件数试验的基本事件总数可列可加性具有非负性规范性和容易验证上述概率确正面出现的概率观察做抛一枚硬币的试验正面至少出现一次的概计算正面只出现一次及掷两次将一枚匀称的硬币连续正面只出现一次设事件这里我们先简要复习一下计算古典概型所用到的基本计数原理加法原理设完成一件事有m种方式第一种方式有n种方法第二种方式有n种方法无论通过哪种方法都可以完成这件事则完成这件事总共有种方法
古典概型的概率公式
古典概型的概率公式
概率公式是统计学中十分重要的概念，它可以给我们提供一种对客观事实的度量和估计。
古典概型是一种古老而又常用的概率模型，它是最初被发现的单一概率模型之一。
古典概型的概率公式具有简洁而有效的特点，其计算结果可以更好地反映实际情况，以便进一步的数据分析。
古典概型的概率公式可以表示为：p(x)=n/N，其中n表示特定结果出现的次数，N表示总次数。
这句概率公式意思是，在某一实验或观察中，特定结果出现的概率等于某一结果出现的次数除以总次数。
由此可以发现，古典概型的概率公式又叫做比例概型，它是以假设抽样是一个完全随机抽样（元抽样）为基础，而不考虑任何额外条件的情况下所得到的概率估计。
古典概型的概率公式由一些古典概念组成，如独立假设和同分布假设。
独立假设是指在抽样过程中，每个样本的结果和其他样本的结果无关，而同分布假设指的是，抽样样本结果和总体样本结果具有相同的分布。
这两种假设共同决定了古典概型的概率公式的形式。
此外，古典概型的概率估计还可以用来评估抽样的有效性。
通过计算抽样误差，可以知道抽样的有效性。
另外，古典概型的概率公式也可以用来检验模型的准确性。
如果观察的实验结果和古典概型的概率估计结果不符，就可以断定模型不准确，并可以进行改进。
古典概型的概率公式有很多应用，它不仅可以用来估计概率，还可以用来检验模型准确性，以及评估抽样的有效性。
古典概型的概率
估计模型已经被用于众多研究领域，如经济学、金融学、管理学、社会科学等，从而大大推动了科学技术的发展。
总之，古典概型的概率估计模型是一种十分重要的概念，它的应用范围非常广泛，可以满足科学技术领域的各种需求和要求。
古典概型与几何概型知识点总结
古典概型与几何概型知识点总结古典概型和几何概型是概率论中的两种常见概型，它们分别基于不同的概率空间的划分方式。
下面将对古典概型和几何概型的知识点进行总结。
古典概型（Classical Probability Model）是指概率实验基本样本点是有限个的概率模型。
在古典概型中，样本空间中的每一个样本点发生的机会相同，且样本空间中所有的样本点构成一个有限集合。
在古典概型中，我们通常会利用排列组合的方法来计算事件的概率。
以下是古典概型的一些重要知识点：1.样本空间和事件：样本空间是指一个概率实验中所有可能结果的集合，用Ω表示。
事件是样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的结果。
2.事件的概率：在古典概型中，事件A的概率P(A)等于A中的样本点数目除以样本空间中的样本点总数。
即P(A)=，A，/，Ω。
3.加法法则：如果A和B是两个互不相容的事件（即A∩B=Ø），那么两个事件的并事件A∪B的概率等于事件A和事件B的概率之和。
即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4.乘法法则：如果A和B是两个独立事件，即事件A的发生与事件B的发生无关，那么两个事件的交事件A∩B的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率。
即P(A∩B)=P(A)*P(B)。
几何概型（Geometric Probability Model）是指概率实验的样本空间是由几何构造组成的。
在几何概型中，样本空间通常是一个几何形状，概率的计算涉及到几何图形的面积或长度。
以下是几何概型的一些重要知识点：1.区间概率：对于一些连续型随机变量，概率可以通过计算指定区间的长度、面积或体积来求解。
这种类型的概率常常与几何图形的几何属性相关。
例如，对于均匀分布的连续随机变量，一个给定区间[a,b]内事件发生的概率等于区间长度除以总长。
2. 概率密度函数：对于连续型随机变量，其概率密度函数（Probability Density Function，PDF）描述了随机变量的可能取值的相对可能性。
第5讲 古典概型、概率的基本性质
18
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟
求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题． (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)有 时可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如 (1，2)与(2，1)相同． (3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组 合的知识．
1
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第5讲 古典概型、 概率的基本性质
2
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考试要求
1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事
件所包含的样本点及事件发生的概率.3.掌握概率的基本性质及其应用．
01
聚焦必备知识
4
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋ P(B)－P(A∩B)．
7
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常用结论 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，当A∩B＝ ∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
答案：14
10
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(2)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白 球的概率为________．
从袋中任取一球，有 15 种取法，其中取到白球的取法有 6 种，则所求 概率为 P＝165＝25.
答案：25
11
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(1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
初中数学_古典概型_基础
古典概型【学习目标】1.正确理解古典概型的特点；2.掌握古典概型的概率计算公式；3.了解整数型随机数的产生与随机模拟实验.【要点梳理】要点一、古典概型1.基本事件：试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.基本事件的特点：(1)每个基本事件的发生都是等可能的.(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.2.古典概型的定义：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.3.计算古典概型的概率的基本步骤为：(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；(2)计算基本事件的总数n；(3)应用公式()mP An=计算概率.4.古典概型的概率公式：()AP A=包含的基本事件的个数基本事件的总数.应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.要点诠释：古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC 的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.要点二、随机数的产生1.随机数的产生方法：一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个范围内的随机数.在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机数来应用.2.随机模拟法(蒙特卡罗法)：用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；(3)计算频率()n Mf AN=作为所求概率的近似值.要点诠释：1.对于抽签法等抽样方法试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.2.随机函数RANDBETWEEN(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.3.随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.【典型例题】类型一：等可能事件概念的理解例1．判断下列说法是否正确，并说明理由。
概率_古典概型与几何概型.板块一.古典概型.学生版
版块一：古典概型1．古典概型：如果一个试验有以下两个特征：⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义：随机事件A 的概率定义为()P A =A 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数．版块二：几何概型几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量．题型一 基础题型【例1】 在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____【例2】 （2010崇文一模）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______．【例3】 （2010上海卷高考）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）．知识内容典例分析板块一.古典概型【例4】 （2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是A ．512B ．12C ．712D ．34【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16【例6】 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是（ ）A ．16B ． 14C ．13 D ．12【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？【例8】 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ．【例9】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．⑴求1A 被选中的概率； ⑵求1B 和1C 全被选中的概率．【例10】 （2009江西10）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【例11】 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率．题型二 中档题的常见载体模型扔骰子硬币 【例12】 将一枚硬币连续投掷三次，连续三次都得正面朝上的概率是多少？【例13】 将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？【例14】 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是121110，，的概率依次是123P P P ，，，则（ ）A ．123P P P =<B ．123P P P <<C ．123P P P <=D ．123P P P >=【例15】 （08江苏）若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为 ．【例16】 （05广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数123456，，，，，），骰子朝上的面的点数分别为X Y ，，则2log 1X Y =的概率为（ ）A ．16B ．536C ．112D ．12【例17】 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率是 ．【例18】 同时抛掷两枚骰子，⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率； ⑵求点数之和为8的概率；⑶求至少出现一个5点或6点的概率．【例19】 某中学高一年级有12个班，要从中选两个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班．有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？并说明理由．摸球【例20】（2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．891B．2591C．4891D．6091【例21】口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，⑴写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？⑵摸出来的两只球都是白球的概率是多少？⑶摸出来的两只球颜色不同的概率为多少？【例22】（2010朝阳一模）袋子中装有编号为,a b的2个黑球和编号为,,c d e的3个红球，从中任意摸出2个球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．【例23】盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率．⑴取到的2只都是次品；⑵取到的2只中恰有一只次品．【例24】有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？【例25】袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：⑴3只全是红球的概率，⑵3只颜色全相同的概率，⑶3只颜色不全相同的概率，⑷3只颜色全不相同的概率．【例26】袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码，设号码为n的球的重量为244433nn-+（克）．这些球以等可能性（不受重量，号码的影响）从袋里取出．⑴如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率．⑵如果任意取出1球，求重量不大于号其码的概率；⑶如果同时任意取出2球，试求它们重量相同的概率．【例27】在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（）A．35B．23C．59D．13【例28】一个袋子中装有m个红球和n个白球（4m n>≥），它们除颜色不同外，其余都相同，现从中任取两个球．⑴若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：m必为奇数；⑵若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足20m n+≤的所有数组()m n，．【例29】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球．⑴若3n ，求取到的4个球全是红球的概率；⑵若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n．数字计算【例30】用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是（）A．12B．13C．14D．15【例31】任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（）A．1027B．13C．16D．754【例32】（08辽宁）4张卡片上分别写有数字1234，，，，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．13B．12C．23D．34【例33】（2006年北京卷理）在12345，，，，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个【例34】（2007年上海卷文）在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．【例35】（04全国）从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．13125B．16125C．18125D．19125【例36】从02468，，，，这五个数字中任取2个偶数，从13579，，，，这五个数字中任取1个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被5整除的概率．【例37】电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．1180B．1288C．1360D．1480【例38】在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1218，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）A．151B．168C．1306D．1408【例39】（2009浙江17）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，1k ，其中0,1,2,,19k=．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14”为A，则()P A=_____________．【例40】在900张奖券（奖券号是100999-）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？【例41】某城市开展体育彩票有奖销售活动，号码从000001到999999，购买时揭号对奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比．【例42】袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是（）A．115B．215C．1315D．1415【例43】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．【例44】任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率．【例45】摇奖器摇出的一组中奖号码为825371，，，，，，对奖票上的六个数字是从0129，，，，这十个数字中任意选出六个不同数字组成的．如果对奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为（）A．17B．130C．435D．542【例46】甲乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标有数字2，2个标有数字3．两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若抽取的两个小球上的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜，求乙获胜的概率．【例47】（2010西城一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．排列组合相关【例48】一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为______．【例49】已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支．求：⑴A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；⑵A组中至少有两支弱队的概率．【例50】某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，求：⑴恰有一名参赛学生是男生的概率；⑵至少有一名参赛学生是男生的概率；⑶至多有一名参赛学生是男生的概率．【例51】（2009上海文）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）．【例52】有十张卡片，分别写有A、B、C、D、E和a、b、c、d、e，⑴从中任意抽取一张，①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是A或a的概率；⑵若从中抽出两张，③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率；【例53】某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为．（结果用分数表示）【例54】（06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a p，的值分别为（）A．5 10521a p==，B．4 10521a p==，C．5 21021a p==，D．4 21021a p==，【例55】（2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A．3181B．3381C．4881D．5081【例56】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例57】（2008四川延8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（）A．15B．12C．23D．45【例58】停车场有10个排成一排的车位，当有7辆车随意停放好后，恰好剩下三个空位连在一起的概率为_______；【例59】6个人坐到9个座位的一排位置上，则3个空位互不相邻的概率为．【例60】右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）A．445B．136C．415D．815【例61】（2009四川文）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．⑴ 在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；⑵ 在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．【例62】 （08湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体{}12n ，，，进行抽样，先将总体分成两个子总{}12m ，，，和{}12m m n ++，，， （m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ；所有(1)ij P i j n <≤≤的和等于 ．题型三 结合其他知识的综合题及杂题【例63】 已知ABC ∆的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，求ABC ∆是锐角三角形的概率．【例64】 （07湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则(0]2θ∈π，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．56【例65】 考虑一元二次方程20x mx n ++=，其中m n ，的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率．【例66】 （07四川）已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）A ．112B ．760C ．625D ．516【例67】（2009安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．175B．275C．375D．475【例68】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为_____．杂题【例69】某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．⑴共有多少个基本事件？⑵小曹能乘上上等车的概率为多少？【例70】李明手中有五把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，只好逐把试开，⑴李明恰在第三次打开房门的概率是多大？⑵李明三次内打开房门的概率是多大？【例71】张三和李四玩“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏（棒子打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫子，虫蛀棒子），他们同时报其中一个的名字，如果出现的不是以上相邻的两个（比如出现老虎与虫子），则算平局，求⑴出现平局的概率；⑵张三赢的概率．【例72】某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车．假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：⑴该车在某停车点停车；⑵停车的次数不少于2次；⑶恰好停车2次．【例73】（2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标．其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．⑴企业E中标的概率是多少？⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？。
两个知识点古典概型与概率可乘性
两个知识点古典概型与概率可乘性古典概型是概率论中最基本的概率模型之一，它是指在一些随机试验中，每个可能的结果都是等可能的，并且概率只取决于样本空间和事件的个数。
古典概型在概率论的入门阶段使用较多，因为它简单且易于理解。
在古典概型中，一个随机试验的样本空间是指所有可能的结果组成的集合。
例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}；投掷一个骰子的样本空间是{1，2，3，4，5，6}。
对于古典概型来说，样本空间的所有结果大小是有限的且可数的。
古典概型也称为等可能概型，是因为每个可能的结果出现的概率都是相等的。
假设一个随机试验有n个互斥且等可能的结果，那么每个结果的概率就是1/n。
例如，抛一枚公正的硬币，正面和反面的概率都是1/2、投掷一个公正的骰子，每个面的概率都是1/6、这种等可能性是通过假设随机试验的结果不受任何外部因素的影响而得到的。
概率可乘性是概率论中的一个重要概念，它指的是两个事件同时发生的概率等于这两个事件分别发生的概率的乘积。
简单地说，如果A和B是两个事件，那么它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)*P(B)。
概率可乘性在很多实际问题中都有应用。
例如，假设一栋大楼有多个电梯，每个电梯的故障独立发生的概率都是0.01、那么如果我们想知道同时有两个或更多电梯发生故障的概率，可以使用概率可乘性来计算。
假设A表示第一个电梯发生故障，B表示第二个电梯发生故障，那么我们要计算的是P(A∩B)。
根据概率可乘性，P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.01*0.01=0.0001、所以同时有两个或更多电梯发生故障的概率是0.0001除了古典概型和概率可乘性，概率论还有其他重要的知识点，如条件概率、贝叶斯公式、独立性等。
这些概率论的知识点有助于我们理解随机事件的概率分布和相互关系，从而在面对不确定性的问题时做出合理的决策。
随机事件的概率与古典概型
随机事件的概率与古典概型1．随机事件的频率与概率(1)(2015北京，13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四.(Ⅰ) (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(Ⅲ)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 答案：(Ⅰ)0.2 (Ⅱ)0.3 (Ⅲ)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大 解：(Ⅰ)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，(1分) 利用频率估计概率，可知顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(3分)(Ⅱ)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．(5分)利用频率估计概率，可知顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(6分) (Ⅲ)由统计表及频率估计概率可知：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.(12分)因为0.6＞0.2＞0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．(13分)2．互斥事件和对立事件a ．互斥事件、对立事件的判定(2)(2019汇编，5分)下列事件中，________是互斥事件，________是对立事件．(填序号)①从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，事件“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”；②一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都中靶”； ③抛掷一枚骰子，事件“落地时向上的点数是奇数”与事件“落地时向上的点数是2的倍数”；④某城市有甲、乙、丙三种报纸，事件“至少订一种报纸”与事件“不订甲报”； ⑤现有5名学生，3名男生2名女生，从中任意抽取2人去参加比赛，事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名男生”．答案：③⑤ ③解析：①事件“至少有1个黑球”的可能性有两种：1个黑球1个红球或2个黑球；事件“至少有1个红球”的可能性也有两种：1个红球1个黑球或2个红球，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．②事件“至少有一次中靶”的可能性有两种：中一次靶或中两次靶，这与事件“两次都中靶”可能同时出现，所以不是互斥事件．③事件“落地时向上的点数是奇数”的结果可能为1，3，5，事件“落地时向上的点数是2的倍数”的结果可能为2，4，6，两个事件不可能同时发生，所以为互斥事件；又落地时向上的点数只可能是1，2，3，4，5，6，所以两个事件也是对立事件．④事件“至少订一种报纸”的结果可能为：订甲，订乙，订丙，订甲、乙，订甲、丙，订乙、丙，订甲、乙、丙，而事件“不订甲报” 的结果可能为：订乙，订丙，订乙、丙，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．⑤事件“恰有1名男生”的结果只有一种：1名男生1名女生，事件“恰有2名男生”的结果只能是2名男生，两个事件不可能一起发生，所以为互斥事件；但是抽取2名学生参赛的可能结果有1名男生1名女生、2名男生、2名女生这三种，所以两个事件不是对立事件．b ．互斥事件与对立事件的概率(3)(经典题，12分)射手小张在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，0.13，计算这个射手在一次射击中：(Ⅰ)射中10环或9环的概率； (Ⅱ)至少射中7环的概率． 答案：(Ⅰ)0.52 (Ⅱ)0.87解：(Ⅰ)∵射手小张在一次射击中，射中10环、9环的概率分别是0.24，0.28，且它们为互斥事件，(2分)∴这个射手在一次射击中射中10环或9环的概率P ＝0.24＋0.28＝0.52.(5分)(Ⅱ)(法一)事件“至少射中7环”包括基本事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”．(6分)∵射手小张在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，且它们彼此互斥，(8分)∴由互斥事件的概率加法公式可得，这个射手在一次射击中至少射中7环的概率 P ＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.(12分)(法二)事件“至少射中7环”的对立事件为“射中7环以下”．(7分) ∵射手小张在一次射击中，射中7环以下的概率是0.13，∴由对立事件的概率公式可得，这个射手在一次射击中至少射中7环的概率P ＝1－0.13＝0.87.(12分)3．求简单古典概型的概率(4)(2017全国Ⅱ，5分)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25 答案：D由上表可知，基本事件总数是25，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数为4＋3＋2＋1＝10，则由古典概型的概率计算公式可得，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为P ＝1025＝25，所以选D.(5)(2016全国Ⅰ，5分)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56答案：C解析：(法一)种花时可能产生的结果分别为：(红黄，白紫)，(红白，黄紫)，(红紫，黄白)，(黄白，红紫)，(黄紫，红白)，(白紫，红黄)，共6种等可能的结果，即基本事件总数为6，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的基本事件个数为4，故所求概率为P ＝46＝23.故选C.(法二)和红色花种在同一个花坛里的花有3种情况：紫色花、白色花、黄色花，三者是等可能的，其中红色与紫色的花不种在同一个花坛里有2种情况，故所求概率为23.故选C.(6)(2018江苏，5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．答案：310解析：将2名男生编号为1，2，3名女生编号为3，4，5.选出2名学生参加活动，有 (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个等可能基本事件．记事件“恰好选中2名女生”为事件A ，则事件A 包含(3，4)，(3，5)，(4，5)3个等可能基本事件，所以P (A )＝310.4．古典概型与其他知识点结合(7)(经典题，12分)为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出如图43－8所示的茎叶图，其中x ，y 处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83分，乙同学成绩的平均数是86分．图43－8(Ⅰ)求x 和y 的值；(Ⅱ)现从成绩在[90，100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．答案：(Ⅰ)x ＝3，y ＝1 (Ⅱ)35∵乙同学成绩的平均数是86分，∴17(78＋83＋83＋80＋y ＋90＋91＋96)＝86，∴y ＝1.(5分)(Ⅱ)甲同学成绩在[90，100]之间的试卷有两份，分别记为a 1，a 2；乙同学成绩在 [90，100]之间的试卷有三份，分别记为b 1，b 2，b 3.(6分)“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共有10种等可能的情况．(8分)记“从成绩在[90，100]之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共有6种情况，则P (M )＝610＝35.(12分)(8)(2018北京昌平二模，13分)为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数(AQI)，绘制出如图43－9所示的频率分布直方图：图43－9根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：(留整数)(Ⅱ) 若分别在A ，B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．答案：(Ⅰ)274 (Ⅱ)320解：(Ⅰ)从A 地区选出的20天中，空气质量状况“优良”的频率为 (0.008＋0.007)×50＝0.75，估计A 地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的频率为0.75，所以A 地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274(天)．(4分)(Ⅱ)A 地20天中空气质量指数在[150，200)内的有20×0.003×50＝3天，设为a 1，a 2，a 3；空气质量指数在[200，250)内的有20×0.001×50＝1天，设为a 4. B 地20天中空气质量指数在[150，200)内的有20×0.002×50＝2天，设为b 1，b 2；空气质量指数在[200，250)内的有20×0.003×50＝3天，设为b 3，b 4，b 5.(8分)设“抽到的日子里空气质量等级均为重度污染”为事件C . 满足条件的所有可能的结果为a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 1b 4，a 1b 5，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 2b 4，a 2b 5，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，a 3b 4，a 3b 5，a 4b 1，a 4b 2，a 4b 3，a 4b 4，a 4b 5，共20种， C 包含的基本事件有a 4b 3，a 4b 4，a 4b 5，共3种，所以抽到的日子里空气质量等级均为重度污染的概率为P (C )＝320.(13分)(9)(经典题，5分)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．答案：712≤2，整理得a 2≤b 2. 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有6×6＝36(种)结果．满足a 2≤b 2的数组：当a ＝1时，b ＝1，2，3，4，5，6，共6种结果； 当a ＝2时，b ＝2，3，4，5，6，共5种结果； 当a ＝3时，b ＝3，4，5，6，共4种结果； 当a ＝4时，b ＝4，5，6，共3种结果； 当a ＝5时，b ＝5，6，共2种结果； 当a ＝6时，b ＝6，共1种结果．∴满足a 2≤b 2的数组共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)结果，因此所求的概率P ＝2136＝712.随堂普查练431．(经典题，5分)连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a ，b ，记m ＝a ＋b ，则( )A ．事件“m ＝2”的概率为118B ．事件“m >11”的概率为118C ．事件“m ＝2”与“m ≠3”互为对立事件D ．事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件 答案：D解析：将一枚骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)， (1，3)，…，(6，6)，共36种情况．事件“m ＝2”只有1种情况，为(1，1)，所以所求概率为136，A 错误；事件“m ＞11”只有1种情况，为(6，6)，所以所求概率为136，B 错误；事件“m ＝2”与“m ≠3”可以同时发生，C 错误；若a ＝b ，则m ＝2a ，∴m 是偶数，则事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件，D 正确．故选D.2．(2016天津，5分)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56B.25 C.16 D.13答案：A解析：∵互斥事件“甲、乙两人下成和棋”和“甲获胜”的和事件是“甲不输”，∴根据互斥事件的概率加法公式可知甲不输的概率P ＝12＋13＝56.故选A.3．(经典题，5分)某学校五一放假4天，学校要求每天必须有1名校长值班，该校有正校长1名，副校长2名，正校长主动要求值班2天，若随机为他们排班，则正校长不连续值班的概率为( )A.14B.13C.12D.34答案：C解析：设正校长为a ，两名副校长分别为b ，c . (列举法)对两个a 及b ，c 进行排列，结果有aabc ，aacb ，abac ，abca ，acab ，acba ，baac ，baca ，bcaa ，caba ，caab ，cbaa ，共12种，其中两个a 不相邻的结果有abac ，abca ，acab ，acba ，baca ，caba ，共6种，∴正校长不连续值班的概率为P ＝612＝12.(树形图法)对两个a 及b ，c 进行排列，所有的可能结果用树形图表示如下：即所有可能的结果共12种，其中两个a 不相邻的结果有6种，如图：∴正校长不连续值班的概率为P ＝612＝12.(Ⅱ)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？答案：(Ⅰ)从左到右依次填0.8，0.95，0.88，0.9，0.89，0.91，0.906 (Ⅱ)0.9 解：(Ⅰ)表中击中靶心的频率依次是：810＝0.8，1920＝0.95，4450＝0.88, 90100＝0.9，178200＝0.89，455500＝0.91，9061000＝0.906.(7分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知，射击的次数不同，计算得到的频率值也不同，但随着射击次数的增多，频率值都在常数0.9附近摆动，所以击中靶心的概率约为0.9.(12分)5．(经典题，12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(Ⅰ)若以A 表示和为6的事件，求P (A )； (Ⅱ)这种游戏规则公平吗？说明理由．答案：(Ⅰ)15 (Ⅱ)游戏规则不公平，理由见解答过程解：(Ⅰ)甲、乙两人出手指数的所有情况如下表所示：(4分)由上表可知，所有可能的结果有25种，事件A 包括(5，1)，(4，2)，(3，3)，(2，4)，(1，5)，共5种，所以P (A )＝525＝15.(6分) (Ⅱ)游戏规则不公平．(7分)理由如下：由(Ⅰ)可知，所有可能的结果有25种，事件“和为偶数”包括(1，1)，(3，1)，(5，1)，(2，2)，(4，2)，(1，3)，(3，3)，(5，3)，(2，4)，(4，4)，(1，5)，(3，5)，(5，5)，共13种，事件“和为奇数”共25－13＝12(种)，∴事件“和为偶数”的概率是1325，两人的手指数之和不是奇数就是偶数.事件“和为奇数”的概率是1225.∴甲赢的概率是1325，乙赢的概率是1225.(10分)∵1325>1225，∴甲赢的概率大．因此，游戏规则不公平．(12分) 6．(2015天津，12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．答案：(Ⅰ)3，1，2 (Ⅱ)35解：(Ⅰ)由题意可得抽样比为627＋9＋18＝19，(2分)∴27×19＝3，9×19＝1，18×19＝2，∴应从甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3，1，2.(4分)(Ⅱ)从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)， (A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)， (A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15个；(7分)事件A 包含(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)， (A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共9个基本事件，(10分)∴事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.(12分)。
中学数学第十一章 第5节 古典概型
第5节古典概型最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.知识梳理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n.4.古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数.[微点提醒]概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.()解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，所有可能结果不是有限个，不是古典概型，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.(必修3P133A1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为()A.25 B.415 C.35 D.非以上答案解析从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p＝615＝25.答案 A3.(必修3P134B1改编)某人有4把钥匙，其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________.解析第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为2×24×3＝13；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为2×24×4＝14.答案13144.(2018·全国Ⅱ卷)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3解析2名男同学和3名女同学，共5名同学，从中取出2人，有C25＝10种情况，2人都是女同学的情况有C23＝3种，故选中的2人都是女同学的概率为310＝0.3.答案 D5.(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518 B.49 C.59 D.79解析由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n＝9×8＝72，抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m＝C15C14A22＝40，所以所求概率p＝mn＝4072＝59.答案 C6.(2019·长沙模拟改编)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大122，则口袋中原有小球的个数为________.解析设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n个，依题意n＋12n＋1－n2n＝122，解得n＝5.所以原来口袋中小球共有2n＝10个.答案10考点一基本事件及古典概型的判断【例1】袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为5 11，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为3 11，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.规律方法古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同. (3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识. 【训练1】甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张.(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解(1)设(i，j)表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，∴甲胜的概率p＝512，∵512≠12，∴此游戏不公平.考点二简单的古典概型的概率【例2】(1)(2019·深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )A.12B.14C.13D.16(2)(2019·湖南六校联考)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为________.解析 (1)两名同学分3本不同的书，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.(2)袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，基本事件总数n ＝6×6＝36，取出此2球所得分数之和为3分，包含第一次抽到红球，第二次抽到黄球或者第一次抽到黄球，第二次抽到红球，基本事件个数m ＝2×3＋3×2＝12，所以取出此2球所得分数之和为3分的概率p ＝m n ＝1236＝13.答案 (1)B (2)13规律方法 计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n ；(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率p .【训练2】 (1)(2018·衡阳八中、长郡中学联考)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )A.13B.12C.23D.56(2)(2018·石家庄二模)用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数， 若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，则出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数的概率为________.解析 (1)从四首歌中任选两首共有C 24＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方法有C23＝3种，故所求的概率为p＝36＝12.(2)用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，基本事件总数n＝A55，用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，出现a1<a2<a3>a4>a5的五位数有：12543，13542，23541，34521，24531，14532，共6个，∴出现a1<a2<a3>a4>a5的五位数的概率p＝6A55＝120.答案(1)B(2)1 20考点三古典概型的交汇问题多维探究角度1古典概型与平面向量的交汇【例3－1】设平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为()A.18 B.14 C.13 D.12解析有序数对(m，n)的所有可能情况为4×4＝16个，由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P(A)＝216＝18.答案 A角度2古典概型与解析几何的交汇【例3－2】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________.解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有6×6＝36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足2aa2＋b2≤2，即a≤b的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率为2136＝712.答案7 12角度3古典概型与函数的交汇【例3－3】已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.79 B.13 C.59 D.23解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知f′(x)＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，∴a>b，有序数对(a，b)所有结果为3×3＝9种，其中满足a>b有(1，0)，(2，0)，(3，0)，(2，1)，(3，1)，(3，2)共6种，故所求概率p＝69＝23.答案 D角度4古典概型与统计的交汇【例3－4】(2019·济宁模拟)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.解(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中任意选取2人共有C 25＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C 23＝3种，则至少有一名男生有C 25－C 23＝7种.故至少有一名男生的概率为p ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.规律方法 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定基本事件个数；(4)代入古典概型的概率公式求解.【训练3】 (2019·黄冈质检)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)，B (良好)，C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14＋40＋10＝64人，数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a ，b 的值；(2)已知a ≥7，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率.解 (1)由题意知14n ＝0.07，解得n ＝200，∴14＋a ＋28200×100%＝30%，解得a ＝18， 易知a ＋b ＝30，所以b ＝12.(2)由14＋a ＋28>10＋b ＋34得a >b ＋2，又a ＋b ＝30且a ≥7，b ≥6，则(a ，b )的所有可能结果为(7，23)，(8，22)，(9，21)，…，(24，6)，共18种，而a >b ＋2的可能结果为(17，13)，(18，12)，…，(24，6)，共8种，则所求概率p＝818＝49.[思维升华]1.古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.2.确定基本事件个数的方法列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.[易错防范]1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的.2.对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.23 B.12 C.13 D.16解析从A，B中任意取一个数，共有C12·C13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴p＝26＝13.答案 C2.设m，n∈{0，1，2，3，4}，向量a＝(－1，－2)，b＝(m，n)，则a∥b的概率为()A.225 B.325 C.320 D.15解析 a ∥b ⇒－2m ＝－n ⇒2m ＝n ，所以⎩⎨⎧m ＝0，n ＝0或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝4，因此概率为35×5＝325. 答案 B3.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在平面直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112B.19C.536D.16解析 先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率为336＝112.答案 A4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.16解析 分别用A ，B ，C 表示齐王的上、中、下等马，用a ，b ，c 表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba ，Ca ，Cb 共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13.答案 A5.(2019·周口调研)将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )A.112B.19C.115D.118解析 一个骰子连续掷3次，落地时向上的点数可能出现的组合数为63＝216种.落地时向上的点数依次成等差数列，当向上点数若不同，则为(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)，共有2×6＝12种情况；当向上点数相同，共有6种情况.故落地时向上的点数依次成等差数列的概率为12＋6216＝112. 答案 A 二、填空题6.(2019·武汉模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________.解析 小明输入密码后两位的所有情况有C 14·C 13＝12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112.答案 1127.(2019·河北七校联考)若m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________.解析 m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1，3，11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p ＝36＝12.答案 128.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为p ＝C 24C 24C 24＝16. 答案 16 三、解答题9.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8，8，9，10，故x －＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫8－3542×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116.(2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个.设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个.故P (C )＝416＝14. 10.某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P(B)＝C23C23C46＝35，P(C)＝C33C13C46＝15.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知函数f(x)＝12ax2＋bx＋1，其中a∈{2，4}，b∈{1，3}，从f(x)中随机抽取1个，则它在(－∞，－1]上是减函数的概率为()A.12 B.34 C.16 D.0解析f(x)共有四种等可能基本事件即(a，b)取(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，记事件A为f(x)在(－∞，－1]上是减函数，由条件知f(x)是开口向上的函数，对称轴是x＝－ba≥－1，事件A共有三种(2，1)，(4，1)，(4，3)等可能基本事件，所以P(A)＝3 4.答案 B12.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.34 B.13 C.310 D.25解析6元分成整数元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为410＝25.答案 D13.(2019·江西重点中学盟校联考)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是__________.解析从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总数为n＝C23·C23＝9，从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后，对调后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙的左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙，∴经过两次这样的调换后，甲在乙的左边包含的基本事件个数m＝6，∴经过这样的调换后，甲在乙左边的概率：p＝mn＝69＝23.答案2 314.(2019·太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg的包裹收费10元；质量超过1 kg的包裹，除1 kg收费10元之外，超过1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元.该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：(1)某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？解(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为13.(2)由题目中的天数得出频率，如下：若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为235×5－2×100＝975(元).综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
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2015初中概率知识点-古典概型
学好数学就需要平时的积累。
知识积累越多，掌握越熟练，小编编辑了概率知识点-古典概型，欢迎参考!
1、古典概型的定义
某个试验若具有①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个;②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为上面就是为大家准备的概率知识点-古典概型，希望同学们认真浏览，希望同学们在考试中取得优异成绩。