数学北师大版九年级下册练习题
北师大版九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》同步练习(含答案)
北师版九年级数学下册《30°， 45°， 60°角的三角函数值》同步练习一．选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1. cos30 的°值等于 ()2 3A.2B.2 C．1 D. 32．已知∠ A ＝ 30°，以下判断正确的选项是()1 1A ． sin A ＝2 B． cos A＝2C． tan A＝1D． sin A ＝3 2 23. 计算： tan45 ＋°sin30 ＝°()A ． 22＋ 3 B. 23 1＋ 3C.2D. 24．若一个三角形三个内角度数比为1∶ 2∶ 3，那么这个三角形最小角的正切值为()1 1 3 3A. 3B.2C. 3D. 25. 在△ABC 中，若 tanA ＝1， sinB ＝2，你以为最切实的判断是 ( ) 2A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形6．在△ABC 中，若 |sinA －3 |＋ (1－tanB) 2＝ 0，则∠ C 的度数是 ( ) 2A ． 45° B． 60° C． 75° D． 105 °7．菱形 OABC 在平面直角坐标系中的地点如下图，∠AOC ＝45°，OC＝2，则点 B 的坐标为 ()A ．( 2，1) B．(1， 2) C．( 2＋1， 1) D．(1， 2＋1)1 ＝3， cosA＝2，则△ABC 三个角的大小关系是 ( )8．在△ABC 中，∠ A ，∠ B 都是锐角，tanB 3 2A ．∠ C>∠A>∠B B．∠ B>∠C>∠A C．∠ A> ∠ B>∠C D．∠ C>∠ B>∠ A9. 以下式子错误的选项是()A ． cos40 °＝ sin50 °B ． tan15 ·°tan75 ＝°1C． sin2 25°＋ cos225°＝ 1D ． sin60 ＝°2sin30 °10．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如下图的矩形纸片A 落在 BC 边上的点 E 处，复原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点就能够求出67.5 °角的正切值是() ABCD 沿过点A落在BCB 的直线折叠，使点边上的点 F 处，这样A.3＋ 1B. 2＋1C． 2.5 D. 5二．填空题（共 8 小题， 3*8=24 ）11．在等腰△ABC 中，∠ C＝ 90°，则 tanA ＝ _______.12.已知α为锐角，且知足 3tan( ＋α10°)＝ 1，则α为 _______度．13.如图，某商铺营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 30°， AB 的长为 12 米，则大厅两层之间的高度为________米．14．菱形 OABC 在平面直角坐标系中的地点如下图，∠AOC ＝ 45°， OC＝ 2，则点 B 的坐标为__________ ．15．如图，在等边三角形 ABC 中， D 是 BC 边上一点，延伸 AD 到 E，AE ＝ AC ，∠ BAE 的均分线交△ABC 的高 BF 于点 O，则 tan∠ AEO ＝_______.16．在△ABC 中，∠ A ，∠ B 为锐角，若 sin A －1 2＋3－ tan B ＝ 0，则∠ C 的度数为 ________.2 317. 在 Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90°， AB ＝ 2， BC ＝3，则 sin A ＝________．218．假如 α是锐角，且3，那么 cos(90 °－ α)的值为 __________.sin ＝α5三．解答题 （共 7 小题， 46 分）19． (6 分 ) 计算：(1) 2cos60 ＋°2sin30 ＋°4tan45 ；°(2) sin 260°＋ cos 260°＋ tan60 ° tan30； °20． (6 分 ) 已知 tanA 的值是方程x 2－ (1＋ 3)x ＋ 3＝ 0 的一个根，求锐角 A 的度数．21．(6 分 ) 如图，A ，B 两地之间有一座山， 汽车本来从 A 地到 B 地经过 C 地沿折线 A → C →B 行驶，现开通地道后， 汽车直接沿直线 AB 行驶．已知 AC ＝10 km ，∠ A ＝ 30°，∠ B ＝ 45°，则地道开通后，汽车从 A 地到 B 地比本来少走多少千米？ (结果保存根号 )22．(6 分)得假山坡脚45°，求楼房如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i＝ 1∶3，山坡坡面上 E 点处有一歇息亭，测C 与楼房水平距离BC ＝ 25 米，与亭子距离CE＝ 20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为AB 的高． (注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)23． (6 分 ) 若α为锐角， sin α－cos α＝22，求 sin α＋cos α的值24.(8 分 )如图，为丈量一座山岳CF 的高度，将此山的某侧山坡区分为AB 和 BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB ＝ 800 m， BC＝ 200 m，坡角∠ BAF ＝ 30°，∠ CBE ＝45°.求：(1)AB 段山坡的高度EF；(2)山岳的高度 CF( 2≈，结果精准到 1 m)．25．(8 分 ) 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点 B 的坐标为 (3，0)，OA ＝ 2，∠ AOB ＝60°.(1)求点 A 的坐标；(2)若直线 AB 交 y 轴于点 C，求△AOC 的面积．参照答案：1-5BACCB6-10 CCDDB11. 1 12. 20 13. 614. ( 2＋1，1)3 15.316． 120 °117.2318.51 1 19.解： (1)原式＝ 2× ＋ 2× ＋ 4×1＝ 6223 21 2 ＋ 3× 3 3 1(2) 原式＝ ( 2)＋ (2)3＝ ＋ ＋1＝24 420. 解：方程 x 2－ (1＋ 3)x ＋ 3＝ 0 的两根为 x 1＝ 1，x 2＝ 3，当 tanA ＝ 1 时，∠ A ＝ 45°；当 tanA ＝ 3时，∠ A ＝ 60°21. 解：过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ，在 Rt △ACD 中，∵ AC ＝ 10 km ，∠ A ＝ 30°， ∴ DC ＝ ACsin30°＝ 5(km) ，AD ＝ ACcos30 °＝ 53(km) ．在 Rt △BCD 中，∵∠ B ＝ 45°，∴ BD ＝ CD ＝ 5 km ， BC ＝ 5 2 km ，∵ AC ＋ BC － (AD ＋BD) ＝10＋ 5 2－ (5 3＋ 5)＝ (5＋ 5 2－ 5 3) km.∴汽车从 A 地到 B 地比本来少走(5＋ 5 2－ 5 3)km22. 解：过点 E 作 EF ⊥ BC 的延伸线于点 F ， EH ⊥ AB 于点 H ，在 Rt △CEF ，中，∵ i ＝EF ＝ 1＝ tan ∠ ECF ，∴∠ ECF ＝ 30°，CF313米， BH ＝ EF ＝ 10 米，∴ EF ＝ CE ＝ 10 米， CF ＝ 102HE ＝BF ＝ BC ＋ CF ＝ (25＋ 103)米，在 Rt △AHE 中，∵∠ HAE ＝ 45°，∴ AH ＝ HE＝ (25＋10 3)米，∴AB ＝ AH ＋HB ＝ (35＋ 10 3)米2 23. 解：∵ sin－αcos＝α 2，∴ (sin－αcosα)2＝1 2，即 sin 2α＋ cos2α－2sin1α cos＝α.2∴ 1－1 1 2sin αcos＝α，即 2sin αcos＝α.2 2∴(sin2 2 2 13 ＋αcos α)＝sin α＋cosα＋2sin α cos＝ 1α＋2＝2.又∵α为锐角，∴ sin α＋cos α＞0.∴ sin α＋ cos α＝ 62.24. 解： (1) 如图，作 BH ⊥ AF 于 H.在 Rt△ABH 中，∵ sin∠ BAH ＝BH，AB1∴ BH ＝ 800 sin 30 ＝°800×＝ 400(m) ．2∴ EF＝ BH ＝ 400 m.答： AB 段山坡的高度EF 为 400 m.CE，∴ CE＝ BC·sin∠CBE ＝ 200sin 45 °＝200×2＝ 1002(m)．(2) 在 Rt△CBE 中，∵ sin∠ CBE ＝BC 2 ∴ CF＝ CE＋ EF＝100 2＋ 400≈541(m)．答：山岳的高度CF 约为 541 m.25.解： (1) 过点 A 作 AD ⊥ x 轴，垂足为 D，如下图．在 Rt△OAD 中， sin 60 ＝°AD， cos 60 °＝OD，OA OA∴AD ＝ OA·sin 60 ＝°2×3＝3， 21OD ＝ OA·cos 60 ＝°2×＝ 1.2∴点 A 的坐标是 (1，3)．(2)设直线 AB 对应的函数表达式为 y＝ kx ＋ b. ∵直线 AB 过点 A(1 ，3)和 B(3 ， 0)，k＋ b＝3，∴3k＋ b＝ 0，3k＝－2，解得3 3b＝2 .33 3 ∴直线 AB 对应的函数表达式是 y＝－2 x＋ 2.3 3令 x＝ 0，则 y＝2，∴OC＝323.∴S△AOC ＝1 1 3 3 3 3 2OC·OD＝2×2×1＝4 .。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3-6直线和圆的位置关系关系》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.6直线和圆的位置关系关系》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．任何三角形有且只有一个内切圆C．相等的圆心角所对的弧相等D．正多边形一定是中心对称图形2．如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M 是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分面积为（）A．1+B．1+C．2sin20°+D．3．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，半圆的圆心O在BC上，半圆与AB、AC分别相切于点D、E，则半圆的半径为（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（）A．5B．2C．5或2D．2或﹣1 5．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH ＝30°时，PE+PF的值是（）A．4B．2C．4D．值不确定6．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（）A．∠P AO＝∠PBO＝90°B．OP平分∠APBC．P A＝PB D．∠AOB＝7．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过C作CD⊥AB，垂足为D，若AD＝3，BC＝2，则△ABC的内切圆的面积为（）A．πB．（4﹣2）πC．（）πD．2π8．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（）A．①②④B．③④C．①②③D．①②③④9．如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC＝195°，则∠BAC的大小是（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．如图：P A切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是（）A．∠APO＝∠BPO B．P A＝PBC．AB⊥OP D．C是PO的中点二．填空题11．如图，P A，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB＝60°，OC＝1，则△P AB的周长为．12．如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为．13．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝3，AB ＝4，BC＝6，则△PDC的面积的最小值是．14．已知正方形ABCD边长为2，DE与以AB的中点为圆心的圆相切交BC于点E，求三角形DEC的面积．15．平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，1为半径画圆，平面内任意点P（m，n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+5＝0，过点P作⊙O的切线，切点为A，当P A长最小时，点P 到原点O的距离为．16．如图，I为△ABC的内心，有一直线经过点I且分别与AB、AC相交于点D、点E．若AD＝DE＝5，AE＝6，则点I到BC的距离为．三．解答题17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，圆心在四边形对角线AC上的⊙O与CD边相切于点E．（1）求证：BC是ʘO的切线；（2）若O是AC的中点，点E是CD的中点，∠CAD＝30°，⊙O的半径R＝3，求CD 的长．18．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED 与AB的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．19．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．20．△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O 的切线DF，交AB的延长线于F．（1）求证：DF∥BC；（2）连接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的长．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB 相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长．22．如图，AB、AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝6，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．23．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．参考答案一．选择题1．解：A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意；B．任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意；C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意；D．正多边形一定是轴对称图形，不一定是中心对称图形，故D不符合题意；故选：B．2．解：连接OT、OC，∵PT切⊙O于点T，∴∠OTP＝90°，∵∠P＝20°，∴∠POT＝70°，∵M是OP的中点，∴TM＝OM＝PM，∴∠MTO＝∠POT＝70°，∵OT＝OC，∴∠MTO＝∠OCT＝70°，∴∠TOC＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠COM＝30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH＝OC＝1，S阴影＝S△AOC+S扇形OCB＝+＝1+，故选：A．3．解：连接OE，OD，∵圆O切AC于E，圆O切AB于D，∴∠OEA＝∠ODA＝90°，∵∠A＝90°，∴∠A＝∠ODA＝∠OEA＝90°，∵OE＝OD，∴四边形ADOE是正方形，∴AD＝AE＝OD＝OE，设OE＝AD＝AE＝OD＝R，∵∠A＝90°，∠OEC＝90°，∴OE∥AB，∴△CEO∽△CAB，同理△BDO∽△BAC，∴△CEO∽△ODB，∴＝，即＝，解得：R＝，故选：A．4．解：设直角三角形ABC内切圆的圆心为点I，半径为r，三边上的切点分别为D、E、F，连接ID、IE、IF，得正方形，则正方形的边长即为r，如图所示：当BC为直角边时，AC＝＝10，根据切线长定理，得AD＝AF＝AB﹣BD＝6﹣r，CE＝CF＝BC﹣BE＝8﹣r，∴AF+FC＝AC＝10，即6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2；当BC为斜边时，AC＝＝2，根据切线长定理，得BD＝BF＝6﹣r，CE＝CF＝2﹣r，∴BC＝BF+CF＝6﹣r+2﹣r＝8，解得r＝﹣1．答：这个三角形的内切圆的半径是2或﹣1．故选：D．5．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．故选：A．6．解：∵P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，OP平分∠APB，P A＝PB，则A、B、C正确，不符合题意；∠AOB的度数与的度数相等，D错误，符合题意；故选：D．7．解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，过C作CD⊥AB ∴△ADC∽△CDB∴CD2＝AD•DB∴CD2＝3DBRt△CDB中，CB2＝CD2+DB2∴4＝3DB+DB2解得DB＝1或DB＝﹣4（舍去）∴CB＝2∴AC＝2设△ABC内切圆半径为r，内心为O，连OA、OB、OC由面积法可知S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB∴∴r＝＝∴内切圆半径为π（）2＝（4﹣2）π故选：B．8．解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠OBD，∵∠AOD＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠ABD，∴弧AC＝弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD＝90°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝∠P，∴∠PCD+∠OCD＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD＝∠FEB＝2∠ABC，∴3∠ABC＝90°，∴∠ABC＝30°，已知没有给出∠B＝30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF＝弧AG，∴AG＝CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ＝AG，OZ＝AG，BZ＝BG，∴OZ＝CQ，∵OC＝OB，∠OQC＝∠OZB＝90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ＝BZ＝BG，∴④正确．故选：A．9．解：∵I是△ABC的内心，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠BCA，∵∠DIB+∠EIC＝195°，∴∠DIE+∠BIC＝165°，由折叠过程知∠BAC＝∠DIE，∴∠BAC+∠BIC＝165°∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∴∠IBC+∠ICB＝90°﹣∠BAC，又∵∠BIC+（∠IBC+∠ICB）＝180°，∠BIC+（90°﹣∠BAC）＝180°，∴∠BIC＝90°+∠BAC，∴∠BAC+90°+∠BAC＝165°，∴∠BAC＝50°故选：B．10．解：∵P A、PB是⊙O的切线，切点是A、B，∴P A＝PB，∠BPO＝∠APO，∴选项A、B错误；∵P A＝PB，∠BPO＝∠APO，∴OP⊥AB，∴选项C错误；根据已知不能得出C是PO的中点，故选项D正确；故选：D．二．填空题11．解：∵P A、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，OP平分∠APB，P A＝PB，∵∠APB＝60°，∴△P AB是等边三角形，AB＝2AC，PO⊥AB，∴∠P AB＝60°，∴∠OAC＝∠P AO﹣∠P AB＝90°﹣60°＝30°，∴AO＝2OC，∵OC＝1，∴AO＝2，∴AC＝，∴AB＝2AC＝2，∴△P AB的周长＝6．故答案为：6．12．解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝22+（4﹣x）2，∴x＝2.5，∴CP＝2.5；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝2，PM＝4，在Rt△PBM中，PB＝＝2，∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2．综上所述，CP的长为2.5或4﹣2．故答案是：2.5或4﹣2．13．解：由CD是固定的，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，如图，过P 作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，∴OH＝（AD+BC）＝4.5，过D作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝4，MC＝BC﹣AD＝3，∴CD＝EF＝5，由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF，∴AE+BF＝EF＝5，∴OG＝（AE+BF）＝2.5，∴GH＝OH﹣OG＝4.5﹣2.5＝2，又∵OP＝2，且＝，∴＝，∴PQ＝1.6，∴S△PCD＝PQ•CD＝×1.6×5＝4，故答案为：4．14．解：设∴DE与圆O相切于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAD＝∠OBC＝∠C＝90°，AB＝BC＝AD＝CD＝2，∵OA、OB是圆O的半径，∴DA与圆O相切于点A，EB与圆O相切于点B，∵DE与圆O相切于点F，∴DA＝DF＝2，EB＝EF，设EB＝EF＝x，则EC＝BC﹣EB＝2﹣x，DE＝DF+EF＝2+x，在Rt△DEC中，DC2+CE2＝DE2，∴22+（2﹣x）2＝（2+x）2，解得：x＝，∴EC＝BC﹣EB＝2﹣x＝，∴三角形DEC的面积＝EC•DC＝××2＝1.5，故答案为：1.5．15．解：如图，连接OA，∵m﹣n2+5＝0，∴n2＝m+5，∴n2﹣9＝m+5﹣9＝m﹣4，∴点P的坐标为（m，m﹣4），即点P在直线y＝x﹣4上，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，∴OB＝OC＝4，∴BC＝4，∵P A与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，∵OA＝1，∴当OP最小时，P A最小，当OP⊥BC时，OP最小，此时OP＝BC＝2，答：当P A长最小时，点P到原点O的距离为2．故答案为：2．16．解：根据题意点I在DE上，连接AI，作IG⊥AB于点G，IJ⊥BC于点J，作IH⊥AC 于点H，作DF⊥AE于点F，如右图所示：∵AD＝DE＝5，AE＝6，DF⊥AE，∴AF＝3，∠AFD＝90°，∴DF＝＝＝4，设IH＝x，∵I为△ABC的内心，∴IG＝IJ＝IH＝x，∵S△ADE＝S△ADI+S△AEI，∴＝+，解得x＝，∴IJ＝，即I点到BC的距离是．故答案为：．三．解答题17．（1）证明：连接OE，过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA＝∠DCA，∴OF＝OE，∵OE是⊙O的半径，∴BC是ʘO的切线；（2）解：∵O是AC的中点，点E是CD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE∥AD，∴∠COE＝∠CAD＝30°，在Rt△OCE中，OE＝3，∴CE＝OE tan30°＝3×＝，∴CD＝2CE＝2．18．（1）证明：连接OD，∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠DAO＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵点E是AC的中点，∴EA＝ED＝AC，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EDA+∠ODA＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠F＝30°，BF＝2，∠ODF＝90°，∴OF＝2OD，∴OB+2＝2OD，∵OD＝OB，∴OD＝OB＝2，∵∠DOF＝90°﹣∠F＝60°，∴△DOB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，在Rt△ABC中，AB＝2OB＝4，∴BC＝＝＝8，∵△ABC外接圆的半径＝BC＝4，∴△ABC外接圆的半径为：4．19．（1）证明：如图1，延长DB至H，∵DG∥BC，∴∠CBH＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBH，∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBH+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∴BD与⊙O相切；（2）解：解法一：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF∥BD，∴△EFO∽△EDB，∴，∵AE＝OE，∴，∴＝，∴OF＝4，∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，∴DE＝＝＝6．解法二：如图2，连接OF，∵AE＝OE，∴OA＝OF＝2OE，Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，∴BE＝6，由勾股定理得：DE＝＝＝6．20．（1）证明：连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，∴DF∥BC；（2）解：连接OB，∵，∴∠BOD＝∠BAC，由（1）知OD⊥BC，∴tan∠BOD＝，∵tan∠BAC＝2，∴，设ON＝x，BN＝2x，由勾股定理得：OB＝3x，∴OD＝3x，∴DN＝3x﹣x＝2x，Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，∴，x＝2或﹣2（舍），∴OB＝OD＝3x＝6，Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10．21．解：（1）证明：如图，连接OE，∵NM是BE的垂直平分线，BN＝EN，∴∠B＝∠NEB，∵OA＝OE∴∠A＝∠OEA，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠OEN＝90°，即OE⊥EN，∵OE是半径，∴EN是⊙O的切线；（2）如图，连接ON，设EN长为x，则BN＝EN＝x∵AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，∴CN＝4﹣x，OC＝AC﹣OA＝3﹣1＝2，∴OE2+EN2＝OC2+CN2，∴12+x2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，∴EN＝．连接ED，DB，设AE＝y，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵⊙O的半径为1．∴AD＝2，则DE2＝AD2﹣AE2＝22﹣y2，∵CD＝AC﹣AD＝3﹣2＝1，∴DB2＝CD2+BC2＝17，∵AD为直径，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴DE2+EB2＝DB2，即22﹣y2+（5﹣y）2＝17，解得y＝，∴EN＝，AE＝．22．（1）证明：连接OC，∵P A是半⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴CD＝AD，∴OP是AC的垂直平分线，∴PC＝P A，∵OC＝OA，OP＝OP，∴△OCP≌△OAP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB＝6，∴OA＝OB＝3，∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，∴OD＝OA＝，∴AC＝2AD＝，∴S△AOC＝AC•OD＝，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∴S扇形AOC＝，∴S＝S扇形AOC﹣S△AOC＝．23．（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DF A＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．2．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sin A＝，tan C＝，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3）与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么cosα的值是（）A．3B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．25．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（）A．+1B．﹣1C．D．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．若BD＝9，DC＝5，cos B＝，E为边AC的中点，则cos∠ADE的值为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．6D．8二．填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为．12．已知等腰三角形两条边的长分别是4，6，底角为α，则cosα＝．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为．14．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当n＝2时，则tanα＝；当tanα的值最大时，n的值为．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AC上，∠ABE＝45°，tan∠CBE＝，若AD＝BC，AC＝2，则线段BC的长是．三．解答题16．根据下列条件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9．17．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin∠AOB＝，点A的坐标为（，0）．（1）求点B的坐标；（2）求sin∠OAB的值．18．如图，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°，∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，过B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，AC＝30，sin B＝，求：（1）线段CD的长．（2）cos∠BDE的值．20．如图（1），在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，以下是某同学推理证明的过程：证明：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴根据你掌握的三角函数知识，请在图（2）中的锐角△ABC中，求证：．参考答案一．选择题1．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∴sin A＝＝＝，∴AB＝3，∴AC＝＝＝．故选：A．2．解：∵sin A＝，∴∠A＝60°，∵tan C＝，∴∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．∴△ABC是等边三角形．故选：C．3．解：如图，过P点作P A⊥x轴于A，则∠POA＝α，∵点P的坐标为（1，3），∴OA＝1，P A＝3，∴tan∠POA＝＝＝3，即tanα＝3．故选：D．4．解：∵∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝，∴AB＝BC＝×＝2，∴AC＝＝＝＝．故选：C．5．解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．6．解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tan B＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选：C．7．解：如图：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，∴∠BAD＝∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝1+，在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．8．解：∵AD⊥BC，BD＝9，cos B＝，∴AB＝＝15，AD＝＝12，∵DC＝5，∴AC＝＝13，∵E为边AC的中点，∴ED＝，∴∠EDA＝∠DAE，∴cos∠EDA＝cos∠DAE＝，故选：D．9．解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，∴AD＝，∴tan∠BAD＝．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴tan∠BDE＝tan∠BAD＝，故选：C．10．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4，∵AB＝4，∴BE＝AB+AE＝8，∴BC＝＝＝4，故选：B．二．填空题11．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝，故答案为：．12．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝4，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝3，在Rt△ABD中，cos B＝＝，当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝6，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝2，在Rt△ABD中，cos B＝＝＝，综上所述：cosα＝或，故答案为：或．13．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故答案为：2．14．解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，如图所示：则∠AMC＝90°，∠ANB＝90°，∵直线y＝﹣2与x轴平行，∴∠ABN＝α，∠CGB＝90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∵∠AMC＝∠CGB＝90°，∴△AMC∽△CGB，∴，设BG＝m，∵点A坐标为（4，3），点C坐标为（0，n），∴AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∴＝，当n＝2时，可得，解得m＝1，∴GB＝1，BN＝3，∴tanα＝＝；∵tanα＝，当BN最小，即BG最大时，tanα最大，∵＝，∴m＝﹣（n﹣3）（n+2）＝﹣（n﹣）2+，∵﹣＜0，∴当n＝时，m取得最大值，即tanα最大，故答案为：，．15．解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，设AD与BF交于点G，∵∠ABE＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝BF，∵∠GDB＝∠AFG＝90°，∠BGD＝∠AGE，∴∠GBD＝∠F AG，∴tan∠GBD＝tan∠F AG，∴＝＝，设DG＝x，则BD＝2x，∴BG＝＝x，设FG＝a，则AF＝2a，∴BF＝AF＝2a，AG＝＝a，∴BG＝BF﹣FG＝a，∴a＝x，∴AD＝AG+DG＝a+x＝6x，∵DC＝BC﹣BD＝AD﹣BD＝a+x﹣2x＝a﹣x＝4x，在Rt△ADC中，根据勾股定理得AD2+DC2＝AC2，∴（6x）2+（4x）2＝（2）2，∴x＝1（负值舍去），∴BC＝AD＝6x＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∴a＝b＝12，∴∠B＝30°，b＝4，a＝12；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，c＝2a＝6，∴∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6．17．解：（1）过点B作BC⊥OA于点C，在Rt△BOC中，OB＝4，sin∠AOB＝，∴BC＝OB•sin∠AOB＝4×＝3，∴，∴点B的坐标为（，3）；（2）∵点A的坐标为（，0），∴OA＝，∴AC＝OA﹣OC＝＝，∵∠ACB＝90°，∴，∴，∴sin∠OAB的值为．18．解：如图，设CE交BD于G．∵∠A＝∠A＝90°，∠ADC＝∠ABD，∴△ADC∽△ABD，∴，，解得AD＝5，∴DC＝＝，DB＝＝，∵∠A＝∠ECD＝∠CBE＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ECB，设∠DBA＝∠CDA＝α，则∠ECB＝α，∴∠GCB＝∠GBC＝α，∴CG＝GB，设CG＝GB＝x，∴DG＝﹣x，∴（）2+x2＝（﹣x）2，解得x＝，∴tan∠CDB＝＝．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝30，sin B＝＝，∴AB＝50，∵D为直角三角形ABC斜边上的中点，∴CD＝AB＝25；（2）∵AB＝50，D为AB的中点，∴AD＝BD＝25，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝40，由勾股定理得：BE2＝BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2，即252﹣DE2＝402﹣（25+DE）2，解得：DE＝7，∴cos∠BDE＝＝．20．解：过C点作CD⊥AB于D，过B点作BE⊥AC于E，∴sin A＝，sin B＝，∴CD＝b sin∠A＝a sin B，∴，同理，∴．。
圆内接正多边形练习北师大版九年级数学下册
3.8圆内接正多边形练习一、填空题1．正六边形的中心角等于度．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若AB＝2 ．3．如图，在圆内画正六边形、正五边形，则∠ABC＝．4．如图，正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、GH上，如果AB＝4 ．二、选择题5．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O（）cm2．（结果保留π）A．B．C．D．6．如图，正六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接六边形，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．7．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 8．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则（）A．B．C．D．29．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，则△ABC是直角三角形的个数有（）A．4个B．6个C．8个D．10个10．先作半径为的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，…，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（）A．B．C．D．11．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10（）A．40 B．50 C．60 D．80 12．如图，正六边形的顶点在矩形的各条边上，若阴影部分的面积为3（）A．B．6 C．9 D．12 13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A（）A．30°B．40°C．45°D．60°14．正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（）A．1 B．C．D．2 15．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，则∠ADB的度数为（）A．45°B．25°C．22.5°D．20°16．如图，正五边形ABCDE的边长为2，连接AC、AD、BE，连接DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝cm，求⊙O的半径．18．如图是由边长为2的六个等边三角形组成的正六边形，建立适当的直角坐标系，写出正六边形各顶点的坐标．19．如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．20．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)
直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。
北师大版九年级数学下册第一章《解直角三角形》课时练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第一章《4.解直角三角形》课时练习题（含答案）一、单选题1．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（）A．2(31)+ +B．3(31)+C．4(31)+D．5(31)2．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2）B．（23，﹣4）或（﹣23，4）C．（﹣23，2）或（23，﹣2）D．（2，﹣23）或（﹣2，23）3．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为()A．123B．12 C．243D．4834．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，如果tan∠DBA=1，那么AD的长为（）5A．1 B．2 C．2D．225．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是（）A．15 B．18 C．20 D．226．如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为（ ）A ．100mB ．1002mC ．1003mD ．2003m 3 7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．(1,0)C ．22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(0,1)-8．如图，在BAC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC =，将BAC 绕点A 顺时针旋转至DAE ，点D 刚好落在BC 直线上，则BDE △的面积为（ ）A ．24BD B ．22BC C ．4BC BD ⋅ D ．22AB二、填空题9．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M的位置变化时，DF 长的最大值为________．10．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，AB ＝10，D 是AC 的中点，则BD ＝______．11．如图，已知四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC =∠DAC =90°，14tan ,23BO ACB OD ∠==，则ABDCBD S S =___．12．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A ，B ，C 均为正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β，则tan β的值是______．13．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =43P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为____．14．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为_____，线段DH 长度的最小值为_____．三、解答题15．如图，菱形ABCD 中，120D ∠=︒，F 是AD 中点，连接BF ，BE DC ⊥，垂足是E ．（1）求证：BF BE =；（2）若23BF =BEDF 的面积．16．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝5，cosC ＝35，AD 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；（2）求△ABC 的面积．17．如图，在ABC 中，390,tan ,3C A ABC ∠==∠的平分线BD 交AC 于点.3D CD =．求AB 的长？18．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东30°方向，距离灯塔120海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东45°方向上的B 处．(1)问B 处距离灯塔P 有多远？（结果精确到0.1海里）(2)假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB 上，距离灯塔150海里的点O 处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．①请判断海轮到达B 处是否有触礁的危险？并说明理由．②如果海轮从B 处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．2 1.4≈3 1.7≈）参考答案1．B2．C3．A4．B5．A6．A7．A8．A 9．33633-10．21311．3 3212．1931513．214．3213﹣215．（1）证明：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，∴AB=CB=CD=AD，∠A=∠C=60°，∵F是AD中点，BE⊥DC，∴△ABD、△CBD是等边三角形，∵F是AD中点，BE⊥DC，∴BF⊥AD，∴∠AFB=∠CEB =90°，∵∠A=∠C，AB=CB，∴△ABF≌△CBE（AAS），∴BF=BE；（2）由（1）得△ABF是直角三角形，∠A=60°，∵BF=3sin60°3∴AB=CB=CD=AD=4，AF=12AB=2，∴ABCD =234S菱形=83ABF CEB1S=S=2232⨯⨯△△=23∴四边形BEDF 的面积=ABF CEB ABCD S S S --△△菱形16．解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°．在Rt △ACD 中，AC ＝5，cosC ＝35， ∴CD ＝AC•cosC ＝3，∴AD4．（2）∵∠B ＝45°，∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝90°﹣∠B ＝45°， ∴∠B ＝∠BAD ，∴BD ＝AD ＝4，∴S △ABC ＝12AD•BC ＝12×4×（4+3）＝14．17．解：在Rt ABC 中，90,C tanA ∠== 30,60,A ABC ∴∠=∠= BD 是ABC ∠的平分线，30,CBD ABD ∴∠=∠=︒ 又3,CD =330CD BC tan ∴==， 在Rt ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A ， 630BC AB sin ∴==︒． 故答案为：6．18．（1）解：过点P 作PD AB ⊥交于点D ． 由题意可知，120PA =海里，903060APD ∠=︒-︒=︒，45BPD ∠=︒． 906030A ∴∠=︒-︒=︒．1602PD PA ∴==（海里）， 在Rt PBD 中，45BPD ∠=︒，PBD ∴∆是等腰直角三角形， 2602PB PD ∴==（海里）84.8≈（海里）． 答：B 处距离灯塔P 约84海里． （2）解：①海轮到达B 处没有触礁的危险，理由如下： 由题意知：150OP =海里，602PB =海里， (150602)OB OP PB ∴=-=-海里65≈海里50>海里， ∴海轮到达B 处没有触礁的危险． ②过点O 作OE AB ⊥交于E ，交AB 延长线于点E ，则90OEB ∠=︒， 45OBE PBD ∠=∠=︒， sin OE OB OBE ∴=∠ 2(150602)=-752604650=≈<， ∴海轮从B 处继续向正北方向航行，有触礁的危险．。
北师大版九年级数学下册商品利润最大问题同步练习题
2.4 二次函数与一元二次方程第2课时 商品利润最大问题1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。
若每件商品的售价为x 元，则可卖处(350-10x)件商品。
商品所获得的利润y 元与售价x 的函数关系为（ ）A 、2105607350y x x =--+B 、2105607350y x x =-+-C 、210350y x x =-+D 、2103507350y x x =-+-2.某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其定价应定为（ ）A 、130元B 、120元C 、110元D 、100元 3.已知卖出盒饭的盒数x （盒）与所获利润y （元）满足关系式：21200357600y x x =-+-，则卖出盒饭数量为 盒时，获得最大利润为 元。
4.某旅馆有30个房间供旅客住宿。
据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。
该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。
当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？5.最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。
某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。
经市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售量x （元）有如下的关系：w=-2x+80。
设这种产品每天的销售利润为y （元）。
（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？6.与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。
经调查分析，该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间满足函数关系式2=-++，已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合题训练
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合压轴题专项训练试题1、如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?2、如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D 是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sin B的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F.求支架DE的长．3、如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．4、小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图∶)，图∶是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O ，B ，D 两点立于地面，经测量：AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ，OE ＝OF ＝34 cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF ＝32 cm (参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．(1)求证：AC ∶BD .(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角∶OEF 的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122 cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．5、如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的点B 处安置测角仪，在点A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长(结果保留根号)．6、如图，两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ，AOC ∠为36°，指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：sin360.59cos360.81tan360.73===°，°，°．】7、在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，如图1—136(1)所示，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为锐角θ，一般情况下，锐角θ愈小，楼梯的安全程度愈高，但占地面积较多，如图l—136(2)所示，为提高安全程度，把倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m，θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(精确到0.01 m，参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°≈0.8090，tan 36°≈0.7265，sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0.8391)8、在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，如图1—137所示，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在从与B地水平距离相距(BD＝21米)21米远的建筑物CD的顶端C点测得A点的仰角为45°，B点的俯角为30°，现在离B点25米远的地方有一受保护的文物，则该文物是否在危险区内?试说明理由．，精确到0.01米)9、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1，在∶ABC中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad 60°＝____________；(2)对于0°＜∶A ＜180°，∶A 的正对值sadA 的取值范围是____________；(3)如图2，已知sinA ＝35，其中∶A 为锐角，试求sadA 的值． 10、根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M 距离羲皇大道l (直线)的距离MN 为30米(如图8所示)．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用时间为6秒，∠AMN ＝60°，∠BMN ＝45°.(1)计算AB 的长；(2)通过计算判断此车是否超速．11、如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向(北偏西30°)以v km /h 的速度驶离港口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．12、如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设想过C 点作直线AB 的垂线l ，过点B 作一直线(在山的旁边经过)，与l 相交于D 点，经测量∶ABD ＝135°，BD ＝800米，求直线l 上距离D 点多远的C 处开挖？(2≈1.414，结果精确到1米)13、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处（即 ∠，CD =400米），测得A 的仰角为，求山的高度AB ．14、如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ，B 两船相距1003+1）海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．（1）分别求出A 与C ，A 与D 间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在23≈1.73）6015、如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i＝1∶，且AB＝30 m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5 m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，已知地面BC宽30 m，求高压电线杆CD的高度．(结果保留三位有效数字，≈1.732)16、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值)．17、如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BP Q的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m)．(参考数据：≈1.7，≈1.4)18、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)．建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)．无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处的俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长度．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)。
北师大版九年级下册数学《二次函数的运用》同步练习(含答案)
二次函数的运用一 、填空题（本大题共2小题）1.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为2.某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年二 、解答题（本大题共14小题）3.小强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线21855y x x =-+，其中()y m 是球的飞行高度，()x m 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．4.某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应地减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费为多少元？5.某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系502600=-+，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成y x（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多6.矩形ABCD中，8cm6cm，．动点E从点C开始沿边CB向点B以AD AB==2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y (单位：2cm)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）7.足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度()x s的函数图象（不考虑空气的阻力），已知y m关于飞行时间()足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．（1）求y关于x的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为 2.44m （如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？8.有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．如图把它的截面边缘的图形放在所示的直角坐标系中．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；（3）如图，在对称轴右边2m处，桥洞离水面的高是多少？9.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的计算》课时练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第一章《3.三角函数的计算》课时练习题（含答案）一、单选题1．cos30︒的值等于（ ）A ．22B ．32C ．1D ．3 2．计算8|2|cos 45+-⨯︒的结果，正确的是（ ）A ．2B ．32C ．223+D ．222+ 3．在△ABC 中，∠A 和∠C 都是锐角，且3sin 2A =，tan 3C =，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6cm ，则BC 的长度为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm 5．如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD ：AB ＝3：2，CP ：BP ＝1：2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ；②2BF ＝PB •EF ；③PF •EF ＝22AD ；④EF •EP ＝4AO •PO ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④6．下列各式中不成立的是（ ）A ．22sin 60sin 301︒+︒=B ．tan 45tan30︒>︒C ．tan45sin45>︒︒D ．sin30cos301︒+︒=7．在ABC ∆中，A ∠、B ∠都小于60︒，且()3sin 2A B +=，则C ∠的大小是（ ） A ．120︒ B ．90︒ C ．60︒ D ．30︒8．已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则α∠= （ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒二、填空题9．计算：|28-|﹣2sin30°﹣(π﹣3)0=____．10．计算：(4−π)0−∣−3∣+2cos45°=______________．11．计算：tan60°﹣cos30°=_____．12．计算：220(1)2cos 602(2022)π++--︒﹣﹣的值是______． 13．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2,120AB DAB =∠=︒．如图，建立平面直角坐标系xOy ，使得边AB 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是_________．三、解答题14．计算：(1)24sin 602cos452tan45︒︒-︒ ；(2)()10112cos301252π-⎛⎫-︒--- ⎪⎝⎭ ．15．计算：(1)22cos302sin60cos45︒-︒︒()101tan45 3.144cos453π-⎛⎫︒---︒+- ⎪⎝⎭16．（1）计算：()3π12 1.572-⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221111202220221x x xx x x++-⎛⎫÷-+⎪---⎝⎭，其中cos60x=︒．17．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式。
北师大版九年级数学下册课时同步练习-23刹车距离与二次函数附答案
1.喜子的商铺距离学校的直线距离为80米，喜子用原来的速度开车去学校需要12秒，如果她想在10秒钟内到达学校，需要提高速度到多少米/秒？答案：首先计算出原来的速度。
由题意可知，刹车距离s为二次函数，设刹车距离函数为s(t)=at^2+bt+c，其中t为时间，s为刹车距离。
已知：s(12)=80代入t=12：a(12^2)+b(12)+c=80144a+12b+c=80又已知：刹车距离与时间的关系为s(t)=t^2代入s(10)=80：a(10^2)+b(10)+c=100100a+10b+c=100再代入刹车距离与时间的关系为s(t)=t^2，可得a+b+c=0可以得到三个方程：144a+12b+c=80100a+10b+c=100a+b+c=0解这个方程组可得：a=-0.8，b=8，c=-7.2那么喜子在10秒钟内到达学校时，需要的速度v为：v=10^2=100m/s2.喜子的商铺距离学校的直线距离为80米，喜子以vm/s的速度开车去学校，她用时间t到达学校，刹车距离为s(t)。
如果刹车距离等于直线距离80米，求v和t的关系。
答案：刹车距离s(t)为二次函数，设刹车距离函数为s(t) = at^2 + bt + c，其中t为时间，s为刹车距离。
已知：刹车距离为直线距离80米，即s(t)=80，代入得80 = at^2 + bt + c根据题意可知，喜子的商铺距离学校的直线距离为80米，喜子以vm/s的速度开车去学校，她用时间t到达学校，即t=80/v。
代入得80=a(80/v)^2+b(80/v)+c再代入刹车距离与时间的关系为s(t)=t^2，可得80=a(t)^2+b(t)+c可以得到这个方程：a(t)^2+b(t)+c=80解这个方程可得刹车距离与速度的关系，即v和t的关系。
注意：题中没有给出刹车距离与速度的具体关系，所以无法直接求解v和t的关系。
可以通过给定速度或时间的值，求出另一个变量。
北师大版九年级数学下册全册同步练习含答案
北师大版初中数学九年级下册全册同步练习1.1锐角三角函数一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，则下列结论正确的是( )A． sin A=53B．cos A=23C．sin A=23D．tan A=522．如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为 ( )A．35B．45C．43D．343．如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝35，AB＝4，则AD的长为 ( )A．3 B．16 3C. 203D．165二、填空题4．如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝34，则梯子AB的长度为米．5．若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .6．如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．三、计算与解答题7．如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =163，求sin A，cos A，tan A的值．8．如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝35．(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．9．请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．参考答案 1．C[提示：sinA=BCAB．] 2．D[提示：过A 点作垂线交底部于C 点，则△ACB 为直角三角形，∴BC ＝2222106AB AC -=-＝8(m)，∴tan a ＝68＝34．故选D ．]3．B[提示：∠ADE 和∠EDC 互余，∴cos a ＝sin ∠EDC ＝35，sin ∠EDC ＝3,45EC EC DC ==∴EC =125.由勾股定理，得DE ＝165．在Rt △AED 中，cos a ＝16355DE AD AD ==,∴AD＝163．故选B ．] 4．4[提示：在Rt △BCA 中，AC ＝3米，cos ∠BAC ＝34AC AB =，所以AB ＝4米，即梯子的长度为4米．]5．48°[提示：∵sin 2a ＋cos 2a ＝l ，∴a ＝48°．] 6．提示：sin A ＝13，cos A ＝223，tan A =24.7．解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△CBD ，∴CD 2＝AD ·DB ＝16，∴CD =4，∴AC =22203AD CD +=．∴sin A ==35CD AC =，cos A ＝45AD AC =，tan A =34CD AD =. 8．解：(1)如图l －27所示，作BH ⊥OA ， 垂足为H ．在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH =3，∴OH ＝4，∴点B 的坐标为(4，3)． (2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6．在Rt △AHB 中，∵BH =3，∴AB ＝22223635BH AH +=+=，∴cos ∠BAO=635AH AB == 255． 9．解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AD ＝BC ，∴BD ＝12B C = 12AD ，即AD ＝2BD ，∴AB ＝225BD AD +=BD ，∴tan ∠ABC=ADBD=2,sin ∠ABC=AD AB =255 (2)作BE ⊥AC 于E ，在Rt △BEC 中，sinC=sin ∠ABC=255.又∵sin C=,BEBC.5BE故BE=.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值一．选择题：1.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A2.若0°＜＜90°，且|sin －41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（ ）A ．3B ．33 C ．21 D ．233．如图1—37所示，在△ABC 中，∠A =30°，tan B ＝32，AC ＝23，则AB 的长是 ( ) A ．3＋3 B ．2＋23 C. 5 D ．924．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是( ) A ．32a B ．a C.12a D ．12a 或32a 二、选择题5．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝2，则tan2B= ． 6．若a 为锐角，且sin a =22,则cos a = ． 7．在Rt △ACB 中，若∠C ＝90°，sin A ＝32,b ＋c ＝6，则b = ． 8．(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝21，则 cos B ＝________； (2)已知为锐角，且cos(90°－)＝21，则 ＝________；(3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角 ＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－12.(2) 2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt △ACB 中，∠BCA ＝90°，CD 是斜边上的高，∠ACD ＝30°，AD ＝1，求AC ，CD ，BC ，BD ，AB 的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A ，B 两处观测工厂C ，测得∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，则A ，B 两处到工厂C 的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝53,若关于x的方程(53＋b)x2＋2ax＋(53－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案 1． D ； 2 。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册3
3.9 弧长及扇形的面积（练习题）-北师大版九年级下册一．选择题1．如图，以等边三角形ABC的一边AB为直径的半圆O交AC边于点D，交BC边于点E．若AB＝4（）A．2B．2πC．D．4π2．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为3，则勒洛三角形的周长为（）A．B．3πC．D．3．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．4．如图，在⊙O中，AO＝，则的长度为（）A．6πB．9πC．2πD．3π5．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣1D．π+16．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，BC＝2，则的长为（）A．B．C．D．7．已知扇形A与扇形B的面积相等，且扇形A的半径是扇形B的半径的2倍，那么扇形A 的圆心角是扇形B的圆心角的（）A．4倍B．2倍C．D．8．如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，OB交于点D，若⊙O的半径是2（）A．2πB．6πC．πD．π9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．10．【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，只需把弓形BC割下来，补在弓形AC处阴影＝S△ACD．【拓展应用】如图2，以AB为直径作半圆O，C为，连接BC，以OB为直径作半圆P，则图中阴影部分的面积为（）A．π+2B．π+1C．2π﹣1D．2π+1二．填空题11．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是．12．若一个扇形的半径是3cm，所对圆心角为90°，则这个扇形的面积是cm2．13．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了．14．一个扇形的半径为6厘米，圆心角为60°，那么扇形的弧长为厘米．15．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓米，“弓”所在的圆的半径约0.75米，则“弓”所对的圆心角为度．三．解答题16．弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度．（π≈3.14，单位：cm，精确到1cm，弯制管道的粗细不计）17．一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为120°，另外两个扇形的圆心角度数的比为3：5．（1）求另外两个扇形的圆心角；（2）若圆的半径是5cm，求圆心角为120°的扇形的面积（结果保留π）．18．如图，直角坐标系中，有一条圆心角为90°的圆弧（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．（1）该圆弧所在圆的圆心M坐标为．（2）求扇形AMC的面积．19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BC，BD，且OF＝1．（1）求BD的长；（2）当∠D＝30°时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，分别交BC、AC于点D、E．（1）若，求弧BE的长；（2）连接DE，求证：BD＝DE．。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的面积是（）A．B．3πC．5πD．12π2．如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，若∠ABD＝15°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°3．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（）A．9B．8C．D．34．如图，⊙O的半径为，AB与CD为⊙O的两条平行弦，∠CDE＝30°，AD＝2，则弦BE的长为（）A．3B．3.5C．D．5．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上．下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．点O是△ABD的内心D．点O是△ABD的外心6．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，4）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y 轴交于A，C两点，则点B的坐标是（）A．（4﹣2，4）B．（4，4﹣）C．（4，4﹣2）D．（4，2﹣3）7．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（）A．1B．C．D．8．正六边形的周长为6，则它的面积为（）A．B．C．D．9．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB 的内切圆半径是（）A．B．5（﹣1）C．5（+1）D．10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE•CD；④AC+BC＝CD，其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题11．点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO＝50°，则∠CAB为°．12．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P 在⊙O的．（填“内部”、“外部”、“上”）13．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF 作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．14．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠P AQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△P AQ；②当∠P AQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△P AQ；③当∠P AQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△P AQ；其中所有正确结论的序号是．15．如图，点A，B，C，D在⊙O上，弧CB＝弧CD，∠CAD＝28°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．16．如图，在⊙B中，弧AC所对的圆心角∠ABC＝50°，点E是弧AC上的动点，以BC、CE为邻边构造平行四边形BCED．当∠A＝°时，线段AD最短．三．解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB 边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直径．18．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE 是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．19．如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．（1）求证：CD是半圆O的切线．（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．20．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD ＝126°，求∠AGB的度数．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，以BD为直径的⊙O交AB 于点E，交AD的延长线于点F，连结EF，BF．（1）求证：EF＝BF．（2）若CD：BD＝1：3，AC＝2，求EF的长．22．如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P 与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积；（4）求OA的长．（结果保留π）23．如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA．连接OC，过点A作AD ⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N．若AD＝12，求MN的长．参考答案一．选择题1．解：S扇形＝＝12π，故选：D．2．解：∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝15°，∴∠ADC＝90°﹣15°＝75°，故选：C．3．解：连接AC，OC，∵CD⊥OA，垂足为D，BC＝，∴∠ADC＝∠ODC＝90°，CD＝BC＝，∵AC＝3，∴AD＝，∵OA＝OC，∴OD＝OC﹣AD＝OC﹣1，在Rt△OCD中，OC2＝CD2+OD2，即OC2＝（）2+（OC﹣1）2，解得OC＝，即⊙O的半径长为，故选：C．4．解：∵AB∥CD，连接OC，OE，BC、CE，∵∠CDE＝30°，∴∠COE＝60°，∠CBE＝∠CDE＝30°，∴△OCE是等边三角形，∴CE＝，过点C作CH⊥BE交BE于点H，在Rt△BCH中，CH＝＝1，BH＝，在Rt△CEH中，，∴．故选：D．5．解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．可知：点O到点A，B，D的三点的距离相等，所以点O是△ABD的外心，故选：D．6．解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，BC，则MD⊥x轴，∵点M的坐标为（2，4），∴CE＝BE＝2，BM＝DM＝4，∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，∴BC∥x轴，∴BC＝2CE＝4，在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，∴DE＝MD﹣ME＝4﹣，∴点B的坐标为（4，4﹣），故选：C．7．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OM⊥AD，垂足为M，由圆的对称性可知，点A、点D是⊙O的三等分点，四边形BCFE是正方形，∴∠AOD＝×360°＝120°，∠BOC＝×360°＝90°，在Rt△AOM中，OA＝2，∠AOM＝60°，∴OM＝OA＝1，AM＝OA＝，在Rt△BOM中，∠BOM＝45°，OM＝1，∴BM＝OM＝1，∴AB＝AM﹣BM＝﹣1，∴8个阴影三角形的面积和为：×（﹣1）（﹣1）×8＝16﹣8，故选：C．8．解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠BOC＝×360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∵正六边形ABCDEF的周长为6，∴BC＝6÷6＝1，∴OB＝BC＝1，∴BM＝BC＝，在Rt△BOM中，OM＝＝＝，∴S△OBC＝BC•OM＝×1×＝，∴该六边形的面积为：×6＝．故选：D．9．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝＝8（cm），∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∵∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AD2，∴AD2+AD2＝102，∴AD＝5cm，∴AD＝BD＝5cm；∴△ABD等腰直角三角形，设△ABD内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为rcm，得正方形DGIE，∴AE＝AF＝BG＝BF＝AD﹣DE＝5﹣r，∴5﹣r+5﹣r＝10，解得r＝5（﹣1）cm，∴△ADB的内切圆半径是5（﹣1）cm．故选：B．10．解：如图，延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，故①正确；∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；∴＝，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADC＝∠EDA，∴△ADC∽△EDA，∴＝，∴AD2＝DE•CD，故③正确；∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠F AD＝∠DBC，在△F AD和△DBC中，，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，∵∠ADC+∠BDC＝90°，∴∠ADC+∠ADF＝90°，∴∠FDC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CF＝CD，∴AC+AF＝AC+BC＝CD，故④正确．∴正确的结论是①②③④．故选：A．二．填空题11．解：如图1，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠CPO＝50°，∴∠OCP＝40°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝∠OCP＝20°；如图2，∠CBA＝20°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝70°．综合以上可得∠CAB为20°或70°．故答案为：20或70．12．解：解方程x2﹣4x﹣5＝0，得x＝5或﹣1，∵d＞0，∴d＝5，∵⊙O的半径为4，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故答案为：外部．13．解：延长FO交AD于点J，设AE＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝∠A＝∠B＝90°，AD∥CB，AD＝BC，∵OF⊥BC，∴FJ⊥AD，∴∠AJF＝∠FJD＝90°，∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩形，∴AB＝FJ＝CD，CF＝DJ＝3，∵OJ⊥DB′，∴DJ＝JB′＝3，∴AD＝BC＝3+3+3＝9，∴BF＝BC﹣CF＝6，由翻折的性质可知，FB＝FB′＝6，∴FJ＝＝＝3，∴AB＝JF＝3，在Rt△AEB′中，则有x2+32＝（3﹣x）2，∴x＝，∴AE＝．故答案为：．14．解：①当∠P AQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△P AQ的形状不能唯一确定，故①错误；②当∠P AQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△P AQ，故②正确；③当∠P AQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△P AQ，故③正确；故答案为：②③．15．解：∵＝，∠CAD＝28°，∴∠CAD＝∠CAB＝28°，∴∠DBC＝∠DAC＝28°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠ABD＝180°﹣50°﹣28°﹣28°＝74°．故答案为：74°．16．解：如图，延长CB交⊙B于点F，连接BE，AF，DF．∵四边形BCED是矩形，∴BC＝DE，BC∥DE，∴BF＝BC＝DE，BF∥DE，∴四边形BEDFF是平行四边形，∴FD＝BE＝定值，∴点的运动轨迹是以F为圆心，FB长为半径的圆，∵AD≥AF﹣DF，AF，DF是定值，∴当A，D，F共线时，AD最短，此时∠BAD＝∠AFB＝∠ABC＝25°，故答案为：25．三．解答题17．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由：连接DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；（2）由（1）得，∠CDB＝90°，∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝10，∴BD＝＝＝8，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴，∴，∴⊙O直径的长为．18．解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE＝AC＝8，DE∥AB，∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG＝EF＝4，∴AG＝5﹣4＝1，在Rt△OEG中，EG＝，在Rt△AGE中，AE＝．19．（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE＝OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB＝90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO＝90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD＝BF＝20，DF＝AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE＝AD＝20，EC＝BC，∵CD＝50，∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，∴BC＝30，∴CF＝BC﹣BF＝10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝＝＝20，∴AB＝DF＝20，∴BC的长为30，AB的长为20．20．解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．所以∠AGB的度数为108°．21．（1）证明：连接DE，如图，∵BD为直径，∴∠DBF＝∠DEB＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠ABF＝90°，∴∠4＝∠ABF，∵∠4＝∠5，∠5＝∠6，∴∠6＝∠ABF，∴EF＝BF；（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∵CD：BD＝1：3，∴DE：BD＝1：3，∵∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝＝3，∴AB＝3AC＝3×2＝6，∴BC＝＝＝8，∴CD＝BC＝2，∴AD＝＝2，∵∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，∴△ACD∽△AFB，∴＝，即＝，∴BF＝2，∴EF＝2．22．解：（1）∵⊙P的直径MN＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅲ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2；（3）由弧长公式可得，点N所经过路径长为＝2π，∵S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，∴半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π；（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，∴OA的长为：π+4+π＝π+4．23．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD⊥OC，∴∠AEC＝90°，∴∠ADB＝∠AEC，∵CA是⊙O的切线，∴∠CAO＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△ACE和△BAD中，，∴△ACE≌△BAD（AAS）；（2）解：连接AM，如图，∵AD⊥OC，AD＝12，∴AE＝DE＝AD＝6，∵△ACE≌△BAD，∴BD＝AE＝6，CE＝AD＝12，在Rr△ABD中，AB＝＝6，在Rt△ABC中，BC＝＝6，∵∠CEN＝∠BDN＝90°，∠CNE＝∠BND，∴△CEN∽△BDN，∴＝＝2，∴BN＝BC＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，即AM⊥CB，∵CA＝BA，∠CAB＝90°，∴BM＝BC＝3，∴MN＝BM﹣BN＝．。
北师大版九年级数学下册第三章《圆》3
北师大版九年级数学下册第三章《圆》3.1同步练习题（含答案）一、选择题1、已知⊙O 与点P 在同一平面内，若⊙O 的半径为5，线段OP 的长为4，则点P( ) A ．在⊙O 上 B ．在⊙O 内C ．在⊙O 外D ．在⊙O 上或在⊙O 内 2、下列说法错误的是( ) A ．圆有无数条直径B ．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C ．过圆心的线段是直径D ．能够重合的圆叫做等圆 3、下列说法正确的是( ) A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C ．在同圆中，相等的弦所对的弧相等D ．相等的弦所对的圆心角相等4、如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，AE ︵＝BD ︵.若∠AOE ＝32°，则∠COE 的度数是( ) A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°5、如图，在⊙O 中，AC ︵＝2AB ︵，则以下数量关系正确的是( ) A ．AB ＝ACB ．AC ＝2ABC ．AC ＜2ABD ．AC ＞2AB6、如图，已知AD ︵＝BC ︵，则AB 与CD 的关系为( ) A ．AB ＝CDB ．AB>CDC ．AB<CD D ．不能确定7、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝35，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP.如果⊙P 是以点P 为圆心、PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A ．点B ，C 均在⊙P 外B ．点B 在⊙P 外，点C 在⊙P 内C ．点B 在⊙P 内，点C 在⊙P 外D ．点B ，C 均在⊙P 内二、填空题8、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆．若要求另外三个顶点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是____；9、已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB.如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是____．10、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE.若弦BE ＝3，则弦CE ＝____．11、如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是____12、如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，则∠A 的度数是____13、如图，AB 为⊙O 的直径，△PAB 的边PA ，PB 与⊙O 的交点分别为C ，D.若AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，则∠P 的大小为____三、解答题14、如图，Rt △ABC 的两条直角边BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，斜边AB 上的高为CD.若以点C 为圆心，分别以r 1＝2 cm ，r 2＝2.4 cm ，r 3＝3 cm 为半径作圆，试判断点D 与这三个圆的位置关系．15、如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳共2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)，手臂肩部距地面 1.5 m ．当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图．16、如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA 交⊙A 于点G.求证：GE ︵＝EF ︵.17、如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为15千米/时，受影响区域的半径为100千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P160千米处．(1)说明本次台风会影响B 市； (2)求这次台风影响B 市的时间．18、如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB.求证：AC ︵＝BD ︵.19、如图，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，求证：AD ＝BE.参考答案一、选择题1、已知⊙O 与点P 在同一平面内，若⊙O 的半径为5，线段OP 的长为4，则点P(B) A ．在⊙O 上 B ．在⊙O 内C ．在⊙O 外D ．在⊙O 上或在⊙O 内 2、下列说法错误的是(C)A ．圆有无数条直径B ．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C ．过圆心的线段是直径D ．能够重合的圆叫做等圆 3、下列说法正确的是(B)A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C ．在同圆中，相等的弦所对的弧相等D ．相等的弦所对的圆心角相等4、如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，AE ︵＝BD ︵.若∠AOE ＝32°，则∠COE 的度数是(D) A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°5、如图，在⊙O 中，AC ︵＝2AB ︵，则以下数量关系正确的是(C) A ．AB ＝ACB ．AC ＝2ABC ．AC ＜2ABD ．AC ＞2AB6、如图，已知AD ︵＝BC ︵，则AB 与CD 的关系为(A) A ．AB ＝CDB ．AB>CDC ．AB<CD D ．不能确定7、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝35，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP.如果⊙P 是以点P 为圆心、PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是(C)A ．点B ，C 均在⊙P 外B ．点B 在⊙P 外，点C 在⊙P 内 C ．点B 在⊙P 内，点C 在⊙P 外D ．点B ，C 均在⊙P 内二、填空题8、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆．若要求另外三个顶点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是3＜r ＜5；9、已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB.如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是点B 在⊙C 外．10、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE.若弦BE ＝3，则弦CE ＝3．11、如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是120°．12、如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，则∠A 的度数是28°．13、如图，AB 为⊙O 的直径，△PAB 的边PA ，PB 与⊙O 的交点分别为C ，D.若AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，则∠P 的大小为60°．三、解答题14、如图，Rt △ABC 的两条直角边BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，斜边AB 上的高为CD.若以点C 为圆心，分别以r 1＝2 cm ，r 2＝2.4 cm ，r 3＝3 cm 为半径作圆，试判断点D 与这三个圆的位置关系．解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB ＝5 cm ，则CD ＝AC ·BCAB＝2.4 cm.①当r 1＝2 cm 时，2.4＞2，点D 在圆外； ②当r 2＝2.4 cm 时，点D 在圆上； ③当r 3＝3 cm 时，2.4＜3，点D 在圆内15、如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳共2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)，手臂肩部距地面 1.5 m ．当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图．解：小狗在地面上环绕的圆的半径为r ＝ 2.52－1.52＝2.0(m)，S ＝πr 2＝4π(m 2)．故小狗在平整的地面上活动的最大区域是以2.0 m 为半径的圆，其面积为4π m 2.如图：16、如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA交⊙A 于点G.求证：GE ︵＝EF ︵.证明：连接AF. ∵AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF. ∴∠GAE ＝∠EAF.∴GE ︵＝EF ︵.17、如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为15千米/时，受影响区域的半径为100千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P160千米处．(1)说明本次台风会影响B 市； (2)求这次台风影响B 市的时间．解：(1)作BH ⊥PQ 于点H ， 在Rt △BHP 中，由条件知，PB ＝160千米，∠BPQ ＝75°－45°＝30°， ∴BH ＝160sin30°＝80千米＜100千米． ∴本次台风会影响B 市． (2)若台风中心移动到P 1时，台风开始影响B 市，台风中心移动到P 2时，台风影响结束， 由(1)得BH ＝80千米，由条件得BP 1＝BP 2＝100千米， ∴P 1P 2＝21002－802＝120(千米)．∴台风影响B 市的时间t ＝12015＝8(小时)．答：台风影响B 市的时间为8小时．18、如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB.求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接OC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，∴OM ＝ON. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠OMC ＝∠OND ＝90°.在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎪⎨⎪⎧OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND(HL)． ∴∠COM ＝∠DON.∴AC ︵＝BD ︵.19、如图，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，求证：AD ＝BE.证明：连接OC. ∵AC ︵＝CB ︵，∴∠AOC ＝∠BOC. ∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°.在△COD 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ，∴△COD ≌△COE(AAS)．∴OD ＝OE.∵AO ＝BO ，∴AD ＝BE.。
北师大版九年级数学下册第一章训练题1.5 三角函数的应用
5. 三角函数的应用1．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2 km.从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为( )A ．4 km B.()2＋2 km C ．2 2 km D.()4－2 km2. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为 45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是___ _ (结果保留根号)3．如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)4．为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港，某日在观测点A 处发现在其北偏西36.9°的C 处有一艘渔船正在作业，同时监测到在渔船的正西B 处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D 处进行躲避．已知避风港D 在观测点A 的正北方向，台风中心B 在观测点A 的北偏西67.5°的方向，渔船C 与观测点A 相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？(参考数据：sin 36.9°≈0.6，tan 36.9°≈0.75，sin 67.5°≈0.92，tan 67.5°≈2.4)5．如图，小明从点A 处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B ，sin α＝513，然后又沿着坡度为i ＝1∶4的斜坡向上走了1千米到点C.问小明从点A 到点C 上升的高度CD 是多少千米？(结果保留根号)参考答案【知识管理】 1．2.仰角 俯角 【归类探究】【例1】 从B 处到达C 岛需要1小时．【例2】 (1)两建筑物底部之间的水平距离BD 的长度为60 m ．(2)建筑物CD 的高度为(60－203) m .【当堂测评】 1．C 2.16 【分层作业】1．B 2.(9＋33) 3.渔船从B 点开始行驶3－34小时离观测点A 距离最近．4．解：由题意可知∠BAD ＝67.5°，∠CAD ＝36.9°，AC ＝350海里．在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠DAC ＝36.9°，AC ＝350海里，∴CD ＝AC •sin ∠DAC ≈350×0.6＝210(海里)，AD ＝AC 2－CD 2≈280(海里)．∴渔船到达避风港D 处所用时间：210÷18＝1123(小时)．在Rt △ADB 中，∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝67.5°，∴BD ＝AD •tan ∠BAD ≈280×2.4＝672(海里)，∴BC ＝BD －CD ≈672－210＝462(海里)．设强台风移动到渔船C 后面200海里时所需时间为x 小时．根据题意得(40－18)x ＝462－200，解得x ＝111011.∵1123＜111011，∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．5．解：如答图所示，过点B 作BF ⊥AD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E .由题意得AB ＝0.65千米，BC ＝1千米，∴sin α＝513＝BF AB ＝BF 0.65，∴BF ＝0.65×513＝0.25(千米)．∵斜坡BC 的坡度为1∶4，∴CE ∶BE ＝1∶4.设CE ＝x 千米，则BE ＝4x 千米．由勾股定理得x 2＋(4x )2＝12，解得x ＝1717，∴CD ＝CE ＋DE ＝CE ＋BF ＝14＋1717(千米)．即小明从点A 到点C 上升的高度CD 是⎝⎛⎭⎫14＋1717千米．。
北师大版九年级下册数学 3.1圆 同步练习(含解析)
3.1圆同步练习一．选择题1．已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm2．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．C．D．3．下列说法正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．直径是圆中最长的弦D．半圆是圆中最长的弧4．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆6．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆7．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）A．2条B．3条C．4条D．5条8．一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进（）米．A．51πB．102πC．153πD．204π9．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定10．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（）A．L A＞L B＞L C B．L A＜L B＜L C C．L B＞L C＞L A D．L C＜L A＜L B 二．填空题11．参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都，这个距离就是这个圆的．12．如果一个圆的周长为21.98厘米，那么这个圆的半径是厘米．13．如果圆的半径为3，则弦长x的取值范围是．14．如图，若点O为⊙O的圆心，则线段是圆O的半径；线段是圆O的弦，其中最长的弦是；是劣弧；是半圆．15．如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有条弦，它们分别是．三．解答题16．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．17．如图，线段AB过圆心O，点A，B，C，D均在⊙O上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来．18．如图所示，小丽家到学校有2条路线．分别以AB、BC和AC为直径的半圆弧，已知AB＝8千米，BC＝16千米．（1）比较①②两条路线，走哪条近；（2）如果AB＝a，BC＝b，那么①②两条路线的长度有什么变化呢？你得到什么样的结论？参考答案一．选择题1．解：∵最长的弦长为16cm，∴⊙O的直径为16cm，∴⊙O的半径为8cm．故选：B．2．解：∵⊙O的半径OA长1，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：D．3．解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，故选：C．4．解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．5．解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．故选：D．6．解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；B、半圆是弧，正确；C、过圆心的弦是直径，故错误；D、圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，故选：B．7．解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，故选：B．8．解：前轮的底面圆周长：π×1.7＝1.7π（米），1.7π×6×10＝102π（米）故选：B．9．解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．10．解：设面积是S．则正方形的边长是，则周长L A＝4＝＝4；长方形的一边长x，则另一边长为，则周长L B＝2（x+），∵（x+）2≥0∴x+≥2，∴L B≥4，即L B≥；圆的半径为，L C＝2π×＝，∵＜，∴L C＜L A＜L B．故选：D．二．填空题11．解：参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是这个圆的半径．故答案为：相等，半径．12．解：21.98÷3.14÷2＝3.5（厘米）故答案为：3.5．13．解：圆的半径为3，则弦中最长的弦即直径的长度是6，因而弦长度的取值范围是0＜x ≤6．故答案为：0＜x≤6．14．解：如图，若点O为⊙O的圆心，则线段OA、OB、OC是圆O的半径；线段AC、AB、BC是圆O的弦，其中最长的弦是AC；、是劣弧；、是半圆．故答案为OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；、；、；15．解：图中的弦有AE，DC，AD共三条，故答案为：三，AE，DC，AD．三．解答题16．解：连接OD，∵OC＝OD，∠C＝40°，∴∠ODC＝∠C＝40°，∵AB＝2DE，OD＝AB，∴OD＝DE，∵∠ODC是△DOE的外角，∴∠E＝∠EOD＝∠ODC＝20°，∵∠AOC是△COE的外角，∴∠AOC＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．17．解：直径有：直径AB；半径有：OA、OB、OC；弦有：弦CD、弦AB．18．解：（1）∵①路线的长＝AC•π＝（8+16）•π＝12π，②路线的长＝AB•π+BC•π＝（AB+BC）π＝AC•π＝12π，∴两条路线相等；（2）∵①路线的长＝AC•π＝（a+b）•π＝π，②路线的长＝AB•π+BC•π＝（AB+BC）π＝（a+b）π，∴两条路线相等；结论：不论AB，BC的长度怎么变化那么①②两条路线长度仍然相等．。
2025年北师大版九年级下册数学第1章特色题型专练一
1 47.25 m 2 3 4
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1. [2024陕西师大附中八模]为了测古树AB的 高度．如图，先把长为1.8 m的标杆EF垂直 立于地面上的点F处，当树的最高点A，标 杆顶端E与地面上的点C在同一直线上时， FC＝1 m，接着沿斜坡从点C走到点D处， 此时测得树的最高点A处的仰角α＝45°，D 到地面BC的距离DM为9 m，CM为12 m， 则古树AB的高度为__4_7_.2_5__m_．
∴10 7÷40＝ 47(小时)． ∴救援船到达 C 处所用的时间为 47小时．
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4. [2024陕西工大附中七模]小明和小刚决定测量风筝到地面的距
离，如图，已知小明在B处看风筝的仰角为37°，小刚所站位 置D处看风筝的视线恰好被大树FG挡住(即点E，F，C三点共 线)，通过测量，此时小刚距离大树底部的距离GD为8 m，小 明与小刚之间的距离BD为115 m，大树的高度FG为4.9 m，两 人的眼睛距地面的高度均为1.7 m，请根据以上数据，求出此 时风筝到地面的距离．(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8， tan 37°≈0.75，风筝的宽度忽略不计)
∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴∠CDF＝∠ABF＝90°. 又∵∠CFD＝∠AFB，∴△CDF∽△ABF.∴CADB ＝DBFF. ∴1A.B8＝2x.4.∴AB＝34x m. ∴43x≈0.5x＋1.6，解得 x≈6.4. ∴AB≈4.8 m．∴该景观灯的高 AB 约为 4.8 m.
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3. [2024 西安铁一中一模]如图，我国某海域上有 A，B 两 个小岛，B 在 A 的正东方向．有一艘渔船在点 C 处捕 鱼，在 A 岛测得渔船在东北方向上，在 B 北偏西 60° 的方向上，且测得 B，C 两处的距离为 20 2海里．
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2.3确定二次函数的表达式(1)
一、选择题：
1．已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，且BC=32，则这条抛物线的解析式为 ( )
A．y=－x2+2x+3 B．y＝x2－2x－3
C．y=x2+2x―3或y＝－x2+2x+3 D．y=－x2+2x+3或y＝x2－2x－3
2．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是 ( )
A．x=3 B．x=－3 C．x=3
2
D．x=－
3
2
3．二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则（）
A．y
最大=-4 B．y
最小
=-4 C．y
最大
=-3 D．y
最小
=3
4．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）
A ﹣2
B 或
C 2或
D 2或﹣或
5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图2 - 78所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2．5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为 ( ) A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m
二、填空题：
6．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是________．
7．（锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你
写出一个满足条件的二次函数的表达式________．
8．（长春市）函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．9.如图2 - 79所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象与x轴交于点A(m，0)和点B，且点A在点B的左侧，那么线段AB的长是．(用含字母m的代数式表示)
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为．
三、解答题：
10．用配方法把二次函数y＝l+2x－x2化为y＝a(x－h)2+k的形式，作出它的草图，回答下列问题．
(1)求抛物线的顶点坐标和它与x轴的交点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大?
(3)当x取何值时，y的值大于0?
11．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，•其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；
（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0．
12．―抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
13．如图2 - 81所示，矩形A′BC′O′是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕点B逆时针旋转得到的．点O′在x轴的正半轴上，点B的坐标为(1，3)．
(1)如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0)的图象经过O，O′两点，且图象顶点M的纵坐标为－l，求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右侧，是否存在点P，使
得△POM为直角三角形?若存在，求出点P的坐标和△POM的面积；若不
存在，请说明理由；
(3)求边C′O′所在直线的解析式．
参考答案
1．D[提示：注意由条件不能确定抛物线的开口方向，所以此题不要漏解．]
2C
3．C [提示：点(－2，－3)与(5，－3)关于直线x ＝
3
2
对称．] 4．B[提示：建立如图2－82所示的平面直角坐标系，由图象可知三点坐标(－
1，1)，(0，1.5)，(3，1)，则抛物线的解析式为y ＝－16x 2＋13x ＋3
2
，又当x
＝1.5时，代入求出y ＝1.625．故选B ．]
5．B
6.分析：根据平移的规律，上加下减，可以得到答案是：y=（x+4）2-2 （y=x 2+8x+14）
7.答案不唯一，符合要求即可.如：y=x 2-2
8.分析：把点（1.2）代入可以得到b-c 的值为1,所以答案是：1
9．8－2m[提示：点A 到抛物线对称轴的距离为4－m ，所以线段AB 的长为2(4－m)＝8－2m ．]
10．解：y=－(x －1)2＋2，图略．(1)顶点坐标为(1，2)，与x 轴的两个交点坐标分别为(1－2，0)，(1＋2，0)． (2)当x ＜1时，y 随x 的增大而增大. (3)当l －2＜x ＜1＋2时，y 的值大于0． 11、 （1）y=-12x 2+32x+2，顶点坐标（32，25
8
） （2）略，（3）当-1<x<4时，y>0．
12．解：(1)设这个抛物线的解析式为y=ax 2＋bx ＋c ．将A(－2，0)，B(1，0)，
C(2，8)三点代入，得420,0,428,a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解这个方程组，得2,
2,4,a b c =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
∴所求抛物线的
解析式为y ＝2x 2＋2x －4． (2)∵y=2x 2＋2x －4＝2(x 2
＋x －2)=2(x ＋12)2－9
2
，∴该抛物线的顶点坐标为(－
12，－9
2
)． 13．解：(1)如图2－83所示，连接BO ，BO ′，则BO=BO ′．∵BA ⊥OO ′，∴AO ＝AO ′．∵B(1，3)，∴O ′(2，0)，M(1，－1)，∴
420,1,0,a b c a b c c ++=⎧⎪++=-⎨⎪=⎩解得1,
2,0,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
∴所求二次函数的解析式为y ＝x 2
－2x ． (2)假设存在满足题设条件的点P(x ，y)．连接OM ，PM ，OP ，过P 作PN ⊥x 轴于N ，则∠POM ＝90°．∵M(1，－1)，A(1，0)，AM=OA ，∴∠NOA ＝45°，∴∠PON=45°，∴ON=NP ，即x ＝y ．∵P(x ，y)在二次函数y=x 2－2x 的图象上，∴x ＝x 2－2x ，解得x ＝0或x ＝3．∵P(x ，y)在对称轴的右侧，∴x ＞1，∴x=3，y=3，即P(3，3)是所求的点．连接MO ′，显然△OMO ′为等腰直角三角形，∴点O ′(2，0)也是满足条件的点，∴满足条件的点是P(2，0)或P(3，3)，∴O P=32，OM=2，∴S △POM =
12OP ·OM=3或S △POM ＝1
2
OM ·O ′M=1． (3)设AB 与C ′O ′的交点为D(1，y)，显然Rt △DAO ′≌Rt △DC ′B ．在Rt △DAO ′中，AO ′2＋AD 2＝O ′D 2，即1＋y 2＝(3－y)2，解得y=
43，∴D(1，4
3
)．设边C ′O ′所在直线的解析式为y ＝kx ＋b ，则4,320,k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得4,3
8,3k b ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩∴所求直线的解析式为y=48
.33
x -+。