2-7带电体系的静电能与电场的势能

§2-7 带电体系的静电能与电场的势能

前面我们分析了有电介质存在时的电场和电势的一些行为，进一步的分析自然少不了有关能量的讨论。在本节中，我们从较简单的点电荷系统开始分析，然后过渡到连续电荷分布的情形中去。

一、 点电荷系统的静电能

我们从最简单的情形开始分析。我们知道，在一定的电场中，若一个点电荷q 所在位置处的电势为U ，那么就可以说这个点电荷具有电势能W=qU ，这一点和我们熟知的重力势能很相象。现在我们可以把电场说得更具体一些，最简单的，设这个电场是由另一个点电荷Q 产生的，于是点电荷q 具有的电势能可以写作

r

qQ W 0

41πε

=

（1）

这里我们讨论的是在真空中的情形，所以介电常数是Q q r 和是,0ε的距离。同样地，上式也表示了Q 在q 的电场中的电势能，于是我们可以说，由Q 和q 组成静电体系具有的静电能由（1）式给出。

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+

=

r Qq r

qQ

W 0

414121πε

πε

对此式的解释是：我们不但考虑了在Q 形成的电场中q 所具有的电势能，而

且还考虑了在q 形成的电场中Q 所具有的电势能，但是对于整个静电系统而言，其静电能只能由其中一项给出，所以要对上式右端的和乘以1/2。我们之所以写出上面的表达式是因为希望进一步考虑由多个点电荷组成的静电系统。

设想空间中有多个点电荷，其带电量用i q 表示，相应的位置用i r 表示，任意两个点电荷间的距离可以由ij j i j r i =r =r -r 给出，我们来计算整个静电体系的静电能。

我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的静电能。当只有两个点电荷21q q 和时，静电能为

12

210

41r q q W πε

=

现在引入第三个点电荷3q ，那么整个体系的静电能就应该在原有的基础上加上

3q 与21q q 及之间的静电能，即

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

+=

23320

13

3

10

12

210

414141r q q r q q r q q W πε

πεπε

括号里的项正是由于引入第三个点电荷所引起的静电能的改变。接着引入第四个点电荷，有

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

+=

23320

13

3

10

12

210

414141r q q r q q r q q W πε

πεπε

341424014

024*********q q q q q q r r r πεπεπε⎛⎫

+++ ⎪⎝⎭

同样地，第二个括号里的项对应于第四个点电荷的引入所带来的静电能的变化。

重复以上过程，我们容易得到由N 个点电荷组成的静电系统的静电能为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+

+=

23320

13

3

10

12

210

414141r q q r q q r q q W πε

πεπε

+⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

+

34430

24420

14

4

10414141

r q q r q q r q q πεπεπε+… （2） =

∑

∑

≠==N

j

i ij

j i N

j

i j i ij

j i r q q r q q 0

1,041

21

41πε

πε

上式即为我们要求的结果，其最后一项表明对所有的满足j i ≠的下标求和。我们可以对上述结果作进一步的分析，注意到对于某个特定的i ，∑

≠N

i

j ij

j

r q

41πε

就是除

了电荷i 以外的所有电荷在电荷i 处形成电势，令

∑

≠=

N

i

j ij

j

i r q

U 0

41πε

（3）

则（2）式可以改写为

i

N

i

i

U q W ∑=

2

1

（4）

二、连续电荷分布的静电能

以上我们讨论的是点电荷体系的静电能，可以很容易地将已有结论推广至连续分布的静电系统。首先我们设想一个有限大小的带电体，其电荷密度为()ρr ，那么如果在该带电体内部且位置为r 处的电势可以用U (r )来表示——当然，所谓U (r )，是指在位置r 处的电势，而位置r 处的电荷对U (r )是没贡献的——则这一带电体所具有的静电能可以表示为

1

()()2

V

W U dV ρ=

⎰⎰⎰r r （5）

上式中V 表示整个带电体的体积，实际上，（5）式是（4）式的直接推广，

是由离散的电荷分布过渡到连续的电荷分布，在表示上由求和过渡到积分。

图1

（5）式确实能够从物理概念上解释静电能的意义：静电系统的每一部分所具有的电势能的总和。但是，在实际问题中，直接利用（5）式求解静电能是很不易的。只是因为计算各点的U (r )是件很麻烦的工作。我们不妨从另一个角度考虑静电能。对于一个有限体积的带电体，我们姑且不考虑其微观结构而只注意其静电性质，那么可以说，这一带电体之所以能够结合在一起，是需要外力维持的。我们设想下面的过程来说明如何构成一个有限大小的带电体。开始的时候，所有的电荷都位于无穷远处，我们人为地将一个个电荷从无穷远处极缓慢地移动到指定的位置，那么，在这个极缓慢的过程中我们对电荷所施加的力与电荷所受的的静电力想必是大小相等而方向相反的，我们所作的功就应该等于电荷的电势能的增量。不断地重复这一过程，直到最终组成我们所要的有限大小的带电体，在整个过程中，我们所作的功就是静电体系的静电能。这样，从功能原理的角度我们重新解释了静电能。下面通过一个简单的例子来说明书这一过程。

图2

我们来计算一个半径为R 的均匀带电球体的电势能。如果按照公式（5）的要求，则要计算球体内每一点处的电势。现在让我们从功能原理的角度考虑这个问题。如图所示，为了构造一个半径为R 的带电球体，我们就要准静态地把电荷从无穷远处搬运到适当的位置，并组成球形。假设在某个时候我们已经构成了如图所示的情形，即已经有了一个半径为r 的带电球体，接下来我们要继续从无穷远处搬运电荷，并将搬来的电荷均匀地分布在这个球体上。我们每次搬运的电荷都是很少的，设电荷密度为ρ，那么每次搬运的电荷量可以表示为dr r ρπ24，