均值与方差正态分布
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称 X DX 为随机变量X的标准差
注：随机变量的方差与标准差都反映了随机变 量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.如果 DX 值越小, 则表示X 的取值越集中
若干结论：
若X服从两点分布，则DX p(1 p)
若X ~ B(n,p)，则DX np(1 p)
D(aX b) a2DX
n
摸到红球都停止摸球。求随机变量ξ的分布列
及数学期望. (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为1 : 2，
将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球 的概率是 0.4 ，求p的值．
1)C24(
1)2( 3
2 3
)2(
31)
8 81
2)P(x
0)
C
50(
2 3
)5
P(x
1)
C15(
2 3
)4(
Eξ=1.5
Dξ=2.75
a=b=2或a=-2,b=4
练习：设p为非负实数，随机变量ξ的概率 分布为：
ξ0 1 2
P
1 2
p
p
1 2
则Eξ的最大值为 ，Dξ的最大值为 1 。
3
2
注：公式的直接应用，注意p的范围。
类型2：离散型随机变量的期望与方差应用 例2、A、B代表队进行乒乓球对抗赛，每队 三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员 是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对 阵队员之间的胜负概率如下：
离散型随机变量均值是刻画某一总体的量,它的均值 就是总体的均值,一般是未知的,但是确定的常数
性质
1、均值的线性组合性质
E(aX b) aEX b
注:常数的均值为其本身
2、若X服从两点分布，则EX p 3、若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
4、求均值的一般步骤：
1）求出分布列；2）利用定义求均值
DX (xi EX)2 pi E(X2 )(EX)2 i1
类型1：离散型随机变量的期望与方差
例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0 号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4). 现从袋中任取一球(ξ表示所取球的标号). （1）求ξ的分布列，期望与方差； （2）若η=aξ+b，Eη=1,Dη=11，试求a,b的 值。
一、离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望
离散型随机变量均值是离散型随机变量以概率为权的 加权平均。它反映了离散型随机变量取值的平均水平
1 3
)5
P(x
2)
C
25(
2 3
)3(
1 3
)2
Eξ
131 81
P(x
3)
C
33(
1)3 3
C23(
1 3
)2(
2 3
)
(
1 3
)
C
24(
1 3
)2(
2 3
)2(
1 3
)
3)p
13 30
P(ξ=k)=P(A1…AkAk+1)=q.pk
Eξ
pq(1
pn
)
st[1(
s
t
)n t
]
类型4：走近高考 例5．(浙江卷)袋子A和B中装有若干个均匀的红 球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1/3 ， 从B中摸出一个红球的概率为 p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个， 有3次摸到红球即停止． (i)求恰好摸5次停止的概率； (ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,最 多摸球5次，5次之内（含5次）不论是否有3次
二、离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：
x x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX (x1 EX)2 p1 (xi EX)2 pi (xn EX)2 pn
n
(xi EX)2 pi 为随机变量X的方差 i1
对阵队员 A队队员胜率 A队队员负率
A1和B1
2/3
1/3
A2和B2
2/5
3/5
A3和B3
2/5
3/5
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0 分，设A队，B队最后所得总分分别为ξ，η
（1）求ξ,η的概率分布；（2）求Eξ，E η
类型3：二项分布的期望与方差
例3、某大厦一部电梯从底层出发后只能在
第18层、19层、20层停靠，若该电梯在底层
载有5位乘客，且这5位乘客在这三层的每一
层下电梯的概率均为1/3，用ξ表示这5位乘
பைடு நூலகம்客在第20层下电梯的人数，求（1）随机变
量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的期望与
方差。
Eξ=5/3
例4、箱中装有大小相同的黄、白两种颜色 的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t， 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是 黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回 箱中，并纠结继续从箱中任意取出一个球， 但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取 球结束时已取到的白球的次数。（1）求ξ 的分布列；（2）求ξ的数学期望。
注：随机变量的方差与标准差都反映了随机变 量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.如果 DX 值越小, 则表示X 的取值越集中
若干结论：
若X服从两点分布，则DX p(1 p)
若X ~ B(n,p)，则DX np(1 p)
D(aX b) a2DX
n
摸到红球都停止摸球。求随机变量ξ的分布列
及数学期望. (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为1 : 2，
将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球 的概率是 0.4 ，求p的值．
1)C24(
1)2( 3
2 3
)2(
31)
8 81
2)P(x
0)
C
50(
2 3
)5
P(x
1)
C15(
2 3
)4(
Eξ=1.5
Dξ=2.75
a=b=2或a=-2,b=4
练习：设p为非负实数，随机变量ξ的概率 分布为：
ξ0 1 2
P
1 2
p
p
1 2
则Eξ的最大值为 ，Dξ的最大值为 1 。
3
2
注：公式的直接应用，注意p的范围。
类型2：离散型随机变量的期望与方差应用 例2、A、B代表队进行乒乓球对抗赛，每队 三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员 是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对 阵队员之间的胜负概率如下：
离散型随机变量均值是刻画某一总体的量,它的均值 就是总体的均值,一般是未知的,但是确定的常数
性质
1、均值的线性组合性质
E(aX b) aEX b
注:常数的均值为其本身
2、若X服从两点分布，则EX p 3、若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
4、求均值的一般步骤：
1）求出分布列；2）利用定义求均值
DX (xi EX)2 pi E(X2 )(EX)2 i1
类型1：离散型随机变量的期望与方差
例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0 号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4). 现从袋中任取一球(ξ表示所取球的标号). （1）求ξ的分布列，期望与方差； （2）若η=aξ+b，Eη=1,Dη=11，试求a,b的 值。
一、离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望
离散型随机变量均值是离散型随机变量以概率为权的 加权平均。它反映了离散型随机变量取值的平均水平
1 3
)5
P(x
2)
C
25(
2 3
)3(
1 3
)2
Eξ
131 81
P(x
3)
C
33(
1)3 3
C23(
1 3
)2(
2 3
)
(
1 3
)
C
24(
1 3
)2(
2 3
)2(
1 3
)
3)p
13 30
P(ξ=k)=P(A1…AkAk+1)=q.pk
Eξ
pq(1
pn
)
st[1(
s
t
)n t
]
类型4：走近高考 例5．(浙江卷)袋子A和B中装有若干个均匀的红 球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1/3 ， 从B中摸出一个红球的概率为 p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个， 有3次摸到红球即停止． (i)求恰好摸5次停止的概率； (ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,最 多摸球5次，5次之内（含5次）不论是否有3次
二、离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：
x x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX (x1 EX)2 p1 (xi EX)2 pi (xn EX)2 pn
n
(xi EX)2 pi 为随机变量X的方差 i1
对阵队员 A队队员胜率 A队队员负率
A1和B1
2/3
1/3
A2和B2
2/5
3/5
A3和B3
2/5
3/5
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0 分，设A队，B队最后所得总分分别为ξ，η
（1）求ξ,η的概率分布；（2）求Eξ，E η
类型3：二项分布的期望与方差
例3、某大厦一部电梯从底层出发后只能在
第18层、19层、20层停靠，若该电梯在底层
载有5位乘客，且这5位乘客在这三层的每一
层下电梯的概率均为1/3，用ξ表示这5位乘
பைடு நூலகம்客在第20层下电梯的人数，求（1）随机变
量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的期望与
方差。
Eξ=5/3
例4、箱中装有大小相同的黄、白两种颜色 的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t， 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是 黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回 箱中，并纠结继续从箱中任意取出一个球， 但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取 球结束时已取到的白球的次数。（1）求ξ 的分布列；（2）求ξ的数学期望。