速解高中解析几何的方法之一——数形结合

速解高中解析几何的方法之一——数形结合
四川省郫县第三中学姚慰民
【摘要】解析几何是高考数学的必考内容，在所有题型中所占比值相对较高。

一般来说，解析几何的难度比函数低，且有一定的技巧性，只要掌握了速解技巧，将题目的“数”与“形”相结合，将题目所给条件一一对应来帮助解题，就能减少解题时间，也不会漏掉题目条件，提高答题效率。

因此，准确运用数形结合答题方法是高中解析几何成绩的决定因素。

文章对速解高中解析几何方法中的数形结合进行分析，对数形结合在解析几何几种题型中的运用进行举例说明。

【关键词】高中解析几何；速解方法；数形结合
中图分类号：G633.65 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2015）33-
所谓数形结合，就是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形及条件之间的位置关系来将复杂的、抽象的数学语言及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合以形助数或以数解形，使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，以达到化解题途径的目的。

可见，数形结合在平面解析几何和立体解析几何的解题中有重要的作用。

一、解析几何的概念
解析几何是几何学的分支，主要是用代数方法研究几何对象之间的关系和性质，因而解析几何也叫坐标几何，它包括平面解析几何和立体解析几何两部分。

平面解析几何是二维空间上的解析几何，立体解析几何是三维空间上的解析几何，立体解析几何比平面解析几何更加复杂、抽象。

二、数形结合法的概述
1.数形结合的解题思想
通常来说，一道题目不会明确指定用数形结合的方法进行答题，每道题也不会只有一种解题方法，但数形结合方法在解析几何答题中具备相当的优势，能减少运算量，节约答题时间，提高正确率。

因此，学生需要在平时练习中形成数形结合的解题思想，遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，快速找到解题
突破点。

事实上，当熟练掌握数形结合方法能够举一反三时，遇到的所有题目都是同一题目了。

因此，高中生必须熟练掌握数形结合的解题思想。

掌握数形结合思想，就必须搞清楚下列关系：①实数与数轴上的点的对应关系；②曲线与方程的对应关系；③函数与图像的对应关系；④复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；⑤题目所给等式或代数方程式结构中所含明显的几何意义。

2.数形结合的方法简介
数形结合法是速解高中解析几何方法中的一种，由于部分解析几何本身就是“数”与“形”的结合，因而数形结合法也是速解高中解析几何方法中最为常见的一种。

数形结合在求最值、解不等式、圆类问题、算轨迹方程中有着广泛的应用，在复合函数和三角函数中也有应用实例。

三、采用数形结合法速解解析几何题的策略
1.数形结合法速解解析几何最值问题
最值虽只是数量关系问题，但解析几何中的最值往往涉及到条件之间的位置关系，本质上是空间的几何结构代数化，来实现曲面的数量化。

因此，解析几何中的最值问题单从代数入手或仅对几何图形进行分析不能达到解题目的，针对此类最值问题，需要运用数形结合的解题方法来进行最值题型答题。

以下面一题为例：
已知：实数x 、y 满足（x-1）2+（y+2）2
=5。

求：S=x-2y 的最大值和最小值。

解析：先对题目条件位置关系进行整理，方程（x-1）2+（y+2）2=5是以点（1，-2）为圆心，5为半径的圆。

对S=x-2y 整理得直线y=
21x-21S ，-2
1S 是直线在y 轴上的截距。

在直角坐标系上分别画出曲线的位置，如图1。

根据图形分析，当-21S 取最小值时，S 取最大值，此时，直线与圆相切，圆点到直线的距离就刚好等于半径，即： 545
2
1-221=+s ，
可得S 最小值=0,S 最大值=10。

图1
策略要领：
已知数量转图形，坐标图上示分明；
整理等式找截距，X 与Y 转都可以；
最大值与最小值，都与正圆要相切。

2.数形结合法速解解析几何圆类问题
解析几何中圆类问题，主要是求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等，数形结合对速解圆类问题也有很大帮助。

例如，在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，学生可以直观地观察到直线在圆外，但需要写出确切的答题步骤才能得分。

这时就需要有数形结合的解题思想，以数解形。

通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外，这是最基本的用数形结合方式解答圆类问题。

对数形结合法速解解析几何圆类问题，以下特举一例说明：
已知：曲线y=1+24x -直线y=k （x-2）+4交于两个不同的点，求实数k 的取值范围。

解析：将曲线y=1+2
4x -变形，得x 2+(y-1)2=4（1≤y ≤3），可知曲线是以点A （0，1）为圆心，2为半径的圆，但值域y 要大于1，因而是上半圆。

直线y=k （x-2）+4过定点B （2，4），如图2。

当直线绕点B 按顺时针旋转至直线与圆相切，当直线与圆的一个交点在弧线MT 之间都满足题目要求，符合题意。

而交点M 在直线y=1上，可算出M 点的坐标，即M （-2，1）。

直线BM 可用点斜式法计算出来，k MB =4
3。

点Ａ到直线ＢＴ之间的距离等于半径，列等式214
212=+-+k k ，可解得k BT =145。

因此，k ∈(145,4
3]。

图2
策略要领：
圆类的位置关系，几个步骤要仔细；
第一变形函数式，坐标系上画分明。

圆与直线的问题，先看直线圆内外；
设圆心到直线的距离为d,当d>r 相离，当d=r 相切，当d<r 相交。

也可联立解方程看解的个数。

圆与圆的位置关系，由圆心距与两半径的长度来确定的，圆心距用d 来表示，两圆的半径分别用r,R 来表示。

当d>R+r 时，相离；当d=R+r 时，外切；当R-r<d<R+r 时，相交；当d=R-r 时，内切；当0=<d<R-r 时，内含。

也可能用公共点的个数来确定。

3.数形结合法速解解析几何不等式问题
运用数形结合法解决解析几何中的不等式问题主要是将原不等式化解，通常能化解为某个曲线方程，然后将曲线方程在数轴上表示，注意计算过程中值域与定义域，然后几个图形的交集就是该不等式的解集。

例：解不等式216x -+28x x ->4。

（这种不等式有啥特点？） 解：将原不等式变形，得216x ->4-28x x -，此式子与原不等式等价。

另
y 1=216x -，y 2=28x x -，将以上两式再次变形，可得式子x 2+y 12
=16（y 1≥0）和（x-4）2+（y 2-4）2
=16（y 2≤4）。

观察可知，这两个式子都是半圆，在直角坐标系中表示，如3图。

由图可知，两个半圆之间的交集就是原不等式的解集，即{x|0<x<4}。

图 3
策略要领：
遇到XX 不等式，变形得出等价式；
代换设置Y 变量，化为曲线方程式；
坐标轴上画分明，图形交集为解集。

4.数形结合法速解解析几何轨迹方程问题
数形结合在速解解析几何轨迹方程的应用最为广泛，因为轨迹属于几何类，方程属于代数类，它本身就是一种数形结合，解答方法必定运用数形结合法。

几乎全国高考数学解析几
何轨迹方程都有一道选择题和一道解答题，有些地区最后一道突破题都是利用数形结合法速解解析几何轨迹方程问题。

因此，考生必须掌握数形结合法解答解析几何轨迹方程，下面举例分析说明：
如图4，抛物线y2=4x上有两动点A、B（都非原点），已知OA⊥OB,OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明是什么曲线。

解析：设直线AB的方程为x=ay+b（a≠0），代入曲线方程y2=4x中，得y2-4ay-4b=0。

另A（x1,y1），B（x2,y2），列方程组y1+y2=4a，y1y2=-4b。

题目已知OA⊥OB，由此可得x1x2+y1y2=0，也就是（ay1+b）（ay2+b）+ y1y2=0。

推断出，-4b+b2=0,b=4。

可知，直线AB恒过定点P（4，0）。

设M（x,y），题目已知OM⊥AB，可推断出M的轨迹是以OP为直径的圆（去除原点）。

所以M的轨迹方程为（x-2）2+y2=4(x≠0)。

图4
策略要领：解析几何轨迹方程就是数形结合一种形式，解答这类问题的常用方法有直接法、定义法、参数法、待定系数法、代入法、交轨法。

本例主要属于交轨法范畴，凡看到曲线交点，联立方程消参，用韦达定理，向量垂直数量积为零等建立关系，由直径所对的圆周角是直角得动点轨迹，避开题目干扰的多余条件，找到正确的突破口。

数形结合是一种解析几何解题方法，同时又是一种科学思想。

于教师而言，要培养学生这种科学思想，使学生养成自觉总结概括的习惯；于学生而言，要善于探究数形结合背后知识所隐藏的思想，学会举一反三，而不是通过对一道题的记忆进行解题。

特别是高中理科生一定要培养数形结合思想，这对解答物理、化学及生物问题也会有很大的作用。

参考文献：
[1]徐锋文.数形结合思想在解决解析几何问题中的应用[J].数学学习与研
究,2013,(11):123-124.
[2]安佰玲,黄保军,卢涛等.解析几何教学中数形结合思想方法的运用[J].淮海煤炭师范学院学报,2010,(2):69-73.
（编辑：易继斌）。