10第二章 5高斯光束的基本性质及特征参数
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高斯光束的基本性质及特征参数r讲解
1/ e
2
2 ( z ) lim z 0 z
高斯光束的发散度由束腰半径ω 0决定。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 可以看作是一种非均匀的球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化的球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
z
2
z 0 1 f
f2 R( z ) z z
高斯光束的共焦参数
2 0 f Z0
与传播轴线相 交于Z点的高斯光束 等相位面的曲率半 径
高斯光束的基本特征： (1)基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分 布按照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外 平滑地下降，如图1-6所示。由中心振幅值下降到 1/e点所对应的宽度，定义为光斑半径。
Avalanche photodiode
R(z)随Z变化规律为：
2 2 f f R z z 1 2 z z z
结论： a)当Z=0时，R(z)→∞，表明束腰所在处的等 相位面为平面。 b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表明离束腰无 限远处的等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处； c)当z=±f时，│R(z)│=2f，达到极小值 。
决定了基模高斯光束的空间相移特性。 其 中 ， kz 描 述 了 高 斯 光 束 的 几 何 相 移 ； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移的附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 示与横向坐标 r 有关的相移，它表明高斯光束的等 相位面是以R(z)为半径的球面。
高斯光束的基本性质及特征参数
基模高斯光束
高斯光束在自由空间的传播规律
2-5高斯光束
q参数
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的(1)q参数 (2)光斑半径w与等相位面曲率半径R 2 w 0 3.14 10 6 解 (1) w f f 1m
0
z=0.5m
3.14 10 6 q=0.5+i(m)
(2)
1 R 0 R FR R 1 R F R R 1 1 F F
或
Ru
1 1 1 u v F 1 1 1 R v R R F
R FR FR
R
R
o u
F
v
o
z
1 1 1 FR R R F FR
二、高斯光束q参数的变换规律—ABCD公式
2 m ( z ) (2m 1) 2 ( z ) 2 n ( z ) (2n 1) 2 ( z )
在x方向和y方向 的远场发散角
m lim
2 m ( z ) 2 2m 1 2m 1 0 z z 0
2 n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0 由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以 多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。
2 lim
2 ( z ) z z
( z) 0
z 2 1 ( 2 ) 0
2 2
2 2 L 0
高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！
2 2 2 2 L q f(w0)
O
q f(w0) Z
O
l F l
研究对象
普通球面波
高斯球面波
特点
曲率中心固定的 曲率中心变化的
高斯光束的基本性质及特征参数r
0
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
第二章 高斯光束
– 在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：
(x,
y)
0(T 0)
n T
D 4K
(x2
y2)
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。
21
2.1光线的传播
• 3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
–
程函(eikonal)方程：
x
2
y
2
x y
0 0
d 2r dz 2
k k
2 0
r
0
23
2.1光线的传播
–
（1）k2>0
微分方程的解为 r(z) c1cos
k k
2 0
z
c
2
sin
k k
2 0
z
若考虑光线入射初始条件
为
r0
r
0
'
，则可以求出
c1
r 0; c2
k，因此微分方程的解可以写成：
r
z
r
0
cos
– 1. 薄透镜的聚焦机理
– 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超 前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达
焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位
变换器。
AB AO BO
f 2 x2 y2 f f 1 x2 y2 f
k k
2 0
z
k k
0 2
r
'
0
sin
k k
2 0
z
r ' z
k k
2 0
r
2-5高斯光束
Aq1 B q2 Cq1 D
曲率半径R
复曲率半径q
例1 某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距F=1m 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 后的像光束的焦参数f及其腰距透镜的距离l 解 q=2+i
q f(w0)
O
q f(w0) Z
O
l F l
研究对象
普通球面波
高斯球面波
特点
曲率中心固定的 曲率中心变化的
q2=q1+L
1 1 1 q2 q1 F
在自由空间的传 R2=R1+L 输规律 通过薄透镜的变 1 1 1 R2 R1 F 换 总的变换规律 AR1 B
R2 CR1 D
高斯光束q参数的传输规律
1、传播L距离
q q L
1 T 0 L 1
证
传播L距离的光学变换矩阵
1 q L q qL 0 q 1
2、通过透镜
q、q:透镜处物、像高斯光束q参数 l、l :物、像高斯光束腰到透镜距离 f、f :物像高斯光束焦参数
1 T 1 F 0 1
• 研究对象：高斯球面波—非均匀的、曲率中心不断改变的 球面波 • q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z，q2=q1+L 1 1 1 • 通过薄透镜的变换
q2
q1
F
• q参数的变换规律可统一表示为
Aq1 B q2 Cq1 D
• 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由 光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。 • 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)
第二章高斯光束
§2-2 高斯光束的特性
一、在束腰处（即Z=0处） 1．波阵面半径R（z） W 2 2 W 2 2 1 0 0 lin R( z ) lin z 1 lin z z 0 z 0 z 0 z z 即 R （ z ） =R0=∝，（ z=0 处， R0→∝） 在 z=0 处，波阵面
r2 r2 A0 A0 E ( x, y,0) exp 2 exp ik (0 0) i 0 exp 2 W0 W0 W0 W0
图2-4
A0 推导：令r=0，则E（0，0，0）= W0
W02 1 A0 1 A0 E (0,0,0) 令r=W0，则E（x0，y0，0）= exp 2 W0 W0 e W0 e
2 A0 r 2r 2 A0 P kE k exp 2 k 2 exp 2 W ( z) W ( z ) W ( z) W ( z ) 2 2 2
在通孔半径为ρ的光强P（ρ）
2r 2 A02 p( ) k 2 exp 2 2r.dr W ( z) o W ( z )
2．位相相等的面（即等相面）为：半经相等的球面
3．光矢量沿传播方向的光强与传播距离r成反比。
作为 特例：当z>>x,y，即相距点光源很远的很小球面内，r≈Z 则 E ( x, y , z )
A0 exp[ ikz ] ，与平面波矢量 E( x, y, z) A0 exp[ikz]， z
dW ( z ) 2 z 2 4 2 2 W Z 即 0 dz W0
1 2
5-高斯光束
其中：
ϕ = {− tan−1[z / f ] + kρ 2 + kz} 2R(z)
= — ζ (z)
相位项
高斯光束的特征参数和性质
z 定义：可以完全确定高斯光束形状与位置的物理量
z 参数：f ，ω(z)， R(z)， q(z)
f参数
Fresnel长度/衍射长度/共焦参数
f
=
πω 2 0
λ
d = 2f z
θ0
= lim z→∞
2ω ( z ) z
=
λ 2
πω0
=
2
λ πf
θ0
Gaussian光束 XII — 相位
z 相位项由3部分构成
平面波相位 Guoy相移
波前的球面 弯曲
z 在轴上 (ρ=0)，相位仍然有Guoy相移
从- π/2到+ π/2变化 z 在z = LF Guoy相移为π/4
W / W (0)
1 =0 R(0)
1 (= 1 ) ≡ 1 − i λ q q (0 ) R (0 ) πω 2 (0 )
0
q
=
kω 2
i
0
=
πω 2
i
0
=
i⋅
f
0
2
λ
z 高斯光束重要标量参数LF：Fresnel长度/衍射长度/共 焦参数，
f = kω 2 (0 ) / 2 = πω 2 (0 ) / λ
Gaussian光束 IV
一个沿 Z 轴传播横向按复幅度ΨG 变化的平面波
z 复振幅按高斯分布
Ψ（G ρ ,
z,ω）=
AGe −iP ( z )
exp[−
ikρ 2 ]
高斯光束基本性质及特征参数
上海大学电子信息科学与技术
TEM11
TEM12
TEM22
TEM34
• 相位分布－与方形镜共焦腔相同，等相位面为镜面
• 单程相移
mn kLm 2n 12 kL mn
上海大学电子信息科学与技术
• 谐振频率
mnq
c 2L
q
1 2
m
2n
1
圆形镜共焦腔模在频率上是高度简并的
同一横模的相邻纵模的频率间隔
z0 0 Rz0 共焦腔中心，波面为垂直腔轴的平面
z0 Rz0 无穷远处，等相位面为平面
z0 z0 R(z0) 相等，共焦腔光束的波面在中心两侧对称分布
z0 f L 2 Rz0 2 f L 波面与共焦腔镜面重合
上海大学电子信息科学与技术
可证明：共焦腔反射镜面是共焦腔中曲率半径最大的等相位面。
z z
圆形镜
将式（2-8-4）中的f ,z1 ,z2 代入上式，并由谐振条件
2r, z 2mn0, z2 mn0, z1 q 2
mnq
c
2L
q
1
m
n
1 arccos
g1
g
2
方形镜
mnq
c
2L
q
1
m
2n 1arccos
g1
g
2
圆形镜
衍射损耗
上海大学电子信息科学与技术
共焦腔菲涅耳数
N
• 只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横 模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相 同。
• 共焦腔的特点：衍射损耗低； 模简并；基模光斑尺寸 沿腔轴以双曲线规律变化; 等相位面近似为球面，在反射 镜处，等相位面与镜面重合。
10第二章-5高斯光束的基本性质及特征参数
2R(z)
z f
]}
重新整理r
00 (x, y, z)
c exp{ik
(z)
r2 2
[
1 R(z
)
i
2(
z
)
]}
exp[
i(k
z
arctg
z )] f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子光斑半径(z)
基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯
函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半
径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
解
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
(z) 0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
R(z) z f 2 0.5 12 2.5m
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m)
(
2 0
)
2
令
0
0
l l
F
1 2
l 1
2 0
l
2
0、
1 R(l) 2
z f
]}
重新整理r
00 (x, y, z)
c exp{ik
(z)
r2 2
[
1 R(z
)
i
2(
z
)
]}
exp[
i(k
z
arctg
z )] f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子光斑半径(z)
基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯
函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半
径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
解
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
(z) 0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
R(z) z f 2 0.5 12 2.5m
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m)
(
2 0
)
2
令
0
0
l l
F
1 2
l 1
2 0
l
2
0、
1 R(l) 2
高斯光束的基本性质及特征参数课件
变换方法
通过使用各种光学元件，如反射镜、 棱镜等，可以对高斯光束进行各种形 式的变换，如旋转、平移、缩放等。
高斯光束的操控与调制
操控技术
利用光学元件对高斯光束进行操控，如改变光束方向、实现光束分裂等。
调制方法
通过在光束中加入外部信号，可以对高斯光束进行调制，实现信息传输和信号 处理等功能。
05
CHAPTER
高斯光束的聚焦
通过透镜可以将高斯光束聚焦到一点 ，聚焦点处的光强最大过程中，其传播方向呈发散状。
光强分布
高斯光束的光强呈高斯型分布，中心光强最大，向外逐渐减小。
衍射极限
高斯光束的衍射极限由波长和束腰宽度决定，短波长、小束腰宽度 的高斯光束具有更好的聚焦性能。
高斯光束的模拟与仿真
高斯光束的数值模拟方法
有限差分法
通过离散化高斯光束的波动方程，使用差分公式 求解离散点上的场值。
有限元法
将高斯光束的波动方程转化为变分问题，利用分 片多项式逼近解。
谱方法
将高斯光束的波动方程转化为频域或谱域的方程 ，通过傅里叶变换求解。
高斯光束的物理仿真实验
光学实验平台
搭建光学实验装置，通过实际的光路系统模拟高斯光束的传播。
光学成像
1 2 3
高分辨率成像
高斯光束在光学成像领域可用于实现高分辨率、 高清晰度的成像，从而提高图像的细节表现力和 清晰度。
荧光显微镜
高斯光束作为激发光，能够均匀地激发样品中的 荧光物质，提高荧光显微镜的成像质量和稳定性 。
光学共聚焦显微镜
利用高斯光束的聚焦和扫描特性，可以实现光学 共聚焦显微镜的高精度、高灵敏度成像。
激光加工
高效加工
01
高斯光束具有较高的亮度和能量集中度，能够实现高效、高精
通过使用各种光学元件，如反射镜、 棱镜等，可以对高斯光束进行各种形 式的变换，如旋转、平移、缩放等。
高斯光束的操控与调制
操控技术
利用光学元件对高斯光束进行操控，如改变光束方向、实现光束分裂等。
调制方法
通过在光束中加入外部信号，可以对高斯光束进行调制，实现信息传输和信号 处理等功能。
05
CHAPTER
高斯光束的聚焦
通过透镜可以将高斯光束聚焦到一点 ，聚焦点处的光强最大过程中，其传播方向呈发散状。
光强分布
高斯光束的光强呈高斯型分布，中心光强最大，向外逐渐减小。
衍射极限
高斯光束的衍射极限由波长和束腰宽度决定，短波长、小束腰宽度 的高斯光束具有更好的聚焦性能。
高斯光束的模拟与仿真
高斯光束的数值模拟方法
有限差分法
通过离散化高斯光束的波动方程，使用差分公式 求解离散点上的场值。
有限元法
将高斯光束的波动方程转化为变分问题，利用分 片多项式逼近解。
谱方法
将高斯光束的波动方程转化为频域或谱域的方程 ，通过傅里叶变换求解。
高斯光束的物理仿真实验
光学实验平台
搭建光学实验装置，通过实际的光路系统模拟高斯光束的传播。
光学成像
1 2 3
高分辨率成像
高斯光束在光学成像领域可用于实现高分辨率、 高清晰度的成像，从而提高图像的细节表现力和 清晰度。
荧光显微镜
高斯光束作为激发光，能够均匀地激发样品中的 荧光物质，提高荧光显微镜的成像质量和稳定性 。
光学共聚焦显微镜
利用高斯光束的聚焦和扫描特性，可以实现光学 共聚焦显微镜的高精度、高灵敏度成像。
激光加工
高效加工
01
高斯光束具有较高的亮度和能量集中度，能够实现高效、高精
高斯光束(2021年整理)
高斯光束(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高斯光束(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高斯光束(word版可编辑修改)的全部内容。
高斯光束在光学中,高斯光束(Gaussian beam)是横向电场以及辐射照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。
许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里,激光在光谐振腔（optical resonator)里以TEM00波模传播。
当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。
这解释了高斯光束是激光光学里一种方便、广泛应用的原因。
描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似(Paraxial approximation）解(属于小角近似（Small-angle approximation）的一种）.这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。
电磁波的传播包括电场和磁场两部分。
研究其中任一个场，就可以描述波在传播时的性质.高斯光束的瞬时辐射照度示意图纳米激光器产生的激光场强（蓝色）和辐射照度(黑色）在坐标轴上的分布情况共焦腔基模高斯光束腰斑半径数学形式高斯光束作为电磁波,其电场的振幅为：这里为场点距离光轴中心的径向距离为光轴上光波最狭窄位置束腰的位置坐标为虚数单位（即）为波数（以弧度每米为单位）,为电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径为激光的束腰宽度为光波波前的曲率半径为轴对称光波的Gouy相位,对高斯光束的相位也有影响对应的辐射照度时域平均值为这里为光波束腰处的辐射照度。
第二章 高斯光束
3
2.1光线的传播
• 坐标系及方向的规定
1
2
X
Z O
Y
ri'
ro'
ro ri
Z
• 光线在光轴上方，r>0；反之，r<0;
• 光线指向光轴上方，r’>0；反之，r’<0；
ri 0; ri ' 0 ro 0; ro ' 0
4
2.1光线的传播
2.1.1光线矩阵 1.通过厚度为d的均匀介质
ro ri dri'
rs rs'
12
2.1光线的传播
综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况
rS rS'
1 1
1 1
f1
0 1
1 0
d 1
1 1
f2
0 1
1 0
d 1
rS rS'
A C
B D
rS rS'
A 1 d f2
B d(2 d ) f2
C [ 1 1 (1 d )]
f1 f2
f2
d
dd
D [ (1 )(1 )]
'
ri R
ro '
2 ' 1
ro'
2 1 2R
ri
1 2
ri'
ro ro'
1
2 1 2R
0
1 2
ri ri'
ri’
ri
R
1
'
ro’ ro
2
8
2.1光线的传播
5.球面反射镜
ro ri
ro'
2 R
2.1光线的传播
• 坐标系及方向的规定
1
2
X
Z O
Y
ri'
ro'
ro ri
Z
• 光线在光轴上方，r>0；反之，r<0;
• 光线指向光轴上方，r’>0；反之，r’<0；
ri 0; ri ' 0 ro 0; ro ' 0
4
2.1光线的传播
2.1.1光线矩阵 1.通过厚度为d的均匀介质
ro ri dri'
rs rs'
12
2.1光线的传播
综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况
rS rS'
1 1
1 1
f1
0 1
1 0
d 1
1 1
f2
0 1
1 0
d 1
rS rS'
A C
B D
rS rS'
A 1 d f2
B d(2 d ) f2
C [ 1 1 (1 d )]
f1 f2
f2
d
dd
D [ (1 )(1 )]
'
ri R
ro '
2 ' 1
ro'
2 1 2R
ri
1 2
ri'
ro ro'
1
2 1 2R
0
1 2
ri ri'
ri’
ri
R
1
'
ro’ ro
2
8
2.1光线的传播
5.球面反射镜
ro ri
ro'
2 R
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例1 某高斯光束波长为?=3.14? m,腰斑半径为
w0=1mm, 求腰右方距离腰50cm处的 斑半径w 与等相位面曲率半径R
解
f
?
??
2 0
?
?
3.14 3.14
? 10 ?6 ? 10 ?6
?
1m
? (z) ? ? 0
1?
z2 f2
?
w0
1?
0.52 12
? 1.12mm
R(z) ? z ? f 2 ? 0.5 ? 12 ? 2.5m
?
i[
k
(
z
?
r2 )? 2R( z)
arctg
z ]} f
重新整理 r
?
00 ( x,
y,
z)
?
?
c ( z)
exp{
? ik
r2 2
[
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
]}
exp[
?
i
(
kz
?
arctg
z )] f
引入一个新的参数 q(z)， 定义为
1 q(z)
?
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
? 参数q将? (z)和R(z)统一在一个表达式中，知
R ? R(z) ? z[1? ( f )2 ] ? f ( z ? f ) ? z ? f 2
z
fz
z
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面的曲率半径
? (z) ? ?0
1? ( z)2 f
? (z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面上的光斑半径
当z=f时， ? (z)= 2? 0，即f表示光斑半径增加到
(2)
? (z) ? ? 0
1?
z2 f2
?
?
(
f
?
z2 )
?
f
R(z) ? z ? f 2 z
z ? f 2 ? 0.5 z
f ? z2 ? 1 f
z2 ? f 2 ? 0.5 ① z
f 2 ? z2 ? 1 ②
f
z2 ? f 2 ? 0.5 z
f 2 ? z2 ? 1 f
f2?4f2 ?1 f
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
式求出该位置处? (z)和R(z)的数值
1 ? Re[ 1 ]
R( z)
q(z)
?
1 2 (z)
?
?
? ?
Im[ 1 ]
q(z)
1 q0
?
1 q(0)
?
1 R(0)
?
i
??
?
2 (0)
用q0=q(0)表示z=0处 的参数值，得出
q0
?
i
?? ?
2 0
?
if
q0 is purely imaginary
腰斑的 2 倍处的位置
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子? 光斑半径? (z)
基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯 函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半
径为? (z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角?0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
far-field beam angle
?0
?
lim
z??
2? (z)
z
?
?
2
?? 0
?
2
? ?f
? 相位因子? 等相位面的曲率半径 R(z)
? 因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（ x,y）有关的相位移 动，表明高斯光束的等相位面是以 R(z)为半径的球 面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随 z不 同而不同 ；当z=?f时，?R(z)?=2f；当z =0时， R(z)?? ； z ?? 时， R(z)?? 。
腰位置为在该处左方 1m处
(2) 1 ? 1 ? 1? i ? 1 ? i 1
q 1? i 2 2 2
1?1 R2
R ? 2m
? ?1 ?? 2 2
? ? 2? ? 2 ? 3.14 ? 10?6 ? 1.414mm
?
3.14
§2.10 高斯光束q参数的变换规律
? 普通球面波的传播规律 ? 高斯光束q参数的变换规律 ? 用q参数分析高斯光束的传输问题
f ? 0 (舍去)
①
②/①: z ? 2
②
f
5f 2 ? f
5f2? f ?0
f ? 0.2m
z? 2f
f (5 f ? 1) ? 0
0.22 ? z2 ? 1 0.2
z2 ? 0.2 ? 0.22 ? 0.16
?0 ?
?f ? ?
3.14 ? 10?6 ? 0.2 ? 0.447 mm 3.14
?? R(z) ? z ? f 2 ? ??2 f
z ??z
z ?? f z? f z ?? f
? 曲率中心的位置 = z? R(z)
当 z ? f时, z ? R(z) ? f ，说明球心在共焦腔腔外
当 z ? f时, z ? R(z) ? f ，说明球心在共焦腔腔内
? 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为?=3.14? m)
解 (1)
1 q
?
1 R
?
i
? ??
2
?
1 0.5
?
i
3.14? 10?6 3.14? (10?3)2
?
2? i
q ? 1 ? 2 ? i ? 2 ? i ? 0.4 ? 0.2i(m) 2?i 4?1 5
一、普通球面波的传播规律
? 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 ? 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L
§2.9 高斯光束的基本性质及特征参数
? 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示
p[ [ ?
00
( x,
y,
z)?Leabharlann ?c ( z)ex
?
?
r
2
2
(z)
]
exp{
?
i
k(z
?
r2 )? 2R
arctg
z ]}
f
其中，c为常数，r 2=x2+y2，k=2? /? ，
f
?
?? ?
2 0
,?
0
?
f? ?
? 0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
腰位置在该处左方 0.4m
z ? 0.4m
例3 高斯光束波长为?=3.14? m,某处的q参数
为q=1+i(m), 求(1)此光束腰斑半径w0及腰位置 (2)该处光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1) z=1m f=1m
?0 ?
?f ? ?
3.14 ? 10 ? 6 ? 1 ? 1mm 3.14
三、基模高斯光束的特征参数（三种方法）
用参数? 0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数? (z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的? (z)和R(z)，可决
定高斯光束腰斑的大小? 0和位置z
高斯光束的q参数
?
00 ( x,
y, z)
?
?
c exp[ ? ( z)
?
r
2
2
(
z)
]
exp{