10第二章 5高斯光束的基本性质及特征参数

例1 某高斯光束波长为?=3.14? m,腰斑半径为
w0=1mm, 求腰右方距离腰50cm处的 斑半径w 与等相位面曲率半径R
解
f
?
??
2 0
?
?
3.14 3.14
? 10 ?6 ? 10 ?6
?
1m
? (z) ? ? 0
1?
z2 f2
?
w0
1?
0.52 12
? 1.12mm
R(z) ? z ? f 2 ? 0.5 ? 12 ? 2.5m
腰斑的 2 倍处的位置
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子? 光斑半径? (z)
基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯 函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半
径为? (z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角?0（定义在基模高斯光束强度的
?? R(z) ? z ? f 2 ? ??2 f
z ??z
z ?? f z? f z ?? f
? 曲率中心的位置 = z? R(z)
当 z ? f时, z ? R(z) ? f ，说明球心在共焦腔腔外
当 z ? f时, z ? R(z) ? f ，说明球心在共焦腔腔内
? 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
(2)
? (z) ? ? 0
1?
z2 f2
?
?
(
f
?
z2 )
?
f
来自百度文库
R(z) ? z ? f 2 z
z ? f 2 ? 0.5 z
f ? z2 ? 1 f
z2 ? f 2 ? 0.5 ① z
f 2 ? z2 ? 1 ②
f
z2 ? f 2 ? 0.5 z
f 2 ? z2 ? 1 f
f2?4f2 ?1 f
一、普通球面波的传播规律
? 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 ? 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L
腰位置为在该处左方 1m处
(2) 1 ? 1 ? 1? i ? 1 ? i 1
q 1? i 2 2 2
1?1 R2
R ? 2m
? ?1 ?? 2 2
? ? 2? ? 2 ? 3.14 ? 10?6 ? 1.414mm
?
3.14
§2.10 高斯光束q参数的变换规律
? 普通球面波的传播规律 ? 高斯光束q参数的变换规律 ? 用q参数分析高斯光束的传输问题
三、基模高斯光束的特征参数（三种方法）
用参数? 0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数? (z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的? (z)和R(z)，可决
定高斯光束腰斑的大小? 0和位置z
高斯光束的q参数
?
00 ( x,
y, z)
?
?
c exp[ ? ( z)
?
r
2
2
(
z)
]
exp{
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
式求出该位置处? (z)和R(z)的数值
1 ? Re[ 1 ]
R( z)
q(z)
?
1 2 (z)
?
?
? ?
Im[ 1 ]
q(z)
1 q0
?
1 q(0)
?
1 R(0)
?
i
??
?
2 (0)
用q0=q(0)表示z=0处 的参数值，得出
q0
?
i
?? ?
2 0
?
if
q0 is purely imaginary
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为?=3.14? m)
解 (1)
1 q
?
1 R
?
i
? ??
2
?
1 0.5
?
i
3.14? 10?6 3.14? (10?3)2
?
2? i
q ? 1 ? 2 ? i ? 2 ? i ? 0.4 ? 0.2i(m) 2?i 4?1 5
1/e2点的远场发散角）
far-field beam angle
?0
?
lim
z??
2? (z)
z
?
?
2
?? 0
?
2
? ?f
? 相位因子? 等相位面的曲率半径 R(z)
? 因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（ x,y）有关的相位移 动，表明高斯光束的等相位面是以 R(z)为半径的球 面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随 z不 同而不同 ；当z=?f时，?R(z)?=2f；当z =0时， R(z)?? ； z ?? 时， R(z)?? 。
?
i[
k
(
z
?
r2 )? 2R( z)
arctg
z ]} f
重新整理 r
?
00 ( x,
y,
z)
?
?
c ( z)
exp{
? ik
r2 2
[
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
]}
exp[
?
i
(
kz
?
arctg
z )] f
引入一个新的参数 q(z)， 定义为
1 q(z)
?
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
? 参数q将? (z)和R(z)统一在一个表达式中，知
腰位置在该处左方 0.4m
z ? 0.4m
例3 高斯光束波长为?=3.14? m,某处的q参数
为q=1+i(m), 求(1)此光束腰斑半径w0及腰位置 (2)该处光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1) z=1m f=1m
?0 ?
?f ? ?
3.14 ? 10 ? 6 ? 1 ? 1mm 3.14
f ? 0 (舍去)
①
②/①: z ? 2
②
f
5f 2 ? f
5f2? f ?0
f ? 0.2m
z? 2f
f (5 f ? 1) ? 0
0.22 ? z2 ? 1 0.2
z2 ? 0.2 ? 0.22 ? 0.16
?0 ?
?f ? ?
3.14 ? 10?6 ? 0.2 ? 0.447 mm 3.14
R ? R(z) ? z[1? ( f )2 ] ? f ( z ? f ) ? z ? f 2
z
fz
z
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面的曲率半径
? (z) ? ?0
1? ( z)2 f
? (z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面上的光斑半径
当z=f时， ? (z)= 2? 0，即f表示光斑半径增加到
§2.9 高斯光束的基本性质及特征参数
? 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示
p[ [ ?
00
( x,
y,
z)
?
?
c ( z)
ex
?
?
r
2
2
(z)
]
exp{
?
i
k(z
?
r2 )? 2R
arctg
z ]}
f
其中，c为常数，r 2=x2+y2，k=2? /? ，
f
?
?? ?
2 0
,?
0
?
f? ?
? 0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数