偏微分方程的现代方法PPT模板
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《偏微分方程》课件
非线性偏微 分方程：方 程中含有偏 导数，且偏 导数项的系 数不是常数
椭圆型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数
抛物型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 不是常数
双曲型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数，但 方程的解不 是实数
边界条件：确定求解区域和边界条件，如Dirichlet边界条件、 Neumann边界条件等
初值条件：确定求解区域的初值条件，如Cauchy问题、初边值问题等
稳定性和收敛性：分析求解方法的稳定性和收敛性，确保解的准确性和 可靠性
应用实例：通过具体实例，展示求解方法的应用和效果
课件结构
课件目录
偏微分方程的应用
物理领域：描述 流体力学、热力 学、电磁学等现 象
工程领域：解决 结构力学、材料 力学、电子工程 等问题
生物领域：模拟 生物系统的生长、 扩散、反应等过 程
经济领域：用于 金融、经济模型、 风险管理等方面
偏微分方程的求解方法
分析法：通过分析方程的性质，寻找解的性质和形式
数值法：通过数值计算，求解偏微分方程的数值解
偏微分方程的求解方法：展示偏微分方程的求解方法，如分离变量法、积分因子法等
公式素材
偏微分方程的 定义和性质
偏微分方程的 应用实例
偏微分方程的 求解方法
偏微分方程的 扩展和研究进
展
动画素材
动画类型：2D动画、3D动画、Flash动画等 动画内容：偏微分方程的求解过程、应用实例等 动画风格：简洁明了、生动有趣、易于理解 动画时长：根据课件内容需要，控制在5-10分钟以内
偏微分方程PPT课件
第5章偏微分方程值解ppt课件
t
t nt , x ix , y jy , z kz
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处 理技术得到下面离散化计算公式：
2u t 2 2u x 2 2u y 2 2u z 2
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
例下面介绍3种迭代格式： 1 u (u u u u (1)同步迭代： 4 1 u (u u u u (2)异步迭代： 4 1 u u u ) u (u 4 (3)超松弛迭代：
（5-4） (计算实例VB程序见课本)
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
2、一维流动传热传导方程的混合问题 一维流动传热传导方程的混合问题：
2 u u 2 u b f (u, t ) a 2 t x x u t 0 (x), u 0 x x l u x 0 μ1(t)
u
x0
1 (t ),u xt 2 (t )
为初值条件 为边值条件
当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动 方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的 混合问题。
总目录 本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
t t
x
0
x
0
l
(a)初值问题
2偏微分方程数值解法引论精品PPT课件
u , y
u1
, u2
T
u
x x x
则方程组（2）可表示为
u
A
u
h
0
y x
（2）多维一阶方程组方程组
见8页
同理
u1
y
a1
u1 x
h1
0
u
p
y
ap
u p x
hp
0
（3）
可表示为
u
A
u
h
0
y x
（4）
其中
u1 y
,,
u p y
T
u , y
h1,, hp T h
n
考虑两个自变量的二阶偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
2b xy
c
y 2
d
x
e y
fu
g
线性: a,b,c,d ,e, f , g 是x,y的二元函数;
拟线性:
a, b, c, d , e,
f
,
g
是
x,
y, u,
u x
,
u y
的函数;
对于二阶线性偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
ui xk
1
p xi
ui ,
i 1, 2,（3 动量守恒）
3
uk
k1 xk
（0 质量守恒）
其中，u (u1, u2 , u3 )表示速度， 表示粘滞系数
（二）定解问题
1.
定解条件
边界条件 初始条件
2.定解问题 方程 定解条件
初值问题（Cauchy问题） 定解问题 边值问题（Drichlet / Numann / Robin）
计算流体力学基础_P2_偏微分方程的性质 ppt课件
di( a 1 , g 2,3)
对于左边界：
条件
描述
u0 anduc u0 anduc
u0 anduc
超音速入口 亚音速入口 超音速出口
u0 anduc 亚音速出口
边界条件设定
给定3个边界条件 给定2个边界条件 无需给定边界条件 给定1个边界条件
知识点
Slide 14
5. 椭圆型方程：Laplace方程
Uu
E
0
1
0
AU f ((232)u3)u2u/2c21
(3)u c2 32u2 1 2
1
u
推导
u f(U)u2 p
u(Ep)
守恒变量：质量 密度、动量密度、 能量密度
u1 U u u2
E u3
u 1,uu 2/u 1,Eu 3
E p 1 u2 1 2
p
c/a 0
I A 0 a 2 b c 0 ( 3 )
特征方程（3）有两个互异实根 -> 矩阵A可对角化 -> 双曲型
特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化 -> 抛物型
特征方程（3）无实根
-> 椭圆型
Slide 11
4. 讨论Euler方程组
一维非定常流动：
f(U)AU
x
x
U f(U) 0 t x
则有：
duaubuc ds x y
特征相容关系 （特征线上物理量的简化方程）
✓偏微方程在特征线上变成了常微分方程 Slide 7
演示： 如何利用特征线计算物理量
a(x,y)ub(x,y)uc(x,y)
x
y
特征线法是空气动力学重要的计算方 法。早期（计算机出现之前），是主 y 要的CFD手工计算方法之一。
偏微分方程数值解PPT课件
t
t
n j
tn j1
x x
EXCEL
0.01, x 0.1
t n1 j
t
n j
2(TW
t
n j
)
3
t
n j
t
n j1
x
t n1 j
0.02TW
0.68t
n j
0.3t
n j1
此微分方程，是在不考虑流体本身热传 导时的套管传热微分方程.由计算结果可 知，当计算的时间序列进行到72时，传 热过程已达到稳态，各点上的温度已不 随时间的增加而改变。如果改变套管长 度或传热系数，则达到稳态的时间亦会 改变。
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
• 物理实际问题的归类：
• 波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
• 热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
2u x 2
• 拉普拉斯方程（椭圆型ux22）稳态y2u2 静 电0 场或稳态温度分布场）
第4页/共32页
un i 1
b
un i1
uin
x
f (ix, nt)
ui0
(i x )
un m1
umn
x
0
u0n 1(nt )
(i 1,2, ,m) (n 0,1, 2, ) (n 0,1,2, )
第13页/共32页
一维流动热传导方程
将上式进行处理得到：
un1 i
t
f
(ix, nt )
(a2
t (x)2
1的)偏t )
微
分
采
用
向
后
欧
偏微分方程分类与标准型PPT课件
解： a11 1, a12 cos x, a22 ( 3 sin2 x)
cos2 x 3sin2 x 4 0 双曲型方程
特征方程 ( dy )2 2cos x dy (3 sin2 x) 0
dx
dx
特征方程的解： dy cos x 2, dy cos x 2
dx
Am2 Bm C 0
证明二阶线性偏微分方程 Auxx Buxy Cuyy 0
的通解为： u f (m1 x y) g(m2 x y)
证明：设 m1 x y, m2 x y
则：
1 (4AC A
B2 )u
0
u 0
第18页/共28页
§4 三类方程的简化形式
1.双曲方程型方程：
1 )u
2Cu F ]
第21页/共28页
小结：三种方程的标准型式：
(1) a122 a11a22 0 u u Au Bu Cu D
(2) a122 a11a22 0,
u Au Bu Cu D (3) a122 a11a22 0
u u Au Bu Cu D
第22页/共28页
例题1：分类并标准化方程：
解：该方程的 特征方程：
故该方程是抛物型的。
特征的解：
从而得到方程的一族特征线为：
自变量代换
(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简单 的函数形式,即η=x 或η=y)
原方程化简后的标准形式为：
第23页/共28页
例2. 判断偏微分方程类型并化简：
uxx 2uxy 3uyy 2ux 6uy 0
解：∵
a11 1 a12 1 a22 3 故
故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程
a122 a11a22 4 0
第五章 偏微分方程的有限元法 ppt课件
Harbin Institute of Technology Yangkun
7/43
5.1 泛函与变分原理
例5.1.1 质点在重力作用下，沿一条光滑的从A点到B
计 点的曲线运动，如图所示。求下落时间最短的曲线。
算
物 理
O
x0
A
x1 x
捷线问题
学
B
y
曲线上任一小段线元长度为：
d2sd2xd2 y(1dy2)d2x dx
n1
n
aii aii
Harbin Inis1titute of Tecihn1ology Yangkun
23/43
5.1 泛函与变分原理
例5.1.2 求下列泛函的极值函数。 计
算 物
Jy 1(y2 y2 4xy)dx 0
理
y(0) y(1) 0
学
解：为了满足边界条件，取基函数为
i xi(1x)
近似函数为
n
y aixi 1 x i1
Harbin Institute of Technology Yangkun
24/43
5.1 泛函与变分原理
计 当n=1时 算
ya1x1x
物 代入泛函 理
Jy1(y2y24xy)dx 0
学
Jy0 1a 1 2 a 1 x2 a 1 x1 x 2 4 a 1 x21 xd x
算
泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的
物 “函数”。
理
设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任
学 一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为
y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数，
一阶偏微分方程求解方法PPT课件
i 1
i 1
18
19
2019/10/22
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
n
n
{[ w j( i )d]Ci}
{[ w*j ( i )d]Ci}
w jq d
w
* j
s
d
i 1
i 1
n
{[
w j( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci
w jq d
w
* j
s
d
i 1
有j个代数方程，
20
通常等于待定系 数个数
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
在x 0处：（）x0＝0 在x d处：（）xd＝10 12
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式：
Fj(R)
j
R
d
j
R
d，j
1,2
j 1时,得到一个代数方程：
F1(R)
1
R
d
1R
偏微分方程分类与标准型PPT课件
1 )u
2Cu F ]
第21页/共28页
小结：三种方程的标准型式：
(1) a122 a11a22 0 u u Au Bu Cu D
(2) a122 a11a22 0,
u Au Bu Cu D (3) a122 a11a22 0
u u Au Bu Cu D
dx
特征线：y sin x 2x C1, y sin x - 2x C2
令： y sin x 2x, y sin x - 2x
u
32
(u
u
)
0
s , t ξ-η
第26页/共28页
第二章： 复习思考题与作业
一．写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与 特 征根。
二. 简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。 三. 写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则。 四. 解释何谓自变量非奇异变换。 五. 简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤。 六. 书习题2：1（1）（2）；2（2）（3）；7 七. 课堂练习：P41:2（1）
利用了欧拉公式
例: 求下列方程的通解
(1) y 4 y 3 y 0 (2) y 2 2 y 2 y 0 (3) y 2 y 3 y 0
解 (1)特征方程为 r2 4r 3 0 解得 r1 3, r2 1
所以方程的通解为
y C1e3x C2e x C1 ,C2为任意常数
2u t 2
a2
2u x2
x
2u x 2
a2
2u t 2
u
2u x 2
a2
u t
xu
1
u
1
2
2u
2
0
第11页/共28页
偏微分方程及其求解实例ppt课件
(hn1-2.*h(k,n)+h(k,n-1))./dr.^2);
end plot(r(3:n)./ra,p(k,3:n).*theta.*2./rb)
h hi1 hi1 r i 2r
2h hi1 2hi hi1
r 2
r 2
i
P
1 rb 4
1
r
h r
2h r 2
偏微分方程的求解实例2:
2u A x2
2u B
xy
C
2u y 2
D u x
E u y
Fu
f
x,
y,u,
u x
,
u y
(1) 导热方程:
u 2u
t x2 (2) 拉普拉斯方程: 如稳态静电场和稳态温度分布模型
2u 2u 0
x2 y2
(3) 波动方程: 一维弦振动模型
2u 2 2u
t 2
x2
偏微分方程的边界条件
function PDE1Dd_CrankNicolson % 使用Crank-Nicolson有限差分方法求解一维动态传
热模型
c1 = 100; c2 = 0; a = 10; b = 8; alpha = 2; n = 6; m = 8; U = CrankNicolson(@ic,c1,c2,a,b,alpha,n,m)
h t 3 9c
9c
h3 h33
4h r 4
3
h5 4h4
6h3 4h2 r 4
h1
h t
n
V
r i 2r
2h hi1 2hi hi1
r 2
r 2
i
3h r 3
hi2
2hi1 2hi1 2r 3
计算机应用基础偏微分方程求解PPT课件
6.2 二阶偏微分方程的求解
二 抛物线型偏微分方程
第16页/共43页
6.2 二阶偏微分方程的求解
parabolic函数用于求解抛物型偏微分方程的解，调用格 式如下：
u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) b: 边界条件 u0: 初始条件 tlist；时间列表 u1:对应于tlist的解向量 p,e,t :网格数据
• 启动偏微分方程求解界面
– 在 MATLAB 下键入 pdetool
• 该界面分为四个部分
– 菜单系统 – 工具栏 – 集合编辑 – 求解区域
第20页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
菜单栏
工具栏
第21页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
第22页/共43页
5.3 偏微分方程求解工具箱
第9页/共43页
6.1 偏微分方程组求解
边界条件程序”c7mbc.m” function [pa, qa, pb, qb]=c7mpbc(xa, ua, xb, ub, t) pa=[0; ua(2)]; qa=[1; 0]; pb=[ub(1)-1; 0]; qb=[0; 1];
function u0=c7mpic(x) u0=[1; 0];
进入反应器，相当于总质量速率为G=2500kg.h-1.m2。反应管
外用速率为F 130kg h-1烟道气与反应混合物
逆流加热反应管，烟道气出口温度为620 C。其
它数据：催化剂的堆积密度＝1440kg / m3，操作
压力P 1.2bar，乙苯的反应热H＝140000kJ / m ol，
床层有效导热系数e 0.45w.m1.k 1,有效扩散系数
计算方法 偏微分方程数值解34页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
计算方法 偏微分方程数值解不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
谢谢！
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
计算方法 偏微分方程数值解不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
偏微分方程演讲稿ppt课件
偏微分方程
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
演讲人：Marky
1
目录
• 1 偏微分方程的基本概念 • 2 有限差分方法 • 3 常系数扩散方程及初边值问题 • 4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
深圳大学材料学院
2
1 偏微分方程的基本概念
3
1.1 偏微分方程定义
深圳大学材料学院
17
4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
18
复Ginzburg-Landau方程(CGLE)形式如下：
t
A
A
(1
i
)
2 x
A
(1
i
)
A2
A
其中，A=(x,t)是关于时间t和空间x的复变量；μ是标度参数，通常
情况下，μ=1 ；实数α,β是系统参数。当α,β→∞,α/β=常数，
上方程转变为非线性薛定谔方程。当α,β→0,方程可以化为一个简
, tn1)
u(x j
,tn )
[
u t
]nj
O(
)
(1)
u(x j1, tn ) u(x j , tn ) h
[
u x
]nj
O(h)
(2)
u(x j1, tn )
2u(x j , tn ) h2
u(x j1,t n)
[
2u x 2
]nj
O(h2 )
(3)
深圳大学材料学院
11
利用（1）式和（2）有
1.2.1 偏微分方程的解
偏微分方程的解：如果给定一个函数，将它及它对自变量的各阶偏导 数代入原偏微分方程，能使方程成为恒等式，则称函数是偏微分方程的解。
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
演讲人：Marky
1
目录
• 1 偏微分方程的基本概念 • 2 有限差分方法 • 3 常系数扩散方程及初边值问题 • 4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
深圳大学材料学院
2
1 偏微分方程的基本概念
3
1.1 偏微分方程定义
深圳大学材料学院
17
4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
18
复Ginzburg-Landau方程(CGLE)形式如下：
t
A
A
(1
i
)
2 x
A
(1
i
)
A2
A
其中，A=(x,t)是关于时间t和空间x的复变量；μ是标度参数，通常
情况下，μ=1 ；实数α,β是系统参数。当α,β→∞,α/β=常数，
上方程转变为非线性薛定谔方程。当α,β→0,方程可以化为一个简
, tn1)
u(x j
,tn )
[
u t
]nj
O(
)
(1)
u(x j1, tn ) u(x j , tn ) h
[
u x
]nj
O(h)
(2)
u(x j1, tn )
2u(x j , tn ) h2
u(x j1,t n)
[
2u x 2
]nj
O(h2 )
(3)
深圳大学材料学院
11
利用（1）式和（2）有
1.2.1 偏微分方程的解
偏微分方程的解：如果给定一个函数，将它及它对自变量的各阶偏导 数代入原偏微分方程，能使方程成为恒等式，则称函数是偏微分方程的解。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
05 第三章正则性（变系数）
（第 变三 系章 数正 ）则
性
A
3-1形式 次椭圆算
子
D
3-4引理 的证明
B
3-2正则 性的证明
E
3-5存 在性
C
3-3向 量空间
F
3-6例
第三章正则 性（变系数） 习题
06 第四章Cauchy存 在性
1-7常系数算子 习题
04 第二章正则性（常系数）
第二章正则 性（常系数）
06
2-6次椭圆 算子
01
2-1一个必 要条件
05
2-5Fourier 变换
02
22Friedrichs
软化子
04
2-4椭圆算 子
03
2-3一组范 数
第二章正则性（常 系数）
2-7算子的比较 2-8正则性的证明 2-9闭图象定理 习题
202X
偏微分方程的现代方法
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 目录
目录
02 序言
序言
03 第一章解的存在性
第一章解 的存在性
0 1
1-1引言
0 4
1-4一个必要 条件
0 2
1-2无解的方 程
0 5
1-5Hilbert空 间的一些概念
0 3
1-3分部积分
0 6
1-6弱解
第一章解的存在性
9-7G rding不等式 9-8强解和弱解 9-9例外集 习题
12 第十章一般边值问题
第十章一般 边值问题
10-1问题的陈述
01 1 0 - 6 不 等 06
式
05
10-5正则性定理
10-2在 σ<sub>R</sub>中
的问题
02
03 1 0 - 3 解 法
04
10-4共轭组
第十章一 般边值问 题
03
5-3一维情 形的估计
第五章解的性质
5-7例 习题
第六章半空间中的边值问题
08 （椭圆型）
边第 值六 问章 题半 （空 椭间 圆中 型的 ）
0 1
6-1引言
0 4
6-4一般边界 条件
0 2
6-2半直线上 的问题
0 5
6-5一种简单 情形的估计
0 3
6-3唯一性
0 6
6-6一般情形 的估计
7-5引理的 证明
03
7-3定理71的证明
06
7-6半空间 中的存在性
和估计
第七章半空间中的边值 问题（非椭圆型）
7-7例 7-8非零边界条件 习题
10 第八章Dirichlet问题
问第 题八
章
Dirichlet
8-1引 言
8-4估 计
8-2弱 解
8-5紧 算子
8-3正规 边界算子
01
4-1问题的 陈述
05
4-5常微分 方程
02
4-2弱解
04
4-4双曲型 算子的性质
03
4-3双曲型 方程
第四章Cauchy问题
4-7唯一性 习题
07 第五章解的性质
第五章解的 性质
06
5-6纯双曲 型算子
01
5-1强解的 存在性
05
5-5存在定 理
02
5-2强解的 性质
04
5-4n＋1维 情形的估计
8-6紧 嵌入
第八章Dirichlet 问题
8-7解决问题 8-8半空间中的一些定理 8-9在边界上的正则性 习题
11 第九章一般区域
第九章一般区域
01
9-1基本定 理
04
9-4一些引 理
02
9-2一个不 等式和一个 正则性定理
05
9-5不等式
03
9-3局部化
06
9-6强椭圆 算子
第九章一般区域
10-7全局共轭算子 10-8边界范数 10-9紧性论证 习题
13 参考文献
参考文献
感谢聆听
第六章半空间中的 边值问题（椭圆型）
6-7半空间中的估计 6-8半空间中的存在性 6-9一些结果 习题
第七章半空间中的边值问题
09 （非椭圆型）
值第 问七 题章 （半 非空 椭间 圆中 型的 ）边
01
7-1引言
04
74Hermite 算子和矩阵
02
7-2在半直 线上的估计
05