函数极限的求解方法汇总
求函数极限的方法总结
求函数极限的方法总结考研高数求极限是考研数学的重要考点，下面将各种求函数极限的方法总结，欢迎阅读参考！求函数极限的方法总结：1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须*拆分后极限依然存在,e的x次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是x趋近而不是n趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，lnx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，lnx趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)e的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
极限的求解方法总结
千里之行，始于足下。
极限的求解方法总结极限是数学中一个重要的概念，它描述了函数在某一点或某一趋势中的趋于无穷的行为。
在求解极限问题时，我们可以使用多种方法来获得精确的结果。
下面将对常见的求解极限问题的方法进行总结。
1. 代入法：代入法是求解极限问题中最简洁和直接的方法。
它适用于大多数简洁的极限问题，只需要将极限中的变量代入函数中，计算得到的函数值就是极限的结果。
但是需要留意的是，代入法只适用于那些在给定点四周有定义的函数。
2. 夹逼准则：夹逼准则常用于求解函数极限时。
该方法的基本思想是通过构造两个函数，一个渐渐趋近于极限，并且一个渐渐远离于极限。
若两个函数的极限都存在且相等，则可以得到原函数的极限。
3. 分式分解与有理化：对于一些简单的极限问题，我们可以通过将分式进行分解，或利用有理化的方法简化问题。
分式分解的方法适用于含有多项式的极限问题，将分式拆解成更简洁的形式，然后进行计算。
有理化的方法则适用于含有根式的极限问题，通过去除分母中的根式，将问题转化为含有多项式的形式。
4. 泰勒级数开放：泰勒级数开放是一种将函数用无穷级数形式进行表示的方法。
通过该方法，我们可以将一个简单的函数开放成一个无穷级数，然后利用级数的性质来求解极限问题。
泰勒级数开放的方法适用于对于某一点四周的函数近似求极限的问题。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
5. 极限性质和公式：在求解简单的极限问题时，我们可以利用极限的性质和公式来简化计算。
例如，极限的和差性、积性、倒数性、幂等性等公式都可以用来简化极限问题的计算。
6. L'Hospital法则：L'Hospital法则是一种通过对函数的导数进行操作来求解极限问题的方法。
该方法适用于极限的形式为0/0或无穷/无穷的问题。
依据L'Hospital法则，假如函数f(x)和g(x)在给定点四周连续可导，并且f(x)/g(x)的极限存在，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)的极限。
求函数极限的八种方法
求函数极限的八种方法
常见的求函数极限的方法有八种：
1.定义域内求函数极限：在函数的定义域内直接计算函数值，即可得到函数的极限值。
2.不存在极限：若函数在某一点的极限不存在，则在该点处函数没有极限。
3.左右极限存在且相等：若函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则在该点处函数的
极限等于左右极限的值。
4.不等式法求极限：通过不等式将函数的上下界确定，从而确定函数的极限值。
5.函数的单调性求极限：通过函数的单调性可以确定函数在某一点处的极限值。
6.函数连续性求极限：通过函数的连续性可以确定函数在某一点处的极限值。
7.函数导数存在求极限：通过函数的导数存在性可以确定函数在某一点处的极限值。
8.无穷小量法求极限：通过考虑无穷小量对函数值的影响，可以确定函数在某一点处的极
限值。
这八种方法都可以用来求解函数的极限，但是在实际应用中，不同的方法适用于不同的情况。
例如，当函数的定义域内有足够的数据时，定义域内求函数极限是最直接的方法；如果函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则可以直接使用左右极限的值作为函数在该点处的极限值；如果函数有明显的单调性或连续性，则可以利用这些性质来求解函数的极限；如果函数的导数存在，则可以利用导数的性质来求解函数的极限。
总之，求函数极限有许多方法，选择哪种方法取决于函数的性质和特点。
在实际应用中，应该根据函数的具体情况选择适当的方法，以得到最准确的结果。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。
时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1求lim( x 2 − 3x + 5).x→ 2解：lim( x 2 − 3x + 5) = lim x 2 − lim 3x + lim 5= (lim x) 2 − 3 lim x + lim 5= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx)' = 1 / (cosx)^2(x)' = 1原式= lim 1/(cosx)^2当x --> 0 时,cosx ---> 1原式= 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：①分子、分母为无穷小，即极限为0 ；②分子上取正弦的角必须与分母一样。
求极限的方法
求极限的方法在数学中，求极限是一种重要的技巧，用于分析函数在某个点的行为。
下面介绍几种常见的求极限的方法。
1. 代入法：当函数在某个点处存在有限的定义时，可以直接将该点的值代入函数中得到极限值。
例如，求函数f(x) = 2x在x=3处的极限，可以将x=3代入函数中，得到f(3) = 2 * 3 = 6。
2. 因式分解法：当函数可以进行因式分解时，可以利用因式分解的性质来求解极限。
例如，求函数g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)在x = 2处的极限，可以先进行因式分解得到g(x) = (x + 2)，然后将x = 2代入函数中，得到g(2) = 2 + 2 = 4。
3. 夹逼定理：当函数的极限难以直接求解时，可以利用夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是找到两个函数，它们的极限分别趋近于所求极限，然后利用夹逼定理来得到所求极限的值。
例如，求函数h(x) = sin(x)/x在x = 0处的极限，可以通过夹逼定理，将h(x)夹在函数i(x) = 1和函数j(x) = x之间，显然，i(x)和j(x)的极限分别为1和0，因此根据夹逼定理，h(x)的极限为1。
4. 泰勒展开法：当函数的极限无法通过以上方法求解时，可以利用泰勒展开来近似计算极限。
泰勒展开是将函数在某一点处展开成无穷项幂级数的形式，利用一定数量的项来近似原函数。
例如，求函数k(x) = e^x在x = 0处的极限，可以利用泰勒展开公式e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...，将x = 0代入泰勒展开公式中，得到k(0) = e^0 = 1。
以上是几种常见的求极限的方法，根据具体问题的不同，可以选用不同的方法来求解极限。
求极限的13种方法
求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。
1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。
这通常适用于简单的多项式函数。
2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。
3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。
4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。
这适用于涉及导数的函数。
5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。
6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。
7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。
8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。
该法则涉及对分子分母同时求导的操作。
9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。
10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。
11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。
12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。
13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。
这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。
在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。
函数极限的求法及技巧总结
函数极限的求法及技巧总结函数极限是高等数学的一个重要概念，它在微积分、实分析等许多领域都有着广泛的应用。
在计算函数极限时，需要掌握一些求法和技巧。
本篇文章将对此进行总结。
1. 直接代入法直接代入法是最基本也是最简单的一种方法，它适用于可以直接将自变量代入函数中计算得到结果的情况。
例如，当求函数f(x) = x² + 3x + 2在x = 1处的极限时，我们可以直接将x = 1代入函数中，得到f(1) = 1² + 3×1 + 2 = 6。
因此，f(x)在x = 1处的极限为6。
2. 分式化简法分式化简法是一种常用的求极限的方法，它适用于形如“分式”的函数。
3. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于当我们无法通过代入或化简等方法直接求出函数极限时。
夹逼定理的思想是：若存在函数g(x)和h(x)，满足 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x) = L。
4. 洛必达法则其中，f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
例如，当求函数f(x) = (e^x - 1) / x在x = 0处的极限时，我们可以将f(x)表达为g(x) / h(x)的形式，即g(x) = e^x - 1，h(x) = x，然后计算g'(x)和h'(x)，得到 g'(x) = e^x，h'(x) = 1。
因此，根据洛必达法则，我们得到limx→0 f(x) = limx→0 [e^x / 1] = 1。
5. 泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的求函数极限的方法，它适用于当函数在极限点左右存在二阶及以上的导数时。
泰勒展开法的思想是：当limx→a f(x)存在时，可以将函数f(x)在a附近进行泰勒展开，得到f(x) = f(a) + f'(a)×(x - a) + f''(a)×(x - a)² / 2 + …… + Rn(x)，其中Rn(x)为余项。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。
函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。
一、代数方法利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。
例如，对于函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2x→1 x→1 x→1 x→1二、夹逼定理夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。
当f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：-1 ≤sin(x)/x ≤ 1lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1x→0 x→0 x→0 x→0lim sin(x)/x = 1三、单调有界准则单调有界准则也称收敛定理。
当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。
对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。
四、洛必达法则洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0形式的极限中。
对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)存在，则有：lim f(x) lim f'(x)lim ——— = lim ———x→a g(x) x→a g'(x)其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。
如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并且二者相等。
例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：lim (x^2+2x) lim (2x+2)lim ———— = lim ———— = 4x→1 x+1 x+1五、泰勒公式泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。
求极限的21个方法总结
求极限的21个方法总结1. 直接代入法：将变量的值代入极限表达式中，计算极限的值。
2. 分子分母同除以最高次项的方法：可以使得分子和分母的最高次项的系数为1，简化计算。
3. 消去法：利用性质将某些项消去，使得表达式更容易计算。
4. 因式分解法：将极限表达式中的因式进行分解，简化计算。
5. 分数分解法：将极限表达式中的分数进行分解，简化计算。
6. 奇偶性性质：利用函数的奇偶性质，简化计算。
7. 倍角、半角、和差公式：利用三角函数的相关公式，简化计算。
8. 幂函数性质：利用幂函数的性质，简化计算。
9. 对数函数性质：利用对数函数的性质，简化计算。
10. 指数函数性质：利用指数函数的性质，简化计算。
11. 三角函数性质：利用三角函数的性质，简化计算。
12. 极坐标法：将极限表达式转化为极坐标形式，简化计算。
13. 无穷小代换法：将极限表达式中的变量代换为无穷小量，简化计算。
14. 夹逼定理：利用夹逼定理确定极限的值。
15. L'Hopital法则：当计算的极限为0/0或者∞/∞形式时，可以利用L'Hopital 法则进行计算。
16. 泰勒展开法：将极限表达式进行泰勒展开，取较低阶项进行计算。
17. 递推法：将极限表达式中的各项逐步推导出来，从而得到极限的值。
18. 积分法：将极限表达式转化为积分形式，利用积分的性质计算极限的值。
19. 微分法：将极限表达式转化为微分形式，利用微分的性质计算极限的值。
20. 反函数法：将极限表达式中的函数进行反函数变换，简化计算。
21. 几何法：利用几何图形的性质计算极限的值。
求极限的常用方法
求极限的常用方法求极限是数学分析中一个重要的概念，它可以帮助我们理解函数在一些点处的行为，并在许多数学领域中发挥重要作用。
下面是一些常用的方法和技巧，来帮助我们求解各种类型的极限。
1.代入法：当函数在其中一点的极限存在时，我们可以尝试直接将该点的值代入函数中，看看是否会得到一个有意义的结果。
如果代入的结果是有限的，那么说明极限存在并等于该有限值。
然而，这种方法只适用于简单的函数和特定的极限问题。
2.分母有理化：当我们遇到含有分母中包含根式或其他不便计算的因素时，可以尝试将其有理化。
常用的方法有利用平方差公式或者乘法公式，以及通过分子分母同乘共轭式等。
3.分子有理化：类似于分母有理化，当我们遇到函数中含有根式时，可以尝试将其有理化。
常用的方法有利用平方差公式，乘方差公式以及平方和公式等。
4.拆分分数项：对于复杂的分式函数，我们可以尝试将其分解成简单的分式项，然后对各项求极限，再根据极限的性质进行求解。
5.极限的性质和定理：除了直接计算极限，我们还可以利用一些常见的极限性质和定理来简化问题。
例如，极限的四则运算法则、复合函数的极限、极限的保号性等都可以帮助我们更好地理解和求解极限。
6.夹逼定理：夹逼定理是求解一些复杂极限的常用方法之一、该定理的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，然后利用这两个函数对待求函数进行夹逼，从而确定待求函数的极限。
这个方法常用于求解无穷大和无穷小的极限。
7.泰勒展开：泰勒展开是求解一些复杂函数的极限的重要方法。
该方法利用了泰勒级数的定义，将复杂的函数近似为一个无穷级数，然后通过截断级数来计算近似的极限值。
8. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解一些不定型极限的重要方法之一、该法则利用导数和洛必达法则，将一个不定型极限转换为一个更简单的极限，然后进行求解。
9.递推关系：递推关系是求解一些递推数列的极限的重要方法。
该方法利用数列之间的递推关系，将数列的极限转化为递归方程的极限，并利用递归方程的解求解极限。
求极限的几种方法
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x()2222-=--=x x x0>∀ε取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x x x=)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x=2lim-→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：（I ）0)(lim 0=→x f x x(II)M x g ≤)( (M 为正整数)则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim⋅→ 解: 由 0lim=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
函数极限的方法总结
函数极限的方法总结1.运用洛必达法则：例：①613210lim 3cos 10lim sin 0lim 2223=→=-→=-→x x x x x x x x x x②babx b ax a x bx ax x =→=→cos cos 0lim sin sin 0lim③3cos 3cos 2lim )sin (cos 23*)3sin cos(22lim 31cos 3cos 2lim 313cos 3cos 12lim 3sec 3sec 2lim 3tan tan 2lim 222222=→-=--→=→=→=→==→x x x x x x x x x x xx x x x x x x x ππππππ ④0)(0lim 10lim 10lim *0lim 1=-→=-→=→=→+-+++n x x nx x x xInx x Inx x x nn n n ⑤0sin cos 2lim cos sin 12lim tan sec 2lim =--→=-→=-→xx x x x x x x x ππ）（π 例中①②为0/0式，③为∞∞④为0*∞式，⑤为∞∞-式如遇此几种形式，都将要转化为0/0型或者∞∞型解决此类题型也常与等价无穷小代换一起用，中间能把极限条件下计算出来的要计算出来。
注意：代换与计算是用在两式相乘时的。
如下例：⑥31tan 0lim 316tan sec 20lim 31sec 0lim tan 0lim sin tan 0lim 22232=→=→=-→=-→=-→x x x x xx x x x x x x x x x x x x x（此例中把secx 当0→x 时计算出） 2.等价无穷小代换法：（此法要求能记住常用的代换式以及推广式）①e tt tx x x x x x x t t x x 1)11(1lim )11(lim )11(lim ,t ,t )11(lim =+-∞→=+-∞→=-∞→-∞→∞→-=-∞→-于是时，则当令②52520lim 5sin 2sin 0lim =→=→x x x x x x ③22*211)21(0lim )21(0lim e x x x x xx=+→=+→④1112tan 1tan 120lim )tan 1tan 1(20lim )1)(tan 1tan 1(tan 20lim 1tan 1tan 10li =+=-++→=•-++→=--++→=---+→x x x x x x x x e x x x x e x x x mx x 常见等价代换：（强调x →时的）∆→-∆+⇒↔-+⇒↔-+↔+⇒↔+↔-⇒↔-↔-↔↔↔↔εεεε1)1(11)(11)1(log ()1(1a )(1,21cos 1arctan ,tan ,arcsin ,sin 2x x nx x Inaxx x x In xInax e x x xx x x x x x x na x x ）（推广推广）推广 3.运用两个重要极限法：（注意变化形式，此法转化要求较高） 第一个：)0(1sin 0lim ,1sin lim 1sin 0lim →∆=∆∆→∆=∆∆∞→∆⇒=→注意极限条件为变化x x x例： ①x x xn x x x x n x n x xn nn n n nn n =∞→=•∞→==∞→≠∞→22sin lim 22sinlim ,02lim )0(2sin2lim 所以原式解：因为求极限②22112lim 1212sin lim 121212sin lim 12sin lim ,0112lim12lim 12sin lim 22222222222=⨯=+∞→•++∞→=•+•++∞→=+∞→=+∞→=+∞→+•∞→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x xx x 所以解：因为极限)0()1(0lim)11(lim )11(lim 1时，表达式有所不同或注意极限条件为变化第三个极限：→∆∞→∆=∆+→∆=∆+∞→∆⇒=+∞→∆∆e ee x x x222sin 2122sin 23)6(2)1(3lim 21633621})]2sin 2(1{[0lim )(cos 0lim )631(lim )63(lim 22----+--∞→-⨯+-⨯+--=-+→=→==+-+∞→=++∞→-e xx x x e e x x x x x xx x x x x x x x ②例：①4.常见的题型)()(lim x v x u ax →的处理方法有两种：（一）12lim sinx 2lim 10lim 0lim 0sin sin cos 2limcos sin n 2lim sin cos 1cos 10cos sin 0lim sin cos 10lim sin 1lim sin 0limsin sin 22====→=→======→=→-→→-→-→∞→→e eee x x e eeee e x x x xx xx xx I x x In x x xx x x xxx x xInx x xInx x xInx x πππ）（π②例①自己计算一下）要经过多次洛必达。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧
函数极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
求函数极限的方法与技巧有很多，下面将介绍一些常用的方法：
1. 代入法：
这是最简单也是最直接的求函数极限的方法。
即将要求的极限值代入函数中计
算。
2. 等价无穷小替换法：
当函数极限形式为无穷小与无穷大相乘或相除时，可以将其替换为等价无穷小，
然后再求极限。
3. 夹逼准则：
当函数在某一区间内与两个已知函数夹在中间，且这两个已知函数极限值相等时，可以利用夹逼准则求得要求的极限。
4. 利用极限性质：
有些函数的极限可以利用基本极限性质求得，例如常见的指数函数、对数函数、
三角函数等。
5. L'Hospital法则：
当函数的分子和分母在某一点的极限都为0或者都为无穷大时，可以使用
L'Hospital法则求得函数极限。
6. 泰勒展开法：
有些函数无法直接求得极限，可以使用泰勒展开法将函数展开成一个求极限较容
易的形式，然后再求得极限。
7. 收敛性判断：
对于一些特殊的函数列，可以使用收敛性判断的方法判断函数极限是否存在。
除了以上提到的方法与技巧，还可以根据具体问题的特点，灵活应用其他的数学分析
技巧来求解函数极限。
需要注意的是，求函数极限的过程需要严格的逻辑推理、数学推导
和计算技巧，需要熟练掌握相关的数学理论和运算方法。
求解极限的方法
求解极限的方法有多种，以下是一些常用的方法：
1. 代数法：通过代数运算将极限转化成已知的形式，然后再求解。
2. 直接代入法：如果极限中的自变量趋近于某个确定的数值时，函数值能够有明确的结果，则可以直接代入该值，求出极限。
3. 夹逼定理：当极限无法直接计算时，可以使用夹逼定理进行求解。
夹逼定理指的是通过找到两个函数来夹住目标函数，使得这两个函数的极限相等并且都趋近于目标函数的极限，从而求出目标函数的极限。
4. 洛必达法则：将极限转化成两个函数的导数的极限，再进行计算。
5. 泰勒公式：利用泰勒公式展开函数，近似表示为一个多项式，从而求得其极限。
6. 奇偶性、周期性分析法：通过奇偶性、周期性等特征，判断函数在某一点是否存在极限。
以上方法仅供参考，建议查阅专业书籍或者咨询专业老师获取更多信息。
各种求极限方法以及求导公式
各种求极限方法以及求导公式求极限方法：1.代入法：将$x$的值代入函数中，求出极限值。
这种方法适用于能够直接代入得到结果的情况。
2.因子分解法：对分式进行因式分解，然后化简，得到一个更容易求解的形式。
这种方法适用于分子或分母存在因子相同的情况。
3.辅助函数法：通过构造一个辅助函数，使得原始函数与辅助函数的极限相同，从而求得原函数的极限。
这种方法适用于复杂函数的情况。
4.夹逼定理：对于夹在两个趋于同一极限的函数之间的函数，可以通过夹逼定理求得该函数的极限值。
求导公式：1.常数法则：如果$f(x)=c$（$c$为常数），则$f'(x)=0$。
2. 幂函数法则：如果$f(x)=x^n$（$n$为实数），则$f'(x)=nx^{n-1}$。
3. 指数函数法则：如果$f(x)=a^x$（$a$为正实数且$a≠1$），则$f'(x)=a^x\ln a$。
4. 对数函数法则：如果$f(x)=\log_a x$（$a$为正实数且$a≠1$），则$f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$。
5. 正弦函数法则：如果$f(x)=\sin x$，则$f'(x)=\cos x$。
6. 余弦函数法则：如果$f(x)=\cos x$，则$f'(x)=-\sin x$。
7. 反函数法则：如果$f(x)$的反函数为$y=g(x)$，则$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$。
8. 和差法则：如果$f(x)=g(x)\pm h(x)$，则$f'(x)=g'(x)\pmh'(x)$。
9.积法则：如果$f(x)=g(x)h(x)$，则$f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$。
10. 商法则：如果$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$，则$f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^2}$。
求函数极限的方法总结
求函数极限的方法总结函数极限是微积分中的重要概念，是研究函数行为的基础。
在求解函数极限时，需要使用一系列方法和技巧。
以下是关于函数极限的常用方法总结，包括直接代入法、夹逼准则、拉'Hospital法则、无穷小代换法等。
一、直接代入法直接代入法是求解函数极限的最简单方法，适用于极限存在的情况。
该方法的基本思想是将自变量逐渐接近极限值，然后代入函数中计算极限值。
例如，求函数f(x)=x^2的极限当x趋向于2时，可以直接将x=2代入函数中计算，得到f(2)=4二、夹逼准则夹逼准则是求解函数极限的常用方法之一，适用于需要证明函数极限存在时。
该方法的基本思想是通过找到两个函数，其中一个函数的极限接近于要求的极限，另一个函数夹在这两个函数之间，然后利用夹逼定理证明函数极限存在。
例如，求函数f(x)=sinx/x的极限当x趋向于0时，可以利用夹逼准则，构造两个函数g(x)=sinx和h(x)=x，其中g(x)<=f(x)<=h(x)。
然后利用夹逼定理可以证明f(x)的极限存在且等于1三、拉'Hospital法则拉'Hospital法则是解决函数极限问题时常用的方法，适用于求导函数后的函数极限。
该方法的基本思想是对于两个函数的商的极限，如果分子和分母的导数极限存在，且分母导数不为零，那么原函数的极限等于导数上下极限的商。
例如，求函数f(x)=sinx/x的极限当x趋向于0时，可以利用拉'Hospital法则，对分子和分母求导，得到lim(x->0)sinx/x=lim(x->0)cosx/1=1四、无穷小代换法无穷小代换法是求解函数极限的一种常用方法，适用于等价无穷小的极限问题。
该方法的基本思想是将函数的极限转化为等价无穷小的极限形式，然后利用等价无穷小的性质来求解。
例如，求函数f(x)=x^2-x的极限当x趋向于无穷时，可以将x替换为1/t，得到lim(t->0)(1/t^2-1/t)=lim(t->0)(1-t)/t^2=-1五、级数收敛法级数收敛法是计算函数极限的一种常用方法，适用于将函数展开成幂级数的形式计算。