2021高考数学(文)集训8 高考中的数学文化题 高考中的创新应用题

B．175 cm
C．185 cm
D．190 cm
B [头顶至脖子下端的长度为 26 cm，
说明头顶到咽喉的长度小于 26 cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 5－1≈0.618， 2
可得咽喉至肚脐的长度小于 26 ≈42 cm， 0.618
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5－1， 2
-8-
A．2 B．3 C．2 2 D．2 3
B [双曲线ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)的上焦点到上顶点的距离为 2，到渐近线距 离为 2 2，
＝3，故③错误．故选 C．]
7．(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次
月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解
决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦
娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行．L2 点是平
cos
π＋isin 5
π 5
6 在复平面内所对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C [由(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx，
得
cos
π＋isin 5
π 5 6＝cos
6π＋isin
6π＝－cos
π－isin
π，
5
5
5
5
∴复数
cos
π＋isin 5
故有 8＋4＋4＝16，故选 D．] 6.(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2＋y2 ＝1＋|x|y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A．① B．② C．①② D．①②③ C [将 x 换成－x 方程不变，所以图形关于 y 轴对称，当 x＝0 时，代入得 y2 ＝1，∴y＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)； 当 x＞0 时，方程变为 y2－xy＋x2－1＝0，所以Δ＝x2－4(x2－1)≥0，解得
理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的
问题，现有这样一个整除问题：将 1 至 2019 中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数按
由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为( )
A．134 B．135 C．136 D．137 B [由能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 整除余 1 的数， 故 an＝15n－14.由 an＝15n－14≤2019，得 n≤135， 故此数列的项数为 135.故选 B．]
2 是边长为 1 的正三角形，所以正六边形 ABCDEF 的面积为 S6＝6×12×1×1×sin 60° ＝3 3.]
2
-7-
1．(2020·深圳二模)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i 为虚数单位)
是 由 法 国 数 学 家 棣 莫 弗 (1667 － 1754) 发 现 的 ， 根 据 棣 莫 弗 公 式 可 知 ， 复 数
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 D [从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明 显减少，且减少的最多，故 A 正确；2004－2006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；从图中看出，2006 年以来我国二氧 化硫年排放量越来越少，故 C 正确；2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少， 而不是与年份正相关，故 D 错误．故选 D．] 4．(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚
专题限时集训(八) 高考中的数学文化题 高考中的创新应用题
1．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中 有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？” 其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部 的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( )
-6-
A．5 B．8 C．10 D．15 C [法一：由题意，知 ai，aj，ak 构成原位大三和弦时，j＝k－3，i＝j－4，所 以 ai，aj，ak 为原位大三和弦的情况有：k＝12，j＝9，i＝5；k＝11，j＝8，i＝4； k＝10，j＝7，i＝3；k＝9，j＝6，i＝2；k＝8，j＝5，i＝1 共 5 种．ai，aj，ak 构成 原位小三和弦时，j＝k－4，i＝j－3，所以 ai，aj，ak 为原位小三和弦的情况有：k ＝12，j＝8，i＝5；k＝11，j＝7，i＝4；k＝10，j＝6，i＝3；k＝9，j＝5，i＝2；k ＝8，j＝4，i＝1 共 5 种．所以用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和 弦的个数之和为 10，故选 C． 法二：由题意，知当 ai，aj，ak 为原位大三和弦时，k－j＝3 且 j－i＝4，又 1≤i<j<k≤12，所以 5≤j≤9，所以这 12 个键可以构成的原位大三和弦的个数为 5. 当 ai，aj，ak 为原位小三和弦时，k－j＝4 且 j－i＝3，又 1≤i<j<k≤12，所以 4≤j≤8， 所以这 12 个键可以构成的原位小三和弦的个数为 5.所以用这 12 个键可以构成的 原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 10，故选 C．] 10．(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值 精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单 位圆内接正六边形的面积 S6，S6＝________. 3 3 [如图所示，单位圆的半径为 1，则其内接正六边形 ABCDEF 中，△AOB
-4-
x∈
0，2 3 3
，
所以 x 只能取整数 1，当 x＝1 时，y2－y＝0，解得 y＝0 或 y＝1，即曲线经过
(1,0)，(1,1)，
根据对称性可得曲线还经过(－1,0)，(－1,1)，
故曲线一共经过 6 个整点，故①正确．
当 x＞0 时，由 x2＋y2＝1＋xy 得 x2＋y2－1＝xy≤x2＋y2，(当 x＝y 时取等)， 2
A． M2R M1
B．
M2 R
2M1
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3 C．
3M2R
M1
3 D．
M2 R
3M1
D [∵α＝ r .∴r＝αR， R
r 满足方程：RM＋1r2＋Mr22＝(R＋r)MR31.
∴MM21＝3α3＋1＋3αα4＋2 α5≈3α3，
∴r＝αR＝3 M2 R.故选 D．] 3M1
8．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面
∴x2＋y2≤2，∴ x2＋y2≤ 2，即曲线 C 上 y 轴右边的点到原点的距离不超过
2，根据对称性可得：曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2，故②正确．
在 x 轴上方图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角
三角形的面积＝1×2×1＝1，因此曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 2＋1 2
-2-
脐至足底的长度之比是 5－1
5－1≈0.618，称为黄金分割比例
2
，著名的“断臂
2
维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之
比也是 5－1.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子 2
下端的长度为 26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm
衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为
R，L2
点到月球的距离为
r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r
满足方程： M1 R＋r2
＋Mr22＝(R＋r)MR31.设α＝Rr .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋1＋3αα4＋2 α5≈3α3，
则 r 的近似值为( )
垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为 O)，地球
上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A
且与 OA 垂直的平面．在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A
处的纬度为北纬 40°，则晷针与点ห้องสมุดไป่ตู้A 处的水平面所成角为( )
π 5
6
在复平面内所对应的点的坐标为
－cos
π，－sin 5
π 5
，
位于第三象限．故选 C．]
2．(2020·淄博期中)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年，英国来华
传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英
国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定
可得肚脐至足底的长度小于42＋26≈110， 0.618
即有该人的身高小于 110＋68＝178 cm，
又肚脐至足底的长度大于 105 cm，
可得头顶至肚脐的长度大于 105×0.618≈65 cm，
即该人的身高大于 65＋105＝170 cm，故选 B．]
5.(2018·上海高考)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四
3．(2020·绵阳模拟)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018 年南非双曲线大
教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在 y 轴 上的双曲线ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为 2，
到渐近线距离为 2 2，则此双曲线的离心率为( )
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
B [设圆锥的底面半径为 r，则 πr＝8， 2
16 2
解得 r＝16，故米堆的体积为1×1×π× π ×5≈320，∵1 斛米的体积约为
π
43
9
1.62 立方， ∴320÷1.62≈22，故选 B．] 9
2．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算
棱锥为阳马．设 AA1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点
为顶点，以 AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )
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A．4 B．8 C．12 D．16 D [根据正六边形的性质，则 D1­A1ABB1，D1­A1AFF1 满足题意，而 C1，E1， C，D，E，和 D1 一样，有 2×4＝8，当 A1ACC1 为底面矩形，有 4 个满足题意，当 A1AEE1 为底面矩形，有 4 个满足题意，
法的程序框图．执行该程序框图，若输入的 x＝2，n＝2，依次输入的 a 为 2,2,5，
则输出的 s＝( )
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A．7 B．12 C．17 D．34 C [∵输入的 x＝2，n＝2， 当输入的 a 为 2 时，s＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的 a 为 2 时，s＝6，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的 a 为 5 时，s＝17，k＝3， 满足退出循环的条件；故输出的 s 值为 17，故选 C．] 3．(2015·全国卷Ⅱ)根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量 (单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )
A．20° B．40° C．50° D．90° B [过球心 O、点 A 以及晷针的轴截面如图所示，其中 CD 为晷面，GF 为晷 针所在直线，EF 为点 A 处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，
∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选 B．] 9．(2020·全国卷Ⅱ)如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…，a12，设 1≤i<j<k≤12.若 k－j＝3 且 j－i＝4，则称 ai，aj，ak 为原位大三和弦；若 k－j＝4 且 j－i＝3，则称 ai，aj，ak 为原位小三和弦．用这 12 个键可以构成的原位大三和 弦与原位小三和弦的个数之和为( )