2021高考数学(文)集训8 高考中的数学文化题高考中的创新应用题

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三角函数与解三角形-新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)

三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A 点测得：塔在北偏东30°的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，且B 点在北偏东60°．AB 相距80（单位：m ），在B 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD 约为（）mA ．69B ．40C ．35D ．23【答案】B 【分析】根据题意构造四面体C -ABD ,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可. 【详解】如图，根据题意，图中CD ⊥平面ABD ,30CAD ∠=︒,30,60,80BAD ABD AB ∠=︒∠=︒=ABD 中，30,60BAD ABD ∠=︒∠=︒， 90ADB ∴∠=︒cos 80?cos30AD AB BAD ∴=∠=︒=又CD ⊥平面ABD ，ACD ∴是直角三角形Rt ACD中，30,90,CAD ADC AD ∠=︒∠=︒=·tan 3040CD AD ∴=︒==，选项B 正确，选项ACD 错误故选：B.2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =现在有周长为10+ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（） A．B．C．D ．12【答案】A 【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得ABC 的三边边长，利用题中公式可求得ABC 的面积. 【详解】由题意结合正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==ABC周长为10+10a b c ++=+4a ∴=，6b =，c =所以S == 故选：A.3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为θ，则cos2θ等于（）A ．725B ．725-C ．925D ．925-【答案】B 【分析】根据题意可得出1sin cos 5θθ-=，平方可得24sin 225θ=，即可求出.【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，所以5sin 5cos 1θθ-=，即1sin cos 5θθ-=，两边平方得11sin 225θ-=，即24sin 225θ=. 因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以42ππθ<<，所以22πθπ<<，所以7cos 225θ==-. 故选：B.4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（）AB C D 【答案】A 【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率．【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积S 曲＝S 扇形CAB +2S 拱＝123π⋅⋅22+2（S 扇形﹣S △ABC ）＝23π⋅3﹣2⋅22＝2π﹣三角形ABC 的面积S △ABC 22所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝ABCS S ∆曲故选：A ．5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +=，=（） A．2 B ．4 C ．D ．【答案】C 【分析】由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,2sin1822cos1822sin 3622cos54cos54⨯===故选:C6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为3m ，其中心（即圆心）O 距水面0.75m ．如果水车每4min 逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h（单位：m ）是一个变量，它是时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始记时()0t =，则我们可以建立函数关系式()()sin h t A t k ωϕ=++（其中0A >，0>ω，2πϕ<）来反映h 随t 变化的周期规律．下面关于函数()h t 的描述，正确的是（）A ．最小正周期为80πB ．一个单调递减区间为[]30,70C ．()y h t =的最小正周期为40D ．图像的一条对称轴方程为403t =- 【答案】D 【分析】首先求得()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.【详解】依题意可知，水车转动的角速度32(rad /s)46040ππω⨯==⨯， 3324A k +=+，3324A k -+=-+，解得32A =，34k =，由()330sin sin 024h A k ϕϕ=+=+=得1sin 2ϕ=-，又2πϕ<，则6πϕ=-，所以()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.对于选项A ：函数()h t 的最小正周期为2=8040ππ，故A 错误；对于选项B ：当[]30,70t ∈时，719,4061212t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因为3719,21212πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()h t 在[]30,70上不具有单调性，故B 错误；对于选项C ：()()353340sin 02642h h π=+=≠，所以C 错误；对于选项D ：40333sin 32244h π⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（最小值），所以D 正确.故选：D.7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C .Ptolemy ，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A ．0.0017B ．0.0454C ．0.5678D ．0.5736【答案】C 【分析】先看左边列找34︒，再往右找对第一行的36'即可. 【详解】由题意查表可得3436︒'的正弦值为0.5678. 故选:C .8．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，即AC BD AB AB =．则cos DEC ∠=（）ABCD【答案】A 【分析】根据图形和已知条件表示出,,CE DE CD ，然后用余弦定理求解即可【详解】由正五角星的对称性知：BC CE DE AD ===，不妨设BC CE DE AD x ====，则CD AC AD =-，又AC BC AC AD AB +=+=，AB AC ==则AC AD AC +=，所以AD =，AC AD AD ==，CD AC AD x x =-=-=22222224cos 122x DE CE CDDEC DE CEx +-∠===⨯ 故选：A二、多选题9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+，则（）A ．()f x 的最大值为32B ．2π为()f x 的最小正周期C ．π2x =为()y f x =曲线的对称轴 D ．()π,0为曲线()y f x =的对称中心【答案】BD 【分析】分析函数sin y x =与1sin 22y x =不能同时取得最大值可判断A ；由sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x=的最小正周期是2ππ2=可判断B ；计算ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立可判断C ；计算()()2π0f x f x +-=是否成立可判断D ；进而可得正确选项. 【详解】对于A ：若()f x 的最大值为32，则sin y x =与1sin 22y x =同时取得最大值，当sin y x =取得最大值1时，cos 0x =，可得1sin 2sin cos 02y x x x ===取不到12，若1sin 22y x =取得最大值12时，sin 21x =，此时()ππZ 4x k k =+∈，而πsin sin π4y x k ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭1，所以sin y x =与1sin 22y x =不可能同时取得最大值，故选项A 不正确；对于B ：因为sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x =的最小正周期是2ππ2=，且()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=+=，()()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=-+≠所以2π为()f x 的最小正周期，故选项B 正确；对于C ：ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，即ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =不是曲线()y f x =的对称轴，故选项C 不正确；对于D ：()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x -=-+-=--，所以()()2π0f x f x +-=对于任意的x 恒成立，所以()π,0为曲线()y f x =的对称中心，故选项D 正确；故选：BD.10．（2021·江苏）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A ．()3343P t t t =-+ B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒=【答案】BC 【分析】通过求cos3,cos 4,cos5x x x ，来判断出正确选项. 【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-，所以()3343P t t t =-，A 错误.()()222222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+--428cos 8cos 1x x =-+，所以()424881P t t t =-+，B 正确.()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=- ()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+--()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.所以()53cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=，由于cos180︒≠，所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=，由于cos18cos30︒>︒，所以223cos 18cos 304︒>︒=，所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=，所以sin18︒=，C正确. 2=≠⎝⎭，所以D 错误. 故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.若选用一个三角函数()f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（） A ．() 2.5cos 56x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD 【分析】依据题中所给表格，写出()f x 的表达式而判断选项A ，B ；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C ，D. 【详解】依据表格中数据知，可设函数为()sin f x A x k ω=+，由已知数据求得 2.5A =，5k =，周期12T =，所以26T ππω==﹐ 所以有() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A 错误；选项B 正确；由于船进港水深至少要6.25，所以 2. 5sin 5 6.256x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，得1sin 62x π⎛⎫⎪⎝⎭≥，又024046x x ππ≤≤⇒≤≤，则有5666x πππ≤≤或1317666x πππ≤≤，从而有1 5 x ≤≤或1317x ≤≤，选项C ，D 都正确. 故选：BCD 【点睛】解三角不等式sin()(||1)x m m ωϕ+≥<关键在于：找准不等式中的函数值m 所对角；长为一个周期的区间内相位x ωϕ+所在范围.12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（）A ．l m n =+B ．2m l n =⋅C ．2m l n =+D ．111m l n=+ 【答案】AB 【分析】设1AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求得l ，m ，n ，然后再逐项判断.【详解】不妨设1AB =，则2BC =，所以121)4l π=⨯⨯=.因为3ED =所以12(34m π=⨯⨯=.同理可得124)4n π=⨯⨯=所以l m n =+，2m l n =⋅，2m l n ≠+，111m l n≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB三、填空题13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant ）及余割（cosecant ）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知0t >，且22sec csc 16x t x +≥对任意的实数,2k x x k Z π⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭均成立，则t 的最小值为__________．【答案】9 【分析】根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解【详解】由题得：22111sec csc x x+=，所以()22222211sec csc sec csc 16sec csc x t x x t x x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭即：2222csc sec 11sec csc t x xt x x t ≥+++++116t ++5-3，所以9t ≥故答案为：914．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =ABD △的面积为____________.【答案】【分析】设BD x =，可得出3AD x =，23ADB π∠=，利用余弦定理求出x 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABD △的面积. 【详解】设BD x =，则3AD x =，因为DEF 为等边三角形，则3ADE π∠=，故23ADB π∠=，在ABD △中，由余弦定理得()222252323cos3AB x x x x π==+-⨯⨯⨯，解得2x =，故6AD =，2BD =，因此，ABD △的面积为1226sin23ABD S π=⨯⨯⨯=△故答案为：15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O ，筒车的半径为r ，筒车转动的周期为24s ，如图2所示，盛水桶M在0P 处距水面的距离为0h ．4s 后盛水桶M 在1P 处距水面的距离为1h ，若10h h -=，则直线0OP 与水面的夹角为______．【答案】π12【分析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 【详解】如图，过O 作直线l 与水面平行，过0P 作0P A l ⊥于A ，过1P 作1PB l ⊥于B ．设0AOP α∠=，1BOP β∠=，则，4π2π243βα-=⨯=，π3βα∴=+由图知，0sin P A r α=，1sin PB r β=，0101sin sin P A h h PB r r r βα--=-==，所以πsin sin 3αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ34α-=-，即π12α=．故答案为：π12. 16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．【答案】2 【分析】根据题意120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，不妨设PCB α∠=，故,,326CBP ACP CAP πππααα∠=-∠=-∠=-，进而得,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在BCP 和ACP △中，由正弦定理得sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故sin sin 2sin sin 36πααλππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.【详解】根据题意, 点P 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120︒, 所以120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PCB α∠=，所以在BCP 和ACP △中，,,3236CBP ACP CAP ACP ππππααα∠=-∠=-∠=-∠=-，且均为锐角，所以,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以由正弦定理得：sin sin 3BPPC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为||||||PA PB PC λ+=所以sin cos sin sin cos sin 2sin sin 36πααααααλππαα⎛⎛⎫- - ⎪⎝⎭=+==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11==，因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(2sin 20,2α，)12,⎡∈+∞⎣故实数λ的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.四、解答题17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（i ）中EAB ∠的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i ）中，21AB ,AE ==，且AE AB ⊥，求AQ ；（2）在图（ii ）中，21AB ,AE ==，设(0)EAB θθπ∠=<<，求AQ 的最大值.【答案】（1（2）9. 【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得cos ABQ ∠，在ABQ △中，利用余弦定理，即可求解；（2）由已知条件结合余弦定理，求得BE ，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）当AE AB ⊥时，BE BQ ==则()cos cos2ABQ ABE π∠=+∠sin AE ABE BE =-∠=-=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos 45413AQ AB BQ AB BQ ABQ =+-⋅∠=++=，所以AQ =（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos 54cos BE AB AE AB AE θθ⋅=-⋅=+-，所以BE BQ ==在ABE △中，由正弦定理知sin sin AE BEABE θ=∠，可得sin ABE ∠=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos()2AQ AB BQ AB BQ ABE π=+-⋅⋅+∠454cos 4θ=+-+4(sin cos )994πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当3(0,)4πθπ=∈时，AQ 的取最大值9.答：（1）AQ =（2）AQ 的最大值为9.18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O 为地球的球心，AB 为地平线，有两个观测者在地球上的A ，B 两地同时观测到一颗流星S ，观测的仰角分别为SAD α∠=，SBD β∠=，其中，90DAO DBO ∠=∠=︒，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A ，B 两点测得30α=︒，15β=︒，地球半径为R 公里，两个观测者的距离3RAB π=． 1.73 1.5≈）（1）求流星S 发射点近似高度ES ；（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径6370R ≈公里，请你据此判断该流星S 是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．【答案】（1）0.5ES R =公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【分析】（1）由已知条件在ASB △中利用正弦定理求出1)AS R =，在SAC 中再利用余弦定理求出OS ，从而可得ES OS R =-；（2）由（1）求出的值可得流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论【详解】（1）因为3AB R π=，则60AOB ∠=︒，所以AOB 为等边角形，所以AB R =．又因为90DAO DBO ∠=∠=︒，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以60SAB ∠=︒，45SBA ∠=︒，75ASB ∠=︒．在ASB △中，由正弦定理：sin 75sin 45AB AS =︒︒，得()sin 4530sin 45R AS ︒=︒+︒，解得1)AS R =，在SAC 中，由余弦定理：2222222212cos 1)1)(42OS SA OA SA OA SAO R R R R ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭．所以 1.5OS R =≈≈，所以0.5ES OS R R =-=公里．（2）0.53185ES R ≈≈公里，所以流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长AB =M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？【答案】（1）OA θ=，6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当OA OB =OM 取最大值4+ 【分析】（1）本题可通过正弦定理得出OA θ=、6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）本题首先可根据题意得出2AM BM ==，然后通过余弦定理得出2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，通过转化得出222283OM πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最后通过50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为sin sin sin OA OB AB OAB AOBθ==∠∠，π6AOB ∠=，AB =所以56OAB πθ∠=-，OA θ=，566OB ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为AB =π6MAB MBA ∠=∠=，所以2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理易知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即2248sin 4cos 666OM πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭248sin 2428224cos 22286333ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122sin 2282283233πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，因为50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 23πθ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎭，当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即512πθ=时， 2OM 取最大值28+OM 取最大值4+此时51264OA πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 512643OB ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当OA OB =时，OM 取最大值4+ 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3︒的近似值(结果保留π).（2）正n 边形的边长为a ，内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，求证：2tan2a R r nπ+=.【答案】（1）60π；（2）详见解析.【分析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，易知 1,2AB a nπθ==，然后在Rt OAB 中，利用三角函数的定义求得R ，r ，利用三角恒等变换证明.【详解】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，所以11211sin 32π⨯⨯⨯⨯≈ sin 360π≈；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，则,OA R OB r ==，如图所示：所以1,2AB a nπθ==，在Rt OAB 中，sin AB OAθ=，即12sin an Rπ=，所以2sin a R n π=， cos OB OA θ=，即cos r n Rπ=，所以coscos 2sin a n r R n nπππ==，所以1cos cos2sin 2sin 2sina a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=， 22cos 24sincos2tan222a a nnnnππππ==.21．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin (2π3x +φ)(A >0,0≤φ<π)，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）（1）求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；（2）证明：g(x)+g(x +1)+g(x +2)为定值．【答案】（1）f(x)=2sin (2π3x +5π6), g(x)=−2sin (2π3x +5π6)；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得；（2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.【详解】（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，f(x)=2sin (2π3x +φ)，将点（1，-2）代入得：−2=2sin (2π3+φ)⇒sin (2π3+φ)=−1，∵0≤φ<π，∴2π3+φ∈[2π3,5π3)，∴2π3+φ=3π2⇒φ=5π6，∴f(x)=2sin (2π3x +5π6)，易知g(x)与f(x)关于x 轴对称，所以g(x)=−2sin (2π3x +5π6).（2）由（1）g(x)=−2sin (2π3x +5π6)=−2sin (2π3x +π3+π2)=−2cos (2π3x +π3)g(x)+g(x +1)+g(x +2)=−2cos (2π3x +π3)−2cos (2π3x +π)−2cos (2π3x +2π3+π)=−2cos (2π3x +π3)+2cos2π3x +2cos (2π3x +2π3)=−2(cos2π3x ⋅12−sin2π3x ⋅√32)+2cos2π3x +2[cos2π3x ⋅(−12)−sin2π3x ⋅√32]=0.即定值为0.22．（2021·合肥市第六中学高一期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，2DA a =米，ABC 为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当3ADC π∠=时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.【答案】（1）()22m ；（2）(()224m a +.【分析】（1）由余弦定理求得AC ，再由正弦定理求得ACD ∠，求出BC BC ⊥，易得面积；（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，用余弦定理表示出2AC ，用正弦定理表示出sin α，再用余弦定理表示出cos α，然后表示出BCD △的面积，利用两角和的正弦公式展开代入2sin ,cos ,AC αα，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】解析：（1）2222cos3AC AD DC AD DC π=+-⋅⋅，∴AC =，又sin sin3ACADACD π=∠，∴1sin 2ACD ∠=，易知ACD ∠是锐角，所以6π∠=ACD ，∴2BCD π∠=，()2214m 2BCD S a =⨯⨯=△，（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，于是由余弦定理得()222016cos AC a θ=-①，22sin sin sin sin AC a a ACθαθα=⇒=②， 22222124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC+=+-⋅⇒=③， ∴14sin 23BCDS a AC πα⎛⎫=⨯⨯⋅+ ⎪⎝⎭△2(sin cos cos sin )33a AC ππαα=⋅+2222sin 128a AC a AC AC AC θ⎡⎤+=⋅⎢⎥⎣⎦((2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，当且仅当5 326πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △最大值为(()224m a +.【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值．。

【高考重难点小题专题练】专题九数学文化与应用创新题-2021届高三数学二轮复习(含解析)

专题九数学文化与应用创新题建议用时：45分钟一、选择题1、数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，则此双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．2 32、数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比512m -=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18︒,则2242cos 271m m-=︒-( ). A ．4B ．51+C ．2D ．51-3、达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：AB ＝6 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝10.392 cm(其中32≈0.866)．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )A.π3B.π4C.π2D.2π34、我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，那么此数列的项数为（） A ．133B ．134C ．135D ．1365、“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为（） A ．猴B ．马C ．羊D ．鸡6、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．697、“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A ．32fB ．322fC ．1252fD ．1272f8、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1109、学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10 2 cm ，高为10 cm.打印所用原料密度为1 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为(取π＝3.14，精确到0.1)( )A ．609.4 gB ．447.3 gC ．398.3 gD ．357.3 g10、历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2＝2×2×4×4×6×6×…1×3×3×5×5×7×…，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的T ＞2.8，若判断框内填入的条件为k ≥m ？，则正整数m 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．511、陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(7＋22)πB ．(10＋22)πC ．(10＋42)πD ．(11＋42)π12、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．51- B ．51- C ．51+ D ．51+ 二、填空题13、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a 、b 、c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足()6a b cm +=，()4c cm =，则此三角形面积的最大值为________2cm .14、如图所示，边长为1的正三角形ABC 中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，将△AMN沿线段MN 进行翻折，得到如图所示的图形，翻折后的点A 在线段BC 上，则线段AM 的最小值为________．15、现代足球运动是世界上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球.1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为_____条．16、《九章算术》言：“勾股以御高深广远，今有弦五尺，勾三尺，问股为几何？其中弦代表直角三角形的斜边，勾､股代表两条直角边，则股为______尺，若今有弦t 尺，勾()1t -尺，股32t -尺，则弦为______尺.答案解析一、选择题1、B [双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，可得：⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝2|bc |a 2＋b 2＝22c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，c ＝3，b ＝22，所以双曲线的离心率为：e ＝ca ＝3.故选B.]2、【答案】C【详解】由题可知512sin182m -︒==，所以24sin18m =︒. 则222242sin1844sin 182cos 2712cos 271m m -︒-︒=︒-︒-2sin182cos18cos54︒•︒=︒2sin 36cos54︒=︒2=. 故选：C. 3、A [∵AB ＝6 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝10.392 cm(其中32≈0.866)．设∠ABC ＝2θ.∴sin θ＝10.39226＝0.866≈32， ∵ 由题意θ必为锐角，可得θ≈π3，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α. 则α＋2θ＝π， ∴α＝π－2π3＝π3.故选A.]4、【答案】C【详解】由数能被3除余2且被5除余2的数就是能被15除余2的数，故()21151513n a n n =+-=-，由15132020n a n =-≤，得813515n ≤+，*n ∈N ，故此数列的项数为：135．故选:C ．5、【答案】B【详解】六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是60，2086年与2026年一样，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，午对应属相为马。

数学文化在高考中的考查研究——以2019年高考全国卷为例

数学文化在高考中的考查研究以2019年高考全国卷为例朱金金（合肥市第五中学安徽合肥 230011）摘要：高考作为高中阶段最重要的考试，对数学教学起到导向作用。

本文主要分析高考试题中的数学文化分布情况，并根据分析数据提出思考和建议。

关键词：数学文化渗透高考数学文化是人类探索实践史上的重要文化要素，拥有深厚的底蕴和内涵，其在数学教学和高考中的渗透也越来越多。

教育部颁发的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文称《新课标》）指出：“数学文化指数学的思想、精神、语言、方法等。

”此后，在高考数学大纲中也明确说明增加数学文化的考查。

本文就2019年全国卷进行分析，进一步探索高考数学“在哪些地方渗入了数学文化”“渗入了数学文化的什么成分”“渗入数学文化的意义何在”等问题，以期对以后的数学教学工作提供借鉴。

一、研究设计（一）研究素材以2019年高考数学全国卷为研究素材,全国卷是国家考试中心组织命制的适用于全国大部分省份的高考试题。

从2016年开始，全国卷分为I 卷、H卷、DI 卷，由于每一卷又分为文科和理科，所以2019 年高考数学全国卷一共有6套试题，其中数学文化试题共计22题，具体见表1。

（二）研究框架表12019年全国卷数学文化试题卷别题号全国I 卷文：4,6,17 理：4,6,15,21全国II 卷文：4,5,14,16,19 理；4,5,13,16,18全国ID 卷文：3,18 理：3,16,17本文针对数学文化试题主要分析以下几个方面:题型、文化类型、考查知识点、数学思想、数学核心素养等。

—、研究结果（_）题型高考数学题型可划为选择题、填空题及解答题3种。

由表2可见，数学文化在以上3种题型中均有分布，且在选择题中考查较多，占数学文化试题总数的45.5%；在填空题和解答题中的考査题数一致，占数学文化试题总数的比例均为27. 3%。

（二）文化类型表2试题类型试题类型数量百分比选择题1045.5%填空题627. 3%解答题627.3%按照已有的研究，数学文化类型可划为数学史、数学与生活、数学与科技、数学与人文艺术、数学与游戏5个方面。

高考数学复习热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题(解析版)

热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题，计算题和证明题比较少，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。

2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景，以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。

②以数学猜想和定理为命题背景。

③以数学名家的故事为命题背景，以数学家的故事，为考查背景，正是对创新精神数学精神的一种传承。

④以数学的应用为命题背景。

⑤历史名人。

⑥历史发展。

3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。

这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。

4、数学高考题渗透了大量的数学文化，尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。

但这些题目考查的知识点有限，很多内容并未涉及到。

我们现在的社会在飞速发展，无论是科技还是人的思想都不断地变化。

为了让学生能够更好地适应未来社会的发展，我们的教育需要及时更新，不仅仅要反映在教材，考试也应该与时俱进，而不再是摸小球，投骰子，算水费这些老古董的模型背景，更应该与时俱进。

比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。

像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上，它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料，而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。

除次以外，同样可以结合其他学科知识和实际民生，比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景，进入数学高考题。

【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。

2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会对给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。

2021新高考全国八省联考数学试题

2021新高考全国八省联考数学试题2021新高考全国八省联考数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知M，N均为R的子集，且，则A. B.MC.ND.R2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为A. B. C. D.3.关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是A.甲B.乙C.丙D.丁4.椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则A.1B.C.D.25.已知单位向量，满足，若向量，则，A. B. C. D.6.的展开式中的系数是A.60B.80C.84D.1207.已知抛物线上三点，B，C，直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为A. B.C. D.8.已知且，且，且，则A. B. C. D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数，则A.在单调递增B.有两个零点C.曲线在点处切线的斜率为D.是偶函数10.设，，为复数，下列命题中正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则11.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中A.B.C.D.12.设函数，则A. B.的最大值为C.在单调递增D.在单调递减三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______．15.写出一个最小正周期为2的奇函数______．16.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于，至少要测量______次若，则．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知各项都为正数的数列满足．证明：数列为等比数列；若，，求的通项公式．18.在四边形ABCD中，，．若，求BC；若，求．19.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为，，，各部件的状态相互独立．求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．20.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．求四棱锥的总曲率；若多面体满足：顶点数棱数面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．21.双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当时，．求C的离心率；若B在第一象限，证明：．22.已知函数，．证明：当时，；若，求a．答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图所示易知．故选：B．根据M，N均为R的子集，且，画出韦恩图，结合图形可求出．本题主要考查了集合的并集与补集，解题的关键是作出符合题意的韦恩图，同时考查了学生推理的能力．2.【答案】C【解析】解：三张卡片随机分给三位同学，共有种情况，恰有1位学生分到写有自己学号卡片，则有种情况，所以恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为．故选：C．先求出三张卡片随机分给三位同学的基本事件数，再求出恰有1位学生分到写有自己学号卡片的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型及其概率计算公式的应用，涉及了排列组合的应用，解题的关键是确定总基本事件数和要求的基本事件数．3.【答案】A【解析】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，可得，，符合题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，可得，，两根不异号，不合题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，可得，，两根不异号，不合题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，两根和不为2，不合题意．综上可知，甲为假命题．故选：A．分别设甲、乙、丙、丁为假命题，结合真命题中方程两根的情况判断．本题考查简单的合情推理，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意可得，，又因为，可得，可得，解得．故选：C．由题意利用椭圆的性质可求，，可求，解三角形即可求解m的值．本题主要考查了椭圆的性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：，，所以，所以．故选：B．由已知结合向量数量积的定义及向量数量积性质可求，然后结合同角平方关系即可求解．本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：的展开式中的系数为．故选：D．根据通项公式表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是，表示出的系数，然后利用组合数的性质进行求解．本题主要考查了二项式定理的应用，以及二项式系数的求解，解题的关键是利用组合数公式，属基础题．7.【答案】B【解析】解：把点代入抛物线方程可得，所以抛物线的方程为，又直线AB，AC是圆的两条切线，设切线方程为，因为圆心到切线的距离等于半径，则有，解得，则直线AB的方程为，直线AC的方程为，联立直线AB和抛物线的方程可求得，同理可求得，由直线的两点式方程可得，直线BC的方程为．故选：B．利用点A在抛物线上求出抛物线的方程，再利用直线与圆相切求出两条切线的方程，联立方程组求出B，C，利用直线的方程即可求解．本题考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及了直线方程的求解、交点的求解，解题的关键是利用圆心到切线的距离等于半径求出切线的斜率．8.【答案】D【解析】解：根据题意，设，且，变形可得，即，且，变形可得，即，且，变形可得，即，，其导数，在区间上，，则为减函数，在区间上，，则为增函数，其草图如图：则有，故选：D．根据题意，设，对三个式子变形可得，，，求出的导数，分析其单调性，可得的大致图象，分析可得答案．本题考查函数的单调性的分析以及性质的应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于基础题．9.【答案】AC【解析】解：函数定义域，不关于原点对称，D错误，因为，当时，恒成立，单调递增，A正确，，当时，，单调递增且，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以只有一个零点，B正确，因为，C正确．故选：AC．先对函数求导，然后结合导数与单调性关系，导数的几何意义及函数性质分别检验各选项即可判断．本题综合考查了导数与单调性，导数的几何意义，导数与函数性质的综合应用，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：由复数的形式可知，选项A错误；当时，有，又，所以，故选项B正确；当时，则，所以，故选项C正确；当时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．本题考查了复数的模，涉及了复数模的性质以及模的运算，解题的关键是熟练掌握模的运算性质并能够进行灵活的运用．11.【答案】BCD【解析】解：还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；由，可得，故选项B正确；正方形中易得平面BCH，所以有，故选项C正确；因为，且，所以，故选项D正确．故选：BCD．把展开图恢复成正方体，判断其直线平面的位置关系，充分利用平行，垂直问题求解．本题考查了折叠问题，恢复到正方体，运用几何体中的性质，判断位置关系，属于中档题，但是难度不大．12.【答案】AD【解析】解：对于A：函数，所以满足，故A正确；对于B：的几何意义为单位圆上动点与点连线的斜率的2倍，相切时，最大值为，故B错误；对于C：当时，动点在第二象限从左向右运动，斜率先增大后减小，故C错误；对于D：当时，动点在第一象限从左向右运动，斜率逐渐减小，故D正确；如图所示：故选：AD．直接利用三角函数的关系式的变换和函数的性质及三角函数与斜率的关系的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，关系式和斜率的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.【答案】【解析】解：如图所示：由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，所以O为球心，，，，即圆台的高为3，所以其体积，故答案为：．由题意可知圆台的下底面为球的大圆，利用勾股定理求出圆台的高，再由圆台的体积公式即可求出结果．本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的体积公式，考查了学生的计算能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则，解得，所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，．故答案为：；．设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出，利用正方形的性质即可得到答案．本题考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用、互相垂直的直线斜率关系的应用，解题的关键是求出其中一条边的斜率．15.【答案】【解析】解：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的是，又最小正周期为2，故函数可为．故答案为：．先考虑熟悉的基本初等函数，再结合周期性和奇偶性即可得到答案．本题属于开放性问题，主要考查的是函数的奇偶性和周期性的应用，解题的关键了解基本初等函数的性质并能够进行灵活的应用．16.【答案】32【解析】解：根据正态曲线的对称性知，要使得误差在的概率不小于，则且，，所以，解得，，即n的最小值32．故答案为：32．根据正态曲线的对称性知，要使得误差在的概率不小于，问题转化为且，，可求．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．17.【答案】证明：各项都为正数的数列满足，得，，所以数列是公比为3的等比数列；因为，，所以，由知数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，于是，，所以，即，也符合．故．【解析】根据等比数列的定义，结合已知变形得，，可证明；结合可得，变形得，从而可求．本题主要考查了等比数列的定义在等比数列的判断中的应用，还考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，属于中档题．18.【答案】解：在四边形ABCD中，若，所以：，由于，所以，即，所以，所以．设，则，由余弦定理得：，，故，解得或负值舍去．所以．【解析】直接利用余弦定理的应用求出结果；利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C，由题意可知，，，各部件的状态相互独立，所以部件1，2都不需要调整的概率，故部件1，2中至少有1个需要调整的概率为．的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为X 0 1 2 3P．【解析】由相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可；的所有可能取值为0，1，2，3，求出事件发生的概率，即可求得分布列及数学期望．本题主要考查了相互独立事件概率的计算，以及离散型随机变量的分布列及方差，属于中档题．20.【答案】解：因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中四个侧面是三角形，一个底面是四边形，所以四棱锥的总曲率为；设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，每个面分别记为边形，则所有面角和为，则多面体的总曲率为，故这类多面体的总曲率是常数．【解析】利用多面体的总曲率的公式即可求解；利用多面体的总曲率的概念即可证明．本题考查了总曲率的概念的应用，考查了学生的推理转化能力，属于中档题．21.【答案】解：当且时，有，所以，则；由可知，双曲线C：，可设，，，当且时，；当BF与AF不垂直时，设，则，，而，又，，所以．综上可得，．【解析】利用已知条件可得，，化简得到a和c的关系，即可得到答案；设，然后分两种情况进行证明，当时，；当BF与AF不垂直时，设，然后利用同角三角函数关系以及二倍角公式进行化简变形，即可证明．本题考查了双曲线的综合应用，涉及了双曲线上动点的设法、同角三角函数的应用、二倍角公式的应用，解题的关键是设．22.【答案】解：证明：，，，考虑到，，所以当时，，此时，当时，，所以单调递增，所以，所以函数单调递减，，当时，，所以单调递增，所以，所以函数单调递增，，当时，，综上所述，当时，．构造函数，考虑到，，，，由可知：在时恒成立，所以在上单调递增，若，则在为负，为正，在单调递减，递增，所以，而当时，，故满足题意．若，，因为，所以，由零点存在定理，必存在，使得，此时满足时，，单调递减，所以，矛盾，舍去，若，，因为当时，，所以当时，，此时必存在使得，此时满足时，，单调递增，所以，矛盾，舍去，而当时，当，所以在时，成立，单调递增，，矛盾，舍去．综上所述，．【解析】根据题意可得，求导得，二次求导得，考虑到，，分三类当，当时，当时，证明即可．构造函数，由可知：在时恒成立，问题转化为在上单调递增时，a的值．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于难题．。

集合与常用逻辑用语新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(原卷版)

集合与常用逻辑用语一、单选题1．（2021·江苏高二月考）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（）A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．不能确定2．（2021·湖南宁乡一中高二月考）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V 、2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则命题p ：“1V 、2V 相等”是命题:q “1S 、2S 总相等”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·丰县宋楼中学高二月考）任何一个复数i z a b =+（其中a ，R b ∈，i 为虚数单位）都可以表示成()cos sin z r i θθ=+（其中0r ≥，R θ∈）的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()(cos sin cos nn r i r n θθθ⎡⎤+=⎣⎦)()sin i n n Z θ+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，“n 为偶数”是“复数()cos sin 22ni n Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭为实数”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．（2021·浙江高三）某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（）A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者5．（2021·江苏）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知{}32,A x x n n N *==+∈，{}53,B x x n n N *==+∈，{}72,C x x n n N *==+∈，若x A B C ∈⋂⋂，则下列选项中符合题意的整数x 为 A ．8 B ．127 C ．37 D ．236．（2021·江苏）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，方程220x x ⎡⎤-=⎣⎦的解集为A ，集合{}22650B xx ax a =-+>∣，且A B R =，则实数a 的取值范围是（） A ．10a -≤≤或322a ≤< B ．10a -<<或322a ≤< C ．10a -<≤或322a ≤< D ．10a -≤≤或322a <≤ 7．（2020·南京市中华中学高一月考）集合论是德国数学家康托尔（G .Cantor ）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用()card A 表示有限集合中元素的个数，例如：{},,A abc =，则()card 3A =.若对于任意两个有限集合,A B ，有card()card()card()card()A B A B A B ⋃=+-⋂.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A ．28B ．23C ．18D ．168．（2020·江苏高一期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}Z 34B x x =∈-<<，则A B 的真子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8二、多选题9．（2020·江苏省板浦高级中学高三期末）已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=，则称集合M 是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（） A ．(){},sin 1M x y y x ==+B ．()1,N x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭C ．(){},2xP x y y e ==- D ．(){}2,log Q x y y x == 10．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（）A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件11．（2020·广东广州六中高一期中）对x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，[]y x =被“数学王子“高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（） A ．x R ∃∈，[]1x x =-B ．x R ∃∈，[]1x x =+C ．x ∀、y R ∈，[][][]x y x y +≤+D ．函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)0,1E.若t R ∃∈，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是512．（2021·全国）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中，可能成立的是（）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素三、填空题13．（2021·浙江高二期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数[],y x x =∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.11, 1.1 2.⎡⎤=-=-⎣⎦则点集{}22(,)|[][]1P x y x y =+=所表示的平面区域的面积是___________. 14．以下说法正确的是________(填序号)．①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．15．给出以下4个命题，其中所有正确结论的序号是________（1）当a 为任意实数时，直线()1210a x y a --++=恒过定点P ，则焦点在y 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是243x y =．（2）若直线()1:2110l kx k y +++=与直线2:20l x ky -+=垂直，则实数1k =；（3）已知数列{}n a 对于任意*,p q N ∈，有p q p q a a a ++=，若119a =，则304S =；（4）对于一切实数n ，令[]x 为不大于n 的最大整数，例如：[]53.053,13⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数，若()*3n n a f n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则30145S =.16．（2021·宝山·上海交大附中高二期中）高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数[]()f x x =也应用于生活、生产的各个领域.高斯函数也叫取整函数，其符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[3.14]3=，[ 1.6]2-=-，定义函数：[]()sin 2x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 值域的子集的个数为：________．。

2021年高考数学大一轮复习创新问题专项训练(二)理(含解析)

一、选择题1．已知集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅2．定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图象关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称3．设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }，{x n }的前n 项和为S n ，则sin S n 不可能取的值是( )A ．0B.12 C ．－32D.324．对向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)定义一种运算“⊗”：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知动点P ，Q 分别在曲线y ＝sin x 和y ＝f (x )上运动，且OQ ―→＝m ⊗＋n (其中O 为坐标原点)，若向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则y ＝f (x )的最大值为( )A.12 B ．2C ．3D.35．对于函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ](a ＜b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个稳定区间．给出下列函数：①f (x )＝e x ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝cos π2x .其中存在“稳定区间”的函数的序号有( )A ．①③B ．②C ．①D ．②③6．定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1,2)∪[3,5)的长度d ＝(2－1)＋(5－3)＝3.用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R .设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，当0≤x ≤k 时，不等式f (x )＜g (x )的解集区间的长度为5，则k ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题7．设不等式组⎩⎨⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)，则数列{a n }的通项公式为________．8．设集合P ＝{t |数列{n 2＋tn (n ∈N *)}单调递增}，集合Q ＝{t |函数f (x )＝kx 2＋tx 在区间[1，＋∞)上单调递增}，若“t ∈P ”是“t ∈Q ”的充分不必要条件，则实数k 的最小值为________．9．下表中的数表为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列．(1)记数表中的第1行第1列的数为a 1，第2行第2列的数为a 2，依此类推，第n行第n列的数为a n，即a1＝2，a2＝5，则a n＝________；(2)在上表中，2 014出现的次数为________．三、解答题10．设函数F(x)在区间D上的导函数为F1(x)，F1(x)在区间D上的导函数为F(x)，如果当x∈D时，F2(x)≥0，则称F(x)在区间D上是下凸函数．已知e是2自然对数的底数，f(x)＝e x－ax3＋3x－6.(1)若f(x)在[0，＋∞)上是下凸函数，求a的取值范围；(2)设M(x)＝f(x)＋f(－x)＋12，n是正整数，求证：M(1)M(2)…M(n)＞e n＋1＋2n.11．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，D ，E 是椭圆的右、上顶点，椭圆的离心率e ＝32，S △DEF 2＝1－32.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)问：是否存在过左焦点F 1的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．答案1．选 C M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }＝{a |a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }＝{a |a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R }．令(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，则⎩⎨⎧1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2，解得λ1＝－1，λ2＝0，所以M ∩N ＝{(－2，－2)}．2．选B 选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x 轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确．3．选B 由f (x )＝x 2＋sin x 得，f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0得，x ＝2k π±2π3(k ∈Z )，当f ′(x )＞0时，2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3(k ∈Z )，当f ′(x )＜0时，2k π＋2π3＜x ＜2k π＋4π3(k ∈Z )，所以当x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取极小值，即x n ＝2n π－2π3，所以S n ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝2π(1＋2＋3＋…＋n )－2n π3＝n (n ＋1)π－2n π3，当n ＝3k (k ∈N *)时，sin S n ＝sin(-2k π)＝0；当n ＝3k －1(k ∈N *)时，sin S n ＝sin2π3＝32；当n ＝3k －2(k ∈N *)时，sin S n ＝sin 4π3＝－32. 4．选C 设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，∴m ⊗＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3⊗(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，3y 1，∵＝m ⊗＋n ，∴(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，3y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴x ＝x 12＋π6，y ＝3y 1，∴x 1＝2x －π3，y 1＝y 3，又y 1＝sin x 1，∴y 3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，显然当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1时，y ＝f (x )取得最大值3.5．选D 对于①，函数f (x )＝e x 是增函数，当x ∈[a ，b ]时，相应的值域为[e a ，e b ]，令g (x )＝e x －x ，则g ′(x )＝e x －1，所以g (x )在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，且g (0)＝1＞0，因此方程g (x )＝0无实根，即函数f (x )＝e x 不存在“稳定区间”；对于②，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3的值域为[－1,1]，因此函数f (x )＝x 3存在“稳定区间”；对于③，当x ∈[0,1]时，f (x )＝cosπ2x 的值域为[0,1]，因此函数f (x )＝cosπ2x 存在“稳定区间”． 6．选B f (x )＝[x ]·{x }＝[x ]·(x －[x ])＝[x ]x －[x ]2，由f (x )＜g (x )，得[x ]x －[x ]2＜x －1，即()[x ]－1x ＜[x ]2－1.当x ∈(0,1)时，[x ]＝0，不等式的解为x ＞1，不符合题意；当x ∈[1,2)时，[x ]＝1，不等式可化为0＜0，无解，不符合题意；当x∈[2，＋∞)时，[x]＞1，不等式([x]－1)x＜[x]2－1等价于x ＜[x]＋1，此时不等式恒成立，所以不等式的解集为[2，k]，因为不等式f(x)＜g(x)的解集区间的长度为5，所以k－2＝5，即k＝7，故选B.7．解析：由题意知3n－nx＞0，又x＞0，则0＜x＜3.∴x＝1或x＝2，∴D n 内的整点在直线x＝1和x＝2上．记直线y＝－nx＋3n为l，l与直线x＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y1，y2，则y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n，∴a n ＝3n.答案：a n＝3n8．解析：因为数列{n2＋tn(n∈N*)}单调递增，所以(n＋1)2＋t(n＋1)＞n2＋tn，可得t＞－2n－1，又n∈N*，所以t＞－3.因为函数f(x)＝kx2＋tx在区间[1，＋∞)上单调递增，所以其图象的对称轴x＝－t2k≤1，且k＞0，故t≥－2k，又“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件，所以－2k≤－3，即k≥32，故实数k的最小值为3 2 .答案：329．解析：(1)由“森德拉姆筛”数表中的数据a1＝2，a2＝5，a3＝10，a4＝17，…可知，a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，a n－a n－1＝2n－1，累加得a n－a1＝3＋5＋7＋…＋2n－1＝3＋2n－1n－12＝n2－1，所以a n＝n2－1＋a1＝n2＋1；(2)记第i行第j列的数为A ij，那么每一组i与j的解就对应表中的一个数，因为第1行的数组成的数列A1j(j＝1,2，…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2＋(j－1)×1＝j＋1，所以第j列数组成的数列A ij是以j＋1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij＝j＋1＋(i－1)×j＝ij＋1，令A ij＝ij＋1＝2 014，即ij＝2 013＝1×2 013＝3×671＝11×183＝61×33＝33×61＝183×11＝671×3＝2 013×1.故2 014出现的次数为8.答案：(1)n2＋1 (2)810．解：(1)f′(x)＝e x－3ax2＋3，设F1(x)＝f′(x)，则F1′(x)＝e x－6ax.∵f(x)在[0，＋∞)上是下凸函数，∴当x∈[0，＋∞)时，F1′(x)＝e x－6ax≥0.当x＝0时，1≥0成立，即F1′(x)＝e x－6ax≥0成立，此时a∈R.当x∈(0，＋∞)时，由F1′(x)＝e x－6ax≥0得，a≤e x 6x.设H(x)＝e xx，则H′(x)＝x e x－e xx2＝e x x－1x2.∴当x∈(1，＋∞)时，H′(x)＞0，H(x)单调递增；当x∈(0,1)时，H′(x)＜0，H(x)单调递减，∴当x＝1时，H(x)取得最小值H(1)＝e，∴a ≤e 6，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 6.(2)证明：∵f (x )＝e x －ax 3＋3x －6， ∴M (x )＝f (x )＋f (－x )＋12＝e x ＋e －x ＞0.∵M (x 1)M (x 2)＝e x 1＋x 2＋e x 1－x 2＋e x 2－x 1＋e －x 1－x 2＞e x 1＋x 2＋e x 1－x 2＋e x 2－x 1，又e x 1－x 2＋e x 2－x 1≥2e x 1－x 2e x 2－x 1＝2，∴M (x 1)M (x 2)＞e x 1＋x 2＋2， ∴M (1)M (n )＞e n ＋1＋2，M (2)M (n －1)＞e n ＋1＋2，M (3)M (n －2)＞e n ＋1＋2，…，M (n )M (1)＞e n ＋1＋2，∴[M (1)M (n )][M (2)M (n －1)]· …·[M (n )M (1)]＞(e n ＋1＋2)n ， ∴M (1)M (2)· …·M (n )＞e n ＋1＋2n.11．解：(1)由题意得e ＝c a ＝32，故c ＝32a ，b ＝12a ，S △DEF 2＝12×(a －c )×b＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32a ×a 2＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32a 2＝1－32，故a 2＝4，即a ＝2，所以b ＝1，c ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－3，联立⎩⎨⎧x ＝－3，x 24＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－12，不妨令精品文档实用文档A ⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12，所以对应的“椭点”坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－32，－12.而·＝12≠0.所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，联立⎩⎨⎧y ＝k x ＋3，x 24＋y 2＝1消去y 得(4k 2＋1)x 2＋83k 2x ＋12k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则这两点的“椭点”坐标分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－83k 24k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－44k 2＋1，则y 1y 2＝k 2(x 1＋3)(x 2＋3)＝k 2[x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋3]＝－k 24k 2＋1.若使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点，则OP ⊥OQ ，而＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，因此·＝0，即x 12×x 22＋y 1y 2＝x 1x 24＋y 1y 2＝0，即2k 2－14k 2＋1＝0，解得k ＝±22.所以所求的直线方程为y ＝22x ＋62或y ＝－22x －62.@S31622 7B86 箆20990 51FE 凾35363 8A23 訣•|-26433 6741 杁28496 6F50 潐@ U`S。

第09讲解析几何-2021年新高考数学新情景、新文化问题

+
y2 (mb)2
=1(m
> 1) ，
∴ A(−ma, 0), B(0, mb) ，设切线 AC 为=y k1(x + ma) ，切线 BD 为=y k2 x + mb ，
= y ∴ x2 a2
k1 ( x
+
y2 b2
+ ma) = 1 ，整理得 (a2k12
+ b2)x2
+
2ma3k12 x
方程与圆 x2
+ y2
= a2 相交位置，两方程联解可得 − a 2
≤
y0
≤
a 成立，由图知双纽线 C 上满足
2
PF1
=
PF2
的点 P 有一个.
【详解】
设动点 C(x, y) ，由已知得到动点 C 的轨迹方程 [(x a)2 y2 ] [(x a)2 y2 ] a2
化简得 (x2 y2 )2 2a2 (x2 y2 ) ，原点 O(0, 0) 代入入轨迹方程，①显然成立；把 (x, y) 关于原点对称的点
点坐标为 (x, y) ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】对于①，由题意设动点坐标为 (x, y) ，
则利用题意及两点间的距离公式的得：[(x + 1)2 + y2 ] [(x −1)2 + y2 ] = a4 ，
将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的 x 被 −x 代换， y 被 − y 代换，方程不变，
A． x + y − 2 =0
B． x − 2 y +1 =0
C． x − y + 2 =0
D． 2x − y + 2 =0

高考数学玩转压轴题专题7.2创新型问题(2021学年)

高考数学玩转压轴题专题７.2 创新型问题编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高考数学玩转压轴题专题7.2 创新型问题)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题7。

2 创新型问题一.方法综述对于创新型问题,包括:（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言,要明确题中已知量与未知量的数学关系,要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题,构建数学模型,运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决）。

（Ⅱ）创新性问题①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.②以新运算给出的发散型创新题,检验运算能力、数据处理能力。

③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律,充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.二．解题策略类型一实际应用问题【例１】【北京市石景山区２0１8届第一学期期末】小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为()y m,表示y与t的函数关系的t s,他与教练间的距离为()图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A．点MＢ．点N C．点P D．点Q【答案】Ｄ【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言,最后建立恰当的数学模型求解．其中,函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2017-2０18上学期期末】20１6年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施,如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④1212c c a a < 其中正确的式子的序号是( ）A. ②③ Ｂ. ①④ C ． ①③ D ． ②④ 【答案】B类型二创新性问题【例2】设D是函数ｙ＝f(x)定义域内的一个区间，若存在ｘ0∈Ｄ,使得f(x0)＝－x0,则称x0是ｆ(x)的一个“次不动点”，也称f(x）在区间D上存在“次不动点".若函数f(x）=ａｘ2-３x-a＋错误!在区间[1,4]上存在“次不动点”,则实数a的取值范围是（ )A.（－∞,0]Ｂ．错误!C.错误!D。

2021年全国新高考卷数学试题含答案

2021年全国新高考卷数学试题含答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|0≤x＜3}D. {x|0≤x≤2}3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模等于（）A. 0B. 1C. 2D. z5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = e^xB. y = ln(x)C. y = x^2D. y = 1/x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。

（）2. 若矩阵A可逆，则其行列式值不为0。

（）3. 任何两个实数的和都是实数。

（）4. 二项式展开式中，各项系数的和等于2的n次方。

（）5. 函数y = x^3在区间（∞，+∞）上单调递增。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(1，2)，b=(1，3)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。

2. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b6=______。

3. 若函数f(x)=3x^24x+1，则f'(x)=______。

4. 三角形内角和为______。

5. 圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中圆心坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的极值的定义。

2. 什么是排列组合？请举例说明。

3. 请写出余弦定理的公式。

4. 简述概率的基本性质。

5. 举例说明平面向量的线性运算。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。

2. 设有4个红球，3个蓝球，求从中任取3个球，恰有2个红球的概率。

高考数学创新题举例

[40.50）r （n ）A.12C.24'兀思维的草視高考数学创新题举例【例］】（女排^神茁21天津检测）中国女排的影响力早已超越体育本身的意义「不仅是时代的集体记忆’更是激励国人继续奋斗、自强不息的精神符号某大学组织学生看过电影《夺冠》后「举行了学习女排精神，塑造健康体魄"的主题活动「一段时间后’学生的身体憲质明显提高现随机抽取口0个学生进行体能测试’成绩的频率分布直方图如图所示』数据（单位：分）分成［50,60）—［90.100］六组，则成绩落在［70,80）内的人数为B.120 D.240 点评1. 本题以"电影《夺冠》"为背景，考查频率分布，体现了“德育的素养导向，学习対时”，立德树人.2. 求解的关键是理解频率分布直方图的特征，用频率估计总体分布，特别是,小长方形的面积表示数据分布在对应区间内的频率. 【例2】（智育为先卫021天逮调研）唐代诗人李硕的诗《古从军行》幵头两句>as 登山望烽火/黄昏饮马傍交河“诗中隐含着y 有趣的数学问题一•将军饮马伺题，即檸军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中「设军营所在区域为x 2+y 2<l,若将军从点P （L-2）处岀发，河岸线对应的直线方程为x+3y=5F 并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营』则“将军饮马”问题中的最短总路程为］A ）九4B5U 字D 心鬼维的草袒点评1•本题以“唐代诗人李颀的诗《古从军行》中的数学问题”为背景，考查直线与圆的位置关系、对称性问题与最值问题，体现了智育的素养导向，同时考查中国传统文化，提升学生修养・2•破解此类最值问题的关键在于“化折为直”，即把一动点到两定点的距离和的最小值问题，通过对称思想，转化为两点间的距离问题•Ihi 壮:呂 ||耐人C.②④【例3】(美育为^'2021-湖南衡阳八中检测)攒尖星古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形横尖、三角攒尖、四角攒尖、八甬攒尖，也有单檐和重檐之分’多见于亭阁式建筑、园林建筑以如图所示的建筑物为例』它属重榕四角攒尖「它的上层轮廓可近似看作一？正四棱谁，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍「则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比值为(R ID.V3点评1. 本题以"攒尖"为背景，考查正四棱锥内切球等知识，"攒尖"体现古典建筑之美，反映人民群众的智慧，陶冶情操,体现了美育的素养导向.2. 解题关键:盯"题眼"和细"观图"，会利用所给的实物的特征及题目中的"题眼"，如本例,从题眼"正四棱锥的侧面积是底面积的3倍"，求出正四棱锥的底面边长和斜高的关系式，再利用三角形的相似关系，即可得该正四棱锥的内切球的半径与该正四棱锥的底面边长的关系.【例纣(劳技为本.实践创新｝学校幵展劳动实习课」某班将在如图所示的曲边梯形ABCD 的场地中建矩形花圃EBFH,经建系测绘」收集到以下信息：巩叩儿A(2T 0)F B(2,8)f C(-2r 8).ffl 线匚D 可以近似看件函数y =-x 3图象的一段”AD 丄AB,AD//BC .现要求矩形花圃EBFH 的顶点E ’F,U 分别落在边A 叭边肚和曲边CD 上，若点H 的横坐标为x 且XG(-2,-1］,花圃EBFH 的面积S 与x 的函数关系式记为S 〔K ),则下列四个结论： ①S(x)在(-Z-1］上单调递增；o② SM 在(-2.-1］上先单调递增再单调递减;③ S(x)在(-2.-1)上存在最大值；④ S 仅)的最大值为21.其中正确的命题序号为(B ) A.①③匕①④C.②@点评 1•本题以“测量花圃的面积”为背景，考查函数的早调性与取,1于一N 极关注并开展劳动实践活动.2.解本题抓住两点：(1)准确求出目标函数S(x);⑵利用导数工具讨论函数的单调性和最值•需注意“二次求导”的活用。

2021年高考数学试卷(新高考卷)含答案

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2x+3，则f(2)的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 113. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若向量a=(1,2)，b=(1,2)，则a与b的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 若复数z满足|z|=1，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则a²>b²。

（）2. 函数y=2x+1是一次函数。

（）3. 两个平行线的斜率相等。

（）4. 若矩阵A的行列式为0，则A为不可逆矩阵。

（）5. 任意两个实数的和仍然为实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知数列{an}为等差数列，a1=1，a5=9，则a3=______。

2. 若函数f(x)=x²2x+1，则f(x)的最小值为______。

3. 设矩阵A为2阶方阵，若|A|=3，则|3A|=______。

4. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于原点的对称点坐标为______。

5. 已知复数z=3+4i，则z的共轭复数为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义及其通项公式。

2. 解释矩阵乘法的运算规则。

3. 什么是二次函数的顶点？如何求二次函数的顶点坐标？4. 请列举三种常见的三角函数，并说明它们之间的关系。

5. 简述复数的基本概念及其四则运算。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知等差数列{an}中，a1=1，a5=9，求该数列的公差及前5项和。

2. 解方程组：2x+y=5，x3y=4。

2021年高三8月联考数学文试题含答案

2021年高三8月联考数学文试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：椎体体积公式：一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1、集合，，则（）A．B．C．D．2、已知复数的实部是，虚部是，则（其中为虚数单位）在复平面对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、函数（且）的定义域是（）A． B．C． D．4、圆上的点到直线的距离最大为（）A．B．C．D．5、“平面向量平行”是“平面向量满足”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A． B. C． D. 第6题图7、已知实数满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．D．8、已知，，且与垂直，则与的夹角是（）A． B．C．D．9、已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C．D．10、定义在R上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．(一)必做题（11～13题）11、已知中，角、、的对边分别为、、，且，，，则．12、阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的整数的最大值为．13、若不等式对任意的恒成立，则的最大值是．第12题图(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线=与圆相切于极轴上方，则．15．（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，是半圆上异于的点，，垂足为. 若，，则半圆的面积为．第15题图三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（本题满分12分）已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．17、（本题满分12分）某体育杂志针对xx年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上的的实力和表现有没有关系”，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”40岁以上（含40岁）100 150 300 （1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率.18、（本题满分14分）如图，直角梯形中，,,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，.(1)证明：;(2)证明：平面;(3)若,求几何体的体积.19、（本题满分14分）已知各项均为正数的等差数列满足：，各项均为正数的等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足：，其前项和为，证明.20、（本题满分14分）已知抛物线C:与直线相切，且知点和直线，若动点在抛物线C上（除原点外），点处的切线记为，过点且与直线垂直的直线记为.(1)求抛物线C的方程；（2）求证：直线相交于同一点.21、（本题满分14分）已知函数和（1）若函数在区间不单调，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的最大值.xx届高三上学期六校第一次联考文科数学答案一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．(一)必做题（11～13题）11、 12、5 13、9(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、2 15、三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、解：（1）∵函数的最大值是2，∴……………………………………………………………………………………………2分∵又∵∴……………………………………………………………4分（2）由（1）可知…………………………………………6分……………8分∵∴，………10分∴…………………………………………………………………12分17、解：（Ⅰ）由题意，得n30015010020045080045100800+++++=+ …………………………2分从持“无关系”态度的人中，应抽取人…………………………3分从持“不知道”态度的人中，应抽取人…………………………4分（Ⅱ）设所选取的人中，有m 人在40岁以下，则，解得m=2. ……6分就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作则从中任取2人的所有基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(32312121322212312111B B B B B B A A B A B A B A B A B A B A 共10个……………………………………………………………………………9分其中至少有1人在40岁以下的基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21322212312111A A B A B A B A B A B A B A 共7个 (11)分记事件“选取2人中至少一人在40岁以下”为,则所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为 ………………………12分18、(1)证明：为等边三角形，是的中点………………………………………………………………1分又因为平面平面，交线为,平面根据面面垂直的性质定理得平面; ………………………3分又平面………………………………………………………………4分 (2)证明：取中点G ，连接,且 ………………6分,,且 ………………8分四边形是平行四边形………………9分又平面，平面平面 ………………10分 (3)解：依题，直角梯形中，,,1,2,2AB CD AB BC AB CD BC ⊥===则直角梯形的面积为11()(12)2322ABCD S AB CD BC =+⨯=+⨯=梯形 ……12分由（1）可知平面，是四棱锥的高在等边中，由边长,得 ………13分故几何体的体积为 1133333E ABCDABCD V S EF -=⋅⋅=⨯=梯形 ………14分19、解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有121123*********()3()(2)1534a a a a d a a a d a d b b b b q b b q =+=⎧⎪=++=⎪⎨+=+=⎪⎪==⎩解得,，．…………………………4分所以，．…………………………6分（2）．…………………………7分，① ，②②－①得，…………………………11分又因为，所以，所以…………………13分综上得证. …………………14分 20、（1）解：联立消去得因为抛物线C 与直线相切，所以 ………3分解得（舍）或 ………4分所以抛物线的方程为 …………………5分（2）证明：由得，求导有 ………………6分设，依题其中，则处的切线方程为：切线方程 …………………8分与直线联立得：，即直线相交于 …………9分直线的斜率为因为与直线垂直，所以 …………………11分因为过点，所以的方程为 …………………12分与直线联立得：，即直线也相交于 ………13分故直线相交于于同一点. ………………14分21、解：（1） …………………1分 ①当时，，所以在单调递减，不满足题意；………2分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增，因为函数在区间不单调，所以，解得 ………4分综上的取值范围是. …………………5分（2）令3()()()(2)2xh x f x g x x e kx x =-=--++依题可知在上恒成立 …………………6分，令=，有且 …………………7分 ①当即时，因为，所以所以函数即在上单调递增，又由故当时，，所以在上单调递增又因为，所以在上恒成立，满足题意；…………………10分②当即时，当，，函数即单调递减，又由，所以当，所以在上单调递减，又因为，所以时，这与题意在上恒成立相矛盾，故舍. …………………13分综上，即的最大值是. …………………14分35805 8BDD 话21602 5462 呢24727 6097 悗31956 7CD4 糔]22410 578A 垊36252 8D9C 趜~35443 8A73 詳i 31063 7957 祗33126 8166 腦。

专题8数学文化及核心素养类试题PPT(79张)2021届高考数学大二轮专题复习讲义(新高考)

错
误
；a4＝a1 Nhomakorabea＋
3d
＝
5
＋
3×
16 29
＝
193 29
，
a5
＝
a1
＋
4d
＝
5
＋
4×
16 29
＝
209 29
，
∴
aa32＋＋aa54＋＋aa76＝33aa54＝aa54＝210993，D 正确．故选 BD.
解析
本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．
体．如图，将底面直径都为 2b，高皆为 a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体
的圆柱放置于同一平面 β 上，用平行于平面 β 且与平面 β 任意距离 d 处的
平面截这两个几何体，可横截得到 S 圆及 S 环两截面．可以证明 S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为 1，半长轴长为
3 的椭球体的体积是
.
答案 4π
16n2＋9129，∵bn＝2an，∴bbn＋n 1＝2a2na＋n 1＝2an＋1－an＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B 正确；∵5d＝5×1269＝8209≠3，bb150＝(2d)5＝25d≠23，
解析答案
∴b10≠8b5，A 错误；a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，∴a1b30＝5×221>105，C
定天下济苍生一逞抱负的路径。你想，一个小小的“弼马温”，怎么对晋国的历史、对晋国国君的为人那么清楚，对秦伯的心理、对秦晋之间的恩怨又是如此了然。“老骥伏枥，志在千里”的豪情无疑是后人敬仰他们的主要缘由。

第五章突破3 数列中的创新型问题-2025年高考数学备考

第五章数列突破3数列中的创新型问题学生用书P107命题点1数学文化情境下的数列应用例1[2021新高考卷Ⅰ]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm ×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm ×12dm ，20dm ×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240dm 2，对折2次共可以得到5dm ×12dm ，10dm ×6dm ，20dm ×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180dm 2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折n 次，那么∑J1S k ＝240（3－r32）dm 2.解析依题意得，S 1＝120×2＝240（dm 2）；S 2＝60×3＝180（dm 2）；当n ＝3时，共可以得到5dm ×6dm ，52dm ×12dm ，10dm ×3dm ，20dm ×32dm 四种规格的图形，且面积均为30dm 2，所以S 3＝30×4＝120（dm 2）；当n ＝4时，共可以得到5dm ×3dm ，52dm ×6dm ，54dm ×12dm ，10dm ×32dm ，20dm ×34dm 五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且面积均为15dm 2，所以S 4＝15×5＝75（dm 2）；……所以可归纳S k ＝2402×（k ＋1）＝240（r1）2.所以∑J1S k ＝240（1＋322＋423＋…＋2－1＋r12）①，所以12×∑J1S k ＝240（222＋323＋424＋…＋2＋r12r1）②，由①－②得，12×∑J1S k ＝240（1＋122＋123＋124＋…＋12－r12r1）＝240{1＋122[1－（12）－1]1－12－r12r1}＝240（32－r32r1），所以∑J1S k ＝240（3－r32）（dm 2）.方法技巧通过数学建模解决数学文化问题的步骤读懂题意会“脱去”题目中的背景，提取关键信息.构造模型由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.“解模”把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n 项和等.训练1[2023安徽名校联考]“物不知数”原载于《孙子算经》，它的系统解法是南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的.“大衍求一术”是中国古算中最具独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，记{a n}的前n项和为S n，则S10＝（C）A.495B.522C.630D.730解析由题知，被4除余1且被6除余3的数中，最小的正整数是9，则满足条件的数列{a n}是以9为首项，12为公差的等差数列，则a n＝12n－3（n∈N*），所以S10＝10×（9+117）2＝630.故选C.命题点2现代生活情境下的数列应用例2某市抗洪指挥部接到最新雨情预报，未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20辆某型号翻斗车，平均每辆翻斗车需要工作24h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（C）A.25辆B.24辆C.23辆D.22辆解析由题意可知，一辆翻斗车需要20×24＝480（h）才能完成拦洪坝的加高加固工程，设至少需要n辆这种型号的翻斗车才能在24h内完成该工程，这n辆翻斗车的工作时间（单位：h）按从大到小排列依次记为a1，a2，…，a n，则数列{a n}是公差为－13的等差数列，所以a1＝24，记{a n}的前n项和为S n，则S n＝na1＋（－1）2×（－13）＝24n－16n（n－1），当n＝23时，S n≈467.7＜480，当n＝24时，S n＝484＞480，故n的值为24，至少需要24辆翻斗车，所以至少还需要抽调23辆翻斗车，故选C.训练2[多选]如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学兴趣小组利用该玩具制订如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的n（n∈N*）个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆中，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次，记a n为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设b n＝a n＋1－n，则下面结论正确的是（ABD）A.a3＝7B.a n＋1＝2a n＋1C.b n＝2n＋n－1D.∑i=1i ＋ii i+1＝12－12r2－－2解析由题意易得，a 1＝1，a 2＝3.易知将n ＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中所需要的最少次数为a n ＋1，若要将2号杆中的n ＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中，则第一步，将除了最大的彩虹圈的n 个彩虹圈全部移动到3号杆中，所需要移动的最少次数为a n ；第二步，将最大的彩虹圈移动到1号杆中，最少需要移动1次；第三步，将3号杆中的n 个彩虹圈全部移动到1号杆中，需要移动的最少次数为a n ，所以a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2（a n ＋1）.又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2n ，a n ＝2n －1，a 3＝7，所以选项A ，B 均正确；因为b n ＝a n ＋1－n ，所以b n ＝2n ＋1－1－n ，所以选项C 错误；因为＋r1＝1－1r1，所以∑i=1i＋ii i+1＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1－1r1＝11－1r1＝12－12r2－－2，所以选项D 正确.综上，选ABD.命题点3数列中的新定义问题例3我们把形如F n ＝22＋1（n ∈N ）的数叫做“费马数”，设a n ＝log 2（F n －1），n ∈N *，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则使不等式2212＋2323＋…＋2r1r1＜63127成立的最大正整数n 的值是（A ）A.5B.6C.7D.8解析因为F n ＝22＋1（n ∈N ），所以当n ∈N *时，a n ＝log 2（F n －1）＝log 2（22＋1－1）＝2n ，所以S n ＝2×（1－2）1－2＝2n ＋1－2.而2r1r1＝2r1（2r1－2)(2r2－2）＝12r1－2－12r2－2，所以2212＋2323＋…＋2r1r1＝122－2－123－2＋123－2－124－2＋…＋12r1－2－12r2－2＝12－12r2－2.若12－12r2－2＜63127，则12r2－2＞1254，即2n ＋2＜256，解得n ＜6，故选A.训练3函数y ＝[x ]称为高斯函数，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.已知数列{a n }满足a 3＝3，且a n ＝n （a n ＋1－a n ），若b n ＝[lg a n ]，则数列{b n }的前2025项和为4968.解析由a n ＝n （a n ＋1－a n ），得（n ＋1）a n ＝na n ＋1，即r1＝r1，利用累乘法（或r1r1＝＝33＝1），可得a n ＝n .记{b n }的前n 项和为T n ，当1≤n ≤9时，0≤lg a n ＜1，b n ＝[lg a n ]＝0；当10≤n ≤99时，1≤lg a n ＜2，b n ＝1；当100≤n ≤999时，2≤lg a n ＜3，b n ＝2；当1000≤n ≤2025时，3≤lg a n ＜4，b n ＝3.所以T 2025＝（b 1＋…＋b 9）＋（b 10＋…＋b 99）＋（b 100＋…＋b 999）＋（b 1000＋…＋b 2025）＝9×0＋90×1＋900×2＋1026×3＝4968.1.[命题点1/2023河南郑州一模]我国古代有这样一个数学问题：今有男子善走，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？其大意是：现有一个善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d 里，九天他一共行走了一千二百六十里，求d 的值.关于该问题，下列结论错误的是（A）A.d＝15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天一共行走了九百一十里D.此人前八天一共行走了一千零八十里解析设此人第n（n∈N*）天走a n里，则数列{a n}是公差为d的等差数列，记数列{a n}的前n项和为S n，由题意可得1=100，9=91+36=1260，解得d＝10，A错.a3＝a1＋2d＝120，B对.S7＝7a1＋6×72d＝910，C对.S8＝8a1＋7×82d＝1080，D对.故选A.2.[命题点2/2023江西清江中学期末]现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量（单位：万件）为T（n）＝14n（n＋1）（n＋3），如果年产量超过60万件，可能出现产量过剩，产生药物浪费.从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（B）A.7年B.8年C.9年D.10年解析设第n年年产量为a n，则第一年年产量为a1＝T1＝2，以后各年年产量为a n＝T（n）－T（n－1）＝14n（3n＋5）（n≥2，n∈N*），a1＝2也符合上式，所以a n＝14n（3n＋5）（n∈N*）.令14n（3n＋5）≤60，得3n2＋5n－240≤0.设f（x）＝3x2＋5x－240，其图象的对称轴为直线x＝－56，则当x＞0时，f（x）单调递增.又f（8）＝3×82＋5×8－240＝－8＜0，f（9）＝3×92＋5×9－240＝48＞0，所以3n2＋5n－240≤0的最大正整数解为8，则这条生产线的最大生产期限应拟定为8年.故选B.3.[命题点3/多选/2023北京师范大学第二附属中学期中]若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称这个数列为“m积特征列”，若各项均为正数的等比数列{a n}为“6积特征列”，且a1＞1，则当{a n}的前n项之积最大时，n的值为（CD）A.5B.4C.3D.2解析由{a n}是等比数列，得a n＝a1q n－1，其中q为数列{a n}的公比.因为数列{a n}是“6积特征列”，所以a6＝a1a2a3a4a5a6，所以15q10＝1，所以a1q2＝1，所以a1＝q－2.因为数列{a n}各项均为正数，a1＞1，所以0＜q＜1.设数列{a n}的前n项之积为P n，则有P n＝a1a2…a n＝1q1＋2＋3＋…＋（n－1）＝2－52.因为0＜q＜1，所以当2－52最小时，P n最大.结合二次函数的图象及n ∈N *知当n ＝2或n ＝3时，2－52最小，P n 最大.故选CD.学生用书·练习帮P3151.[2023武汉市5月模拟]将1，2，…，n 按照某种顺序排成一列得到数列{a n }，对任意1≤i ＜j ≤n ，如果a i ＞a j ，那么称数对（a i ，a j ）构成数列{a n }的一个逆序对.若n ＝4，则恰有2个逆序对的数列{a n }的个数为（B）A.4B.5C.6D.7解析由题知数列{a n }中的项都是正整数，当n ＝4时，1≤i ＜j ≤4，将1，2，3，4按照某种顺序排成一列，则用列举法列出所有恰有2个逆序对的数列的组合为{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5个，故选B.2.[2024湖南名校联考]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{a n }本身不是等差数列，但从数列{a n }中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{b n }（称数列{a n }为一阶等差数列），或者{b n }仍旧不是等差数列，但从数列{b n }中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{c n }（称数列{a n }为二阶等差数列）……以此类推，得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列{a n }：1，1，3，27，729，…是一阶等比数列，则∑J110log 3a n 的值为（参考公式：12＋22＋…＋n 2＝6（n ＋1）（2n ＋1））（B ）A.60B.120C.240D.480解析由题意知，数列{a n }为一阶等比数列.设b n ＝r1，则{b n }为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝3，公比为q ＝21＝3，所以b n ＝3n －1.故a n ＝b n －1b n －2…b 1·a 1＝31＋2＋3＋…＋（n －2）＝3（－1)(－2）2，n ≥2，a 1＝1，也适合上式，所以log 3a n ＝log 33（－1)(－2）2＝（－1)(－2）2＝12（n 2－3n ＋2）.所以∑J110log 3a n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 10＝12×[（12＋22＋…＋102）－3×（1＋2＋…＋10）＋2×10]＝12×[（16×10×11×21）－3×（1+10）×102＋2×10]＝120.故选B.3.[2023昆明市模拟]Farey 序列是指把在0到1之间的所有分母不超过n （n ∈N *）的最简分数及0（视为01）和1（视为11）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F －n ，例如F －4就是01，14，13，12，23，34，11.则F －7的项数为19.解析F －7中分子为1的有17，16，15，14，13，12；分子为2的有27，25，23；分子为3的有37，35，34；分子为4的有47，45；分子为5的有57，56；分子为6的有67；再加上01和11两项，共有19项.4.对于数列{a n }，使数列{a n }的前k 项和为正整数的k 的值叫做“幸福数”.已知a n ＝log 4r1，则数列{a n }在区间[1，2025]内的所有“幸福数”的个数为5.解析a n ＝log 4r1＝log 4（n ＋1）－log 4n ，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝log 42－log 41＋log 43－log 42＋…＋log 4（n ＋1）－log 4n ＝log 4（n ＋1）.根据题意得S k 为正整数，设S k ＝m （m ∈N *），则log 4（k ＋1）＝m ，所以k ＋1＝4m ，令1≤k ≤2025，则1≤4m －1≤2025，故m 可取1，2，3，4，5，共5个数，所以所求“幸福数”有5个，故答案为5.5.我国古人将一年分为二十四个节气，如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，冬至的晷长最长，夏至的晷长最短，周而复始.已知冬至的晷长为13.5尺，芒种的晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的晷长的和为84尺.解析依题意，冬至的晷长为13.5尺，记为a 1＝13.5，芒种的晷长为2.5尺，记为a 12＝2.5，因为相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，所以从冬至到芒种的晷长可构成等差数列{a n }，n ∈N *，n ≤12，则数列{a n }的公差d ＝12－112－1＝2.5－13.512－1＝－1.因为夏至与芒种相邻，且夏至的晷长最短，所以夏至的晷长为a 12＋d ＝1.5（尺），又大雪与冬至相邻，且冬至的晷长最长，所以大雪的晷长为a 1＋d ＝12.5（尺）.显然夏至到大雪的晷长可构成一个递增的等差数列，其首项为1.5，末项为12.5，共12项，所以一年中夏至到大雪的晷长的和为1.5+12.52×12＝84（尺）.6.某项测试有10道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列{a n }和{b n }记录他们的成绩.若第k 题甲答对，则a k ＝k ，若第k 题甲答错，则a k ＝－k ；若第k 题乙答对，则b k ＝2k －1，若第k 题乙答错，则b k ＝－2k －1.已知b 1＋b 2＋…＋b 10＝767，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 10b 10＝9217，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝39.解析由题意可知｜a k ｜＝k ，｜b k ｜＝2k －1，记T ＝∑i=110｜a i ｜｜b i ｜＝1×20＋2×21＋…＋10×29，则2T ＝1×21＋2×22＋…＋10×210，两式相减得T ＝－（20＋21＋…＋29）＋10×210＝－1－2101－2＋10×210＝1＋9×210＝9217，所以∑i=110｜a i ｜｜b i ｜＝∑i=110a ib i ，该式表明对于10道题中的每一道题，甲和乙同时答对或者同时答错.由题意可知，乙的成绩为∑i=110b i ＝767，若乙10道题全部答对，则其获得的总成绩应为20＋21＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023，令1023－7672＝2m －1，解得m ＝8，所以乙除第8题答错外，其余题均答对，所以甲除第8题答错外，其余题均答对，所以∑i=110a i ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7－8＋9＋10＝39.7.[2023上海华东师范大学第二附属中学期末改编]某工厂在2023年上半年施行“减员增效”措施，对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的23领取工资.该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可在工资的基础上额外获得b 元收入，从第三年起每人每年的额外收入可在上一年的基础上增加50％.假设某人分流前工资收入为每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的年收入为a n 元.（1）求{a n }的通项公式.（2）当b ＝827时，这个人哪一年的年收入最少？最少为多少元？（3）当b ≥38时，是否能保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入？解析（1）由题意得，当n ＝1时，a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝（23）n －1a ＋（32）n －2b .所以a n ＝，=1，（23）－1＋（32）－2，≥2.（2）b ＝827，当n ≥2时，a n ＝（23）n －1a ＋827（32）n －2≥3×27＝89，当且仅当（23）n －1a ＝827（32）n －2时，上式的等号成立，即（23）2n －3＝（23）3，解得n ＝3，此时a n ＝a 3＝89.又a 1＝a ＞89，所以这个人分流后第三年的年收入最少，最少为89元.（3）当n ≥2时，a n ＝（2）n －1a ＋（32）n －2b ≥（23）n －1a ＋38（32）n－2≥2a ，当且仅当b ＝38且n ＝log 2313时，上式等号成立，又n ≥2且n ∈N *，因此等号不能取到，所以当n ≥2时，a n ＞a .故当b ≥38时，能保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入.。

平面向量-新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(原卷版)

平面向量一、单选题1．（2021·中山市第二中学高一月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若,,a BA b BE BC →→→→→===3EF →，则BF →=（）A ．1292525a b →→+B ．16122525a b →→+C ．4355a b →→+D ．3455a b →→+ 2．（2021·徐汇·上海中学）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人貝目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界．数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O ，A ，两动点B ，Q ，且1OA OB ==，OA 绕点O 逆时针旋转到OB 所形成的角记为θ．设函数()()4sign sin5f θθθ=⋅-，()πθπ-≤≤，其中，()1,0sign 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，令()f ρθ=，作OQ OA ρ=随着θ的变化，就得到了Q 的轨迹，其形似“蝴蝶”．则以下4幅图中，点Q 的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（）A ．B ．C ．D ．3．（2022·全国高三专题练习）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于0.618≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，512BE BO -=，则BF =（）A 5510BA BG ++B 5510BG -+C 5510BG -+D 55BG + 4．（2021·江苏南通·高三）瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O 是六角形的对称中心，A ，B 是六角形的两个顶点，动点P 在六角形上(内部以及边界).若OP xOA yOB =+，则x y +的取值范围是（）A ．[3,3]-B ．[4,4]-C ．[5,5]-D ．[6,6]-5．（2021·全国（理））下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A 、B 、C 、D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=（）．A ．14B ．26C ．38D ．426．（2021·广东）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA →=，给出下列结论：图1 图2①OA →与OH →的夹角为3π；②OD OF OE →→→+=；③||||2OA OC DH →→→-=；④OA →在OD →上的投影向量为2e （其中e →为与OD →同向的单位向量）．其中正确结论为（）A ．①B ．②C ．③D ．④ 7．（2021·江苏省前黄高级中学）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]6,12B ．[]6,16C ．[]8,12D ．[]8,168．（2021·福清西山学校高一月考）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，ABC 满足“勾3股4弦5”，且3AB =，E 为AD 上一点，BE AC ⊥.若BE BA BC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．925-B ．725C ．1625D ．1二、多选题9．（2021·重庆北碚·西南大学附中高一期末）奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC △，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角ABC 内的点，A 、B 、C 是ABC 的三个内角，且满足13PA PB PC CA ++=，OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则（）A ．::4:2:3PAB PBC PCA S S S =△△△B ．πA BOC ∠+∠=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC10．（2021·邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E 为DF 的中点，则（）A ．cos EAD ∠=B ．17AD AE +=C ．4255AE AD AB =+ D ．85AB AE ⋅= 11．（2021·湖北高一期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且2AB =，3AC =，则下列说法正确的是（） A ．0AH BC ⋅=B ．53AG BC ⋅=- C ．52AO BC ⋅=D ．OH OA OB OC =++12．（2021·沛县教师发展中心）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的()，a m n =，()，b p q =，令a b mq np =-，下面说法正确的是（）A ．若a 与b 共线，则a b ＝0B ．a b ＝b aC ．对任意的λ∈R ，有(a λ)⊙b ＝λ(a b )D ．(a b )2+(a b ⋅)2＝|a |2|b |2三、填空题 13．（2021·江苏常州·）笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正半轴的夹角为60︒，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12a xe ye =+，则称有序实数对(),x y 为a 在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n 在该斜角坐标系下的坐标分别为()3,2，()2,k ，当k =_______时，11m n ⋅=.14．（2021·全国高三（文））定义向量列123,,,,n a a a a 从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)即1(2n n a a d n -=+≥，且*)n ∈N ，其中d 为常向量，则称这个向量列{}n a 为等差向量列．这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++．已知等差向量列{}n a 满足1(1,1)a =，24(6,10)a a +=，则向量列{}n a 的前n 项和n S =__________．15．（2021·江苏省梅村高级中学高一月考）赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.16．（2020·全国高三）根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组(),,a b c ，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：()()2222,2,,a k m n b kmn c k m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩其中k ，m ，n 均为正整数，且m n >.如图所示，PEF 中，PE PF ⊥，12PF PE =>，三边对应的勾股数中1k =，2n =，点M 在线段EF 上，且EM m =，则PM MF ⋅=______.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(八)文科数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（八）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z =(i 为虚单位)的共轭复数为（）A.i B.i C. i + D. i -【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法运算化简z ，再求得其共轭复数z .【详解】依题意,z i z i ===故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题. 2.已知集合{}|2,nA x x n ==∈N ，{}|28B x x x =<-.则AB =（）A. {1,2,4}B. {}1,2,4,6,8C. {2,4,8}D. {}1,2,4,8【答案】D 【解析】【分析】解一元一次不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】由{|14}B x x =<，可知{}1,2,4,8A B ⋂=. 故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.3.若变量x y ，满足约束条件2101010x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则=2z x y -的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得z 的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y -=到可行域边界()2,1B -时，目标函数z 取得最大值为()2214-⨯-=. 故选：B[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082707456/EXPL ANA TION/982d80f2f2de400eb995bb75a5dce055.png]【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为（） [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082715648/STEM /739a4f8d0bff4af5a7ec8dffa30bcf36.png]A. 20πB. 21πC. 22πD. 23π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图判断出原图的结构，由此求得原图的体积.【详解】由三视图知，该几何体是由38个半径为2的球和1个底面半径为2、高为4的圆柱组合而成.其体积为23342422083πππ⨯⨯+⨯⨯=. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图求体积，属于基础题.5.如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（） [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003111653376/2445331454345216/STEM /65cc0b9e0b754895abe2ba74b410e80c.png]A. 该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C. 该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元【答案】D 【解析】【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.6.已知α22sin αα=，则cos2α等于（） A.23B.29C. 13-D. 49-【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可.【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=，所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.7.已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（）A.2B.C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理可得227a b ab +-=，结合2=1a b +可得a ，b ，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-，由22721a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以，11sin 2322ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.8.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，23()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（）A. (,1)-∞-B. (1,)-+∞C. (,2)-∞-D. (2,)-+∞【分析】由定义在R 上的奇函数的性质，可得(0)0f =，求出1a =，于是可得()f x 在0x ≥时的解析式23()log (1)(0)x f x x x =+≥+，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，再由()f x 为定义在R 上的奇函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，利用函数单调性即可解决．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，解得1a =，所以，当0x ≥时，32()log (1)f x x x =++．当[0,)x ∈+∞时，函数3log (1)y x =+和2yx 在[0,)x ∈+∞上都是增函数，所以()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，由奇函数的性质可知，()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故()(34)5(34)2f x f x f +>-⇔+>-，即有342x +>-，解得2x >-．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题．9.已知双曲线2213y C x -=：的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，则1211PF PF +的取值范围为（） A. 41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (0,2]C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】设P 在右支，21PF ，利用双曲线的定义化简1211PF PF +，根据2PF 的取值范围，求得1211PF PF +的取值范围.【详解】不妨设点P 在右支上.所以21PF ，所以12221111141233PF PF PF PF +=++=+，故1211PF PF +的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10.已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（） A. 6π B.4π C.3π D.12π【答案】C 【解析】【分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.11.已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A. 1y x =+或1y x =-- B. 1122y x =+或1122y x =-- C. 22y x =+或22y x =--D. 22y x =-+【答案】A 【解析】【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，，则直线AM 的方程为(1)y x .[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003111653376/2445331454517248/EXPL ANA TION/e914bc848b324cd5ba782914783ac2be.png] 故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12.已知函数()f x 满足当0x 时，(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（）A. (5,)+∞B. (2,4)C. (3,5)D. (3,4)【答案】C 【解析】【分析】根据周期性和对称性，作出函数()f x 在(,0]-∞上的图象关于原点对称的图象，根据题意得到函数()log a f x x =的图象与所作的图象有3个交点，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的图象关于原点对称的图象，如图所示.若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对.则函数()log a f x x =的图象与所作的图象有3个交点，所以1log 31log 51a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得35a <<.[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082871296/EXPL ANA TION/d21c78063fde4ea08aedc9f50a97e136.png] 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的周期性、图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小題5分，共20分.13.已知(1,1),2,a b a b =-=⊥，则b =___________.【答案】(1,1)或(1,1)-- 【解析】【分析】设出b 的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得b .【详解】设(,)b x y =，有202x x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩ 或11x y =-⎧⎨=-⎩. 故(1,1)或(1,1)--故答案：(1,1)或(1,1)--【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为___________. 【答案】16【解析】【分析】先求得基本事件的总数，由此求得每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率. 【详解】设三张贺卡编号为1,2,3，则每个同学从中抽取一张，基本事件为123,132,213,231,312,321，故共有6个基本事件，每个同学抽到的都是自己写的贺卡的事件有1种，故每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为16. 故答案为：16【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.15.半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】画出图像，设出底面边长和高，求得底面正三角形的外接圆半径2O A ，利用球的半径列方程，求得底面边长和高的关系式，求得正三棱柱的侧面积的表达式，利用基本不等式求得其最大值.【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，.底面边长与高分别为,x h ，则2O A x =， [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082920448/EXPL ANA TION/7a94ecddaa4e4eafb3f3c11f331a94d3.png]在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，.3S xh =，()222222221291212124322xx S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭，当且仅当x =此时正三棱柱的侧面积的最大值为S =故答案为：【点睛】本小题主要考查球的内接几何体侧面积的有关计算，考查最值的求法，属于中档题.16.已知函数()2()(ln 1)1f x ax x ax x =----，若()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(12)，【解析】【分析】首先利用导数判断出21ln 1x x +>+，由此化简不等式()0f x <，分离常数a 得到2ln 11x x a x x++<<，由此分别利用基本不等式和导数求得21x x+的最小值与ln 1x x +的最大值，由此求得a 的取值范围.【详解】()f x 定义域为()0,∞+，构造函数()()2ln 0g x x x x =->，())2'111212x g x x x xx+--=-==，由于0x >，令()'0g x =解得x =，所以0,2x⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 递减， 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()gx 递增，所以()g x 在()0,∞+上的极小值也即是最小值为111ln ln 2022222g ⎛⎫=-=+> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2ln 0g x x x =->，也即当0x >时，22ln 1ln 1x x x x >⇒+>+. 所以由()2()(ln 1)10f x ax x ax x =----<，得2ln 11x ax x +<<+，可得2ln 11x x a x x++<<，其中221222x x xxx+==. 令ln 1()x h x x +=，'221(ln 1)ln ()x x h x x x -+==-.可得函数()h x 的增区间为(0,1).减区间为(1,)+∞，可得()(1)1h x h =.即ln 11x x+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2)故答案为：(12)，【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O . [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082961408/STEM /683e78a8bec542899c7f2675f6f504f4.png] （1）求证：AC ⊥平面11BB D D ；（2）求点A 到平面OBD 的距离.【答案】（1）见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据直棱柱的性质得到1AC DD ⊥，由此证得AC ⊥平面11BB D D .（2）利用等体积法，由O ABD A OBD V V --=列方程，解方程求得点A 到平面OBD 的距离. 【详解】(1)证明：60AB AD BD BAD ︒==∴∠=，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .1AC DD ∴⊥11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=.∴AC ⊥平面11BB D D(2)设点A 到平面OBD 的距离为h ，1112323O ABD V -=⨯⨯⨯=22OD OB BD ====，12OBD S ∆==132A OBD V h -=⨯有13=，解得7h =.故点A 到平面OBD 的距离为7. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查点面距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下： [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702083026944/STEM /cbc746b152cb41dfa4e0b82ca081e919.png]（1）求a b ，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（2）求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)【答案】（1）0.01a =，5b =，乙公司的影响度高；（2）36.75 【解析】【分析】（1）根据频率之和为1求得a ，根据频数之和为40求得b .分别求得甲、乙公司导游的优秀率，由此判断出乙公司的影响度高.（2）结合频率分布直方图，求得甲公司一年内导游旅游总收入的中位数.利用平均数的计算方法，计算出乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.【详解】(1)由直方图知(0.020.0250.0352)101a +++⨯=,可得0.01a =，由频数分布表知22010340b ++++=，可得5b =，甲公司的导游优秀率为(0.020.01)10100%30%+⨯⨯=，乙公司的导游优秀率为13100%32.5%40⨯=，由于30%32.5%<，所以乙公司的影响度高.(2)甲一年内导游旅游总收人的中位数为：0.50.10.253034.290.035--+≈；乙一年内导游旅游总收入的平均数为2520103152535455536.754040404040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图、频数分布表的阅读与分析，考查中位数、平均数的计算，属于基础题.19.已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .【答案】（1）11222222nn n n n n a b =++=--；（2）2132244n n n S n +=-++；2132244n n n T n +=---【解析】【分析】（1）11)2(n n n n a b b a +++=+，114a b +=，可得{}n n a b +为公比为2的等比数列，111n n n n a a b b ++=--+可得{}n n a b -为公差为1的等差数列，再算出{}n n a b +，{}n n a b -的通项公式，解方程组即可；（2）利用分组求和法解决. 【详解】（1）依题意有()111121n n n n n n n n a b a b a b a b ++++⎧+=+⎨-=-+⎩又111142a b a b +=-=；.可得数列{}n n a b +为公比为2的等比数列，{}n n a b -为公差为1的等差数列，由()()111112(1)n n n n n a b a b a b a b n -⎧+=+⨯⎪⎨-=-+-⎪⎩，得121n n n n n a b a b n +⎧+=⎨-=+⎩解得12221222nn n n n a n a ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为11222222nn n n n n a b =++=--；. （2）()21212(1)322124244n n nn n n n S n+-+=++=-++-， ()21212(1)322124244n n n n n n n T n+-+=--=----.【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.20.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F .直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线.点P 在椭圆C 上(异于椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥.（2）若点P 在x 轴的上方，0k ，求PQF △面积的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】【分析】（1）联立直线m 的方程和椭圆C 的方程，利用判别式列方程，求得P 点的坐标，求得Q 点的坐标，通过计算得到0FP FQ ⋅=，由此证得PF QF ⊥.（2）求得||,||FP FQ ，由此求得三角形PQF 面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形PQF 面积的最小值.【详解】(1)点F 的坐标为(1,0).联立方程2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 后整理为()222214220k x ktx t +++-= 有()()222216421220k t k t ∆=-+-=,可得2221t k =+，2222221kt kt kx k t t=-=-=-+，222212121k t t y t k k t=-+==++.可得点P 的坐标为21,k t t ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，21211,,kk t FP tt t t +⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2)FQ k t =+.有220k t k tFP FQ t t++⋅=-+=. 故有PF QF ⊥.(2)若点P 在x 轴上方，必有1t由(1)知2222222(2)1(2)1(2)1||||(2)k t k t k t FP FQ k t +++++=+===+；2222221(21)1441(22)41)2222PQFk k kt t t kt t S FP FQ t t t+++++-+++=⋅⋅===2341312222t kt t k t t+-==+-因为0k ≥时.由(1)知k =3122PQF t S t ∆=-由函数31()1)22t f t t t=-单调递增，可得此时(1)1PQFS f =.故当1t =时，PQF ∆的面积取得最小值为1.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数2()()x f x e ax a =-∈R .（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点，分别为12x x ，，求证：124x x +>. 【答案】（1）1y x =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（2）利用()()120,0f x f x ==列方程，利用换元法，求得12x x +的表达式为2(1)ln 1t tt +-，将所要证明的不等式2(1)ln 41t t t +>-转化为2(1)ln 01t t t -->+，构造函数2(1)()ln (1)1x g x x x x -=-+，利用导数证得()(1)0g x g =，由此证得124x x +>成立.【详解】(1)由()2xf x e ax '=-，有(0)1,(0)1f f '==.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+(2)不妨设210x x >>.令21(1)x t t x =>. 由122122x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩.有212221x x x e t x -⎛⎫== ⎪⎝⎭两边取对数，有212ln x x t -= 又由()()()212121212112(1)ln 11x x x x t t tx x x x x x t t +-+++==-=---若证124x x +>，只需证2(1)ln 41t t t +>-.可化为2(1)ln 01t t t -->+.令2222(1)14(1)()ln (1),()01(1)(1)x x g x x x g x x x x x x --=-=-=>+++'，可得函数()g x 单调递增.所以()(1)0g x g =. 故当1t >时，2(1)ln 01t t t -->+ 故若函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点，必有：124x x +>【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数证明不等式，属于中档题.22.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数.02απ≤<).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，曲线C 与直线l 其中的一个交点为A ，且点A 极径00ρ≠.极角002πθ≤<（1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；（2）已知直线m 的直角坐标方程为0x -=，直线m 与曲线C 相交于点B (异于原点O )，求AOB ∆的面积.【答案】（1）极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1 3π⎛⎫⎪⎝⎭，（2【解析】【分析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；（2）只需算出A 、B 两点的极坐标，利用1|sin()|2A B A B S ρρθθ=-计算即可. 【详解】（1）曲线C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数，02απ≤<)22222(1)122cos 2cos x y x y x ρρθρθ⇔-+=⇔+=⇔=⇔=，将3πθ=代入，解得01ρ=，即曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭. （2)由（1），得点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭，由直线m 过原点且倾斜角为6π，知点B 的极坐标为6π⎫⎪⎭，11sin 2364ABO S ππ∆⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.23.已知函数()|2||4|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若函数()f x 的图象恒在直线|1|y m =-的上方，求实数m 的取值范围【答案】（1）[1,5]（2）(1,3)- 【解析】【分析】（1）零点分段法分2x ≤，24x <<，4x ≥三种情况讨论即可；（2）只需找到()f x 的最小值即可.【详解】（1）由26,2()2,2426,4x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩.若2x ≤时，()264f x x =-+≤，解得12x ≤≤；若24x <<时，()24f x =≤，解得24x <<；若4x ≥时，()264f x x =-≤，解得45x ≤≤；故不等式()4f x ≤的解集为[1,5].（2）由()|(2)(4)|2f x x x ≥---=，有|1|2m -<，得13m -<<，故实数m的取值范围为(1,3)-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.。

2022年新高中数学二轮专限时集训8 高中中的文化、高中中的创新应用配套精选卷

专题限时集训八高考中的数学文化题高考中的创新应用题1．2021·全国卷Ⅱ如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12，设1≤i<<≤－＝3且－i＝4，那么称a i，a，a为原位大三和弦；假设－＝4且－i ＝3，那么称a i，a，a为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A．5B．8C．10D．15C[法一：由题意，知a i，a，a构成原位大三和弦时，＝－3，i＝－4，所以a i，a，a为原位大三和弦的情况有：＝12，＝9，i＝5；＝11，＝8，i＝4；＝10，＝7，i＝3；＝9，＝6，i＝2；＝8，＝5，i＝1共5种．a i，a，a构成原位小三和弦时，＝－4，i＝－3，所以a i，a，a为原位小三和弦的情况有：＝12，＝8，i＝5；＝11，＝7，i＝4；＝10，＝6，i＝3；＝9，＝5，i＝2；＝8，＝4，i＝1共5种．所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，应选C．法二：由题意，知当a i，a，a为原位大三和弦时，－＝3且－i＝4，又1≤i<<≤12，所以5≤≤9，，a，a为原位小三和弦时，－＝4且－i＝3，又1≤i<<≤12，所以4≤≤8，所以这12个键可以构成的原位小三和弦的个数为5所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，应选C．]2．2021·新高考全国卷Ⅰ根本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学根本参数．根本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：It＝e rt 描述累计感染病例数It随时间t单位：天的变化规律，指数增长率r与R0，T 近似满足R0＝1＋0＝，T＝6据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为n 2≈A．天B．天C．天D．天B[∵R0＝1＋rT，∴＝1＋6r，∴r＝假设错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 2－m1＝错误!g错误!，其中星等为m的星的亮度为E＝1，2．太阳的星等是－，天狼星的星等是－，那么太阳与天狼星的亮度的比值为A．B．C．g D．10－A[依题意，m1＝－，m2＝－，所以错误!g错误!＝－－－＝，所以g错误!＝×错误!＝，所以错误!＝应选A．]8．2021·全国卷Ⅰ?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？〞1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛B[设米堆的底面半径为r尺，那么错误!r＝8，所以r＝错误!，所以米堆的体积为V＝错误!×错误!π·r2·5＝错误!×错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!是平面α外的两条不同直线．给出以下三个论断：①⊥m；②m∥α；③⊥α以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________假设⊥m，⊥α，那么m∥α答案不唯一[把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能∥α或与α斜交；①③作为条件，②作为结论和②③作为条件，①作为结论时，容易证明命题成立．]11．2021·北京高考为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f t，用－错误!的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图．结出以下四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时间，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．①②③[由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误．] 12．[一题两空]2021·全国卷Ⅱ中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体〞图1．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体表达了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的外表上，个面，其棱长为__________．图1图226错误!－1[依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的外表上，且该半正多面体的外表由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为，那么错误!＋＋错误!＝1，解得＝错误!－1，故题中的半正多面体的棱长为错误!－1]1．2021·厦门模拟?易经?是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦，每一卦由三根线组成“〞表示一根阳线，“〞表示一根阴线，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!D[观察八卦图可知，含有3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有三根阳线和三根阴线的概率为错误!＝错误!，应选D．]2．2021·江西红色七校第一次联考我国南北朝数学家何承天创造的“调日法〞是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的缺乏近似值和过剩近似值分别为错误!和错误!a，b，c，d∈N*，那么错误!是的更为精确的缺乏近似值或过剩近似值．我们知道e＝28…，假设令错误!＜e＜错误!，那么第一次用“调日法〞后得错误!是e的更为精确的过剩近似值，即错误!＜e＜错误!，假设每次都取最简分数，那么第三次用“调日法〞后可得e的近似分数为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C[第一次用“调日法〞后得错误!是e的更为精确的过剩近似值，即错误!＜e＜错误!，第二次用“调日法〞后得错误!是e的更为精确的过剩近似值，即错误!＜e＜错误!，第三次用“调日法〞后得错误!是e的更为精确的缺乏近似值，应选C．] 3．2021·济宁模拟?九章算术?一书中衰分、均输、盈缺乏等卷中记载了一些有关数列的问题．齐去长安三千里，今有良马发长安至齐，驽马发齐至长安，同日相向而行．良马初日行一百五十五里，日增十二里；驽马初日行一百里，日减二里．问几日相遇A．十日B．十一日C．十二日D．六十日A[设良马每天行走的里数构成数列{a n}，驽马每天行走的里数构成数列{b n}，那么{a n}，{b n}均为等差数列，公差分别为d1，d2，且a1＝155，d1＝12，b1＝100，d2＝－2，设n日相遇，那么由题意知155n＋错误!×12＋100n＋错误!×－2＝3 000，解得n＝10]4．2021·日照模拟中国古代数学名著?九章算术?中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．〞马主曰：“我马食半牛．〞今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．〞马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．〞打算按此比率归还，他们各应归还多少？牛、马、羊的主人各应归还粟a升，b升，c升，1斗为10升，那么以下判断正确的选项是A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝错误!B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝错误!C．a，b，c成公比为错误!的等比数列，且a＝错误!D．a，b，c成公比为错误!的等比数列，且c＝错误!D[由题意可得，a，b，c构成公比为错误!的等比数列，b＝错误!a，c＝错误! b，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝错误!应选D．]5．2021·郑州模拟我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜求积术〞．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，那么“三斜求积术〞为S＝错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!m＞0，两边平方得，12＋错误!＝m2，即12＋m＝m2，解得m ＝4－3舍去．]202102021海模拟“圆材埋壁〞是我国古代数学著作?九章算术?中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？〞用现在的语言表述为：如下图，一圆柱形木材埋在墙壁中，AB＝1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD＝1寸，那么圆柱底面圆的直径为________寸．1尺＝10寸26[如图，设圆柱底面圆的圆心为O，连接AO，OD，由题意知OD⊥AB，AD＝5寸，CD＝1寸．在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，∴OA2＝OA－12＋52，∴OA＝13寸，∴圆柱底面圆的直径为2AO＝26寸．]21．2021·洛阳尖子生第一次联考水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的创造，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A3错误!，－3出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点0≤m≤6，交双曲线C于点E，交渐近线于点D，交轴于点，E错误!，∴π|＝π根据祖暅原理，可得几何体与底面积为π，高为6的柱体体积相等，即为6π] 23．[一题两空]2021·日照模拟?九章算术?第三章“衰分〞介绍比例分配问题，“衰分〞是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例百分比为“衰分比〞．如：A，B，C三人分配奖金的衰分比为2021假设A分得奖金1 000元，那么B，C所分得奖金分别为800元、640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68 780元，假设甲、乙、丙、丁按照一定的衰分比分配奖金，且甲与丙共获得奖金36 2021，那么衰分比为________，丁所获得的奖金为________元．10%14 580[设甲、乙、丙、丁所得奖金分别为a元，b元，c元，d元，衰分比为t，那么由题意可得a，b，c，d成公比为1－t的等比数列．由题意得错误!即错误!所以1－t＝错误!＝错误!，得t＝＝10%，故d＝错误!＝错误!＝错误!＝14 580]24．2021·临沂模拟在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比方在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙．某雕刻师方案在底面边长为 2 m，高为 4 m的正四棱柱形的石料ABCD-A1B1C1D1中，雕出一个四棱锥O-ABCD和球M的组合体，其中O为正四棱柱的中心，当球的半径r取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重________g其中π≈，石料的密度ρ＝g/cm3，质量m＝ρV21952[由题意得正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V1＝22×4＝16m3，正四棱锥O-ABCD的体积V2＝错误!×22×2＝错误!m3，分析知球M的半径r的最大值为1，此时球M的体积V3＝错误!πr3＝错误!π×13＝错误!m3，故去除石料的体积V ＝V1－V2－V3＝16－错误!－错误!＝错误!m3．又ρ＝g/cm3＝2 400 g/m3，故去除石料的质量m＝ρV＝2 400×错误!≈21 952g．]。

2021高考数学(理)8 高考中的数学文化题高考中的创新应用题含解析

专题限时集训(八) 高考中的数学文化题高考中的创新应用题1．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [设圆锥的底面半径为r ，则π2r ＝8，解得r ＝16π，故米堆的体积为14×13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209，∵1斛米的体积约为 1.62立方， ∴3209÷1.62≈22，故选B.]2．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A．7 B．12 C．17 D．34C[∵输入的x＝2，n＝2，当输入的a为2时，s＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a 为2时，s＝6，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，s＝17，k＝3，满足退出循环的条件；故输出的s值为17，故选C.]3．(2015·全国卷Ⅱ)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关D[从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；2004－2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选D.]4．(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是()A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm B[头顶至脖子下端的长度为26 cm，说明头顶到咽喉的长度小于26 cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5－12≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于260.618≈42 cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－1 2，可得肚脐至足底的长度小于42＋260.618≈110，即有该人的身高小于110＋68＝178 cm，又肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65 cm，即该人的身高大于65＋105＝170 cm，故选B.]5.(2018·上海高考)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A ．4B ．8C ．12D ．16D [根据正六边形的性质，则D 1-A 1ABB 1，D 1-A 1AFF 1满足题意，而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×4＝8，当A 1ACC 1为底面矩形，有4个满足题意，当A 1AEE 1为底面矩形，有4个满足题意，故有8＋4＋4＝16，故选D.]6.(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③C [将x 换成－x 方程不变，所以图形关于y 轴对称，当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)；当x ＞0时，方程变为y 2－xy ＋x 2－1＝0，所以Δ＝x 2－4(x 2－1)≥0，解得x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2－y ＝0，解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(－1,0)，(－1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x ＞0时，由x 2＋y 2＝1＋xy 得x 2＋y 2－1＝xy ≤x 2＋y 22，(当x ＝y 时取等)， ∴x 2＋y 2≤2，∴x 2＋y 2≤2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2，故②正确．在x 轴上方图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积＝12×2×1＝1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2＋1＝3，故③错误．故选C.]7．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r 的近似值为( ) A. M 2M 1R B. M 22M 1RC. 33M 2M 1RD. 3M 23M 1R D [∵α＝r R .∴r ＝αR ，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.∴M2M1＝3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，∴r＝αR＝3M23M1R.故选D.]8．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A 且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°B[过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GF A＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.]9．(2020·全国卷Ⅱ)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12，设1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A．5 B．8 C．10 D．15C[法一：由题意，知a i，a j，a k构成原位大三和弦时，j＝k－3，i＝j－4，所以a i，a j，a k为原位大三和弦的情况有：k＝12，j＝9，i＝5；k＝11，j＝8，i＝4；k＝10，j＝7，i＝3；k＝9，j＝6，i＝2；k＝8，j＝5，i＝1共5种．a i，a j，a k构成原位小三和弦时，j＝k－4，i＝j－3，所以a i，a j，a k为原位小三和弦的情况有：k＝12，j ＝8，i ＝5；k ＝11，j ＝7，i ＝4；k ＝10，j ＝6，i ＝3；k ＝9，j ＝5，i ＝2；k ＝8，j ＝4，i ＝1共5种．所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C.法二：由题意，知当a i ，a j ，a k 为原位大三和弦时，k －j ＝3且j －i ＝4，又1≤i <j <k ≤12，所以5≤j ≤9，所以这12个键可以构成的原位大三和弦的个数为5.当a i ，a j ，a k 为原位小三和弦时，k －j ＝4且j －i ＝3，又1≤i <j <k ≤12，所以4≤j ≤8，所以这12个键可以构成的原位小三和弦的个数为5.所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C.]10．(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.332 [如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF 中，△AOB 是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF 的面积为S 6＝6×12×1×1×sin 60°＝332.]1．(2020·深圳二模)棣莫弗公式(cos x ＋isin x )n ＝cos nx ＋isin nx (i 为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋isin π56在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [由(cos x ＋isin x )n ＝cos nx ＋isin nx ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋isin π56＝cos 6π5＋isin 6π5＝－cos π5－isin π5， ∴复数⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋isin π56在复平面内所对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π5，－sin π5，位于第三象限．故选C.]2．(2020·淄博期中)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为() A．134 B．135 C．136 D．137B[由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n＝15n－14.由a n＝15n－14≤2019，得n≤135，故此数列的项数为135.故选B.]3．(2020·绵阳模拟)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，则此双曲线的离心率为()A．2 B．3 C．2 2 D．2 3B[双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，可得：⎩⎪⎨⎪⎧c－a＝2|bc|a2＋b2＝22c2＝a2＋b2，解得a＝1，c＝3，b＝22，所以双曲线的离心率为：e＝ca＝3.故选B.]4.(2020·济南一模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为()(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，3≈1.732)A．63 B．69 C．75 D．81B[由题意知，F1＝F2＝400，夹角θ＝60°，所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)；所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002；即|G|＝4003(N)，所以学生的体重为4003÷10＝40 3 kg.即该学生的体重(单位：kg)约为403＝40×1.732≈69(kg)，故选B.]5．(2020·广州一模)陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()A．(7＋22)π B．(10＋22)πC．(10＋42)π D．(11＋42)πC[由题意可知几何体的直观图如图，上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥，几何体的表面积为：4π＋12×4π×22＋2π×3＝(10＋42)π，故选C.]6．(2020·广州模拟)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为()A.1＋e1－e r＋2e1－eR B.1＋e1－er＋e1－eRC.1－e1＋er＋2e1＋eR D.1－e1＋er＋e1＋eRA[椭圆的离心率：e＝ca∈(0,1)，(c为半焦距；a为长半轴)设卫星近地点，远地点离地面距离分别为m，n，由题意，结合图形可知，a－c＝r＋R，远地点离地面的距离为：n＝a＋c－R，m＝a－c－R, a＝r＋R1－e，c＝(r＋R)e1－e，所以远地点离地面的距离为：n＝a＋c－R＝r＋R1－e＋e(r＋R)1－e－R＝1＋e1－er＋2e1－eR.故选A.]7．(2020·咸阳二模)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2015年以来，“一带一路”建设成果显著．下图是2015～2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是()A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大B．这五年，2015 年出口额最少C．这五年，2019 年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降D[对于A，这五年，出口总额之和比进口总额之和大，故A正确；对于B,2015年出口额最少，故B正确；对于C，这五年，2019 年进口增速最快，故C正确；对于D ，根据出口线斜率可知，这五年，出口增速前三年先升后降，第四年后增速开始增加，故D 错误．故选D.]8．(2020·商丘模拟)历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2＝2×2×4×4×6×6×…1×3×3×5×5×7×…，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的T ＞2.8，若判断框内填入的条件为k ≥m ？，则正整数m 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [初始：k ＝1，T ＝2，第一次循环：T ＝2×21×23＝83＜2.8，k ＝2，继续循环；第二次循环：T ＝83×43×45＝12845＞2.8，k ＝3，此时T ＞2.8，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是k ≥3？，所以正整数m 的最小值是3，故选B.]9．(2020·郴州模拟)达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6 cm，BC＝6 cm ，AC ＝10.392 cm(其中32≈0.866)．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()A.π3 B.π4 C.π2 D.2π3A[∵AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中32≈0.866)．设∠ABC＝2θ.∴sin θ＝10.39226＝0.866≈32，∵由题意θ必为锐角，可得θ≈π3，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α.则α＋2θ＝π，∴α＝π－2π3＝π3.故选A.]10．(2020·福建模拟)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年A．公元前2000年到公元元年B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年D[由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则tan α＝1610＝1.6，tan β＝16－9.410＝0.66，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝1.6－0.661＋1.6×0.66≈0.457.∵0.455＜0.457＜0.461, ∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选D.]11．(2020·长沙模拟)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2，给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝π12对称；②它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③它的最小正周期是π；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，一个正确的命题是()条件________，结论________． A ．①②⇒③④ B ．③④⇒①② C ．②④⇒①③D ．①③⇒②④D [①③⇒②④由③知ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．又由①2×π12＋φ＝k π＋π2，得φ＝k π＋π3，k ∈Z .又∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝0， ∴它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称． ∵2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12， ∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数．故选D.] 12．(2020·江岸区模拟)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10 2 cm ，高为10 cm.打印所用原料密度为1 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为(取π＝3.14，精确到0.1)( )A ．609.4 gB ．447.3 gC．398.3 g D．357.3 gC[如图，是几何体的轴截面，设正方体的棱长为a，则22a52＝10－a10，解得a＝5，∴该模型的体积为：V＝13π×(52)2×10－53＝500π3－125≈398.33(cm3)．∴制作该模型所需原料的质量为398.33×1≈398.3(g)．故选C.]13．(2020·虹口区一模)已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题(论断用序号表示)：________.若②③，则①[已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；当m⊥α时，m必垂直于平面α内的任意一条直线，由于n∥α，所以m⊥n，如图所示．]14．(2020·乌鲁木齐一模)造纸术是我国古代四大发明之一．纸张的规格是纸张制成之后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张幅宽(以x 表示)和长度(以y 表示)的比例关系为x ∶y ＝1∶2，②将A 0纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A 1规格，A 1纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A 2规格，…，如此对开至A 8规格，现有A 0，A 1，A 2，A 3，…，A 8纸各一张，若A 4纸的面积为624 cm 2，这九张纸的面积之和等于________(cm 2)．19 929 [可设Ai 纸张的面积分别为S i ，i ＝0,1，…，8，则{S i }为等比数列，公比q ＝12，∵S 4＝624＝S 0×⎝ ⎛⎭⎪⎫124，解得S 0＝9 984. 可得这9张纸的面积之和为9 984⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1291－12＝19 929 cm 2.] 15．(2020·济南模拟)如图所示，边长为1的正三角形ABC 中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，将△AMN 沿线段MN 进行翻折，得到如图所示的图形，翻折后的点A 在线段BC 上，则线段AM 的最小值为________．23－3 [设AM ＝x ，∠AMN ＝α，则BM ＝1－x ，∠AMB ＝180°－2α，∴∠BAM ＝2α－60°，在△ABM 中，由正弦定理可得AM sin ∠ABM ＝BM sin ∠BAM，即x 32＝1－x sin (2α－60°)，∴x ＝3232＋sin (2α－60°)， ∴当2α－60°＝90°，即α＝75°时，x 取得最小值3232＋1＝23－3.] 16.[一题两空](2020·赤峰模拟)现代足球运动是世界上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球.1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为________个，该足球表面的棱为________条．12 90 [简单多面体的顶点数V ，面数F 与棱数E 间有关系式V ＋F －E ＝2，设该足球表面中的正五边形的面为x 个，正六边形的面为y 个，则F ＝x ＋y ，V ＝5x ，E ＝5x ＋32y ，∴5x ＋(x ＋y )－⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋32y ＝2，化简，得2x －y ＝4，正五边形的边有两种算法：单从正五边形看，这x 个正五边形共有5x 条边，从正六边形的角度看，每个正六边形有3条边是正五边形的边， y 个正六边形有6y 条边，其中正五边形的边的总数为：6y ×36＝3y ，∴ 5x ＝3y .联立⎩⎨⎧2x －y ＝45x ＝3y，解得x ＝12，y ＝20， ∴该足球表面中的正五边形的面为12个，该足球表面的棱为E ＝5x ＋32y ＝90个．]。

【三维设计】2021年高考数学总温习创新问题专项训练（二）文北师大版 (1)

创新问题专项训练(二)一、选择题1．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，概念A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C A －C B ，C A ≥C B ，C B －C A ，C A <C B ，若A ＝{x |x 2－ax －1＝0，a ∈R }，B ＝{x ||x 2＋bx ＋1|＝1，b ∈R }，设S ＝{b |A *B ＝1}，那么C (S )等于( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知集合A ＝{(x ，y )||x －2|＋|y －3|≤1}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ≤0，D 2＋E 2－4F >0}，假设集合A ，B 恒知足“A ⊆B ”，那么集合B 中的点所形成的几何图形面积的最小值是( )πB ．πππ3．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)知足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，那么“(x 0，y 0)知足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋ … ＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件4．给出概念：假设函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，那么称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，假设f ″(x )<0在D 上恒成立，那么称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x ·e x5．概念：假设函数f (x )的图像通过变换T 后所得图像对应函数的值域与f (x )的值域相同，那么称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图像关于y 轴对称B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图像关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图像关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin(x ＋π3)，T 将函数f (x )的图像关于点(－1，0)对称二、填空题6．对于非空实数集A ，记A *＝{y |任意x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M ，P ，知足M ⊆P .给出以下结论：①P *⊆M *；②M *∩P ≠∅；③M ∩P *＝∅.其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[]＝1，[－]＝－是函数f (x )＝ln x －2x的零点，那么[x 0]等于________．8．某同窗为研究函数f (x )＝1＋x 2＋1＋1－x2(0≤x ≤1)的性质，构造了如下图的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP ＝x ，那么AP ＋PF ＝f (x )．请你参考这些信息，推知函数f (x )的极值点是______；函数f (x )的值域是________． 9.(1)如图，矩形ABCD 的三个极点A ，B ，C 别离在函数y ＝22x ，y ＝x 12，y ＝(22)x 的图像上，且矩形的边别离平行于两坐标轴．假设点A 的纵坐标为2，那么点D 的坐标为________．(2)假设存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其概念域上的任意实数x 别离知足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，那么称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为自然对数的底数)，依照你的数学知识，推断h (x )与φ(x )间的隔离直线方程为________．三、解答题10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 和g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)． (1)证明：当a <0时，不管b 为何值，函数g (x )在概念域内不可能总为增函数； (2)在同一函数图像上取任意两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点C (x 0，y0)，记直线AB的斜率为k，假设f(x)知足k＝f′(x0)，那么称其为“K函数”．判定函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)是不是为“K 函数”？并证明你的结论．11．如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O 1的半径为2r (r 为常数)，小飞轮O 2的半径为r ，O 1O 2＝4r .在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，知足∠BO 1A ＝π3，在小飞轮的边缘上有点C .设大飞轮逆时针旋转，传动开始时，点B ，C 在水平直线O 1O 2上．(1)求点A 抵达最高点时A ，C 间的距离； (2)求点B ，C 在传动进程中高度差的最大值．答案1．选B 显然集合A 的元素个数为2，依照A *B ＝1可知，集合B 的元素个数为1或3，即方程|x 2＋bx ＋1|＝1有1个根或有3个根．结合函数y ＝|x 2＋bx ＋1|的图象可得，b ＝0或4－b 24＝－1，即b ＝0或b ＝±22.2．选B 集合A 能够看做是由区域{(x ，y )||x |＋|y |≤1}向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度取得的，这是一个边长为2的正方形区域，集合B 是一个圆形区域，若是A ⊆B 且集合B 中的点形成的几何图形的面积最小，那么圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是|x －2|＋|y －3|＝1所表示正方形的外接圆，其面积是π×12＝π.3．选B 由于线性回归方程恒过样本点的中心(x ，y )，那么由“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”必然能推出“(x 0，y 0)知足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”，反之不必然成立．4．选D 由凸函数的概念可得该题即判定f (x )的二阶导函数f ″(x )的正负．关于A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；关于B ，f ′(x )＝1x－2，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；关于C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；关于D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝2e x ＋x e x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0.5．选B 选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．体会证，其他选项正确．6．解析：关于①，由M ⊆P 得知，集合M 中的最大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p ，依题意有P *＝{y |y ≥p }，M *＝{y |y ≥m }，又m ≤p ，因此有P *⊆M *，①正确；关于②，取M ＝P ＝{y |y <1}，依题意得M *＝{y |y ≥1}，现在M *∩P ＝∅，因此②不正确；关于③，取M ＝{0，－1,1}，P ＝{y |y ≤1}，现在P *＝{y |y ≥1}，M ∩P *＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①.答案：①7．解析：∵函数f (x )的概念域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e>0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.答案：28．解析：显然当点P 为线段BC 的中点时，A ，P ，F 三点共线，现在AP ＝PF ，且函数f (x )取得最小值5，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝12；当x ∈[0，12]时，函数f (x )单调递减，且值域为[5，2＋1]；当x ∈[12，1]时，函数f (x )单调递增，且值域为[5，2＋1]，∴函数f (x )的值域为[5，2＋1]．答案：x ＝12[5，2＋1]9．解析：(1)由A 点的纵坐标为2，得点A 的横坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝12，由矩形的边平行于坐标轴，得B 点的纵坐标是2，从而横坐标是22＝4，因此C 点的横坐标是4，纵坐标是(22)4＝14，因此点D 的横坐标等于A 点的横坐标12，点D 的纵坐标等于C 点的纵坐标14，即D 点的坐标是(12，14)．(2)容易观看到h (x )和φ(x )有公共点(e ，e)，又(x －e)2≥0，即x 2≥2e x －e ，因此猜想h (x )和φ(x )间的隔离直线为y ＝2e x －e ，下面只需证明2eln x ≤2e x －e 恒成当即可，构造函数λ(x )＝2eln x －2e x ＋e.由于λ′(x )＝2ee －xx(x >0)，即函数λ(x )在区间(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减，故λ(x )≤λ(e)＝0，即2eln x －2e x ＋e≤0，得2eln x ≤2e x －e.故猜想成立，因此两函数间的隔离直线方程为y ＝2e x －e.答案：(1)(12，14)(2)y ＝2e x －e10．解：(1)假设g (x )在概念域(0，＋∞)上为增函数，那么有g ′(x )＝2ax ＋b ＋c x＝2ax 2＋bx ＋c x>0关于一切x >0恒成立，从而必有2ax 2＋bx ＋c >0关于一切x >0恒成立．又a <0，由二次函数的图象可知：2ax 2＋bx ＋c >0关于一切x >0恒成立是不可能的．因此当a <0时，不管b 为何值，函数g (x )在概念域内不可能总为增函数．(2)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”，g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”．证明如下：关于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝a x 22－x 21＋b x 2－x 1x 2－x 1＝a (x 2＋x 1)＋b ＝2ax 0＋b .又f ′(x 0)＝2ax 0＋b ，故k ＝f ′(x 0)．故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”．对于函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)(x >0)，不妨设x 2>x 1>0，则k ＝g x 1－g x 2x 1－x 2＝a x 21－x 22＋b x 1－x 2＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋c ln x 1x 2x 1－x 2.又g ′(x 0)＝2ax 0＋b ＋cx 0，若g (x )为“K 函数”，那么必知足k ＝g ′(x 0)，即有2ax 0＋b ＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋cx 0，也即c lnx 1x 2x 1－x 2＝2cx 1＋x 2(c ≠0)，因此lnx 1x 2x 1－x 2＝2x 1＋x 2.设t ＝x 1x 2，那么0<t <1，ln t ＝2t －11＋t.①设s (t )＝ln t －2t －11＋t ，那么s ′(t )＝t －12t 1＋t2>0，因此s (t )在t ∈(0,1)上为增函数，s (t )<s (1)＝0，故ln t ≠2t －11＋t .②①与②矛盾，因此，函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”． 11．解：(1)以O 1为坐标系的原点，O 1O 2所在直线为x 轴，成立如下图的直角坐标系．当点A 抵达最高点时，点A 绕O 1转过π6，那么点C 绕O 2转过π3.现在A (0,2r )，C (92r ，32r )．∴AC ＝－92r 2＋2r －32r 2＝25－23·r .(2)由题意，设大飞轮转过的角度为θ，那么小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0,2π]．现在B (2r cos θ，2r sin θ)，C (4r ＋r cos 2θ，r sin 2θ)．记点B ，C 的高度差为d ，那么d ＝|2r sin θ－r sin 2θ|，即d ＝2r |sin θ－sin θcos θ|.设f (θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0,2π]，则f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．令f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－12或1，那么θ＝2π3，4π3，0或2π.f(θ)和f′(θ)随θ的转变情形如下表：33 2r.综上所述，点B，C在传动进程中高度差的最大值d max＝。

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理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的
问题，现有这样一个整除问题：将 1 至 2019 中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数按
由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为( )
A．134 B．135 C．136 D．137 B [由能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 整除余 1 的数，故 an＝15n－14.由 an＝15n－14≤2019，得 n≤135，故此数列的项数为 135.故选 B．]
-8-
A．2 B．3 C．2 2 D．2 3
B [双曲线ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)的上焦点到上顶点的距离为 2，到渐近线距离为 2 2，
棱锥为阳马．设 AA1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点
为顶点，以 AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )
-3-
A．4 B．8 C．12 D．16 D [根据正六边形的性质，则 D1A1ABB1，D1A1AFF1 满足题意，而 C1，E1， C，D，E，和 D1 一样，有 2×4＝8，当 A1ACC1 为底面矩形，有 4 个满足题意，当 A1AEE1 为底面矩形，有 4 个满足题意，
A． M2R M1
B．
M2 R
2M1
-5-
3 C．
3M2R
M1
3 D．
M2 R
3M1
D [∵α＝ r .∴r＝αR， R
r 满足方程：RM＋1r2＋Mr22＝(R＋r)MR31.
∴MM21＝3α3＋1＋3αα4＋2 α5≈3α3，
∴r＝αR＝3 M2 R.故选 D．] 3M1
8．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面
衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为
R，L2
点到月球的距离为
r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r
满足方程： M1 R＋r2
＋Mr22＝(R＋r)MR31.设α＝Rr .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋1＋3αα4＋2 α5≈3α3，
则 r 的近似值为( )
故有 8＋4＋4＝16，故选 D．] 6.(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2＋y2 ＝1＋|x|y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A．① B．② C．①② D．①②③ C [将 x 换成－x 方程不变，所以图形关于 y 轴对称，当 x＝0 时，代入得 y2 ＝1，∴y＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)；当 x＞0 时，方程变为 y2－xy＋x2－1＝0，所以Δ＝x2－4(x2－1)≥0，解得
-6-
A．5 B．8 C．10 D．15 C [法一：由题意，知 ai，aj，ak 构成原位大三和弦时，j＝k－3，i＝j－4，所以 ai，aj，ak 为原位大三和弦的情况有：k＝12，j＝9，i＝5；k＝11，j＝8，i＝4； k＝10，j＝7，i＝3；k＝9，j＝6，i＝2；k＝8，j＝5，i＝1 共 5 种．ai，aj，ak 构成原位小三和弦时，j＝k－4，i＝j－3，所以 ai，aj，ak 为原位小三和弦的情况有：k ＝12，j＝8，i＝5；k＝11，j＝7，i＝4；k＝10，j＝6，i＝3；k＝9，j＝5，i＝2；k ＝8，j＝4，i＝1 共 5 种．所以用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 10，故选 C．法二：由题意，知当 ai，aj，ak 为原位大三和弦时，k－j＝3 且 j－i＝4，又 1≤i<j<k≤12，所以 5≤j≤9，所以这 12 个键可以构成的原位大三和弦的个数为 5. 当 ai，aj，ak 为原位小三和弦时，k－j＝4 且 j－i＝3，又 1≤i<j<k≤12，所以 4≤j≤8，所以这 12 个键可以构成的原位小三和弦的个数为 5.所以用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 10，故选 C．] 10．(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6，S6＝________. 3 3 [如图所示，单位圆的半径为 1，则其内接正六边形 ABCDEF 中，△AOB
3．(2020·绵阳模拟)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018 年南非双曲线大
教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在 y 轴上的双曲线ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为 2，
到渐近线距离为 2 2，则此双曲线的离心率为( )
专题限时集训(八) 高考中的数学文化题高考中的创新应用题
1．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？” 其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( )
∴x2＋y2≤2，∴ x2＋y2≤ 2，即曲线 C 上 y 轴右边的点到原点的距离不超过
2，根据对称性可得：曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2，故②正确．
在 x 轴上方图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角
三角形的面积＝1×2×1＝1，因此曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 2＋1 2
＝3，故③错误．故选 C．]
7．(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次
月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解
决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦
娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行．L2 点是平
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
B [设圆锥的底面半径为 r，则 πr＝8， 2
16 2
解得 r＝16，故米堆的体积为1×1×π× π ×5≈320，∵1 斛米的体积约为
π
43
9
1.62 立方， ∴320÷1.62≈22，故选 B．] 9
2．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算
π 5
6
在复平面内所对应的点的坐标为
－cos
π，－sin 5
π 5
，
位于第三象限．故选 C．]
2．(2020·淄博期中)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年，英国来华
传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英
国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 D [从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确；2004－2006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误．故选 D．] 4．(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚
-2-
脐至足底的长度之比是 5－1
5－1≈0.618，称为黄金分割比例
2
，著名的“断臂
2
维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之
比也是 5－1.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子 2
下端的长度为 26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm
2 是边长为 1 的正三角形，所以正六边形 ABCDEF 的面积为 S6＝6×12×1×1×sin 60° ＝3 3.]
2
-7-
1．(2020·深圳二模)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i 为虚数单位)
是由法国数学家棣莫弗 (1667 － 1754) 发现的，根据棣莫弗公式可知，复数
cos
π＋isin 5
π 5
6 在复平面内所对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C [由(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx，
得
cos
π＋isin 5
π 5 6＝cos
6π＋isin
6π＝－cos
π－isin
π，
5
5
5
5
∴复数
cos
π＋isin 5
B．175 cm
C．185 cm
D．190 cm
B [头顶至脖子下端的长度为 26 cm，
说明头顶到咽喉的长度小于 26 cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 5－1≈0.618， 2