浙江理工大学 高等数学 下册 期终试卷 期末试题
高等数学期中A考卷及答案海大
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专业课原理概述部分一、选择题(每题1分,共5分)1. 微分学的中心概念是()A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导,那么f'(a)等于()A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中,奇函数是()A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是()A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示()A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题(每题1分,共5分)1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
()2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
()3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加,则f'(x)≥0。
()4. 二重积分可以转化为累次积分。
()5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
()三、填空题(每题1分,共5分)1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______,记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2,则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中,f(n)(a)表示______。
四、简答题(每题2分,共10分)1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题(每题2分,共10分)1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
浙江省钱塘联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题(含答案)
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浙江省钱塘联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学学科试题考生须知:1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.4.考试结束后,只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足,则( )AB.C. 1D.2. 将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示,已知,,则边的实际长度为( )A.B. 6C. 5D.3. 已知,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 在同一直角坐标系中,函数的图象可能是( )为.z (1i)i z -=||z 1214ABC V 3A C ''=2B C ''=AB(1,1),(,2)a m b m =-= 2m =a b ∥ ()(1),()log a f x a x g x x =-=A. B. C. D.5. 如图所示,在矩形中,,点在边上运动(包含端点),则的取值范围为( )A. B. C. D. 6. 已知向量在的投影向量为,且,则( )A.B. C. D. 7. 在中,三个内角对应的边为,且.若仅有唯一解,则下列关于的取值不一定成立的是( )A. 或 B. C. D. 8. 如图,一个正三棱台的上、下底面边长分别为和,则正三棱台的侧面积及外接球体积分别为( )AB..ABCD2AB BC ==E CD AE BE ⋅ 72⎤⎥⎦4]72⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b ()1,1b =- a b ⋅= ABC V ,,A B C ,,a b c 3,60b B ==︒ABC V a 03a <≤a =0a <≤0a <<03a <≤3cm 6cm πC.D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 下列四个结论正确的有( )A. 用一个平面去截圆锥,圆锥底面和截面之间的部分为圆台;B. 斜棱柱的侧面可能有矩形;C. 正棱锥的底面是正多边形;D. 球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面.10. 已知的内角,,所对的边分别为,,,下列四个命题中正确的是( )A. 若,则一定有;B. 若是锐角三角形,则一定有成立;C. 若,则一定是直角三角形;D. 若,则一定是锐角三角形.11. 已知函数.则下列说法正确的是( )A. 若,则偶函数;B. 若,则单调递增;C. 若,则函数的最小值为2;D. 若时,函数在区间上有且仅有一个零点,则.非选择题部分三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知复数为纯虚数,则=______.13. 若,则的值为______.14. 如图,在中,是的中点,与交于点.设,则______;若,则______.为πABC V A B C a b c sin sin A B >a b >ABC V sin cos cos A B C >cos cos b C c B a -=ABC V 222sin sin cos 1A C B +>+ABC V 41()2ax xf x +=1a =()f x 1a =-()f x 1a =()f x 0<a ()(|ln |1)2h x f m x =---1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1ln 22m +<≤(1)(1)a a i ++-a cos 2sin 0αα+=22sin cos πsin sin 2αααα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC V D BC 2,BE EA AD =CE O AO mAB nAC =+ m n +=6AB AC AO EC ⋅=⋅ABAC=四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知向量.(1)已知,求向量与的夹角;(2)若,求实数的值.16. 如图所示,在边长为的正三角形中,E 、F 依次是、的中点,,,,D 、H 、G 为垂足,若将绕旋转,(1)求阴影部分形成的几何体的表面积.(2)求阴影部分形成的几何体的体积.17. 在中,内角对边分别为,且.(1)求角;(2)若点为边上靠近的三等分点,且,求面积的最大值.18. 已知平面向量.设函数.(1)求的最小正周期;(2)若函数的图象可由函数的图象向左平移个单位,横坐标伸长到原来的2倍得到,且关于的方程在上恰有三个不同的实数根,求实数的取值范围和的值.19. 杭州世纪中心是杭州最高楼,同时是浙江省最高的双子塔楼,建筑高度310米,以杭州拼音首字母“”为外形蓝本,被称为杭州之门,双塔的设计像一对翅膀,结合了杭州文化的城市之形,拱桥之意。
高等数学期中A考卷及答案海大
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专业课原理概述部分一、选择题(每题1分,共5分)1. 微分学的中心概念是()。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是()。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是()。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是()。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题(每题1分,共5分)1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
()2. 任何连续函数都一定可导。
()3. 二重积分可以转换为累次积分。
()4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
()5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
()三、填空题(每题1分,共5分)1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续,则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题(每题2分,共10分)1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值?如何求函数的极值?3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量?5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题(每题2分,共10分)1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy,其中D是由x轴,y轴和直线x+y=1围成的区域。
浙江理工大学11-12高数A2期末试卷(含答案)
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浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷(A )卷承诺人签名: 学号: 班级: (本试卷共四页)一、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分) 1. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为( )A .极大值为8B .极小值为0C .极小值为8D .极大值为02.二元函数(,)f x y 在点00(,)P x y 处 ①连续;②两个偏导数连续;③可微;④两个偏导数都存在,那么下面关系正确的是( )A .③①④ B. ③②① C. ③④① D. ②③①3. 曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 4. 设⎰⎰σ=+Dy x d e I 22, 4:22≤+y x D , 则=I ( )A.)1(24-πe B. )1(24-πe C. )1(4-πe D. 4e π 5. 设∑是球面2222x y z R ++=,则222dSx y z ∑++⎰⎰=( ) A. 24R π B. 4π C. 2R π D. π6. 若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定二、填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)1. 曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ,则M 的坐标是 ;2. 设22z xy u -=,则u 在)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ;3. 交换积分顺序,有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy______________________ ;4. 设椭圆L:13422=+y x 的周长为l,则⎰=+Lds y x 2)23( ;5. 设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .三、解答题(本题共6小题,每小题6分,满分36分)1.求过点M (4,-3,1)且与两直线:326-==zy x 和⎩⎨⎧=+-=+-+022012z x z y x 都平行的平面方程.2. 设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z zx x y∂∂∂∂∂.3. 将函数1()f x x=展开为3x -的幂级数,并求收敛域.4. 计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ,其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.5. 求曲线积分22(2)(sin )Lxy dx x y dy --+⎰,其中L 是沿曲线1y =0,1)到点(2,1)的弧段.6. 计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧.四、综合题(本题共2小题,每小题8分,满分16分)1. 验证2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++在整个 xoy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y .2. 求幂级数115n n n n x ∞-=∑的收敛域、和函数以及数项级数15n n n∞=∑的和.五、证明题(4分)设∑∞=12n n a 收敛,证明级数1nn a n ∞=∑绝对收敛.一、选择题(本题共6小题, 每小题4分,满分24分)1.A; 2.D ; 3.A; 4.C; 5.B ; 6.B 二、填空题(本题共5小题, 每小题4分,满分20分)1. (-1,2,-2);2. ;3.()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ;4. 12l ;5.32三、解答题(本题共6小题,每小题6分,满分36分)1. 1(6,2,3)s =-,2121(2,1,4)201i j ks =-=----, ………2分取平面的法向量为12623(11,30,2)214i jkn s s =⨯=-=-----………2分所以平面方程为:11(4)30(3)(1)0x y z --++--=,即1130135x y z -+-=…2分2.121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂, ……………2分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 111222231.x f xyf f f y y''''''=+-- .………4分3.解:)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ……………2分因为∑∞=+=-011)1(n n n xx ,)1,1(-∈x , 所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ,即60<<x . ……………3分 当0=x 时,级数为∑∞=031n 发散;当6=x 时,级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ,)6,0(∈x . ………1分 4. 解:如图,选取柱面坐标系,此时⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以π112000d d d d d cos sin d xy x y z r r r r z θθθΩ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………3分=⎰⎰r r d d 2sin 213102πθθ=814)42cos (142π0=⋅-r θ. ………3分 5. 解:令22P x y =-,2(sin )Q x y =-+,则2,Py∂=-∂1,Q x ∂=-∂ ………2分 选择:1BA y =由B (2,1)到A (0,1),则由格林公式得原式2(2L Bx y+=-⎰⎰………2分22()(2)(sin )AB DQ Pdxdy x y dx x y dy x y∂∂=--+--+∂∂⎰⎰⎰22(2)Ddxdy x dx =-+-⎰⎰⎰2208(2)423Ddxdy x dx π=-+-=-+-⎰⎰⎰. ………2分6. 解:补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。
08092高数B期末试卷A卷及答案
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浙江理工大学2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷(A 卷)考生姓名: 班级: 学号:一、选择题(本题共6小题, 每小题4分,满分24分)1、下列方程中,是一阶线性微分方程有( C )(A ) xy y x dx dy 22+= (B ) 022=+'y y (C )x x y y xcos sin 1=+' (D ) 02=+'+''y y y 2、下列级数中,属于条件收敛的是 ( D )(A )()()∑∞=+-111n nnn (B )()∑∞=-1sin 1n nn nn π(C )()∑∞=-121n n n (D )()∑∞=+-1131n n n3、微分方程2'''0y y y +-=的通解是( D )(A )x x e c e c y 221--= (B )x x e c e c y 221+=- (C )2/21x x e c e c y -+= (D )2/21x x e c e c y +=-4、若数项级数1nn a∞=∑收敛,n S 是此级数的部分和,则必有( C )(A )1lim nn n n aa ∞→∞==∑ (B ) lim 0n n S →∞=(C ) n S 有极限 (D )n S 是单调的 5、设D :4122≤+≤y x ,则=+⎰⎰dxdy y x D 22( A )(A )dr r d ⎰⎰21220πθ (B )dr r d ⎰⎰41220πθ (C )dr r d ⎰⎰1220πθ(D )dr r d ⎰⎰2120πθ6、若1lim 4n n na a +→∞=,则幂级数20n n n a x ∞=∑的收敛半径R =( B ).(A )2 (B ) 1/2 (C ) 4 (D ) 1/4二、填空题(本题共5小题, 每小题4分,满分20分) 1、 设()()xy xy z 2cos sin +=,则=∂∂yz。
浙江省杭州学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
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杭州2023-2高一年级期中考试数学试卷命题人高一数学备课组审核人高一数学备课组(答案在最后)注意事项:1.本试卷满分100分,考试时间100分钟.2.整场考试不准使用计算器.一、单项选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,m n 表示两条不同直线,α表示平面,则()A.若//,//m n αα,则//m nB.若//,m m n α^,则n α⊥C.若,m m n α⊥⊥,则//n αD.若,m n αα⊥⊂,则m n⊥【答案】D 【解析】【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.【详解】对于A ,若//,//m n αα,则,m n 可能相交、平行或异面,故A 错误;对于B ,若//,m m n α^,则,n α可能平行,或相交,或垂直,故B 错误;对于C ,若,m m n α⊥⊥,则n 可能在α中,也可能//n α,故C 错误;对于D ,由线面垂直的性质定理可知D 正确.故选:D2.如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)1111ABCD A B C D -中,E 为BC 延长线上一点,3BC CE =,则1D E =()A.11-3AB AD AA + B.12-3AB AD AA + C.113AB AD AA ++ D.11-3AB AD AA + 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的加减法运算法则,直接写出向量1D E的表达式,即可得答案.【详解】111()D E AD AE AB AD A B A E =-=+-+=114133AD AB BC AA AB AD AA +--=+- ,故选:A.3.如图,已知平面α,β,且l αβ= .设梯形ABCD 中,//AD BC ,且AB α⊂,CD β⊂.则下列结论正确的是()A.直线AB 与CD 可能为异面直线B.直线AB ,CD ,l 相交于一点C.AB CD =D.直线AC 与BD 可能为异面直线【答案】B 【解析】【分析】结合题意以及空间中点线面的位置关系,逐项分析即可求出结果.【详解】梯形AB CD =中,//AD BC ,所以AB 与CD 是梯形的两腰,所以AB 与CD 是共面直线,故A 错误;AB 与CD 是不一定相等,故C 错误,直线AC 与BD 是梯形的对角线,故是共面直线,故D 错误;设AB CD M = ,又且AB α⊂,CD β⊂,所以M α∈,M β∈,所以M αβ∈⋂,又因为l αβ= ,故M l ∈,即直线AB ,CD ,l 共点,故B 正确.故选:B.4.如图,一个正四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球面上,且底面ABCD 经过球心O .若1283-=P ABCD V ,则球O 的表面积是A.814π B.36π C.64πD.274π【答案】C 【解析】【分析】由题意可知,PO ⊥平面ABCD ,并且PO 是半径,由体积求出半径,然后求出球的表面积.【详解】设球的半径为R ,则1112822323四棱锥-=⨯⨯⨯⨯=P ABCD V R R R ,得4R =,∴2=464球ππ=S R .故选C【点睛】本题考查球的内接体问题,球的表面积、体积,考查学生空间想象能力,属于中档题.5.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,1AB =,若二面角1C C AB --的大小为60︒,则点C 到平面1C AB 的距离为()A.1B.12C.34D.2【答案】C 【解析】【分析】取AB 的中点O ,连接OC 和1OC ,由二面角的定义得出160COC ∠=o,可得出OC 、1CC 、OC的值,由此可计算出1ABC ∆和ABC ∆的面积,然后利用三棱锥1C ABC -的体积三棱锥1C ABC -的体积相等,计算出点C 到平面1ABC 的距离.【详解】取AB 的中点O ,连接OC 和1OC ,根据二面角的定义,160COC ∠=o.由题意得2OC =,所以132CC =,1OC =.设C 到平面1C AB 的距离为h ,易知三棱锥1C ABC -的体积三棱锥1C ABC -的体积相等,即1111311323222h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯,解得34h =,故点C 到平面1C AB 的距离为34.故选C.【点睛】本题考查点到平面距离的计算,常用的方法有等体积法与空间向量法,等体积法本质就是转化为三棱锥的高来求解,考查计算能力与推理能力,属于中等题.6.已知正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是线段1BB 上靠近1B 的三等分点,点F 是线段11D C 上靠近1D 的三等分点,则平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -形成的截面图形为()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】C 【解析】【分析】如图,由题意,根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得//l AE ,进而//FI AE ,结合相似三角形的性质即可求解.【详解】如图,设6AB =,分别延长11AE A B 、交于点G ,此时13B G =,连接FG 交11B C 于H ,连接EH ,设平面AEF 与平面11DCC D 的交线为l ,则∈F l ,因为平面11//ABB A 平面11DCC D ,平面AEF ⋂平面11ABB A AE =,平面AEF ⋂平面11DCC D l =,所以//l AE ,设1l D D I = ,则//FI AE ,此时1FD I ABE △∽△,故1ID =43,连接A I ,所以五边形AIFHE 为所求截面图形,故选:C .7.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和,例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是π3,所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=,故其总曲率为4π,则四棱锥的总曲率为()A.2πB.4πC.5πD.6π【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的定义,由多面体的总曲率计算求解即可.【详解】解:由题意,四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和,因为四棱锥有5个顶点,5个面,其中4个三角形,1个四边形,所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成,所以面角和为426πππ+=,故总曲率为5264πππ⨯-=.故选:B.8.已知正方体1111ABCD A B C D -边长为1,点,E O 分别在线段11B D 和BD 上,1114,5EB B D DO BO ==,动点F 在线段1AA 上,且满足1102AF AA λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭,分别记二面角11,F OB E F OE B ----,1F EB O --的平面角为,,αβγ,则总有()A.αβγ>>B.γβα>>C.γαβ>>D.βαγ>>【答案】D 【解析】【分析】作出三个二面角的平面角,求出其正切值后比较大小可得.【详解】作FF '⊥平面11BB D D ,垂足为F ',则22FF '=,因为1OB ⊂平面11BB D D ,所以1FF OB '⊥,作1FK OB ⊥,FM OE ⊥,11FN B D ⊥,垂足分别为,,K M N ,连接,,KF MF NF ''',由于FF FK F '= ,FF '⊂平面FF K ',FK ⊂平面FF K ',所以1OB ⊥平面FF K ',又F K '⊂平面FF K ',从而1OB F K '⊥,所以FKF α'=∠,同理FMF β'=∠,FNF γ'=∠,所以tan tan 2FKF F K α'=∠=',tan tan 2FMF F M β'=∠=',tan tan 2FNF F Nγ'=∠=',因为点O 是正方形ABCD 对角线的交点,所以OA BD ⊥,因为1BB ⊥平面ABCD ,OA ⊂平面ABCD ,所以1OA BB ⊥,因为1BB BD B ⋂=,1BB ⊂平面11BDD B ,BD ⊂平面11BDD B ,所以AO ⊥平面11BDD B ,ON 就是1AA 在平面11BDD B 上的射影,11,//,ON AA ON AA OF AF '==,又1sin F K OF B OF '''=⋅∠,sin F M OF EOF '''=⋅∠,且1112AF AA AA λ=<,则OF F N ''<,由11145EB B D =得1EN NB <,从而1EOF B OF ''∠<∠,所以F N OF F K F M ''''>>>,所以tan tan tan βαγ>>,又π,,0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以βαγ>>.故选:D.【点睛】关键点点睛:关键是作出二面角的平面角,然后求出角的正切值,再利用正方体的性质比较线段长的大小,从而可得结论.二、多项选择题:本题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,有选错的得0分,部分选对的得2分9.如图,A B C ''' 为水平放置的ABC 的直观图,其中2,A B A C B C ''''''===,则在原平面图形ABC 中有()A.AC BC <B.2AB =C.AC =D.ABC S =△【答案】ACD 【解析】【分析】根据斜二测画法规则确定点,,A B C '''的位置,再作出ABC ,逐项计算判断即可.【详解】在直观图A B C ''' 中,2,A B A C B C ''''''===,取A B ''中点D ¢,连接C D '',则C D A B ''''⊥,而45B O C '''∠= ,于是2O D C D ='''==',则1O A ''=,O C ''==3B O ''=,由斜二测画法规则作出ABC ,如图,则22,26OC O C OA O A OB O B ''''''======,4AB =,AC ==,BC ==12ABC S OC AB =⋅= 显然AC BC <,A 、C 、D 正确,B 错误.故选:ACD10.如图,以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕,翻折ABD △和ACD ,使得平面ABD ⊥平面ACD .下列结论正确的是()A.BD AC⊥ B.ABC 是等边三角形C.三棱锥D ABC -是正三棱锥 D.平面ACD ⊥平面ABC【答案】ABC 【解析】【分析】利用面面垂直以及线面垂直的性质可判断A 选项;设AD a =,利用勾股定理可判断B 选项;利用正棱锥的定义可判断C 选项;利用面面垂直的性质结合面面垂直的性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项,翻折前,因为AB AC =,D 为BC 的中点,则AD BD ⊥,翻折后,对应地有AD BD ⊥,因为平面ABD ⊥平面ACD ,平面ABD ⋂平面ACD AD =,BD ⊂平面ABD ,所以,BD ⊥平面ACD ,因为AC ⊂平面ACD ,故BD AC ⊥,A 对;对于B 选项,设AD a =,翻折前,因为ABC 为等腰直角三角形,D 为BC 的中点,则BD CD AD a ===,且AD BD ⊥,AD CD ⊥,由勾股定理可得AC AB ===,翻折后,因为BD ⊥平面ACD ,CD ⊂平面ACD ,则BD CD ⊥,由勾股定理得BC ==,在三棱锥D ABC -中,AB AC BC ==,则ABC 为等边三角形,B 对;对于C 选项,在三棱锥D ABC -中,因为ABC 为等边三角形,DA DB DC ==,故三棱锥D ABC -为正三棱锥,C 对;对于D 选项,假设平面ACD ⊥平面ABC ,如下图所示:取AC 的中点E ,连接DE 、BE ,因为AD CD =,E 为AC 的中点,则DEAC ⊥,若平面ACD ⊥平面ABC ,因为平面ACD 平面ABC AC =,DE ⊂平面ACD ,所以,DE ⊥平面ABC ,设等边ABC 的中心为点O ,连接DO ,由正棱锥的性质可知,DO ⊥平面ABC ,因为过点D 作平面ABC 的垂线,有且只有一条,故假设不成立,即平面ACD 与平面ABC 不垂直,D 错.故选:ABC.11.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,1AA 垂直于底面,15AA =,底面扇环所对的圆心角为π2,弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍,2CD =,则下列说法正确的是()A.弧AD 长度为3π2B.曲池的体积为10π3C.曲池的表面积为2014π+D.三棱锥1A CC D -的体积为5【答案】ACD 【解析】【分析】设弧AD 所在圆的半径为R ,弧BC 所在圆的半径为r ,根据弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍及2CD R r =-=求出R 、r ,再根据体积、表面积公式计算可得.【详解】设弧AD 所在圆的半径为R ,弧BC 所在圆的半径为r ,因为弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍,ππ322R r =⨯,即3R r =,22CD R r r ∴=-==,1r ∴=,3R =,所以弧AD 的长度为3π2,故A 正确;曲池的体积为222211111πππ3π1510π4444V R r AA ⎛⎫⎛⎫=-⨯=⨯-⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 错误;曲池的表面积为221111ππ2ππ52524422R r R r ⎛⎫⎛⎫-⨯++⨯+⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111π3π12π3π15202014π4422⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故C 正确;三棱锥1A CC D -的体积为11235532⨯⨯⨯⨯=,故D 正确.故选:ACD .12.如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为菱形,160,2,BAD AB AA P ∠=== 为1CC 的中点,点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ,则下列结论正确的是()A.若13λμ+=,则四面体1A BPQ 的体积为定值B.若1A BQ △的外心为O ,则11A B AO ⋅ 为定值2C.若1AQ =,则点Q 的轨迹长度为4D.若1λ=且12μ=,则存在点1E A B ∈,使得AE EQ +【答案】ACD【解析】【分析】A 选项,作出辅助线,结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线,得到//WF 平面1PA B ,故点Q 为平面1PA B 的距离为定值,四面体1A BPQ 的体积为定值,A 正确;B 选项,作出辅助线,结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ;C 选项,建立空间直角坐标系,设()0,2,2Q λμ,表达出()()2221222λμ++-=,故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆,落在正方形11CDD C 内的部分,结合弧长公式求出答案;D 选项,求出()0,2,1Q ,)2,2E a a -,得到AE EQ +=,画出图形,数形结合得到其最小值.【详解】A 选项,在1,CD DD 上分别取,F W ,使得13DF DC =,113DW DD =,因为1DQ DC DD λμ=+ ,所以33DQ DF DW λμ=+ ,因为13λμ+=,所以331λμ+=,即()313DQ DF DW λλ=+- ,故33DQ DW DF DW λλ--= ,即3WQ WF λ= ,所以,,W Q F 三点共线,因为1//WF CD ,11//A B CD ,所以1//WF AB ,故//WF 平面1PA B ,故点Q 为平面1PA B 的距离为定值,又1PA B S 为定值,故四面体1A BPQ 的体积为定值,A 正确;B 选项,取1A B 的中点T ,因为1A BQ △的外心为O ,所以OT ⊥1A B ,又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ,B 错误;C 选项,取AB 的中点R ,因为底面ABCD 为菱形,60BAD ∠=︒,故DR ⊥DC ,以D 为坐标原点,以DR ,1,DC DD 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,故)11,2A -,设()0,2,2Q λμ,则1AQ ==,化简得()()2221222λμ++-=,点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ,即点Q 在正方形11CDD C 内,包括边界,故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆,落在正方形11CDD C 内的部分,如图所示:因为SH =,11SD =,故11D H ==,故1SD H 为等腰直角三角形,π4S ∠=,故点Q 的轨迹长度为π44=,C 正确;D 选项,若1λ=且12μ=,112DQ DC DD =+ ,即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ,即()0,2,1Q ,又)11,2A -,)B ,设()111,,E x y z ,设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈ ,即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-,解得11112,2x y a z a ==-=,即)2,2E a a -,AE EQ +=+=+=,如图所示,设1101,,242KJ GV JG ===,且KJ ⊥JG ,JG ⊥GV ,在线段JG 上取一点L ,设GL a =,则12LJ a =-,故KL VL +=,显然,直接连接KV ,此时KL VL +取得最小值,最小值即为KV ,由勾股定理得KV ==,故AE EQ +=的最小值为=D 正确.故选:ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题,通常有两种思路:①形化,即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题,然后根据图形的特征直接进行求解;②数化,即利用空间向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域,不等式的解集,方程有解等问题,然后利用函数,不等式,方程的有关知识进行求解.三、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分13.()()1,0,2,1,3,1A B -,点M 在z 轴上且到,A B 两点的距离相等,则M 点的坐标为__________.【答案】()0,0,3-【解析】【分析】设点(0,0,)M z ,根据点M 到,A B 两点的距离相等,列出方程,即可求解.【详解】根据题意,可设点(0,0,)M z ,因为点M 到,A B 两点的距离相等,可得AM BM =,=解得3z =-,所以点M 的坐标为()0,0,3-.故答案为:()0,0,3-.14.如图,在四面体A BCD -中,2,AC BD AC ==与BD 所成的角为45 ,,M N 分别为,AB CD 的中点,则线段MN 的长为__________.【答案】2或2【解析】【分析】取BC 的中点E ,连接EM 、EN ,即可得到MEN ∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角,即45MEN ∠= 或135 ,再利用余弦定理计算可得.【详解】取BC 的中点E ,连接EM 、EN ,M 、E 分别为AB 、BC 的中点,//ME AC ∴且112ME AC ==,同理可得EN //BD 且1222EN BD ==,MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角,则45MEN ∠= 或135 .在MEN 中,1ME =,2EN =,若45MEN ∠= ,由余弦定理可得MN =2==;若135MEN ∠= ,由余弦定理可得MN =2==;综上所述,2MN =或2.故答案为:22或2.15.已知()()21,5(0,R)f x axg x x bx a b =-=+->∈(1)若2a =时,()()f x g x =的两根为12,x x ,则12x x -的最小值为__________.(2)若0x >时,()()0f x g x ⋅≥恒成立,则3b a +的最小值为__________.【答案】①.4②.【解析】【分析】(1)依题意可得()2240x b x +--=,列出韦达定理,则12x x -=性质计算可得;(2)令()0f x =解得1x a =,分析可得10g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,从而得到15b a a =-,再利用基本不等式计算可得.【详解】(1)若2a =时()21f x x =-,()25g x x bx =+-,方程()()f x g x =,即()2240x b x +--=,显然0∆>,所以122x x b +=-,124x x =-,则124x x -==≥,所以当2b =时,12x x -取得最小值,且最小值为4.(2)0,R a b >∈ ,当0x >时,()()0f x g x ≥恒成立,由()0f x =解得1x a =,当1x a >时,()0f x >;当10x a<<时,()0f x <;∴当1x a >时,()0g x ≥,当10x a <<时,()0g x ≤;∴20115b g a a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭,∴15b a a =-,325b a a a ∴+=+≥=,当且仅当52a a =,即5a =、2b =时取等号,所以3b a +的最小值是.故答案为:4;16.下列命题正确的是__________.(填序号)①若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行;②垂直于同一条直线的两直线平行;③两个平面互相垂直,过一个平面内任意一点作交线的垂线,必垂直与另一个平面;④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在;⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直;⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.【答案】①⑤⑥【解析】【分析】根据题意,由直线与直线,直线与平面的位置关系,依次分析6个命题,即可判断.【详解】对于①:如图,//AB α,平面,ABDC CD AB α⋂=⊂平面ABDC ,所以//AB CD ,同理//AB EF ,所以//CD EF ,又因为,CD EF ββ⊄⊂,所以CD//β,又,CD l ααβ⊂⋂=,所以//CD l ,所以//AB l ,若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行,故①正确;对于②:垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面,故②错误;对于③:根据面面垂直的性质定理可知,两个平面互相垂直,过一个平面内任意一点(不在交线上)作交线的垂线,必垂直与另一个平面,当该点在交线上时,作交线的垂线,得不到该直线与另一个平面垂直,故③错误;对于④:分3种情况讨论:若两点确定的直线在已知平面内,则过两点与一个已知平面垂直的平面有且只有一个;若两点确定的直线不在平面内,但与已知平面不垂直,则过两点与一个已知平面垂直的平面有一个,若两点确定的直线不在平面内且与已知平面垂直,则过两点与一个已知平面垂直的平面有无数个,综上,过两点与一个已知平面垂直的平面有一个或无数个,一定存在,故④错误;对于⑤:设直线m 、n 异面,过直线m 上一点O 作直线n ',使得//n n '且m n O '= ,如下图所示:设直线m 、n '确定平面α,过空间中任意一点P ,有且只有一条直线l ,使得l α⊥,因为m 、n α'⊂,则l m ⊥,l n '⊥,又因为//n n ',则l n ⊥,故过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直,故⑤正确;对于⑥:到一个四面体的四个顶点的距离相等的平面,可以看作是与一个四面体四个顶点距离相等的平面,可以是与两条对棱平行,这样的平面有3个,也可以是与一个底面平行,与另一个顶点距离相等,这样的面有4个,则到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个,⑥正确.故答案为:①⑤⑥【点睛】关键点点睛:本题解答的关键是正确理解空间中线线、线面、面面的位置关系,利用反例及适度的数形结合是有效且快速的处理方法.四、解答题:本大题共4小题,共44分,解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知空间向量(1,2,1),(2,1,1)a b =-=- .(1)计算32a b + 和53a b - ;(2)求a 与b夹角θ的余弦值.【答案】(1)32(1,8,1)a b +=-- ,53(11,7,8)a b -=- (2)16-.【解析】【分析】(1)利用空间向量的坐标运算公式即可求解;(2)利用空间向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】由题可得323(1,2,1)2(2,1,1)(1,8,1)a b +=-+-=-- 535(1,2,1)3(2,1,1)(11,7,8)a b -=---=- .【小问2详解】由题可得a ==,b == (1,2,1)(2,1,1)2211a b ⋅=-⋅-=-+-=-,1cos 6a b a b θ⋅∴===- ,a ∴与b 夹角θ的余弦值为16-.18.正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别是1BC ,1CD 的中点.(1)求异面直线1CD 与1BC 所成角;(2)求证://MN 平面ABCD【答案】(1)60︒(2)证明见解析【解析】【分析】(1)连接1A B ,11A C ,即可得到11//CD A B ,则11A BC ∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角,结合正方体的性质求出11A BC ∠;(2)取1CC 的中点E ,连接ME ,NE ,即可证明平面//MEN 平面ABCD ,从而得证.【小问1详解】连接1A B ,11A C ,因为11A D BC =且11//A D BC ,所以四边形11A D CB 为平行四边形,所以11//CD A B ,则11A BC ∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角,在正方体中,可得1111A C A B BC ==,即11A C B △为等边三角形,所以1160A BC ∠=︒,所以异面直线1CD 与1BC 所成角为60︒;【小问2详解】取1CC 的中点E ,连接ME ,NE ,因为M ,N 分别是1BC ,1CD 的中点,所以//ME BC ,11//NE C D ,而11//C D CD ,所以//NE CD ,又因为BC ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,NE ⊄平面ABCD ,ME ⊄平面ABCD ,所以//NE 平面ABCD ,//ME 平面ABCD ,又ME NE E ⋂=,,ME NE ⊂平面MNE ,所以平面//MEN 平面ABCD ,因为MN ⊂平面MNE ,所以//MN 平面ABCD .19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -如图所示,底面ABCD 为平行四边形,其中点D 在平面1111D C B A 内的投影为点1A ,且1AB AA ==2,120AD ABC ︒∠=.(1)求证:平面1A BD ⊥平面11ADD A ;(2)已知点E 在线段1C D 上(不含端点位置),且平面1A BE 与平面11BCC B,求1DE EC 的值.【答案】(1)证明见解析(2)113DE EC =【解析】【分析】(1)不妨设1AD =,根据线面垂直的性质证明1A D AD ⊥,利用勾股定理证明AD DB ⊥,再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证;(2)以D 为坐标原点,建立的空间直角坐标系D xyz -,利用向量法求解即可.【小问1详解】不妨设1AD =,因为1A D ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ,故1A D AD ⊥,在ADB 中,2,1,60AB AD DAB ==∠= ,由余弦定理,222222cos 21221cos603BD AB AD AB AD DAB ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= ,得BD =,故222AD BD AB +=,则AD DB ⊥,因为11,,A D DB D A D DB ⋂=⊂平面1A BD ,所以AD ⊥平面1A BD ,而AD ⊂平面11ADD A ,所以平面1A BD ⊥平面11ADD A ;【小问2详解】由(1)知,1,,DA DB DA 两两垂直,如图所示,以D 为坐标原点,建立的空间直角坐标系D xyz -,则()()()(()10,0,0,1,0,0,0,,0,0,,1,D A B A C -,故()11,AC A C AC =-=,(1C ∴-,所以((11,A B DC ==-,设()101DE DC λλ=<<,则()12DE DC λλ==-,即()2E λ-,所以(12A E λ=--;设()111,,n x y z =为平面1A EB 的一个法向量,则1111111020nA B n A E x y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+--=⎪⎩,令12z λ=,则112,==-y x λ()2,2n λλ=-,因为y 轴⊥平面11BCC B ,则可取()0,1,0m =为平面11BCC B 的一个法向量,设平面1A EB 与平面11BCC B 的夹角为α,则cos 5n m n m α⋅===⋅ ,解得14λ=,故113DE EC =.20.已知函数(),(),()f x g x h x 的定义域均为R ,给出下面两个定义:①若存在唯一的x ∈R ,使得(())(())f g x h f x =,则称()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换;②若对任意的x ∈R ,均有(())(())f g x h f x =,则称()g x 与()h x 关于()f x 任意交换.(1)请判断函数()1g x x =+与()1h x x =-关于2()f x x =是唯一交换还是任意交换,并说明理由;(2)设()22()2(0),()1f x a x a g x x bx =+≠=+-,若存在函数()h x ,使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换,求b 的值;(3)在(2)的条件下,若()g x 与()f x 关于e 1()e 1x x w x -=+唯一交换,求a 的值.【答案】(1)唯一交换,理由见解析(2)0b =(3)()1e2e 1a -=+【解析】【分析】(1)根据方程()()()()f g x h f x =解的情况判断即可;(2)根据“对任意的x ∈R ,()()()()f g x h f x =成立”得到关于x 的方程,然后设出()h x 的解析式,根据方程左右两边对应项相同求解出b 的值;(3)根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数x ,使得22112e 1e 1e 12e 1xxx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦”,然后分析()22112e 1e 1e 12e 1xxx x s x ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦的奇偶性,从而确定出()0a s =,由此可求a 的值.【小问1详解】()g x 与()h x 关于()f x 是唯一交换,理由如下:因为()()()21f g x x =+,()()21h f x x =-,令()()()()f g x h f x =,所以()2211x x +=-,解得=1x -,所以()()()()f g x h f x =有唯一解=1x -,所以()g x 与()h x 关于()f x 是唯一交换.【小问2详解】由题意可知,对任意的x ∈R ,()()()()f g x h f x =成立,即对任意的x ∈R ,()()()222122a x bx h a x ⎡⎤+-+=+⎢⎥⎣⎦;因为()h x 为函数,且()()()()()2222h ax h a x -+=+,故0b =,故()()()222122a x h a x ⎡⎤-+=+⎢⎥⎣⎦,即()()()2222322a x a h a x a ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪-+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以()2211326x x h x a x a aa ⎡⎤⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,综上所述,0b =.【小问3详解】当0b =时,()21g x x =-,因为()g x 与()f x 关于()e 1e 1x x w x -=+唯一交换,所以存在唯一实数x ,使得()2e 11e 1x x w xf ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭,即存在唯一实数x ,使得22211e 1e 12e 1e 1x x x x a --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥=+ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即存在唯一实数x ,使得22112e1e 1e 12e 1x xx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦;令()22112e 1e 1,e 12e 1x xx x s x ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22211e 1e 1,2e 1e 1x x x x q x p x --⎛⎫--==+ ⎪++⎝⎭,且()()(),,s x q x p x 定义域均为R ,又()()()()22221111e 1e 1e 1e 1x xx x q x q x ---------===++,()()222e 11e e 1222e 11e e 1x x x x x x p x p x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()(),q x p x 都是偶函数,所以()s x 为偶函数,因此,若存在唯一实数x 使得22112e 1e 1e 12e 1xxx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦,只能是()0a s =,所以()11e 111ee 22e 1a -+-==+,综上所述,a 的取值为()1e2e 1-+.【点睛】关键点点睛:本题考查函数的新定义,涉及方程解以及函数奇偶性等相关问题,对学生的理解与计算能力要求较高,难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题,本题第二问可以从方程左右两边对应相等入手,第三问则可以从函数的奇偶性入手进行分析.。
浙江省名校高一下学期期中联考数学试题(解析版)
![浙江省名校高一下学期期中联考数学试题(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/e8458c96d0f34693daef5ef7ba0d4a7302766cb6.png)
一、单选题1.已知复数z 满足(i 为虚数单位),则z 的虚部是( ) 1i2i 1iz --=+A .1 B .iC .D .i -1-【答案】A【分析】根据复数的除法与虚部的定义求解即可.【详解】,故虚部为1. ()()()21i 1i2i 2i 2i 2i i 1i 1i 1i 2z ---=+=+=+=++-故选:A2.在中,已知命题p :为钝角三角形,命题,则p 是q 的( )ABC A ABC A :0q AB BC ⋅>A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义结合向量的夹角判断即得.【详解】命题,可得,又因为,则为钝角,则可以:0q AB BC ⋅>cos 0,cos 0ca B B -><()0,πB ∈B q 推出,p 命题p :为钝角三角形,钝角三角形不一定是为钝角,则无法推出, ABC A B p q 故p 是q 的必要不充分条件. 故选:B.3.用半径为,圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高为( ) 3cm 23πA .B . CD .1cm 2cm 【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm ,由题意底面圆的周长即扇形的弧长, 可得2πr=即底面圆的半径为1,. 23,3π⨯所以圆锥的高h =故选B【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的应用,圆锥侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.4.在中,,则边的长为( ) ABC A π7,8,3AB BC C ==∠=AC A .3 B .5C .3或5D .以上都不对【答案】C【分析】根据余弦定理求的值.AC 【详解】根据余弦定理可知,,2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅则,整理为,214964282AC AC =+-⋅⋅28150AC AC -+=解得:或 3AC =5AC =故选:C5.设m ,n 是不同的直线,是不同的平面,则下列命题正确的是( ) ,a βA .,则 B .,则 ,//m n n α⊥m α⊥//,m ββα⊥m α⊥C .,则 D .,则,ααβ⊥⊥m //m β,m m αβ⊥⊥//αβ【答案】D【分析】举例说明判断ABC ;利用线面垂直的性质判断D 作答.【详解】对于A ,在长方体中,平面为平面,分别为直线1111ABCD A B C D -ABCD α1111,A B B C ,m n ,显然满足,而,此时不成立,A 错误;,//m n n α⊥//m αm α⊥对于B ,在长方体中,平面,平面分别为平面,为直线1111ABCD A B C D -ABCD 11CDD C ,αβ11A B m ,显然满足,而,此时不成立,B 错误;//,m ββα⊥//m αm α⊥对于C ,在长方体中,平面,平面分别为平面,为直线1111ABCD A B C D -ABCD 11CDD C ,αβ1CC m ,显然满足,而,此时不成立,C 错误; ,ααβ⊥⊥m m β⊂//m β对于D ,因为,由线面垂直的性质知,,D 正确. ,m m αβ⊥⊥//αβ故选:D6.若,则( )3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A .B .C .D . 7252425725-2425-【答案】C【分析】利用二倍角余弦公式可求得,根据诱导公式计算可得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,由此可得结果.cos 23πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【详解】,297cos 212sin 12362525ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .7sin 2cos 2cos 2626325ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选:C.7.记,则( ) 0.10.20.50.2,0.1,a b c -===A . B . a b c >>b c a >>C . D .a cb >>c a b >>【答案】C【分析】把三个数的指数都化为0.1,利用幂函数的单调性比大小. 【详解】,,0.10.2a =()0.10.220.10.10.10.01b ===, 0.10.10.55c --⎡⎤===⎣⎦,由幂函数在上单调递增,所以. 0.20.01>>0.1y x =()0,∞+a c b >>故选:C8.有一直角转弯的走廊(两侧与顶部都封闭),已知走廊的宽度与高度都是3米,现有不能弯折的硬管需要通过走廊,设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l 米.为了方便搬运,规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米,则m 的值是( )0.9m l =A.B C D .8110【答案】A【分析】先求出硬管不倾斜,水平方向通过的最大长度AB ,再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度,即可得到答案.【详解】如图示,先求出硬管不倾斜,水平方向通过的最大长度AB.设,则.π,02BAQ θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭π2ABQ θ∠=-过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ,B 作BD 垂直内侧墙壁于D ,则. π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ θθ==∠=∠=∠=∠=-在直角三角形中,,所以. ACP sin sin AC CPA APθ∠==3sin sin AC AP θθ==同理:. 3πcos sin 2BD BP θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以.33π,0sin cos 2AB AP BP θθθ⎛⎫=+=+<<⎪⎝⎭因为且时等号成333sin cos AB θθ=+≥⨯=≥sin cos θθ=π4θ=立).所以.AB ≥因为走廊的宽度与高度都是3米,所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为,9l ===所以. 810.90.9910m l ==⨯=故选:A【点睛】利用三角函数解应用题的解题思路: (1)画出符合题意的图形; (2)把有关条件在图形中标出;(3)建立三角关系式,利用三角函数求最值.二、多选题9.如图,正方体中,,点Q 为的中点,点N 为的中点,则下列1111ABCD A B C D -2AB =11B C 1DD 结论正确的是( )A .与为异面直线B .CQ BN 11CQ C D ⊥C .直线与平面所成角为 D .三棱锥的体积为BN ABCD 30︒Q NBC -23【答案】AB【分析】对A ,直接观察判断即可;对B ,根据平面判断即可;对C ,根据线面角11C D ⊥11BCC B 的定义,结合直角三角形的性质求解即可;对D ,利用等体积法求解即可. Q NBC N QBC V V --=【详解】对A ,由图可得,共面,且不在平面内,则与为异面直线,故A 正确; ,,C Q B N CQ BN 对B ,由正方体性质可得平面,又平面,故,故B 正确; 11C D ⊥11BCC B CQ ⊂11BCC B 11C D CQ ⊥对C ,由平面可得直线与平面所成角为, ND ⊥ABCD BN ABCD NBD ∠又,则,2AB AD ==1BD ND ==故,故C 错误; tan NBD ∠==30NBD ∠≠︒对D ,,故D 错误.111114·2223323Q NBC N QBC QBC V V S D C --===⨯⨯⨯⨯=A故选:AB10.已知是平面单位向量,且,若该平面内的向量满足,则( )21,e e 1212e e ⋅= a 121a e a e ⋅=⋅=A .B .12π,6e e 〉〈= ()12a e e ⊥- C . D .()1223a e e =+ ||a = 【答案】BCD【分析】根据平面向量的数量积运算可判断A ;根据可判断B ;设,由12a e a e ⋅=⋅ 12a me ne =+可求出,从而可判断CD.121a e a e ⋅=⋅=,m n 【详解】因为是平面单位向量,且,21,e e1212e e ⋅= 所以.12121212cos cos 1,,2e e e e e e e e ⋅〈〉==〉=〈 因为,所以,故A 错误;[]12,0,πe e 〉〈∈12,3πe e 〉〈= 因为,所以,即,故B 错误; 12a e a e ⋅=⋅()120a e e -⋅= ()12a e e ⊥- 设,12a me ne =+因为,所以,解得, 121a e a e ⋅=⋅= ()()11212122112112a e me ne em n a eme ne e m n ⎧⋅=+⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+⋅=+=⎪⎩23m n ==所以,故C 正确;()1223a e e =+因为1e == 所以,故D 正确.123a e = 故选:BCD.11.已知函数,则下面说法正确的是( )ππ()sin()0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭A .若且图象关于直线对称,则2ω=()f x π6x =π6ϕ=B .若且图像关于点对称,则2ω=()f x 4π,03⎛⎫⎪⎝⎭π6ϕ=C .若且在上单调递增,则的最大值为2π4ϕ=()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭ωD .若且在上的图象有且仅有2个最高点,则的取值范围为π4ϕ=()f x [0,]πω917,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD【分析】利用三角函数的图象与性质逐一分析即可. 【详解】对于A 项,且图象关于直线对称时, 2ω=()f x π6x =有,因为,所以,即A 正确;πππ22π2π626k k ϕϕ⨯+=+⇒=+ππ22ϕ-<<π6ϕ=对于B 项,且图像关于点对称时,2ω=()f x 4π,03⎛⎫⎪⎝⎭有,因为,所以,即B 错误;4π8π2ππ33k k ϕϕ⨯+=⇒=-ππ22ϕ-<<π3ϕ=对于C 项,且在上单调递增,则, π4ϕ=()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭ππππ,4448x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭所以,即C 正确; πππ2482ωω+≤⇒≤对于D 项,且在上的图象有且仅有2个最高点,则,所以π4ϕ=()f x [0,]ππππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,即D 正确; 5ππ9π917π,24244ωω⎡⎫≤+<⇒∈⎪⎢⎣⎭故选:ACD12.在锐角中,已知,D 为边上的点,,则线段长的ABC A 4,3AB AC ==BC BAD CAD ∠=∠AD 可能取值为( )A BC .3.3D .【答案】AB【分析】根据等面积公式,结合三角形是锐角三角形,求线段的取值范围,即可判断选项. AD 【详解】,设,,, 4,3AB AC ==AD x =BC a =BAD CAD θ∠=∠=且,所以,AB BD AC DC=47BD a =37DC a =根据,得,ABD ADC ABC S S S +=A 1114sin 3sin 43sin 2222x x θθθ⨯⋅+⨯⋅=⨯⨯⋅得,, 24cos 7x θ=π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭247x <<角为锐角三角形,则中,,即, C ABC A 2291609160a a ⎧+->⎨+->⎩2725a <<中,,,即ADC △223907a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭229949x a <+2929710497x ≤+⨯=AB 满足条件. x <≤故选:AB【点睛】关键点点睛:本题考查解三角形中的范围问题,关键是如何应用锐角三角形这个条件,根据余弦定理和三角形面积公式,围绕锐角三角形列式,即可求解.三、填空题13.已知复数,(为虚数单位)在复平面上对应的点分别为,,则13i z =+213i z =-+i 1Z 2Z 的面积为________. 12A OZ Z 【答案】5【分析】首先得到、的坐标,即可得到,,从而得到,再根据三角形面积1Z 2Z 1OZ 2OZ12OZ OZ ⊥ 公式计算可得.【详解】因为复数,(为虚数单位)在复平面上对应的点分别为,, 13i z =+213i z =-+i 1Z 2Z 所以,,()13,1Z ()21,3Z -所以,, ()13,1OZ = ()21,3OZ =- 1213130OZ OZ ⋅=-⨯+⨯=所以,所以. 12OZ OZ ⊥ 121212152OZ Z OZ O S Z ⋅===A故答案为:514.已知直三棱柱的高为,,,则该三棱柱的外接球的体111ABC A B C -42AB AC ==90BAC ∠=︒积为________.【答案】【分析】首先求出外接圆的半径,设直三棱柱外接球的半径为,则ABC A r 111ABC A B C -R ,即可求出,再根据球的体积公式计算可得.()()22222R h r =+R【详解】因为,,所以2AB AC ==90BAC ∠=︒BC =设外接圆的半径为,则,ABC Ar 2sin BCr BAC==∠又直三棱柱的高,设直三棱柱外接球的半径为, 111ABC A B C -4h =111ABC A B C -R 则,即,解得,()()22222R h r =+()(22224R =+R =所以外接球的体积.34π3R V ==故答案为:15.已知满足,则的最小值为________.ABC A ()AB AC AB AC BC ⋅=+⋅cos C 【答案】23【分析】首先化简条件,再结合数量积公式和余弦定理化简得到,再结合余弦定理和2223a b c +=基本不等式求解.【详解】由条件可知,, 22()()A AB A A C A C B B AC AB A C ⋅=-=-+⋅ 设,,,AB c AC b BC a ===则,即, 22cos bc A b c =-22222cos 2b c b c a A bc bc-+-==则,化简为,2222222b c b c a -=+-2223a b c +=,当时等号成立,222222222222cos 233a b c a b c c C ab a b c +-+-=≥==+a b =所以的最小值是. cos C 23故答案为:2316.已知正边长为1,点满足,为直线上的动点,设在的投影向ABC A D 2BD DC = P AD BA BP量为,则的取值范围为________. ||BPm BPm 【答案】 ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用向量的坐标运算表示出点坐标及和的坐标,再利用投影向量的知识得出P BP BA,最后结合二次函数的最值求法求出的范围.BA BP m BP⋅= m 【详解】如图,以所在直线为轴,以线段中垂线为轴,建立平面直角坐标系,BC x BC y则,,. 0A ⎛ ⎝102B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,102C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为点满足,所以是线段上靠近的三等分点,则. D 2BD DC = D BC C 106D ⎛⎫⎪⎝⎭又因为为直线上的动点,设,由向量坐标公式得,PAD 1,6t AP t AD ⎛= ⎝=16P t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以,,1162BP t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭12BA ⎛= ⎝在的投影向量为.而由已知得在的投影向量为,所以BA BPBA BP BP BPBP ⋅⋅BA BP||BP m BP BA BP m BP ⋅= ,即;m==当时,320t ->m =设,则1(0)32x x t=>-m =因为时,,有最小值1, 13x =22797424y x x =-+所以当时取到最大值1,所以;13x =m 01m <≤当时, 320t -<m =设,则 1(0)32x x t=<-m =因为时,,单调递减, (,0)x ∈-∞22797424y x x =-+所以,所以在时,;7,4y ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭(,0)x ∈-∞0m <<当时,;综上所述,. 320t -=0m=1m <≤故答案为:⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题17.已知复数(,i 为虚数单位),z 在复平面上对应的点在第四象限,且满足1i z b =+b ∈R .||2z =(1)求实数b 的值;(2)若复数z 是关于x 的方程(,且)的一个复数根,求的值. 220px x q ++=0p ≠,R p q ∈p q +【答案】(1)(2) 5-【分析】(1)根据z 在复平面上对应的点在第四象限,可得,再根据复数的模的计算公式即0b <可得解;(2)法一:由题可知,为关于x方程的两个复数根,再根据韦达定理及复数11z z ==+的加法和乘法运算即可得解.法二:将代入方程可得,可得实部和虚部都等于0,即1x =(22)(0p q -+++--=可得解.【详解】(1)∵z 在复平面上对应的点在第四象限,∴, 0b <∵,∴,∴;||2z =214b +=b =(2)(法一)由题可知,为关于x 方程的两个复数根,11z z ==∴,解得,224z z p q z z p ⎧+==-⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩14p q =-⎧⎨=-⎩∴;5p q +=-(法二)将代入方程可得,1x =(22)(0p q -+++--=∴,解得,2200p q -++=⎧⎪⎨--=⎪⎩14p q =-⎧⎨=-⎩∴.5p q +=-18.在四棱锥中,平面,底面为正方形,,E 和F 分别为P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA AB =和的中点.PD BC(1)证明:平面; //EF PAB (2)求二面角的余弦值. F ED A --【答案】(1)证明见解析 (2) 13【分析】(1)通过证明四边形是平行四边形,进而由线线平行得出线面平行;MBFE (2)通过为等腰三角形,推导出即为二面角的平面角,即可求出二面角DEF A FGN ∠F ED A --的余弦值.F ED A --【详解】(1)取的中点M ,连接, PA ,ME MB ∵M ,E 分别为的中点, ,PA PD ∴是的中位线, ME PAD A ∴且, //ME AD 12ME AD =又F 为的中点, BC ∴且, //BF AD 12BF AD =∴且, //ME BF ME BF =∴四边形是平行四边形,MBFE ∴平面平面, ,EF MB EF ⊄//,PAB MB ⊂PAB ∴平面,//EF PAB(2)取的中点N ,G ,连接, ,AD DE ,NG FG设 4,PA AB DF EF ====∴为等腰三角形, DEF A ∴, FG DE ⊥∵,PA AB =∴即,AE PD ⊥NG DE ^又平面,平面,平面平面,FG ⊂ FED NG ⊂AED FED AED DE =∴即为二面角的平面角,FGN ∠F ED A --∴,2221cos 23FG NG FN FGN FG NG +-∠==⋅∴二面角的平面角的余弦值为.F ED A --1319.在中,已知为边上的高.设,记y 关于A 的函数为ABC A π,2,2B AC BD ==AC y BD DC =+.()y f A =(1)求的表达式及的取值范围;()y f A =(A)f (2)若不等式恒成立,求实数m 的取值范围.2()()mf A m f A +≥【答案】(1), ()fA π214A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(1⎤⎦(2)1⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(1)先利用直角三角形的性质表示出,再利用三角函数的知识求出范围;(A)f (2)先利用分离参数法得,再求解利用换元法以及证明的单调性,求解2()()1f A m f A ≥+12t u u=+-的范围可得答案.2()()1f A f A +【详解】(1)由已知可得:,2cos ,2sin AB A BC A ==∵,∴; BD AC ⊥2sin ,sin sin 2sin BD AB A DC BC CBD BC A A =⋅=⋅∠=⋅=∴ 2()2cos sin 2sin f A BD DC A A A =+=⋅+.πsin 21cos 2214A A A ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭∵,∴,∴, π02A <<ππ3π2444A -<-<πsin 24A ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦∴,即的取值范围为. ()01f A <≤()f A (1⎤⎦(2)由(1)知:, ()10f A +>∴,2()()1fA m f A ≥+记,则()1(1,2u f A =+∈22(1)2112u u u t u u u u --+===+-设,且, 12,(1,2u u ∈12u u <则,2121211122u u u u t t ⎛⎫+--+-= ⎝-⎪⎭211212121211u u u u u u u u u u -=-+-=-+()1212121u u u u u u ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭因为,所以,; 12,(1,2u u ∈121u u >1210u u ->因为,所以,所以,即在上单调递增. 12u u <120u u -<12t t<12t u u=+-(1,2∴当时,t 取到最大值为2u =3π()12()18f A f A A +===1∴m 的取值范围为. 1m ≥1⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭20.如图,在中,D 是线段上的点,且,O 是线段的中点延长交ABC A BC 2DC BD =AD BO AC于E 点,设.BO AB AC λμ=+(1)求的值;λμ+(2)若为边长等于2的正三角形,求的值.ABC A OE BC ⋅【答案】(1)12-(2) 56【分析】(1)根据图形,利用向量的线性运算,化简求值;(2)法一,根据平面向量基本定理的推论,确定,再以向量为基底,表示向量4AC AE =,AB AC ,利用数量积公式,即可求解;法二,首先设,以向量为基底,表示与OE AC t AE =,AB AC BO ,利用向量平行求,再利用数量积公式求的值. OEt OE BC ⋅【详解】(1)因为O 为的中点,,AD 2DC BD =12BO BA AO BA AD =+=+121233BA AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2136AB AC =-+又,故BO AB AC λμ=+ 211,,362λμλμ=-=+=-(2)法一,设,因为O 为的中点,, AC t AE =AD 2DC BD = ∴11111111()()22262636AO AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ==+=+=+-=+ 136t AB AE =+∵B ,O ,E 三点共线,所以,得1136t+=4t =故11111436312OE AE AO AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭因为为边长为2的正三角形ABC A 故1111312312OE BC AB AC BC BA BC CA CB ⎛⎫⋅=-+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭1π1π||||cos ||||cos 33123BA BC CA CB =⋅+⋅ 221111522321226=⨯⨯+⨯⨯=(法二)设 AC t AE =1111212233OE AE AO AC AD AC AB AC t t ⎛⎫=-=-=-+ ⎪⎝⎭11136t AB AC ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭又由(1)知与为非零的共线向量.21,36BO AB AC BO =-+OE 与为非零的共线向量,所以,得BO OE 111631263t --=-4t =∴11312OE AB AC =-+因为为边长为2的正三角形ABC A 故 1111312312OE BC AB AC BC BA BC CA CB ⎛⎫⋅=-+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭1π1π||||cos ||||cos 33123BA BC CA CB =⋅+⋅ . 221111522321226=⨯⨯+⨯⨯=21.已知锐角的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量,ABC A (sin ,cos )m C C =,且.(2sin cos ,sin )n A B B =-- m n ⊥ (1)求角C 的值;(2)若,求周长的取值范围. 2a =ABC A 【答案】(1) π6C=(2) (32+【分析】(1)利用向量垂直的坐标表示得,应用正余弦定2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=理的边角关系化简,结合锐角三角形求角C ;(2)法一:将用的三角函数表示出来,结合求周长范围;法二:首先得到,b c A ππ,32⎛⎫∈⎪⎝⎭A ,再用表示周长,利用函数的单调性求范围. b ∈b 【详解】(1),sin (2sin cos )cos sin m n C A B C B ⋅=--=2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=(法一),,,2sin (cos cos )0a C c B b C -+=222cos 2a c b B ac+-=222cos 2a b c C ab +-=∴,则,又为锐角三角形,故.2sin 0a C a -=1sin 2C =ABC A π6C =(法二)则,, 2sin sin sin()2sin sin sin 0C A C B C A A -+=-=sin 0A ≠∴,且为锐角三角形,故. 1sin 2C =ABCA π6C=(2),, 52sin πsin cos 6sin sin sin A a B A b A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭====sin 1sin sin a C c A A==由于为锐角三角形,则,且,解得, ABC A π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5ππ062C A <=-<ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A (法一)周长 cos 1cos 122sin sin sin A A l a b c A A A+=++=++=+,而,即, 22cos12222cossin tan222AA A A =+=+ππ,264A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan2A ⎫∈⎪⎪⎭∴,故的周长l 的取值范围为.1tan2A∈ABCA (32+(法二)由上,由余弦定理得 b ∈c ==周长,2l a b c b =++=+记,则在单调递增, ()2f b b=+()f b ∴的周长l 的取值范围为.ABC A (32+22.已知函数,其中.22()232f x ax x ax x =+++-+a ∈R (1)时,求函数的单调增区间;1a =()f x (2)已知存在三个不相等的实数,使得成立,求的取值范围. ,,αβγ()()()f f f αβγ==αβγ++【答案】(1)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2) (,1)-∞【分析】(1) 时,先化简函数解析式,再根据函数的性质求单调区间;1a =(2)由题意可得函数至少有三个单调区间,通过对分情况讨论,化简函数解析式,再结合()f x a 函数的图像性质确定范围.【详解】(1)当时,解不等式,得,1a =2320ax x -+≤12x ≤≤当时,,此时单调递增;[1,2]x ∈()22()2324f x x x x x x =++--+=()f x 当时,(,1)(2,)x ∈-∞+∞ ,对称轴为直线,()22217()232222f x x x x x x ⎛⎫=+++-+=-+ ⎪⎝⎭112x =<此时在单调递减,在单调递增.()f x 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,1,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上的单调递增区间为.()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)由题意,可得函数至少有三个单调区间.()f x ①当时,,0a =()224,323224,3x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪=++-+=⎨⎪≥⎪⎩在单调递减,在单调递增. ()f x 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭此时不存在符合题意;,,αβγ②当时,i ),即时,恒成立,0a >980a ∆=-≤98a ≥2320ax x -+≥则,在单调递减,在单调递增,2()224f x ax x =-+1,2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭此时也不存在符合题意; ,,αβγⅱ),即时,记的两根为, 980a ∆=->908a <<2320ax x -+=()1212,x x x x <则,()21212224,4,ax x x x x x f x x x x x ⎧-+=⎨≤≤⎩或在单调递减,在单调递增.11,min ,2x a ⎛⎤⎧⎫-∞⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦11min ,,2x a ⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭此时也不存在符合题意;,,αβγ③当时,方程必有两根: 0a <2320ax x -+=且, 12x x ==12302x x a <<<则, ()122124,224,x x x x x f x ax x x x x ≤≥⎧=⎨-+<<⎩或结合,得在单调递增,1231022x x a a <<<<()f x 1,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭在单调递减,在单调递增. 21,2x a ⎛⎫⎪⎝⎭()2,x +∞此时存在符合题意.,,αβγ记,则有,()()()f f f k αβγ===()212f x k f a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭此时.()221,,,,24k x x a βγγ⎛⎫∈∈+∞= ⎪⎝⎭若,则,与矛盾,所以,1x α≤4()()4f f ααγγ===αγ≠11,2x a α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则为的两根,由韦达定理,得.,αβ2224ax x k -+=1aαβ+=,此时. 14ka αβγ++=+211111,442k x f a a a a ⎛⎫⎛⎫+∈++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无最小值; 2111x a a a +==无最小值,无最大值,但值小于1. 14111172114248a f a a aa-⎛⎫+=+=+< ⎪⎝⎭所以的取值范围为.αβγ++(,1)-∞【点睛】关键点点睛:本题求解的关键有两个,一是把绝对值去掉转化为分段函数;二是根据单调区间结合根的分布情况进行求解.。
浙江理工大学_高等数学_下册_期终试卷_期末试题1
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浙江理工大学07 高等数学(A )期终试卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 总分 复核教师签名得 分阅 卷 教 师 签 名一、选择题(本题共5小题, 每小题4分,满分20分)1.二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),('00y x f x ,),('00y x f y 存在,是),(y x f 在该点可微的[ ]. (A )充分而非必要条件; (B )既非充分又非必要条件; (C )充分必要条件; (D )必要而非充分条件.2.设),(y x f 是连续函数,则⎰⎰>=axa dy y x f dx I 0)0(),(=[ ].(A )⎰⎰a y dx y x f dy 0),(; (B )⎰⎰a aydx y x f dy 0),(;(C )⎰⎰ayadx y x f dy 0),(; (D )⎰⎰aadx y x f dy 0),(.3.曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ,则点M 的坐标是[ ].(A ))2,2,1(--; (B ))2,2,1(; (C ))2,2,1(--; (D ))2,2,1(--. 4.下列级数收敛的是 [ ].(A) ∑∞=1tan n n π; (B )∑∞=+12)11ln(n n ; (C )∑∞=2ln 1n n n ; (D )∑∞=+-12)11(21)1(n n n n n . 5.微分方程x e y y y x cos 422=+'-'' 的待定特解的结构为[ ].(A) x ae y x cos = (B) xAxe y x cos =(C))cos sin (x b x a xe y x += (D) )cos sin (x b x a e y x +=二、填空题(本题共5小题, 每小题4分,满分20分)1. 已知 ,yx u =则du = . 2.设积分区域D 是由直线0=y 、1=x 及x y 2= 所围成的闭区域,则⎰⎰Dxyd σ = .3.设∑是球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333 = . 4.微分方程y y xy ln '=的通解为 .5.将函数2xx e e shx --=展开成x 的幂级数,=shx .三(本题6分)设,0=-xyz e z 求xz ∂∂.四(本题满分6分)求微分方程x y y y 234'5''-=++的通解.五(本题8分)求dy y x dx y x L⎰+--)sin ()(22其中L 是在半圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1(的一段弧.六(本题满分8分)设曲线积分dy x x xf dx x yf L⎰-+])(2[)(2在右半平面)0(>x 内与路径无关,其中)(x f 可导,且1)1(=f ,求)(x f .七(本题满分8分)将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数。
高数下期中试卷
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1、点P(4,-3,5)、向量=(3,5,8),、向量=(1,2,-1),=交换积分次序为二、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在括号中)(本大题分10小题, 每小题2分, 共20分)1、向量=(1, -1, 2),=(2, 1, 1)的夹角为…………………………………………………( );(A) /6 (B) /4 (C) /3 (D) /22、直线L:的方向向量为………………………………………………( );(A) (-2, 1, 3) (B) (2, -1, 3) (C) (-2, -1, 3) (D) (-2, 1, -3)3、直线L:与平面: 2x+y+z-6=0的交点为………………………( );(A) (-1, 2,-2) (B) (1, 2, 2) (C) (1, -2, 2) (D) (-1, 2, 2)4、向量=(2, 1, 2),=(4, -1, 10),,且,则= …………………………( );(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35、设为单位向量,且=,则……………………( );(A) 3/2 (B) -3/2 (C) 3 (D) -36、函数z=xy2在点(1,2)处沿=(1,1)的方向导数为………………………………………( );(A) (B) 2(C) 3(D) 47、曲线x=t,y=t2,z=t3在t=-1所对应的点处的法平面方程………………………………( );(A) x+2y+3z=6 (B) x-2y+3z=6 (C) x-2y+3z=-6 (D) x+2y+3z=-68、函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2有………………………………………………………………( );(A) 极大值8 (B) 极小值8 (C) 极小值-8 (D) 无极值9、平面x+y+z/2=1被三坐标面所割下的有限部分的面积为……………………………( );(A) 3 (B) 3/2 (C) (D) /210、=…………………………………………………………( ).(A) a4(B) a4 /2 (C) a4 /4 (D) a4/8三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)1、设函数z=z(x,y)由x2y-2xz+e z=1所确定,求,.解:2、设函数z=f (x2y, xy2),f(u,v)具有二阶连续偏导数,求, .解:3、求曲线y2=4x, z2=2-x在点(1,2,1)的切线和法平面方程.解:四、解答下列各题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)1、计算二重积分I=,其中D由y=与y=x2所围成的闭区域.解:2、设积分I=,(1) 将积分化为极坐标形式;(2) 计算积分值.解:3、计算三重积分I=,其中由曲面z=和平面z=2所围成的闭区域. 解:五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)1、求平面x+y+z=1与柱面x2+y2=1的交线的最高点坐标.解:2、求半径为a 的均匀上半圆薄片(面密度=1)的质心坐标.解:六、解答下列各题(本大题共2小题,每小题5分,总计10分)1、证明:曲线x=acost, y=asint, z=bt上任一点处切线都与z轴形成定角.证明:2、设在整个平面内z=f(x,y)具有连续的一阶偏导数,且满足,证明:z=f(cos,sin)只与有关.证明:。
高等数学II 期中试卷
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高等数学II 期中试卷一、选择题(每小题3分,共计 15 分)1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在(0,0)点 。
(A ).连续,偏导函数都存在; (B ).不连续,偏导函数都存在;(C ).不连续,偏导函数都不存在; (D ).连续,偏导函数都不存在。
2、二重积分⎰⎰Dxydxdy (其中D :10,02≤≤≤≤x x y )的值为 。
(A ).61; (B ).121; (C ).21; (D ).41。
3、设f 为可微函数,)(bz y f az x -=-,则=∂∂+∂∂yzb x z a 。
(A ).1; (B ).a ; (C ).b ; (D ).b a +。
4、设D 是以原点为圆心,R 为半径的圆围成的闭区域,则⎰⎰Dd xy σ= 。
(A ).44R ; (B ).34R ; (C ).24R ; (D ).4R 。
5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续,则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。
(A).12 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰;(B ).cos sin 2 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰;(C).1cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ-⎰⎰;(D ).12cos sin 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰。
二、填空题(每小题4分,共计24 分) 1、设xy xy z )(=,则=z d ,在点)2,1( P 处的梯度=P z g r a d 。
2、设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=,则=')1,(x f x 。
3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域,则()Dx y dxdy +=⎰⎰ 。
2020-2021某大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷合集1(含答案)
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1
,……6 分
n=1
2n −1
n=1
1+ x2
S(x) = S(x) − S(0) = − arctan x, x [−1,1] ……10 分
五、利用高斯公式计算曲面积分 xdydz + ydzdx + zdxdy ,其中 S 为界于 z = 0 , S
和 z = 3 之间的圆柱体 x2 + y2 9 的整个表面的外侧。
三、计算题:(共 5 小题,每小题 9 分,共 45 分)
1、已知: z = eu sin v, 其中 u = xy,v = x + y ,求 z , z 。 x y
解: z = eu sin v , z = eu cos v ,……2 分
u
v
u = y , u = x , v = v = 1,……4 分
。
三、计算题:(共 5 小题,每小题 9 分,共 45 分)
1、已知: z = eu sin v, 其中 u = xy,v = x + y ,求 z , z 。 x y
2、求函数 z = x3 y3 的所有二阶偏导数。
专业班级: 装
院系:
4、球面 x2 + y2 + z2 = 14 在点 (1, 2, 3) 处的切平面方程为
2
dx
2
f (x, y)dy =
0
x2
.
4.函数 u=xyz 在点(1,1,1)处从点(1,1,1)到点(2,3,4)的方向导数
是.
5.
设以 2
为周期函数
f
(x)
傅里叶级数为
a0 2
+
[an
n=1
cos nx + bn
浙江理工大学07~08高数A2期末试卷(含答案)
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浙江理工大学2007~2008学年第二学期高等数学A 期终试题(A )卷班级 学号 姓名 一、 选择题(每小题4分,满分28分)1、函数2222),(y x y x y x f +-= 在点)1,1(处的全微分)1,1(df 为 ( )(A) 0 (B) dy dx + (C) dx 4 (D) dy dx -2 2、设L 是从A (1,0)到B (-1,2)的直线段,则()Lx y ds +⎰= ( )(B)(C) 2 (D) 03、方程234sin 2y y x '''+=+的特解为 ( )(A)1(cos 2sin 2);2y x x =-+ (B) 31cos 222y x x =- (C)31sin 222y x x =- (D)311cos 2sin 2.222y x x x =--4、设)(x f 在),0(+∞上有连续的导数,点A )2,1(,B )8,2(在曲线22x y =上。
L为由A 到B 的任一曲线,则=++-⎰dy x xy f x dx x y f x y xy L])(1[)](22[22223( )。
(A) 20, (B) 30, (C) 35, (D) 40。
5、 设b 为大于1的自然数,对幂级数∑∞=1n bnnx a,有a a a nn n =+∞→1l i m,(1,0≠>a a ),则其收敛半径=R ( )。
(A) a , (B) a1, (C)ba , (D)ba1。
6、下列级数收敛的是 ( )(A) ∑∞=1sin n n π; (B )∑∞=1100!n n n ; (C )∑∞=+12)11ln(n n ; (D )∑∞=+-12)11(21)1(n n n nn . 7、已知曲线)(x f y =过原点,且在原点处的法线垂直于直线)(,13x y y x y ==-是微分方程02=-'-''y y y 的解,则=)(x y ( )(A )x xe e--2 (B )x x e e 2-- (C )x x e e 2-- (D )x x e e --2二、填空题(每小题4分,满分20分)1、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值, 则常数a = 。
浙江理工大学期末练习题及答案(两套)
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高等数学A 练习题(一)一. 选择题 (每题4分)1. 函数()x x x f sin = ( )A. 在()+∞∞-,内无界B. 在()+∞∞-,内有界C. 当∞→x 时为无穷大D. 当∞→x 时有有限的极限值2. 设()()x x f ϕ,在点0=x 的某邻域内连续,且当0→x 时,()x f 是()x ϕ的高阶无穷小,则当0→x 时,()⎰xtdt t f 0sin 是()⎰xdt t t 0ϕ的 ( )A. 低阶无穷小B. 高阶无穷小 B.C. 同阶非等阶无穷小D. 等阶无穷小 3. 设()xx x f ln =,则使不等式()0,0ln ln >>>b a bb aa 成立的充分条件是( )A. b a <B. b a e <<C. a b <D. a b e << 4,下列等式中正确的是( ) A. ()[]()x f dx x f d =⎰ B.()[]()dx x f dx x f dxd=⎰C. ()()x f x df =⎰D. ()()⎰+=c x f x df 5. 设函数()dt e t y xt⎰-=2201,其极大值点是( )A. 1=xB. 1-=xC. 1±=xD. 0=x二. 填空题 (每题4分)1. 设82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ,则=a __________ 2. 设()()()n x x x x y +++= 21,则()________0'=f 3. 若()c x dx x f +=⎰2,则()=-⎰dx x xf 21_________4.()⎰-=++⋅2222312sinarctan ππdx xx x _________5. 设{}{}1,3,2,2,1,3-==b a ,又ba db a c-=+=3,2,则()=d c^,______三. 计算 (每题6分) 1. 求极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→x x x x 11ln 2lim 2. 设()x y y =由⎩⎨⎧=+-=52arctan 2te t tg y t x 所确定,求dxdy3. 计算⎰++22cos12sin sin πdx xx x4. 求()dxx xex⎰+232arctan 15. 求k ,是曲线()223-=x k y 上拐点处的法线通过原点。
2017-2018学年浙江省杭州地区高 第二学期期中六校联考数学试题(解析版)
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2017-2018学年浙江省杭州地区高 第二学期期中六校联考数学试题一、单选题1.已知集合={1,2}A , ={2,3}B ,则A B ⋃= ( ) A. {}2 B. {}1,2,3 C. {}1,3 D. {}2,3 【答案】B【解析】∵{}A 12=,, {}23B =,, ∴{}1,2,3A B ⋃=故选:B2.下列函数中是奇函数的为( )A. 1y x =-B. 2y x =C. y x =D. y x = 【答案】D【解析】1y x =-为非奇非偶函数, 2y x =与y x =为偶函数, y x =为奇函数. 故选:D3.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点,则yx值为( )A.B. C.3 D. -3【答案】B 【解析】tan3003yx==-4.已知向量()2,1a =, (),2b x =-,若ab ,则a b +等于( )A. ()2,1--B. ()2,1C. ()3,1-D. ()3,1- 【答案】A【解析】因为向量()2,1a =, (),2b x =-, ab ,所以()2214x x ⨯-=⨯⇒=-,∴()2,1a =, ()4,2b =--, ()2,1a b +=--,故选A .5.已知0α<, 2πβ<,满足cos 5α=, sin 10β=,求αβ+的值( )A.4π B. 4π或34π C. 24k ππ+ D. 34π【答案】D【解析】分析:首先根据三角恒等式由cos α, sin β求出sin α, cos β,根据两角和差的余弦公式,进行转化求解即可 详解:由题意,sin α=>,则42ππα<<,cos β=,根据两角和正弦公式得, ()sin 5105102αβ+=⋅+⋅=,所以34παβ+=,故正确答案为D.点睛:本题主要考查三角函数值的计算,结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键,难点在于确定角的范围.6.△ABC 的三边分别为a ,b ,c ,且a=1,B=45°,S △ABC =2,则△ABC 的外接圆的直径为( )A. 5B.C.D. 【答案】C【解析】分析:由三角形面积公式可得c ,再由余弦定理可得b ,最后结合正弦定理即可得结果.详解:根据三角形面积公式得,11sin4522c ⋅⋅⋅︒=,得c =,则2222c o s 25b a c a c B =+-=,即5b =,2R ==,故正确答案为C. 点睛:此题主要考三角形面积公式的应用,以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能,属于中低档题型,也是常考考点.此类题的题型一般有:1.已知两边和任一边,求其他两边和一角,此时三角形形状唯一;2.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,此时三角形形状不一定唯一. 7.已知函数()1423xx f x +=--,则函数()f x 的零点所在的区间为( )A. ()10-,B. ()0,1C. ()1,2D. ()2,3 【答案】C【解析】分析:将1x =, 2x =代入函数的表达式,从而得出()()120f f <,进而求出零点所在的区间. 详解:因为()1423xx f x +=--为连续函数, ()144330f =--=-<且()2168350f =--=>,∴()()120f f ⋅<,即函数()f x 的零点所在的区间为()1,2,故正解答案为C.点睛:本题考查了函数的零点问题,特殊值代入是方法之一,本题属于基础题. 8.若,αβ均为锐角,()3sin 5ααβ=+=,则cos β=( )A.B. C. D. - 【答案】B【解析】试题分析:因为α是锐角,所以sin 2α=>,即42ππα<<.又β是锐角,且3sin()=52αβ+<,所以<2παβπ+<,所以()4cos 5αβ+=-,所以cos β=[)cos ()αβα+-=cos()cos αβα++sin()sin αβα+=4355-+=A . 【考点】1、同角三角函数间的基本关系;2、两角和与差的余弦;3、正弦函数的图象与性质.【易错点睛】本题在判断角α与αβ+的范围时是一个难点,同时也是一个易错点.如果只是一直盲目的运算,不根据条件判断出α的范围,再结合3sin()=5αβ+判断出αβ+的范围,那么很容易由sin()αβ+=35,直接得出()4cos 5αβ+=±,从而错误地得到cos βC . 9.设()1sin 1sin xx f x ee +-=+, 1,2,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且f (1x )>f (2x ),则下列结论必成立的是 ( )A. 1x >2xB. 2212x x >C. 1x <2xD. 1x +2x >0【答案】B【解析】分析:根据条件判断函数是偶函数,结合条件判断函数的单调性,进行判断即可.详解:由函数()1sin 1sin xx f x ee +-=+,易得()()f x f x -=,即()f x 为偶函数,且在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭,上为递增,由偶函数的对称性,又()()12f x f x >,则12x x >,即2212x x >,故选B.点睛:本题主要考查函数单调性的应用,根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.10.在ABC ∆中, 0P 是边AB 上一定点,满足014P B AB =,且对于边AB 上任一点P ,恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅,则 ( )A. AC BC =B. AB AC =C. 2ABC π∠=D. 2BAC π∠=【答案】A【解析】分析:由题意,以点A 为原点, AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,取()4,0B ,则()03,0P ,设()[](),00,4P a a ∈, ()00,C x y ,将向量的数量积利用坐标表示,可将问题转化为一元二次不等式恒成立问题,进而得02x =,即可得结果. 详解:由题意,以点A 为原点, AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,取()4,0B ,则()03,0P ,设()[](),00,4P a a ∈, ()00,C x y ,则()4,0P B a =-,()00,PC x a y =-, ()01,0P B =, ()0003,PC x y =-,则()()0043a x a x --≥-,即()2004330a x a x -+++≥恒成立,所以()()20044330x x ⎡⎤∆=-+-+≤⎣⎦,即()2020x -≤,解得02x =,则易知点C 在边AB 的垂直平分线上,所以AC BC =,故选A.点睛:此题主要考查坐标法在解决平面向量问题中的应用,以及方程思想在解决平面向量中的体现,属于中高档题型,也是常考考点.在解决此类问题过程中,首先根据题目背景建立科学的直角坐标系,将向量问题转化为代数问题,经过向量的代数运算,通过向量的结果来解释相关的几何关系,从而问题可得解.二、填空题11.238=__________, log =__________. 【答案】 412【解析】2232338224⨯===, 1221log log 22==.故答案为:4,12. 12.在平行四边形ABCD 中, 3AB =, 2BC =, 1AB e AB=, 2AD e AD=,若12AC xe ye =+,则x =_______; y =_____________.【答案】 3 2【解析】分析:根据平行四边形法则及数乘向量的概念可得AC AB BC =+,及13AB e =, 22BC e =,进而可得结论.详解:由题意,根据向量加法的平行四边形法则,知AC AB BC =+,又13AB e =,22BC e =,所以1232AC e e =+,即3,2x y ==.点睛:本题主要考查了向量的加法,平面向量的基本定理及其意义的应用,属于基础题. 13.已知πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则tan x =__________. 【答案】13【解析】∵πtan tanπtan 14tan 2π41tan 1tan tan 4x x x x x ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅,∴可得1tan 3x =,故答案为13. 14.在△ABC 中,若A=60°,C=45°,b=4,则此三角形的最小边是_____.【答案】4【解析】分析:由三角形内角和定理,算出18075B A C =︒--=︒,可得C 是最小内角,所以c 为此三角形的最小边,再根据正弦定理,即可得到答案.详解:由题意知,最小的边是c , 180604575B =︒-︒-︒=︒,根据正弦定理sin sin c bC B =,得s i n 4s i n454s i n s i n 75b C c B ⨯︒====︒,故答案为4. 点睛:本题给出三角形的边和角,求它的最小边长.着重考查了三角形内角和定理和正弦定理解三角形等知识,属于基础题. 15.已知函数()224sin sin 2sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅+-> ⎪⎝⎭在区间3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,且在区间[0, π]上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围是__________.【答案】12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分析:由正弦函数可知, ()2sin f x x ω=,根据三角函数的单调性得x ,则22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,是函数含原点的递增区间列出不等式24{ 324ππωππω-≤-≥,再根据正弦函数在2,2k k Z ππ+∈取得最大值的性质解答即可.详解:由已知,根据二倍公式对函数解析式进行化简整理得, ()2sin f x x ω=,由()2222k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈,得2222k k x ππππωωωω-+≤≤+,则24{ 324ππωππω-≤-≥,整理得203ω<≤,又函数在[]0,π上恰好取得一次最大值,根据正弦函数的性质可知22x k k Z πωπ=+∈,,即函数在22k x ππωω=+处取得最大值,可得02ππω≤≤,∴12ω≥,综上,可得1223ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,故答案是12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点睛:本题主要考查正弦函数的图象和性质,研究有关三角的函数时要利用整体思想,灵活应用三角函数的图象和性质解题,属于基本知识的考查.16.已知向量a , b 满足232a b a b -=+=,则a 的取值范围是______. 【答案】2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分析:两次运用绝对值三角不等式36263626a b a b a b a b -++≥-++以及632663265b a a b b a a b a --+≤---=即可求出.详解:由22a b -=,得366a b -=,由32a b +=,得264a b +=, ∴64362636265a b a b a b a b a +=-++≥-++=,即2a ≤, ∵64632663265b a a b b a a b a -=--+≤---=,即25a ≥,从而可得a 的取值范围为225⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.点睛:本题考查了向量的模的计算以及绝对值三角不等式,此题的难点在于构造632663265b a a b b a a b a --+≤---=,属于基础题.三、解答题17.平面直角坐标系xOy 中,A (1,0),B (0,1),C (2,5),D 是AC 上的动点,满足()AD AC R λλ=∈. (1)求2AB AC +的值; (2)求cos ∠BAC ;(3)若BD BA ⊥,求实数λ的值.【答案】(1)52;(2)(3)12【解析】试题分析:(1)由题意,根据平面向量的坐标表示及运算法则,结合向量模的坐标运算,从而问题可得解决;(2)根据向量数量积的定义,以及数量积、模的坐标表示,进行转化运算,从而问题可得解;(3)根据共线坐标的坐标表示及运算,结合垂直向量的坐标运算,从而问题可得解. 试题解析:(1)因为,,所以(2)因为所以(3))因为,所以即(λ+1)×1+(5λ﹣1)×(﹣1)=0,解得点睛:此题主要考平面向量的坐标表示,以及平面向量的模、共线、垂直、数量积、夹角的坐标运算等有关方面的知识与技能,属于中档题型.通过坐标表示平面向量数量积有有关运算,揭示几何图形与代数运算之间的内联系,明确数学是研究数与形有机结合的学科.18.设函数()πcos 23f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. (1)求函数的单调递增区间; (2)求在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,函数的值域.【答案】(1)πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦;(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析:(1)利用两角和的余弦公式以及两角和的正弦公式化简()f x ,可得()π26f x sin x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+解不等式可得函数的单调递增区间;(2)由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可得ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,从而根据正弦函数的性质可得函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 试题解析:(1)()π11πcos 2cos2cos2sin 23226f x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+, k Z ∈, 则ππππ36k x k -+≤≤+, k Z ∈,∴函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦, ()k Z ∈.(2)∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, ∴π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【方法点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式以及三角函数的单调性,属于中档题. ()sin y A x ωϕ=+的函数的单调区间的求法:(1) 代换法:①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体,由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间, 2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间;②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正,再利用①的方法,或根据复合函数的单调性规律进行求解;(2) 图象法:画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间.19.在锐角ABC 中, a , b , c 为内角A , B , C 的对边,且满足()2cos 0c a cosB b A --=.(1)求角B 的大小.(2)已知2c =,边AC边上的高BD =ABC 的面积S 的值. 【答案】(1)3π;(2【解析】试题分析:(1)由()2cos 0c a cosB b A --=,利用正弦定理和三角函数的恒等变换, 可得1cos 2B =,即可得到角B 的值; (2)由三角形的面积公式,代入c ,解得,sin BD B 的值,及b 的值,再根据余弦定理,求得,a b 的值,由三角形的面积公式,即可求解三角形的面积. 试题解析:(1)∵()2cos 0c a cosB b A --=,由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0C A B B A --=, ∴()2sin sin sin cos C A cosB B A -=,()2sin cos sin 0C B A B -+=,∵πA B C +=-且sin 0C ≠,∴1cos 2B =, ∵()0,πB ∈, π3B =. (2)∵11sin 22S ac B BD b ==⋅,代入c ,BD =,sin B =b =,由余弦定理得: 22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-,代入b =,得29180a a -+=,解得3{a b ==,或6{a b ==,又∵锐角三角形,∴222a cb <+,∴3a =,∴11sin 2322ABCSac B ==⨯⨯=20.已知0a ≥ ,函数()24f x x x a a =--+.(Ⅰ)若1a =,求函数()f x 的值域;(Ⅱ)若函数()f x 在[]1,4上不.单调,求实数a 的取值范围; (Ⅲ)若12,x x 是函数()()g x f x t =-(t 为实数)的其中两个零点,且12x a x ≤<,求当,a t 变化时, 12x x +的最大值.【答案】(Ⅰ)[)7,-+∞(Ⅱ)02a ≤<(Ⅲ)4 【解析】试题分析:(1)由1a =,得()2245,1,{43,1,x x x f x x x x -+≥=+-<然后分段求值域即可;(2)分类讨论a ,明确函数的单调区间,从而得到实数a 的取值范围;(3) 对a 的取值进行分类讨论,分别用a 表示12x x +,分析其单调性后,可得12x x +的取值范围,进而得到最大值. 试题解析:(Ⅰ)解:由1a =,得()22245,1,411{ 43,1,x x x f x x x x x x -+≥=--+=+-<当1x ≥时,2451x x -+≥,当1x <时, 2437x x +-≥-, ∴函数()f x 的值域是[)7,-+∞.(Ⅱ)解: ()22245,,4{43,.x x a x a f x x x a a x x a x a -+≥=--+=+-<当2a ≥时,函数()f x 在(]1,4上单调递增;当12a <<时,函数在(]1,a , (]2,4上单调递增,在(],2a 上单调递减;当01a ≤≤时,函数在(]1,2上单调递减,在(]2,4上单调递增; ∴ 02a ≤<.(III )解: ()22245,,4{43,,x x a x a f x x x a a x x a x a -+≥=--+=+-<记()2145f x x x a =-+,()2243f x x x a =+-.当()1254t f a ≥=-时,方程245x x a t -+=的根分别为1222αα==;当()2234t f a ≥-=--时,方程243x x a t +-=的根分别为1222ββ=-=-.12x a x ≤<, ∴ 54t a ≥-.(1)当02a ≤<时, ①当()2t f a a a >=+时,第 11 页 共 11 页121222x x αβ+=+=0==≤. ②当254a t a a -≤≤+时,121122x x αβ+≤+==224a a =-++=.(2)当2a ≥时,12220x x +==<. 综上所述, 12x x +的最大值为4.。
09-10浙江工业大学高等数学A(下)期末试卷.
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09/10浙江工业大学高等数学A(下)期末试卷
学院:班级:姓名:学号:任课教师:
题号一二三四五六总分
得分
一、填空题(每小题3分):
1、设,则。
2、,则。
3、已知则dz= 。
4、函数在闭区域x0,y0,x+y1上的最大值是。
5、若,且当x = 0是z = sin y ;y = 0时,z = sin x,则函数z (x, y= .。
6、积分化为极坐标下的二次积分是。
7、设的外侧,则下列等式正确的是。
A、
B、
C、
8、设L为圆周,则。
9、级数的和是。
10、函数展开为麦克劳林级数的收敛半径是。
11、设幂级数的收敛域为(-4,2),则幂级数的收敛区间是(不讨论端点)。
二、试解下列各题(每小题6分):
1、一平面过A(1,1,1)和B(0,1,-1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程。
2、设,其中是二次可微函数,求:
3、求曲线在点(1,1,1)处的切线及法平面方程。
三、试解下列各题(每小题6分):
1、求,其中D是由直线y=x,x=2及曲线xy=1所围成的闭区域。
2、设L是正方形的正向边界,求。
3、求,其中是球面的外侧。
四、试解下列各题(每小题4分):
1、判别级数的收敛性。
2、判别级数的收敛性。
3、设是单调增加的正数列,且游街,证明:级数收敛。
五、(12分)求曲面和z = 0 所围成空间体的体积V和表面S。
六、(7分)求两直线与之间的最短距离。
浙江理工大学 线性代数 期终试卷
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2004/2005学年第一学期《线性代数》期终试卷(A )一.选择题:(分)1.已知111222333a b c a b c m a b c =,则111122223333232323a b c c a b c c a b c c ++=+( )。
(A )2m ; (B )3m ; (C )6m ; (D )12m 。
2.设A,B 为n 阶矩阵,下列命题正确的是( )。
(A )2222)(B AB A B A ++=+; (B )22))((B A B A B A -=-+; (C )))((2E A E A E A -+=-; (D )222)(B A AB =。
3.若向量组321,,a a a 线性无关,向量组421,,a a a 线性相关,则( )成立。
(A )1a 可由432,,a a a 线性表示; (B )1a 不可由432,,a a a 线性表示; (C )4a 可由321,,a a a 线性表示; (D )4a 不可由321,,a a a 线性表示。
4.设0=Ax 是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次线性方程组,则( )。
(A )0=Ax 只有零解时,b Ax =有惟一解; (B )0=Ax 有非零解时,b Ax =有无穷多解; (C )b Ax =有无穷多解时,0=Ax 只有零解; (D )b Ax =有无穷多解时,0=Ax 有非零解。
5.n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是( )。
(A )A 有n 个不同的特征值; (B )E A λ-是一元n 次多项式; (C )A 有n 个不同的特征向量; (D )A 有n 个线性无关的特征向量。
二.填空题:(5420⨯=分)1.如果0111111=xx x ,则=x 。
2.设A 为三阶矩阵,且2=A ,则=--1*2A A 。
3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 11522111,且2)(=A R ,则=t 。
4.设三元线性方程组b Ax =的两个特解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,43211ηη,且2)(=A R 。
浙江理工大学10-11-2概率论B期末卷1
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《 概率论B 》期末试卷(A )卷班级: 学号: 姓名:一、选择题(每小题3分,共18分)1. 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为A. “甲种产品滞销,乙种产品畅销”;B. “甲、乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”;D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 2. 若()1P B A =,那么下列命题中正确的是A. A B ⊂B. B A ⊂C. A B -=∅D. ()0P A B -=3. 袋中有6只红球,4只黑球,今从袋中随机取出4只球。
设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1分,则得分不大于6分的概率是A.4223 B. 74 C. 4225 D. 2113 4. 设随机变量X 的取值范围是()1,1-,以下函数可作为X 的概率密度的是A. 111;,()2.0,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它 B. 2,11;(),.0x x f x -<<⎧=⎨⎩其它C. ,11;()0,.x x f x -<<⎧=⎨⎩其它D. 2,11;()0,.x f x -<<⎧=⎨⎩其它5. 设随机变量X 和Y 独立同分布,记Y X V Y X U +=-=,,则随机变量U 与V 必然A. 不独立B. 独立C. 相关系数不为零D. 相关系数为零6. 设随机变量()()()10,12,2,10,14X B Y N E XY = ,则相关系数XY ρ=A. -0.8 B. -0.16 C. 0.16 D. 0.8二、填空题(每题4分 共20分)1. 设A ,B 为随机事件,()0.5,()0.6,()0.8P A P B P B A ===,则=)(AUB P2.则P _3. 已知随机变量X 的概率密度为(),xf x Aex -=-∞<<+∞,则A = ;X 的分布函数为=)(x F4. 设随机变量),(~p n B X ,且05.1)(,5.3)(==X D X E ,则==)2(X P 5. 设随机变量X 1,X 2,Y 满足()()12,1,,3Cov X Y Cov X Y ==,则()1223,Cov X X Y ++=三、计算题(8+10+7+13+5+9+10=62)1. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5。
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2003/2004学年第二学期《高等数学(A )》期终试卷
一、选择题(本题共5小题, 每小题4分,满分20分)
1.二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),('00y x f x ,),('00y x f y 存在,是),(y x f 在该点可微的[ ]. (A )充分而非必要条件; (B )既非充分又非必要条件; (C )充分必要条件; (D )必要而非充分条件.
2.设),(y x f 是连续函数,则⎰⎰
>=a
x
a dy y x f dx I 0
)0(),(=[ ].
(A )⎰⎰
a
y
dx y x f dy 0
),(; (B )⎰⎰
a
a
y
dx y x f dy 0
),(;
(C )⎰⎰a
y
a
dx y x f dy 0
),(; (D )⎰⎰
a
a
dx y x f dy 0
),(.
3.曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ,则点M 的坐标是[ ].
(A ))2,2,1(--; (B ))2,2,1(; (C ))2,2,1(--; (D ))2,2,1(--. 4.下列级数收敛的是 [ ].
(A) ∑∞
=1tan n n π
; (B )∑∞
=+12)11ln(n n ; (C )∑
∞=2ln 1n n n ; (D )∑∞
=+-1
2)11(21)1(n n n n n . 5.微分方程x e y y y x cos 422=+'-'' 的待定特解的结构为[ ].
(A) x ae y x cos = (B) x
Axe y x cos =(C))cos sin (x b x a xe y x += (D) )
cos sin (x b x a e y x +=
二、填空题(本题共5小题, 每小题4分,满分20分)
1. 已知 ,y x u =则du = . 2.设积分区域D 是由直线0=y 、1=x 及x y 2= 所围成的闭区域,则⎰⎰D
xyd σ = .
3.设∑是球面2
2
2
2
a z y x =++的外侧,则
⎰⎰∑
++dxdy z dzdx y dydz x 3
33 = . 4.微分方程y y xy ln '=的通解为 .
5.将函数2
x
x e e shx --=展开成x 的幂级数,=shx .
三(本题6分)设,0=-xyz e z 求x
z ∂∂.
四(本题满分6分)求微分方程x y y y 234'5''-=++的通解.
五(本题8分)求dy y x dx y x L
⎰
+--)sin ()(22其中L 是在半圆周22x x y -=
上由点)0,0(到点)1,1(的一段弧.
六(本题满分8分)设曲线积分
dy x x xf dx x yf L
⎰
-+])(2[)(2在右半平面)0(>x 内与路径无关,其中)(x f 可导,且
1)1(=f ,求)(x f .
七(本题满分8分)将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数。
八(本题满分8分)、求
⎰⎰⎰
Ω
+dv y x )(2
2,其中Ω是由曲线0,22==x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8,2==z z 所围的立体。
九(本题满分8分)、求级数1
201
2)1(+∞
=∑+-n n n x n 的收敛区间及和函数.
十(本题满分5分)设函数)0)((≥x x y 二阶可导且)(x y '>0,.1)0(=y 过曲线)(x y y =上任意一点),(y x P 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间],0[x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ,并设212S S -恒为1,求此曲线)(x y y =的方程。
十一(本题满分3分)证明级数)cos 1()1(1
n n n α
--∑∞
= 绝对收敛(0≠α常数)。