第六章力法

x2
wk.baidu.comx2
x1
x2
x3
(b1)
(b2)
练习
（图1）
（图2）
§6-2
力法的基本概念
基本未知量
基本思路
基本体系 基本方程
力法的解题步骤
1、基本思路
q
A
B
A
多一个未 知支反力 X1q
B
x1
1）力法的基本未知量
力法的基本未知量是超静定结构多余 约束中的多余力
2）力法的基本体系
q
A B A
q
B
x 1
(a)原结构 图6-5
1 L L3 L L EI 2 2EI
2P
53FP L3 1 FP L 1 1 FP L L 2L 1 L L L 2 2 2 3 3 2 96EI EI 2 2EI
6`
1、超静定刚架
例1 计算图(a)所示超静定刚架，并作 弯矩图。
B C
A L/2 L/2
(a)
L
解：
1) 确定基本未知量，并选择基本体系。
B C x2 x1
A
(b)基本体系
B
C x1=1 B
L
L
C x 2=1
B
C
A
L
A
A
(b1)
(b2)
(b3)
2)计算系数和自由项
1 1 2 L3 11 L L L EI 2 3 3EI
0 0 0 0 0 0 0
iP ——由荷载产生的沿Xi方向的位移。

——由单位力 X j 1 产生的沿Xi方向 ij 的位移，常称为柔度系数。
柔度矩阵的特征：
在柔度矩阵的主对角线上（左上角至右 下角的斜直线）排列的是主系数。主对 角线两侧，排列的是副系数。根据位移 互等定理，在主对角线两侧对称位置上 的副系数互等。
X1=1
11 X 1 1P 0
M1图
l
MP图
l
ql2/2
（2）分别绘出基本结构单位未知力引起 单位力矩图以及荷载弯矩图，图乘法求 得： 4 3 1P ql 8EI 11 2l 3EI
（3）将系数和自由项的值代入典 型方程，解方程得 X1 3ql 16
（4） 按叠加公式计算各杆端弯矩植，并 在各杆段内用叠加法
11 12 1P 1 21 22 2 P 2
(a)
引入位移影响系数,并代入位移条件， 式(a)写成：
11 X1 12 X 2 1 p 0
21 X1 22 X 2 2 p 0
(b)
式(b)是两次超静定结构在荷载作 用下的力法方程。
qL2 8
A B
(e)
4）力法基本未知量的确定
确定力法基本未知量，即要求确定多余 力的数量，同时也要求确定相应的基本 体系。
一个超静定结构的多余约束数是一定的， 但是基本体系却不是唯一的，如下图。
A B
A C
B x 1
C
x 2
(a)原结构
2 2 x xx 1 A B
(b)基本结构1
C
(c)基本结构2
(c)
(5)
作弯矩图。见图(f)。
qL2 12
qL2 12
B A
qL2 24
(f)M图
利用前面已作各弯矩图，叠加求出杆端 （控制截面）弯矩值：
M AB M 1AB x1 M 2 AB x2 M PAB
M AB qL qL 1 ( ) 0 x2 0 （上侧受拉） 12 12
3)将系数和自由项代入力法方程，并化简：
1 1 F X1 X 2 P 0 3 2 4 1 7 53FP X1 X 2 0 2 6 96
X1
解得：
9 FP 80
17 X2 FP 40
4)计算杆端弯矩，并作弯矩图
M AB F L 3F L 9 17 FP L FP L P P 80 40 2 80
(b)基本体系
3）力法的基本方程
q
A B
A
q
B x 1
(a)原结构
(b)基本体系
该条件可表示为：
1 0
(a)
利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、 多余力单独作用的两种情况，分别分析后在 叠加。分解后，见图(c)、(d)所示
q
B A
A
B
(c)
x1
(d)
11 与 1P 叠加 得： 11 + 1P = 1 0 即： 11+ 1P = 0 使 11 = 11 x1 式(b)改写成：
（1） 切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相 当于去掉一个约束；
（2）切开一个单铰或去掉一个固定铰 支座，相当于去掉两个约束；
（3）切断一根连续杆或去掉一个固定
支座，相当于去掉三个约束；
（4） 将固定端换成固定铰支座或在一根 连续杆上加一个单铰，相当于去掉 三个约束。
用拆除约束法判定结构的超静定次数， 应注意：
(a)
3)求力法方程中的系数和自由项。
（1） 作基本结构分别在各多余力及荷载作用 下的弯矩图。见图(c)、(d)、(e)。
1 x=1
A
B
(c)
1 x=1 B
A
(d)
A B
(e)
11 X1 12 X 2 1 p 0
(2)
图乘求系数和自由项。
21
X1 22 X 2 2 p 0
的竖标相乘得出，叫做自乘。 12 可由 M 2 图的面积与该面积形心 对应的 M 1 图的竖标相乘得出，叫做 互乘。 由此，将求柔度系数和自由项的过程，演 变成各弯矩图自乘或互乘的过程。
11 可由 M 1 的面积与该面积形心处
11 22
1 1 2 L ( 1 L 1) EI 2 3 3EI
（右侧受拉）
M BC M BA
FP L 3FP L 17 FP L （左、上侧受拉） 40 2 40
B
C
A
(d)M图
2、超静定排架
例2 用力法计算，并作出图示结构 的M图。EI=常数。
EA
∞
X1
EI
EI
l
解答：（1）截断链杆的轴向约束，取基本 结构如图b所示。
l
基本 体系
力法典型方程为:
2、 多次超静定结构的力法方程
B
A
(a)
取原结构的力法基本体系如图(b)
x2 A B x1
(b)
1 0
2 0
x1 方向的位移条件
x2 方向的位移条件
分别考虑基本结构在各个多余力、 荷载单独作用下的位移情况，见图 (c)、(d)、(e)所示。
A
B x2
(c)
A
B
(d)
x1
A
B
(e) 将各因素单独作用基本结构的位移 叠加，得：
1`
确定结构的力法基本未知量，并绘出 相应的力法基本体系；
2` 3` 4` 5`
作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷 载作用下的弯矩图； 求力法方程中的系数和自由项；
将系数和自由项代入力法方程，求解多 余未知力； 叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构 的弯矩图； 由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图 作结构的轴力图；
……………
n1 X1 n2 X 2 ni X i nn X n nP 0
(6-4)
上式即力法典型方程，其实质是 是力法基本体系位移与原结构一 致的位移条件。
写成矩阵形式：
11 12 21 22 i1 i 2 n1 n 2
M M1 X1 M P
M图
绘出弯矩图， 如图所示。
L L qL3 X1 X2 0 3EI 6 EI 24EI L L qL3 X1 X2 0 6 EI 3EI 24EI
简化为：
1 qL2 X1 X 2 0 2 8 1 qL2 X1 X 2 0 2 8
(b)
解方程，得：
qL X1 12
2
qL2 X2 12
第二部分 超静定结构
第6章
• • • • • • •
力法
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数 §6-2 力法的基本概念 §6-3 超静定刚架和排架 §6-4 超静定桁架和组合结构 §6-5 对称结构的计算 §6-6 两铰拱 §6-8支座移动和温度改变时的计算
§6-1
超静定结构的组成 和超静定次数
n次超静定结构的力法方程 ——力法典型方程
由两次超静定结构的力法方程推广，得：
11 X 1 12 X 2 1i X i 1n xn 1P 0 21 X 1 22 X 2 2i X i 2n xn 2 P 0
例3
使用力法计算图(a)所示超静定梁，并作 弯矩图。
B A L
(a)
解：
1)判定梁的超静定次数，并确定相应的力 法基本体系。见图(b)。
x1 A x2 B
(b)基本体系
2)写力法方程。
11 X1 12 X 2 1 p 0
21 X1 22 X 2 2 p 0
A
1 x=1
B
12 21
1 1 1 L ( 1 L 1) EI 2 3 6 EI
A
1 x=1 B
1P 2 P
1 2 qL2 1 qL3 ( L 1) EI 3 8 2 24EI
A
B
(4)
将所得系数和自由项代入力法方程(a)， 并求解多余力。
X1= 1P/ 11
例6-2 试用力法计算图(a)所示超静定 梁，并作梁的弯矩图。
q
A
B
(a)原结构
解： 1)取基本体系如图(b)。 q
A B x 1
(b)基本体系
作 M 1 图和M P 图 见图(c)、(d)
A L B
1 x=1
qL2 2
A
q
B
(c)
(d)
作弯矩图，见图(e)。
qL2 8
2 2
M BA M 1BA x1 M 2 BA x2 M PBA
M BA qL qL 0 x1 1 0 12 12
2 2
（下侧受拉）
说明：
(1)超静定结构的内力只与杆件刚度EI的 相对值有关，而与其绝对值无关。 (2)作最后弯矩图的叠加公式：
(3)力法解题一般步骤：（针对梁和刚架， 并仅在荷载作用下）
=
(b)
11 x1 + 1P
0
(c)
力法基本方程，是基本结构上多余力处 沿多余力方向的位移与原结构一致的条 件。即位移条件。
力法的基本原理
q 1 l 原结构 基本结构 x1 1P x1 q q 1X
位移条件： 1P+ 11=0 因为
11= 11X1
11
x1=1
所以 11X1 +1P =0
• 超静定结构的组成
• 超静定次数
超静定结构的组成
静定结构:结构的反力和各截 面的内力都可以用静力平衡 条件唯一确定。 超静定结构:结构的反力和各 截面的内力不能完全由静力 平衡条件加以确定。 从几何组成分析中可知：静定结构和超静定结构 都是几何不变体体系，而静定结构没有多余的约 束，超静定结构存在多余约束.
超静定结构的类型 （1）超静定梁 （2）超静定刚架 （3）超静定桁架 （4）超静定拱 （5）超静定组合结构
超静定次数的确定
拆除约束法。即逐一拆除结构的约束，直到 其成为静定结构（力法基本结构），则拆除 的约束就是多余约束，其数量就是力法的基 本未知量数。 拆除约束法常要用到约束的个数，现归纳如 下：
1i 2i ii ni
ij

1n 2n in nn
X1 X 2 X i + X n
1 P 2P iP = nP
22
1 1 2 1 7 L3 L L L L L L 2EI 2 3 EI 6EI
B
C x1=1 B
L
L
C x 2=1
B
C
A
L
A
A
(b1)
12 21
(b2)
1P
(b3)
FP L3 1 FP L L L EI 2 2 4EI
（1） 结构上的多余约束一定要拆干净， 即最后应是一个无多余约束的几何 不变体系； （2） 要避免将必要约束拆掉，即最后不应 是几何可变体系或几何瞬变体系。
例6-1 试确定图(a)、(b)所示结构的超静定 次数。 x
2
x1
x2
x1 x3
x3 x2 x1
x3
(a)
(a1)
(a2)
x2
(b)
x1
x1