一3奥林匹克训练题库·方程法
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-方程与函数
初中数学竞赛辅导讲义---方程与函数方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．【例题求解】【例1】 若关于的方程mx x =-1有解，则实数m 的取值范围 ．思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数x y -=1，mx y =函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m 的取值范围．【例2】设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根1x ，2x ，且1x <1<2x ，那么a 取值范围是( )A ．5272<<-aB ．52>a C ．72-<a D ．0112<<-a思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与x 轴的交点满足1x <1<2x 的a 的值，注意判别式的隐含制约．【例3】 已知抛物线0)21(22=+-+=a x a x y (0≠a )与x 轴交于两点A(1x ，0)，B(2x ，0)( 1x ≠2x )．(1)求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点O 的左侧；(2)若抛物线与y 轴交于点C ，且OA+OB ＝OC 一2，求a 的值．思路点拨 1x 、2x 是方程0)21(22=+-+a x a x 的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．【例4】 抛物线)1(2)45(2212+++-=m x m x y 与y 轴的正半轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，并且点B 在A 的右边，△ABC 的面积是△OAC 面积的3倍．(1)求这条抛物线的解析式；(2)判断△OBC 与△OCA 是否相似，并说明理由．思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m 的等式，求出m 的值；对于(2)依m 的值分类讨论．【例5】 已知抛物线q px x y ++=2上有一点M(，0y )位于x 轴下方．(1)求证：此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(，0)，且1x <2x ，求证：1x <0x <2x ．思路点拨 对于(1)，即要证042>-q p ；对于(2)，即要证0))((2010<--x x x x ．注：(1)抛物线与x 轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象与x 轴交于A （1x ，0），B(，0)两点，顶点为C ．①△ABC 是直角三角形的充要条件是：△=442=-ac b ．②△ABC 是等边三角形的充要条件是：△=1242=-ac b学历训练1．已知关于x 的函数1)1(2)6(2++-++=m x m x m y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是 ．2．已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于A (α，0)，B(β，0)两点，且1722=+βα，则=k ．3．已知二次函数y=kx 2+(2k －1)x —1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l ；②当x>x 2，时，y>O ；③方程kx 2+l(2k －1)x —l=O 有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1<－l ，x 2>－l ；⑤x 2－x 1=k k 241+，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ．4．设函数)5(4)1(2+-+-=k x k x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k ＝( )．A ．8B ．一4C ．1lD ．一4或115．已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A(x 1,0)、B(x 2，0)两点，其顶点坐标为P(－2b ，4b -4c 2)，AB ＝｜x 1－x 2|，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是 ( ) A ．b 2－4c+1= 0 B ．b 2－4c －1=0C ．b 2－4c+4=0D ．b 2－4c －4=06．已知方程1+=ax x 有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是( )A ．a >-1B ．a ＝1C ．a ≥1D ．非上述答案7．已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图，二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系？（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=43，求a 、c 的值．8．已知：抛物线c bx ax y ++=2过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为21，与x 轴分别交于B(x 1,0)、C(x 2，0)两点(其中且1x <2x )，且132221=+x x ．(1)求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)设此抛物线与y 轴交于D 点，点M 是抛物线上的点，若△MBO 的面积为△DOC 面积的32倍，求点M 的坐标． 9．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A （1x ，0）、B （2x ，0），交y 轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO OB AO .（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则= .11．函数732+-=x x y 的图象与函数63322+-+-=x x x x y 的图象的交点个数是 ．12．已知a 、b 为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为 ．13．是否存在这样的实数k ，使得二次方程0)23()12(2=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．14．设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点． (1)求a 的值；(2)求61832-+a a 的值．15．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程0)4)(1(2)67(2=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O ，顶点坐标为(1，一2)，与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且满足关系式OB OA OC ⋅=2．(1)求二次函数的解析式；(2)求△ABC 的面积．17．设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点A （1x ，0）、B （2x ，0）．(1)求证：032221>++p x px ；(2)若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求P 的最大值．(参考答案。
小学解方程奥数练习题
小学解方程奥数练习题解方程是小学奥数中的重要内容之一。
通过解方程，可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
下面是一些小学解方程的奥数练习题，供同学们参考和练习。
1. 题目一有一组数，其中两个数的和是24，这两个数分别是多少？解题思路：设这两个数分别为x和y，题目中已知它们的和为24，即x + y = 24。
我们可以通过代入法来解方程，将y用x的形式表示出来，然后将其代入方程中，得到x的值。
最后再利用x的值来求出y的值。
2. 题目二一个数的三分之一与它本身的和是24，这个数是多少？解题思路：设这个数为x，题目中已知它的三分之一与它本身的和为24，即(1/3)x + x = 24。
我们可以通过求解这个方程来得到x的值。
3. 题目三一个数的两倍加上5的结果是17，这个数是多少？解题思路：设这个数为x，题目中已知它的两倍加上5的结果是17，即2x + 5 = 17。
我们可以通过求解这个方程来得到x的值。
4. 题目四一个数的一半减去3的结果是5，这个数是多少？解题思路：设这个数为x，题目中已知它的一半减去3的结果是5，即(1/2)x - 3 = 5。
我们可以通过求解这个方程来得到x的值。
5. 题目五一个数的平方减去7的平方等于48，这个数是多少？解题思路：设这个数为x，题目中已知它的平方减去7的平方等于48，即x^2 - 7^2 = 48。
我们可以通过求解这个方程来得到x的值。
6. 题目六一个数的平方根加上5的结果是9，这个数是多少？解题思路：设这个数为x，题目中已知它的平方根加上5的结果是9，即√x + 5 = 9。
我们可以通过求解这个方程来得到x的值。
通过以上几个小学解方程的奥数练习题，希望同学们能够掌握解方程的方法和技巧。
解方程需要运用到代入法、化简等数学知识，同时也需要思维的灵活性和逻辑的推理能力。
只有不断练习和积累，才能在解决问题时游刃有余，取得好成绩。
希望同学们能够善于思考，勇于挑战，不断提高自己的解题能力。
解方程奥数练习题
解方程奥数练习题解方程是数学中的基础内容之一，也是奥数竞赛中常见的题型。
通过解方程可以培养学生的逻辑思维和数学运算能力。
本文将为大家提供一些奥数解方程的练习题，并给出详细的解题步骤。
1. 题目一：2x + 5 = 11解题步骤：首先，将方程中的常数项5移至等式右侧。
2x = 11 - 52x = 6接下来，将方程中的系数2移至等式右侧。
x = 6 ÷ 2x = 3所以，方程的解为 x = 3。
2. 题目二：3(x + 2) = 15解题步骤：首先，使用分配律展开括号。
3x + 6 = 15接下来，将方程中的常数项6移至等式右侧。
3x = 15 - 63x = 9最后，将方程中的系数3移至等式右侧。
x = 9 ÷ 3x = 3所以，方程的解为 x = 3。
3. 题目三：4(x - 5) = 3x + 2解题步骤：首先，使用分配律展开括号。
4x - 20 = 3x + 2接下来，将方程中的常数项-20移至等式右侧，将系数3x移至等式左侧。
4x - 3x = 2 + 20x = 22所以，方程的解为 x = 22。
4. 题目四：2(3x + 4) = 2x + 9解题步骤：首先，使用分配律展开括号。
6x + 8 = 2x + 9接下来，将方程中的常数项8移至等式右侧，将系数2x移至等式左侧。
6x - 2x = 9 - 84x = 1最后，将方程中的系数4移至等式右侧。
x = 1 ÷ 4x = 0.25所以，方程的解为 x = 0.25。
5. 题目五：2(x + 3) + 3(x - 1) = 20解题步骤：首先，使用分配律展开括号。
2x + 6 + 3x - 3 = 20接下来，将方程中的常数项合并。
2x + 3x + 6 - 3 = 205x + 3 = 20再将方程中的常数项3移至等式右侧。
5x = 20 - 35x = 17最后，将方程中的系数5移至等式右侧。
x = 17 ÷ 5x ≈ 3.4所以，方程的解为x ≈ 3.4。
奥林匹克数学题型一元二次方程
奥林匹克数学题型一元二次方程二次方程是数学中最常见且重要的方程之一，它的形式通常为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x是未知数。
在奥林匹克数学竞赛中，一元二次方程常常作为题目的出发点，要求解题者根据方程的性质和特点，运用巧妙的数学方法来解决问题。
本篇文章将探讨奥林匹克数学竞赛中涉及一元二次方程的几种常见题目类型。
一、求根公式的应用在解一元二次方程时，求根公式是最经典的方法之一。
对于任意一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)在使用求根公式时，需要注意方程的系数以及判别式的正负。
当判别式大于零时，方程有两个实根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实根；当判别式小于零时，方程无实根。
例如，考虑一道典型的奥林匹克数学竞赛题目：已知方程x^2 - 3x + 2 + √(x^2 - 3x + 2) = 4的解集为A，求A的并集与交集之和。
解题思路：首先，将方程整理为一般形式x^2 - 3x + (2 + √(x^2 - 3x + 2) - 4) = 0。
然后，观察方程可知，它等价于(x - 1)(x - 2) = 0。
因此，方程的解为x = 1或者x = 2。
根据解的性质，我们可以得出解集A = {1, 2}。
所以A的并集与交集之和即为{1, 2}。
二、二次方程的图像性质了解二次方程的图像性质对于解题非常有帮助。
一元二次方程的图像是一个抛物线，它的开口方向和性质与二次方程的系数有关。
1. 当a > 0时，抛物线开口向上，并且最低点（顶点）处在x轴的上方；2. 当a < 0时，抛物线开口向下，并且最高点（顶点）处在x轴的下方。
利用这些性质，我们可以在奥林匹克数学竞赛中运用几何推理来解决问题。
例如，考虑以下题目：已知实数x满足x^2 - 2x - 15 < 0，求x的取值范围。
奥数题练习题解方程
奥数题练习题解方程解方程是奥数题的重要部分，也是奥数训练中需要重点掌握的内容之一。
在奥数练习中，我们常常会遇到一些涉及到方程的问题，这就需要我们运用一些解方程的方法和技巧来解决。
本文将为大家提供一些奥数题的练习题，并结合具体的例子来解析其中的方程解题方法。
希望通过本文的阐述能够帮助大家更好地理解和运用方程解题的方法。
1. 题目一：已知如下方程：3x + 4 = 10，求出x的值。
解析：这是一个一元一次方程，我们可以通过移项和化简的方法来解题。
首先，将方程中的常数项移到等式的右边，得到：3x = 10 - 4。
然后，化简等式，得到：3x = 6。
最后，将方程两边同时除以3，得到：x = 2。
所以，方程的解为x = 2。
2. 题目二：求方程2x - 5 = 3x + 1的解。
解析：这是一个一元一次方程，我们需要将x的系数放在一起，将常数项放在另一侧，从而进行化简和解题。
首先，将方程中的x项移到等式左边，常数项移到等式的右边，得到：2x - 3x = 1 + 5。
接下来，化简等式，得到：-x = 6。
最后，将方程两边乘以-1，得到：x = -6。
所以，方程的解为x = -6。
3. 题目三：解方程4(2x + 3) = 8x - 12。
解析：这是一个含有括号的方程，我们需要先将括号内的表达式进行展开然后再进行化简和解题。
首先，将方程中的括号内的表达式展开，得到：8x + 12 = 8x - 12。
接下来，移项，化简等式，得到：0 = -24。
最后，根据等式得出结论，此方程无解。
所以，方程无解。
通过以上三个例子，我们可以看到解方程的过程中，移项、化简和运算是非常重要的。
掌握好这些基本方法，我们就能够解决绝大部分的奥数方程题。
在实际的奥数训练中，我们还需要不断地进行练习，熟练掌握各种类型的方程解题方法，提高我们的解题能力。
希望大家通过不断的练习和积累，能够在奥数竞赛中取得好成绩。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)一元一次方程及汇总
第四章一元一次方程及其应用第一节一元一次方程例1、在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可在原方程的两边（）A、乘以同一个数B、乘以同一个整式C、加上同一个代数式D、都加上同一个数例2、方程甲3(x-4)=3x与方程乙x-4=4x同解，其根据是（） 4A、甲方程两边都加上了同一个整式B、甲方程两边都乘以了4/3xC、甲方程两两边都乘以了4/3D、甲方程两边都乘以了3/4例3、方程1⎧1⎡1⎛1⎫⎤⎫x-1⎪-1⎥-1⎬-1=2001的根x=__________。
⎨⎢2⎩2⎣2⎝2⎭⎦⎭例4、1992+1994+1996+1998＝5000- 成立，则中应当填的数是（）A、5B、-900C、-1900D、-2980例5、若P、Q都是质数，以X为未知数的方程PX＋5Q＝97的根是1。
则P2－Q＝____。
例6、有理数111xz、、8恰是下列三个方程的根，则-＝________。
25yx（1）2x-110x+12x+1-=-1 （2）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3) 3124（3）1⎡1⎤2z-(z-1)=(z-1) ⎥2⎢2⎣⎦327例7、解方程：x-=1990的去处时，某同学误将3.57 错写成3.57，结果与正确答案例8、在计算一个正数乘以3.57相差1.4，求正确的乘积应是多少？ 2829第二节列方程解应用题例1、海滩上有一堆核桃，第一天猴子吃了这堆核桃的2/5，又将4个扔到大海里；第二天猴子吃掉的核桃数加上3个就是第一天所剩核桃数的5/8。
若第二天剩下6个核桃。
问海滩上原有多少个核桃？（20个）例2、古希腊数学家丢番图的墓志铭上记载：“坟中安葬着丢番图，多幺令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。
奥数级解方程练习题
奥数级解方程练习题1. 已知方程x^2 + 3x + 2 = 0，请求方程的解。
解析：这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解。
根据求根公式，对于形如ax^2 + bx + c = 0的一次方程，其解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
代入方程x^2 + 3x + 2 = 0的系数，得到x = (-3 ± √(3^2 - 4*1*2)) /(2*1)。
化简得到x = (-3 ± √(9 - 8)) / 2，继续化简得到x = (-3 ± √1) / 2。
最后得到x = (-3 + 1) / 2 = -1 和 x = (-3 - 1) / 2 = -2。
所以方程x^2 + 3x + 2 = 0的解为x = -1和x = -2。
2. 解方程3x - 7 = 5(x + 1)。
解析：为了求解这个方程，我们需要将其转化为一次方程。
首先分配解方程右侧的系数，得到3x - 7 = 5x + 5。
然后将5x移至方程左侧，将3x移至方程右侧，得到3x - 5x = 5 + 7。
进行合并得到-2x = 12，最后将方程两侧除以-2，得到x = -6。
所以方程3x - 7 = 5(x + 1)的解为x = -6。
3. 已知方程2(x - 3) - 4 = 6(x + 2)，求方程的解。
解析：我们需要将方程进行展开并合并同类项，以便求解。
首先将方程两侧进行展开，得到2x - 6 - 4 = 6x + 12。
然后合并同类项，得到2x - 10 = 6x + 12。
接下来将6x移至方程左侧，将2x移至方程右侧，得到2x - 6x = 12 + 10。
进行合并得到-4x = 22，最后将方程两侧除以-4，得到x = -5.5。
所以方程2(x - 3) - 4 = 6(x + 2)的解为x = -5.5。
4. 解方程(x + 3)(2x + 1) = 0。
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习列简易方程解应用题(一)(含答案)
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习列简易方程解应用题（一）(含答案)重点、难点：在解答一些数量关系比较复杂的应用题时，我们可以用列简易方程的方法来求出答案.列方程解应用题的一般步骤是：（1）根据题意设题中某一个未知数为；（有时候还需要用含有的式子表示其它的未知数）x x（2）找出题中的等量关系，并根据等量关系列出方程（3）解方程（4）检验并写出答案在这个过程中，认真分析数量关系，找出题中的等量关系是解题的关键【典型例题】例1. 看图找出数量关系，列方程. 故事书： 50本 130本科技书：x 本分析解答：等量关系故事书＋科技书本数＝130本方程：50130+=x例2.一辆车平均每小时行驶千米，6小时行驶了360千米.求速度是多少千米？ 分析解答：等量关系速度×时间＝路程方程6360x =x=÷3606x=60答：速度是60千米.例3. 某班有男生30人，比女生的2倍少10人，这个班有女生多少人？分析解答：这道题求女生人数，所以我们设女生有人.从题中可以知道女生的2倍减去10人，正好等于男生人数.也就是：女生人数×2－10＝男生人数可以这样解答：解：设女生有人.x-=21030x=240402x=÷x=20答：女生有20人.例4. 小明和哥哥的年龄和是23岁，哥哥比小明大5岁，问小明和哥哥各多少岁？分析解答：在这道题中，小明和哥哥的年龄都是未知数.我们可以设小明有岁，则哥哥有岁.小明和哥哥的年龄和是23岁，等量关系式就是：小明年龄＋哥哥年龄＝23岁.x+5解：设小明有岁，哥哥有岁x()++=()523x xx+=2523x=218x=959514x+=+=答：小明有9岁，哥哥有14岁.想一想：如果设哥哥有岁，小明就怎样表示？怎样列方程解答？x【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.某班46名同学去划船，一共乘坐10只船，大船坐6人，小船坐4人，全部坐满.问大船和小船各几只？2. 甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？3. 幼儿园小朋友分糖，每人分5块就多出13块，每人分6块就还少7块，请问有多少小朋友，有多少块糖？4. 甲贮水池存水40吨，乙贮水池存水66吨，每分钟从乙池中抽出2吨水放入甲池，多少分钟后，两个贮水池存水同样多？5. 松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天共采了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天有雨？【试题答案】1.某班46名同学去划船，一共乘坐10只船，大船坐6人，小船坐4人，全部坐满.问大船和小船各几只？大船3只，小船7只2. 甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？运6天3. 幼儿园小朋友分糖，每人分5块就多出13块，每人分6块就还少7块，请问有多少小朋友，有多少块糖？20个小朋友，113块糖4. 甲贮水池存水40吨，乙贮水池存水66吨，每分钟从乙池中抽出2吨水放入甲池，多少分钟后，两个贮水池存水同样多？6.5分钟5. 松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天共采了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天有雨？雨天有6天。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)--二次方程与方程组
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab b a b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
奥数数的方程练习题
奥数数的方程练习题一、一元一次方程1. 解方程：3x 7 = 112. 解方程：5 2x = 3x + 13. 解方程：4(x 2) = 3(x + 5)4. 解方程：7 (2x + 3) = 4 x5. 解方程：2(3x 1) 5(x + 2) = 8二、一元二次方程1. 解方程：x^2 5x + 6 = 02. 解方程：2x^2 4x 6 = 03. 解方程：x^2 3x = 04. 解方程：4x^2 + 8x + 4 = 05. 解方程：x^2 4 = 0三、二元一次方程组1. 解方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x y = 1\end{cases}\]2. 解方程组：\[3x 2y = 7 \\ 5x + y = 9\end{cases}\]3. 解方程组：\[\begin{cases} 4x + 5y = 14 \\ 2x 3y = 5\end{cases}\]4. 解方程组：\[\begin{cases} x + 2y = 6 \\ 3x y = 4\end{cases}\]5. 解方程组：\[\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ 5x 2y = 13\]四、不等式与不等式组1. 解不等式：3x 5 > 22. 解不等式：2(x 3) < 4 x3. 解不等式：5 2x ≥ 3x + 14. 解不等式组：\[\begin{cases}2x 3 > 1 \\x + 4 < 7\end{cases}\]5. 解不等式组：\[\begin{cases}3x + 2y ≥ 6 \\x y < 2\end{cases}\]五、应用题1. 某数的2倍与3的差是7，求这个数。
2. 甲、乙两人年龄之和为35岁，甲的年龄是乙的2倍，求甲、乙的年龄。
3. 一辆汽车从甲地出发，以60km/h的速度行驶，另一辆汽车从乙地出发，以80km/h的速度行驶，两车相向而行，2小时后相遇，求甲、乙两地之间的距离。
奥林匹克试题百分比与不定方程
数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷_________年级_______班 姓名__________得分_________1.一个正方体的棱长增加原长的21,它的表面积比原表面积增加百分之 .2.体育用品商店有篮球和排球共45个,其中篮球占60%,当卖出一批篮球后,篮球占现存总数的25%,卖出的篮球是 个.3.把一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.那么正方形的面积是 平方米.4.已知甲校学生数是乙校学生数的40%,甲校女生数是甲校学生数的30%,乙校男生数是乙校学生数的42%,那么,两校女生数占两校学生总数的百分之 .5.有甲、乙、丙三个车间,它们工人总数少于1000人,其中女工人数恰好是男工人数是43%,已知甲车间比乙车间多38人,丙车间比甲车间多70人.三个车间总人数是 .6.有浓度为3.2%的食盐水500克,为了把它变成浓度是8%的食盐水,需要使它蒸发掉 克的水.7.某校四年级原有两个班,现在要重新编为三个班.将原一班的31与原二班的41组成新一班,将原一班的41与原二班的31组成新二班,余下的30人组成新三班.如果新一班的人数比新二班的人数多10%,那么原一班人数有 人.8.A 种酒精中纯酒精的含量为40%,B 种酒精中纯酒精的含量为36%,C 酒精中纯酒精的含量为35%.它们混合在一起得到了纯酒精的含量为38.5%的酒精11升.其中B 种酒精比C 种酒精多3升.那么其中的A 种酒精有 升.9.某商店有两件商品,其中一件商品按成本增加25%出售,一件商品按成本减少20%出售,售价恰好相同,那么两件商品成本总和两件商品售价总和.10.有甲、乙两个同样的杯子,甲杯中有半杯清水,乙杯中盛满了含50%酒精的溶液.先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯,搅匀后,再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯.问这时乙杯中的酒精是溶液的 分之 .11.A 容器有浓度为2%的盐水180克,B 容器中有浓度9%的盐水若干克.从B 容器中倒出240克到A 容器,然后再把清水倒入B 容器,使A 、B 两容器中盐水的重量相等.结果发现,现在两个容器中盐水浓度相同,那么B 容器中原来有9%的盐水多少克?12.有两包糖,每包糖内都有奶糖、水果糖和巧克糖.(1)第一包的粒数是第二包粒数的32；(2)第一包糖中奶糖占25%,第二包中水果糖占50%；(3)巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两 倍.当两包糖合在一起时,巧克力糖占28%,那么水果糖占百分之几?13.甲容器中有纯酒精11升,乙容器中有水15升,第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精与水混合.第二次将乙容器中一部分混合液倒入甲容器.这样甲容器中纯酒精含量为62.5%,乙容器中酒精含量为25%,那么,第二次从乙容器倒入甲容器的混合液多少升?14.新昌茶叶店运到一级茶和二级茶一批,其中二级茶的数量是一级茶的21.一级茶的买进价每千克24.8元;二级茶的买进价是每千克16元.现在照买进价加价12.5%出售,当二级茶全部售完,一级茶剩下31时,共盈利460元.那么,运到的一级茶有多少千克?答案第[1]道题答案：()%12516116211211=-⨯⨯÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+第[2]道题答案：45⨯60%-18⨯()[]6%251%25=-÷(个)第[3]道题答案：()[]=÷-⨯2%20%201264(平方米)第[4]道题答案：()[]()%50%401%421%30%40=+÷-+⨯第[5]道题答案：全厂总人数比乙车间人数的3倍还多38+(38+70)=146人,又全厂人数是43+100=143的倍数,在小于1000人的143的倍数中,仅572满足条件,故全厂共有572人.第[6]道题答案：500-500⨯3.2%÷8%=300(克)第[7]道题答案：原来两班总人数为30÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-41311=72(人),新一班与新二班人数之和是72-30=42(人),新二班人数为72()[]20%1011=++÷(人).新一班人数为20⨯(1+10%)=22(人),原一班人数与原二班人数之差为(22-20)÷244131=⎪⎭⎫⎝⎛-(人),原一班人数为(72+24)÷2=48(人).第[8]道题答案：假设B 种酒精减少3升,就与C 种酒精升数相等,则A 、B 、C 三种酒精总升数是11-3=8(升),其纯酒精含量是11⨯38.5%-3⨯36%=3.155(升).假设8升都是A 种酒精,纯酒精含量是8⨯40%=3.2(升),造成纯酒精含量超出3.2-3.155=0.045(升),用B 种酒精1升和C 种酒精合起来与A 种酒精升数置换直到消去0.045升为止:8-2⨯()()[]7%351%361%402155.32.3=⨯-⨯-⨯÷-(升).第[9]道题答案：(1+1)÷()[]4140%2011%5.121=-÷+÷.第[10]道题答案：50%⨯21+50%⨯21⨯21=83. 第[11]道题答案：(180⨯2%+240⨯9%⨯2)÷9%=520(克)第[12]道题答案：把第一包糖的粒数看作单位“1”,第二包糖粒数是第一包糖粒数的23, 巧克力在第二包中占的百分比是第一包中占的百分比的21,因此巧克力在第二包糖中的粒数是在第一包糖中粒数的2123⨯=43.巧克力在第一包的粒数占两包所有糖的粒数的28%÷16431=⎪⎭⎫⎝⎛+%,巧克力在第一包糖中的粒数占第一包糖粒数的16%⨯⎪⎭⎫⎝⎛+321=40%,这样水果糖在第一包糖中的粒数占第一包糖的总粒数的1-25%-40%=35%.第[13]道题答案：因25%:(1-25%)=1:3,故第一次要从甲容器倒5升纯酒精到乙容器,这样就使乙容器中纯酒精之比恰好是5:15=1:3.又因62.5%:(1-62.5%)=5:3,故第二次倒后,要使甲容器中纯酒精与水之比是5:3,设从甲容器倒入乙容器的混合酒精为1份,水算作3份,那么甲容器中剩下酒精为11-5=6(升)应算作4份,这样恰好配成5=3,所以倒过来的混合液总共是1+3=4(份).因此也应是6升.第[14]道题答案：460÷12.5%÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+3118.2416⨯2=75(千克).不定方程1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= .2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有 道题没答.3.x 是自然数,∙∙=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是 . 4.不定方程172112=+y x 的整数解是 .5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是 .6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b 的最小值等于 .7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚.8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了 页.10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有 个.11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.不定方程答案第[1]道题答案：1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.第[2]道题答案： 1.设张红做对x 道题,做错y 道题,依题意得: 10047=-y x ①所以 74100y x +=≥72147100=. 又 x +y ≤20 ② 所以 x ≤20-y ≤20,故 7214≤x ≤20.又4|4 y ,4|100,由①知4|7 x ,又4与7互质,所以4| x ,故 x=16或20. 当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x -y=1(道)题没做.第[3]道题答案：750.根据题意,99925100810+=a x ,整理得, 37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x .因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除, 推知a =9,因此7502530=⨯=x .第[4]道题答案： 没有整数解.4若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.第[5]道题答案： 1975.设他出生年份为ab 19,依题意,得:b a ab +++=-91191997整理得:87211=+b a所以 11287ba -=由0≤b ≤9得1192871136⨯-=≤11287b - ≤111071187=,即1136≤a ≤11107. 故a =7,从而b =5,他出生于1975年.第[6]道题答案：24.依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )即 12a +35=7b ① 显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24.第[7]道题答案： 14.设有x 只蜈蚣,y 只三头龙,每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组:⎩⎨⎧=+=+29840263ny x y x①×40-②,得()742120=-y n ,即 5372)120(⨯⨯=-y n ③由于x 和y 都是正整数,从①式得y ≤8.又因为537120120⨯<<-n , 所以从③式得y =7,106120=-n ,由此得n =14.第[8]道题答案： 32.设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到 13 x -7=10 y -5.因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2,得到x =4, y =5是上式的一组解,且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.为使10y -5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).第[9]道题答案： 84.设小明第一天看了a 页,第二天看了b 页,则前五天看的页数依次为: a , b , a+b , a+2b , 2a+3b . 上面各个数的和是200,得到 5a +7b =200.因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数.因为b >a ,所以上式只有两组解:b =20, a =12; b =25, a =5.将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.第[10]道题答案：15.以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x 组,小猴子y 组,①②则有338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x , 891115=+y x .易知其整数解为x =3, y =4,所以有大猴子5×3=15(只).第[11]道题答案：设公鸡、母鸡、小鸡各买x , y , z 只,由题意列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x 3×①-②整理得 10047=+y x .又4|4 y ,4|100,所以4|7 x ,又(4,7)=1,所以4| x . 又74100y x -=≤72147100=. 所以x=4,8或12.x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.第[12]道题答案：因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.第[13]道题答案：设哲洙在乙文具店买了x 张卡片,花了y ×100分.由共花钱数可列方程()3040010050500=⨯⨯+-⨯x y x 整理得 54)5(=-y x因为x 是小于50的54的约数,则x 与y 的关系如下表:x 1 2 3 6 9 18 27 y -55427189632因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y 小于2000÷100=20,即y -5<15,所以x 的可能取值是6,9,18,27.第[14]道题答案：设第一堆有x 块石头,第二堆有y 块石头,并设z 为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:① ②⎩⎨⎧-=++=-)(6100)100(2z y z x y x由①得 1002-=x y .代入②整理得 1800711=-z x .所以 11)1(71631171800++=+=z z x . 又x ,z 自然数,所以11|z+1,当z=10时, x 有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.① ②。
小学奥林匹克数学竞赛辅导——列方程解应用题
列方程解应用题在小学数学中，我们学习了应用题的算术解法及常见的典型应用题。
然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。
而用列方程解的方法，未知数和已知数同样都是运算的对象，通过找出未知与已知之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。
所以对于应用题，列方程解的方法往往比算术解法易于思考，易于解答。
列方程能使－些思维较复杂的题目简单化。
利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。
【例1】商场营业时间是8：00～18：00。
－位顾客向－位老先生打听时间，老先生是位数学爱好者，他说：“商场今天已经营业的时间除以3，加上今天还要营业的时间，恰好等于现在的时间。
”现在是什么时间？［分析］这道题如果用算术方法要直接从已知条件求出现在是什么时间，就比较困难。
我们可以将现在的时间用x来表示，商场今天已经营业的时间就可以用代数语言x－8表示，今天还要营业的时间就可以用代数语言18－x表示。
商场今天已经营业的时间÷3＋今天还要营业的时间二现在的时间。
就可以用代数语言（x－8）÷3＋（18－x）＝x表示。
［解］设现在的时间为x。
（x－8）÷3＋（18－x）＝x（x－8）＋54－3x＝3x46－2x＝3x5x＝46x＝9.29.2时＝9时12分［评析］解答这－题的关键有两点：（1）善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系，抓住相等关系：商场今天已经营业的时间÷3＋今天还要营业的时间＝现在的时间。
（2）把握住－般日常语言与代数语言之间的相互关系转化。
因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。
【例2】姐姐和弟弟都参加了集邮。
姐姐集的邮票的张数比弟弟的多160张，姐姐集的邮票的张数又恰好是弟弟的2倍，问：姐姐和弟弟各集了多少张邮票？［分析］方法1.题目中有两个未知量：即姐姐、弟弟各有多少张邮票。
奥赛解方程练习题
奥赛解方程练习题解决方程是数学中一个重要的主题，也是在奥林匹克数学竞赛之中常被考察的内容。
本文将提供一些奥赛解方程的练习题，通过解答这些题目来帮助读者加深对解方程方法的理解和应用。
题目一：解方程：2x + 5 = 13解答过程：考虑方程：2x + 5 = 13，我们可以通过以下步骤求解：1. 首先，我们将常数项5移到方程右侧，得到：2x = 13 - 5 = 8。
2. 接下来，我们将方程两边同时除以系数2，得到：x = 8/2 = 4。
3. 因此，方程的解为x = 4。
题目二：解方程：3(x + 2) = 9解答过程：考虑方程：3(x + 2) = 9，我们可以通过以下步骤求解：1. 首先，我们将左侧的括号展开，得到：3x + 6 = 9。
2. 接下来，将常数项6移到方程右侧，得到：3x = 9 - 6 = 3。
3. 最后，我们将方程两边同时除以系数3，得到：x = 3/3 = 1。
4. 因此，方程的解为x = 1。
题目三：解方程：4x - 7 = 5(x + 2)解答过程：考虑方程：4x - 7 = 5(x + 2)，我们可以通过以下步骤求解：1. 首先，我们将方程两边展开，得到：4x - 7 = 5x + 10。
2. 接下来，我们将5x移到方程左侧，-7移到方程右侧，得到：4x - 5x = 10 + 7。
3. 简化后得到-x = 17。
4. 最后，我们将方程两边乘以-1，得到：x = -17。
5. 因此，方程的解为x = -17。
题目四：解方程：2(x - 1) - 3(x + 2) = 5解答过程：考虑方程：2(x - 1) - 3(x + 2) = 5，我们可以通过以下步骤求解：1. 首先，我们将方程两边展开，得到：2x - 2 - 3x - 6 = 5。
2. 接下来，我们将同类项合并，得到：-x - 8 = 5。
3. 将常数项8移到方程右侧，得到：-x = 5 + 8 = 13。
4. 最后，我们将方程两边乘以-1，得到：x = -13。
奥数解方程式练习题
奥数解方程式练习题在奥数中，解方程式是一种重要的技能。
掌握解方程式的方法和技巧可以帮助学生更好地解决数学问题。
本文将为您提供一些奥数解方程式的练习题，帮助您巩固和拓展解方程式的能力。
题目一：解方程式2(x-3) + 5 = 3(x+1) - 4x的解。
解析：首先，根据题目，我们需要解方程式2(x-3) + 5 = 3(x+1) - 4x。
首先，我们将方程式中的括号展开：2x - 6 + 5 = 3x + 3 - 4x。
然后，我们将方程式中的同类项合并：2x - 1 = -x + 3。
接下来，我们将方程式中的未知数项移至一边，常数项移至另一边：2x + x = 3 + 1。
继续计算，得到方程式的简化形式：3x = 4。
最后，将方程式求解得到未知数x的值：x = 4/3。
题目二：解方程式3(x-2) - 4 = 5x - 7的解。
解析：首先，根据题目，我们需要解方程式3(x-2) - 4 = 5x - 7。
首先，我们将方程式中的括号展开：3x - 6 - 4 = 5x - 7。
然后，我们将方程式中的同类项合并：3x - 10 = 5x - 7。
接下来，我们将方程式中的未知数项移至一边，常数项移至另一边：3x - 5x = -7 + 10。
继续计算，得到方程式的简化形式：-2x = 3。
最后，将方程式求解得到未知数x的值：x = -3/2。
题目三：解方程式7(x-1) + 4 = 2(3x-5) - 3的解。
解析：首先，根据题目，我们需要解方程式7(x-1) + 4 = 2(3x-5) - 3。
首先，我们将方程式中的括号展开：7x - 7 + 4 = 6x - 10 - 3。
然后，我们将方程式中的同类项合并：7x - 3 = 6x - 13。
接下来，我们将方程式中的未知数项移至一边，常数项移至另一边：7x - 6x = -13 + 3。
继续计算，得到方程式的简化形式：x = -10。
最后，将方程式求解得到未知数x的值：x = -10。
三年级奥数列方程练习题
三年级奥数列方程练习题问题一：请计算下列方程中x的值：1. 3x + 2 = 112. 5x - 7 = 183. 4x + 5 = 294. 2x - 3 = 95. 8x + 4 = 2x + 12解答一：1. 根据方程3x + 2 = 11，我们需要将2从等式中移动到另一边。
通过减去2，我们得到3x = 9。
最后，除以3，我们得到x = 3。
所以，方程的解为x = 3。
2. 根据方程5x - 7 = 18，我们需要将-7从等式中移动到另一边。
通过加上7，我们得到5x = 25。
最后，除以5，我们得到x = 5。
所以，方程的解为x = 5。
3. 根据方程4x + 5 = 29，我们需要将5从等式中移动到另一边。
通过减去5，我们得到4x = 24。
最后，除以4，我们得到x = 6。
所以，方程的解为x = 6。
4. 根据方程2x - 3 = 9，我们需要将-3从等式中移动到另一边。
通过加上3，我们得到2x = 12。
最后，除以2，我们得到x = 6。
所以，方程的解为x = 6。
5. 首先，我们可以合并方程中的项，得到8x - 2x + 4 = 12。
然后，我们将4从等式中移动到另一边，得到6x = 8。
最后，除以6，我们得到x = 4/6，即x = 2/3。
所以，方程的解为x = 2/3。
问题二：请解决下面的列方程：1. 2x + 3 = 7x - 52. 3(x + 4) = 2(x + 7)3. 5x - 2(3x - 4) = 124. 2(4 - 3x) = 3(2x + 1) - 5解答二：1. 首先，我们可以将方程中的x项移到一边，将常数项移到另一边，得到2x - 7x = -5 - 3。
继续计算，得到-5x = -8。
最后，除以-5，我们得到x = 8/5。
所以，方程的解为x = 8/5。
2. 将方程展开，得到3x + 12 = 2x + 14。
然后，我们将2x从等式中移动到另一边，将常数项移到另一边，得到3x - 2x = 14 - 12。
高中数学 第二节 方程奥林匹克竞赛题解
第二章代数第二节方程B2-001 如果方程x2+ax+b=0与x2+px+q=0有一个公根，求以它们的相异根为根的二次方程．【题说】1957年上海市赛高二复赛题 2．【解】设公根为α，则α2+aα+b=0α2+pα+q＝0相减，得(a-p)α＝q-b所以由韦达定理，另外两个相异的根为故所求方程为【注】利用两根之和等于一次项系数的相反数求出的方程为此方程与上面求出的方程仅是外形不同，事实上，a，b，p，q有关系．(b-q)2＝(aq-bp)(p-a)B2-002 方程x n=1(x≥2)的n个根是1，x1，x2，…，x n-1．证明：【题说】1957年武汉市赛决赛题 2．将原方程变形为(x-1)(x n-1+x n-2+…+x+1)=0．【证】x n-1=(x-1)(x-x1)…(x-x n-1)．因此，(x-x1)(x-x2)…(x-x n-1)＝x n-1+x n-2+…+x+1令x=±1得(1-x1)(1-x2)…(1-x n-1)=n所以B2-003 证明：如果整系数二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．【题说】1958年～1959年波兰数学奥林匹克三试题2．从而ap2+bpq+cq2=0若p、q均为奇数，则因此a、b、c中至少有一个偶数．若p、q中有一个偶数，则另一个为奇数．不妨设p为奇数，q为偶数，则即a为偶数．B2-004 证明：方程x5+x=10有一正根为无理数．【题说】1963年合肥市赛高三二试题 4．【证】当x=0时，x5+x＜10．当x=10时，x5+x＞10，因此x5+x=10必有正根(在(0，10)内)．并且p、q互质)满足条件p｜a0，q｜a n．因此x5+x-10=0的有理根只可能是±10，±5，±2，±1．不难验证它们都不是方程的根．所以方程的正根都是无理数．B2-005 设P(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n是整系数多项式，如果P(0)与P(1)都是奇数，证明P(x)没有整数根．【题说】第三届(1971年)加拿大数学奥林匹克题5．第七届(1941年)莫斯科数学奥林匹克九、十年级题8．【证】对于整数m，若它是偶数，则P(m)与P(0)奇偶性相同；若它是奇数，P(m)与P(1)奇偶性相同，故P(m)总是奇数，不为0．因此，P(x)没有整数根．B2-006 二次三项式f(x)=ax2+bx+c，如果方程f(x)=x无实根．证明：方程f(f(x))=x 亦无实根．【题说】第七届(1973年)全苏数学奥林匹克十年级题1．【证】如果方程f(x)=x无实根，则对所有x的值，有f(x)＞x(若a＞0)或f(x)＜x(或a＜0)从而f(f(x))＞f(x)＞x或f(f(x))＜f(x)＜x所以f(f(x))=x，无实根．【注】结论对所有连续函数f(x)均成立．B2-007 设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根，对所有这种数对(a，b)，求出a2+b2的最小可能值．【题说】第十五届(1973年)国际数学奥林匹克题3．本题由瑞典提供．【解】设实数x使x4+ax3+bx2+ax+1=0则从而方程y2+ay+(b-2)=0此式即平方整理得2｜a｜≥2+b从而程x4+ax3+bx2+ax+1的实根)．B2-008 若P1(x)=x2-2，P i(x)=P1[P i-1(x)]，i=2，3，4，…．证明：对任何自然数n，方程P n(x)=x的根都是不同的实根．【题说】第十八届(1976年)国际数学奥林匹克题2．本题由芬兰提供．【证】当｜x｜≥2时，P1(x)≥2，从而P n(x)≥2，故P n(x)的所有实根都在(-2，2)中．设x=2cost，则P1x(t)=4cos2t-2=2cos2t从而P n x(t)=2cos2n t即当2n t=±t+2kπ，k=0，1，…时，得P n(x)=x的2n个不同的实根，因为P n(x)次数是2n，所以它的所有根都是实根．B2-009 已知方程2x2-9x+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．【题说】1978年全国联赛一试题 4．【解】设已知方程的两个根为x1、x2，所求方程为x2+px+q=0，它故所求方程为36x2-161x+34=0．B2-010 设a、b、c、d是互不相同的四个整数，r是方程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9=0【题说】1979年河南省赛一试题7．【证】由题意(r-a)，(r-b)，(r-c)，(r-d)是互不相同的四个整数，且(r-a)(r-b)(r-c)(r-d)=9由整数的唯一分解定理知r-a，r-b，r-c，r-d只能分别是-1，1，-3，3．所以(r-a)+(r-b)+(r-c)+(r-d)=0即B2-011 设a、b、c是方程x3-x2-x-1=0的根．1．证明：a、b、c彼此不等；2．证明：下式表示一个整数【题说】第十四届(1982年)加拿大数学奥林匹克题2．第2小题中，1982换成任意自然数n均成立．【证】1．由韦达定理，有a+b+c=1，bc+ca+ab=-1，abc=1如果a、b、c中有两数相等，不妨设b=c．则有a+2b＝1，b2+2ab＝-1，ab2＝1由前二式解得a=-1，b=1，a=5/3，b=-1/3．但它们不满足第三式．因此，a、b、c彼此不等．(a+b+c)=2都是整数，设在n≤k时A n均为整数(k≥2)，则由于b k+1=b k+b k-1+b k-2等，所以b k+1-c k+1=(b k-c k)+(b k-1-c k-1)+(b k-2-c k-2)．从而A k+1=A k+A k-1+A k-2也是整数，因此一切A n为整数．特别地，A1982为整数．B2-012 已知x1、x2是方程x2+(k-2)x+(k2+3k+5)=0 (k为实数)【题说】1982年全国联赛题1(6)．原题为选择题．【解】由于x1、x2是实数根，所以△=(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0B2-013 已知方程(x-19)(x-83)=p，有实根r1和r2(其中p为实数)，求方程(x-r1)(x-r2)=-p的最小实根．【题说】1984年北京市赛高一题1(4)．原题为选择题．【解】由题意得：(x-19)(x-83)-p=(x-r1)(x-r2)可见19与83是方程(x-r1)(x-r2)=-p仅有的两个实根，最小实根为19．B2-014 四次方程x4-18x3+kx2+200x-1984=0的四个根中的两个根的乘积为-32，试决定k的值．【题说】第十三届(1984年)美国数学奥林匹克题1．【解】设方程四根为x1、x2、x3、x4，且x1x2=-32．由根与系数关系，有x1+x2+x3+x4=18(1)x1x2+x3x4+(x1+x2)(x3+x4)=k(2)x1x2(x3+x4)+x3x4(x1+x2)=-200(3)x1x2x3x4=-1984(4)由(4)得x3x4=-1984/(-32)=62代入(3)得31(x1+x2)-16(x3+x4)=-100(5)由(1)、(5)解得x1+x2=4，x3+x4=14代入(2)得k=-32+62+4×14=86B2-015 方程x2+ax+b+1=0的根是正整数．证明：a2+b2是合数．【题说】第二十届(1986年)全苏数学奥林匹克八年级题1．【证】设x1、x2是原方程的两根，则(1)由(1)式得因为x1、x2都是正整数，所以a2+b2是合数．B2-016 a1，a2，…，a2n是2n个互不相等的整数．如果方程(x-a1)(x-a2)…(x-a2n)+(-1)n-1(n！)2＝0有一个整数解r，求证【题说】第二届(1987)东北三省数学邀请赛题6．【解】由题设可知(r-a1)(r-a2)…(r-a2n)=(-1)n(n！)22n个整数r-a1，r-a2，…，r-a2n两两不等．2n个不同的整数r-a1，r-a2，…，r-a2n的积为(-1)n(n！)2，所以它们必为-n，-(n-1)，…，-1，1，2，…，n的一个排列，从而(r-a1)+(r-a2)+…+(r-a2n)=-n-(n-1)-…-1+1+2+…+n=0B2-017 证明：对每一整数n＞1，方程无有理根．【题说】第三十届(1989年)IMO预选题4．本题由保加利亚提供．【证】首先证明对每一个整数k＞0及每个素数p，p k｜k！，事实上，设s≥0为整数，满足P s≤k≤P s+1，则满足p r｜k！的最大整数为所以p k｜k！若方程有有理根为α，则B2-018 求方程x199+10x-5=0所有199个解的199次方的和．【题说】1991年日本数学奥林匹克预选赛题2．【解】设方程的解为a1，a2，…，a199，则由韦达定理知a1+a2+…+a199=0，所以B2-019 求使方程x2-pqx+p+q=0有整数根的所有自然数p和q．【题说】第十七届(1991年)全俄数学奥林匹克十年级题1，【解】设自然数p、q，使得原方程有两根x1、x2∈Z，则x1x2=p+q＞0，x1+x2=pq＞O因此，这两根均为正数，且(x1-1)(x2-1)+(p-1)(q-1)=22表为两个非负整数之和，只有三种情况：(1) 0+2；(2) 1+1；(3) 2+0．由(1)得p=3，q=2或p=2，q=3；由(2)得p=q=2；由(3)得p=1，q=5，或p=5，q=1．B2-020 对多少个实数a，x的二次方程x2+ax+ba=0只有整数根？【题说】第九届(1991年)美国数学邀请赛题8．【解】设m、n是方程二整数根(m≤n)．则应有a=-(m+n)，6a＝mn因此，a也是整数，且-6(m+n)=mn即(m+6)(n+6)=36由于36=22·32所以(m，n)有10组解：(-42，-7)，(-24，-8)，(-18，-9)，(-15，-10)，(-12，-12)，(-5，30)，(-4，12)，(-3，6)，(-2，3)，(0，0)对应的a=-(m+n)也有10个值：49，32，27，25，24，-25，-8，-3，-1，0B2-021 p为整数，试证x2-2x-(10p2+10p+2)=0无整数解．【题说】第三届(1993年)澳门数学奥林匹克第二轮题1．【证】将原方程变形为x(x-2)=2[5p(p+1)+1](1)因为p(p+1)是偶数，所以(1)式右边如果x是整数，那么x必为偶数，(1)式左边矛盾．所以原方程无整数解．B2-022 设f(x)=x n+5x n-1+3，其中n是一个大于1的整数．求证：f(x)不能表示为两个多项式的乘积，其中每一个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次．【题说】第三十四届(1993年)国际数学奥林匹克题1．【解】f(x)的有理根只可能是±1，±3．不难验证f(1)=8，f(-1)=4(-1)n-1+3，f(3)=3n+5·3n-1+3，f(-3)=2(-3)n-1+3均不为0，所以f(x)没有一次因式．若f(x)=g(x)h(x)(*)其中g(x)=x p+a p-1x p-1+…+a1x+a0h(x)=x q+b q-1x q-1+…+b1x+b0p，q，a0，a1，…，a p-1，b0，b1，…，b q-1都是整数并且p+q=n，p≥2，q≥2，则比较(*)式两边常数项得a0b0=3．不妨设a0=±3，b0=±1．设a1，…，a p中第一个不被3整除的为a k，则k≤p=n-q＜n-1．比较(*)两边x k的系数得0=a k b0+a k-1b1+…+a0b k左边被3整除，右边仅a k b0不被3整除，从而右边不被3整除，矛盾．所以f(x)不能分解为两个整系数多项式的乘积．B2-023 x的二次方程x2+z1x+z2+m=0(1)中，z1、z2、m均是复数，且(2)【题说】1994年全国联赛二试题1．【解】由韦达定理有因为(α-β)2=(α+β)2-4αβ所以m-(4+5i)｜=7这表明复数m在以A(4，5)为圆心、以7为半径的圆周上．故原点在⊙A内．延长OA，交圆周于B、C两点，则B2-024 已知方程ax5+bx4+c=0有3个不同的实数根．证明：方程cx5+bx+a=0也有3个不同的实数根．【题说】第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克九年级题5．【证】显然x=0不是方程ax5+bx4+c=0的根，否则c=0，方程只有两个不同的实数根，这与题设矛盾．B2-025 方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根．证明：方程x4+ax3+(b-2)x2-ax+1=0有4个不同的实数根．【题说】第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克十年级题2．【证】x4+ax3+(b-2)x2-ax+1＝(x2-x1x-1)(x2-x2x-1)其中x1、x2分别是方程x2+ax+b=0的两个不同的实数根．现在只须证明：方程x2-x1x-1=0(1)及x2-x2x-1=0(2)的实数根各不相同．由判别式知它们分别有两个不同的实数根．x1≠x2矛盾．所以方程(1)、(2)没有公共根．从而本题结论成立．B2-026 求一切实数p，使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p(1)的三个根均为正整数．【题说】1995年全国联赛二试题2．【解】由观察知，x=1是(1)的一个正整数根．所以5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1-66p=(x-1)Q(x)，其中Q(x)=5x2-5px+66p-1．设正整数u、v是Q(x)=0的两个根，则所以p是正整数，将(2)代入(3)，得5uv=66(u+v)-1(4)从而因左边是5的倍数，19、229又都是素数，故5v-66=19或229由此求得v=17或59，u=59或17，p=u+v=76，即当且仅当p=76时，方程(1)三根均是正整数：1，17，59．B2-026 求一切实数p，使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p(1)的三个根均为正整数．【题说】1995年全国联赛二试题2．【解】由观察知，x=1是(1)的一个正整数根．所以5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1-66p=(x-1)Q(x)，其中Q(x)=5x2-5px+66p-1．设正整数u、v是Q(x)=0的两个根，则所以p是正整数，将(2)代入(3)，得5uv=66(u+v)-1(4)从而因左边是5的倍数，19、229又都是素数，故5v-66=19或229由此求得v=17或59，u=59或17，p=u+v=76，即当且仅当p=76时，方程(1)三根均是正整数：1，17，59．B2-027 已知f(x)、g(x)和h(x)都是二次三项式，方程f(g(h(x)))=0有根为1，2，3，4，5，6，7和8，这可能吗？【题说】第二十一届(1995年)全俄数学奥林匹克九年级题3．【解】设1，2，3，4，5，6，7和8是方程f(g(h(x)))=0的根．如果直线x=a是抛物线y=h(x)的对称轴，那么当且仅当x1+x2=2a时，h(x1)=h(x2)．多项式f(g(x))的根不多于4个，而h(1)，h(2)，…，h(8)都是它的根，因此只能是a=4.5，且h(4)=h(5)，h(3)=h(6)，h(2)=h(7)，h(1)=h(8)．此外，由图像可知h(1)，h(2)，h(3)，h(4)是单调数列．同样地，考察二次三项式f(x)及它的根g(h(1))，g(h(2))，g(h(3))，g(h(4))．我们得到h(1)+h(4)=2b，h(2)+h(3)=2b，其中直线x=b是方程y=g(x)的抛物线的对称轴．对于二次三项式h(x)=Ax2+Bx+c，由h(1)+h(4)=h(2)+h(3)，得4A=0，即A=0，这与h(x)是二次三项式相矛盾，所以方程f(g(h(x)))=0不可能有根1，2，3，4，5，6，7，8．B2-028 若α、β、γ是x3-x-1=0的根，计算的值．【题说】第二十八届(1996年)加拿大数学奥林匹克题1．【解】设f(x)=x3-x-1＝(x-α)(x-β)(x-γ)由多项式根与系数关系，有α+β+γ＝0αβ+βγ+γα=-1αβγ=1从而其中分子 A=(1+α)(1-β)(1-γ)+(1+β)(1-α)(1-γ)+(1+γ)(1-α)(1-β)=3-(α+β+γ)-(αβ+βγ+γα)+3αβγ=7分母B=(1-α)(1-β)(1-γ)=f(1)=-1因此所求值为S=-7．B2-028 若α、β、γ是x3-x-1=0的根，计算的值．【题说】第二十八届(1996年)加拿大数学奥林匹克题1．【解】设f(x)=x3-x-1＝(x-α)(x-β)(x-γ)由多项式根与系数关系，有α+β+γ＝0αβ+βγ+γα=-1αβγ=1从而其中分子 A=(1+α)(1-β)(1-γ)+(1+β)(1-α)(1-γ)+(1+γ)(1-α)(1-β) =3-(α+β+γ)-(αβ+βγ+γα)+3αβγ=7分母B=(1-α)(1-β)(1-γ)=f(1)=-1因此所求值为S=-7．B2-030 设a是x3-x-1=0的解，求以a2为其解的整系数三次方程．【题说】1996年日本数学奥林匹克预选赛题4．【解】a3-a=1，两边平方得a2(a2-1)2＝1所以a2是x(x-1)2=1的根，展开得x3-2x2+x-1=0这就是所求的方程．B2-031 假设x3+3x2+4x-11=0的根是a，b，c，x3+rx2+sx+t=0的根是a+b，b+c，c+a，求t．【题说】第十四届（1996年）美国数学邀请赛题5．【解】由韦达定理，r =－（a+b）（b+c）（c+a）=－（－3－c）（－3－a）（－3－b）=－（（－3）3+3（－3）2+4（－3）－11）=23B2－032 设P是方程z6+z4+z3+z2+1=0的有正虚部的那些根的乘积，并设P=r（cosθ°+isinθ°），这里0＜r，0≤6＜360．求θ．【题说】第十四届（1996年）美国数学邀请赛题11．【解】原方程即u3－2u+1=0即（u－1）（u2+u－1）=0从而z=cos60°±isin60°，cos72°±isin72°，cos144°±isin144°θ=60+72+144=276B2－033解方程组其中a和b是已知实数，当a和b满足什么条件时，方程组的解x、y、z是互不相同的正数？【题说】第三届（1961年）国际数学奥林匹克题1．本题由匈牙利提供．【解】a2－b2=（x+y+z）2－（x2+y2+z2）=2（xy+yz+zx）=2（z2+yz+zx）=2az若a=0，则b≠0时方程组无解；b=0时，由x2+y2+z2=0得x=y=z=0．u2+（z－a）u+z2=0y＞0．B2－034一时钟在某时间T1，短针指在2与3之间，长针指在4与5之间，过了某段时间之后，到时间T2，长针指在原来短针所指的位置，而短针指在原来长针所指的位置，求原来时间T1和现在时间T2各为几点钟．【题说】1963年上海市赛高三决赛题2．【解】设在时间T1，短针的度数为x，长针的度数为y．因短针走B2－035求所有能使等式x5+x2=yx1（1）x1+x2=yx2（2）x2+x4=yx3（3）x3+x5=yx4（4）x4+x1=yx5（5）成立的值x1，x2，x3，x4，x5，这里的y是一个参数．【题说】第五届（1963年）国际数学奥林匹克题4．本题由原苏联提供．【解】将五个方程相加得（x1+x2+x3+x4+x5）（y－2）=0所以x1+x2+x3+x4+x5=0或y=2．如果y=2，那么原方程组可写成x5－x1=x1－x2=x2－x3=x3－x4=x4－x5即x1=x2=x3=x4=x5=任意数是原方程组的解．如果y≠2，那么x1+x2+x3+x4+x5=0（6）由（3）、（2）、（4）得y2x3=y（x2+x4）=（x1+x3）+（x3+x5）由上式及（3）、（6）得(y2+y－1)x3=x1+x3+x5+x2+x4=0因此，在y2+y－1=0时，x3=0．同理x1=x2=x3=x4=x5=0它显然是原方程组的解．不难验证任意x2、x1及由以上三式得出的x3、x4、x5是原方程组的解．B2－036已知方程组其系数满足下列条件：（1）a11、a22、a33都是正的；（2）所有其余系数都是负的；（3）每一方程中系数之和是正的．证明：x1=x2=x3=0是已知方程组的唯一解．【题说】第七届（1965年）国际数学奥林匹克题2．本题由波兰提供．【证】设x1、x2、x3为一组解，不妨设|x1|≥|x2|≥|x3|，则|a11x1+a12x2+a13x3|≥|a11x1|－|a12x2|－|a13x3|≥a11|x1|+a12|x1|+a13|x1|=（a11+a12+a13）|x1|≥0，等号仅在x1=x2=x3=0时成立．B2－037解方程组其中a1、a2、a3、a4是已知的两两不等的实数．【题说】第八届（1966年）国际数学奥林匹克题5．本题由捷克斯洛伐克提供．【解】在方程组中，如果将足码i换j，j换成i，原方程组不变．不失一般性，可以假定a1＞a2＞a3＞a4，这时原方程组成为（a1－a2）x2+（a1－a3）x3+（a1－a4）x4=1（1）（a1－a2）x1+（a2－a3）x3+（a2－a4）x4=1（2）（a1－a3）x1+（a2－a3）x2+（a3－a4）x4=1（3）（a1－a4）x1+（a2－a4）x2+（a3－a4）x3=1（4）（1）－（2）、（2）－（3）、（3）－（4），分别得（a1－a2）（x2+x3+x4－x1）=0（a2－a3）（－x1－x2+x3+x4）=0（a3－a4）（－x1－x2－x3+x4）=0即有x2+x3+x4=x1（5）x1+x2=x3+x4（6）x1+x2+x3=x4（7）由（5）、（6）、（7）得x2=x3=0，x1=x4代入（1）、（4）得经检验可知，当a1＞a2＞a3＞a4时，是原方程组的解．一般地，当a i＞a j＞a k＞a l时，方程组的解为：B2－038给出关于x1，x2，…，x n的方程组其中a、b、c为实数，a≠0，且Δ=（b－1）2－4ac．证明：在实数范围内该方程组（i）当Δ＜0时无解；（ii）当Δ=0时恰有一个解；（iii）当Δ＞0时有多于一个解．【题说】第十届（1968年）国际数学奥林匹克题3．本题由保加利亚提供．【证】将n个方程相加得即所以Δ＜0时，无实数解．Δ=0时，只有一个解Δ＞0时，显然有两组不同的解B2－039已知p个方程q=2p个未知数x1，x2，…，x q的方程组：a11x1+a12x2+…+a1q x q=0a21x1+a22x2+…+a2q x q=0……a p1x1+a p2x2+…+a pq x q=0其中每一个系数a ij是集｛－1，0，1｝中一元素，i=1，2，…，p；j=1，2，…q ．证明：方程组有一个解（x1，x2，…，x q）使得（i）所有x j（j=1，2，…，q）是整数；（ii）至少有一个j值使x j≠0（1≤j≤q）；（iii）|x j|≤q（j=1，2，…，q）．【题说】第十八届（1976年）国际数学奥林匹克题5．本题由荷兰提供．【证】考虑适合条件|y j|≤p（j=1，2，…，q）的所有整数组（y1，y2，…，y q），共有（2p+1）q个．令A i=a i1y1+…+a iq y q，i=1，2，…，p．由于a ij是－1，0，1中的一个，每个A i都是整数，并且|A i|≤|y1|+…+|y q|≤pq因此，数组（A1，A2，…，A p）至多有（2pq+1）p=（4p+1）p个．因为（2p+1）q=（2p+1）2p=（4p2+4p+1）p＞（4p+1）p，由抽屉原理，一定有两个不同的数组（y1，…，y q），（y′1，…，y′q）产生同一个数组（A1，A2，…，A p），所以a i1（y1－y′1）+…+a iq（y q－y′q）= 0（i=1，2，…，p）令x j=y j－y′j，j=1，2，…，q．则x1，…，x q不全为零，满足方程组且有|x j|=|y j－y′j|≤|y j|+|y′j|≤2p=q这说明（x1，…，x q）即是所要找的一个解．B2－040正数x、y、z满足方程组试求xy+2yz+3xz的值．【题说】第十八届（1984年）全苏数学奥林匹克十年级题4．【解】考虑右图，其中∠ROP、∠POQ、∠QOR分别为150°，由已知方程组及余弦定理，RP、PQ、QR分别为25、9、16．在△PQR中，PR2=PQ2+QR2．于是∠PQR=90°．又 S PQR=S POR+S POQ+S QORB2－041若确定x2+y2+z2+w2的值．【题说】第二届（1984年）美国数学邀请赛题15．考虑t的方程【解】（1）两边乘（t－1）（t－9）（t－25）（t－49），得x2（t-9）（t-25）（t-49）+y2（t-1）（t-25）（t-49）+z2（t-1）（t-9）（t-49）+w2（t-1）（t-9）（t-25）-（t-1）（t-9）（t-25）（t-49）=0（2）它是t的四次方程，并有四个根t=4，16，36，64．故（2）即方程（t－4）（t－16）（t－36）（t－64）=0 （3）比较（2）与（3）的系数得：x2+y2+z2+w2+（1+9+25+49）=4+16+36+64从而 x2 +y2+z2+w2=36B2－042求方程组的所有实数解：x1·x2·x3=x1+x2+x3（1）x2·x3·x4=x2+x3+x4（2）x3·x4·x5=x3+x4+x5……x1985·x1986·x1987=x1985+x1986+x1987x1986·x1987·x1988=x1986+x1987+x1988x1987·x1988·x1989=x1987+x1+x2【题说】第十三届（1987年第三阶段）全俄数学奥林匹克九年级题2．【解】（1）－（2）得x2·x3（x1－x4）=x1－x4于是x2·x3=1或x1=x4当x2·x3=1时，（1）式成为x2+x3=0，易知方程组x2·x3=1，x2+x3=0无实数解．所以x1=x4．同理，x2=x5；x3=x6；x1985=x1；x1986=x2；x1987=x3．于是x3=x6=…=x1986=x2=x5=…=x1985=x1=x4=…=x1984=x1987=x代入方程（1）得x3=3xB2－043解方程组xy+xz=8－x2xy+yz=12－y2yx+zx=－4－z2【题说】1990年匈牙利数学奥林匹克第二轮基本水平题1．【解】原方程组可以改写成x（x+y+z）=8y（x+y+z）=12z（x+y+z）=－4将这三个方程相加，可以得到（x+y+z）2=16，从而x+y+z=±4．由此可得到原方程组的解为（2，3，－1）与（2，－3，1）．B2－044若实数a、b、x、y满足ax+by=3，ax2+by2=7，ax3+by3=16，ax4+by4=42，求ax5+by5的值．【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛题15．【解】由ax3+by3=（ax2+by2）（x+y）－（ax+by）xy得16=7（x+y）－3xy（1）由 ax4+by4=（ax3+by3）（x+y）－（ax2+by2）xy得42=16（x+y）－7xy （2）由（1）、（2）解得x+y=－14，xy=－38．因此，ax5+by5=（ax4+by4）（x+y）－（ax3+by3）xy=42×（－14）－16×（－38）=20B2－046求满足下列条件的关于x、y的次数最低（但不低于1次）的多项式f（x，y）：【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题11．【解】将f（x，y）表为i次齐次多项式之和：f（x，y）=件，则每一f i（x，y）也满足同样的条件．所以，所要求的f（x，y）是一个次数最低的齐次式．由（1）知f（y，y）=0，所以f（x，y）=（x－y）h（x，y）其中h（x，y）是关于x、y的齐次式，且h（x，y）=h（y，x），即h 为对称式．由（2）得－yh（x，x+y）－xh（y，x+y）=0以y－x代y得－（y－x）h（x，y）－xh（y－x，y）=0所以，h（x，y）被x整除，由对称性知，h（x，y）也被y整除．由此得f（x，y）=（x－y）xyg（x，y）其中g（x，y）是齐次对称式，将上式代入（2）并整理，得g（x，x+y）+g（y，x+y）=0（3）令y=－x，得g（x，0）+g（－x，0）=0（4）设g（x，y）为l次齐次式，即由（4）得c l+（－1）l c l=0故l为奇数或c l=0．若c l=0，则g（x，y）被y整除，由对称性知，它也被x整除，所以l ≥2．若l=2，则g（x，y）=cxy（c≠0），不满足（3），故l≥3．若c l≠0，则l为奇数．若l=1，则g（x，y）=c（x+y）（c≠0），不满足（3），故l≥3．综上所述，g（x，y）是至少3次的齐次对称式．设g（x，y）=a（x3+y3）+bxy（x+y）代入（3）并整理，得a（（x3+y3）+2（x+y）3）+b（x+y）（2x2+xy）+（xy+2y2））=0两边同除以x+y并整理，得（3a+2b）（x2+xy+y2）=0取a=2，b=－3，则得所求的一个f（x，y）为f（x，y）=（x－y）xyg（x，y）=（x－y）xy（x+y）（2x－y）（x－2y）不难验证这个多项式符合要求。
奥林匹克竞赛题库之方程法
方程法39 商店有膠鞋、布鞋共45雙，膠鞋每雙3.5元，布鞋每雙2. 4元，全部賣出後，膠鞋比布鞋收入多10元。
問：兩種鞋各多少雙？40 甲、乙二人 2時共可加工 54個零件，甲加工 3時的零件比乙加工4時的零件還多4個。
問：甲每時加工多少個零件？41甲種糖每千克 8〃 8元，乙種糖每千克 7〃 2元，用甲種糖5千克與多少千克乙種糖混合，才能使混合後的糖每千克8〃2元？存款還剩60元。
問：甲、乙二人各有存款多少元？。
問：兩塊地各有多少公頃？原來各有多少溶液？45 在有甲、乙、丙三位候選人的選舉中，甲的選票分別比乙、丙多 11張和 22張，如果選票共 45張，那麽甲得了多少張選票？，剩下的男女生人數正好相等。
問：這個班有多少名男生？49 某校五年級有五個班，各班人數恰好是五個連續奇數。
已知五年級總50 大、小兩個水池都未注滿水。
若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸水；若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水。
已知大池容量是小池的1.5倍，問：兩池中共有多少噸水？51 水池的容積是100米3，它有甲、乙兩個進水管和一個排水管，甲、乙兩管單獨灌滿水池分別需10時和15時。
水池中原有一些水，如果甲、乙兩管同時進水而排水管放水，那麽6時可將池中水放完；如果甲管進水而排水管放水，那麽2時可將池中水放完。
問：水池中原有多少水？52 有大、中、小三種包裝的筷子27盒，它們分別裝有18雙、12雙、8雙筷子，一共裝有330雙筷子，其中小盒數是中盒數的2倍。
問：三種盒各有多少盒？53 甲、乙、丙、丁四人一共有900枚郵票，若把甲的郵票加 20枚，乙的減 20枚，丙的乘以2，丁的除以 2，則四人的郵票數正好相等。
問：甲有多少枚郵票？54 甲、乙、丙、丁四人共做了270個零件，如果甲多做10個，乙少做10個，丙做的個數乘以2，丁做的個數除以2，那麽四人做的零件數恰好相等。
問：丙實際做了多少個？：剩下的核桃比甲、乙拿走的總數少幾個？56 一筆獎金分一、二、三等獎，每個一等獎的獎金是每個二等獎獎金的2倍，每個二等獎的獎金是每個三等獎獎金的2倍。
小学奥数思维训练-方程(经典透析)(通用,含答案)
保密★启用前小学奥数思维训练方程（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球．如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间的与3个黑色皮块及3个白色皮块邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？（列一元一次方程解答）2．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 为AB 上一点，且13BE AB =，已知四边形BDME 的面积是35，则ABC ∆的面积是多少？（列一元一次方程解答）3．瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克。
现在又分别倒入100克和400克的A、B 两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14%。
已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度。
4．一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球．问：共有多少人参加测验？5．甲、乙两件商品的成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价，后来甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利110元．两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少元？（列二元一次方程组解）6．在H岛上居住着100个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神．向岛上的每一位居民提了三个问题：（1）您崇拜太阳神吗？（2）您崇拜月亮神吗？（3）您崇拜地球神吗？对第一个问题有60人回答：“是”；对第二个问题有40人回答：“是”；对第三个问题有30人回答：“是”．他们中有多少人说的是假话？（列二元一次方程组解）7．列不定方程（组）解应用题．百鸡问题译成现代汉语是：公鸡五元一只，母鸡三元一只，小鸡一元三只，用一百元钱正好买了一百只鸡，问：公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？8．已知x、y代表两位整数，求方程100x+y=2xy的解．9．甲说：“我和乙、丙共有100元钱．”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的13，丙的钱不变，则我们仍共有100元．”丙说：“我的钱连30元都不到．”问三人各有多少钱？参考答案：1．20块【解析】【详解】第一步，先找等量关系式：白色皮块的边中与黑色皮块公用的边数=黑色皮块的边中与白色皮块公用的边数；第二步，设出未知数：设这个足球上共有x 块白色皮块；第三步，列出方程：()3532x x =-；第四步，解方程：()353231605816020x x x xx x =-=-==第五步，检验作答：检验：当20x =时，左边=32060⨯=；右边=()5322051260⨯-=⨯=，所以左边=右边，所以20x =是原方程的解；答：这个足球上共有20块白色皮块．【点睛】列方程解应用问题的一般步骤：①弄清题意，找出等量关系；①设未知数；①根据等量关系列出方程；①解方程；①检验并写出答案．2．150【解析】【详解】解：①BE=13AB ，①ABC S ∆=3BCE S ∆ ①BD=CD ；①ABC S ∆=2ABD S ∆①2ABD S ∆=3BCE S ∆即等量关系式为23ABD BCE S S =；设BEM S ∆=x ，则BDM S ∆=35-x ，ABD S ∆=BAM S ∆+BDM S ∆=3BEM S ∆+BDM S ∆=3x -(35-x )=2x +35BCE S ∆=BEM S ∆+BCM S ∆=3BEM S ∆+2BDM S ∆=3x +2(35-x )=70-x由此列出方程：()()2235370x x +=-解得，X=20.①ABC S ∆=150检验：当20x =时，左边=()222035150⨯⨯+=；右边=()37020150⨯-=，所以左边=右边，所以20x =是原方程的解；答：①ABC 的面积是150．3．20%【解析】【分析】根据题意，A 种酒精浓度是B 种酒精的2倍。
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方程法
39 商店有胶鞋、布鞋共45双，胶鞋每双3.5元，布鞋每双2. 4元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多10元。
问：两种鞋各多少双？
40 甲、乙二人 2时共可加工 54个零件，甲加工 3时的零件比乙加工4时的零件还多4个。
问：甲每时加工多少个零件？
41甲种糖每千克 8． 8元，乙种糖每千克 7． 2元，用甲种糖5千克与多少千克乙种糖混合，才能使混合后的糖每千克8．2元？
存款还剩60元。
问：甲、乙二人各有存款多少元？。
问：两块地各有多少公顷？
原来各有多少溶液？
45 在有甲、乙、丙三位候选人的选举中，甲的选票分别比乙、丙多 11张和 22张，如果选票共 45张，那么甲得了多少张选票？
，剩下的男女生人数正好相等。
问：这个班有多少名男生？
49 某校五年级有五个班，各班人数恰好是五个连续奇数。
已知五年级总
50 大、小两个水池都未注满水。
若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。
已知大池容量是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？
51 水池的容积是100米3，它有甲、乙两个进水管和一个排水管，甲、乙两管单独灌满水池分别需10时和15时。
水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，那么6时可将池中水放完；如果甲管进水而排水管放水，那么2时可将池中水放完。
问：水池中原有多少水？
52 有大、中、小三种包装的筷子27盒，它们分别装有18双、12双、8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍。
问：三种盒各有多少盒？
53 甲、乙、丙、丁四人一共有900枚邮票，若把甲的邮票加 20枚，乙的减 20枚，丙的乘以2，丁的除以 2，则四人的邮票数正好相等。
问：甲有多少枚邮票？
54 甲、乙、丙、丁四人共做了270个零件，如果甲多做10个，乙少做10个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等。
问：丙实际做了多少个？
：剩下的核桃比甲、乙拿走的总数少几个？
56 一笔奖金分一、二、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍。
如果评一等奖1人，二等奖2人，三等奖3人，那么一等奖的奖金是120元；如果评一等奖1人，二等奖3人，三等奖5人，那么一等奖的奖金是多少元？
57 有两堆苹果，若从第一堆拿一个放到第二堆中去，则第二堆的苹果个数就是第一堆苹果个数的2倍；若从第二堆拿一个放到第一堆中去，则两堆个数正好相同。
问：两堆各有多少个苹果？
58 一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽。
在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。
问：男孩、女孩各有多少人？
59 小刚和小明参加一个会议，在会议室中小刚看到不戴眼镜的同学是戴
中共有多少名同学？
60 某旅游团租一辆车外出，租车费由乘车人平均负担，结果乘车人数与每人应付车费的元数恰好相等。
后来又增加了10个人，这样每人应付车费比原来减少了6元。
这辆车的租车费是多少元？
61 甲、乙两个长方体水池装满了水，两水池的高相等。
已知甲池的排水管10分可将水排完，乙池的排水管6分可将水排完。
问：同时打开甲、乙两池的排水管，多长时间后甲池的水位高正好是乙池水位高的3倍？
62 教室里有若干学生，走了10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍。
问：最初有多少名女生？
63 教室里有若干学生，走了10名女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10名女生后，男生人数是女生的4倍。
问：教室里原有多少名学生？
64 有大、中、小三筐苹果，大筐装的是小筐的5倍，比中筐多10
千克，
，这块合金含金多少克？
67 要将一批《小学数学》杂志打包后送往邮局（要求每包所装册数相同），
这批杂志共多少本？
68 口袋中有若干红色和白色的球。
若取走一个红球，则口袋中的红球占
口袋中白球比红球多多少个？
69 一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球。
问：共有多少人参加测验？
70 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5。
这群羊原来有多少只？
71 某人以分期付款的方式买一台电视机。
买时第一个月付款750元，以后每月付150元；或者前一半时间每月付300元，后一半时间每月付100元。
两种付款方式的付款总数及时间都相同。
这台电视机的价格是多少元？
72 甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，要另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克。
如果一个人带150千克的行李，那么除免费部分外，应另付行李费8元。
求每人可免费携带的行李重量。
73 下表是某班40名同学参加数学竞赛的分数表，如果全班平均成绩是2.5分，那么得3分和5分的各几人？
74 某次数学比赛，分两种方法给分。
一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分。
某考生按两种判分方法均得81分，这次比赛共多少道题？
75 从学校到家，哥哥需走16分，妹妹需走24分。
如果妹妹从学校出发后2分哥哥从家出发，那么兄妹相遇时哥哥比妹妹多走120米。
求学校到家的距离。
76 修一条水渠，若每天多修8米，则可提前4天完成；若每天少修8米，则要推迟8天完成。
求这条水渠的长度。
后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同。
问：共有多少鸡蛋？分给几个人？
78 植树开始时，老师给各组发树苗，第一组分到5棵再加上剩下树苗的。
问：共有多少棵树苗？分给了多少个组？。