高等代数线性方程组解剖
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高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1
例 解下列方程组
5 x1 2 x1
x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0
2 1
1 3
4 6
2 5
asn xn bs
先检查(1)中 x1的系数，若 a11,a21, ,as1全为零， 则 x1没有任何限制，即x1可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 , , xn的方程组来解．
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2, ,．s)
1 0
2 5
1 1
4 2
2 1
1 7
1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
0 0
7 14
16 32
12 24
1 7
0 0
7 0
16 0
12 0
1 5
从最后一行知，原方程组无解。
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
再考虑方程组
a22 x2
a2 n xn b2
(4)
as2 x2 asn xn bs
显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)
的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。
高等代数课件北大版第三章线性方程组
定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。
线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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高等代数3.6 线性方程组解的结构
j 1
又设 ( l1 , l2 , … , ln ) 是导出组 (1) 的一个解，即
n
aijl j 0 (i 1,2,, s) ,
j 1
显然
n
n
n
aij (k j l j ) aijk j aijl j
j 1
j 1
j 1
bi 0 bi (i 1,2,, s) .
推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解
是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.
证明 充分性 如果方程组 (9) 有两个不同的
解，那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此， 如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.
必要性 如果导出组有非零解，那么这个解 与方程组 (9) 的一个解 (因为它有解) 的和就是 (9) 的另一个解，也就是说，(9) 不止一个解. 因之， 如果方程 (9) 有唯一解，那么它的导出组只有零解.
x3 x3
4 3
, ,
x1 2 bx 2 x3 4 .
讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时 求其解.
单击这里开始求解
三、直线平面间的位置关系的判断
平面和直线之间的位置关系是指平面与平面、 平面与直线、直线与直 线之间的位置关系. 由于 平面和直线在直角坐标系下的方程，是三元线性 方程 a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 和两个三元线性方程组成 的方程组，因此，讨论它们之间的位置关系 ( 如平 行、重合、相交等 )，可用线性方程组的解的理论 阐明.
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.
又设 ( l1 , l2 , … , ln ) 是导出组 (1) 的一个解，即
n
aijl j 0 (i 1,2,, s) ,
j 1
显然
n
n
n
aij (k j l j ) aijk j aijl j
j 1
j 1
j 1
bi 0 bi (i 1,2,, s) .
推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解
是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.
证明 充分性 如果方程组 (9) 有两个不同的
解，那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此， 如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.
必要性 如果导出组有非零解，那么这个解 与方程组 (9) 的一个解 (因为它有解) 的和就是 (9) 的另一个解，也就是说，(9) 不止一个解. 因之， 如果方程 (9) 有唯一解，那么它的导出组只有零解.
x3 x3
4 3
, ,
x1 2 bx 2 x3 4 .
讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时 求其解.
单击这里开始求解
三、直线平面间的位置关系的判断
平面和直线之间的位置关系是指平面与平面、 平面与直线、直线与直 线之间的位置关系. 由于 平面和直线在直角坐标系下的方程，是三元线性 方程 a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 和两个三元线性方程组成 的方程组，因此，讨论它们之间的位置关系 ( 如平 行、重合、相交等 )，可用线性方程组的解的理论 阐明.
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.
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§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
所以方程组 x11 x22 xrr 0 只有零解.
即 a11 x1 a21 x 2
a12
x1
a22 x2
a1n x1 a2n x2
ar1xr 0 ar2 xr 0 arn xr 0
（2）
只有零解. 由引理，方程组（2）的系数矩阵
也线性无关．
于是矩阵A的列秩
r1
r
．
A的列向量
同理可证 r1 r. 所以 r1 r ．
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
记作秩A 或 rank( A)、R( A).
注 ① 若 A 0 ，则 R( A) 0.
②
设 A
aij
，则 R( A) min(s,n).
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
证： " " R( A) n, A 的 n 个行向量线性相关. 若 n ＝ 1， 则A只有一个一维行向量0， 从而A＝0， A 0 0. 若 n ＞ 1， 则A的行向量中至少有一个能由其余
行向量线性表出，从而在行列式 A 中，用这一行
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22
x2
ar1 x1 ar 2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 arn xn 0
（1'）
在(1')中 r n, 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
高等代数04线性方程组
最后一个矩阵所对应的线性方程组为 x1+ 7x3 = 1 , x26x3 = 1 . 它与原方程组同解，取 x3 = C, 得 x1 = 17C, x2 = 1+6C, x 1= 1 7C , 即原方程组解为 x2 = 1+ 6C, 其中 C 为任意实数. x3 = C , 将解写成向量形式 ( x1, x2, x3 )T = (17C , 1+6C, C )T.
定义1 定义1 由st个数cij 排成的一个 行t列的表 个数 排成的一个s行 列的表
c11 c12 L c21 c22 L L L cs1 cs 2 L c1t c2t L cst
叫作一个s行 列矩阵 c 列矩阵。 叫作一个 行t列矩阵。 ij 叫作这个矩阵的元素
注意： 注意：矩阵和行列式虽然形式上有些类似，但有完全不同的意义。 一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。
例2
解
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0 , x + x2 – 2x3 + 3x4 = 0 , 求下列线性方程组的解： 1 3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0 , x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0 .
1 1 1 1 1 5 0 2 7 4 3 → 0 → 0 0 2 7 4 1 7 0 4 14 8 0
并且用B表示 B 的前n列作成的矩阵。那么由定理4.2.1得： 秩A=秩B= r，秩A =秩B 现在设线性方程组（1）有解。那么或者r = m，或者r < m，而
dr+1 =L= dm = 0，这两种情形都有秩B=0，于是由（4）得，
B 反过来，设秩 A =秩B 。那么由（4）得， 的秩也是 r。由此得，或 者r = m，或者r < m 而 dr+1 =L= dm = 0 ，因而方程组（1）有解。
高等代数--第二章 线性方程组
• 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就 相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯 形矩阵. 所以，解方程组一般用增广矩阵 化简.
x1 2 x2 x3 2 x4 1 • 例 2 2 x1 4 x2 x3 x4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
答案：当 1 时，方程组无解 当 1 时，方程组有解
§2 n维向量空间 R
n
消元法是解方程组的一个行之有效的算 法。但有时需要直接从原方程来判是否 有解？并且，消元法化为阶梯形方程组 的过程中，最后剩下来的方程个数是否 是唯一的？这些问题都需要用向量的知 识来解决。
n维向量及其线性运算
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
方程组的解为（9，-1，-6）。
其中用到
1、互换两个方程的位置(位置变换)； 2、用一个非零数乘某一个方程(倍法变换)； 3、把一个方程的倍数加到另一个方程上 (消法变换). 定义1 变换1、2、3称为线性方程组的 初等变换.
答案
例5
x1 2 x2 x3 x4 x5 1 2 x x 3x 2 x x 0 1 2 3 4 5 x1 3x2 2 x3 2 x4 3x5 2 3x1 11x2 2 x3 2 x4 x5 2
（7）
这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把
x1, x2 ,, xr 通过 xr 1,, xn 表示出来，这样一
组表达式称为方程组（1）的一般解， 而
xr 1,, xn 称为一组自由未知量。
• r>n，是不可能的 • 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若
高等代数课件--第三章线性方程组167;3.6线性方程组解的结构
证：若r=n, 方程组只有零解，不存在基础解系
a11 a12? …a1r
若R(A) =r<n，不妨设
a21 a22? …a2r ………………
0,
则(1)可写成
ar1 ar2? …arr
a11x1 a12x2 a1r xr a1,r1xr1 a1nxn
a21x1 a22x2 a2r xr a2,r1xr1 a2nxn
来代替自由未知量(xr+1,…,xn), 就得到(2)的
解，也就是(1)的nr个解:
1 (c11, c12 , , c1r ,1，0， ，0）
2 (c21, c22, , c2r，0，1， ，0）
(3)
nr (cnr,1, cnr,2 , , cnr,r，0，0， ，1）
要证明(3)是(1)的基础解系，需证
2 ．基础解系
定义 齐次线性方程组(1)的一组解
1,2,…,r，若满足 1) 1,2,…,r线性无关；
2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可
由1,2,…,r线性表出； 则称1,2,…,r为齐次线性方程组(1) 的一
个基础解系；
4 ．基础解系存在性
定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系 所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程 组系数矩阵的秩。
1,2,…,nr
2）求出(4)的一个特解0；
3）写出(4)的一般解为
= 0+k11 + k22 +…+knrn r
① 1,2,…,n-r线性无关 令k11+ k22+…+kn-rn-r=0, 则k11+ k22 +…+kn-rn-r=(*,…,*,k1, k2,…,kn-r)=0，从而 k1=k2=…=kn-r=0, 所以1,2,…,n-r线性无
高等代数 线性方程组
增广矩阵
9
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
AX O
~ A ( A | O)
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 41 21 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1 r ( 1)r r ( 1)r 0 0 0
2 3 1 3
7 1 0 1 1 0 3 r (1)r 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 2 0
4 0 3 0 4 3 3 0
k 0或k =2
7
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？ 1 解: D 2 1
3
其中c为任意常数.
例4 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时 有唯一解? 有无穷多个解 无解? , ?
解:
对增广矩阵 A 作初等行变换，
A1 1
1
1
1 1 r r 1 1 1 3 2
阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩 阵
9
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
AX O
~ A ( A | O)
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 41 21 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1 r ( 1)r r ( 1)r 0 0 0
2 3 1 3
7 1 0 1 1 0 3 r (1)r 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 2 0
4 0 3 0 4 3 3 0
k 0或k =2
7
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？ 1 解: D 2 1
3
其中c为任意常数.
例4 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时 有唯一解? 有无穷多个解 无解? , ?
解:
对增广矩阵 A 作初等行变换，
A1 1
1
1
1 1 r r 1 1 1 3 2
阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩 阵
高等代数3.5 线性方程组有解判别定理
1 , 2 , …, r 也是 1 , 2 , …, r , 的一个级大线 性无关组，因此向量 可以经 1 , 2 , …, r 线性 表出，它当然可以经1 , 2 , …, n 线性表出.
因此，方程组 (1) 有解.
证毕
这个判别条件与消元法的关系
三、一般线性方程组的解法
同解.
当 r = n 时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一
解，也就是方程组 (1) 有唯一解.
当 r < n 时，将方程组 (4) 改写为
a11x1 a1r xr b1 a1,r1xr1 a1nxn ,
a21x1 a2r xr
b2 a x 2,r1 r1 a2nxn ,
程组的增广矩阵化为行阶梯形
1 1 1 1 1 0
A
2
3 1
2 3 1
1 0 2
0 1 1 初等行变换
1 1
2 0
1 1
1 1 1 1 1 0 0 0 3 2 1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
00
因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2 ，所以方
a11 a12 a1n
A
a21 as1
a22 as2
a2n
asn
与增广矩阵
a11 a12 a1n b1
A
a21 as1
a22 as2
a2n asn
b2
bs
有相同的秩.
证明 先证必要性. 设线性方程组 (1) 有解,
就是说， 可以经向量组 1 , 2 , …, n 线性表出. 由此立即推出，向量组1 , 2 , …, n 与1 , 2 , …, n , 等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别
高等代数第2讲——n元线性方程组解的情况
⾼等代数第2讲——n 元线性⽅程组解的情况 在有理数(或实数，或复数)集内(这⼀前提还是很重要的)，n 元线性⽅程组解的情况有且只有三种情况：(1)⽆解；(2)唯⼀解；(3)⽆穷解。
可以通过两条直线(“直线”对应代数中的“线性”)的关系加以理解：两条直线要么平⾏(对应⽆解)，要么相交(对应唯⼀解)，要么重合(对应⽆穷解)。
可以通过对线性⽅程组的增⼴矩阵进⾏初等⾏变换，得到最简⾏阶梯矩阵，据此可以判断线性⽅程组解的情况。
何谓初等⾏变换呢？1. 把⼀⾏的倍数加到另⼀⾏2. 现⾏互换3. ⼀⾏乘以⼀个⾮0常数 何谓最简⾏阶梯矩阵？它的特点是：1. 它是阶梯形矩阵2. 每个⾮零⾏的主元都是13. 每个主元所在列的其余元素都是0与之对应的⽅程组为 上⾯的最简⾏阶梯矩阵中，红框中的元即为主元，或称主变量。
⽅程组可写为： 这个表达式称为原线性⽅程线的⼀般解，其中以主元为系数的未知量 x 1 ， x 3 称为主变量，⽽其余未⽮量 x 2称为⾃由未知量。
⼀般解就是⽤含⾃由未知量的式⼦来表⽰主变量。
定理1 n 元线性⽅程组的解的情况只有三种可能：⽆解，有唯⼀解，有⽆穷多个解。
把n 元线性⽅程组的增⼴矩阵经过初等⾏变换化成阶梯矩阵，如果相应的阶梯形⽅程出现"0=d(其中d 是⾮零数"这样的⽅程，则原⽅程组⽆解；否则，有解。
当有解时，如果阶梯形矩阵的⾮零⾏数⽬r 等于未知量数⽬n ，则原⽅程组有唯⼀解；如果⾮零⾏数⽬r<n ，则原⽅程组有⽆穷个解。
如果⼀个线性⽅程组有解，则称它是相容的；否则，称它是不相容的。
下述线性⽅程组有什么特点？它是否⼀定有解？ 上⾯的线性⽅程组的每个⽅程的常数项都为0。
常数项全为0的线性⽅程组称为齐次线性⽅程组。
显然(0,0,0,0)是齐次线性⽅程组的⼀个解，这个解称为零解。
任何⼀个齐次线性⽅程组都有零解。
如果⼀个齐次线性⽅程组除了零解外，还有其它的解，则称其它解为⾮零解。
高等代数 第3章线性方程组 3.2 线性方程组解的结构
其中 k1 , k2 , k3 为任意常数. 1 1 3 1 另一种解法 B= 0 2 8 3
7 2 1 - 3 - 2 1 2 6 23 4 3 - 1 12 1 1 1
1 1 0 - 2 ~ 0 0 0 0 1 0 ~ 0 0
( 2) 设x = 是方程 Ax = b的解, x = 是方程 Ax = 0的解, 则x = + 仍是方程 Ax = b 的解.
证明 A( + ) = A + A = 0 + b = b,
所以x = + 是方程 Ax = b的解.
证毕．
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
例5 求下述方程组的解 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 , 3 x + x + 2 x + x - 3 x = -2, 1 2 3 4 5 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23, 8 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 - x 5 = 12.
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B= 3 - 1 - p 15 3 1 - 5 - 10 12 t
2 3 1 1 1 4 -2 2 0 2 ~ 0 -4 - p-6 6 0 0 - 6 12 9 t 1
x2 1 0 x1 1 1 = 及 , 则 = 及 , x4 0 1 x3 0 2
7 2 1 - 3 - 2 1 2 6 23 4 3 - 1 12 1 1 1
1 1 0 - 2 ~ 0 0 0 0 1 0 ~ 0 0
( 2) 设x = 是方程 Ax = b的解, x = 是方程 Ax = 0的解, 则x = + 仍是方程 Ax = b 的解.
证明 A( + ) = A + A = 0 + b = b,
所以x = + 是方程 Ax = b的解.
证毕．
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
例5 求下述方程组的解 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 , 3 x + x + 2 x + x - 3 x = -2, 1 2 3 4 5 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23, 8 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 - x 5 = 12.
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B= 3 - 1 - p 15 3 1 - 5 - 10 12 t
2 3 1 1 1 4 -2 2 0 2 ~ 0 -4 - p-6 6 0 0 - 6 12 9 t 1
x2 1 0 x1 1 1 = 及 , 则 = 及 , x4 0 1 x3 0 2
高等代数课件(北大版)第三章 线性方程组§3-3
8）向量组线性相关的基本性质定理 定理2 设 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, s 为两个 向量组，若 i) 向量组 1 , 2 ,, r 可经 1 , 2 ,, s 线性表出； ii) r s. 则向量组 1 , 2 ,, r必线性相关.
相关，则向量组 1 , 2 , , s 也线性相关. 注：向量组 1 , 2 ,, s 常称为向量组 1 , 2 , , s 的延伸组； 而 1 , 2 , , s 称为 1 , 2 ,, s
的缩短组.
§3.3 线性相关性
2013-8-8 数学与计算科学学院
§3.3 线性相关性
2013-8-8 数学与计算科学学院
（1）
对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵
1 2 A 3 1
5 5 12 11
1 3 6 3
1 2 1 0 0 3 0 4
5 3 0 0
1 1 0 0
2 1 0 2 1 3 3 1 1 0 1 3 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
证明： 1 , 2 , 3 线性无关.
证：设 x11 x2 2 x3 3 0, 即
( x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0
x1 x3 0 由于 1 , 2 , 3 线性无关，于是有 x1 x2 0 x2 x3 0 解之得 x1 x2 x3 0.
§3.3 线性相关性
2013-8-8 数学与计算科学学院
2、性质
向量组之间的等价关系具有：
1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性
§3.3 线性相关性
2013-8-8
高等代数线性方程组
的一个极大线性无关组。 向量组的极大线性无关组不是唯一的
定理 一个向量组的任何极大线性无关组都含有相同个数的向量。
线性方程组
§3 线性相关性
定义 一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组 的秩 (rank)。
例7 求下面向量组的秩 1 ( 1 , 4 , 1 , 0 ) 2 , ( 2 , 1 , 1 , 3 ) 3 , ( 1 , 0 , 3 , 1 ) 4 , ( 0 , 2 , 6 , 3 )
线性表出。
向量1，2，…，n 称为n维单位向量
线性方程组
§3 线性相关性
定义：如果向量组 1 , 2, , s(s 2 )中有一个向量可以由其余的向
量线性表出，那么称向量组 1, 2,, s是线性相关的。
等价定义：
定义：设 1 , 2 , , s(s 1 )是Pn中的s个向量，若存在数域P中的一组不
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
1 ( 1 , 1 , 0 )2 ,( 0 , 2 , 1 )3 , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 5 , 7 , 5 )
试问向量 是否为向量组 1,2,3 的一个线性组合？
例2 在P n中，任何一个n维向量 (a 1,a 2, ,a n)都可由 1 ( 1 , 0 , , 0 )2 , ( 0 , 1 , , 0 ) ,n ( 0 , 0 , , 1 )
定理 一个向量组的任何极大线性无关组都含有相同个数的向量。
线性方程组
§3 线性相关性
定义 一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组 的秩 (rank)。
例7 求下面向量组的秩 1 ( 1 , 4 , 1 , 0 ) 2 , ( 2 , 1 , 1 , 3 ) 3 , ( 1 , 0 , 3 , 1 ) 4 , ( 0 , 2 , 6 , 3 )
线性表出。
向量1，2，…，n 称为n维单位向量
线性方程组
§3 线性相关性
定义：如果向量组 1 , 2, , s(s 2 )中有一个向量可以由其余的向
量线性表出，那么称向量组 1, 2,, s是线性相关的。
等价定义：
定义：设 1 , 2 , , s(s 1 )是Pn中的s个向量，若存在数域P中的一组不
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
1 ( 1 , 1 , 0 )2 ,( 0 , 2 , 1 )3 , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 5 , 7 , 5 )
试问向量 是否为向量组 1,2,3 的一个线性组合？
例2 在P n中，任何一个n维向量 (a 1,a 2, ,a n)都可由 1 ( 1 , 0 , , 0 )2 , ( 0 , 1 , , 0 ) ,n ( 0 , 0 , , 1 )
线性方程组解的结构
辽 东 学 院 教 案 纸
课题：高等代数 般不是 F 的子空间；γ 0 + W 是 F n 的子空间， 当且仅当 γ 0 ∈ W ． 现在，
n
第 3.4.5 页
我们来表述(4)的解集． 定理 3.4.2 设数域 F 上的 n 元非齐次线性方程组(4)有解，则(4) 的解集是一个 W 型的线性流形 γ 0 + W ，其中 γ 0 是方程组(4)的一个解 向量(叫做(4)的特解)，W 是(4)的导出组的解空间． 证 反之,设 γ ∈ L , 设(4)的解集为 L,则由命题 3.4.2 知道 γ 0 +W⊆L． 则由命题 3.4.1 知道 γ − γ 0 ∈ W .于是有 η ∈ W ，使得 γ − γ 0 = η ，即
辽 东 学 院 教 案 纸
课题：高等代数 于是， η 可表示为
− b1r +1 − b1r + 2 − b1n − b1r +1cr +1 − L − b1ncn − b2 r + 2 − b2 r +1 − b2 n − b2 r +1cr +1 − L − b2 ncn M M M M − b c − L − b c = c − br r +1 + c − br r + 2 + L + c − brn η= r +1 r +2 n 0 rn n r r +1 r +1 1 0 cr +1 0 1 0 M M M M cn 1 0 0
高等代数课件第三章-线性方程组
as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
高等代数课件PPT之第3章线性方程组
该方程组的一个解；而该方程组的解的全体称为
它的解集合；
若两个方程组有相同的解集合，称它们是同解的.
第3章 线性方程组
消元法 n 维向量空间 向量组的线性相关性 矩阵的秩 线性方程组有解判别定理 线性方程组解的结构
§3.1 高斯消元法
高斯消元法是中学所讲的用消元法解二元、三元 线性方程组的发展. 基本思想是：逐次把方程组中 一部分方程变成含未知量较少的方程，直到得到一 个一元一次方程，进而求出方程组的解.
a11 a12 a1n b1
a21
a22
a2n
b2
as1
as2
asn
bs
消元法解方程组的过程 就是对数表中的行作变 换的过程；一个方程组 对应着一张数表
2. 矩阵及其初等变换
(1)矩阵的定义 数域P上的s×n个数排成的s行(横的)
n列(纵的)的数表
a11
a12
a1n
a21
a22
a2
第3章 线性方程组
上一章利用行列式理论解决了一类特殊的线 性方程组 (方程个数与未知量个数相等且系 数行列式不为零)的求解问题.本章讨论一般 的线性方程组，即形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1a22 as1 x1 as2
x2 x2
a2n xn asn xn
a21c1
a22c2
a2ncn b2
as1c1
as2c2
asncn bs
可见(c1 ,c2,…,cn)也为(**)的解；同理可证(**)的任
一解也为也为(*)的解.因此(**)与(*)同解. 由引例可见,对方程组施行初等变换,只是系数和
常数项在变,与未知量x1 ,x2,…,xn无关. 因此可以擦去 未知量，只写出其系数和常数项——一张数表：
它的解集合；
若两个方程组有相同的解集合，称它们是同解的.
第3章 线性方程组
消元法 n 维向量空间 向量组的线性相关性 矩阵的秩 线性方程组有解判别定理 线性方程组解的结构
§3.1 高斯消元法
高斯消元法是中学所讲的用消元法解二元、三元 线性方程组的发展. 基本思想是：逐次把方程组中 一部分方程变成含未知量较少的方程，直到得到一 个一元一次方程，进而求出方程组的解.
a11 a12 a1n b1
a21
a22
a2n
b2
as1
as2
asn
bs
消元法解方程组的过程 就是对数表中的行作变 换的过程；一个方程组 对应着一张数表
2. 矩阵及其初等变换
(1)矩阵的定义 数域P上的s×n个数排成的s行(横的)
n列(纵的)的数表
a11
a12
a1n
a21
a22
a2
第3章 线性方程组
上一章利用行列式理论解决了一类特殊的线 性方程组 (方程个数与未知量个数相等且系 数行列式不为零)的求解问题.本章讨论一般 的线性方程组，即形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1a22 as1 x1 as2
x2 x2
a2n xn asn xn
a21c1
a22c2
a2ncn b2
as1c1
as2c2
asncn bs
可见(c1 ,c2,…,cn)也为(**)的解；同理可证(**)的任
一解也为也为(*)的解.因此(**)与(*)同解. 由引例可见,对方程组施行初等变换,只是系数和
常数项在变,与未知量x1 ,x2,…,xn无关. 因此可以擦去 未知量，只写出其系数和常数项——一张数表：
高等代数课件--第三章 线性方程组§3.1 消元法
增广矩阵
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as 2
a1 n b1 a 2 n b2 a sn bs
二、消元法
1．引例 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2x x 2x 5 1 2 3
三、齐次线性方程组的解
定理1 在齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n 0
第三章 线性方程组
——解决一般的线性方程组的解的 相关问题，解的结构问题
§3.1 消元法
一、一般线性方程组
1．一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
成恒等式，则称有序数组(k1, k2,…, kn)是(1)的
一个解．
解集合 方程组(1)的解的全体所成集合称 为它的解集合．
解集合是空集时就称方程组(1)无解．
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合， 则称它们是同解的
4．方程组的系数矩阵与增广矩阵
系数矩阵
a11 a 21 A a s1 a12 a 22 as 2 a1 n a2 n a sn
方程．于是(1)就变成
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s 2 x 2 a sn x n bs
高等代数第二版课件§3[1].6_线性方程组的解结构PPT23页
![高等代数第二版课件§3[1].6_线性方程组的解结构PPT23页](https://img.taocdn.com/s3/m/2a926828b5daa58da0116c175f0e7cd1842518e9.png)
高等代数第二版课件§3[1].6_线性方 程组的解结构
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
23
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
23
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(3) kO O
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
§1 消元法
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。 当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
线性方程组 ● 线性方程组的矩阵表示法
§1 消元法
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn
d2
(cii 0)
cnn xn dn
方程组有唯一解。
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1
d2 c2,r1xr1 c2n xn (cii 0)
crr xr dr c x r,r1 r1 crn xn
方程组有无穷多解。
线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
例2、 解线性方程组
5x1 x2 2x3 x4 7 2x1 x2 4x3 2x4 1 x1 3x2 6x3 5x4 0
➢ 用一个非零的数乘以矩阵的某一行； ➢ 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
➢ 交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
线性方程组与增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
是一一对应的
a11
A
a21
a12
a22
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn
d2
(cii 0)
crr xr c x r,r1 r1 crn xn dr
可改写为
自由未知量
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn
c22 x2 c2r xr
的对应分量都相等，即
ai bi , (i 1, 2, , n)
就称这两个向量相等，记作
线性方程组
§2 n维向量空间
● 向量的运算
加法： (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 减法： (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 数乘： k (ka1, ka2 ,, kan ), k P
bs
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
线性方程组
第三章 线性方程组
线性方程组
主要内容：
➢ 消元法 ➢ n 维向量空间 ➢ 线性相关性 ➢ 矩阵的秩 ➢ 线性方程组有解的判断定理 ➢ 线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
§1 消元法
线性方程组
定理：在齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2
a2n xn
0
as1x1 as2 x2 asn xn 0
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、 解齐次线性方程组
25xx11xx22
2x3 x4 4x3 2x4
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1
c22 x2 c2r xr c2nபைடு நூலகம்xn d2
crr xr crn xn 0
dr d r 1
(cii 0)
0 0
0 0
线性方程组
§1 消元法
当 dr1 0 时，该线性方程组无解。 当 dr1 0 时，该方程组有解，并分两种情况：
0 0
x1 3x2 6x3 5x4 0
§1 消元法
线性方程组 ● n 维向量
§2 n维向量空间
§2 n维向量空间
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1, a2 ,, an ) 称为数域P上的n维
向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 ,, an ), (b1,b2 ,,bn )
向量加法满足以下四条运算规律
交换律： ( ) ( )
结合律：
零向量：O = (0，0，…，0)
有零元： O 有负元： ( ) O
负向量：- = (-a1，-a2，…，-an)
线性方程组
§2 n维向量空间
向量数乘满足以下两条运算规律
有单位元： 1 结合律： k(l ) (kl)
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
Ax b
其中
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
as1 as2 asn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若
考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称 V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律： k( ) k k
分配律： (k l) k l
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) 0 O (2) (1)
as1 as2
称为该线性方程组的增广矩阵。
a1n b1
a2n
b2
A
b
asn bs
一个线性方程组的增广矩
阵可通过初等行变换化为
怎样的简单形式？
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以B 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。
线性方程组
§1 消元法
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
§1 消元法
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。 当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
线性方程组 ● 线性方程组的矩阵表示法
§1 消元法
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn
d2
(cii 0)
cnn xn dn
方程组有唯一解。
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1
d2 c2,r1xr1 c2n xn (cii 0)
crr xr dr c x r,r1 r1 crn xn
方程组有无穷多解。
线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
例2、 解线性方程组
5x1 x2 2x3 x4 7 2x1 x2 4x3 2x4 1 x1 3x2 6x3 5x4 0
➢ 用一个非零的数乘以矩阵的某一行； ➢ 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
➢ 交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
线性方程组与增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
是一一对应的
a11
A
a21
a12
a22
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn
d2
(cii 0)
crr xr c x r,r1 r1 crn xn dr
可改写为
自由未知量
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn
c22 x2 c2r xr
的对应分量都相等，即
ai bi , (i 1, 2, , n)
就称这两个向量相等，记作
线性方程组
§2 n维向量空间
● 向量的运算
加法： (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 减法： (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 数乘： k (ka1, ka2 ,, kan ), k P
bs
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
线性方程组
第三章 线性方程组
线性方程组
主要内容：
➢ 消元法 ➢ n 维向量空间 ➢ 线性相关性 ➢ 矩阵的秩 ➢ 线性方程组有解的判断定理 ➢ 线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
§1 消元法
线性方程组
定理：在齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2
a2n xn
0
as1x1 as2 x2 asn xn 0
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、 解齐次线性方程组
25xx11xx22
2x3 x4 4x3 2x4
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1
c22 x2 c2r xr c2nபைடு நூலகம்xn d2
crr xr crn xn 0
dr d r 1
(cii 0)
0 0
0 0
线性方程组
§1 消元法
当 dr1 0 时，该线性方程组无解。 当 dr1 0 时，该方程组有解，并分两种情况：
0 0
x1 3x2 6x3 5x4 0
§1 消元法
线性方程组 ● n 维向量
§2 n维向量空间
§2 n维向量空间
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1, a2 ,, an ) 称为数域P上的n维
向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 ,, an ), (b1,b2 ,,bn )
向量加法满足以下四条运算规律
交换律： ( ) ( )
结合律：
零向量：O = (0，0，…，0)
有零元： O 有负元： ( ) O
负向量：- = (-a1，-a2，…，-an)
线性方程组
§2 n维向量空间
向量数乘满足以下两条运算规律
有单位元： 1 结合律： k(l ) (kl)
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
Ax b
其中
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
as1 as2 asn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若
考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称 V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律： k( ) k k
分配律： (k l) k l
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) 0 O (2) (1)
as1 as2
称为该线性方程组的增广矩阵。
a1n b1
a2n
b2
A
b
asn bs
一个线性方程组的增广矩
阵可通过初等行变换化为
怎样的简单形式？
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以B 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。
线性方程组
§1 消元法
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。