三个正数的算术-几何平均不等式讲解学习

32
A.0
B.1
C.
4.已知0<a<1,求证：1
27
4
D. 27
9.
a 1a
1
5.若θ为锐角,则y=sinθcos2θ的最大值为_____3.
归纳延伸 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意 定理的适用条件。
例３将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四
个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容
积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积
是多少?
a a 2xx
wenku.baidu.com
4辨析：下列解法正确吗？
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
ab
2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的
取值要求.
2.四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则a2abb ab
a b a2 b2．其中当且仅当a＝b时取等号.
2
2
3.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；3 2
2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值. 18
4.已知x 1, y 2,且x y 15,求D (x 1)( y 2)
的最大值.
36
二：知识探究
1.证明：已知a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc,
当且仅当a b c时，等号成立.
和的立方公式：( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
x 立方和公式： 3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
⑵若 x y z p （定值），
p3
则当 x y z 时， xyz 有最_大____值___2_7___.
注：一正、二定、三等。
例1 求函数 y x2 (1 3x)在 [0, 1 ]上的最大值. 3
例２.(1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值. (2)当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
x
xx
xx
ymin 33 4
达标检测 12
1.函数 y 3x x2 (x 0) 的最小值是 ( C )
2.函数
y
A.6
4x2
(
x
16 2
B.
1) 2
6 6 C.9
D.12
的最小值是____8________
3.函数 y x4 (2 x2 )(0 x 2) 的最大值是（ D ）
16
三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标： 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式 证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
一:复习回顾
1.基本不等式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) a b ab(a，b∈R+)；
2
(3) b a 2 (ab＞0)； (4) a2 b2 a b 2(a，b∈R).
2.基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均 数的关系，对于3个正数,是否也有类似的不等式成立呢? 能否给与证明？
三个正数的算术-几何平均不等式
定理 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
作业：P10 8、9、12、13
总结 基本不等式使用技巧
推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3,L an，它们的算术
平均值不小于它们的几何平均值，
即 a1 a2 a3 L n
an ≥ n a1a2a3 L
an
(当且仅当 a1 a2 a3 L an 时取等号.)
3.设 x, y, z 都是正数，则有
⑴若 xyz S （定值），
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.