三个正数的算术-几何平均不等式讲解学习
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2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
三个正数的算术—几何平均不等式 课件
3
证明：因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3 xy2 >0，1＋
3
3
3
x2＋y≥3 xy2>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 xy2·3 x2y＝
9xy.当且仅当x＝y＝1时取等号．
类型3 利用平均不等式解决实际问题 [典例3] 如图所示，把一块边长为a的正方形铁皮 的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿着虚线折起 做成一个无盖的铁盒，问切去的正方形边长是多少时， 盒子的体积最大？
4．若a，b，c都是正数且a＋b＋c＝6，则abc的最大
值为( )
A．2
B．27
C．8
D．3
解析：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝6，
所以abc≤a＋3b＋c3＝633＝8，
当且仅当a＝b＝c＝2时“＝”成立．
答案：C
5．若0<x<1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是
________，此时x＝________．
＝3－2x，即x＝43时，等号成立，
所以ymax＝217. (2)因为x>1，所以x－1>0， y＝x＋（x－4 1）2＝12(x－1)＋12(x－1)＋（x－4 1）2＋1≥
3
3
12（x－1）·12（x－1）·（x－4 1）2
＋1＝4，当且仅当
1 2
(x－1)＝12(x－1)＝（x－4 1）2，即x＝3时，等号成立．
a＋3b＋c＝－1，3
3
abc＝
3，故(1)不正确．
(2)由定理3，知等号成立的条件是a＝b＝c.故(2)不
正确．
(3)由定理3知(3)正确． (4)必须a1，a2，…，an都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的
立的条件是 a=b=c.
2.不等式的变形及其应用:
(1)a+b+c≥33 ������������������,当三个正数的积为定值时,它们的和有最小值;
(2)abc≤
������+������+������ 3
3
,当三个正数的和为定值时,它们的积有最大值.
做一做1 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( )
≤
2������������������2������+������������������2������+������������������2������ 3
A.a1+a2+a3≥2
B.a1+a2+a3≥6
C.a1+a2+a3≥6 2
D.a1+a2+a3≥2 2
解析：由三个正数的算术-几何平均不等式可得������1
+������2+������3 3
≥
3 ������1������2������3 = 3 8=2(当且仅当 a1=a2=a3=2 时,等号成立),于是
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)因为 0<x<3,所以 3-x>0.
于是
y=x2(3-x)=4·���2���
·���2���·(3-x)≤4·
���2���+���2���+3-������ 3
3
=4,
当且仅当������
2
=
���2���=3-x,即
x=2
时,函数
y
取得最大值
4.
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
(新课程)高中数学 113 三个正数的算术几何平均不等式课件 新人教A选修45
想一想：应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应 注意什么？ 提示 三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有 最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
基础自测 1．已知 x 为正数，下列求最值的过程正确的是 ( )．
A．y＝x2＋2x＋x43≥3 3 x2·2x·x43＝6，∴ymin＝6
圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个 最大的体积．
[思路分析] 作出圆锥、圆柱的轴截面 → 利用相似三角形建立各元素之间的关系 → 列出目标函数——圆柱的体积的表达式 → 用平均不等式求最大值
解 设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似三角形的性质 可得H－H h＝Rr ， ∴r＝HR(H－h)． ∴V 圆柱＝πr2h＝πHR22(H－h)2h(0＜h＜H)．
规律方法 注意平均不等式应用的条件是三个正数在求最值时， 一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立 的未知数的值，则最值不存在．
[思维启迪] 先列出数学模型，再利用平均不等式求解． 解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为 x(x＞0)， 则 a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3) ≤1＋P1＋1＋3P2＋1＋P33＝433. ∴1＋x≤43，即 x≤13， 对比所给数据，只有①③满足条件，故选 B. 答案 B
试一试：设a，b，c为正数，证明a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a ＝b＝c时等号成立)． 提示 a3＋b3＋c3≥3abc ⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0 ⇔(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)≥0 ⇔12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. 由于 a＋b＋c>0 且(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 因而12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0 成立． 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
(精品)三个正数的算数-几何平均不等式
(2) a b ab (a,b R ) 2
( 3 ) a b 2 ( a b 0 ) x 1 （2 x 0 ）
ba
x
(4)ab (a b )2 a2 b2 (a,b R )
2
2
(5)a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca (a,b,c R )
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均 数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正 数，会有怎样的不等式成立呢？
x3 ⑶求函数 y x2 3 的最小值.
x2 2
解: ⑶∵ y x2 3 x2 2 1 x2 2 1
x2 2 x2 2
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t 1, 时是减函数.
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
3.若a>b>0,则a+
b
1
a
b
的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以 aba1babbba1b3，
当且仅当(a-b)=b= b
1 a
b
时等号成立.
答案:3
类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x (0＜ x＜ 1 ) 的最大值.
(1)abc≤ ( a b c )3 . 3
(2)a3+b3+c3≥3abc.
(3)
3 3abcabc
111
3
a2b2c2 .
3
上式a中ab,bc,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.
三个正数的算术-几何平均不等式
即 x=
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
三个正数的均值不等式
长的时，盒子的容积最大．
利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用
练习：
A、0B、1C、D、
A、4B、
C、6D、非上述答案
巩固本节课所学过的知识。
学生独立完成，教师检查反馈。
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。
。
利用练习强化对判断定理的认识。
学生思考，教师引导。
例题：
例１求函数的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由知，则
当且仅当
解法2：由知，则
引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。
（正解）解法3：由知，则
小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：
当且仅当 时，等号成立。
这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式
注：
１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：
即：n个正数的算术—几何平均不等式：
例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用
练习：
A、0B、1C、D、
A、4B、
C、6D、非上述答案
巩固本节课所学过的知识。
学生独立完成，教师检查反馈。
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。
。
利用练习强化对判断定理的认识。
学生思考，教师引导。
例题：
例１求函数的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由知，则
当且仅当
解法2：由知，则
引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。
（正解）解法3：由知，则
小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：
当且仅当 时，等号成立。
这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式
注：
１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：
即：n个正数的算术—几何平均不等式：
例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
三个正数的算术-几何不等式
1 a2
1 b2
1 c2
6
3
的多重条件。
当且仅当a=b=c= 4 3 时，等号成立．
方法·规律·小结
(1)不等式的证明方法较多，关键是从式 子的结构入手进行分析．
(2)运用三个正数的平均值不等式证明不 等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”， 在解题中，若两次用平均值不等式，则只有 在“相等”条件相同时，才能取到等号．
4x
2x2 2
x
2x2(2 (2 2
x2x)
2)
x42
xx22 2
3
(x22x(22) 2
3
3x2
)
3
32 27
abc
a
b
c
3
3
a、b、c R
练习：
4、a,b, c
R , 求证a2
时,Vmax
2a3 27
6 合的最大容 积是 2a3 .
27
错解分析
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解: y 2x2 3 2x2 3 3
即（x+y+z）3 27xyz
例２(1)当0 x 1时,求函数y x2(1 x)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2(1 x) 4 x x (1 x)
22
x 4( 2
3.三个正数的算术-几何平均不等式
语言表述：n个正数的算术平均不
小于它们的几何平均.
例1、 已 知x, y, z R , 求 证 ： （x y z)3 27xyz.
证明：因为 x y z 3 xyz，所以 3
(x y z)3 xyz, 27
即（x+y+z）3 27xyz
例２: 当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
解:
x
y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解:
y 2x 2 3 2x 2 3 3 33 2x 2 3 3 33 9 3 3 36
x
2x 2x
2x 2x 2 2
当且仅当2x 2 3 ,即x 2x
3 2
时,
y m in
3 2
3
36 .
练习2：
1.若正数x, y满足xy 2 4,求x 2 y的最小值.
33 4
x y3 4
2.若 a>b>0，则 a+ 1 的最小值是
.
b(a b)
3
a 2b
3.求函数y x4 (2 x 2 )(0 x 2)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2 (1 x) 4 x x (1 x) 22
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
构造三 个数相
加等于 定值.
当 x 2
1
x,即x
2 时, 3
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a 2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
三个正数的算术-几何平均不等式
的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆柱的体积最大？
并求出这个最大的体积． 解 设圆柱体的底面半径为r，如图，
H－h r 由相似三角形的性质可得 ＝ ， H R R ∴r＝ (H h)． H
πR 2 ∴V 圆柱＝πr h＝ 2 (H h) h(0＜h＜H)． H
2
2
根据三个正数的基本不等式可得
4πR2 H－h H－h 4πR2H3 4 2 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ＝ πR H. H 2 2 H 3 27
3
x yz 证明：因为 3
3
x yz，所以
（x + y+ z） xyz， 27
3
即（x y z） 27 x yz
3
例2: ( 1 ) 当 0 < x < 1时，求函数 y = x2( 1 – x ) 的最大值 解: 0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x) 4 (1 x) 2 2 构造三个数相 x x 1 x 加等于定值 . 4 3 2 2 4( ) 3 27 x 2 4 当 1 x, x 时, ymax . 2 3 27
3 xx 1 3 1 x x 1 解析 y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2≥3 ·· 2 ＝ . 2 2 2x 2 2x 2 2 2x
1 2 3 4
x 1 当且仅当 ＝ 2，即 x＝1 时等号成立． 2 2x
H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
课堂练习：
3 4 4 2 2 A．y＝x ＋2x＋x3≥3 x · 2x· 3＝6，∴ymin＝6 x
1 2 3 4
1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是( C )
2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 3 三个正数的算术-几何平均不等式课件
因构造定值时拆分不合理致误
[典例] 当 x>0 时，求 y＝x2＋3x的最小值． [解析] ∵x>0，
∴y＝x2＋3x＝x2＋23x＋23x≥3 3 x2·23x·23x＝3 3 94. 当且仅当 x2＝23x，
3 即 x＝
32时，ymin＝3 3
Hale Waihona Puke 9 4.[规律探究] 应用均值不等式求最值时，往往需要通过拆分构造定值条件，这时 若需把其中一项拆分成两项时，需平均拆分，只有确定拆分的两项相等，才有可 能使最后的等号成立，最值才能取到.
3 三个正数的算术-几何平均不等式
考纲定位
重难突破
重点：1.了解三个正数的算术－几何
1.理解定理3、定理4，会用两个定理
平均不等式．
解决函数的最值或值域问题．
2.会用平均不等式求一些特定
2.能运用三个正数的算术－几何平均
函数的最大(小)值．
不等式解决简单的实际问题.
难点：会用不等式解决实际中的应用
二、基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们的几何平均，即
a1＋a2＋…＋an ≥ n
n a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
[双基自测]
1．已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值 3
B．最大值 3
C．最小值 2
[解析] ∵r＝co2s θ，
∴E＝k·sin
θcos2 4
θ(0<θ<π2)，
①
∴E2＝1k62 ·sin2
θ·cos4
θ＝3k22 ·(2sin2
θ)·cos2
θ·cos2
高中数学人教A版选修4-5第一讲 一 3.三个正数的算术—几何平均不等式 课件
当且仅当x－a＝x－1 a2即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋x－1 a2的最小值为3＋2a. 由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
答案：2
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 证明：∵a，b，c∈R＋， ∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
6．若a>2，b>3，则a＋b＋a－21b－3的最小值为________．
解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0. 则a＋b＋a－21b－3＝(a－2)＋(b－3)＋a－21b－3＋5
3 ≥3
a－2×b－3×a－21b－3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝
解析：设圆柱半径h＝πr2·6－2 4r＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋33－2r3＝π. 当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
5．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为 ________.
解析：∵0<x<1，∴1－x>0. 故3 2x1－x1－x ≤2x＋1－x3＋1－x＝23. ∴x(1－x)2≤247当且仅当x＝13时取等号. 答案：247
解：∵6＝x＋3y＋4z＝
x 2
＋
x 2
＋y＋y＋y＋
4z≥66 x2y3z， ∴x2x3z≤1当x2＝y＝4z时，取“＝”. ∴x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.
10．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的 三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无 盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的 三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？ 解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1＝ x，则AF1＝ 3x， ∴A1B1＝F1F2＝36－2 3x. ∴V＝ 43(36－2 3x)2·x ＝32 3(6 3－x)(6 3－x)·2x.
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
本课时经常考查算术—几何平均值不等式在求最值
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
1 1 1 (1)( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥27； a b c 1 1 1 9 (2)(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2
[精讲详析]
本题考查平均不等式的应用，解答本题
需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均 不等式证明的问题．
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc＞0， 从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 ＞0， a b c a2b2c2 1 1 1 ∴( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2 a b c ≥3 3 1 3 2 2 2 · a b c ＝27. 9 a2b2c2
[悟一法] 三个正数的算术—几何平均不等式定理，是根据不等
式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该
定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只 是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具 备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形 后再使用定理证明．
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
本课时经常考查算术—几何平均值不等式在求最值
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
1 1 1 (1)( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥27； a b c 1 1 1 9 (2)(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2
[精讲详析]
本题考查平均不等式的应用，解答本题
需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均 不等式证明的问题．
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc＞0， 从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 ＞0， a b c a2b2c2 1 1 1 ∴( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2 a b c ≥3 3 1 3 2 2 2 · a b c ＝27. 9 a2b2c2
[悟一法] 三个正数的算术—几何平均不等式定理，是根据不等
式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该
定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只 是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具 备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形 后再使用定理证明．
三个正数的算数-几何平均不等式
三个正数的算术-几何平均不等式求证：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
证明：因为abc c ab b a b a abc c b a 333)(33223333-+--+=-++ ①abc ab b a c b a 333)(2233---++= ②)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= )32)((222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ac bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((21222c a c b b a c b a +++++++=0≥ 所以abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
注意：（1）三个整数的积为定值，则和有最小值；三个正数的和为定值，则积有最大值。
与常用的基本不等式类似，求解过程中要注意“一正、二定、三相等”。
（2）几个简单的变形：33abc c b a ⋅≥++；27)(3c b a abc ++≤；3311133333c b a c b a abc cb a ++≤++≤≤++。
以上三个式子都是当且仅当c b a ==时，等号成立。
（3）公式的证明过程中，①式应用了公式3223333)(y xy y x x y x +++=+。
②式应用了公式))((2233y xy x y x y x +-+=+。
对上述结果做简单的恒等变形，就可以得到定理：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么33abc c b a ≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
1，已知),0(,,+∞∈z y x ，求证xyz z y x 27)(3≥++。
证明：因为033>≥++xyz z y x ，所以xyz z y x ≥++27)(3，即xyz z y x 27)(3≥++。
三个正数的算术几何平均不等式
几何平均数
三个正数的乘积的平方根，记作 GM。即GM = sqrt(a*b*c)。
算术几何平均不等式的形式
算术几何平均不等式
对于任意三个正数a、b、c，有AM >= GM，即(a+b+c)/3 >= sqrt(a*b*c)。
等号成立条件
当且仅当a=b=c时，算术几何平均不 等式的等号成立。
02
算术几何平均不等式的 证明
05
算术几何平均不等式的 局限性与挑战
算术几何平均平均不等式的局限性
01
适用范围有限
算术几何平均不等式仅适用于三 个正数的情况，对于其他数量或 非正数的情况则不适用。
02
无法处理负数
03
无法处理非整数
算术几何平均不等式不适用于负 数，因为负数没有算术和几何平 均数的定义。
算术几何平均不等式不适用于非 整数，因为算术和几何平均数的 定义仅适用于整数。
算术几何平均不等式的研究挑战与前景
寻找更广泛的不等式
为了解决算术几何平均不等式的局限性，需要寻找适用于更广 泛情况的不等式，例如适用于任意数量的正数或非正数的情况
。
深入研究不等式的性质
为了更好地应用算术几何平均不等式，需要深入研究其性 质和特点，例如其与凸函数、Jensen不等式等的关系。
探索实际应用
利用AM-GM不等式的几何解释
总结词
这种方法通过几何图形来解释算术几何平均不等式，将抽象的数学概念可视化， 有助于深入理解不等式的本质。
详细描述
首先，在三维空间中，以$a, b, c$为边长构造一个正方体。然后，根据AM-GM 不等式，正方体的体积大于等于其外接球体的体积。最后，通过观察正方体和外 接球体的关系，我们可以直观地理解算术几何平均不等式的意义。
三个正数的乘积的平方根，记作 GM。即GM = sqrt(a*b*c)。
算术几何平均不等式的形式
算术几何平均不等式
对于任意三个正数a、b、c，有AM >= GM，即(a+b+c)/3 >= sqrt(a*b*c)。
等号成立条件
当且仅当a=b=c时，算术几何平均不 等式的等号成立。
02
算术几何平均不等式的 证明
05
算术几何平均不等式的 局限性与挑战
算术几何平均平均不等式的局限性
01
适用范围有限
算术几何平均不等式仅适用于三 个正数的情况，对于其他数量或 非正数的情况则不适用。
02
无法处理负数
03
无法处理非整数
算术几何平均不等式不适用于负 数，因为负数没有算术和几何平 均数的定义。
算术几何平均不等式不适用于非 整数，因为算术和几何平均数的 定义仅适用于整数。
算术几何平均不等式的研究挑战与前景
寻找更广泛的不等式
为了解决算术几何平均不等式的局限性，需要寻找适用于更广 泛情况的不等式，例如适用于任意数量的正数或非正数的情况
。
深入研究不等式的性质
为了更好地应用算术几何平均不等式，需要深入研究其性 质和特点，例如其与凸函数、Jensen不等式等的关系。
探索实际应用
利用AM-GM不等式的几何解释
总结词
这种方法通过几何图形来解释算术几何平均不等式，将抽象的数学概念可视化， 有助于深入理解不等式的本质。
详细描述
首先，在三维空间中，以$a, b, c$为边长构造一个正方体。然后，根据AM-GM 不等式，正方体的体积大于等于其外接球体的体积。最后，通过观察正方体和外 接球体的关系，我们可以直观地理解算术几何平均不等式的意义。
1.1.3-三个正数的算术-几何平均不等式-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式一、教材分析：基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，也是求最值的的一种常见方法，经常运用于实际问题，是高考高频考点。
三个正数的算术—几何平均不等式是基本不等式的进一步推广，通过三个正数的算术—几何平均不等式，常常可以将一些较为复杂的求最值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的承接作用。
因此，本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想，引导学生进行数学思想方法的探究，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、教学目标：1、知识与技能：掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数的最值；2、过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n 个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。
3、情感、态度与价值观： 通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；三、教学重点：三个正数均值不等式定理的应用；四、教学难点：解题中的转化技巧。
五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式等相关知识，初步掌握运用所学知识解决简单的数学问题，但不等式作为高中数学的重点和难点,是学生的相对“头疼”的知识内容，尤其是基本不等式成立的前提条件“一正，二定，三相等”，学生解题时常常会顾此失彼，出现基本不等式运用的一些常见错误。
拓展到三个正数或者更多正数时，务必要结合基本不等式，注重类比，对不等式成立的前提条件加以强调。
3、教具选择： 多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究七、教学过程1、自主导学：温故知新：两个正数的均值不等式引入新课：猜想对于3个正数如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）是否成立？ 2、合作探究（1）分组探究： 探究1a 、b 、c ∈R +, 那么a 3+b 3+c 3≥3abc , 当且仅当a =b =c 时, 等号成立即可（参考公式: (a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3; a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)） 证明:33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2a b c abc a b a b ab c abc a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c a b c a ab b ac bc c ab a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=+--+-=++---⎡⎤=+++-++-++⎣⎦⎡⎤=++++--+-⎣⎦=++++---⎡⎤=++-+-+-≥⎣⎦对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ ，当且仅当c b a ==时取“=” 语言表述： 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc推广： na a a n +++ 21≥ n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：（2）教师点拨：上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.3、巩固训练： 例1：已知x 、y 、z ∈R +, 求(x +y +z )3≥27xyz例2 将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则（师生共同总结此题规律。
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2.基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均 数的关系，对于3个正数,是否也有类似的不等式成立呢? 能否给与证明？
三个正数的算术-几何平均不等式
定理 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
作业：P10 8、9、12、13
总结 基本不等式使用技巧
推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3,L an，它们的算术
平均值不小于它们的几何平均值，
即 a1 a2 a3 L n
an ≥ n a1a2a3 L
an
(当且仅当 a1 a2 a3 L an 时取等号.)
3.设 x, y, z 都是正数，则有
⑴若 xyz S （定值），
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.
三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标： 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式 证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
一:复习回顾
1.基本不等式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) a b ab(a，b∈R+)；
2
(3) b a 2 (ab＞0)； (4) a2 b2 a b 2(a，b∈R).
⑵若 x y z p （定值），
p3
则当 x y z 时， xyz 有最_大___ y x2 (1 3x)在 [0, 1 ]上的最大值. 3
例２.(1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值. (2)当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
x
xx
xx
ymin 33 4
达标检测 12
1.函数 y 3x x2 (x 0) 的最小值是 ( C )
2.函数
y
A.6
4x2
(
x
16 2
B.
1) 2
6 6 C.9
D.12
的最小值是____8________
3.函数 y x4 (2 x2 )(0 x 2) 的最大值是（ D ）
16
32
A.0
B.1
C.
4.已知0<a<1,求证：1
27
4
D. 27
9.
a 1a
1
5.若θ为锐角,则y=sinθcos2θ的最大值为_____3.
归纳延伸 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意 定理的适用条件。
4.已知x 1, y 2,且x y 15,求D (x 1)( y 2)
的最大值.
36
二：知识探究
1.证明：已知a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc,
当且仅当a b c时，等号成立.
和的立方公式：( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
x 立方和公式： 3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
ab
2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的
取值要求.
2.四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则a2abb ab
a b a2 b2．其中当且仅当a＝b时取等号.
2
2
3.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；3 2
2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值. 18
例３将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四
个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容
积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积
是多少?
a a 2xx
4辨析：下列解法正确吗？
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
三个正数的算术-几何平均不等式
定理 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
作业：P10 8、9、12、13
总结 基本不等式使用技巧
推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3,L an，它们的算术
平均值不小于它们的几何平均值，
即 a1 a2 a3 L n
an ≥ n a1a2a3 L
an
(当且仅当 a1 a2 a3 L an 时取等号.)
3.设 x, y, z 都是正数，则有
⑴若 xyz S （定值），
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.
三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标： 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式 证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
一:复习回顾
1.基本不等式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) a b ab(a，b∈R+)；
2
(3) b a 2 (ab＞0)； (4) a2 b2 a b 2(a，b∈R).
⑵若 x y z p （定值），
p3
则当 x y z 时， xyz 有最_大___ y x2 (1 3x)在 [0, 1 ]上的最大值. 3
例２.(1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值. (2)当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
x
xx
xx
ymin 33 4
达标检测 12
1.函数 y 3x x2 (x 0) 的最小值是 ( C )
2.函数
y
A.6
4x2
(
x
16 2
B.
1) 2
6 6 C.9
D.12
的最小值是____8________
3.函数 y x4 (2 x2 )(0 x 2) 的最大值是（ D ）
16
32
A.0
B.1
C.
4.已知0<a<1,求证：1
27
4
D. 27
9.
a 1a
1
5.若θ为锐角,则y=sinθcos2θ的最大值为_____3.
归纳延伸 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意 定理的适用条件。
4.已知x 1, y 2,且x y 15,求D (x 1)( y 2)
的最大值.
36
二：知识探究
1.证明：已知a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc,
当且仅当a b c时，等号成立.
和的立方公式：( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
x 立方和公式： 3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
ab
2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的
取值要求.
2.四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则a2abb ab
a b a2 b2．其中当且仅当a＝b时取等号.
2
2
3.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；3 2
2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值. 18
例３将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四
个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容
积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积
是多少?
a a 2xx
4辨析：下列解法正确吗？
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4