第五章解析延拓多值函数与黎曼面解析

（1）式有定义，这样可以得到(x) x (1,0)
又设 x (2,1)，定义
(x) 1 (x 1) 1 (x 2) (x 2) (0,1) (x 2)
x
x(x 1)
有定义，这样可以得到 (x) x (2, 1)……
设 x (n,n 1)，定义(x)
1 i 5 22
(1 i / 2)k1
故相应的收敛圆 D2跨出原来的收敛圆D1之外，而级数（1）
在收敛圆内 D2代表解析函数 f2 (z)，于是称 f2 (z)为 f1(z)在 D2
内的解析延拓。
数学物理方法
f2 (z)

k 0
(z i )k 2
(1 i )k1

的解析延拓。
2.在 D2内任取一点b2，将 f2 (z)在b2的邻域展开成泰勒级数
f3(z)
k 0
f
( 2
k)
k
(b2 !
)
(
z

b2
)k
数学物理方法
设级数的收敛区域为 D3。如果 D3 超出了 D2 的范围。由于 在 D2 和 D3 的重叠区域 f3(z)=f2(z)，所以 f3(z)就是 f2(z)在 D3 中的解析延拓。
的有效范围( f1(z) : D1, f2(z) : D2) ，同时也有公共的有效范围
（两圆重叠部分 D12）。当然常常不能得到这样一个在函数的
全部解析区域内都有效的统一表达式，而是需要用解析延拓
的方法推出分别在不同区域中有效的表达式。
数学物理方法
二、解析延拓的概念
1.概念： 若 f1(z)和f2 (z)分别在D1, D2 内解析，且在 D1与D2重叠的区域
(z i )k 1 i
2
2
(1 i )k 2
数学物理方法

f2
(
z)

1
1
i
1 1 q
2

1
1
i
2 1
1 z i
2

1 1
i 2
1
1 iy
2
i 2

(
zO
i 2

)R
1
1
z
x
1 i
2
可见 f1(z) 和 f2 (z)这两个解析函数只是同一个解析函数
1 在不同区域内的不同表达式而已。两个表达式各有自己 1 z
1
(x n)
x(x 1)K (x n 1)
注：由(x) 1 (x 1)及(1) 1得到(0) 1 (1)
x
数0学物理方法
同理：(1) 1 (0) … 1
这样：凡 x=0 或负整数： (x) 思考：x 不为负整数有什么结果？
2.复变函数中Γ函数的定义
设给定解析元素{D1, f1(z)}，现采用幂级数方法将 f1(z) 解析延拓。
数学物理方法
1.在D1内任取一点b1，将 f1(z)在b1的邻域展开成泰勒级

数 f2(z)
k 0
f1(
k ) (b1 k!
)
(
z

b1
)
k
设级数的收敛区域为 D2。如果D2超出了 D1的范围。由于在
D1和 D2的重叠区域 f1(z) f2 (z)，所以 f2 (z)就是 f1(z)在D2中
1
1
i
z i

(1
2 i )2
(z i )2

(1
2 i )3
L
Baidu Nhomakorabea
对于

1 1
i
1
2 z i
2 (1 i )

(z (1
2 i )2 2 i )2
L
2


2
2
2
2

y
(z i )k1 2
R
(1 i )k1 z i
O
x
又
q 2 2 1
(z) t e z1 tdt (Re z x 0) 0
Γ函数的递推公式： (z 1) z(z)
第五章 解析延拓 多值函数与黎曼面 第一节 解析延拓 函数
解析延拓：将解析函数定义域加以扩大
一、解析延拓的一个例子
幂级数：1 z z2 L 在以 z 0为圆心的单位圆内代表一个
解析函数，令为 f1(z)，即

f1(z) zk 1 z z2 L
k 0
1 (z 1 z
义了 x>0 的Γ函数。对(x 1) ett xdt 进行分部积分，可 0
得递推公式(x 1) x(x) (x) 1 (x 1) x
数学物理方法
递推公式本来是在 x>0 的情况下推导出来的，通常又用它把
Γ函数向 x<0 的区域延拓。
设 x (1,0)，定义(x) 1 (x 1) (x 1) (0,1) (x 1)按 x
中 有 f1(z)=f2 (z) ， 则 称 f2 (z)为f1(z)在D2 中 的 解 析 延 拓 ， f1(z)为f2 (z)在D1中的解析延拓。
定义：解析元素——区域与解析函数的组合 {D1, f1(z)}{D2, f2 (z)}
数学物理方法
2.应用 （1）已知在某区域中定义的解析函数，用解析延拓的 方法扩大其定义域和解析范围。 （2）已知数学问题的解是某区域D内（除个别奇点外） 的解析函数，利用解析延拓的方法，可以从这个函数表 达式推算出解在D的其他子区域中的表达式。 三、解析延拓的幂级数方法
这样不断作下去，得到一系列的解析元素
Dn, fn (z)(n 2,3L )。一个解析元素D1, f1(z)的全部解析
延拓的集合，称为 f1(z)所产生的完全解析函数 F(z)，F(z) 的定义域是全部解析元素给出的定义域的总和
F
(
z
)


f1 ( z ) f2(z)
z D1 z D2
L
L
数学物理方法
四、Γ函数的解析延拓（思考：解析延拓的方法） 1.实变函数中Γ函数的定义
(x) t e x1 tdt (x 0) 0
（1）
说明：（i）Γ(x)是含参数（此处为 t）的定积分，是解析函
数的一种重要表达式，这种表达式特别适于求函数的渐近表
示，或作解析延拓；
（ⅱ）（1）式右边的积分的条件是 x>0，因此（1）式只定
1)
在圆外，级数是发散的。
数学物理方法
f1 ( z )

1 1
z
在圆内一点
z

1 2
i的泰勒展开：
f2(z)
k 0
f1(
k
)
(
i 2
)
(
z

i
)k
k!
2


(z i )k 2
k0 (1 i )k1
2
（1）
1
但此级数的收敛半径为： R lim R
(1 i / 2)k 1