随机事件(1)
随机事件(1)
随机事件与概率随机事件1．通过对生活中各种事件的概率的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件做出准确的判断．2．知道事件发生的可能性是有大小的．一、情境导入在一些成语中也蕴含着事件类型，例如瓮中捉鳖、拔苗助长、守株待兔、水中捞月所描述的事件分别属于什么类型事件呢？二、合作探究探究点：事件的分类【类型一】必然事件的识别(2014·辽宁抚顺)下列事件是必然事件的是( )A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C．圆的半径为3，圆外一点到圆心的距离是5，过这点引圆的切线，则切线长为4 D．三角形的内角和是360°解析：由于互为相反数的两个数绝对值也相等，因此绝对值相等的两个数可能不相等，A选项错误；平分的弦若是直径，那么两条直径互相平分，很明显，它们不一定互相垂直，B选项错误；直接利用勾股定理计算可得，C选项正确；三角形内角和等于180°，D选项错误，故选择C.方法总结：一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是( )A．摸出的4个球中至少有一个是白球B．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C．摸出的4个球中至少有两个是黑球D．摸出的4个球中至少有两个是白球解析：∵袋子中只有3个白球，而有5个黑球，∴摸出的4个球可能都是黑球，因此选项A是不确定事件；摸出的4个球可能都是黑球，也可以3黑1白、2黑2白、1黑3白，不管哪种情况，至少有一个球是黑球，∴选项B是必然事件；摸出的4个球可能为1黑3白，∴选项C是不确定事件；摸出的4个球可能都是黑球或1白3黑，∴选项D是不确定事件，故选B.方法总结：事件类型的判断首先要判断该事件发生与否是不是确定的．若是确定的，再判断其是必然发生的(必然事件)，还是必然不发生的(不可能事件)；若是不确定的，则该事件是不确定事件．【类型二】随机事件的识别下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是________．(填序号)解析：书的页码可能是奇数，也有可能是偶数，所以事件①是随机事件；100℃的气温人不能生存，所以不可能测得这样的气温，所以事件②是不可能事件，属于确定事件；骰子六个面的数字分别是1、2、3、4、5、6，因此事件③是随机事件；四边形内角和总是360°，所以事件④是必然事件，属于确定事件．故答案是：①③.【类型三】不可能事件的识别下列事件中不可能发生的是( )A．打开电视机，中央一台正在播放新闻B．我们班的同学将来会有人当选为劳动模范C．在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快D．天上掉馅饼解析：“天上掉馅饼”这个事件一定不会发生，所以它是一个不可能事件．故选D.【类型四】判断一个事件的类型下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？(1)从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃；(2)在一年出生的367名学生中，至少有两个人的生日在同一天；(3)好梦成真；(4)任意买一张电影票，座位号是偶数；(5)太阳从西边升起；(6)当室外温度低于－10℃时，将一碗清水放在室外会结冰．解析：(1)一副扑克牌中，有4种花色，也就是说“抽出一张牌，花色是红桃”可能发生，也可能不发生；(2)一年最多366天，367名学生中，每天出生一个只能出生366个，还有一名同学是哪天出生，哪天至少出生2名同学，所以“一年出生的367名学生中，至少有两个人的生日在同一天”一定发生；(3)“好梦成真”只是人的一种愿望，可能会发生，也可能不发生；(4)电影票的座位号有奇数，也有偶数，即“任意买一张电影票，座位号是偶数”可能发生，也可能不发生；(5)太阳都是从东边升起，绝不会从西边升起，即“太阳从西边升起”一定不发生；(6)水在0℃就开始结冰，低于0℃一定会结冰，即当室外温度低于－10℃时“将一碗清水放在室外会结冰”一定发生．解：(5)是不可能的事件；(2)(6)是必然事件；(1)(3)(4)是不确定事件．三、板书设计教学过程中，结合生活实际，对身边事件发生的情况作出判断，分类，巩固所学概念.。
随机事件的概率(1)(共27张PPT)
0≤ ≤1.
(2)概率及其记法:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增
加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称
为事件 A 的概率,简称为 A 的概率.
一般来说,随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是
在大量的重复试验后,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率会逐渐
录如下:
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
127
121
击中飞碟的频率
(1)计算各次记录击中飞碟的频率;
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少?
解:(1)射击次数 100,击中飞碟数是 81,故击中飞碟的频率是
81
=0.810,同理可求得题表中的频率依次是
(5)从分别标有号码 1,2,3,4,5 的 5 个号签中任取一个,得到 4 号签;
(6)导体通电后,发热;
(7)三角形的内角和为 360°;
(8)某电话机在 1 分钟内收到 4 次呼叫.
解:(1)(6)是必然事件;(3)(7)是不可能事件;(2)(4)(5)(8)是随机事件.
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4.某人射击 10 次,击中靶心 8 次,则击中靶心的概率为 0.8.这种说法
件的是(
)
A.③
B.①
C.①④
D.④
解析:①是不可能事件,②是不可能事件,③是随机事件,④是必然事
件.
答案:D
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2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位:人)如下:
第一章 随机事件和概率
第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。
2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。
解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。
两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。
解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
1随机事件和概率
解 ：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品}, 需求P(B│A).
(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品, 剩下的产品共19件其中3件次品,从而
P(B│A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于
二 、乘法公式
设P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A│B) 同样,当P(A)>0时,有： P(AB)=P(A)P(B│A) 上述乘法公式可推广至任意有限个事件的情形:
三、样本空间
试验E的所有基本结果构成的集合称为样本空间， 记为S。 S中的元素即E的每个基本结果称为样本点，记为 ω，即S={ω}。 基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。 必然事件包含一切样本点，它就是样本空间S。 不可能事件不含任何样本点，它就是空集φ。
四、事件间的关系及其运算 例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
可列个事件A1 , A2 , … , An的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An
或A1A2 … An ，也可简记为 在可列无穷的场合，用 件同时发生。” 。 表示事件“A1、A2 …诸事
4.互不相容事件
事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A 和B是互不相容的或互斥的。 基本事件是两两互不相容的。 5.对立事件 若A，B互不相容，且它们的和事件为必然事件，即
例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表
示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生；
（6）A，B，C中至少有两个发生。
1.2 事件的概率
1随机事件与事件间的关系与运算介绍
1随机事件与事件间的关系与运算介绍事件是指在一个试验或观察中，可能发生的一系列结果的集合。
随机事件是指在试验过程中，其结果是由一定的概率决定的事件。
事件间的关系与运算是指通过不同的操作来描述和处理事件之间的关系。
事件间的关系包括并、交、差、互斥、包含和互余等。
1.并：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∪B表示。
A∪B 的结果是包含了A和B两个事件的所有可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∪B表示硬币正面朝上或者骰子掷出的结果是偶数。
2.交：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∩B表示。
A∩B 的结果是A和B共同的可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∩B表示硬币正面朝上并且骰子掷出的结果是偶数。
3.差：指事件A发生而事件B不发生的情况，用符号A-B表示。
A-B 的结果是事件A中除了事件B包含的结果之外剩余的可能结果。
比如，A 表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A-B表示硬币正面朝上但骰子掷出的结果不是偶数。
4.互斥：指两个事件A和B不可能同时发生的情况，用符号A∩B=∅表示。
如果A和B互斥，则它们的交集为空集。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一枚硬币反面朝上，两个事件是互斥的，即硬币不可能同时正面和反面朝上。
事件间的运算包括概率加法和概率乘法。
1.概率加法：对于两个互斥事件A和B，其并的概率等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
这个运算用于计算两个互斥事件中至少发生一个的概率。
2.概率乘法：对于两个独立事件A和B，其交的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
这个运算用于计算两个独立事件同时发生的概率。
需要注意的是，概率加法和概率乘法只适用于互斥事件和独立事件。
此外，事件间的包含和互余关系也常用于描述事件的关系。
1.包含：若事件A包含事件B，表示事件B发生必然导致事件A发生，用符号A包含B表示。
第1节 随机事件(1)
五、事件的集合表示
例四（ 例四（续）在抛掷一枚骰子的随机试验中： 在抛掷一枚骰子的随机试验中： A = “点数为 点数为6” 点数为 = {6} B = “点数小于 点数小于5” 点数小于 = {1, 2, 3, 4} C = “点数小于 的偶数” {2, 4} 点数小于5 点数小于 的偶数” = = {1, 2,L , 6} = Ω D = “点数小于 点数小于7” 点数小于 =∅ E＝“点数大于 ＝ 点数大于6”
5 4 3 2 1
1 2 3 4
5 6
六、事件的运算和关系
1、事件的运算
运算 符号 概率论含义 文氏图 Ω
A与B的 A + B “ A与 B中 至 少 有 一 个 发 生 ” 与 的 和(或并) ( A U B) 或
A+ B = {x | x ∈ Aor x∈B}
A
B
AB “ 事 件 A与 B同 时 发 生 ” A与B的 与 的 积(或交) ( A I B) 或 AB = {x | x∈ Aand x∈B}
二、随机试验
对随机现象所作的观察(无论自然条件下还是实验 ( 对随机现象所作的 条件下)称为随机试验。 条件下)称为
例二 随机试验的例子： • • • • • • • 观察新生婴儿的性别； 新生婴儿的性别； 新生婴儿的性别 观察硬币正面出现的次数； 硬币正面出现的次数； 硬币正面出现的次数 观察一天内进入某超市的顾客数； 一天内进入某超市的顾客数； 一天内进入某超市的顾客数 测试一台电脑的寿命； 一台电脑的寿命； 一台电脑的寿命 检验某种牛奶制品是否合格； 某种牛奶制品是否合格； 某种牛奶制品是否合格 观察明天下午是否下雨。 明天下午是否下雨。 明天下午是否下雨 ……
完备事件组
随机事件的概率(1)
随机事件的概率导学目标：1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．自主梳理1．事件的分类(1)一般地，我们把在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称____________．(2)在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称____________．(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做________________________________，简称随机事件．事件一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称____________________为事件A出现的频数，称事件A出现的比例________________为事件A出现的频率．(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________，这个常数叫事件A的概率．3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A________，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)______(或______)相等关系若B⊇A且______，那么称事件A与事件B相等______并事件(和事件) 若某事件发生________________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)______(或______)交事件(积事件) 若某事件发生________________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)________(或______)互斥事件若A∩B为________事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝____对立事件若A∩B为________事件，A∪B为________事件，那么称事件A与事件B互为对立事件B＝______(或A＝____)4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：________.(2)必然事件的概率：P(E)＝____.(3)不可能事件的概率：P(F)＝____.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________.(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____，P(A)＝________.自我检测1．下列说法正确的是()A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的2.如果把必然事件和不可能事件看做随机事件的极端情形，随机事件A的概率取值范围是() A．P(A)>0 B．P(A)≥0C．0<P(A)<1 D．0≤P(A)≤13．从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必然事件是()A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品4．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④5．关于互斥事件的理解，错误的是()A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生B．若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生D．若A、B又是对立事件，则A、B中有且只有一个发生探究点一随机事件的概念例1一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？变式迁移1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.探究点二随机事件的频率与概率例2某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如图，请回答：(1)该中学参加本次高中数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？(结果保留分数)变式迁移2投篮次数n 8 10 15 20 30 40 50进球次数m 6 8 12 17 25 32 38进球频率m n(1)填写上表．(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？探究点三 互斥事件与对立事件的概率例3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．变式迁移3 一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？1．随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率m n总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A 的概率．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用P(A)＝1－P(A )可得解．一、选择题1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )①恰好有1件次品和恰好有两件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少1件次品和全是正品．A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④2．下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率m n就是事件A 发生的概率； ③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①④⑤C ．①②③④⑤D ．②③3．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( )A ．甲成立，乙一定成立；乙成立，甲不一定成立B ．甲成立，乙不一定成立；乙成立，甲一定成立C ．甲成立，乙一定成立；乙成立，甲一定成立D ．甲成立，乙不一定成立；乙成立，甲不一定成立4．某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶二、填空题5．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g )：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g ～501.5 g 之间的概率约为________．6．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．三、解答题7．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？11．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．。
1随机事件与事件间的关系与运算
四
事件间的运算法则
1）幂等律: A A A,
AA A
2）交换律: A B B A, A B B A 3）结合律: 4）分配律:
A B C A B C A B C A B C
( A B) C A C B C; C ( A B) C A C B
S4 = { t | t 0 }
1）要求：会写出随机试验的 样本空间。
2）注意到概率论中的样本点、样本空间、空集的概 念与集合论中的元素、全集、空集的概念是分别对应 的。 思考一下，这种对应关系对于学习概率论具有什么 好处？
二 、 事件间的关系与运算
1) 包含关系 如果事件A发生必导致事件B 发生，则称B包含A，或者说 A是B的子事件。记为：
5，6）表示出现i点，用A表示出现偶数点，B表示奇数点。则 A与B 都不是基本事件，而ei 是基本事件。这是因为 A={e2 } U{e4} U{e6}， B={e1} U{e3} U{e5}。
（4）必然事件 :在试验中一定发生的事件，记为S 。（5） 不可能事件 :在试验中不可能发生的事件，记为。
例 (i) 抛一枚硬币，观察正面出现正面还是反面，可用H表 示正面（Head），T表示出现反面（Tail） (ii)抛一颗骰子，观察出现的点数。可以用ei表示出现i点 (i=1，2，3，4，5，6）
(3)基本事件 :不能分解成其他事件组合的最简单的事件。
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退 出
例：抛一颗骰子，观察出现的点数。若用ei (i=1，2，3，4，
要求：会用集合论语言和概率论语言表述 事件的关系. 掌握： De Morgan律.
概率论与数理统计——第一章练习题
第一章 随机事件与概率（一）随机事件知识点1、称试验E 的样本空间的子集为随机事件，用A 、B 、C …表示。
事件A 的元素是样本点，它在一次试验中，可能出现，也可能不出现。
A 中的某个样本点出现了，事件A 发生，否则，A 不发生。
因此，在一次试验中，可能发生也可能不发生的事情，就是随机事件。
样本空间S 有两个特殊的子集；S 自身和空集φ。
S 含所有的样本点，每次试验，必然发生；φ不含样本点，每次试验一定不发生。
在一定条件下，每次试验一定发生的事情，称为必然事件。
每次试验一定不发生的事情，称为不可能事件。
必然事件S ，不可能事件φ是事先就能明确是否会发生，属于确定性现象，但在概率统计中，为了研究问题的需要，仍将其作为特殊的随机事件处理，使得事件间有着完整的关系，S A ⊂⊂φ。
此外，在样本空间的子集中，只含一个样本点的事件，称为基本事件。
样本点的个数超过一个的事件，称为复合事件。
2、事件之间的关系和运算由于事件是样本点的集合，因此，事件之间的关系和运算可借助集合之间的关系与运算来定义。
其运算规律也同集合间的运算规律。
(1)事件的包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称A 包含于B (或B 包含A )，记B A ⊂(或A B ⊃)。
若B A ⊂且A B ⊃，则称事件A 与事件B 相等，记B A =。
(2)事件的和事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，记作B A ，称为A 与B 的和事件，有{}B e A e e B A ∈∈=或 。
同样地有限个事件n A A A ,,,21 至少有一个发生的事件，记作 ni i A 1=，称为有限个事件的和事件。
可列多个事件 ,,,,21i A A A 至少有一个发生的事件，记作 ∞=1i i A ，称为可列多个事件的和事件。
(3)事件的积事件A 与事件B 同时发生的事件，记作B A (或AB )，称为A 与B 的积事件，{}B e A e e AB ∈∈=且 类似地，有限个多个事件n A A A ,,,21 同时发生的事件，记作 ni i A 1=。
随机事件的概率计算(1)
几何概型计算方法
样本空间
确定所有可能的基本事件 ，构成样本空间，通常是
一个区域或体积。
等可能性
几何概型中，每个基本事 件的发生也是等可能的。
概率计算
事件A发生的概率P(A)等于 事件A包含的度量（如长度 、面积、体积等）与样本 空间的度量之比，即P(A) = m(A)/m(Ω)，其中m(A) 为事件A的度量，m(Ω)为
02
古典概型与几何概型
古典概型计算方法
01
样本空间
02
等可能性
确定所有可能的基本事件，构成样本 空间。
古典概型中，每个基本事件的发生是 等可能的。
03
概率计算
事件A发生的概率P(A)等于事件A包含 的基本事件个数与样本空间的基本事 件个数之比，即P(A) = m/n，其中m 为事件A包含的基本事件个数，n为样 本空间的基本事件个数。
条件概率的性质
条件概率满足概率的所有性质，如非负性、规范性、 可加性等。
事件独立性判断方法
1 2 3
事件独立性定义
如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有 影响，则称事件A与事件B相互独立。
事件独立性判断方法
通过比较P(AB)与P(A)P(B)是否相等来判断事件A 与事件B是否相互独立。如果P(AB) = P(A)P(B) ，则事件A与事件B相互独立。
对立关系
如果两个事件中必有一个发生，且只有一个发生，则称这 两个事件是对立的。
概率定义及性质
概率定义
在相同条件下，随机事件A发生的可能性大小的度量。
概率性质
非负性、规范性、可加性。其中，非负性指任何事件的概率都不能是负数；规 范性指样本空间的概率等于1；可加性指对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)。
1-2 随机事件 (1)
二、随机事件
1. 基本概念
随机事件 随机试验 E 的样本空间Ω的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件. 常以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件.
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
事件 A={掷出1点} 1 .
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5 事件 C {出现的点数大于4} 5,6 .
请注意： 实际中,在进行随机试验时,我们往往 会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合. 例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定 灯泡的寿命 (小时) 小于500为次品, 那么我们关心 灯泡的寿命 t 是否满足 t 500 . 或者说, 我们关心 满足这一条件的样本点组成的一个集合{ t t 500} . 这就是——
பைடு நூலகம்
例如 为
若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间
{ HHH , HHT , HTH , THH ,
HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{ 0, 1, 2, 3}.
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
(4) “三人中恰好有一人中靶”: ABC ABC ABC ;
(5) “三人中至少有一人中靶”: A B C 或 ABC ; (6) “三人中至少有一人未中靶”:A B C 或 ABC ;
(7) “三人中恰有两人中靶”:ABC ABC ABC ;
(8) “三人中至少有两人中靶”: AB AC BC ; (9) “三人中均未中靶”:ABC ; (10) “三人中至多一人中靶”: B C A BC A B C A B C A (11) “三人中至多两人中靶”:ABC 或 A B C . 注: 用其它事件的运算来表示一个事件, 方法往往 不唯一, 如本例中的 (6) 和 (11) 实际上是同一事件, 读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决 具体问题时, 往往要更具需要选择一种恰当的表示
概率论与数理统计第1-3章复习资料
其中λ = n P 例2：在例1的试验中，求： （1）A=“点数和为奇数的概率”； （2）B=“点数不同的概率” 例3：某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件， 求下列事件的概率： （1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880） （2）B=“ 3件中至少有1件次品”（633/2964）
xi R , i 1 , , n , n 元函数
F ( x1 ,, xn ) P( X 1 x1 ,, X n xn ) ( 是 X 1 ,, X n ) 的分布函数。
（1）’
注：r, v 取值的规律称 r, v 的分布，分布函数是描 述 r, v 的概分布的主要方法之一。 （二）分布函数的性质： 一维：1、有界性：0 F ( X ) 1
m 4、由公式 P( A) 进行计算 n
（二）几何概型 所求概率为： P（A）=[A所包含的区域度量] / [样本空间的度量] （三）条件概率及其全概率公式 1、条件概率：若P(B) ＞0，则
P( A B) P( AB) P( B)
2、全概率公式 如果B1,…,Bn为一完备事件组，即满足： （1） B1,…,Bn两两不相容i=1, …,n；
例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随 机地抽取 1只测试，直到4只次品晶体管都找到。求最后 一只次品晶体管在下列情况发现的概率： （1）A=“在第 5 次测试发现”。（2/105） （2）B=“在第10次测试发现”。（2/5） 例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件 A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同” 的概率。 例6：五个乒乓球，其中三个旧球，二个新球，每次取一个， 共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率： （1）A=“两次都取到新球”； （2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”； （3）C=“至少有一次取到新球”。
1[1].1 随机事件
![1[1].1 随机事件](https://img.taocdn.com/s3/m/e7e8296aaf1ffc4ffe47acd4.png)
课堂练习
写出下列各个试验的样本空间: 写出下列各个试验的样本空间: 掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况； (H)反面(T)出现的情况 1 掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况； {正面 反面 正面,反面 正面 反面} 2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况； 将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况； 将一枚硬币连抛三次
观察取出的两个球的号码， （２）观察取出的两个球的号码，则样本空间 为： ={ω12, ω13, ω14, ω15, ω23, ω24,ω25, ω34, ω35, ω45 } ωij 表示“取出第 号与第 号球”． 表示“取出第i号与第 号球” 号与第j号球
注：试验的样本空间是根据试验的内容确 定的！ 定的！
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
实例4 实例
“从一批含有正品 从一批含有正品
其结果可能为: 其结果可能为 次品. 正品 、次品
和次品的产品中任意抽取 一个产品” 一个产品”. 实例5 实例 “过马路交叉口时 过马路交叉口时, 过马路交叉口时
可能遇上各种颜色的交通 指挥灯” 指挥灯”. 实例6 一只灯泡的寿命 一只灯泡的寿命” 可长可短. 实例 “一只灯泡的寿命” 可长可短 随机现象的特征: 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
{红,黄} {A,B,C,D,F}
4.袋中有编号为 袋中有编号为1,2,3,…,n的球 从中任取一个 观察球的号码； 的球,从中任取一个 观察球的号码； 袋中有编号为 的球 从中任取一个,观察球的号码 {1,2,3,…,n} 5.从自然数 1,2,3,…,N(N≥ 3)中接连随意取三个 每取一个 从自然数 中接连随意取三个,每取一个 中接连随意取三个 还原后再取下一个.若是不还原呢 若是一次就取三个呢？ 若是不还原呢？ 还原后再取下一个 若是不还原呢？若是一次就取三个呢？ 试写出样本空间的样本点总数. 试写出样本空间的样本点总数 3 3 不还原: N (N − 1)(N − 2) 一次取三个: C N 还原: N 6.接连进行 次射击 记录命中次数 若是记录 次射击中命 接连进行n次射击 记录命中次数.若是记录 接连进行 次射击,记录命中次数 若是记录n次射击中命 中的总环数呢？ 中的总环数呢？ {0,1,2,…10n} {0,1,2,….n} 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。 观察某条交通干线中某天交通事故的次数 {0,1,2,…N}
1-2 随机事件
空间
空集 元素
e
A
子集
A的补集
A
A B A B
A是B的子集
集合A与集合B相等
A B
事件A与事件B的和 集合A与集合B的并集 事件A与事件B的 集合A与集合B的交集 积事件
AB
A B
AB
事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
A与B 两集合中没有 事件A与B互不相容 相同的元素
课堂练习
A1 A 2 A 3 A 4 ;
( 5 ) A1 A 2 A 3 A 4 A1 A 2 A 3 A 4 A1 A 2 A 3 A 4 A1 A 2 A 3 A 4 ;
( 6 ) A1 A 2 A 3 A 4 A1 A 2 A 3 A 4 A1 A 2 A 3 A 4 A1 A 2 A 3 A 4 A1 A 2 A 3 A 4 .
记为 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 包含“长度不合格”. 所以“产品不合格”
图示 B 包含 A. A B S
显然
A S,
规定
A.
(2) A等于B
若
A B, B A
则称事件 A 与事
件 B 相等，记作 A=B. (3) 事件 A 与 B 和事件
今日作业：
P22： 1
谢谢大家！
A 1 , A 2 , , A n 的积事件 ;
称
k 1
A k 为可列个事件
A 1 , A 2 , 的积事件
.
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S,
A A,
A S A,
25.1.1随机事件(1) dinggao
25.1.1 随机事件（1）学习目标了解必然事件、不可能事件和随机事件的意义，会判断哪些事件是必然事件、不可能事件、随机事件。
Ⅰ、温故知新：1. (1)小明的爸爸昨天买了一张彩票，他一定会中奖吗？(2)小李说他发烧时体温是100℃，可能吗？(3)明天太阳从东方升起，确定吗？2.在生活中有哪些事情一定会发生？一定不会发生？有可能发生？请至少举出三个例子并加以说明？Ⅱ、设问导读：阅读课本P127-128完成下列问题：1.问题解决（通过简单的推理或实验，回答课本所提出的两个问题）：试验结果和你想的一样吗？为什么？2.定义分析：（1）什么是必然事件和不可能事件？什么又是随机事件呢？它们的特点各是什么？（2）事件分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧________________________________事件Ⅲ、自学检测：1.下列事件中，哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件？(1) l＋3<2；(2)打开电视，它正在播广告；(3)3天内将下雨；(4)在妇幼保健医院里，下一个出生的婴儿是女孩；(5)你最喜爱的篮球队将夺得CBA冠军．(6)抛掷1个均匀的骰子，6点朝上；(7)367人中有2人的出生日期相同；不可能事件___________________；必然事件____________________；不确定（随机）事件_______________.2.选择题：⑴下列事件中，随机事件是（）A.太阳绕着地球转B.小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯C.八月十五月儿圆D.一个月有37天⑵下列事件是必然事件的是（）A.酒瓶会爆炸B.在一段时间内汽车出现故障C.地球在自转D.时光能倒流⑶我买了一张彩票中了特等奖，这一事件是（）A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.无法确定Ⅳ、巩固训练：1. 下列哪些事件是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)两直线平行，内错角相等；(2)抛掷一千枚硬币，全部正面朝上；(3)掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，7点朝上；(4)任意选择电视的某一频道，它正在播动画片.不可能事件___________________；必然事件____________________；不确定（随机）事件_______________.2．下列事件是必然发生事件的是（）A．打开电视机，正在转播足球比赛B．小麦的亩产量一定为1000公斤C．在只装有5个红球的袋中摸出1球是红球D．农历十五的晚上一定能看到圆月3．一个鸡蛋在没有任何防护的情况下，从六层楼的阳台上掉下来砸在水泥地面上没摔破 ( )A．可能性很小 B．绝对不可能C．有可能 D．不太可能Ⅴ、拓展延伸：你能从学过的数学知识中说出一些确定事件与随机事件吗？例：①|a|不小于0；②X0=1；③1+3<2；④任意一个三形的内角和180°；⑤如果a，b是有理数，那么ab= ba；⑥异号两数相乘，积为负数…它们分别是什么事件？25.1.1 随机事件（1）自学检测：1. 不可能事件（1）必然事件（7）不确定（随机）事件（2）（3）（4）（5）(6)2. （1）B （2）C （3）C巩固训练：1.不可能事件（2）（3）必然事件（1）不确定（随机）事件（4）2.C3.B拓展延伸：①确定事件②随机事件；③确定事件；④确定事件；⑤确定事件⑥确定事件。
25.1随机事件与概率(1)
课题：人教版九年级数学25.1随机事件与概率（1））课型：新授课教学目标1、理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；2、理解随机事件发生的可能性是有大小的。
重点：知道随机事件是必然事件、不可能事件还是随机事件难点：确定性事件与必然事件的辨认，根据要求改变事件可能性的大小教学过程：一,导入新课：1、创设情境，引出课题教师：同学们，随意翻开数学课本，你知道左边的页码是奇数还是偶数？一定是这样的结果吗？不妨试一试。
（通过这个提问和学生的实践，让学生产生好奇心，促使他形成急欲想知的心理状态。
）教师：你们得到的结论是？学生：左边页码都是偶数教师：看来随意翻开数学课本，左边页码为偶数这个事情一定会发生。
教师：如果我再抛掷一枚硬币，请同学们猜一猜，当硬币落到手上时，向上的是硬币正面还是反面？学生：（正面、反面）教师：某一面向上可能发生也可能不发生。
（通过“翻书”和“掷硬币”这两个事情，让学生感受到随机事件在现实生活中大量存在，并且和我们的生活是密切相关的。
）教师：是的，现实生活中，我们经常遇到这样的事情：在一定的情况下，有些事情一定要发生，有些事情一定不会发生，还有很多事情则可能发生也可能不发生。
同学们也都听说过“天有不测风云”这句话吧？是的，很多事情的发生都具有偶然性，人们事先无法判定这些事情是否发生。
人们果真对这些事情无法把握，束手无策吗？带着这些问题让我们一同走进概率一章的学习。
今天我们首先研究随机事件。
（良好的开端是成功的一半，所以创设必要的问题情境引入课题就显得非常必要了，同时也使得新课引入比较自然。
）二出示学习目标出示目标：1、熟记随机事件、必然事件、不可能、事件的基本概念和特点2、会判断一个事件是随机事件、必然事件、不可能事件还是随机事件3、理解随机事件发生的可能性有大小之分，并且可能性的大小是可以改变的学生齐读（心中有目标，效率才会高。
）三预习导学组长组织交流预习导学，用红笔标注自己通过预学存在的问题，组长将记录各题完成情况，组织成员讨论出错题目，将未解决问题抄写至本组黑板上或准备口头提出。
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笔记
在一定条件下: 必然会发生的事件叫必然事件; 必然不会发生的事件叫不可能事件;
可能会发生，也可能不发生的事件 叫不确定事件或随机事件.
判断下列事件中哪些是必 然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机 事件。 1、在地球上，太阳每天从东方升起。 2、有一匹马奔跑的速度是70千米/秒。 3、明天，我买一注体育彩票，得500万大奖。 4、用长为3cm、4cm、7cm的三条线段首尾顺次 连结，构成一个三角形。 5、掷一枚均匀的硬币，正面朝上。
练一练: 指出下列事件中哪些事件是必然事件,哪些事件 是不可能事件,哪些事件是随机事件. (不可能事件) ⑴度量三角形内角和,结果是360°． ⑵标准情况下水加热到100°C,就会沸腾. (必然事件) ⑶掷一个正方体的骰子,向上的一面点数为6. (随机事件) ⑷经过城市中某一有交通信号灯的路口,遇到红灯. (随机事件) (5)某射击运动员射击一次,命中靶心. (随机事件)
确定性事件
必然事件：在一定条件下重 复进行试验时，在每次试验 中必然会发生的事件。 不可能事件：在一定条件下 重复进行试验时，在每次试 验中不可能发生的事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能 不发生的事件. 也可称为偶然性事件。 特征：事先不能预料，即具有不确定性！
你能举出生活中的例子吗 1、必然事件 2、不可能事件 3、随机事件
我思我进步
1.下列成语反映的事件是随机事件的是（②④） ①水中捞月 ③刻舟求剑 ⑤拔苗助长 ②一箭双雕 ④守株待兔 ⑥瓮中捉鳖
2.一个口袋中装有1个红球、1个黄球、8个黑球， 它们除颜色不同外，其余均相同。小强从口袋 中摸出3个球，他会摸出哪三个球呢？请分别说 出一个不可能事件、一个随机事件、一个必然 事件。
书本： 1、书本，P131，第1题。 （1）在体育运动中寻找；
不能忘哦！
2寻找现实生活中必然事件、不可能事件、随机事件。
（2）在文艺歌曲中寻找；
（3）在气象自然中寻找；
（4）在成语故事中寻找。
2011年11月3日
晴
早上，我迟到了。于是就急忙去学校上学， 可是在楼梯上遇到了班主任，她批评了我一顿。 我想我真不走运，她经常在办公室的啊，今天我 真倒霉。我明天不能再迟到了，不然明天早上我 将在楼梯上遇到班主任。 中午放学回家，我看了一场篮球赛，我想长 大后我会比姚明还高，我将长到100米高。看完比 赛后，我又回到学校上学。 下午放学后，我开始写作业。今天作业太多 了，我不停的写啊，一直写到太阳从西边落下。
可能发生, 也 可能不发生
• 你能举出生活中的例子吗？ • 1、不可能发生事件 • 2、必然发生事件 • 3、可能发生，也可能不发生事件
小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰 子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以 下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面： （1）可能出现哪些点数？ （2）出现的点数会是7吗？ （3）出现的点数大于0吗？ （4）出现的点数会是4吗？
同学们听过“天有不测风云” 这句话吧!它的原意是指刮风、下 雨、阴天、晴天这些天气状况很 难预料，后来它被引申为：世界 上很多事情具有偶然性，人们不 能事先判定这些事情是否会发生。
人们果真对这 类偶然事件完全无 降水概率90% 法把握、束手无策 吗？不是！随着对 事件发生的可能性 正是在研究这些规律中产生的。 的深入研究，人们 人们用它描叙事件发生的可能 现在概率的应用日益广泛。本章 发现许多偶然事件 性的大小。例如，天气预报说 中，我们将学习一些概率初步知 的发生也具有规律 明天的降水概率为90%，就意味 识，从而提高对偶然事件发生规 可循的。概率这个 着明天有很大可能下雨（雪）。 律的认识。 重要的数字概念，
5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人 的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签， 上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军 首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从 签筒中随机（任意）地取一根纸签。 判断（2）－（4）是什么事件 ． （1）抽到的序号有几种可能的结果？
（2）抽到的序号是0 （3）抽到的序号小于6 （4）抽到的序号会是1
小明从盒中任 意摸出一球， 一定能摸到红 球吗？
小麦从盒中摸出的球一定是白球吗？ 小米呢？ 小麦能摸到 小米从盒中摸出的球一定是红球吗？
红球吗？
可能发生, 也 三人每次都能摸到红球吗？ 必然不会发生 必然发生 可能不发生
试分析:“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌”这一事件的发生情况?
必然发生
必然不会发生
摸球试验：袋中装有4个黑球，2个白球， 这些球的形状、大小、质地等完全相同， 在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸 出一个球。 （1）这个球是白球还是黑球？
（2）如果两种球都有可能被摸出，那么 摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？
（1）一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球， 其中4个白球，2个红球，3个黑球，其它都是黄球，从 中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？ （2）一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我 们能否说翻到偶数页的可能性就大？ （3）袋子里装有红、白两种颜色的小球，质地、大小、 形状一样，小明从中随机摸出一个球，然后放回，如果 小明5次摸到红球，能否断定袋子里红球的数量比白球 多？怎样做才能判断哪种颜色的球数量较多？ （4）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3：7。 如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里” 与“落在陆地上”哪个可能性更大？
牛刀小试
⑴同一枚骰子连续掷两次,朝上一 1.指出下列事件是哪类事件( 面出现点数之和为14. (不可能事件) 必然事件,不可能事件,随机事 ⑵任意四边形的内角和都等于 件) 360°. （必然事件） ⑶一辆小汽车从面前经过,它的车 牌号码为偶数. （随机事件） ⑷从一副完整扑克牌中任抽一张, 它是草花. （随机事件）