2021学年高中数学1.5.2平行关系的性质学案含解析北师大版必修2.doc
高中数学学案北师大版必修2 平行关系的性质 教案
教学设计5．2平行关系的性质导入新课思路1.(情境导入)三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的性质问题．思路2.(直接导入)前面学习了平行关系的判定,本节我们学习平行关系的性质,教师点出课题．推进新课新知探究提出问题①回忆空间两条直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行,探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两条直线的位置关系．问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力．问题③引导学生进行语言转换．问题④引导学生用排除法．问题⑤引导学生找出应用的难点．问题⑥鼓励学生总结,教师归纳．讨论结果:①空间两条直线的位置关系:相交、平行、异面．②若一条直线与一个平面平行,这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用反证法证明),所以,该直线与平面内直线的位置关系还有两种,即平行或异面．怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢(排除异面的情况)？经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．这个定理用符号语言可表示为:⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b . 这个定理用图形语言可表示为:如图1.图1④已知a ∥α,a ⊂β,α∩β＝b .求证:a ∥b.⑤应用线面平行的性质定理的关键是:过这条直线作一个平面．⑥应用线面平行性质定理的要诀:“见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线．” 提出问题①利用空间模型探究:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？②回忆线面平行的性质定理,结合模型探究线面平行的性质定理. ③用三种语言描述平面与平面平行的性质定理. ④应用面面平行的性质定理的难点在哪里？ ⑤应用面面平行的性质定理口诀是什么？讨论结果:①如图2,借助长方体模型,我们看到,B ′D ′所在的平面A ′C ′与平面AC 平行,所以B ′D ′与平面AC 没有公共点．也就是说,B ′D ′与平面AC 内的所有直线没有公共点．因此,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线．图2②直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．因为,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线,只要过B ′D ′作平面BDD ′B ′与平面AC 相交于直线BD ,那么直线B ′D ′与直线BD 平行．如图3.图3③两个平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行．两个平面平行的性质定理用符号语言表示为:⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b . 两个平面平行的性质定理用图形语言表示为:如图4.图4④应用面面平行的性质定理的难点是:过某些点或直线作一个平面．⑤应用面面平行性质定理的口诀:“见到面面平行,先过某些直线作两个平面的交线．”应用示例思路1例1 如图5,A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α,AC ∥BD ,且AC ,BD 与α分别交于点C ,D ,求证:AC ＝BD.图5证明:连接CD .因为A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α, 所以AB ∥CD .又因为AC ∥BD ,所以四边形ABCD 是平行四边形． 因此AC ＝BD .点评:已知线面平行时,常用到线面平行的性质定理. 变式训练已知AB ,CD 为异面线段,E ,F 分别为AC ,BD 中点,过E ,F 作平面α∥AB .求证:CD ∥α.证明:如图6,连接AD 交α于G ,连接GF ,图6∵AB ∥α,面ADB ∩α＝GF ⇒AB ∥GF . 又∵F 为BD 中点, ∴G 为AD 中点．又∵AC ,AD 相交,确定的平面ACD ∩α＝EG ,E 为AC 中点,G 为AD 中点,∴EG ∥CD .⎭⎪⎬⎪⎫EG ⊂αCD ⊄αEG ∥CD ⇒CD ∥α. 例2 如图7,平面α,β,γ两两平行,且直线l 与α,β,γ分别相交于点A ,B ,C ,直线m 与α,β,γ分别相交于点D ,E ,F ,AB ＝6,BC ＝2,EF ＝3.求DE 的长．图7解:连接DC .设DC 与β相交于点G ,则平面ACD 与α,β分别相交于直线AD ,BG ,平面DCF 与β,γ分别相交于直线GE ,CF .因为α,β,γ两两平行, 所以BG ∥AD ,GE ∥CF .因此AB BC ＝DG GC ,DG GC ＝DE EF .所以AB BC ＝DE EF .又因为AB ＝6,BC ＝2,EF ＝3,所以DE ＝9.点评:本题利用面面平行得到线线平行,从而得到线段成比例. 变式训练如图8,平面α∥平面β,平面γ与α交于直线a ,γ与β交于直线b ,直线c 在β内,且c ∥b .图8(1)判断c与α的位置关系,并说明理由；(2)判断c与a的位置关系,并说明理由．答案:(1)c∥α；(2)c∥a.(理由略．)思路2例1 求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行.图9解:已知:如图9,a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.求证:c∥a∥b.证明:变式训练求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行．图10解:已知:如图10,a∥α,a∥β,α∩β＝b.求证:a∥b.证明:如图10,过a作平面γ,δ,使得γ∩α＝c,δ∩β＝d,那么有点评:本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程．这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 已知:a ,b 是异面直线,a ⊂平面α,b ⊂平面β,a ∥β,b ∥α. 求证:α∥β.证明:如图11,在b 上任取点P ,显然P ∉a .于是a 和点P 确定平面γ,且γ与β有公共点P.图11设γ∩β＝a ′,∵a ∥β.∴a ′∥a .∴a ′∥α.这样β内相交直线a ′和b 都平行于α,∴α∥β.知能训练1．如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．图12解:已知:α∥β,γ∥β,求证:α∥γ.证明:如图12,作两个相交平面分别与α,β,γ交于a ,c ,e 和b ,d ,f ,⎭⎬⎫α∥β⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥cb ∥d β∥γ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ c ∥ed ∥f⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ∥e ⇒a ∥γb ∥f ⇒b ∥γ⇒α∥γ. 点评:欲将面面平行转化为线线平行,先要作平面． 2．如图13,EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上,求证:BD ∥面EFGH ,AC ∥面EFGH .证明:∵四边形EFGH 是平行四边形⎭⎪⎬⎪⎫⇒EH ∥FGFG ⊂面BDC EH ⊄面BDC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫EH ∥面BDCEH ⊂面ABD 面ABD ∩面BDC ＝BD图13⎭⎪⎬⎪⎫⇒EH ∥BDEH ⊂面EFGH BD ⊄面EFGH ⇒BD ∥面EFGH . 同理,可证AC ∥面EFGH .拓展提升如图14,两条异面直线AB ,CD 与三个平行平面α,β,γ分别相交于A ,E ,B 及C ,F ,D ,又AD ,BC 与平面的交点为H ,G .求证:四边形EHFG 为平行四边形．图14证明:⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ∩α＝AC 平面ABC ∩β＝EG α∥β⇒AC ∥EG .同理,AC ∥HF .⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥EG AC ∥HF ⇒EG ∥HF .同理,EH ∥FG .故四边形EHFG 是平行四边形．课堂小结1．线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决立体几何中平行关系的关键． 2．学会作辅助线,特别是利用平行关系的性质作辅助线．作业习题1—5 B 组第2,3题．设计感想本节教学设计注重培养学生直觉感知和应用能力，在实际教学中，可选择使用例题和练习题．备课资料备用习题1．如图15，P 是△ABC 所在平面外的一点，A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△P AB 的重心．图15(1)求证：平面ABC ∥平面A ′B ′C ′； (2)求△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比．证明：(1)连接P A ′，PB ′，PC ′并延长交BC ，AC ，AB 于D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF .∵A ′，C ′分别是△PBC ，△P AB 的重心， ∴P A ′＝23PD ，PC ′＝23PF .∴A ′C ′∥DF .∵A ′C ′⊄平面ABC ，DF ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC .同理，A ′B ′∥平面ABC .又A ′C ′∩A ′B ′＝A ′，A ′C ′、A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′，∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′.(2)由(1)知A ′C ′23DF ，又DF 12AC ，∴A ′C ′13AC . 同理，A ′B ′13AB ，B ′C ′13BC .∴△A ′B ′C ′∽△ABC . ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9.2．已知：如图16，α∥β，AB ∥CD ，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β.图16求证：AB＝CD.证明：∵AB∥CD，∴过AB，CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.∵α∥β，∴BD∥AC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD.3．如图17，已知平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，E，F分别为AB，CD的中点．求证：EF∥α，EF∥β.图1图18证明：当AB，CD共面时，平面ABCD∩α＝AC，平面ABCD∩β＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF∥AC.∵ACα，EFα，∴EF∥α.同理，EF∥β.当AB，CD异面时，如图18，∵E CD，∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.平面AC′BD′∩α＝AC′，平面AC′BD′∩β＝BD′，∵α∥β，∴AC′∥BD′.∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点．平面CC′D′D∩α＝CC′，平面CC′D′D∩β＝DD′，∵α∥β，∴CC′∥DD′.∵E，F分别为C′D′，CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.∵CC′α，EFα，∴EF∥α.同理，EF∥β.(设计者：释翠香)。
高中数学北师大版必修二《1.5.2平行关系的性质》课件PPT
由此易知三者之间可以任意转化．另一种转化就是空间问题平 面化，辅助面在转化空间问题为平面问题中有着重要作用．
3．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆 空间之中两直线，平行相交和异面． 线线平行同方向，等角定理进空间． 判断线和面平行，面中找条平行线； 已知线和面平行，过线作面找交线． 要证面和面平行，面中找出两交线． 线面平行若成立，面面平行不用看． 已知面与面平行，线面平行是必然． 若与三面都相交，则得两条平行线．
∵M，N，K 分别为 AE，CD1，CD 的中点，
∴MK∥AD，NK∥DD1. 又∵MK 平面 ADD1A1，NK AD，DD1 平面 ADD1A1，
平面 ADD1A1，
∴MK∥平面 ADD1A1，NK∥平面 ADD1A1， 又 MK∩NK＝K，∴平面 MNK∥平面 ADD1A1. 又 MN 平面 MNK，MN 平面 ADD1A1， ∴MN∥平面 ADD1A1.
规律方法 以符号语言为载体考查位置关系问题的判断题，是 高考选择题考查立体几何的主要形式，要熟悉相关定理是前提， 全面分析问题是关键，合理应用模型及排除法是常用方法．
【变式 1】 两个相交平面分别过两条平行直线中的一条，则它 们的交线和这两条平行直线是什么位置关系？试说明理由． 解 平行． 如右图，已知 a α，b β，a∥b，α∩β＝l. 因为 a α，b⃘α，且 a∥b，所以 b∥α.
【解题流程】 α∥β → AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′
→ 线段成比例 → S△A′B′C′ [规范解答] 相交直线 AA′、BB′所在平面和两平行平面 α、β 分 别相交于 AB、A′B′， 由面面平行的性质定理可得，AB∥A′B′.(2 分) 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面 α、β 分别相交 于 BC、B′C′，从而 BC∥B′C′. 同理易证 AC∥A′C′.(4 分)
《平行关系的性质》公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《平行关系的性质》教学设计教材分析:本节内容在立体几何学习中，具有重要的意义和地位.本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础上，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出平行关系的性质定理.本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。
本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知、操作确认、合情推理归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的性质，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力.教学目标：【知识与能力目标】1. 掌握直线与平面平行的性质定理；2. 掌握两平面平行的性质定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的性质定理解决相关问题．【过程与方法】1. 学生通过观察实物及模型，归纳得出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.2. 通过读图、识图、画图的过程，培养空间想象能力及运用图形和符号语言进行交流的能力.【情感态度与价值观】学生在观察、探究、发现中学习，在自主、合作、交流中学习.体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极地学习态度，提高学习的自我效能感.教学重难点：【教学重点】归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.【教学难点】直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的合情推理及其应用.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：上节课我们学习了线面平行、面面平行的判定定理.那今天我们一起来线面平行、面面平行的性质定理.也就是如果给你线面平行、面面平行能得到什么结论呢？问题1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？（观察长方体）问题2：如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行？（可观察教室内灯管和地面）问题3：若直线a ∥平面α,过直线a 的平面β与平面α有哪些位置关系?当平面β与平面α相交于直线b 时,直线a 与直线b 有怎样的位置关系?请尝试证明你的结论.问题4：观察长方体1111D C B A ABCD -，面ABCD 与面1111D C B A 互相平行,那么在面ABCD 内直线l 与面1111D C B A 是怎样的位置关系?与1111D C B A 面内的直线是什么位置关系，那你如何找到此面内和l 平行的直线呢？二、新课探究：1．直线和平面平行的性质文字语言：直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.图形语言：符号语言：//a α,a β⊂，=αβb //a b ⇒.注: 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α，αβ⊂，b αβ=，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行时，必须具备三个条件：（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；（2）平面α和β相交，即b αβ=；（3）直线a在平面β内，即a β⊂．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 定理证明：∵b αβ=，∴b α⊂，又∵a ∥α，∴a 与b 无公共点，又∵a β⊂，b β⊂，∴a ∥b ．2. 两平面平行的性质⑴ 文字语言：两平面平行，则其中一平面内的任一条直线都平行于另一平面. 图形语言：符号语言：若//αβ，a α⊂，则//a β.⑵ 平面和平面平行的性质定理：文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 图形语言：符号语言：若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a b .注：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．定理证明：∵//αβ，a αγ=，b βγ=，∴ a 与b 无公共点，αβa又∵a γ⊂，b γ⊂. ∴ a ∥b ．思考：空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．三、知识应用：题型一 概念问题例1.判断题⑴ //a α，b α⊂，则a ∥b . （ ） ⑵ 若平面α∥β，则α内任意一条直线都平行于平面β. （ ） ⑶ 若平面α∥β，则α内任意一条直线都平行于平面β内的所有直线. （ ） ⑷ 若平面α∥β，a αγ=，β⊂b ，则a ∥b . （ ） ⑸ 若a αγ=，b βγ=，a ∥b ，则α∥β. （ ） ⑹ 若a ∥α，a ∥β，则α∥β. （ ）解：⑴ 错误，有可能异面；⑵ 正确；⑶ 错误，有可能平行，也有可能异面；⑷ 错误，有可能平行，也有可能异面；⑸ 错误，有可能平行，有可能两平面相交；⑹错误，有可能平行，有可能两平面相交.【设计意图】 通过题目的练习更加好的理解、记忆、掌握线面、面面平行性质定理的内容及并需要注意的内容，使用可以更灵活的应用平行的性质定理.题型二 线面平行的性质应用例2. 一木块如图所示，棱BC 平行于面'C 'A .⑴ 要经过面'C 'A 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？⑵ 所画的线与平面AC 是什么位置关系？解：⑴ 过p 画一条直线与''B C 平行，即可；(2) l ∥''B C ，''B C ∥面AC ，则l 平行于面AC .例3. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.已知：a α⊄，b α⊄，a ∥α，a ∥b . 求证：b ∥α.证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ．∵a ∥α，a β⊂，c αβ=，∴a ∥c ．∵ a ∥b ，∴b ∥c ．∵b α⊄，c α⊂，∴b ∥α.【设计意图】由线面平行到线线平行，再到线面平行.性质定理和判定定理的混用， 学生可对线面平行的关系更加熟悉，找到解决问题的关键，思路如何.题型三 面面平行的性质应用例4. 已知两条异面直线AB ，CD 与三个平行平面,,αβγ分别相交于B ,E ,A 及D ,F ,C .又AD ,BC 与平面的交点为H ,G . 求证：四边形EHFG 为平行四边形.证明：∵平面ABC ∩平面AC α=,平面ABC ∩平面BC β=，α∥β∴AC ∥EG .同理可证AC ∥HF . ∴EG ∥HF .同理可证EH ∥FG . ∴四边形EHFG 为平行四边形.【设计意图】 利用面面平行的性质定理判定得出线线平行关系，看条件时，一定仔细理，这个条件到底想告诉我们什么呢？D ’BA ’DBCACABCDEF教学反思：本节课重点是性质定理的应用，一定要多给孩子时间思考，别着急，让孩子逐渐发现规律，找到平行条件，空间问题平面化，找到证明的关键，不要把判定定理和性质定理弄混.。
2021年高中数学第一章1.5.2平行关系的性质学案北师大版必修2
5．2平行关系的性质知识点一直线与平面平行的性质定理[填一填][答一答]1．若直线a∥平面α，如何在平面α内找一条直线与a平行？提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a 平行．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．3．一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？提示：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行．这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．知识点二平面与平面平行的性质[填一填][答一答]4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．5．如果α∥β，aα，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.6．若α∥β，aα，bβ，则a与b一定平行吗？为什么？提示：不一定，直线a，b可能平行，也可能异面．1．解读直线与平面平行的性质定理(1)作用：证明直线与直线平行．可简述为“若线面平行，则线线平行”．(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②平面α和β相交，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.以上三个条件缺一不可．2．对线面平行性质定理的两种解释(1)一条直线b与一个平面α平行，则过b的任何平面与α的交线都与直线b平行，即b可以和α内无数条直线平行．(2)一条直线b与一个平面α平行，则b不能与α内的所有直线平行，即在平面α内，除了与b平行的直线外，其余每条直线与b都是异面直线．3．对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．4．线与面、面与面平行性质定理的综合应用(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握．(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：类型一线面平行的性质定理【例1】求证：若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．【思路探究】要证线面平行，只需在已知平面内找到一条与这条直线平行的直线．可通过线面平行的性质去找与这条直线平行的直线．【证明】已知：如图所示，a∥b，a∥α，bα.求证：b∥α.证明：如图所示，过a作平面β，交平面α于直线c.∵a∥α，aβ，α∩β＝c，∴a∥c.又∵a∥b，∴b∥c.又∵cα，bα，∴b∥α.规律方法此命题可以当作直线与平面平行的性质使用，也可当作证明直线和平面平行的判定定理使用，在做解答题和证明题时，若使用它，则需写出此命题的证明过程，做选择题、填空题时可直接使用．如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM MA的值．解：如右图，连接BD交AC于点O1，连接OM，因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，PM OC所以PC∥OM，所以＝，PA AC在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，OC 1 PM OC 1 所以＝.又AO1＝CO1，所以＝＝，O1C 2 PA AC 4故PM MA＝1 3.类型二面面平行的性质【例2】如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．【解】因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，PA PB 6 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝AC BD98－BD24.所以BD＝.BD 5规律方法应用平面与平面平行性质定理的基本步骤Earlybird晨鸟教育已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．解：(1)若AB∩CD＝S位于平面α，β中间[如下图(1)]，连接AC，BD.∵AB∩CD＝S，∴AB，CD确定平面γ. ∵γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，∴AC∥BD，∴△ACS∽△BDS，CS AS CS8∴＝，即＝，解得CS＝16.DS BS34－CS9(2)当AB∩CD＝S位于平面α，β同侧[如上图(2)]，∵AB∩CD＝S，∴AB，CD确定平面γ.∵γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，∴AC∥BD，∴△SCA∽△SDB，SA SC8 SC∴＝，即＝，解得SC＝272.SB SD9 SC＋34综上可知，CS的长为16 或272.类型三平行的相互转化【例3】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，侧面对角线AB1，BC1 上分别有点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.Earlybird【思路探究】要证EF∥平面ABCD，需在平面ABCD内寻找一条直线与EF平行，而平面ABCD内现有的直线与EF均不平行，所以要设法将需要的直线作出来．【证明】证法一：如图1 所示，分别过E，F作EM∥BB1，FN∥CC1 分别交AB，BC 于点M，N，连接MN.∵BB1∥CC1，∴EM∥FN.∵B1E＝C1F，AB1＝BC1，∴AE＝BF.AE EM由EM∥BB1 得＝，AB1 BB1BF FN由FN∥CC1，得＝，BC1 CC1∴EM＝FN，∴四边形EFNM是平行四边形，∴EF∥MN.又∵MN平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.B1E B1G 证法二：如图1 所示．过E作EG∥AB交BB1 于G，连接GF，则有＝.又∵B1E＝B1A B1BC1F B1GC1F，B1A＝C1B，∴＝，∴FG∥B1C1∥BC.又∵EG∩FG＝G，AB∩CB＝B，∴平面EFGC1B B1B∥平面ABCD.又∵EF平面EGF，∴EF∥平面ABCD.证法三：如图2 所示．在平面BCC1B1 内延长B1F交BC(或其延长线)于点P，连接AP，∵C1F B1FBP∥B1C1，∴＝.FB FP又∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，C1F B1E B1E B1F∴＝，∴＝.FB EA EA FP∴在△APB中，EF∥AP.1又∵EF平面ABCD，AP平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.规律方法此题证明的关键是根据直线与平面平行的判定定理寻找平面ABCD内与直线EF平行的直线，本例的证明过程反映出解题中作辅助平面的重要性．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.∴MP∥NQ，∵AM＝FN，2 2∴MP＝MC＝BN＝NQ.2 2∴MP綊NQ，则四边形MNQP为平行四边形，∴MN∥PQ.∵MN平面BCE，PQ平面BCE，∴MN∥平面BCE.AN 证法二：如图所示，连接AN并延长，交BE的延长线于G，连接CG，∵AF∥BG，∴NG FN AM＝＝，∴MN∥CG，∵MN平面BCE，CG平面BCE，∴MN∥平面BCE.NB MC类型四平行关系的综合应用【例4】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.【思路探究】作过MN与平面ABB1A1平行的一个平面→证明该平面与平面ABB1A1平行→得结论【证明】如图，作MP∥BB1，交BC于点P，连接NP，CM CP∵BD＝BC，DN＝CM，1∴BM＝BN，1CM DN CP DN∴＝，∴＝，∴NP∥CD∥AB.MB1 NB PB NB∴平面MNP∥平面AAB1B.∴MN∥平面AA1B1B.1规律方法直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理．如图，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．解：SG∥平面DEF.证明：证法一：如图，连接CG交DE于点H，连接FH.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点．∵FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH平面DEF，∴SG∥平面DEF.证法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.类型五探索性问题Earlybird【例5】如右图所示，要在呈空间四边形形状的撑架上安装一块矩形太阳能吸光板，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上．已知AC＝a，BD＝b，则E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？【思路探究】本题是空间线、面平行关系与实际问题相结合的条件开放性探索题，解题的关键是理解好题意，将线、面平行关系转化为二次函数模型求解．【解】使吸光板的吸光量最大，即要使得矩形的面积最大．设EH＝x，EF＝y，∵EH∥FG，EH平面ABD，F G⃘平面ABD，∴FG∥平面ABD.又FG平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，∴FG∥BD. 同理可证EF∥HG∥AC.AE EH x BE EF y则＝＝，＝＝，AB BD b BA AC aAE BE x y两式相加得＋＝＋＝1，①AB AB b a矩形EFGH的面积S＝xy，②a由①②得S＝－x2＋ax(0<x<b)，ba b ab a当x＝－＝时，S取最大值，为，此时y＝.2a 2 4 2－b故当E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点时，吸光板的吸光量最大．规律方法解答这类问题的思路是：把结论看成已知进行逆推，探索结论成立所需的条件．如右图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝190°，PA＝BC＝AD，在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定点E2的位置，若不存在，请说明理由．Earlybird晨鸟教育解：在棱PD上存在一点E，使CE∥平面PAB.如图，过点C作CF∥AB交AD于点F，过点F作EF∥AP交PD于点E，连接CE.∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF＝F，PA∩AB＝A，∴平面EFC∥平面PAB.又∵CE平面EFC，∴CE∥平面PAB.1∵BC＝AD，AF＝BC，∴F为AD的中点，2∴E为PD的中点．故棱PD上存在点E，且E为PD的中点，使CE∥平面PAB.——易错警示系列——证明平行关系因推理不严密致误【例6】如右图所示，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AA1，CC1 上的点，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1 是平行四边形．【错解】因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1，D1E＝平面A1ADD1∩平面BFD1E，BF＝平面B1BCC1∩平面BFD1E，所以D1E∥FB.同理可得D1F∥EB，所以四边形EBFD1 是平行四边形．【错因分析】错解中盲目地认为E，B，F，D1 四点共面，由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE＝C1F也没有用到．【正解】在棱BB1 上取一点G，使得B1G＝C1F＝AE，连接A1G，GF，则GF綊B1C1綊A1D1，所以四边形GFD1A1 为平行四边形，所以A1G綊D1F.因为A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，所以A1E綊BG，Earlybird所以四边形EBGA1 为平行四边形，所以A1G綊EB，所以D1F綊EB，所以四边形EBFD1 为平行四边形．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD.若AF∥DE，DE＝3AF，点M在线段BD 1上，且BM＝BD，求证：AM∥平面BEF.3证明：延长EF、DA交于点G，如图所示．GA AF 1因为AF∥DE，DE＝3AF，所以＝＝，GD DE 31 BM 1 BM GA 1因为BM＝BD，所以＝，所以＝＝，3 BD 3 BD GD 3所以AM∥GB，又AM平面BEF，GB平面BEF，所以AM∥平面BEF.一、选择题1．如果直线a∥平面α，bα，那么a与b的关系是(B)A．相交B．不相交C．平行D．异面解析：a与b平行或异面，但不能相交．2．若直线a∥平面α，直线b⊥直线a，则直线b与平面α的位置关系是(D)EarlybirdA．b∥αB．bαC．b与α相交D．以上均有可能解析：b与α的位置关系是平行、相交或在α内．3．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，则(B)A．平面α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于平面αC．△ABC中至多有两边平行于平面αD．△ABC中只可能有一边与平面α相交解析：若三点在平面α的同侧，则平面α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于平面α.应选B.4．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的(C) A．一个侧面平行B．底面平行C．仅一条棱平行D．某两条相对的棱都平行解析：当平面α∥某一平面时，截面为三角形，故A、B 错．当平面α∥SA时，如右图截面是四边形DEFG，又SA平面SAB，平面SAB∩α＝DG，∴SA∥DG，同理SA∥EF.∴DG∥EF.同理当α∥BC时，GF∥DE.∵截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行．故选C.二、填空题5.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1 是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是平行四边形．解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1C1C∩平面ABCD＝BC，平面BB1C1C∩平面A1B1C1D1＝B1C1，∴BC∥BC1.1同理AB∥A1B1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，Earlybird∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．三、解答题6.已知如右图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接MO.∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴MO∥PA.又MO平面BDM，PA平面BDM，∴PA∥平面BDM.又∵平面BDM∩平面PAG＝GH，PA平面PAG，∴PA∥GH.Earlybird。
【精品推荐】高中数学北师大版必修二课后训练1.5.2 平行关系的性质 Word版含答案
课后训练1．如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()．A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能2．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是()．A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥bB．a∥b，b∥α，aα⇒a∥αC．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．α∥β，a∥α⇒a∥β3．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，lα，mβ，则α∥β；②若α∥β，lα，mβ，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()．A．3 B．2 C．1 D．04．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的平面β()．A．只能作一个B．至多可以作一个C．不存在D．至少可以作一个5．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC 于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()．A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶256．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．(第6题图)7．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于__________．(第7题图)8．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．9．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．(1)若E 为A 1C 1的中点，求证：DE ∥平面ABB 1A 1；(2)若E 为A 1C 1上一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求11A E EC 的值． 10．已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA ＝SB ＝SC ，SG 为△SAB 的高，D ，E ，F 分别是AC ，BC ，SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并证明．参考答案1答案：B2答案：D 解析：当α∥β且a ∥α时，可能有a ∥β，也可能有a β，因此选项D 中的命题不正确．3答案：C 解析：①②错误，③正确．4答案：B 解析：由于a 在平面α外，所以a ∥α或a ∩α＝P .当a ∥α时，过a 可作唯一的平面β，使β∥α；当a ∩α＝P 时，过a 不能作平面β，使β∥α，故至多可以作一个． 5答案：D 解析：由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而'''22'24525A B C ABC S PA S PA ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6答案：平行四边形 解析：∵平面ABFE ∥平面CDHG ，∴EF ∥HG ，同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．7解析：因为EF ∥平面AB 1C ，由线面平行的性质可得EF ∥AC ，而E 为AD 的中点，所以F 也为CD 的中点，即EF ＝12AC＝12⨯= 8答案：解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，所以A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.9答案：(1)证明：取B 1C 1的中点G ，连接EG ，GD ，则EG ∥A 1B 1，DG ∥BB 1，又EG ∩DG ＝G ，所以平面DEG ∥平面ABB 1A 1， 又DE 平面DEG ，所以DE ∥平面ABB 1A 1.(2)解：设B 1D 交BC 1于点F ，则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF .因为A 1B ∥平面B 1DE ，A 1B平面A 1BC 1，所以A 1B ∥EF . 所以111A E BF EC FC =.又因为11112BF BD FC B C ==，所以1112A E EC = 10答案：解：SG ∥平面DEF .证明如下：方法一：连接CG 交DE 于H ，连接FH ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB .在△ACG 中，D 是AC 的中点，且DH ∥AG ，∴H 为CG 的中点，∴FH 为△SCG 的中位线，∴FH ∥SG .又SG 平面DEF ，FH 平面DEF ，∴SG ∥平面DEF . 方法二：∵EF 为△SBC 的中位线，∴EF ∥SB .∵EF 平面SAB ，SB 平面SAB ，∴EF ∥平面SAB . 同理：DF ∥平面SAB .又EF ∩DF ＝F ，∴平面SAB ∥平面DEF .又SG 平面SAB ，∴SG ∥平面DEF .。
2021年高中数学第一章1.5.1平行关系学案北师大版必修2
§5平行关系5．1平行关系的判定知识点一直线与平面平行的判定定理[填一填][答一答]1．直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？提示：结论不一定成立．因为直线a可能在平面α内．2．证明直线和平面平行的关键是什么？提示：证明直线和平面平行的关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线．3．如果一条直线与平面内无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行吗？提示：不一定平行，有可能直线在平面内．知识点二平面与平面平行的判定定理[填一填][答一答]4．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行．1．直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理是判定直线与平面平行的最常用、最基本的方法，它体现了空间问题转化为平面问题的基本思路．在具体证明过程中，常需要解决两个问题，一是在平面内找到一条直线，二是证明平面外的直线与该直线平行．第一个问题的解决常借助已知条件或构造过平面外直线的平面与已知平面相交，这时交线就是要寻找的直线；第二个问题，也就是在平面内证明两条直线平行的问题，这时可能会用到如下定理或性质：三角形的中位线定理，梯形的中位线定理，平行四边形的性质，梯形的性质等．总之，在证明时要由具体条件选择合理的方法．2．直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：说明直线与平面无公共点(往往用反证法)．(2)利用直线与平面平行的判定定理．3．应用判定定理的思维误区(1)直线与直线的平行有传递性，直线与平面的平行没有传递性，如Error!⇒/ a∥α，Error!⇒/ a∥b等．(2)应用判定定理注意三个条件，漏掉一个条件就可能出错，如aα，b∥a⇒/ b∥α，此时，b可能在平面α内，也可能与α平行．4．对平面与平面平行的判定定理的三点说明(1)具备两个条件．判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面β内两条相交直线a，b，即aβ，bβ，a∩b＝P；②两条相交直线a，b都与平面α平行，即a∥α，b∥α.(2)体现了转化思想．此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.类型一线面平行、面面平行判定定理的理解【例1】能保证直线a与平面α平行的条件是()A．bα，a∥bB．bα，c∥α，a∥b，a∥cC．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．aα，bα，a∥b【思路探究】判定线面平行，可用定义，也可用判定定理．【解析】 A 错误，若bα，a∥b，则a∥α或aα；B 错误，若bα，c∥α，a∥b，a ∥c，则a∥α或aα；C 错误，若满足此条件，则a∥α或aα或a与α相交；D 正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件．故选D.【答案】 D规律方法正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法．在以下说法中，正确的个数是(B)①平面α内有一条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；④平面α内任意一条直线和平面β都无公共点，那么这两个平面平行．A．0B．1C．2D．3解析：①平面α和平面β相交时，平面α内与两平面交线平行的直线与平面β都平行，所以该命题不正确；②当两条直线相交时，两个平面平行；当两条直线平行时，平面α和平面β可能相交，所以该命题不正确；③α内这无数条直线相互平行时，两平面可能相交，此时这些直线和两平面的交线平行，所以该命题不正确；④由直线和平面平行的定义可知，平面α内任意一条直线与平面β都平行，所以平面α和平面β没有公共点，即两个平面平行，所以该命题正确．综上所述，只有④正确，故选B.类型二线面平行的判定【例2】如下图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.在平面A1CD内找到利用线面平行的【思路探究】→与BC1平行的直线判定定理证明【证明】连接AC1 交A1C于点F，则F为AC1 的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC 1∥平面A1CD.规律方法判定直线与平面平行有两种方法：一是用定义；二是用判定定理．使用判定定理时关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般是遵循先找后作的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线．具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行．如右图，直三棱柱ABC-A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.因此MN∥平面A′ACC′.类型三面面平行的判定【例3】如图所示，在空间六边形A1B1C1C2D2A2 中，每相邻两边互相垂直，边长均为Earlybirda，且A2A1∥C2C1，求证：平面A2B1C2∥平面A1C1D2.【思路探究】本题主要考查面面平行的判定定理，解题关键是由已知条件将图形补为正方体，通过正方体中的平行关系证明．【证明】如图所示，可将图形补成正方体A1B1C1D1－A2B2C2D2.由正方体的性质可得A2C2∥A1C1.∵AC2⃘平面A1C1D2，A1C1平面A1C1D2，∴A2C2∥平面A1C1D2.2同理可得B1C2∥平面A1C1D2.又∵B1C2平面A2B1C2，A2C2平面A2B1C2，且B1C2∩A2C2＝C2，∴平面A2B1C2∥平面A1C1D2.规律方法“补形”是解决此题的关键，割补法是立体几何中常用的方法，即把空间的特殊直线放入具体的几何体中来研究有关的线面关系，从而使问题得以解决．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1 于点H，因为四边形A1ACC1 是平行四边形，所以H是A1C的中点，连接HD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DH.因为DH平面A1BD1，A1B平面A1BD1，所以DH∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD，D1C1＝BD，所以四边形BDC1D1 为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1 平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DH＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.类型四平行的综合应用【例4】如右图所示，三棱锥A－BCD中，M，N，G分别是△ABC，△BCD，△ABD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG S△ACD.【思路探究】(1)可综合利用三角形重心和平行线段成比例定理证明．(2)可证明△MNG∽△DAC，从而将两三角形的面积之比转化为求三角形对应边比的平方．【解】(1)证明：如右图所示，连接BM，BN，BG并延长，分别交AC，CD，DA于P，E，F，由M，N，G分别是△ABC，△BCD，△ABD的重心知P，E，F分别是AC，CD，DA的中点．连接PE，EF，PF，1 1 1则PE∥AD，且PE＝AD，EF∥AC，且FE＝AC，PF∥CD，且PF＝CD.2 2 2BM BN BG又＝＝＝2，∴MN∥PE，∴MN∥AD，MP NE GF又∵MN平面ACD，AD平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD.∵MN∩MG＝M，∴平面MNG∥平面ACD.BM BN 2 MN 2 2(2)由(1)知＝＝，∴＝，即MN＝PE.BP BE 3 PE 3 31 1 MN 1又PE＝AD，∴MN＝AD，即＝.2 3 AD 3易证得△MNG∽△DAC，S△MNG MN 1 1∴S△ACD＝(AD)2＝(3 )2＝.9规律方法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线面平行面面平行线线平行――→线面平行――→面面平行，的判定的判定这种转化是处理平行问题的基本思想方法．已知正方形ABCD如图(1)，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.Earlybird晨鸟教育∵DE平面ADE，而BF平面ADE，∴BF∥平面ADE.——规范解答系列——面面平行证明的一般思路【例5】如图，在三棱锥S-ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：平面EFG∥平面ABC.【思路分析】证明面面平行，应依据面面平行的判定定理，在平面EFG内找两条相交直线平行于平面ABC，根据已知的中点，可从中位线入手证明．【精解详析】因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.【解后反思】面面平行的判定在高考中考查的并不多，考向单一，只能依据面面平行的判定定理，而面面平行的判定定理可以帮助转化为线面平行．在使用判定定理证明面面平行时，需注意是其中一个平面内的两条相交直线．如右图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，证明：平面A1BD∥平面CD1B1.证明：由题设知，BB1 綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵AD1 綊B1C1 綊BC，∴四边形A1BCD1 是平行四边形，1∴AB∥D1C.又A1B平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.1又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.一、选择题1．若直线l不平行于平面α，且l⃘α，则(A)A．α内存在直线与l异面B．α内存在与直线l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线都与l相交解析：直线l不平行于平面α，且lα，则l与α相交，l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行，故B、C、D 错，选A.2．下列命题，能得出直线m与平面α平行的是(C)A．直线m与平面α内所有直线平行B．直线m与平面α内无数条直线平行C．直线m与平面α无公共点D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：A 命题本身说法错误，B 当直线m在平面α内，m与α不平行，C 能得出m∥α，D 当直线m在平面α内满足m与α不平行，故选C.二、填空题3．在四面体A-BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是平面ABD与平面ABC.解析：如图所示，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM MA＝12，EN BN＝12，所以MN∥AB.又MN平面ABD，MN平面ABC，AB平面ABD，AB平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.4.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面中，(1)与平面AD′平行的平面是平面BC′；Earlybird(2)与直线AB′平行的平面是平面DC′.三、解答题5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，E、F、G分别为AA1、AB、AC的中点，M、N、P分别为A1C1、A1B1、C1C的中点．求证：平面EFG∥平面MNP.证明：连接A1C，在四边形ACC1A1 中，E、G分别为AA1，AC的中点，所以EG∥A1C.同理MP∥A1C，所以EG∥MP.又因为EG平面EFG，MP平面EFG，所以MP∥平面EFG.因为M、N分别为A1C1、A1B1 的中点，所以MN∥B1C1.同理可得，FG∥BC.又因为BC∥B1C1，所以MN∥FG.而MN平面EFG，FG平面EFG，所以MN∥平面EFG.又因为MN∩MP＝M，所以平面EFG∥平面MNP.Earlybird。
1.5.2 平行关系的性质 课件(北师大必修2)
PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE，DC ＝BD， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形． ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE，PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE，
法二：如图，连接AQ，并延长交BC于 K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK，∴BQ＝QK. AP AQ 由①②得PE＝QK，∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC，EK平面BEC，∴PQ∥平面BEC. ① ②
写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证 明．
[精解详析] 已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.
求证：a∥b. 证明：过a作平面δ，δ∩β＝c， ∵a∥β，∴a∥c. 过a作平面γ，
γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵dα，c
α，∴c∥α.
又∵cβ，α∩β＝b， ∴c∥b，又c∥a，∴a∥b.
则得BC∥l.
②利用线面平行，面面平行得MN∥平面PAD.
[精解详析]
法一：(1)证明：因为
BC∥AD，
BC
平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝
l，所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以 证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形． 所以MN∥AE，MN 平面APD，AE平面
4．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过 点B的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，
【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：1.5-平行关系(含答案)
第1课时 平行关系的判定[核心必知]1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系图形语言符号语言 直线在平面内a α直线与平面相交a ∩α＝A直线与平面平行a ∥α2.直线与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行1．若直线a 平行于平面α内的无数条直线，则直线a 平行于平面α吗？ 提示：不一定，因为直线a 在平面α内时，与a 平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中，平面α内的两条直线a ，b 均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面P AD.[尝试解答]证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面P AD，EF平面P AD，∴EF∥平面P AD.1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理法：aα，bα，a∥b⇒a∥α；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是P A的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点．又Q为P A的中点，∴QO∥PC.显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.[尝试解答]证明：如图所示，连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，∴MF＝AD且MF∥AD.∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF.又DF平面EFDB，AM平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.平面平行的判定方法：(1)利用定义，证面面无公共点．(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题．(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行．练一练2．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连接ED，ED是△A1BC的中位线，∴ED∥A1B.∵ED平面A1BD1，A1B 平面A1BD1，∴ED∥平面A1BD1.∵C1D1BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，∴C1D∥BD1.∵C 1D 平面A 1BD 1，BD 1平面A 1BD 1， ∴C 1D ∥平面A 1BD 1. ∵C 1D ∩ED ＝D ， ∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D .讲一讲3.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，且BA ＝BC ＝BD ，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ADC .[尝试解答] (1)证明：如图连接BM ，BN ，BG 并延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， 则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2，连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF .又PF平面ACD ，MN平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ，同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)由(1)可知：MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3，故S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．练一练3．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，Q 是CC 1的中点，判断并证明平面D 1BQ 与平面P AO 的位置关系．解：平面D 1BQ ∥平面P AO .下面给出证明． ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A . ∵QB平面P AO ，P A 平面P AO ，∴QB ∥平面P AO .∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO . ∵D 1B平面P AO ，PO平面P AO ，∴D 1B ∥平面P AO .又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO .如右图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ∈AD 1， N ∈BD ，且D 1M ＝DN ，求证：MN ∥平面CC 1D 1D . [证明] 法一：连AN 并延长交DC 于E .连接D 1、E . ∵AB ∥CD ，∴AN NE ＝BN ND ⇒AE NE ＝BDND .∵BD ＝AD 1，且D 1M ＝DN ， ∴AE EN ＝AD 1MD 1. 在△AD 1E 中，MN ∥D 1E ， 又MN 平面CC 1D 1D ，D 1E 平面CC 1D 1D ，∴MN ∥平面CC 1D 1D . [尝试用另外一种方法解题]法二：过点M 作MP ∥AD ，交DD 1于P ， 过点N 作NQ ∥AD 交CD 于点Q ，连接PQ ，则MP ∥NQ ，在△D 1AD 中，MP AD ＝D 1MD 1A .∵NQ ∥AD ，AD ∥BC ， ∴NQ ∥BC .在△DBC 中，NQ BC ＝DNDB，∵D 1M ＝DN ，D 1A ＝DB ，AD ＝BC ，∴NQ ＝MP . ∴四边形MNQP 为平行四边形，则MN ∥PQ . 而MN平面CC 1D 1D ，PQ平面CC 1D 1D ，∴MN ∥平面CC 1D 1D .1．在以下说法中，正确的个数是( )①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC 的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A ，B ，C 三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b α，a ∥bB ．b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ＝BD D ．a α，bα，a ∥b解析：选D A项和B项中a有可能在α内，C项中，a可能在α内，也可能与α相交，D项中，a∥α.3．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是()A．MN∥βB．MN与β相交或MN βC．MN∥β或MN βD．MN∥β或MN与β相交或MN β解析：选C当平面β与平面ABC重合时，有MN β；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MNβ，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MN β.4．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行．答案：45．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．解析：∵a∥α，∴a与平面α没有公共点，若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．∴b∥α或b与α相交．答案：b∥α或b与α相交6．如图E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG ∥B 1C 1，且OG ＝12B 1C 1，BE ∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE . ∵OB 平面BB 1D 1D ， GE平面BB 1D 1D ，∴GE ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1平面BDF ，BD平面BDF ，∴B 1D 1∥平面BDF ，连接HB ，D 1F ， 易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF . ∵HD 1平面BDF ，BF平面BDF ，∴HD 1∥平面BDF ， ∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .一、选择题1．已知b 是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b ∥α的是( ) A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交 C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交解析：选D 若b 与α内的所有直线不相交，即b 与α无公共点，故b ∥α.2．空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，则对角线AC 和平面DEF 的关系是( )A．平行B．相交C．在平面内D．平行或相交解析：选A如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC∥平面DEF.3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交解析：选A作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βA．1 B．2C．3 D．4解析：选A①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．相交或平行解析：选D当M与D1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．二、填空题6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：27．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．解析：如图，取BC中点F，连SF.∵G为△ABC的重心，∴A，G，F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.又SF 平面SBC，EG平面SBC，∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD 的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH三、解答题9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，∵M，G分别是A′B，A′C的中点，∴MG 12BC，同理DE 12BC，∴MG DE，∴四边形DEMG是平行四边形，∴ME∥DG.又ME 平面A′CD，DG平面A′CD，∴ME∥平面A′CD.10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点．求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图所示，连接SB.∵E ，G 分别是BC ，SC 的中点， ∴EG ∥SB . 又∵SB平面BDD 1B 1，EG 平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1.(2)∵F ，E 分别是DC ，BC 的中点，∴FE ∥BD . 又∵BD平面BDD 1B 1，FE 平面BDD 1B 1，∴FE ∥平面BDD 1B 1. 又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG 平面EFG ，EF平面EFG ，EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG∥平面BDD 1B 1.第2课时 平行关系的性质[核心必知]1．直线与平面平行的性质文字语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行l ∥b文字语言图形语言符号语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∩α＝a γ∩β＝b ⇒a ∥b 1．若直线l 与平面α平行，可否认为l 与平面α内的任意一条直线都平行？ 提示：不可．根据线面平行的性质定理，l 与过直线l 的平面与α的交线平行． 2．若平面γ∩β＝a ，γ∩α＝b ，则a 、b 的位置关系是什么？提示：平行或相交：当β∥α时，由面面平行的性质定理知a ∥b ；当α与β相交时，a 与b 相交或平行．3．如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话对吗？为什么？提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．讲一讲1.ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .[尝试解答] 证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点． 又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 根据直线和平面平行的判定定理， 则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴AP ∥GH .线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→线面平行的性质线线平行．练一练1．已知：a ∥b ，a α，b β，α∩β＝l .求证：a ∥b ∥l . 证明：如图所示，∵a ∥b ，b β，∴a ∥β，又a α，α∩β＝l ， ∴a ∥l ， 又a ∥b ， ∴a ∥b ∥l .讲一讲2．如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．[尝试解答] 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD . 所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系．另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得．练一练2．如图所示，设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面β.证明：过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE，BE，∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)取AE中点N，连接NP，MN，∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP β，DE β，MN β，BE β，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP平面MNP，∴MP∥β.讲一讲3．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．[尝试解答](1)证明：因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面P AD.因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面P AD.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：练一练3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．求证：MN∥平面A1CD.证明：设点P为AD的中点，连接MP，NP.∵点M是BC的中点，∴MP∥CD.∵CD 平面A1CD，MP 平面A1CD，∴MP∥平面A1CD.∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D.∵A1D 平面A1CD，NP 平面A1CD，∴NP∥平面A1CD.∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD.∵MN 平面MNP，∴MN∥平面A1CD.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[解]SG∥平面DEF.证明如下：法一：连接CG交DE于H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点，∴FH为△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH 平面DEF，∴SG∥平面DEF.[尝试用另外一种方法解题]法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB，∵EF平面SAB，SB 平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB.又EF∩DF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，∴平面SAB∥平面DEF.又SG 平面SAB，∴SG∥平面DEF.1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有解析：选B设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l 在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．2. 若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：选D直线a与点B确定一个平面．这个平面与β有公共点B，则这两个平面就有一条通过B点的直线l，而由两平面平行的性质定理得l∥a.A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n解析：选D A中m与n与同一平面平行，m，n还可能相交或异面；B中α与β可能相交；C中α与β可能相交，只有D正确．4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N是AD的中点，若MN∥平面BDC，则AM∶MB＝________.解析：∵MN∥平面BDC，MN 平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.答案：1∶15．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：解析：①②⇒③设过m的平面β与α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵nα，lα，∴n∥α.答案：①②⇒③(或①③⇒②)6．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1 平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选C a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b平行的直线与a平行，α内与b相交的直线与a异面．2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b 的位置关系是()A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行解析：选D 如图：∵a ∥b ，且a γ，b γ，∴a ∥γ，∵a α且α∩γ＝c ，∴a ∥c ，∴b ∥c .3．下列说法正确的个数为( )①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a β，则a 与α平行，故③不正确．4．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25解析：选D 由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ，从而S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( )A ．α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于αC ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一边与α相交解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.二、填空题6．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.答案：27．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________. 解析：∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面AC ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a 3， 故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3. 答案：22a 38．如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD 分别交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.解析：A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD .因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ，所以a ∥EG ，即BD ∥EG .所以AF AC ＝AE AB ，又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD.于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209. 答案：209三、解答题9．如图，棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，且A 1B 平面A 1BC 1，所以A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.10．在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，如图，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ，证明你的结论．解：当F 为PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明如下：如图，取PE 的中点M ，连接MF 、MB ，则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，∴BM∥平面AEC，同理FM∥平面AEC.又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF 平面BMF，∴BF∥平面AEC.。
1.5.2 平行关系的性质 教案 (高中数学必修二北师大版)
1.5.2平行关系的性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线与平面平行的性质定理的含义．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．(2)会证明直线与平面平行的性质定理．(3)能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．2．过程与方法通过学生直观感知、操作确认，归纳出平行关系、性质等，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力．3．情感、态度与价值观通过对平行关系性质的学习，体会现实到抽象的认识事物规律，培养探索精神，提高数学的兴趣．●重点难点重点、难点：平行关系的性质定理的应用．注意定理中的条件，在应用时缺一不可．(教师用书独具)●教学建议本节课是上节知识的延续，先讲述平行关系的性质，再把平行关系的判定与性质结合起来，平行关系的判定和性质体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化．即●教学流程创设情景提出两个问题，即已知线面平行，面面平行可以得出什么结论⇒解得问题即讲解线面平行、面面平行的性质定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握线面平行性质的应用⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面平行性质的应用⇒通过例3及互动探究，使学生掌握平行关系之间的综合转化⇒课堂小结整合本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识教室日光灯管所在直线与地面平行，那么这条直线与地面内所有直线都平行吗？如何在地面做一条直线与灯管所在直线平行呢？【提示】 不一定．可能平行也可能异面．过灯管所在直线作一平面与地面相交，交线与灯管所在直线平行．⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa βα∩β＝b ⇒a ∥b观察如图的长方体，我们可以知道：直线a ∥平面α，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1. 思考直线a 与直线b 的关系？ 【提示】 平行．如图1－5－12所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .图1－5－12【思路探究】 (1)猜想一下，AP 与平面BDM 平行吗？ (2)如何证明你的猜想？由“M 是PC 的中点”你能想什么？ (3)由AP ∥平面BDM 如何证明AP ∥GH?【自主解答】 如图所示，连接AC ，交BD 于O ，连接MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 为AC 中点，又∵M 为PC 中点， ∴AP ∥OM . 又∵AP平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM ， 又∵AP 平面APGH ，且平面APGH ∩平面BDM ＝GH ， ∴AP ∥GH .1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行． 2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．如图1－5－13所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 与α分别交于M ，N 两点，求证：AM MC ＝BN ND.图1－5－13【证明】 如图所示，连接AD 交平面α于Q ，连接MQ 、NQ .MQ 、NQ 分别是平面ACD 、平面ABD 与α的交线．∵CD ∥α，AB ∥α，∴CD ∥MQ ，AB ∥NQ . 于是AM MC ＝AQ DQ ，DQ AQ ＝DN NB ，∴AM MC ＝BN ND .已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .求证：AB BC ＝DEEF. 【思路探究】 (1)证明线段成比例问题，常用什么方法？ (2)如何寻求线线平行？【自主解答】 如图，连接DC ， 设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BG .平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF . 因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF . 于是在△ADC 内有AB BC ＝DGGC ，在△DCF 内有DG GC ＝DEEF .∴AB BC ＝DE EF .1．本题关键是利用面面平行的性质得出线线平行．2．应用两个平面平行的性质一是可以证明直线与直线平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定是第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．图1－5－14CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：直线MP∥平面β.图1－5－14【证明】过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE，BE，∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)取AE中点N，连接NP，MN，∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NPβ，DEβ，MNβ，BEβ，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP平面MNP，∴MP∥β.如图1－5－15，直线CD、AB分别平行于平面EFGH，E、F、G、H 分别在AC、AD、BD、BC上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.图1－5－15(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)点E在AC上的什么位置时，四边形EFGH的面积最大？【思路探究】(1)证四边形EFGH为平行四边形，再根据CD⊥AB，得结论．(2)得出矩形EFGH的面积表达式，求最大值．【自主解答】 (1)因为CD ∥平面EFGH ， 所以CD ∥EF ，CD ∥GH ，所以GH ∥EF .同理EH ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 又因为AB ⊥CD ，所以HE ⊥EF . 所以四边形EFGH 是矩形． (2)设CE ＝x ，AC ＝1， 因为HE ∥AB ， 所以HE AB ＝CE CA ，所以HE ＝xAB ＝xb .同理，EF ＝(1－x )DC ＝(1－x )a .所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝x (1－x )ab ＝[－(x －12)2＋14]ab ，当且仅当x ＝12时，S 矩形EFGH 最大，即当E 为AC 中点时，四边形EFGH 的面积最大．1．本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化．2．空间平行关系的转化图：本例中若截面四边形EFGH 是平行四边形，求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH . 【证明】 ∵四边形EFGH 是平行四边形， ∴EF ∥GH .又EF平面BCD，GH平面BCD，∴EF∥平面BCD.而EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF平面EFGH，CD平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.平行关系中的转化思想图1－5－16(12分)如图1－5－16所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N 分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．【思路点拨】欲证明线线平行可考虑线面平行的性质欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质．【规范解答】(1)∵AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC. 4分又∵平面PBC∩平面P AD＝l，∴l∥AD∥BC. 6分(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MQ∥AD，NQ∥PD. 8分而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面P AD. 10分∵MN平面MNQ，∴MN∥平面P AD. 12分【思维启迪】线线平行、线面平行、面面平行之间可通过平行的判定和性质相互转化，从而达到证明的目的．1．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系2．应用判定定理、性质定理证明时，一定要注意定理中的线、面满足的条件．1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．【答案】 B图1－5－172．如图1－5－17，平面α∥平面β，过平面α、β外一点P 引直线l 1分别交平面α、平面β于A 、B 两点，P A ＝6，AB ＝2，引直线l 2分别交平面α、平面β于C 、D 两点，已知BD ＝12，则AC 的长等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】 由l 1∩l 2＝P ，知l 1、l 2确定一个平面γ，⎭⎪⎬⎪⎫由α∩γ＝AC β∩γ＝BD α∥β⇒AC ∥BD ⇒P A PB ＝AC BD . ∴66＋2＝AC12，解得AC ＝9. 【答案】 B3．如图1－5－18所示，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N 是AD 的中点，若MN ∥平面BDC ，则AM ∶MB ＝________.图1－5－18【解析】∵MN∥平面BDC，MN平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.【答案】1∶14．如图1－5－19所示，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图1－5－19【证明】∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，∴AB∥CD.同理AB∥EF.∴CD∥EF.一、选择题1．若α∥β，aα，下列三个说法中正确的是()①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β无公共点．A．①②B．②③C．①D．①③【解析】a与平面β内的直线可能平行，也可能异面，但与β无公共点，故选B.【答案】 B2．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1B．2C．3D．4【解析】易知①④正确，②不正确，③直线可能在平面内，故③不正确．【答案】 B图1－5－203．如图1－5－20所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1D 1上的动点，则直线MD 与平面BCC 1B 1的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．相交或平行 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1DM 平面ADD 1A 1⇒MD ∥平面BCC 1B 1.【答案】 A4．已知平面α∥β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20【解析】 第①种情况，当P 点在α、β的同侧时，设BD ＝x ， 则PB ＝8－x ， ∴P A AC ＝PB BD . ∴BD ＝245.第②种情况，当P 点在α，β中间时，设PB ＝x . ∴PD PC ＝PB P A.∴x ＝6×83＝16，∴BD ＝24. 【答案】 B5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A ．α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一边与α相交【解析】 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.【答案】B图1－5－21二、填空题6．如图1－5－21，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1平面A 1C 1B ∩平面ABCD ＝l 平面A 1C 1B ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1C1⇒l ∥A 1C 1. 【答案】 平行图1－5－227．(2013·宁德高一检测)空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．【解析】 ∵AC ∥面EFGH ，AC 面ABC ，面ABC ∩面EFGH ＝EF ， ∴AC ∥EF .∵E 为AB 中点，∴F 为BC 中点，∴EF ＝12AC ＝2.同理HG ＝12AC ＝2，EH ＝FG ＝12BD ＝2.∴四边形EFGH 的周长为8.【答案】 8图1－5－238．如图1－5－23，平面α∥平面β，△ABC 与△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′都交于点O ，点O 在α、β之间，若S △ABC ＝32，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．【解析】 根据题意有S △ABC ＝32.∵AA ′、BB ′相交， ∴直线AA ′、BB ′确定一个平面ABA ′B ′， ∵平面α∥平面β，∴AB ∥A ′B ′，易得△ABO ∽△A ′B ′O ，① △ABC ∽△A ′B ′C ′，②由①得AB A ′B ′＝OA OA ′＝32，由②得S △ABC S △A ′B ′C ′＝(32)2，∴S △A ′B ′C ′＝239.【答案】239三、解答题9．如图1－5－24，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．图1－5－24【解】设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．∵A1B∥平面B1CD，且A1B平面A1BC1，∴A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.图1－5－2510．(2013·吉林高一检测)如图1－5－25，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.【证明】连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.图1－5－2611．如图1－5－26，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．【解】点E的位置是棱SA的中点．证明如下：如题图，取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC平面EBD，OE平面EBD，∴SC∥平面EBD.(教师用书独具)如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若P A ＝9，AB ＝12，BQ ＝12，△ACF 的面积为72，求△BDE 的面积．【思路探究】 求△BDE 的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知△ACF 的面积，若△BDE 与△ACF 的对应边有联系的话，可以利用△ACF 的面积求出△BDE 的面积．【自主解答】 ∵平面QAF ∩α＝AF ，平面QAF ∩β＝BE ，又α∥β，∴AF ∥BE .同理可证：AC ∥BD ，∴∠F AC 与∠EBD 相等或互补，即sin ∠F AC ＝sin ∠EBD .由F A ∥BE ，得BE ∶AF ＝QB ∶QA ＝12∶24＝1∶2，∴BE ＝12AF . 由BD ∥AC ，得AC ∶BD ＝P A ∶PB ＝9∶21＝3∶7，∴BD ＝73AC . 又∵△ACF 的面积为72，即12AF ·AC ·sin ∠F AC ＝72. ∴S △DBE ＝12BE ·BD ·sin ∠EBD＝12·12AF·73AC·sin∠F AC＝76·12AF·AC·sin∠F AC＝76×72＝84.∴△BDE的面积为84.直线和直线的平行问题常常转化为直线和平面或平面和平面的平行问题，而直线和平面的平行问题也可以转化为直线和直线或平面与平面的平行问题，故解决空间的平行问题必须熟记有关的判定定理和性质定理进行灵活的转化．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面P AD.【证明】如图所示，取CD的中点E，连接NE，ME，由题意可知NE∥PD，EM∥AD，NE∩EM＝E，PD∩AD＝D，则平面MNE∥平面P AD.又∵MN平面P AD，且MN平面MNE，∴MN∥平面P AD.。
高中数学 1.5.2 平行关系的性质课件 北师大版必修2
• 平面(píngmiàn)与平面(píngmiàn) 平行的性质
如图，已知 α∥β，点 P 是平面 α，β 外的一点(不在 α 与 β 之间)， 直线 PB，PD 分别与 α，β 相交于点 A， B 和 C，D.
(1)求证：AC∥BD. (2)若 PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝ 3cm，求 PD 的长．
第三十四页，共42页。
• 如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是 梯形(tīxíng)，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2， DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中 点．
• 求证：AC∥平面BPQ.
第三十五页，共42页。
[解析] 连接 CD1，AD1，
∵P，Q 分别是 CC1，C1D1 的中点， ∴PQ∥CD1. ∵CD1 平面 BPQ，PQ 平面 BPQ， ∴CD1∥平面 BPQ.
如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一 点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G， 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.
求证：AP∥GH.
• [思路分析] 欲证线线平行，往往(wǎngwǎng) 先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得 线线平行．
第二十一页，共42页。
[规律总结] 线、面平行的性质定理是证明空间两直线平 行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面 后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平 行．具体方法如下：线、线平行线、面―平―行→的判定线、面平行 线、面―平―行→的性质线、线平行．
第二十二页，共42页。
(2)符号表示
a∥ a
α β⇒a∥b.
α∩β＝b
(3)图形表示
北师大版数学高一必修二1.5.2 平行关系的性质(二) 学案
§1.5.2 平行关系的性质(二)【课时目标】 1．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________． (1)符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ． (2)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线． (3)面面平行的其他性质：①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βaα⇒______，可用来证明线面平行；②夹在两个平行平面间的平行线段相等； ③平行于同一平面的两个平面平行．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B ．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C ．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D ．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．设平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在惟一一条与a 平行的直线 3．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α．A ．④⑥B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面6．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．20二、填空题7．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．8．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．三、解答题 10．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED ＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．强调两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．§1.5.2平行关系的性质(二) 答案知识梳理那么它们的交线平行(3)①a∥β作业设计1．C2．D3．B 4．C 5．D [如图所示，A ′、B ′分别是A 、B 两点在α、β上运动后的两点，此时AB 中点变成A ′B ′中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 中点E ．连接CE 、C ′E 、AA ′、BB ′、CC ′．则CE ∥AA ′，∴CE ∥α． C ′E ∥BB ′，∴C ′E ∥β． 又∵α∥β，∴C ′E ∥α． ∵C ′E ∩CE ＝E ． ∴平面CC ′E ∥平面α．∴CC ′∥α．所以不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上．]6．B7．(1)相似 (2)全等 8．平行解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的． 9．15解析 由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15．10．证明 方法一 过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ．∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN ，∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ，∴AE ＝BF ，又∠B 1AB ＝∠C 1BC ＝45°， ∴Rt △AME ≌Rt △BNF ， ∴EM ＝FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形， ∴EF ∥MN ． 又MN平面ABCD ，EF 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ． 方法二过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ， ∴B 1E B 1A ＝B 1G B 1B ，B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1G B 1B ， ∴FG ∥B 1C 1∥BC ．又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ． 又EF平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD ．11．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点． 12．解当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ． 证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ， ①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ， 则BM ∥OE ， ② 由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ， 又BF平面BFM ，∴BF ∥平面AEC ．13．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1， PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形， 又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ， A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22， ∴A 1H ＝3．∴S △A 1MN ＝12×22×3＝6．故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝26．。
北师大版数学高一必修二1.5.1平行关系的判定2 学案
1.5．1平行关系的判定2 （学案）一、学习目标1．理解并掌握线面平行与两个平面平行的定义． 2．掌握线面平行与两个平面平行的判定定理的证明．3．会画平行或相交平面的空间图形，并用字母或符号表示，进一步培养学生的空间想象能力．二、学习重点、难点1．学习重点：掌握线面平行与两个平面平行的判定定理． 2．学习难点：掌握平行的判定定理的证明及其应用． 学习过程：一、课前准备：阅读课本P 2 8 – 3 1自主学习1.直线和平面的位置关系有 、 、2.两个平面的位置关系有 、3.直线与面平行的判定4.平面与面平行的判定自主测评1.下列条件中，能得出直线a 与平面α平行的条件是（ ）//,//,//.,//,,//.,,,,,,..c a a b c D b a b b a bC A a B a C bD b AC BDA B a b b αααααα∈∈∈∈=且 2.判断下列命题的正误．（1）．如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行．（2）. 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（3）．垂直于同一直线的两直线平行．（4）．分别在两个平行平面内的两条直线都平行（5）．如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（6）．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（7）．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则此直线行平该平面．//a A a B a C a D a βββββ3.如果直线平面，那么（）平面内不存在与垂直的直线（）平面内有且只有一条直线与垂直（）平面内有且只有一条直线与平行（）平面内有无数条直线与不平行二、新课导学探究一:如何两个判定直线与平面平行三、巩固应用例 1.已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、判断EF 与平面BCD 的位置关系.变式练习: 如图空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 的中点.试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况.探究二:如何两个判定平面平行例2 已知：在正方体1111D C B A ABCD -中；求证：平面11AB D //平面1C BD .四、能力拓展1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四条直线中与平面AB 1C 平行的是（ ） A .. DD 1 B . A 1D 1 C . C 1D 1 D . A 1D2.平面α 与平面β平行的条件可以是 （ ） A. 平面 α内有无数条直线都与平面β平行B.直线//,//,a a a αβ且直线不在α内，也不在平面β内C. 直线,,//,//ba b a βαβα直线且D. 平面 α内的任意直线都与平面β平行3.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q ,R 分别为BC ,CD ,CC 1的中点 (1)判断直线B 1D 1与平面PQR 的位置关系 (2)判断平面AB 1D 1与平面PQR 的位置关系 (3)判断平面D D 1B 1B 与平面PQR 的位置关系4.已知如图，四棱锥P-ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，E 为PB 的中点，求证：EO // 面PAD五、总结提升1.直线和平面相互平行证明方法有哪些2.证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明 （2）判定定理 （3）垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则α∥β. （4）平行于同一个平面的两个平面平行.//,////αβαγβγ⇒。
高中数学北师大版必修二《1.5.2平行关系的性质》课件PPT
• 单击此所处以编过辑A母B，版C文D本可样作式平面，
• 二级
且• 三平级面 与平面和分别相交于AC和BD.
• 四级
因为• 五/级/ ，所以BD // AC.
因此，四边形ABCD是平行四边形. 所以, AB CD.
8
单击此处编辑母版标题样式
两个平面平行的其它性质
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二为•级A三B级、CD 的中点，
A
C
求证• :四直级• 五线级MP // 平面 .
NPபைடு நூலகம்
M
B
D
11
单击此证明处: 连编接B辑C，母设其版中标点为题N，样式
连接MN，NP，MP • 单击此在处编B辑CD母中版，文NP本//样BD式，NP//平面
• 二•级三在级BCA中，NM//AC， NM//平面 • 平四级面 // 平面
2
单击此平处面编与辑平面母平版行的标性题质样式
• 单击此处若编辑母版//文本，样且式 a,则与 的位
• 二•级置三级关系如何？
• 四级
设• 五级 b，则直线a、b的位置关系如何？ 为什么？
3
单击此处编辑母版标题样式
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平
• 单击此面处相编交辑,母那版么文它本们样式的交线平行.
• 三级
•B四组级• 五级第2、3题.
14
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
1•.二5级.2 • 三级
谢谢大家 • 四级 • 五级
北师大版 高中数学
15
• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
γ
a
b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5．2 平行关系的性质
知识点一直线与平面平行的性质定理
[填一填]
[答一答]
1．若直线a∥平面α，如何在平面α内找一条直线与a平行？
提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a 平行．
2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？
提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．
3．一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？
提示：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行．这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．知识点二平面与平面平行的性质
[填一填]
[答一答]
4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？
提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．5．如果α∥β，aα，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？
提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.
6．若α∥β，aα，bβ，则a与b一定平行吗？为什么？
提示：不一定，直线a，b可能平行，也可能异面．
1．解读直线与平面平行的性质定理
(1)作用：证明直线与直线平行．可简述为“若线面平行，则线线平行”．
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①直线a和平面α平行，即a ∥α；②平面α和β相交，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.以上三个条件缺一不可．2．对线面平行性质定理的两种解释
(1)一条直线b与一个平面α平行，则过b的任何平面与α的交线都与直线b平行，即b 可以和α内无数条直线平行．
(2)一条直线b与一个平面α平行，则b不能与α内的所有直线平行，即在平面α内，除了与b平行的直线外，其余每条直线与b都是异面直线．
3．对面面平行性质定理的理解
(1)面面平行的性质定理的条件有三个：
①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.
三个条件缺一不可．
(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．
(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．
4．线与面、面与面平行性质定理的综合应用
(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握．
(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：
类型一线面平行的性质定理
【例1】求证：若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．
【思路探究】要证线面平行，只需在已知平面内找到一条与这条直线平行的直线．可通过线面平行的性质去找与这条直线平行的直线．
【证明】已知：如图所示，a∥b，a∥α，bα.求证：b∥α.
证明：如图所示，过a作平面β，交平面α于直线c.
∵a∥α，aβ，α∩β＝c，∴a∥c.
又∵a∥b，∴b∥c.又∵cα，bα，∴b∥α.
规律方法此命题可以当作直线与平面平行的性质使用，也可当作证明直线和平面平行的判定定理使用，在做解答题和证明题时，若使用它，则需写出此命题的证明过程，做选择题、填空题时可直接使用．
如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在。