p平方差公式法
平方差公式的实际应用案例
平方差公式的实际应用案例平方差公式是数学中常用的一个公式，用于求解两个数的平方之差。
其数学表达式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
平方差公式在各个领域有着广泛的应用，下面将介绍几个实际案例。
1. 物理学中的应用在物理学中，平方差公式常常用于求解物体的动能和势能之间的关系。
例如，一个物体的动能可以表示为$KE = \frac{1}{2}mv^2$，而势能可以表示为$PE = mgh$，其中$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$g$为重力加速度，$h$为物体的高度。
当物体从高度$h_1$落到高度$h_2$时，根据平方差公式可以得到动能和势能之间的变化关系：$KE_1 - KE_2 = PE_2 - PE_1$。
2. 经济学中的应用在经济学中，平方差公式常常用于求解两个变量之间的关系。
例如，假设一个公司的收入可以表示为$R = p*q$，其中$p$为产品的价格，$q$为产品的销量。
而成本可以表示为$C = f + vq$，其中$f$为固定成本，$v$为单位变动成本。
根据平方差公式可以得到利润和销量之间的关系：$R - C = (p-f)(q -\frac{v}{2p})$。
3. 工程学中的应用在工程学中，平方差公式常常用于求解两个变量之间的关系。
例如，某个工程项目的生产率可以表示为$P = \frac{W}{T}$，其中$W$为完成的工作量，$T$为完成工作所用的时间。
而效率可以表示为$E =\frac{W}{C}$，其中$C$为消耗的资源。
根据平方差公式可以得到生产率和效率之间的关系：$P - E = (\frac{1}{C} -\frac{1}{T})(W -\frac{C*T}{T-C})$。
综上所述，平方差公式在物理学、经济学、工程学等各个领域都有着重要的实际应用。
通过对平方差公式的灵活运用，可以更好地解决实际问题，提高工作效率，实现项目的成功。
希望以上案例可以帮助读者更深入地理解平方差公式的实际意义和应用。
平方差公式与完全平方公式
平方差公式与完全平方公式 （a+b ）2 = a 2+2ab+b 2（a －b ）2=a 2－2ab+b 2（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平方差公式的应用：例1、利用平方差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ） 解：%，例2、计算：（1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2）解：-例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ ~解：~应用2、完全平方公式的应用： 例4、计算：（1）（2x －3）2（2）（4x+5y ）2（3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：》例5、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：—试一试：计算：9×7－82=_______________、应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：（1）（x+5）2－（x+2）（x －2） （2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）（4）（a+b －c ）2解：'例7、（1）若4ax x 412++是完全平方式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平方式，则M=_______________？例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a 1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：@（1）)1011()411)(311)(211(2222---- （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++解：#例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
初中数学 什么是平方差公式
初中数学什么是平方差公式
平方差公式是初中数学中一个重要的公式，用于计算两个数的平方差。
它的一般形式可以表示为：
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
其中，a和b是任意实数。
平方差公式的推导可以通过展开左边的乘积来得到。
具体步骤如下：
1. 将(a + b)(a - b)展开：
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
= a^2 - ab + ab - b^2
= a^2 - b^2
在这个过程中，我们可以看到中间的两项-ab和ab相互抵消，最终得到了平方差公式的形式。
平方差公式的应用非常广泛，可以帮助我们简化复杂的计算，解决各种数学问题。
一些常见的应用包括：
1. 因式分解：
平方差公式可以用于因式分解，特别是当我们需要将一个差的平方进行因式分解时，可以直接应用平方差公式得到因式分解形式。
2. 简化计算：
平方差公式可以帮助我们简化各种数学计算。
例如，当需要计算一个数的平方与另一个数的平方之差时，可以直接应用平方差公式，避免繁琐的计算步骤。
3. 解方程：
平方差公式可以用于解一些特殊的方程。
例如，当我们需要解一个二次方程时，可以通过平方差公式将其转化为两个一次方程，从而求得方程的解。
总之，平方差公式是初中数学中一个重要的工具，可以帮助我们简化计算，解决各种数学问题。
通过掌握平方差公式，我们可以更好地理解和运用数学知识。
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
平方差公式分解因式
(3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) （4）-6m2n-15mn2+30m2n2 =-3mn(2m+5n-10mn)
铺路之石
1 1 （1） 36 ＝（ ± 6
（3）9m2 ＝ (
填空：
)2 ; ) 2;
(2) 0.81＝（ (4) 25a2b2=(
± 0.9 )2; ± 5ab
观 察 发 现
a b ( a b )( a b )
2 2
▲ ▲ ▲
（１）公式左边： （是一个要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。 (2) 公式右边 （是分解因式的结果） : ★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
注意：若有公因 式则先提公因式。 然后再看能否用 公式法。
=xm(x+1)(x-1)
把下列各式因式分解
4.解：原式=[(x+y+z)+(x-y-z)][(x+y+z)- (x-y-z)]
1)( x + z )² - ( y + z )²
=2 x ( 2 y + 2 z) 1.解：原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] 2)4( a + b)² - 25(a - c)² =4 x ( y + z ) =(x+y+2z)(x-y) 3)4a³ - 4a 2. 解：原式 =[2(a+b)]² -[5(a-c)]² 3.解：原式 5(a-c)][2(a+b)4)(x + y=[2(a+b)+ +=4a(a² z)² - -1)=4a(a+1)(a-1) (x – y – z )² 5(a-c)]
第03讲 平方差和完全平方公式(知识解读+真题演练+课后巩固)(解析版)
第03讲平方差和完全平方公式1.掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题知识点1：平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b+-=-语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2=x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2知识点3：完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b+=++2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab=-+()()224a b a b ab+=-+知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc=+++++（a+b+c）222112a a a±=+±（a ）2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=± ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【题型1平方差公式运算】【典例1】（2023春•渭南期中）计算（3a +2）（3a ﹣2）＝9a 2﹣4．【答案】9a 2﹣4．【解答】解：（3a +2）（3a ﹣2）＝9a 2﹣4．故答案为：9a 2﹣4．【变式1-1】（2023春•蕉城区校级月考）若a +b ＝1，a ﹣b ＝2022，则a 2﹣b 2＝2022．【答案】2022．【解答】解：∵a +b ＝1，a ﹣b ＝2022，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝1×2022＝2022．故答案为：2022．【变式1-2】（2023春•双峰县期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝16a2﹣b2．【答案】16a2﹣b2．【解答】解：原式＝（4a）2﹣b2＝16a2﹣b2．故答案为：16a2﹣b2．【变式1-3】（2023春•埇桥区期末）计算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝4x2﹣9y2．【答案】4x2﹣9y2．【解答】解：（2x﹣3y）（3y+2x）＝（2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2．故答案为：4x2﹣9y2．【典例2】（2023春•佛冈县期中）19992﹣1998×2002．【答案】﹣3995．【解答】解：原式＝（2000﹣1）2﹣（2000﹣2）×（2000+2）＝20002﹣4000+1﹣20002+4＝﹣3995．【变式2-1】（2023•皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024．【答案】4．【解答】解：20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．【变式2-2】（2023春•安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023．【答案】1．【解答】解：20222﹣2021×2023．＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．【变式2-3】（2023春•渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1．【答案】810000．【解答】解：899×901+1＝（900﹣1）×（900+1）+1＝9002﹣1+1＝810000．【题型2平方差公式的逆运算】【典例3】（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是3．【答案】3．【解答】解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，∴x﹣2y＝3．故答案为：3．【变式3-1】（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，∴m﹣n＝（m2﹣n2）÷（m+n）＝6÷3＝2，∴n﹣m＝﹣2，故答案为：﹣2．【变式3-2】（2023春•广饶县期中）已知实数a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，则a+b的值为10．【答案】10．【解答】解：∵a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40，∵a﹣b＝4，∴a+b＝10．故答案为：10．【变式3-3】（2023春•甘州区校级期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝1．【答案】1．【解答】解：∵m2﹣n2＝6，m+n＝3，∴（m﹣n）（m+n）＝6，则m﹣n的值是2，∴＝1．故答案为：1．【题型3平方差公式的几何背景】【典例4】（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：B．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②计算：；【答案】（1）B；（2）a﹣b＝4；（3）．【解答】解：（1）第一个图形面积为a2﹣b2，第二个图形的面积为（a+b）（a ﹣b），∴可以验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B；（2）∵a+b＝7，a2﹣b2＝28，∴（a+b）（a﹣b）＝28，即7（a﹣b）＝28，∴a﹣b＝4；（3）原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×...×（1﹣）×（1+）＝××××××...××＝×＝．【变式4-1】（2023春•高明区月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是D．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝2；（3）运用你所得到的公式，计算下列各题：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【答案】（1）D；（2）2；（3）①1；②332．【解答】解：（1）如图，图1中阴影面积为a2﹣b2，图2的阴影面积为（a+b）（a﹣b），∴图1到图2的操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：D；（2）∵4m2＝12+n2，∴4m2﹣n2＝12即（2m+n）（2m﹣n）＝12，∵2m+n＝6，∴2m﹣n＝2，故答案为：2；（3）①20232﹣2022×2024＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1）＝20232﹣20232+1＝1；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（38﹣1）×（38+1）×（316+1）+1＝（316﹣1）×（316+1）+1＝332﹣1+1＝332．【变式4-2】（2023春•清远期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：C（选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a2+ab＝a（a+b）；C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：（1）计算：2022×2024﹣20232；（2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【答案】（1）C；（2）①﹣1，2128．＝a2﹣b2.根据图2知：S阴影＝（a+b）（a 【解答】解：（1）根据图1知：S阴影﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．（2）①原式＝（2023﹣1）（2023+1）﹣20232＝20232﹣12﹣20232＝﹣1．②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（2128﹣1）+1＝2128．【变式4-3】（2023春•屏南县期中）乘法公式的探究及应用：如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．（1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）利用上述乘法公式计算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①4；②4m2+4mn+n2﹣p2．【解答】解：（1）两个图形中阴影部分面积一致，大小正方形面积之差等于等腰梯形的面积，且等腰梯形的高为大小正方形边长差，故；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①1002﹣98×102＝1002﹣（100﹣2）（100+2）＝1002﹣（1002﹣22）＝1002﹣1002+22＝4②（2m+n﹣p）（2m+n+p）＝（2m+n）2﹣p2＝4m2+4mn+n2﹣p2．【题型4完全平方公式】【典例5】（2023春•砀山县校级期末）计算：（x+4）2﹣x2＝8x+16．【答案】8x+16．【解答】解：（x+4）2﹣x2＝x2+8x+16﹣x2＝8x+16，故答案为：8x+16．【变式5-1】（2023春•威宁县期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，则（x﹣y）2＝6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x2+y2＝10，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝10﹣4＝6．故答案为：6．【变式5-2】（2023春•东港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，则n的值为±12．【答案】±12．【解答】解：∵（2x﹣m）2＝4x2﹣4mx+m2，∴m2＝9，∴m＝±3，∴n＝﹣4m＝±12．故答案为：±12．【变式5-3】（2023春•未央区校级月考）计算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【答案】3x+6．【解答】解：原式＝x2+4x+4+2+x﹣2x﹣x2＝3x+6．【题型5完全平方公式下得几何背景】【典例6】（2023秋•绿园区校级月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积：＝（m﹣n）2；方法一：S小正方形＝（m+n）2﹣4mn；方法二：S小正方形（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系为（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【答案】（1）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）①1；②5．【解答】解：（1）方法1：；方法2：，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，（m﹣n）2+4mn＝m2﹣2mn+n2+4mn＝m2+2mn+n2，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）①a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，＝52+4×（﹣6）＝25+（﹣24）＝1；②＝12+4＝1+4＝5．【变式6-1】（2023春•甘州区校级期中）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于x﹣y．（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：（x﹣y）2；方法2：（x+y）2﹣4xy．（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝4，xy＝3，则（x﹣y）2＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝x﹣y；故答案为：（x﹣y）；（2）方法①（x﹣y）2；方法②（x+y）2﹣4xy；故答案为：（x﹣y）2，（x+y）2﹣4xy；（3）（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy；故答案为：（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy；（4）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣12＝4故答案为：4．【变式6-2】（2023•永修县校级开学）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2．（2）根据（1）的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b ＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【答案】（1）（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（2）代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系可表示为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）±4．【解答】解：（1）由题意得，图②中阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（2）由（1）题可得，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，∴代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系可表示为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）由（2）题结果可得，（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，∴a﹣b＝±，∴当a+b＝6，ab＝5时，a﹣b＝±＝±＝＝±4．【变式6-3】（2023春•湖州期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b．则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解决问题：（1）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x．分别以FC、CE为边在矩形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若矩形CEPF的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．【答案】（1）﹣；（2）384．【解答】解：（1）设2021﹣x＝a，x﹣2008＝b．则a+b＝3，而（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020＝a2+b2，∴（2020﹣x）（x﹣2018）＝ab＝＝＝﹣；（2）由AB＝20，BC＝12，BE＝DF＝x，则CE＝12﹣x，CF＝20﹣x，∵矩形CEPF的面积为160平方单位，∴（12﹣x）（20﹣x）＝160，∴S＝CE2+FC2＝（12﹣x）2+（20﹣x）2，阴影部分设12﹣x＝m，20﹣x＝n，则mn＝160，m﹣n＝﹣8，∴S＝CE2+FC2＝（12﹣x）2+（20﹣x）2，阴影部分＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝64+320＝384，即阴影部分的面积为384．【题型6完全平方公式的逆运算】【典例7】（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【答案】（1）；（2）2；（3）．【解答】解：（1）∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4，∵a2+b2＝3，∴3+2ab＝4，∴ab＝；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4×＝2；（3）a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝（a2+b2）2﹣2（ab）2＝32﹣2×（）2＝9﹣＝．【变式7-1】（2023春•都昌县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【答案】（1）13；（2）42．【解答】解：（1）因为m+n＝6，mn＝﹣3，所以（m+2）（n+2）＝mn+2m+2n+4＝mn+2（m+n）+4＝﹣3+2×6+4＝13．（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．【变式7-2】（2023春•周村区期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵（x+3）（y+3）＝12，∴xy+3x+3y+9＝12，则xy+3（x+y）＝3，将x+y＝2代入得xy+6＝3，则xy＝﹣3；（2）当xy＝﹣3、x+y＝2时，原式＝（x+y）2+xy＝22+（﹣3）＝4﹣3＝1．【变式7-3】（2022秋•大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．【答案】（1）44；（2）﹣12．【解答】解：（1）因为m﹣n＝6，mn＝4，所以m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝62+2×4＝36+8＝44；（2）因为m﹣n＝6，mn＝4，所以（m+2）（n﹣2）＝mn﹣2m+2n﹣4＝mn﹣2（m﹣n）﹣4＝4﹣2×6﹣4＝﹣12．1．（2023•深圳）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a6【答案】D【解答】解：A，a3•a2＝a3+2＝a5，故A选项错误，不合题意；B，4ab﹣ab＝3ab，合并同类项结果错误，故B选项错误，不合题意；C，（a+1）2＝a2+2a+1，故C选项错误，不合题意；D，（﹣a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确，符合题意；故选：D．2．（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（）A．13B．8C．﹣3D．5【答案】A【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，x2﹣4﹣2x＝1，x2﹣2x＝5，所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13，故选：A．3．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2【答案】A【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．故选：A．4．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2【答案】A【解答】解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．故选：A．5．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是±2．【答案】±2．【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2）y+1＝（y+1）2，∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2，∴m＝±2．故答案为：±2．6．（2023•雅安）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为2．【答案】2．【解答】解：∵a+b＝2，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×1＝2．故答案为：2．7．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝2a+1．【答案】2a+1．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案为：2a+1．8．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为8．【答案】8．【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2＝8，故答案为：8．9．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝4．【答案】4．【解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴m﹣n＝4，故答案为：4．10．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为或﹣．．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可得，（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，即2t﹣1＝±4，解得：t＝或t＝．故答案为：或﹣．11．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为90．【答案】90．【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．故答案为：90．12．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝4．【答案】4．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9，∴两式相减得：4xy＝16，则xy＝4．故答案为：413．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．【答案】x2﹣3y．【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）＝x2﹣4y2﹣3y+4y2＝x2﹣3y．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积a2﹣M；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．【答案】（1）a2﹣M；（2）50．【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，即a2﹣M，故答案为：a2﹣M；（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝10×5＝50，答：A比B多出的使用面积为50．1．（2023春•市南区校级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．（x+1）（﹣x﹣1）C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）【答案】D【解答】解：∵（2a+b）（2b﹣a）不符合平方差公式的特点，∴选项A不符合题意；∵（x+1）（﹣x﹣1）＝﹣（x+1）2，∴选项B不符合题意；∵（3x﹣y）（﹣3x+y）＝﹣（3x﹣y）2，∴选项C不符合题意；∵（﹣m+n）（﹣m﹣n）＝（﹣m）2﹣n2，∴选项D符合题意；故选：D．2.（2022秋•睢阳区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【答案】D【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为：（2b+2a）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．3．（2022秋•嵩县期末）已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（）A．42B．28C．54D．66【答案】B【解答】解：∵x+y＝8，xy＝12，∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝82﹣3×12＝64﹣36＝28．故选：B．4．（2022秋•海口期末）等式（﹣a﹣1）（）＝a2﹣1中，括号内应填入．A．a+1B．﹣1﹣a C．1﹣a D．a﹣1【答案】C【解答】解：结合题意，可知相同项是﹣a，相反项是1和﹣1，∴空格中应填：1﹣a．故选：C．5．（2022秋•离石区期末）若二次三项式x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A．4B．﹣4C．±2D．±4【答案】D【解答】解：中间项为加上或减去x和2乘积的2倍，故k＝±4．故选：D．6．（2023春•攸县期末）若x2﹣y2＝3，则（x+y）2（x﹣y）2的值是（）A．3B．6C．9D．18【答案】C【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，∴原式＝32＝9，故选：C．7．（2022秋•邹城市校级期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2【答案】B【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，∴2（m﹣1）＝±6，解得：m＝4或m＝﹣2，故选：B．8．（2022秋•渝北区校级期末）化简：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）．【答案】﹣2x2+2xy+5y2．【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（3x2﹣xy+3xy﹣y2）＝x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2＝﹣2x2+2xy+5y2．9．（2023春•渭滨区期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201；例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391．（1）9992；（2）20222﹣2021×2023．【答案】（1）998001；（2）1．【解答】解：（1）原式＝（1000﹣1）2＝10002﹣2×1000×1+1＝1000000﹣2000+1＝998001；（2）20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222﹣+1＝1．10．（2022秋•龙湖区期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14．求：①a+b的值；②a2﹣b2的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab，（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）①∵a2+b2＝53，ab＝14，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝53+2×14＝81，∴a+b＝±9，又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9．②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝53﹣2×14＝25∴a﹣b＝±5又∵a＞b＞0，∴a﹣b＝5∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9×5＝45．11．（2022秋•高安市期末）已知a+b＝7，ab＝﹣2．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．【答案】（1）53．（2）57．【解答】解：（1）∵a+b＝7，ab＝﹣2，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝a2+b2+（﹣4）＝49．∴a2+b2＝53．（2）∵a+b＝7，ab＝﹣2，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣（﹣4）＝53+4＝57．12．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．【答案】（1）5；（2）47．【解答】解：（1）∵＝，∴＝＝＝﹣4x•＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．13．（2022秋•阳城县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是C；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：．【答案】（1）C；（2）；（3）．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），∴12＝4（x﹣2y），得：x﹣2y＝3，联立，①+②，得2x＝7，解得：x＝；②＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝＝×＝．14．（2023春•威海期中）利用简便方法计算：（1）501×499+1；（2）0.125×104×8×104．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝（500+1）×（500﹣1）+1＝5002﹣1+1＝5002＝250000；（2）原式＝（0.125×8）×（104×104）＝108．15．（2022秋•南昌期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．【答案】答：（1）4a﹣4b；（2）（a﹣b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）m+n＝±2；＝．（4）S阴影【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b，故答案为：4a﹣4b；（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a ﹣b）2，大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）2，因此（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）由（2）可知：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，已知m﹣n＝4，mn＝﹣3，所以（m+n）2＝16+4×（﹣3）＝4，所以m+n＝±2；故m+n的值为±2；（4）设AC＝a，BC＝b，因为AB＝8，S1+S2＝26，所以a+b＝8，a2+b2＝26，因为（a+b）2＝a2+b2+2ab，所以64＝26+2ab，解得ab＝19，由题意：∠ACF＝90°，＝ab＝．所以S阴影16．（2022秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac ＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）＝（a+b+c）2，各小矩形部分的面积之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，∴等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45．（3）如图所示。
平方差公式
平方差公式的教学设一、内容和内容解析本节教学内容是人教版八年级上册第十五章乘法公式第一节，平方差公式是把特殊形式的多项式相乘写成公式的形式，是由一般到特殊的范例,它为后面的利用公式法分解因式及一元二次方程奠定了基础。
这节内容是平方差公式的推导及运用，教材先从几个多项式的乘法入手，归纳出平方差公式，体现了一般到特殊的思维过程；然后用几何图形面积的求解对公式进行了验证，体现了数形结合的思想；最后是对平方差公式的运用，起到举一反三的作用。
这节内容不仅仅教会了学生用平方差公式对多项式乘法进行计算，同时还能提高学生自主学习能力，并且进一步教会了学生一定的数学思想和方法。
因此，本节课的重点是平方差公式及其运用，难点是平方差公式的结构特征及其灵活运用。
二、目标及目标解1、经历探索平方差公式的过程。
学生在计算中感知、发现问题，并尝试归纳结论，从而培养学生自主探究能力。
2、掌握平方差公式的特征。
学生通过计算、观察，探究出平方差公式，在用字母及语言表达的基础上，理解其实质是参与运算的两个多项式中只有相同项和相反项，否则就不能用平方差公式，而结果是用相同项的平方减去相反项的平方。
学生抓住平方差公式的核心，才能对公式正确、灵活运用。
3、熟练利用平方差公式进行计算。
学生要对平方差公式的形式进行熟练的识别，对错题进行正确的辨析，并且利用平方差公式计算，从而对公式加深理解和掌握。
三、教学问题诊断分析1、学生在学习本节内容时已具备用字母表示数的基本知识，学习了多项式的乘法，也有一定的自主探究能力及观察、分析、解决问题的能力。
有多项式乘法法则做基础，平方差公式的学习对学生来说是水到渠成的，因为平方差公式的实质是某些特殊形式的多项式乘法的简便运算。
因此教学开始以一道一般形式和几道特殊形式多项式相乘来探究平方差公式，让学生体会它们的内在联系，避免学生把平方差公式认为是多项式间的一种新的运算。
2、平方差公式看似简单，但一部分学生在学习过程中还是存在问题，主要是他们没掌握公式的结构特征，只是想着简单的运用，而不考虑它的实质，对公式的掌握模棱两可，如计算（－4x －2）（4x －2）时， 得 到 的结果是16x 2 －4 ，或者认为（－3x ＋21）（3x －21）能用平方差公式计算，而且结果是3x 2－41，错误的认为是前一项的平方减去后一项的平方 ，所以一定要让学生了解运用平方差公式的前提是参与乘法运算的两个多项式中只有相同项和相反项，并且结果是用相同项的平方减去相反项的平方，与这些项在多项式中的前后顺序无关。
14.3.2.1平方差公式
强化训练
把下列各式分解因式：
(1)36(x+y)2 –49(x-y)2
解：原式=[6(x+y)+7(x-y)][6(x+y)-7(x-y)]
= (6x+6y+7x-7y) (6x+6y-7x+7y) =(13x-y)(-x+13y)
强化训练
把下列各式分解因式：
(2)(x-1)+b2(1-x)
解：原式=(x-1)-b2(x-1) =(x-1)(1-b2) =(x-1)(1-b)(1+b)
这样就可以利用平方差公式进行分解因式了.分解得
到(x2+y2)(x2 -y2)后，要注意 x2–y2 还可以再用平方
差公式分解.
例题解析
例2 分解因式：
（1）x4-y4 解：原式= (x2)2– (y2)2 = (x2+y2)(x2–y2)
因式分解必须进 行到每一个多项式因 式不能再分解为止.
= (x2+y2)(x–y)(x+y)
成如下形式：
a2-b2=(a+b)(a-b)． 能
这种分解因式的方法称为运用公式法.
探究新知
观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，它的
各项、指数、符号有什么特点？ （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，
两项的符号相反；
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两
数的和，另一个因式是这两数的差；
例题解析
例2 分解因式：
（2）a3 b -ab 分析：不能直接利用平方差公式分解因式， 但通过观察可以发现a3 b –ab有公因式ab,应先 提公因式,再进行分解.
例题解析
数学平方差公式和完全平方差公式
数学平方差公式和完全平方差公式数学中有许多重要的公式，在代数学中，平方差公式和完全平方差公式都是不可忽视的公式之一。
让我们来看看平方差公式。
平方差公式是一种将两个数的平方差表示为两个数之差乘以两个数的和的公式。
具体来说，对于任意两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2平方差公式在代数学中的应用非常广泛。
它可以用来简化计算过程，特别是在求解二次方程、证明等数学问题中非常有用。
例如，在解二次方程时，我们经常会遇到需要对方程进行化简的情况。
平方差公式可以帮助我们将方程化简为更简单的形式，从而更方便地求得解。
接下来，我们来介绍完全平方差公式。
完全平方差公式是一种将一个二次多项式表示为两个平方差之和的公式。
具体来说，对于任意一个二次多项式ax^2 + bx + c，完全平方差公式可以表示为：ax^2 + bx + c = (px + q)^2 + r其中，p、q、r是待定系数。
通过求解这些系数，我们可以将给定的二次多项式表示为两个平方差之和的形式。
完全平方差公式在代数学中也有广泛的应用。
它可以用来解决二次方程、证明等数学问题。
例如，在解二次方程时，我们通常需要将方程化简为完全平方差的形式，从而更容易找到解。
此外，在证明中，完全平方差公式也可以帮助我们简化推导过程，使证明更加简洁明了。
总结一下，平方差公式和完全平方差公式在代数学中起着重要作用。
它们可以帮助我们简化计算、解决问题，并在证明中发挥重要作用。
熟练掌握这些公式，对于提高数学水平和解决实际问题都有很大的帮助。
因此，在学习代数学的过程中，我们应该重视平方差公式和完全平方差公式的学习和应用。
通过不断的练习和实践，我们可以更好地掌握这些公式，并在数学学习中取得更好的成绩。
平方差公式和完全平方公式
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
平方差与完全平方公式
）
C.a=2,b=错误!未找
A.2ab
B.-2ab
C.-4ab
D. 4ab
3.若 x2+y2=(x-y)2+p=(x+y)2-Q,则 P，Q 分别为（
）
A.P=2xy,Q=-2xy B. P=-2xy,Q=2xy C. P=2xy,Q=2xy D. P=-2xy,Q=2xy
4.若 m≠n,下列等式中：(m-n)2=(n-m)2, (m+n)(m-n)=(-m-n)(-m+n), (m-n)2=-(n-m)2, (-m-n)2=-(m-n)2,
例 8．解方程： 5x 63x 2 2 3x 54 x 1 x 1 2
3 3
3
【题型六】逆用平方差公式
例 9.已知 x 2 y 2 6, x y 2 0 ，求 x y 5 的值．
【创新题】 例 10．观察下列算式：
32 1 8 8 1,52 32 16 8 2,72 52 24 8 3,92 72 32 8 4,,
A．－15
B．－2
C．－6
D．6
11．已知 x2 2ax 16 是一个完全平方式，则 a 的值等于（ ）
A．8
B．4
C．±4 D．±8
12．乘积 (1 1 )(1 1 ) (1 1 )(1 1 )等于
22
32
92
102
A. 5 12
B. 1 2
C. 11 20
() D. 7 10
13．已知 x, y 满足 x2 y 2 5 2x y,求代数式 xy 的值。
其中错误的有（
）
A.1 个
B. 2 个
C.3 个
D.4 个
5.如果 a+错误!未找到引用源。=3,则 a2+错误!未找到引用源。=(
平方差公式与完全平方公式
Word 文档平差公式与完全平公式（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2（a －b ）2=a 2－2ab+b2（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平差公式的应用：例1、利用平差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ） 解：例2、计算：（1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2）解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平公式的应用： 例4、计算：（1）（2x －3）2（2）（4x+5y ）2（3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：例5、利用完全平公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：试一试：计算：123456789×123456787－1234567882=_______________Word 文档应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：（1）（x+5）2－（x+2）（x －2）（2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）（4）（a+b －c ）2解： 例7、（1）若4ax x 412++是完全平式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平式，则M=_______________ 例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222----ΛΛ （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++ΛΛ解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
平方差公式
平方差公式首先，让我们来看一下平方差公式的表达式。
给定两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这个公式的含义是，两个数的平方和等于它们的和与差的乘积。
具体来说，左边的(a+b)*(a-b)表示两个括号内的内容相乘，而右边的a^2-b^2则表示两个数的平方差。
为了更加直观地理解平方差公式，我们可以用一个例子来说明。
假设a=5，b=3、根据平方差公式，我们可以计算：(5+3)*(5-3)=8*2=16另一方面，我们可以直接计算a和b的平方差：5^2-3^2=25-9=16结果是相同的，这验证了平方差公式的准确性。
1.求两个数的平方和：平方差公式可以帮助我们计算两个数的平方和，即将公式变形为：(a+b)=(a^2+b^2)/(a-b)通过这个公式，我们可以将两个数的平方和转化为它们的差和商的形式，从而简化计算过程。
2. 分解二次多项式：平方差公式在分解二次多项式中也经常被使用。
对于一个二次多项式ax^2 + bx + c，如果我们找到两个数p和q，使得它们的和等于b，而积等于ac，那么我们可以使用平方差公式来分解这个二次多项式。
具体来说，我们可以将二次多项式分解为(x + p)(x + q)的形式。
3.解方程：平方差公式也可以帮助我们解决一些方程。
例如，当我们需要解决形如x^2-k=0的方程时，可以利用平方差公式将它分解为(x+√k)(x-√k)的形式，从而得到解x=±√k。
总结起来，平方差公式在代数中具有广泛的应用。
它可以用于计算两个数的平方和、分解二次多项式和解方程等问题。
通过运用平方差公式，我们能够简化计算，从而更高效地解决代数问题。
希望本文对你理解平方差公式有所帮助！。
数学公式大全(一)
常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝＝na1+ n(n-1)d；（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）n ＝＋1；（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1q－1；（2）sn ＝（q 1）（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：am•an=ak•ai ；（5）am-an=(m-n)d（6）＝q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）根与系数的关系：x1+x2=- ，x1•x2=二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
平方差公式几何证明6种
平方差公式几何证明6种a²-b²=(a+b)(a-b)下面将给出六种几何证明平方差公式的方法。
1.长方形法证明：考虑一个长方形，其中长为a+b，宽为a-b。
将这个长方形分割成两个正方形，一个边长为a，另一个边长为b。
则长方形的面积可以表示为(a+b)(a-b)。
另一方面，根据长方形的面积公式，面积也可以表示为a²-b²。
因此，我们得到了平方差公式。
2.根据勾股定理证明：考虑一个直角三角形，其中一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b。
根据勾股定理，斜边的长度为√(a²+b²)。
另一方面，根据勾股定理的另一个形式，斜边的长度也可以表示为√((a+b)(a-b))。
因此，我们可以得到平方差公式。
3.齐次坐标法证明：考虑一个平面上的点P(a,a²)和Q(b,b²)。
连接P和Q，得到线段PQ。
根据两点间距离公式，PQ的长度为√((a-b)²+(a²-b²)²)。
另一方面，根据斜率公式，PQ的斜率为(a²-b²)/(a-b)=a+b。
因此，我们可以得到平方差公式。
4.几何平均法证明：考虑一个边长为a的正方形，以及一个边长为b的正方形。
边长分别为a和b的两个正方形的面积分别为a²和b²。
将这两个正方形共边放置在一起，形成一个边长为a+b，面积为(a+b)²的正方形。
然后，将边长为b的正方形从这个大正方形中去掉，留下一个边长为a，面积为(a+b)(a-b)的长方形。
另一方面，我们可以推导出，这个留下的长方形的面积也可以表示为a²-b²。
因此，我们得到了平方差公式。
5.抛物线法证明：考虑一个抛物线y=x²。
选择两个点P(a,a²)和Q(b,b²)，其中a>b，并且Q在P的右侧。
连接P和Q，并延长到抛物线上的点R，使得PQ平行于x轴。
平方差公式证明推导过程及运用详解
平方差公式证明推导过程及运用详解设$a+b$和$a-b$的乘积为$P$，即$P=(a+b)(a-b)$。
展开$P$，得到$P=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$。
因此，$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即平方差公式得证。
现在我们来看一下平方差公式的应用。
平方差公式可以用于简便计算带有平方项的多项式。
例如，我们要求解方程$x^2-9=0$。
根据平方差公式，$x^2-9=(x+3)(x-3)$。
所以方程的解可以通过解$(x+3)(x-3)=0$来得到。
解方程$(x+3)(x-3)=0$，得到$x=-3$或$x=3$。
所以方程$x^2-9=0$的解为$x=-3$和$x=3$。
另外一个应用是计算两个数的乘积。
如果我们要计算一个数$a$与另一个数$b$之间的乘积，而$a$和$b$的差值较小，那么可以使用平方差公式来简化计算。
这样，我们可以避免直接进行大数相乘的繁琐计算，而是通过平方差公式将大数分解成相对较小的数相乘，然后再进行计算。
综上所述，平方差公式的推导过程是通过展开乘积进行证明，然后利用平方差公式可以简化计算带有平方项的多项式以及两个数的乘积。
完全平方公式及平方差公式
乘法公式1．平方差公式(1)平方差公式的推导：因为 (a＋ b)(a －b)＝ a2－ ab＋ ab－ b2＝ a2－b 2，所以 (a＋ b)(a －b)＝ a2－ b2.【例 1】利用平方差公式计算．(1)(2a＋ 3b)(－ 2a＋ 3b)；(2)503 × 497.2．完好平方公式(1)两数和的完好平方公式：(a＋ b)2＝ a2＋ 2ab＋ b2；两数差的完好平方公式：(a－ b)2＝ a2－ 2ab＋ b2.析规律完好平方公式的特色完好平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．【例 2】计算：(1)(4m＋ n)2；1(3)(－ a－ b)2；(4)( －2a＋1b)2.(2)(y－ )2；2 23．添括号法规法规：添括号时，若是括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；若是括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．警误区添括号法规的易错点添括号时，若是括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不能只改变部分项的符号，如：a－ b＋ c＝ a－ (b＋ c)，这样添括号时可是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．【例 3】填空： (1)(x－ y＋ z)(x＋y－ z)＝[x－ ()][x＋ ()]；(2)(x＋ y＋ z)(x－ y－z)＝[x＋ ()] [x－()]．【例 4 】如，在 a 的正方形中剪去一个 b 的小正方形 (a＞ b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分算两个形阴影部分的面，了公式__________．【例 6】察以下各式的律：12＋ (1 ×2)＋ 22＝ (1 ×2＋1)2；222＝ (2 ×3＋1)2；2＋ (2 ×3)＋ 332＋ (3 ×4)2＋ 42＝ (3 ×4＋1)2；⋯写出第 n 行的式子，并明你的．型一：巧用乘法公式型二：平方差与完好平方公式混用计算： 4x2114x2计算：a b c a b c 22种类三：完好平方公式在三角形中的运用例 3、已知△ ABC的三边长a,b,c 满足a2b2c2ab bc ac 0，试判断△ABC的形状种类四：利用乘法公式解方程(组 )2y 2x y x y例 4：解方程组x 24x3y2种类五：多项式的证明例 5：证明无论a,b 为何值，多项式a2b22a 6b12的值恒为正种类六：灵便运用乘法公式解题例 6、计算1-11-11-1K 1111 224292102 23拓展：三项完好平方公式： a b c 2a2b2c22ab 2ac2bc 二次三项式：x a x+b x2 a b x ab立方和公式：a3b3 a b a2ab b2立方差公式：a3-b3a b a2+ab b21、若x 3 x 4x2px+q, 那么 p, q的值分别是2、若ax b x 2x2b 4,则 ab3、如x m 与 x 3 的乘积中不含 x的一次项，则 m的值为4、已知a2 a 5 0,则 a 3 a+2 的值是5、已知实数a,b满足 a b 21, a b 225,则a2b2ab6、将代数式x26x 2化成x p 2q的形式为7、若x2+2ax16是一个完好平方张开式，则a的值是________-8、已知x216x k是个完好平方式，则常数k的值为_______9、若x y 5xy 62则 x2 y2 = ___________-0,111210、已知x4,求 x2和 x的值x x2x11、知实数 a,b 满足a b 2 1, a b 2 25,则a 2 b 2 ab课后练习1.以下各式中，相等关系必然成立的是（）A.(x － y) 2＝(y － x)2－ 6) ＝ 2－6B.(x+6)(x xC.(x+y)2＝ x 2+y 2+2xy 2－y 2＝(x+y)22.以下运算正确的选项是（）2 21 2 12 2 2A.(a+3) ＝a +9B.( x －y) ＝6x －3xy+y32＝1－2m+m 22－ y2－ ＝ 4－ y 4C.(1－ m)D.(x)(x+y)(x y) x3.将面积为 a 2的正方形边长增加 2，则正方形的面积增加了（）+4+44.以下多项式乘法中，不能够用平方差公式计算的是（）A.(a+1)(2a －2)B.(2x －3)(－2x+3)C.(2y － 1 )( 1+2y)D.(3m －2n)(－ 3m － 2n)3 35.不等式 (2x －1)2－(1－3x)2＜ 5(1－x)(x+1)的解集是（）＞－＜－ ＞ ＜6.计算： (1)－ 5 y)(－ 5y －；(2)15 2 ×(－14 1)；7 73 3(3)［2x 2－(x+y)(x －y)］［(z －x)(x+z)+(y － z)(y+z)］； (4)(a － 2b+3c)(a+2b － 3c).7.(1)已知 x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x －y)2，③x2+xy+y2的值 .(2)已知 a(a－ 3)－(a2－3b)＝9，求a2b2－ ab 的值 .21.计算：(1)(a2+1)(a2－ 1)－(－a2) ·a2；(2)(2a－ b)(2a+b)－(－3a－ b)(－ 3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－ 2y)2－4(2x－ y)(x－y).2.已知 (a+b)2＝7，(a－ b)2＝ 4，求 a2+b2和 ab 的值 .3.已知△ABC的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2－ ab－bc－ac＝0，试判断△ ABC的形状 .4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－ 5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2 +3y－ 2)＝y2(y+3)(y－3).。
平方差公式(公开课)
复习 回顾
把下列各式分解因式 ① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 ②p（y-x）-q（x-y）
解：原式=3x2y2(2x-3y+1) 解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
③ (x-y)2-y(y-x)2
解：原式=(x-y) 2(1-y)
怎样分解呢？
分解因式
x2 – 4
(a+b) (a-b)= a2-b2 a2-b2 = (a+b) (a-b)
(x+2)(x–2)= x2 – 4 x2 – 4 = (x+2)(x–2)
整式乘法： 因式分解：
(a+b) (a-b)=
2 2 a -b
2 2 a -b
= (a+b) (a-b)
两个数的平方差，等于 这两个数的和与这两个数的差的积。
（7）x4-16
★分解因式应分解 解：x4-16 =(x2)2-42 =(x2+4)(x2-4) 到各因式都不能再 分解为止. 2 =(x +4)(x+2)(x-2)
解：2x3-8x =2x (x2-4)
=2x (x2_22)
（8） 2x3-8x
=2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然后再 进一步分解因式,直到不能分解为止.
3、每部分都能写成某个式子的平方。
(2)4x2-(-y)2
解：原式=（2X)2-y2
(4)-4x2+y2
解：原式=y2-4x2
=(2x+y)(2x-y)
=(y-2x)(y+2x)
(1) x2-1 =(x+1)(x-1) (2)m2-9 =(m+3)(m-3) (3)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (4) 25x2-4 =(5x+2)(5x-2) (5) 0.01s2-t2=(0.1s+t)(0.1s-t)(6) 121-4a2b2 =(11+2ab)(11-2ab) (7) a6-81 =(a3+9)(a3-9) (8) –x2+25 =(5+x)(5-x) 2b2+c2 =(c+2ab)(c-2ab) (9) 16a2-9b2 (10) 4a =(4a+3b)(4a-3b)
平方差公式
NO3.探索新知
=
(a b)(a b) 2 2 a ab ba b a b
2 2
=
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
NO3.探索新知
平方差公式：
(a b)(a b)
=
a b
2
2
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
NO4.演练场
(1)(3x+2)(3x－2)= 9x2-4
2y2-z2 x (2)(xy+z)(xy－z)=
； ； ；
(3)(3m+5n)(3m-5n) =
2 2 9m -25n
(4)(x+1)(x-2)= x2-x-2
；
a与b的位置是固定的么？
2
(a b)(a b) = a b
2
(b a)(a b) (a b)(b a) (b a)(b a)
(1)(a+b+c)(a+b-c)
=（
=（
）2－（
）2－（
）2
）2
(2)(a-b+c)(a+b+c)
平方差公式
NO1.复习旧知
(a b)( p q)
=
ap aq bp bq
NO2.算一算
（x 1 ） ( x 1) （m 2） (mБайду номын сангаас 2)
x 1
2
2
2
2
2
m 2
2
（2 x 1 ） (2 x 1)
（2 x） 1
等式的左边、右边有何特点？ 能否用通式表示并加以证明？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
合作学习： 如何把下式因式分解？
a4 a2b2 哪种方法好？
提示： 首先提取公因式， 然后考虑用公式， 最终必是连乘式。
10
将下列各式分解因式：
（1） 3ax2 3ay2
3a(x2 y2 ) 3a(x y)(x y)
（2） 2x3 8x
2x(x2 4) 2x(x 2)(x 2)
3(m n)2 (m n)2
3(m n) (m n)3(m n) (m n)
(3m 3n m n)(3m 3n m n)
(4m 2n)(2m 4n) 说到 4(2m n)(m 2n) 就要做到
注意：将分解进行到底！
13
回顾 & 小结 ☞
1、因式分解的一个重要工具 平方差公式
2、我们在进行因式分解时 应注意的问题
首提取公因式
然后考虑用公式
最终必是连乘式
14
因式分解：
（1）16a2 9b2 (4a 3b)(4a 3b)
（2） x2 25 (5 x)(5 x) （3）(m n)2 n2 m(m 2n)
4 （4） x2 16 4(x 2)(x 2)
简便计算：
（5）25 2652 1352 25
1300000
15
独立作业：
课本P56 知识技能 1、2、3。
16
知识拓展
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平 方差，那么就称这个数为“神秘数”。
4 22 、02 12 、42 22 20 62 42
11
学以致用： 心动 不如行动
在日常生活中，如取款、上网等都需要 密码，有一种用“因式分解”法产生的 密码，方便记忆。
x4 y4 (x2)2 (y2)2 (x2 y2)(x2 y2) (x2 y2)(x y)(x y)
12
能说出你这节课的收获和体验 让大家与你分享吗？
（3） 9x2 4 y2
（4） y2 25 x2 4
7
(m n)2 9 (m n)2 32 (m n 3)(m n 3)
a2 b2 (a b)(a b)
注意：公式中的 a 和 b 可以表示单项式，
也可以表示多项式。
8
9(m n)2 (m n)2
18
结束寄语：
“干下去还有50％成功的希望， 不干便是100％的失败。”
19
计算： 992 1
2
赵云涛
3
下列各式能利用平方差公式分解因式吗？
25 x2 4x2 y a3
16x2 y2 16x2 y2
y2 16x2 16x2 y2
16x2 y
满足什么条件才能利用平方差
公式分解因式？与同伴交流。
4
下式中不能用平方差公式分解的是（ C ）
(A) 9 a2 (B) a2 16x2 (C) m2 n2 (D) y2 36
5
9x2 4y2
3x2 2y2 3x 2y3x 2y
a2 b2 a ba b
6
请将下列各式分解因式：
（1） m2 9n2
（2） 0.25a2 121b2
因此，4，12，20都是神秘数。 28是神秘数 吗？神秘数都是4的倍数吗？请说明理由。
相信你能行！
17
知识拓展
英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问 他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说： “今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差 是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年 龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟 弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？