文科高三期中模拟试题 文科数学
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
河南省南阳市2023届高三上学期期中文科数学试题含答案
2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（文）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合401x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}54B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.(](),14,-∞-+∞ B.()(),14,-∞-⋃+∞ C.()5,1-- D.(]5,1--【答案】D 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合{}14A x x =-<≤，{R 1A x x =≤-ð或}4x >，所以(){}R 51A B x x ⋂=-<≤-ð.故选：D.2.若2z i z i +=-=，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，,R x y ∈，由条件列方程求,x y ，再由复数的模的公式求z .【详解】设i z x y =+，,R x y ∈，因为2z i z i +=-=，2=2=，所以0y =，23x =，所以z ==，故选：C.3.已知()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，则()2f =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】因为()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，所以()()()()()()()22222lg5lg 20lg 2lg5lg 4lg 2l 5g5l g lg5lg g 2l 22f ⨯=⨯+++=⨯+=+⨯()()22lg 5lg 2lg101=+==.故选：A.4.已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<，则k =（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】先求得n a ，然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-，当1n =时，110a =-；当2n ≥时，211n S n n =-，()()22111111312n S n n n n -=---=-+，两式相减得()2122n a n n =-≥，1a 也符合上式，所以212n a n =-，*N k ∈，由721210k <-<解得911k <<，所以10k =.故选：B5.若x ，y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则2x y -的最小值是（）A.3-B.5- C.8 D.7-【答案】D 【解析】【分析】根据题意画出可行域，令2z x y =-，即1122y x z =-，所以平移斜率为12的直线，12z -相当于在y 轴上的截距，找到使y 轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】由题知，画出满足题意的可行域如下所示，令2z x y =-，即1122y x z =-，12z -相当于直线1122y x z =-在y 轴上的截距，平移直线12y x =，当直线过A 点时，截距最大，z 最小，联立203x y x -+=⎧⎨=⎩，可得()A 3,5，故在A 点时取得最优解，代入2z x y =-，可得7z =-.故选：D.6.已知：()1,2a =r，b = a b - 的最大值是（）A.B. C.+ D.-【答案】B 【解析】【分析】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r 可得a =得a b -=.【详解】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r ，得a == 所以a b -== ，因为0πθ≤≤，所以1cos θ1-＃，即52520cos 45θ≤-≤≤≤所以a b -的最大值为.故选：B.7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()1cos f x x x=+ B.()1sin f x x x =+C.()1cos f x x x=- D.()1sin f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性排除A ，C ，由函数在0x =处的变化趋势排除B ，得正确选项．【详解】由函数图像可知,函数()f x 为奇函数,对于A:()()()11cos cos f x x x f x x x-=-+=+≠---，()f x 不是奇函数排除A 选项；()()()11cos cos f x x x f x x x-=--=+≠--，()f x 不是奇函数排除C 选项；对于B ,当0x >，且x 趋近于0时，由图知()f x 趋近于-∞，但()10,sin 0x f x x x→=+>排除B ；故选：D.8.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.6B.6- C.3D.36【答案】B 【解析】【分析】先由已知条件求出πsin 6α⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简计算可得答案.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πsin 63α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin6666αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132326-=⨯-⨯=，故选：B9.在ABC 中，30C =︒，b =，c x =.若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（）A.12B.32C.1D.【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理得到sin 2B x=，再分030B ︒<≤和30B ︒>两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出x 的取值范围，即可判断.【详解】解：由正弦定理sin sin b c B C =，即sin sin 30x B ︒=，所以sin 2B x=，因为ABC 只有一解，若30B ︒>，则90B ︒=，若030B ︒<≤显然满足题意，所以10sin 2B <£或sin 1B =，所以1022x <≤或12x =，解得x ≥或2x =；故选：D10.若将函数()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，与函数()()2cos 2g x x ϕ=+的图像重合，则ϕ的一个可能取值为（）A.π3B.π3-C.2π3-D.4π3-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对()g x 的解析式变形处理，列出等式，即可判断.【详解】()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，周期2πT ω=，函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，得函数πππ2sin 2sin 236y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，而()()()ππ2cos 22sin 22sin 222g x x x x ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意π2,2π,Z π26k k ωϕ=+=-∈，Z 2,π32πk k ϕ∴=-∈，令32ππ2π3k ϕ=-=，得1Z 2k =∉，故A 错误；令32ππ23πk ϕ=-=-，得1Z 6=∉k ，故B 错误；令2π2π332πk ϕ=-=-，得0Z k =∈，故C 正确；令32π34π2πk ϕ=-=-，得1Z 3=-∉k ，故D 错误.故选：C.11.已知函数()πe (cos ),0,2π1,,02x x a x f x x x ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪--∈- ⎥⎪⎝⎦⎩在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≥B.3a ≥ C.2a ≥ D.12a ≤≤【答案】C 【解析】【分析】利用导数求解π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递减满足的条件，即可结合分段函数的性质求解.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()e (cos )x f x x a =-，则()e (cos sin )0xf x x x a '=--≤所以πcos sin 4a x x x ⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π1,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，因此1a ≥，要使()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则需要()()01201e cos0a a f a ≥⎧⇒≥⎨=-≥-⎩,故选：C12.已知：22π1tan 8π1tan 8a -=+，2b =，4log 3c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<b D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的公式求出22a =，然后借助指数函数的单调性得到2log 31.5232<=<=，即可得到a c <，构造函数()22xf x x =-，利用函数的单调性得到0>，整理后即可得到b c >.【详解】222222πππ1tan cos sin π888cos πππ421tan cos sin 888a --====++，2242log 3log 3log 3log 42c ===，∵2log 31.5232<=<=，2log 3<，则2log 322<，即a c <，设函数()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，∵()22412ln 22ln 4ln ln 0f '=-=-=<e e ，()21624ln 22ln 0f '=-=>e，且函数()f x '单调递增，∴()f x '只存在一个0x 使()00f x '=，且()01,2x ∈，当0x x <时，()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减，∴()102f f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，即22log 30log 222>⇒>⇒>，即b c >，所以a c b <<.故选：B.【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．（1）估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()sin ,sin cos cos ,sin cos ,x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭可得解.【详解】2023ππsin πsin 674πsin 3332⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎝⎭⎝⎭，2023ππ1cos πcos 674πcos 3332⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得202320231πcos π332⎛⎫==⎪⎝⎭f .故答案为：12.14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)cos c b A a -=，b =ABC 的外接圆面积为__________.【答案】9π【解析】【分析】在ABC)cos c b A a -=)sin sin cos sin C B A A -=利用π--C B A =消角可得cos 2B =，则角B可求，又b =，可利用正弦定理求ABC 的外接圆直径，ABC 的外接圆面积可求.【详解】 在ABC)cos c b A a -=，∴)sin sin cos sin C B A A -=，又π--C B A =，())sin sin cos sin B A B A A +-=，)sin cos cos sin sin cos sin B A B A B A A +-=，sin sin B A A =，又在ABC 中sin 0A >，∴2cos 2B =.又 在ABC ，0πB <<，∴π4B =，∴ABC的外接圆直径=6sin 22b B ==，∴ABC 的外接圆的面积为9π.故答案为：9π.15.若()e e 1xx f x =+，则()2e 11ef x +-<的解集是______________.【答案】()0,2【解析】【分析】根据题意求得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，结合()2e 11(1)ef f +==，把不等式转化为()1(1)f x f -<，得到11x -<，即可求解.【详解】由函数()e e 1xx f x =+，可得()()11e e e ex xx xf x f x ---=+=+=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，可得()e e0x xf x -'=+>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又由()2e 11(1)e f f +==，所以不等式()2e 11ef x +-<等价于()1(1)f x f -<，则满足11x -<，解得02x <<，即不等式的解集为()0,2.故答案为：()0,2.16.不等式()()222e 1a b a b m m -+--≥-对任意实数a ，b 恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[1,2]-【解析】【分析】设(,e ),(1,)a P a Q b b +，则可得22PQ m m ≥-，而,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，可求出PQ 的最小值，从而可解关于m 的不等式可得答案.【详解】由题意设(,e ),(1,)aP a Q b b +，则()()222e 1aPQ b a b =-+--，所以22PQ m m ≥-，因为,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，所以将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，切点到直线1y x =-的距离最小，此时PQ 最小，设切线为y x m =+，切点为00(,)x y ，则()x f x e =，得()e x f x '=，所以0e 1x =，得00x =，则01y =，所以PQ 的最小值为点(0,1)到直线1y x =-的距离d ，d ==，即PQ ，所以22m m ≥-，即220m m --≤，解得12m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[1,2]-，故答案为：[1,2]-【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为(,e ),(1,)a P a Q b b +，22PQ m m ≥-，进一步转化为曲线()x f x e =上的点和直线1y x =-的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .AB AC ⋅=- ，ABC 的面积等于3.（1）求A ；（2）求222b c a +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）23【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积定义及三角形的面积公式可得tan A =，进而求解即可；（2）由（1）可得bc =，结合余弦定理可得222b c a +=-22221b c a a +=-，再根据基本不等式可得2222b c a bc +=-≥=2a ≥.【小问1详解】因为cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅=⋅=- 又1sin 32ABC S bc A ==△，两式相除得，tan A =又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】由（1）知，cos bc A ⋅=-2π3A =，所以bc =，又2221cos 22b c a A bc +-==-，即222b c a +=-所以2222221b c a a a a+=--=，又因为2222b c a bc +=-=1423b c ==⨯时等号成立，所以2a ≥210a <≤，即214303a -≤-<，即2243113a≤-<，所以222b c a +的最小值为23.18.已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，且{}n b 是以2为公比的等比数列.（1）证明：24n n a a +=；（2）若2122n n n c a a -=+，求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析（2）154n n c -=⋅，()5413n n S =-【解析】【分析】（1）先求得n b ，然后根据递推关系证得24n n a a +=.（2）先求得n c ，然后结合等比数列前n 项和公式求得n S .【小问1详解】依题意，11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，1b ==，且{}n b 是以2为公比的等比数列，所以11222n n nb --==，所以1212122n n n n a a --+==，则21122n n n a a +++=，两式相除得224,4n n n na a a a ++==.【小问2详解】由（1）知数列{}2n a 和数列{}21n a -都是公比为4的等比数列，所以1211222221142,42n n n n n n a a a a -----=⋅==⋅=，22211212222254n n n n n n c a a ----=+=+⨯=⨯，1154,4n n n nc c c ++=⨯=，所以数列{}n c 是首项为5，公比为4的等比数列，所以()()514541143n n n S -==--.19.已知函数()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈（2）11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，根据对称性求出ϕ，即可得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出2x 的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭cos 211cos 23222x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=--22cos 2cos sin 2sin 11cos 233222x x x ππ-+-=--1cos 2211cos 222222x x x --+-=--13cos 2211cos 222222x x x --+-=--3cos 2sin 2144x x =++1cos 2sin 21222x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭sin 2123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为5,,Z 1212ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k .【小问2详解】解：因为()()()33sin 212212323g x f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，又()g x 的图像关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2,Z 3k k ππϕπ++=∈，解得21,Z 32k k πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以()()sin 21sin 2122g x x x π=++=-+，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时22,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2,12x ⎤∈⎥⎣⎦，所以()11,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.20.已知函数()ln a f x x x x=+-，其中a ∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >，求实数a 的取值范围.【答案】（1）450x y --=（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）先将2a =代入得到()f x 解析式，对()f x 求导可得切线的斜率，由()1f 得切点的坐标，利用点斜式得到切线方程；（2）将()f x 代入得到2ln 2a x x x x <+-，所以将对于任意()1,x ∈+∞都有()2f x >转化成了()2min ln 2<+-a x x x x ，构造函数()2ln 2g x x x x x =+-，对()g x 求导判断函数()g x 单调递增，从而得()()1g x g >，即得证.【小问1详解】当2a =时，由已知得()2ln =+-f x x x x ，故()2121=++'f x x x ，所以()11214f '=++=，又因为()21ln1111=+-=-f ，所以函数()f x 的图象在点()1,1-处的切线方程为()141+=-y x ，即450x y --=；【小问2详解】由()2f x >，()1,x ∈+∞，得2ln 2<-+a x x x x ，设函数()2ln 2g x x x x x =+-，()1,x ∈+∞，则()1ln 22ln 21g x x x x x x x'=+⋅+-=+-，因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当()1,x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->，故函数()g x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以当()1,x ∈+∞时，()()11ln11211g x g >=⨯+-⨯=-，因为对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >成立，所以对于任意()1,x ∈+∞，都有()a g x <成立．所以1a ≤-．【点睛】思路点睛：本题利用导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.21.数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()*21n n S n a n +=∈N.（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式；（2）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和53n T <.【答案】（1）32n a n =-（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，从而得到12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥，即可得到122(3)n n n a a a n --=+≥，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得()1231n S n n =-，适当放大再利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，*2(1)(N )n n S n a n =+∈①，当1n =时，1121a a =+，解得11a =；当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，①-②得1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥③，所以12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥④，由③④得122(3)n n n a a a n --=+≥，所以数列{}n a 为等差数列，所以公差21413d a a =-=-=，所以13(1)32n a n n =+-=-．【小问2详解】由（1）可得()3212n n n S -+=，所以，所以()1231n S n n =-，当1n =时，11513S =<，当2n ≥时，()122121211(13133(1)31()3n S n n n n n n n n ==⋅<⋅=----，12111n nT S S S =++⋯+211211211131232331n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 525333n =-<,综上53n T <.22.已知()21e 12x f x x x =---.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()f x '是()f x 的导数.当[]1,1x ∈-时，记函数()f x 的最大值为M ，函数()f x '的最大值为N .求证：M N <.【答案】（1）()f x 在R 上单调递增（2）见解析【解析】【分析】（1）求导即可由导函数的正负求解原函数的单调性，（2）根据（1）的结论，分别求解M ，N ，即可作差求解大小.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ,()e 1xf x x '=--，令()()(),e 1xx f x x ϕϕ''==-，当()()0,0,x x x ϕϕ'>>单调递增，当()()0,0,x x x ϕϕ'<<单调递减，所以()(0)0x ϕϕ≥=，即()e 10x f x x ¢=--³故函数()f x 在R 上单调递增【小问2详解】由（1）知()f x 在[]1,1x ∈-时，单调递增，且()00f =，故()()[]()(],0,1,1,0f x x y f x f x x ⎧∈⎪==⎨-∈-⎪⎩，所以()(){}max 1,1M f f =-，由于()()115111e 3e 0e 22ef f --=---=--<，所以()()11f f -<，故()51e 2M f ==-,而()51e 2e 2N f M '≥=->-=,因此M N <。
名校高考模拟卷高三第一学期期中考试文科数学参考答案
2019届第一学期期中考试 高三文科数学参考答案一．选择题（共12小题，每题5分）答案1.D 2.A 3C 4C 5 D 6D 7 B 8B 9B 10C 11B 12A二. 填空题13． 答10 14．答9 15．答-2 16．答4b 27≤< 三、解答题17（12分）解：（1）在△ABC 中，A B C π++=所以coscos22A C Bπ+-= sin 23B ==． 所以2cos 12sin 2B B =- 13=． 322cos 1sin 2=-=B B 所以22cosBsinBtan ==B（2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得2210c c -+=． 解得1c =． 所以△ABC 的面积23221321sin 21s =⨯⨯⨯==B ac 18、（12分）2222)242()24(1062n n n n T n =-+=-++++=19、（12分） 试题解析：（1）证明：∵错误!未找到引用源。
，∴错误!未找到引用源。
， ∵错误!未找到引用源。
，∴错误!未找到引用源。
.又∵错误!未找到引用源。
底面错误!未找到引用源。
，∴错误!未找到引用源。
. ∵错误!未找到引用源。
，∴错误!未找到引用源。
平面错误!未找到引用源。
.∴⊂，平面PBC BC 错误!未找到引用源。
平面错误!未找到引用源。
（2）三棱锥错误!未找到引用源。
的体积错误!未找到引用源。
与三棱锥错误!未找到引用源。
的体积相等，而错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
.所以三棱锥错误!未找到引用源。
的体积错误!未找到引用源。
.20、（12分）试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从第5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以()431105P A =-= 故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是35，（2）由数据，求得()()1111131212,2530262733x y =++==++=22213972,112513*********,111312434ni i i x y x y =⋅==⨯+⨯+⨯=++=∑23432x =，由公式得97797254344322b -==-，3a y bx =-=-，所以y 关于x 的线性回归方程这ˆ532y x =- （3）当10x =时， 5322,2222ˆ32yx =-=-< 同样地，当8x =时， 58317,1712ˆ62y=⨯-=-< 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠 21、（12分）解：（1）因为()313f x x ax =-，()221g x bx b =+-，所以()2f x x a '=-，()2g x bx '=.因为曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同切线, 所以()()11g f =,且()()11g f '='。
2021-2022年高三上学期期中模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
2021年高三上学期期中模拟考试数学（文）试题 Word 版含答案一、填空题1已知集合{2,3},{1,},{2},A B a AB A B ====若则2.已知复数满足为虚数单位)，则的实部为 .3.某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 .4.函数的定义域为 .5.6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(3，4，5，6个点的正方体玩具)点数之积不小于10的概率为 .7.底面边长为2，高为18.在平面直角坐标系中，以直线为渐近线，且 经过抛物线焦点的双曲线的方程是 . 9.在等式若的最小值为，则为10.已知圆M ：截直线所得线段的长度是，则圆M 与圆N ：的位置关系是 11．曲线（）的两焦点为，，点在双曲线上，且满足，则的面积为 12.在等差数列中，已知首项，公差．若，，则的最大值为 .13. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足 ==,===-2，动点P ，M 满足 =1，=，则的最大值是 .14. 已知函数 其中，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_________.二、解答题15（本题满分14分）.在∆中，角，，的对边分别为，，．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．16. （本题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：平面PCB．PADCBNM17．（本题满分14分）如图，在，，米的直角三角形地块中划出一块矩形地块进行绿化．（1）若要使矩形地块的面积不小于平方米，求长的取值范围；（2）当矩形地块面积最大时，现欲修建一条道路，把矩形地块分成面积为1：3的两部分，且点在边上，点在边上，求的最小值．F（第17题图）18. （本题满分16分）已知椭圆E：过点，离心率，右顶点为A，右焦点为F．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若经过F的直线（不与轴重合）交椭圆E与B，C两点，延长BA，CA，分别交右准线19．(本小题满分16分)已知数列的首项，．（1）求证：数列为等比数列；(2) 记，若，求最大的正整数．（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．20. （本题满分16分）已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.江苏省东海高级中学xx届高三上学期期中模拟考试试题数学试题（选修历史）答案一、填空题：（1）（2）（3）93 （4）（5）59 （6）（7）（8）（9）30 （10）相交（11）1 （12）200 （13）（14）二、解答题：15、(1)由正弦定理知：,即则,在三角形中，(2)若,则,即则的面积16、略 17、（1）设，则． 因为，所以，所以．由于矩形地块的面积不小于，所以有，解得长度的取值范围为； （2）由（1）可知（），当时取最大值．所以矩形地块的面积最大值为．由题意可知，当矩形的面积被分为两块的面积之比为1：3时， 则有=．设，则有，所以=， 当且仅当时取最小值． 18．（1）由题意得22222191,41,2,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解之得所以椭圆E 的标准方程为．（2）由（1）知，A （2，0），F （1，0），右准线方程为．当直线l 与x 轴垂直时，l 方程为，可得B ，C 两点坐标分别为． 所以直线BA 方程为，当时，得，即； 直线CA 方程为，当时，得，即． 因此，即FN ⊥FM ．当直线l 与x 轴不垂直时，设其方程为． 由题意得解之得，代入直线l 方程得B C ．直线BA 方程为，当x =4时，得，所以． 同理可求得． ，所以FN ⊥FM ．综上，对于任意与x 轴不重合的直线l ，都有FN ⊥FM ． 19、（1）∵，∴，且∵，∴，∴数列为等比数列． （2）由（1）可求得，∴．2121111112()333n nn S n a a a =+++=++++，若，则，∴．（3）假设存在，则，∵，∴．化简得：，∵，当且仅当时等号成立．又互不相等，∴不存在．20.解：（1）由，所以又，所以所以切线方程为切线方程为：（2）令因为，所以在，递增，在递减要使对，不等式恒成立，即1.当时，即时，在递增，在递减所以2.当时，即时，在递增，在递减，在递增①当时所以②当时即对都成立综合1，2得：ASABE ACE。
砚山县第三高级中学2021届高三年级期中模拟测试卷文科数学参考答案
O1O R2 22 ， OO2 R2 (2 2 )2 ，
且 O1O 3 OO2 ，得 R2 4 9R2 72 ，
解得
R2
17 2
，球
O
的表面积为 4
R2
34
．
故答案为： 34
【点睛】
本题考查了旋转体的外接球问题、球的表面积公式，属
于基础题.
17．（1）
A
3
；（2）
AC
2
6 3
x2 y2 4x 2y 4 0 截得的弦长为 6 ，
三棱锥 A BCD 中平面 ACD 平面 BCD ，且
所以直线经过圆心，所以 2a 4b 4 0 ，即 a b 1， AD CD ， BC CD ，最短棱为 CD ，把它补形为长
2
方体 AGHF DCBE ．最长棱为 AB .
所以
由 CD // DE 可得 ABE （或其补角）为直线 AB 与
4b ab
a
4 a
1 b
a 2
b
3
4b a
a 2b
3
2
4b a
a 2b
C3D2所成2 的角．
，
在平面 BCD 内，可得 AE 2 2 ，在 Rt AEB 中，
当且仅当 a 4 2 2, b 2 1时取等号，
AB 12 （2 2）2 3
.
【详解】
【解析】
解不等式 x 6 4 ，即 4 x 6 4 ，得 2 x 10 ，
p : 2 x 10 .
由于 p 是 q成立的必要不充分条件，则
a
1,
a
1
Ü
2,10
，所以
a a
1 1
2 10
高三下学期期中数学试卷(文科)套真题
高三下学期期中数学试卷（文科）一、选择题1. 设集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，则M∪（∁UN）=（）A . {1}B . {1，2，3，5}C . {1，2，4，5}D . {1，2，3，4，5}2. 设i是虚数单位，复数，则复数z在复平面内所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A . 18B . 20C . 21D . 404. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A . 6升B . 8升C . 10升D . 12升5. 下列命题，正确的是（）A . 命题“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”B . 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C . 命题“若x2=y2，则x=y”的逆否命题是真命题D . 命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”6. 已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A . 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B . 若m，n平行于同一平面，则m 与n平行C . 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D . 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A .B .C .D . 58. 平面直角坐标系中，在由x轴、、x= 和y=2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y≤1﹣sin3x的概率是（）A .B .C .D .9. 以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）A . 1B .C .D . 210. 已知函数，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（）A . （0，2]B . （1，2]C . （1，2）D . （0，1]11. 如图所示，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动（点M 不与E、F重合），对于M的每一个位置（x，0），记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为f（x），那么函数y=f（x）的大致图象为（）A .B .C .D .12. 对任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（）A .B .C . eD . 2e二、填空题13. 函数f（x）= 的定义域为________．14. 已知函数f（x）= 若f[f（x0）]=1，则x0=________．15. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2acosC﹣a=c﹣2ccosC，若c=3，则a+b的最大值为________．16. 已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，AA1=a．棱BB1的中点为E，棱B1C1的中点为F，平面AEF与平面AA1C1C的交线与AA1所成角的正切值为，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为________．三、解答题17. 在数列{an}中，设f（n）=an，且f（n）满足f（n+1）﹣2f（n）=2n（n∈N*），且a1=1．（1）设，证明数列{bn}为等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn ．18. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（，1），=（cosA+1，sinA），且• 的值为2+ ．（1）求∠A的大小；（2）若a= ，cosB= ，求△ABC的面积．19. 已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1，D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1，∠A1C1B=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．21. 已知函数f（x）=lnx，g（x）= x2﹣bx（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；（3）若b≥2，∀x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数b的取值范围．22. 如图，在几何体A1B1D1﹣ABCD中，四边形A1B1BA与A1D1DA均为直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P为DD1的中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥PC；（Ⅱ）求几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积．23. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，斜率为（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．。
2021年高三上学期期中数学模拟试卷(文科)含解析
2021年高三上学期期中数学模拟试卷（文科）含解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）B）∪A等1．集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）2．已知，若共线，则实数x=（）A．B．C．1 D．23．函数的定义域是（）A．B．C．D．4．已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．已知函数f（x）=．若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．在△ABC中，若有=cos2，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形或锐角三角形7．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．8．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件9．已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．10．若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1] C．[，]D．[，2]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共16分．）11．已知等差数列{a n}的前n项和，则a n=．12．函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=．13．已知函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=．14．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f （2m），则实数m的取值范围是．15．有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知，，．（Ⅰ）求向量与的夹角θ；（Ⅱ）求及向量在方向上的投影．17．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．18．已知向量（ω＞0），函数f （x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．20．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．xx学年山东省潍坊市昌乐二中高三（上）期中数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】化简A、B，求出∁R B，再计算（∁R B）∪A．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}=（﹣∞，0）∪（2，+∞），B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，∴∁R B={y|y≤1}=（﹣∞，1]，∴（∁R B）∪A=（﹣∞，1]∪（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了集合之间的基本运算问题，解题时应按照集合之间的运算法则进行计算即可，是基础题．2．已知，若共线，则实数x=（）A． B． C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】利用向量共线时，坐标之间的关系，我们可以建立方程就可求实数x的值【解答】解：∵，∴∵与共线，∴1×1﹣2×（1﹣x）=0∴x=故选B．【点评】向量共线时坐标之间的关系，与向量垂直时坐标之间的关系是我们解决向量共线、垂直的一种方法．3．函数的定义域是（）A． B． C． D．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的及诶小时可得可得，解方程组求得x的范围，即为所求．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选B．【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．4．已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】先根据题意求得tanα的值，进而利用正切的两角和公式求得答案．【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用．属于基础题．5．已知函数f（x）=．若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】代入可得a1=log2（1﹣（﹣1）），从而解得．【解答】解：∵f（1）=f（﹣1），∴a1=log2（1﹣（﹣1）），故a=1；故选A．【点评】本题考查了分段函数的简单应用．6．在△ABC中，若有=cos2，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角三角形或锐角三角形【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式右边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用余弦定理表示出cosC，代入计算得到关系式，利用勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：在△ABC中，=cos2=，由余弦定理得：cosC=，代入得：=1+，去分母得：2a2+2ab=2ab+a2+b2﹣c2，即a2+c2=b2，则△ABC为直角三角形，故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．【考点】平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选D【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．8．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】A．利用逆否命题的定义及其实数的性质即可判断出；B．利用￢p的定义即可判断出；C．由于，则与的夹角为钝角或为平角，即可判断出正误；D．△ABC中，利用正弦定理可得sinA＞sinB=a＞b⇔A＞B，即可判断出正误．【解答】解：A．“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，正确；B．命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，正确；C．向量满足，则与的夹角为钝角或为平角，因此不正确；D．△ABC中，sinA＞sinB=a＞b⇔A＞B，因此正确．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、向量的夹角公式、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选A．【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．10．若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1] C．[，]D．[，2]【考点】函数最值的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由基本不等式，算出函数y=在区间（0，2]上为增函数，得到t=2时，的最大值为；根据二次函数的性质，算出t=2时的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[，1]．【解答】解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数∴当t=2时，的最小值为1；又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立∴函数y=在区间（0，2]上为增函数可得t=2时，的最大值为∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1可得a的取值范围是[，1]【点评】本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了基本不等式、函数的单调性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共16分．）11．已知等差数列{a n}的前n项和，则a n=2n．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由数列{a n}的前n项和，分类写出n=1和n≥2时的a n，然后验证n≥2时的通项公式是否满足a1．【解答】解：因为数列{a n}的前n项和，当n=1时，，当n≥2时，=2n．验证n≥2时的式子对n=1时成立，所以，a n=2n．所以，等差数列{a n}的通项公式为a n=2n．故答案为2n．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了由数列的前n项和求数列的通项，该类问题解答时一定要分类讨论，然后加以验证，当a1满足n≥2时的通项时，通项公式合并在一起写，否则要分写，此题是基础题．12．函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=2sin（x﹣）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由函数f（x）的图象可得A=2，=•=﹣，求得ω=1，在根据五点法作图可得1×+φ=0，求得φ=﹣，故f（x）=2sin（x﹣），故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．13．已知函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=1．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（1）f（2）＜0，故函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（1，2）内有唯一零点．再根据函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）有零点，可得n的值．【解答】解：由于函数f（x）=log2x+x﹣2在（0，+∞）是增函数，且f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，∴f（1）f（2）＜0，故函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（1，2）内有唯一零点．再根据函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）有零点，可得n=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f （2m），则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】先根据条件得到函数的奇偶性，再结合条件求出函数在（0，+∞）上的单调性，利用f（x）=f（|x|）将f（m+1）＞f（2m）转化成f（|m+1|）＞f（|2m|）进行求解，最后根据单调性建立关系式求解即可．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数又∵当a，b∈（﹣∞，0）时总有，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增函数根据偶函数的性质可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数∵f（m+1）＞f（2m），∴f（|m+1|）＞f（|2m|），即|m+1|＜|2m|，则（m+1）2＜4m2，（3m+1）（1﹣m）＜0，m＞1或m＜﹣，解得：m∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及函数奇偶性的应用，属于基础题．15．有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】利用积化和差公式化简函数解析式，进而分析其对称性，可判断①；求出函数的对称中心，可判断②；根据一元二次方程根的个数与系数的有关系，求出a值，可判断③；利用正弦定理，判断三角形解的个数，可判断④．【解答】解：① ={+}=cos2x，当x=时，y取最小值，故函数图象关于直线x=对称，故①正确；函数y==+1的图象由函数y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，函数y=的图关于点（0，0）对称，故函数y=的图象关于点（1，1）对称，故②错误；关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则，即a=﹣1，故③正确；满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有且只有一个，故④错误；故正确的命题的序号为：①③，故答案为：①③【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，函数图象的平移变换，正弦定理，积化和差公式，难度中档．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知，，．（Ⅰ）求向量与的夹角θ；（Ⅱ）求及向量在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）将已知等式展开转化为两个向量的模压机数量积的计算问题，利用数量积公式求θ；（Ⅱ）根据投影的定义，利用数量积公式解答．【解答】解：（Ⅰ）因为，，．所以，即16﹣8cosθ﹣3=9，所以cosθ=，因为θ∈[0，π]，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以==5，||=，所以向量在方向上的投影为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的夹角以及一个向量在另一个向量的投影；关键是熟练掌握数量积公式以及几何意义．17．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式，可得方程组，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得b n=a n+2n，再由分组求和方法，运用等差数列和等比数列的求和公式计算即可得到．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，由a5=11，a2+a6=18，得，解得a1=3，d=2，所以a n=2n+1；（Ⅱ）由a n=2n+1得，则=．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．18．已知向量（ω＞0），函数f （x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用张弦函数的定义域和值域，求得g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．【考点】余弦定理的应用．【专题】方程思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用余弦定理化简整理，再由特殊角的三角函数值，即可得到所求角B；（Ⅱ）运用余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，结合基本不等式即可得到a+c的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴b2﹣c2=a2﹣ac∴b2=a2+c2﹣ac，∴，又∵；（Ⅱ）∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴1=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，∵当且仅当a=c时等号成立，∴，即a+c≤2．即有a+c的最大值为2．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，以及运算化简能力，属于中档题．20．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．【点评】考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．39431 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高三数学文科模拟考试 (含答案)高三模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生作答时，请将答案涂在答题卡上，不要在试题卷和草稿纸上作答。
考试结束后，请将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：请使用2B铅笔在答题卡上涂黑所选答案对应的标号。
第Ⅰ卷共12小题。
1.设集合A={x∈Z|x+1<4}，集合B={2,3,4}，则A∩B的值为A.{2,4}。
B.{2,3}。
C.{3}。
D.空集2.已知x>y，且x+y=2，则下列不等式成立的是A.x1.D.y<-113.已知向量a=(x-1,2)，b=(x,1)，且a∥b，则x的值为A.-1.B.0.C.1.D.24.若___(π/2-θ)=2，则tan2θ的值为A.-3.B.3.C.-3/3.D.3/35.某单位规定，每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费。
某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米。
A.13.B.14.C.15.D.166.已知命题p：“存在实数x使得e^x=1”，命题q：“对于任意实数a和b，如果a-1=b-2，则a-b=-1”，下列命题为真的是A.p。
B.非q。
C.p或q。
D.p且q7.函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当-1≤x≤1时，f(x)=|x|。
若函数y=f(x)的图象与函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为A.(4,5)。
B.(4,6)。
C.{5}。
D.{6}8.已知函数f(x)=sin(θx)+3cos(θx)（θ>0），函数y=f(x)的最高点与相邻最低点的距离是17.若将y=f(x)的图象向右平移1个单位得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是A.x=1.B.x=2.C.x=5.D.x=6删除了格式错误的部分，对每段话进行了简单的改写，使其更流畅易懂。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三上学期期中考试数学试题文科
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三上学期期中考试数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
)1.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 ()A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1} C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D． {a|－2≤a≤1}2.设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有()A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个3.已知函数f(x)＝(cos 2xcosx＋sin 2xsinx)sinx，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数4.已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是()A． B．C． D．5.设函数f(x)＝－，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是 ()A． {0,1} B． {0，－1}C． {－1,1} D． {1,1}6.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有()A．最小值f(a) B．最大值f(b) C．最小值f(b) D．最大值f7.已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A． (1，＋∞) B． [4,8)C． (4,8) D． (1,8)8.函数y＝(0<a<1)的图象的大致形状是()9.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于()A． B．C． 10 D． 1210.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定11.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2 B．5≤a≤7C．4≤a≤6 D．a≤5或a≥712.将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝()A． B． C． D．第II卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝_____.14.已知＝(cosθ，sinθ)，＝(3－cosθ，4－sinθ)，若∥，则cos2θ＝.15.数列{}的构成法则如下：＝1，如果－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式＝－2.否则用递推公式＝3，则＝________.16.若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝．三、解答题(共6小题 ,共70分。
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。
河南省濮阳市第一高级中学2023届高三模拟质量检测文科数学试题
河南省濮阳市第一高级中学2023届高三模拟质量检测文
科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
总下载量y（万次）的数据，如下表：
．D
【分析】依题意可得()
f x的周期式，从而得到函数()
f x的图象
(]
Î-上的交点个数，数形
2,6
【详解】解：因为()
f x是定义在
则由图象可知两个函数的图象的交点个数为4个，即方程()()2
log 20f x x -+=的零点个数为4
个.故选：D.
8．B
【分析】先根据条件画出可行域，设z ax by =+，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z ax by =+，过可行域内的点(4,6)时取得最大值，从而得到一个关于a ，b 的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．
【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大2，
即231a b +=，。
高三文科数学期中试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. -πC. 0.1010010001...D. 2/32. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是（）A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 平行于x轴的直线D. 平行于y轴的直线3. 下列等式中，正确的是（）A. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a+b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a-b)^2 = a^2 + 2ab - b^24. 若a、b、c是等差数列的前三项，且a+b+c=9，则该等差数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 65. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y=x^2在R上单调递增B. 函数y=√x在[0, +∞)上单调递增C. 函数y=lnx在(0, +∞)上单调递减D. 函数y=e^x在R上单调递减6. 若向量a=(1, 2)，向量b=(2, -1)，则向量a·b的值为（）A. 3B. -3C. 5D. -57. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，d=2，则第10项an的值为（）A. 17B. 19C. 21D. 238. 下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = e^x9. 已知复数z=a+bi（a，b∈R），若|z|=1，则复数z的共轭复数是（）A. a-biB. b+aiC. a+biD. -a+bi10. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + y^2 ≥ 2xyB. x^2 + y^2 ≤ 2xyC. x^2 - y^2 ≥ 2xyD. x^2 - y^2 ≤ 2xy二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=5，d=3，则第n项an=______。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题期中考试卷高三文科数学
高考数学高三模拟考试试卷压轴题期中考试卷高三文科数学（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答卷。
第Ⅰ卷 共60分一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合{}{}22,,10,xA y y xB x x==∈=-<R 则A B =（）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．()0,+∞2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =- 3.已知i 是虚数单位，复数95i2+i 在复平面上所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4.已知双曲线2221y x b-=的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 5.已知函数1()sin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ϕπ2⎛⎫< ⎪⎝⎭ϕ，π3x =为()f x 图象的对称轴，将()f x 图象向左平移3π个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x 的解析式为（） A.1()cos 2g x x =- B.1()cos 2g x x = C.12π()sin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.1π()sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若5PF =，则PFK ∆的面积为（）A.4B.5C.8D.107.函数2(1)cos π()=||x xf x x -的部分图象大致为（）xy11Oxy 11Oxy11Oxy11OABC D8.直线1y kx =+与圆()()22214x y -+-=相交于P 、Q 两点.若22PQ ≥，则k 的取值范围是（）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1- C. 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,3⎡⎤-⎣⎦ 9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A ．283π-B ．24π-C．24(251)π+- D ．24(51)π+-10.若四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，,E F 分别为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅=（）A ．12-B ．12C ．32- D ．3211.在ABC ∆中，90BAC ∠=，223BC AC ==，点D 在边BC 上，且27sin BAD ∠=，则CD =（）A 33C 23D 4312.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）AB．2-2 D第Ⅱ卷 共90分二、填空题（每小题5分，共20分） 13.直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则实数a 的值为．14.已知向量()1,3=-a ，()1,b t =，若()2-⊥a b a ，则向量a 与向量b 的夹角为．15.设函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则函数()()F x f x x =+的零点的个数是．16.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为． 三、解答题（要求写出过程，共70分） 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差d 为1，且134,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列52n a n b n +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分） 已知函数1()sin cos()cos 262f x x x x π=-+. （1）求函数()f x 的最大值；（2）已知ABC ∆的面积为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1()2f A =，10b c +=，求a 的值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*3,22n n n S n N =-∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和为n T .20.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且1|=⋅PB PA |||，求实数m 的值. 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若5=4OM ON k k ⋅，求证：点(,)m k 在定圆上．22.（本小题满分12分） 函数()()()21ln 122f x x ax a x a =-++--∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求证：()32f x a≥-. 下学期期中考试卷 高三文科数学参考答案一、 选择题：1~6 BCACBA 7~12 CBDACD 二、 填空题：13. 1 14.4π15. 2 16.三、 解答题：17.解析：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，因为134,,a a a 成等比数列，所以2314a a a =，即22111(2)3a d a a d +=+，解得2140a d d +=. 因为1d =，所以14a =-，所以数列{}n a 的通项公式5n a n =-. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5n a n =-,所以522n a n n b n n +=+=+. 123231(2222)(123)2(12)(1)(1)221222n nn n n S b b b b n n n n n +=++++=+++++++++-++=+=+--………………12分 18.解析：（Ⅰ）2211()sin sin )cos 22111111sin cos cos (2cos 2)sin(2)222224264f x x x x x x x x x x x π=++-=+=++=++∴函数)(x f 的最大值为34. （Ⅱ）由题意111()sin(2)2642f A A π=++=，化简得1sin(2)62A π+=. (0,)A π∈，132(,)666A πππ∴+∈，5266A ππ∴+=，3A π∴=.由1sin 2bc A =16bc =，又10b c +=， 2,8b c ∴==或8,2b c ==.在ABC 中，根据余弦定理得2222cos 52a b c bc A =+-=.a ∴=19.解析：（Ⅰ）当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,12n n n a S S n -=-=- 又11a =适合上式故数列{}n a 的通项公式为=2-.n a n （Ⅱ）由（Ⅰ）知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111)+()++()]2-1113232112n nT n n n=---=---[(……………12分 20.解析：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . ……2分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ，∴直线l 的普通方程为03=--m y x .……5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ， 整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+，……7分 又直线l 过点)0,(m P ，由上式及t 的几何意义得1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，因此实数m的值为1或21+或21-.10 分 21.解析：（Ⅰ）设焦距为c 2，由已知23==a c e ，22=b ，222c b a +=． 2,1==∴a b ，∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ．……………4分(Ⅱ)证明：设),(),,(2211y x N y x M ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 依题意，222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①2121222844,4141km m x x x x k k -+==++，………………………6分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =，即121245y y x x =， ∴2212121244()45k x x km x x m x x +++=，∴222224(1)8(45)+4()404141m kmk km m k k ---⋅+=++， 即222222(45)(1)8(41)0k m k m m k ---++=， 化简得2254m k +=，②…9分由①②得226150,5204m k ≤<<≤．∴点(,)m k 在定圆2254x y +=上．（没求k 的范围不扣分）……12分22. 解：（Ⅰ）xx ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='…1分 ① 当a≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减； …………………3分② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>，由0)(<'x f 解得ax 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增； 综上，a≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a．………5分(Ⅱ)由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a 上单调递增， 则121ln )1()(min --==a a a f x f ．………………………6分 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --aa ≥a 23-，即证a ln +11-a≥0．……8分 构造函数11ln )(-+=a a a μ，则22111)(aa a a a -=-='μ， 由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ，即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴01111ln )1()(min =-+==μμa ，即11ln -+a a ≥0成立．从而)(x f ≥a23-成立．…………12分高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1.故答案为：1.【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m.故答案为：60m.【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2.又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2.∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴bn=2n.∴.∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==.【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点.【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴.由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1.【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点.是一道导数的综合题，难度较大.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标.【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1.（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率.由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m.从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证.②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）.【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.。
高三年级数学文科期中试题及答案
高三年级数学文科期中试题及答案幻想在漫长的生活征途中顺水行舟的人，他的终点在下游。
只有敢于扬起风帆，顶恶浪的勇士，才能争到上游。
下面给大家带来一些关于高三年级数学文科期中试题及答案，希望对大家有所帮助。
试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合，集合，则(A)(B)(C)(D)(2)设，则“”是“”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)函数，则(A)(B)(C)(D)(4)函数的一个零点所在的区间是(A)(B)(C)(D)(5)已知函数，若，则(A)(B)(C)(D)(6)已知，，则的值为(A)(B)(C)(D)(7)函数是定义在上的偶函数，在单调递增.若，则实数的取值范围是(A)(B)(C)(D)(8)设角的终边过点，则(A)(B)(C)(D)(9)已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(A)(B)(C)(D)(10)将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为(A)(B)(C)(D)(11)函数，是的导函数，则的图象大致是(A)(B)(C)(D)(12)设是函数的导函数，，若对任意的，，则的解集为(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
(13)曲线与直线在第一象限所围成的封闭图形的面积为.(14)已知，则.(15)已知函数有两个零点，则实数的取值范围是.(16)对于函数，有下列5个结论：①，，都有;②函数在上单调递减;③，对一切恒成立;④函数有3个零点;⑤若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.则其中所有正确结论的序号是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分10分)已知函数在处有极值.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的单调区间.(18)(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)判断函数在上的单调性.(19)(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)若，求的取值范围;(Ⅱ)求的最值及取得最值时对应的的值.(20)(本小题满分12分)命题函数是减函数，命题，使，若“”为真命题，“”为假命题，求的取值范围.(21)(本小题满分12分)已知函数满足下列条件：①周期;②图象向右平移个单位长度后对应函数为偶函数;③.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)设，，，求的值.(22)(本小题满分12分)已知函数，.(Ⅰ)求函数在区间上的值;(Ⅱ)设在内恰有两个极值点，求实数的取值范围;(Ⅲ)设，方程在区间有解，求实数的取值范围.答案一、选择题题号答案CADBCCCABCAB二、填空题(13);(14);(15);(16)①③⑤.三、解答题17.【解析】(Ⅰ)由题意;…………4分(Ⅱ)函数定义域为…………6分令，单增区间为;…8分令，单减区间为…10分18.【解析】(Ⅰ)由题意知…………4分的最小正周期…………6分(Ⅱ)，时，，…………8分当时，即时，单调递减;…………10分当时，即时，单调递增…………12分19.【解析】(Ⅰ)在单调递增，，，所以…………4分(Ⅱ)令，则由(Ⅰ)知：所以…………8分对称轴为，所以，此时……10分，此时…………12分20.【解析】若命题为真，则，…………2分所以若命题为假，则或…………3分若命题为真，则…………5分所以若命题为假，…………6分由题意知：两个命题一真一假，即真假或假真 (8)分所以或…………10分所以或…………12分21.【解析】(Ⅰ)的周期，…………1分将的图象向右平移个单位长度后得由题意的图象关于轴对称，即又…………4分…………5分…………6分(Ⅱ)由，…………8分…………10分…12分22.【解析】(Ⅰ)，由，可知在内单调递增，…………2分，故单调递增.…………3分在上的值为.…………4分(Ⅱ)，，由题意知：在有两个变号零点，即在有两个变号零点..…………6分令，，令，且时，，单调递增;时，，单调递减，..…………10分又，..…………8分(III)(ⅰ)时,不成立;(ⅱ)时,，设，，在在上为单调递减;当时，时…………12分。
高三文科数学期中考试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = \sin x \)C. \( f(x) = e^x \)D. \( f(x) = |x| \)2. 若 \( \log_2 (3x-1) = 3 \)，则 \( x \) 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知向量 \( \vec{a} = (2, 3) \)，向量 \( \vec{b} = (-1, 2) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 54. 在等差数列 \( \{a_n\} \) 中，\( a_1 = 2 \)，\( a_4 = 10 \)，则 \( a_7 \) 的值为（）A. 16B. 18C. 20D. 225. 已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）在 \( x = 1 \)处取得极小值，则 \( a \) 的取值范围是（）A. \( a > 0 \)B. \( a < 0 \)C. \( a \neq 0 \)D. \( a \) 无限制6. 在直角坐标系中，点 \( A(1, 2) \)，\( B(-2, 3) \)，\( C(4, -1) \) 形成的三角形是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 梯形7. 若 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \)，则 \( x + y \) 的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 88. 在平面直角坐标系中，点 \( P(x, y) \) 到原点的距离为 5，则 \( x^2 +y^2 \) 的值为（）A. 5B. 10C. 25D. 509. 若 \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，则 \( \sin\alpha \cos \alpha \) 的值为（）A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)D. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)10. 若 \( \log_3 (2x - 1) = \log_3 (3x + 1) \)，则 \( x \) 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题5分，共50分）11. 若 \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，则 \( \cos^2 \alpha + \sin^2\alpha \) 的值为 _______。
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高三期中模拟试题 文科数学（满分150分，时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项的代号涂在答题卡上或填在答题纸相应空格里.1．设集合2{|0},{|||2},M x x x N x x =-<=<则A ．M N φ=B ．M N N =C ．M N M =D ．M N =R2．已知向量,m n 的夹角为6π，且|||2,==m n 在△ABC 中，,3,AB AC =+=-m n m n D为BC 边的中点，则||AD等于A ．1B ．2C ．3D ．4 3．设曲线2cos sin x y x -=在点(,2)2π处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a 等于 A ．2 B ．-2 C ．-1 D ．1 4．不等式21log 1x x-≥的解集为 A ．(,1]-∞- B ．[1,)-+∞ C ．[-1，0） D ．(,1)(0,)-∞-+∞5．函数()sin f x x x =-的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．无数个 6．函数log (||1)(1)a y x a =+>的大致图像是7．已知函数1x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n=+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为 A ．1 B．2 D ．4 8．函数()y f x =的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是A ．在（-3，1）上()f x 是增函数B ．在1x =处()f x 有极大值C ．在2x =处()f x 取极大值D ．在（1，3）上()f x 为减函数9．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且1,45,2ABC a B S ∆=∠=︒=，则b 等于A．．3 C ．5 D10．若函数()f x 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数12122121,(),|()()|||x x x x f x f x x x ≠-<-恒成立”，则称()f x 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是A ．1()f x x= B ．()||f x x = C ．()23f x x =- D ．2()f x x =11．若0,0a b >>且4a b +=，则下列不等式恒成立的是A ．112ab >B ．111a b +≤ C2≥ D ．22118a b ≤+12．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下，则(0)(1)(2011)S f f f =+++ 等于A ．0B ．503C ．1006D ．2012二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在答题纸相应题目的横线上.13．已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边，若1,2,a b A C B ==+=则sin C =____________14．已知||2,||4==a b ，且（+a b ）与a 垂直，则a 与b 的夹角是______________15．若20.30.30.3,2,log 2a b c ===，则,,a b c 由大到小的关系是______________16．设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为__________三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.17．（本题满分12分）已知点(,)P x y 在由不等式组301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩确定的平面区域内，O 为坐标原点，(1,2)A -，试求OP OA ⋅的最大值.18．（本题满分12分）已知函数()sin(2)sin(2)cos266f x x x x a ππ=++--+（,a R a ∈为常数）.（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后，得到函数()g x 的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.19．（本题满分12分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0αβπ<<<. （1）求证：+a b 与-a b 互相垂直；（2）若k +a b 与(0)k k -≠a b 的长度相等，求βα-. 20．（本题满分12分） 奇函数()()1()m g x f x g x -=+的定义域为R ，其中()y g x =为指数函数且过点（2，9）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若对任意的[0,5]t ∈，不等式22(2)(225)0f t t k f t t +++-+->恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分12分）在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为1,23,x x x ，每个工作台上有若干名工人.现要在1x 与3x 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.22．（本题满分14分）已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a =---∈R （1）求函数()f x 的单调区间；（2）试判断是否存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图像与直线1y =+无公共点（其中自然对数的底数e 为无理数且e =2.71828…）.高三期中模拟试题 文科数学 参考答案一、BADCA BDCCA DD二、13．1 14．23π 15．b a c >> 161a ≤18．解：（1）()sin(2)sin(2)cos266f x x x x a ππ=++--+2cos22sin(2).6x x a x a π=-+=-+…………………………………3分当222()262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ，即()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z 时，函数()f x 单调递增，故所求区间为[,]().63k k k ππππ-+∈Z …………………………6分（2）函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后得()2sin[2()]6g x x m a π=+-+，要使()g x 的图像关于y 轴对称，只需2()62m k K Z πππ-=+∈…………………………9分即()23k m k Z ππ=+∈，所以m 的最小值为3π.………………………………12分 19．解：（1）22()()+⋅-=-a b a b a b 222222||||(cos sin )(cos sin )ααββ=-=+-+a b =1-1=0∴+a b 与-a b 互相垂直.……………………………………5分（2）+(cos cos ,sin sin ),k k k αβαβ=++a b -(cos cos ,sin sin ),k k k αβαβ=--ab |+||k k ∴=-=a b a b22|+|||,2cos()12cos()1,k k k k k k βαβα=-∴+-+=--+a b a b ……………9分2cos()2cos(),k k βαβα-=--0k ≠ ，故cos()0βα-=，又0,0,αβπβαπ<<<∴<-<.2πβα∴-=………………………12分20．解：（1）设()(0,1),x g x a a a =>≠则29,3a a =∴=或3a =-（舍），3()3,().13x xxm g x f x -∴==+……………………2分 又()f x 为奇函数，33()(),1313x xx x m m f x f x ----∴-=-∴=-++， 整理得(31)31x xm +=+ 1m ∴=13().13x xf x -∴=+ …………………………6分 （2）22.3ln3()0,()(13)x x f x y f x -'=<∴=+ 在R 上单调递减.……………………7分要使对任意的22[0,5],(2)(225)0t f t t k f t t ∈+++-+->恒成立， 即对任意的22[0,5],(2)(225)t f t t k f t t ∈++>--+-恒成立.()f x 为奇函数，22(2)(225)f t t k f t t ∴++>-+恒成立，…………………………9分又()y f x = 在R 上单调递减，222225t t k t t ∴++<-+当[0,5]t ∈时恒成立，2245(2)1k t t t ∴<-+=-+当[0,5]t ∈时恒成立，而当[0,5]t ∈时，21(2)110t ≤-+≤， 1.k ∴<………………………………12分21．解：设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为().d x（1）由题设知，13x x x ≤≤，所以123312()()||()||.d x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-………3分 故当2x x =时，()d x 取最小值，此时供应站的位置为2.x x =……………5分 （2）由题设知，13x x x ≤≤，所以各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为132()2()3()||.d x x x x x x x =-+-+-……………………………………8分 ∴3211232123232,,()32,.x x x x x x x d x x x x x x x -++-≤<⎧=⎨--≤≤⎩…………………………10分 因此，函数()d x 在区间（12,x x ）上是减函数，在区间[23,x x ]上是常数.故供应站位置位于区间[23,x x ]上任意一点时，均能使函数()d x 取得最小值，且最小值为32132.x x x --………………12分22．解：（1）函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是(1,).+∞………1分22()2()211a x x a f x x a x x +-'=--=--，…………………3分 ①若0a ≤，则22()221,()021a x x a f x x +-+'≤=>-在(1,)+∞上恒成立， 0a ∴≤时，()f x 的增区间为(1,)+∞…………………………5分②若0a >，则212a +>，故当2(1,]2a x +∈时，22()2()01a x x f x x +-'=≤-； 当时2[,)2a x +∈+∞时，22()2()01a x x f x x +-'=≥-，…………………………7分 0a ∴>时，()f x 的减区间为2(1,],()2a f x +的增区间为2[,).2a ++∞…………………8分（2）1a ≥时，由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上的最小值为22()1ln .242a a af a +=-+-…………………10分设22()()1ln ([1,)),242a a a g a f a a +==-+-∈+∞则113()ln 1(1)ln 1ln 20,22222a a g a g ''=---≤=---=-+<2()1ln 42a ag a a ∴=-+-在[1,)+∞上单调递减，max 3()(1)ln 24g a g ∴==+，……………………………12分max 314()1ln 21ln 0,44eg a --+-->∴存在实数(1)a a ≥使()f x的最小值大于1+故存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图像与直线1y =+无公共点.……………14分。