全国硕士研究生入学统一考试资料答案附后
全国硕士研究生入学统一考试资料答案附后
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2015年全国硕士研究生入学统一考试
管理类专业学位联考综合能力考试大纲
I.考试性质
综合能力考试是为高等院校和科研院所招收管理类专业学位硕士研究生而设置的具有选择性质的全国联考科目，其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读专业学位必需的基本素质、一般素质和培养潜能，评估的标准是高等学校本科毕业生所能达到的及格或及格以上水平，以利于高等院校和科研院所在专业上择优选拔，确保专业学位硕士研究生的招生质量。
II.考察目标
1.具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力。
2.具有较强的分析、推理、论证等逻辑思维能力。
全国硕士研究生入学考试英语(一)试题_附答案
全国硕士研究生入学考试英语(一)试题_附答案全国硕士研究生入学考试英语（一）试题_附答案Section ⅠUse of EnglishDirections:Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark [A], [B], [C] or [D]on ANSWER SHEET 1. (10 points)The ethical judgments of the Supreme Court justices became an important issue recently. The court cannot__1___ its legitimacy as guardian of the rule of law___2___ justices behave like politicians. Yet, in several instances, justices acted in ways that__3___ the court’s reputation for being independent and impartia l.Justices Antonin Scalia and Samuel Alito Jr., for example, appeared at political events. That kind of activity makes it less likely that the court’s decisions will be__4__ as impartial judgments. Part of the problem is that the justices are not ___5__ by an ethics code. At the very least, the court should make itself____6___ to the code of conduct that __7____to the rest of the federal judiciary.This and other cases ___8___the question of whether there is still a ___9__ between the court and politics.The framers of the Constitution envisioned law__10__ having authority apart from politics. They gave justices permanent positions __11__ they would be free to__12__those in power and have no need to__13___ political support. Our legal system was designed to set law apart from politics precisely because they are so closely __14___.Constitutional law is political because it results from choices rooted in fundamental social ___15___like liberty and property. When the court deals with social policy decisions, the law it __16___is inescapably political —which is why decisions split along ideological lines are so easily ___17__ as unjust.The justices must __18___doubts about the court’s legitimacy by makingthemselves __19___to the code of conduct. That would make their rulings morelikely to be seen as separate from politics and, __20___, convincing as law.1. [A] emphasize [B] maintain [C] modify [D] recognize2. [A] when [B] best [C] before [D] unless3. [A] restored [B] weakened [C] established [D] eliminated4. [A] challenged [B] compromised [C] suspected [D] accepted5. [A] advanced [B] caught [C] bound [D] founded6. [A] resistant [B] subject [C] immune [D] prone7. [A] resorts [B] sticks [C] leads [D] applies8. [A] evade [B] raise [C] deny [D] settle9. [A] line [B] barrier [C] similarity [D] conflict10. [A] by [B] as [C] through [D] towards11. [A] so [B] since [C] provided [D] though12. [A] serve [B] satisfy [C] upset [D] replace13. [A] confirm [B] express [C] cultivate [D] offer 14. [A] guarded [B] followed [C] studied [D] tied15. [A] concepts [B] theories [C] divisions [D] convenience16. [A] excludes [B] questions [C] shapes [D] controls17. [A] dismissed [B] released [C] ranked [D] distorted18. [A] suppress [B] exploit [C] address [D] ignore19. [A] accessible [B] amiable [C] agreeable [D] accountable20. [A] by all means [B] at all costs [C] in a word [D] as a resultSection ⅡReading ComprehensionPart ADirections:Read the following four texts. Answer the questions below each text by choosing [A], [B], [C] or [D]. Mark your answers on ANSWER SHEET1. (40 points)Text 1Come on –Everybody’s doing it. That whispered message, half invitation and halfforcing, is what most of us think of when we hear the words peer pressure. It usually leads to no good-drinking, drugs and casual sex. But in her new book Join the Club, Tina Rosenberg contends that peer pressure can also be a positive force through what she calls the social cure, in which organizations and officials use the power of group dynamics to help individuals improve their lives and possibly the word.Rosenberg, the recipient of a Pulitzer Prize, offers a host of example of the social cure in action: In South Carolina, a state-sponsored antismoking program called Rage Against the Haze sets out to make cigarettes uncool. In South Africa, anHIV-prevention initiative known as LoveLife recruits young people to promote safe sex among their peers.The idea seems promising，and Rosenberg is a perceptive observer. Her critique of the lameness of many pubic-health campaigns is spot-on: they fail to mobilize peer pressure for healthy habits, and they demonstrate a seriously flawed understanding of psychology.” Dare to be different, please don’t smoke!” pleads one billboard campaign aimed at reducing smoking among teenagers-teenagers, who desire nothing more than fitting in. Rosenberg argues convincingly that public-health advocates ought to take a page from advertisers, so skilled at applying peer pressure.。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准
由格林公式，前一部分 I1
D
(b a)dxdy
2
a2 (b a) ,
„„1 分 „„3 分
1999 年 • 第 2 页
其中 D 为 L L1 所围成的半区域. 直接计算后一积分可得
I2
2a (bx)dx 2a2b .
0
„„4 分
从而
I
I1
I2
2
a2 (b
a)
2a2b
( 2
2)a2b
解：曲线 y y(x) 上在点 P(x, y) 处的切线方程为Y y y(x)( X x) .
它与 x 轴的交点为 (x y , 0) .由于 y(x) 0, y(0) 1 ，从而 y(x) 0 ， y
于是 S1
1 2
y
x (x
y) y
y2 2 y
.
又 S2
dz dx
f
xf Fx
.
由此解得 dz ( f xf )Fy xf F x
dx
Fy xf F z
( Fy x f Fz 0 ) .
„„5 分
（注：不写出条件 Fy x f Fz 0 不扣分）.
四、(本题满分 5 分)
求 I (ex sin y b(x y)) dx (ex cos y ax) dy ，其中 a, b 为正的常数， L 为从点 L
A(2a, 0) 沿曲线 y= 2ax x2 到点 O(0, 0) 的弧.
解一：添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A(2a, 0) 的有向直线段 L1 ，
I (ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L L1
(ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L1
全国硕士研究生入学综合能力考试资料答案附后
全国硕士研究生入学综合能力考试资料答案附
后
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2013年全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考综合能力考试大纲
Ⅰ考试性质
综合能力考试是为高等院校和科研院所招收管理类专业学位硕士研究生而
设置的具有选拔性质的全国联考科目，其目的是科学、公平、有效地测试
考生是否具备攻读专业学位所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，评
价的标准是高等学校本科毕业生所能达到的及格或及格以上的水平，以利
于各高等院校和科研院所在专业上择优选拔，确保专业学位硕士研究生的
招生质量。
Ⅱ考查目标
1. 具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力。
2. 具有较强的分析、推理、论证等逻辑思维能力。
3. 具有较强的文字材料理解能力、分析能力以及书面表达能力。
Ⅲ考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 200 分,考试时间为 180 分钟。
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
不允许使用计算器。
三、试卷内容与题型结构
数学基础 75 分，有以下两种题型：
问题求解 15 小题，每小题 3 分，共 45 分。
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准
x y2
f12)
1 y2
f2
1 y
(xf21
x y2
f
22
)
1 x2
g
y x3
g
2000 年 • 第 2 页
f1
1 y2
f2 ' xyf11
x y3
f22
1 x2
g
y x3
g .
„„5 分
五、(本题满分 6 分)
计算曲线积分 I
L
xdy ydx 4x2 y2
,其中
L
是以点(1,0)为中心,R
三、(本题满分 5 分)
1
求
lim(
x0
2
ex
4
sin x
x) .
1 ex
1
4
3
解：因
lim
x0
(
2
ex
4
sin x
2e
) lim (
x
x0
x e
4
x
sin x) 1 x
，
1 ex
e x 1
1
1
2 ex
lim (
x0
4
sin x) x
2 ex
lim (
x0
4
sin x) 2 1 1， x
(5) 设二维随机变量 X ,Y 服从二维正态分布,则随机变量 X Y 与 X Y 不相关
的充分必要条件为
(B)
(A) E(X)=E(Y)
(B) E X 2 E X 2 E Y 2 E Y 2
(C) E X 2 E Y 2
(D) E X 2 E X 2 E Y 2 E Y 2
为半径的圆周(R>1).取逆时
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解
x (0, 0)
xy (0, 0)
(x, y)→( 0,0 )
y→0 x→0
数是
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：B
6. 设函数 f (x) 在区间 − 2,2上可导，且 f (x) f (x) 0 ，则（）
A f (−2) 1 f (−1)
B f (0) e C f (1) e2 D f (2) e3
3.
1
0
arcsin
x (1−xx)源自dx=π2
A.
4
π2
B.
8
C. π
D. π
4
8
答案： A
解析： 1 arcsin xdx = arcsin2
0 x(1− x)
x
1 0
2 =
4
.
4. f ( x) = x2 ln (1− x), n 3 时， f (n) (0) =
A. − n! n−2
答案： A
+
y(x)dx =
0
解析：由
y + 2y + y = 0
y
(0)
=0，y
(
0)
y))dy
dz
(0, )
=
(
−1)dx − dy
12.斜边长为 2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度 为 g，水密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为
答案： 1 ega3 3
解析： a g(a − y)[ y − (− y)]dy = 1 ga3
0
3
13.设 y = y ( x) 满足 y + 2y + y = 0 ，且 y (0) =0，y(0) =1，则
1992年全国硕士研究生入学统一考试英语真题(附带答案和详细解析)
1992年全国硕士研究生入学统一考试英语试题Section ⅠUse of EnglishDirections:For each numbered blank in the following passage, there are four choices marked ［A］，［B］，［C］and ［D］.Choose the best one and put your choice in the ANSWER SHEET. (15 points)The key to the industrialization of space is the U.S. space shuttle. ___1___ it, astronauts will acquire a workhouse vehicle ___2___ of flying into space and returning many times. ___3___ by reusable rockets that can lift a load of 65,000 pounds, the shuttle will carry devices for scientific inquiry, as ___4___ as a variety of military hardware. ___5___ more significantly, it will ___6___ materials and machines into space for industrial purposes___7___ two decades ago when “sputnik” (artificial satellite) was ___8___ to the vocabu lary. In short, the___9___ importance of the shuttle lies in its ___10___ as an economic tool.What makes the space shuttle ___11___ is that it takes off like a rocket but lands like an airplane. ___12___, when it has accomplished its ___13___, it can be ready for ___14___ trip in about two weeks.The space shuttle, the world’s first true spaceship, is a magnificent step ___15___ making the impossible possible for the benefit and survival of man.1. ［A］In ［B］On ［C］By ［D］With[解析] 本题考核知识点：介词的用法。
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1432t z t y t x 垂直的平面方程是 x -3y -z +4=0 .(2)设a 为非零常数，则a xx e a x a x 2)(lim =-+∞→.(3)设函数11,0,1)(>≤⎩⎨⎧=x x x f , 则)]([x f f = ___1___． (4)积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于4(1)/2e --.(5)已知向量组 1α=(1,2,3,4)，2α=(2,3,4,5)，3α=(3,4,5,6)，4α=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是2二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)设()f x 是连续函数，且⎰-=x e xdt t f x F )()(则)(x F '等于(A)（A ）)()(x f e f e x x ----(B) )()(x f e f e x x +---(C))()(x f e f e x x ---(D) )()(x f e f e x x +--(2)已知函数()f x 具有任意阶导数，且[]2)()(x f x f =', 则当n 为大于2的正整数时，()f x 的n 阶导数)()(x fn 是(A)(A) 1)]([!＋n x f n (B) 1)]([+n x f n (C) nx f 2)]([ (D) nx f n 2)]([!(3)设α为常数，则级数]1)sin([12nn na n -∑∞=（C ）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与α的取值有关.(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续 ，且(0)0f =,2cos 1)(lim0=-→xx f x 则在点0x =处()f x (D)(A)不可导(B)可导,且0)0(≠'f (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β和2β是非齐次线性方程组AX = b 的两个不同的解，21,αα是对应导出组AX = 0基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组AX = b 的通解（一般解）必是(B)(A) 2)(2121211ββααα-+++k k (B) 2)(2121211ββααα++-+k k (C) 2)(2121211ββββα-+++k k (D) 2)(2121211ββββα++-+k k 三、(本题满分15分，每小题5分)(1)求dx x x ⎰-+102)2()1ln(.解：11200ln(1)1ln(1)(2)2x dx x d x x +=+--⎛⎛⎜⎜⎠⎠110011ln(1)2(1)(2)x dx x x x =+--+-⎛⎜⎠……2分 101111ln 2()ln 232(1)3dx x x =-+=-+⎰.……5分 (2)设(2,sin )z f x y y x =-，其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：2cos z f fy x x u v ∂∂∂=+∂∂∂.……2分 2222222(2sin cos )sin cos cos z f f f fx y x y x x x x y u u v v v∂∂∂∂∂=-+-++∂∂∂∂∂∂∂. ……5分 (3) 求微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解(一般解).解：特征方程为2440r r ++=的根为1,22r =-.对应齐次方程的通解为212()x Y C C x e -=+，其中12,C C 为任意常数. ……2分 设原方程的特解为*2()x y x Ax e 2-=，代入原方程得12A =.……4分 因此，原方程的通解为2*2212()()2xx x y x Y y C C x ee --=+=++. ……5分四、(本题满分6分) 求幂级数∑∞=+0)12(n nxn 的收敛域, 并求其和函数.解：因为123limlim 121n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+，所以11R ρ==.显然幂级数(21)nn n x∞=+∑在1x =±时发散，故此幂级数的收敛域为(1,1)-.……2分又0()(21)2nnnn n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑012()1n n x x x∞='=+-∑……5分 2221111(1)1(1)x xx x x x +=+=-<<---.……6分五、(本题满分8分) 求曲面积分I=⎰⎰+sdxdy yzdzdx .2其中S 是球面4222=++z y x外侧在0≥z 的部分解：令2214x y S z ⎧+≤=⎨=⎩，其法向量与z 轴的负向相同. 设1S S 和所围成的区域为Ω，则由奥-高公式有12S I yzdzdx dxdy zdxdydz Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰. ……2分而221140,228S S x y yzdzdx dxdy dxdy π+≤==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分2222cos sin 4zdxdydz d d r r dr ππθϕϕϕπΩ=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……7分 所以12I π=.……8分六、(本题满分8分)设不恒为常数的函数)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()f a f b =. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使0)(>'ξf .证：因()()()f a f b f x =且不恒为常数，故至少存在一点(,)c a b ∈，使得()()()f c f a f b ≠=.于是()()()()f c f a f c f a ><或.……2分现设()()f c f a >，则在[,]a c 上因()f x 满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点(,)(,)a c a b ξ∈⊂，使得1()[()()]0f f c f a c a ξ'=->-. ……6分对于()()f c f a <情形，类似地可证得此结果.……7分七、(本题满分8分) 设四阶矩阵=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000110001100011，=C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2000120031204312且矩阵A 满足关系式E C B C E A =''--)(1, 其中E 为四阶单位矩阵, 1-C 表示C 的逆矩阵,C '表示C 的转置矩阵, 将上述关系化简并求矩阵A .解：因11()[()]()A E C B C A C E C B A C B --''''-=-=-,故()A C B E '-=……2分因此 1[()]A C B -'=-11000210032104321-⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭……4分1000210012100121⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭……6分八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型32312123222184444x x x x x x x x x f -+-++=成标准形.解：二次型的矩阵122244244-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ……1分由2122||244(9)244λλλλλλ---=---=----A E ，A 的特征值为1230,9λλλ===.……3分对于120λλ==，122122244000244000λ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ，从而可取特征向量1011P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及与1P 正交的另一特征向量2411P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……5分 对于39λ=，822245254099245000λ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A E ，取特征向量3122P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. ……6分将上述相互正交的特征向量单位化，得1231032,,323ξξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， ……7分故在正交变换1122331032323x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭下，二次型239f y =. ……8分九、(本题满分8分)质点P 沿着以A,B 为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力→F 作用 （见图），→F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP 且于y 轴正向的夹角小于2π.求变力→F 对质点P 所作的功.解：按题意，变力y x =-+F i j .……3分圆弧AB的参数方程是23443x y θππθθ⎧=⎪-≤≤⎨=⎪⎩.……5分 变力F 所作的功ABW ydx xdy =-+⎰434)sin )cos ]d ππθθθθθ-=⎰()21π=-……8分十、填空题：(本题满分6分，每小题2分)(1)已知随机变量X 的概率密度函数f (x )=x e -21, +∞<<∞-x ，则X 的概率分布函数()F x =1212010xx e x ex -⎧<⎨-≥⎩.(2)设随机事件A ，B 及其事件A B 的概率分别为6.0,3.0,4.0和，若_B 表示B 的对立事件，那么积事件B A 的概率3.0)B A (P =(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = 4 .十一、(本题满分6分)设二维变量(X ,Y )在区域 x y x D <<<,10:内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z =2X +1的方差D (Z ).解：(,)X Y 的联合概率密度函数是1,01,||,(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它，因此关于X 的边缘概率密度函数是2,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞<<⎧==⎨⎩⎰其它. ……2分22D(Z)(21)4[()(())]D X E X E X =+=-()22X X 4()()x f x dx xf x dx +∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰……4分()21132001424224299x dx x dx ⎡⎤⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰.……6分数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题 】三、(本题满分15分，每小题5分)【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分，每小题6分) (1)【 同数学一 第四、(1)题 】(2)求微分方程0)ln (ln =-+dx x y xdy x 满足条件1==ex y的特解.解：将原方程化为11,(1)ln y y x x x x'+=≠.……1分 由公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰……3分 得2ln ln 111ln ln 2dx dx x x x xy e e dx C x C x x -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……4分 又由|1x e y ==，可解出12C =，所以方程的特解是11ln 2ln y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……6分(3)过点(1,0)P 作抛物线2-=x y 的切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形，求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设所作切线与抛物线相切于点0(x .因00|x x y =='==，故此切线的方程为)y x x =-.……1分又因该切线过点(1,0)P ，所以有03x =. 从而切线的方程为1(1)2y x =-. ……3分 因此，所求旋转体的体积332121(1)(2)4V x dx x dxππ=---⎰⎰……5分 6π=.……6分五、（本题满分8分）【 同数学一第五题 】 六、（本题满分7分）【 同数学一 第六题 】 七、（本题满分6分）【 同数学一 第七题 】 八、（本题满分8分）【 同数学一 第八题 】 九、（本题满分8分）【 同数学一 第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)曲线⎩⎨⎧==ty t x 33sin cos 上对应于6π=t 点处的法线方程是13-=x y .(2)设x e y x tg 1sin 1⋅=，则='y 1tan 221111(sec sin cos )x e x x x x-⋅+.(3)=-⎰11dx x x15/4(4)下列两个积分的大小关系是：dx e dxe x x ⎰⎰----->121233.(5)【 同数学一 第一、(3) 题 】二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中,a b 常数，则(C)(A)1,1a b ==(B)1,1a b =-=(C)1,1a b ==-(D)1,1a b =-=-(2)设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎰])([dx x f d 等于(B)(A))(x f (B)dxx f )((C)cx f +)((D)dxx f )('(3)【 同数学一 第二、(3) 题 】(4)【 同数学一 第二、(4) 题 】(5)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，其中()f x 在0x =处可导，(0)0,(0)0f f '≠=，则0x =是()F x 的 （B ）(A)连续点 (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定三、(本题满分15分，每小题3分) (1)已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求常数a . 解：因2(1)lim()lim (1)x x a x x xa x a x e ax a x→∞→∞++==--……3分 故29a e =,ln 3a =.……5分(2)求由2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy .解：对方程两边求微分2()ln()()dx dydy dx dx dy x y x y x y--=--+--, ……3分故2ln(),3ln()2x y xdy dx dy dx x y x y +-==+--或.……5分 (3)求曲线)0(112>+=x xy 的拐点. 解：22223231,2(1)(1)x x y y x x -'''=-=++. ……2分 令0y ''=,解得x =.因在x =的左右邻近"y 变号,故x =是拐点的横坐标.所以曲线的拐点是3)4.……5分 (4)计算 ⎰-dx x x2)1(ln . 解：原式1ln 1xd x =-⎰ln 11(1)x dxxx x =---⎰……2分 10ln 11()11x dxx x x =-+--⎰……4分 ln |1|ln 1x x C x x-=++-.……5分 (5)见【 数学二 第四（2）题 】四、(本题满分9分)在椭圆12222=+by a x 的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小（其中0,0a b >>）.解：设00(,)P x y 为所求之点，则此点处的切线方程为00221xx yya b+=. ……2分令0x =，得该切线在y 轴上的截距20b y .令0y =，得该切线在x 轴上的截距2a x . ……4分于是所围图形的面积为2200011,(0,)24a b S ab x a x y π=⋅-∈.……6分 求S的最小值时，不妨设00A x y ==22b A a '=. ……7分令0A '=,解得在(0,)a 内唯一驻点0x =……8分由A '在0x =右侧为负，得知0x =A 的极大点，即S 的极小点.所以0x =S 为最小，此时0y =,即为所求之点.……9分 五、(本题满分9分)证明：当0x >时，有不等式 21π>+x arctgx . 解：考虑函数1()arctan ,02f x x x x π=+->.……2分 有2211()0,01f x x x x '=-<>+. ……4分 所以()f x 在(0,)+∞上是单调减少的.……5分 又lim ()0x f x →+∞=……7分知当10,()arctan 02x f x x x π>=+->时. ……8分 即1arctan 2x x π+>. ……9分六、(本题满分9分)设dt t t x f x⎰+=11ln )(, 其中0,x >求 1()().f x f x+解：111ln ()1xt f dt xt =+⎰. 令1t y =，得11ln ()(1)x y f dy x y y =+⎰. ……3分 于是111ln ln ()()(1)(1)x x t t f x f dt dt x t t t +=+++⎰⎰111()ln (1)(1)x tdtt t t =+++⎰……5分 1111()ln 11x tdt t t t =+-++⎰……7分 21ln 1ln 2x t dt x t ==⎰. ……9分七、（本题满分9分）【 同数学二 第四、（3）题 】 八、(本题满分9分)求微分方程ax e y y y =+'+''44之通解，其中a 为实数.解：特征方程为2440r r ++=，特征根为1,22r =-.对应齐次方程的通解为212()x y C C x e -=+ .……2分 当2a ≠-时，设非齐次方程的特解为*()ax y x Ae =， ……3分代入原方程，可得21(2)A a =+,*21()(2)axy x e a =+. 当2a =-时，设非齐次方程的特解为*21()xy x A x e 2-=.代入原方程，得12A =,*21()2x y x x e 2-=.……8分故通解为212222121()2(2)()()()22x axx C C x e e a a y x x y x C C x e a --⎧++≠-⎪+⎪=⎨⎪=++=⎪⎩，当，当.……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1)极限n →∞=2(2)设函数()f x 有连续的导函数，0)0(=f 且b f =')0(，若函数00,sin )()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧+=x x A xx a x f x F 在0x =处连续，则常数A ＝ a + b .(3)曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为 4.5 .(4)若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足条件04321=+++a a a a (5)一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则射手的命中率为2/3二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)设函数x e tgx x x f sin )(⋅⋅=，则)(x f 是 （B ）（A ）偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数(2)设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x a f x +=， 且有b f =')0(,其中,a b 为非零常数，则 (D)（A ）()f x 在1x =处不可导（B ）()f x 在1x =处可导，且a f =')1(（C ）()f x 在1x =处可导,且 f (1)b '= （D ）()f x 在1x =处可导，且 f (1)ab '=. (3)向量组s ααα,,21⋅⋅⋅⋅线性无关的充分条件是(A)s ααα,,21⋅⋅⋅⋅均不为零向量(B) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中任意两个向量的分量不成比例(C) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线形表示 (D) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中有一部分向量线形无关(4)设A ，B 为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是(A)(A)P (A+B )= P (A )(B)P(AB )=P(A )(C)P (A B )= P (B )(D)P (B -A )=P (B )-P (A )(5)设随机变量X 和Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是 (C )(A )X =Y(B ){}0P X Y ==(C ){}P X Y ==21(D ){}1P X Y ==三、(本题满分20分，每小题5分) (1)求函数()I x =dt t t t xe ⎰+-12ln 2在区间[2,e e ]上的最大值.解：由222ln ln ()0,[,]21(1)x x I x x e e x x x '==>∈-+-, ……1分可知()I x 在2[,]e e 上单调增加,故222ln max ()(1)e e x e e t I x dt t ≤≤==-⎛⎜⎠21ln 1e e tdt --⎛⎜⎠22ln 1111e e e e t dt t t t =-+⋅--⎛⎜⎠……3分 22121ln11e e t e e t -=-+--11ln ln(1)11e e e e e e+=+=+-++. ……5分(2)计算2y Dxe dxdy -⎰⎰，其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.解：原式2302yy y edy xdx+∞-=⎰⎰……2分 20111()249y y y e dy +∞-=-⎰……3分 205572144y ye dy +∞-==⎰.……5分(3)求级数的∑∞=-12)3(n nn x 收敛域. 解：21n a n=,121(1)n a n +=+，212lim lim 1(1)n n n n a n a n +→∞→∞==+, ……2分 因此当131x -<-<，即24x <<级数收敛. ……3分当2x =时，得交错级数211(1)n n n ∞=-∑；当4x =时，得级数211n n∞=∑，二者都收敛，于是原级数的收敛域为[2,4].……5分(4)求微分方程x e x x y y sin )(ln cos -=+'的通解解：cos cos sin (ln )xdxxdx x y e x e e dx C --⎰⎰=⋅⋅+⎰……3分 sin (ln )x e xdx C -=+⎰……4分 sin (ln )x e x x x C -=-+.……5分四、(本题满分9分)某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入R （万 元）与电台广告费用1x (万元) 及报纸广告费用2x (万元) 之间的关系有如下经验公式：222121211028321415x x x x x x R ---++=. （1）在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5 万元, 求相应的最优广告策略.解：(1) 利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210x x x x x x =++---……1分 由12121248130,820310x x x x x x ππ∂∂=--+==--+=∂∂……2分 解得10.75x =(万元),2 1.25x =(万元). 因利润函数12(,)x x ππ=在(0.75,1.25)处的二阶偏导数为:2222211224,8,20A B C x x x x πππ∂∂∂==-==-==-∂∂∂∂. ……3分 故有26480160,40B AC A -=-=-<=-<，……4分 所以函数12(,)x x ππ=在(0.75,1.25)处达到极大值，亦即最大值.……5分(2)若广告费用为1.5万元，则只需求利润12(,)x x ππ=在12 1.5x x +=时的条件极值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5)L x x x x x x x x x x λλ=++---++-……7分令120,0,0L L L x x λ∂∂∂===∂∂∂，有121212481308203101.50x x x x x x λλ--++=⎧⎪--++=⎨⎪+-=⎩……8分由此可得10x =，2 1.5x =，即将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.……9分五、(本题满分6分)设)(x f 在闭区间[0,c]上连续,其导数)(x f '在开区间(0,)c 内存在且单调减少.(0)0f =，试应用拉格郎日中值定理证明不等式()()()f a b f a f b +≤+，其中常 数,a b 满足条件c b a b a ≤+≤≤≤0.证：当0a =时,(0)0f =有()()()()f a b f b f a f b +==+. ……1分当0a >时，在[0,]a 和[,]b a b +上分别应用拉格朗日定理,有()11()(0)()(),0,0f a f f a f a a aξξ-'==∈-；……3分 ()22()()()()(),,()f a b f b f a b f b f b a b a b b aξξ+-+-'==∈++-.……4分 显然120a b a b c ξξ<<≤<<+≤. 因()f x '在[0,]c 上单调减少，故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()f a b f b f a a a+-≤.……5分 故由0a >，有()()()f a b f a f b +≤+. ……6分六、(本题满分8分)已知线性方程组 1234512345234512345323022654332x x x x x ax x x x x x x x x bx x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩(1)问,a b 为何值时，方程组有解?(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时, 求出方程组的全部解.解：(1) 考虑方程组的增广矩阵1111111111321130012263012260000035433120000022a aa A bb a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭……2分当30b a -=且220a -=，即13a b ==且时，方程组的系数矩阵与增广矩阵之秩相等，故1,3a b ==时，方程组有解.……3分(2)当1,3a b ==时，有11111101152012263012263000000000000000000000000a a A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，原方程组的同解方程组为13452345522263x x x x x x x x ---=-⎧⎨+++=⎩，故导出组的基础解系为123115226,,100010001v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……6分(3)令3450x x x ===，得原方程组的特解23000u -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是原方程组的全部解为1231234521153226010000100001x x u x c c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,c c c 为任意常数.……8分 七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ，存在自然数k ，使得0=kA ，试证明矩阵E A -可逆，并写出 其逆矩阵的表达式（E 为n 阶单位阵）.解：由0kA =及1k k E A E A A E A --+++=-()() ，得1k E A E A A E--+++=()() ……3分 可知E A -可逆，且有11()k E A E A A ---=+++ .……5分八、(本题满分6)设A 为n 阶矩阵，1λ和2λ是A 的两个不同的特征值，21,x x 是分别属于1λ和2λ的特征向量，试证明：21x x +不是A 的特征向量.解：因11122212,,Ax x Ax x λλλλ==≠,故12121122()A x x Ax Ax x x λλ+=+=+……2分 设21x x +是A 的特征向量，则1212()()A x x x x λ+=+，即112212()x x x x λλλ+=+， 于是有1122()()0x x λλλλ-+-=.……4分由于12,x x 属于不同的特征值，所以12,x x 线性无关，故有120,0λλλλ-=-=，即12λλ=， 这与假设矛盾，因此21x x +不是A 的特征向量.……6分九、(本题满分4分)从0,1,2,…,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率：=1A { 三个数字中不含0和5 } ；=2A { 三个数字中含0但不含5 }解：3813107()15C P A C ==……2分 33982310214()15C C P A C -==. ……4分十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知X 和Y 的联合分布函数为：⎩⎨⎧≥≥+--=+---它其00,01),()(5.05.05.0y x e e e y x F y x y x .(1)问X 和Y 是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.解 X 的分布函数1()F x 和Y 的分布函数2()F y 分别为：0.511,0;()(,)0,0x e x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩若若，0.521,0;()(,)0,0y e y F y F y y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩若若……2分 显然12(,)()()F x y F x F y =，故X 和Y 独立，……3分 于是{0.1,0.1}{0.1}{0.1}P X Y P X P Y α=>>=>⋅>……4分 0.050.050.112[1(0.1)][1(0.1)]F F e e e ---=-⋅-=⋅=.……5分十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72 分，96分以上的占考生总数的2.3 %，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）解：设X 为考生的外语成绩，由题设知2~(,)X N μσ，其中72μ=. ……1分由条件知{96}0.023P X ≥=，即9672{}0.023X P μσσ--≥=，亦即24()0.977σΦ=，由()x Φ的数值表，可见242σ=.因此12σ=.这样2~(72,12)X N .……4分所求概率为60728472{6084}{}{11}1212X X P X P P μμσσ----≤≤=≤≤=-≤≤(1)(1)2(1)120.84110.682=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.……7分数 学（试卷五）一、填空题 (本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第一、(1) 题 】(2)【 同数学四 第一、(2) 题 】(3)【 同数学四 第一、(3) 题 】(4)【 同数学四 第一、(4) 题 】(5)已知随机变量(3,1),(2,1)X N Y N - ,且,X Y 相互独立，设随机变量27Z X Y =-+,则Z ～ N (0,5) .二、选择题 (本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第二、(1) 题 】(2)【 同数学四 第二、(2) 题 】(3)【 同数学四 第二、(1) 题 】(4)设A 为n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵，则*A =(A)(A) 1-n A(B) A (C) nA(D) 1-A(5)已知随机变量X 服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 (B )(A )n = 4，p = 0.6(B )n = 6，p = 0.4(C )n = 8，p = 0.3(D )n = 24，p = 0.1三、(本题满分20分，每小题5分) (1)求极限dte t x x t x x 22)1(1lim20-∞→⎰+解：原式22222202(1)(1)limlim(12)xt x x x x x t e dt x e xex e→∞→∞++==+⎰……3分22(1)1lim (12)2x x x →∞+==+. ……5分(2)求不定积分dx x x x ⎰34sin 2cos . 解 443333cos cos cos1222sin 88sin cos sin 222x x x x x x dx dx dx x x x x ==⎰⎰⎰……2分3211sin sin sin 42282x x x x d xd --==-⎛⎛⎜⎜⎠⎠……3分 22111sin 828sin 2x x dx x-=-+⎛⎜⎜⎠……4分 21cot 428sin 2x x C x -=-+211csc cot 8242x xx C =--+.……5分 (3)设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ为可微函数，求 yz∂∂.解 将原式两边同时对y 求偏导，得2112()()()z z z z z y z y y y y y yϕϕ∂∂'=+-∂∂ ……3分 解出z y ∂∂，得 ()()()()2()2()z z z z z y z zy y yy y zzyz yz y yyϕϕϕϕϕϕ''--∂==∂''--. ……5分(4)【 同数学四 第三、(2) 题 】四、（本题满分9分）【 同数学四 第四题 】五、(本题满分6分)证明不等式1ln(()x x x +≥-∞<<+∞证：记()1ln(f x x x =++()ln(ln(f x x x x '=+=.……2分 令()0f x '=，知0x =为驻点.由()0f x ''=>……4分可知0x =为极小值点，亦即最小值点.()f x 的最小值为(0)0f =，于是，对于一切(,)x ∈-∞+∞,有()0f x ≥，即1ln(()x x x +≥-∞<<+∞. ……6分六、(本题满分4分)设A 为1010⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00001010000 (0010000010)10,计算行列式E A λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数.解：1010000100().......................00011000A E λλλλλ---=--按第一列展开……1分101000100000100100010..............................................00010001101λλλλλλλ----－－－＝－……2分9101010()()1010λλλ=---=-.……4分七、(本题满分5分)设方阵A 满足条件TA A E =，其中TA 是A 的转置矩阵，E 为单位阵.试证明所对应的 特征值的绝对值等于1.证：设x 是A 的实特征向量，其所对应的特征值为λ，则Ax x λ=，即T T Tx A x λ=，于是有2T T T x A Ax x x λ=，即2T Tx x x x λ=，2(1)0T x x λ-=.……3分 因为x 为实特征向量，故0Tx x >，所以得210λ-=，即||1λ=.……5分八、（本题满分8分）【 同数学四 第六题 】九、（本题满分5分）【 同数学四 第九题 分值不同 】 十、(本题满分6分)甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求X 和Y 联合概率分布.解：X Y 和都服从二项分布，参数相应为(2,0.2)和(2,0.5).因此X Y 和的概率分布分别为：0120.640.320.04X ⎛⎫⎪⎝⎭，0120.250.50.25Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……3分故由独立性，知X Y 和的联合分布为6分十一、(本题满分7分)【 同数学四第十一题 】。
2021年全国硕士研究生入学统一考试参考答案
2021年全国硕士研究生入学统一考试参考答案数学（二）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把所选选项前的字母填在答题卡制定的位置上.） （1）当0→x 时，dt e x t ⎰-23)1(是7x 的（ ）（A ）低阶无穷小 （B ）等价无穷小 （C ）高阶无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小 【答案】C【解析】因为当0→x 时，7'02~)1(2)1(623x e x dt e x x t -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰，所以dt e x t ⎰-230)1(是7x 的阶无穷小 ，正确答案为C.（2）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,10,1)(x x x e x f x ，在0=x 处（ ）（A ）连续且取得极大值 （B ）连续且取得极小值 （C ）可导且导数为0 （D ）可导且导数不为0 【答案】D【解析】因为)0(11lim)(lim 00f xe xf x x x ==-=→→，故)(x f 在0=x 处连续； 因为211lim 011lim 0)0()(lim 2000=--=---=--→→→x x e x x e x f x f x x x x x ，故正确答案为D.（3）有一圆柱底面半径与高随时间变化的速率分别为s cm /2，s cm /3-，当底面半径为cm 10，高为cm 5时，圆柱体的体积与表面积随时间的变化率分别为（ ） （A ）s cm /1253π，s cm /403π （B ）s cm /1253π，s cm /403π- （C ）s cm /1003π-，s cm /403π （D ）s cm /1003π-，s cm /403π- 【答案】C【解析】由题意知，2=dt dr ，3-=dtdh ，又h r V 2π=，222r rh S ππ+=， 则dt dh r dt dr rh dt dV 22ππ+=，dtdrr dt dh r dt dr h dt dS πππ422++=， 当5,10==h r 时，π100-=dt dV ，π40=dtdS，故正确答案为C. （4）设函数x b ax x f ln )(-=（0>a ）有两个零点，则ab的取值范围是（ ）（A ）),(+∞e （B ）),0(e （C ）)1,0(e （D ）),1(+∞e【答案】A【解析】令0ln )(=-=x b ax x f ，xba x f -=)('，令0)('=x f ，有驻点a b x =，0ln <⋅-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛a b b a b a a b f ，从而1ln >a b ，可得e a b >，正确答案为A.（5）设函数x x f sec )(=在0=x 处的2次泰勒多项式为21bx ax ++，则（ ）（A ） 21,1-==b a （B ）21,1==b a （C ）21,0-==b a （D ）21,0==b a【答案】D【解析】由)(2)0('')0(')0()(22x o x f x f f x f +++=，知当x x f sec )(=时，10sec )0(==f ，00tan 0sec )0('=⋅=f ，1)sec tan (sec )0(''032=+==x x x x f ，则)(211sec )(22x o x x x f ++==，故正确答案为D. （6）设函数),(y x f 可微，且2)1(),1(+=+x x e x f x，x x x x f ln 2),(22=，则=)1,1(df （ ）（A ）dy dx + （B ）dy dx - （C ）dy （D ）dy - 【答案】C【解析】)1(2)1(),1('),1('221+++=+++x x x e x f e e x f xxx①x x x x x xf x x f 2ln 4),('2),('2221+=+ ①分别将⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==11y x 代入①①式有 1)1,1(')1,1('21=+f f ， 2)1,1('2)1,1('21=+f f ，联立可得1)1,1('0)1,1('21==f f ，，于是dy dy f dx f df =+=)1,1(')1,1(')1,1(21，故正确答案为C.（7）设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，则=⎰dx x f 1)(（ ）（A ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n n n k f 121212lim（B ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n nn k f 11212lim（C ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n n n k f 212121lim（D ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n nn k f 2122lim 【答案】B【解析】由定积分的定义知，将)1,0(分成n 份，取中间点的函数值，则=⎰dx x f 1)(∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n n n k f 11212lim ，故正确答案为B.（8）二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f --+++=的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）（A ）0,2 （B ）1,1 （C ）1,2 （D ）2,1 【答案】B【解析】313221222132322213212222)()()(),,(x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=--+++=所以二次型矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110A ，故特征多项式为λλλλλλλ)3)(1(1112111-+=-------=-A E ，令上式等于零，故特征值为0,3,1-，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，故答案应选B.（9）设3阶矩阵),,(321ααα=A ，),,(321βββ=B ，若向量组321,,ααα可以由向量组321,,βββ线性表示，则（ ）（A ）0=Ax 的解均是0=Bx 的解 （B ）0=x A T的解均是0=x B T的解 （C ）0=Bx 的解均是0=Ax 的解 （D ）0=x B T的解均是0=x A T的解 【答案】D【解析】令),,(321ααα=A ，),,(321βββ=B ，由题向量组321,,ααα可以由向量组321,,βββ线性表示，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇒=T T TA B r B r A B r B r )(),()(,所以0=x B T与0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x A B T T 同解，即0=x B T 的解均是0=x A T的解，故选项D 正确. （10）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=521112101A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使得PAQ 为对角矩阵，则Q P ,可以分别取（ ）（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310101 （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123012001 ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123012001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310101 （D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛131010001，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100210321 【答案】C【解析】()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101620012310001101100523010112001101,E A),(123000012310001101P F =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→，则=P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123012001； ⎪⎪⎭⎫⎝⎛Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q E F 100310101000010001100010001000310101，则=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100310101.故正确答案为C. 或者：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+-62031010152131010152111210113122r r r r A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−+++00001000100031000100031010123132332c c c c r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−-0000100012r ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=123012001100012001101010001120010001100010001P⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100310101100310001100010101Q二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上） （11）.__________32=⎰+∞∞--dx x x【答案】3ln 1 【解析】3ln 133ln 1)(332322222=⋅-=--==∞+-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰x x x x x d dx x dx x .（12）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=2)1(412te t y t e x t t确定，则._________022==t dx y d【答案】32【解析】由1224++=tt e tte dx dy ，得222)12()24()12)(244(++++++=t t t t t t e e t te e te e dx y d ， 将0=t 代入得.32022==t dxyd（13）设函数),(y x z z =由方程1)2arctan(ln )1(=-++xy z y z x 确定，则.__________)2,0(=∂∂xz【答案】1【解析】方程两边对x 求导，得04121)1(22=+-∂∂+∂∂++yx yx z z y x z x z ，将0=x ，2=y 代入原方程，得1=z ，再将0=x ，2=y ，1=z 代入，得.1)2,0(=∂∂xz（14）已知函数dy yx dx t f x t⎰⎰=11sin )(，则.__________2'=⎪⎭⎫⎝⎛πf 【答案】2cos 222coscos 223ππππππ--⎰du uu.【解析】交换积分次序，有dx yxdy t f t y t⎰⎰-=2sin )(1，从而⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t ty tdy y y ty dx y x dy t f 11cos cos sin )(2 ⎰⎰⎰⎰-=-=t t t t t ydy y dy uut ydy y dy y t y 13211cos cos cos cos ， t t t t t t t t dy u u t t f t t cos 21cos cos cos 2)('23323-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅--=⎰，故 2cos 222coscos )2('223πππππππ--=⎰du u u f .（15）微分方程0'''=-y y 的通解为._________=y【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-x C x C ee C y x x23sin 23cos 32211，R C C C ∈321,, 【解析】由特征方程013=-λ，解得11=λ，i 23213,2±=λ，故方程的通解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-x C x C ee C y x x23sin 23cos 32211，R C C C ∈321,,.（16）多项式xxx x x xx f 11211212121)(--=中3x 项的系数为.__________【答案】5-【解析】112122121311211121212111111211211212121)(---------=--=x x x xx xx x xxx x xxx x x x x f ，所以展开式中含3x 项的 有3x -，34x -，即3x 项得系数为5-.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.）（17）（本题满分10分）求极限⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎰→x e dt e x x t x sin 111lim 002. 【答案】21 【解析】⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→→→⎰⎰x e e dt e x e dt e x x x x t x x x t x sin 111lim 1lim sin 111lim 0000022， xe x x e x x e e x e xx x x x x x x x 2cos lim 11sin lim 1sin )1(1sin lim 1lim 020002-+=+-+=-+-+=→→→→ .212112sin lim 10=-=--+=→x x e x（18）（本题满分12分） 已知xx x x f +=1)(，求)(x f 的凹凸性及渐近线.【答案】凹区间),0(),1,(+∞--∞，凸区间)0,1(-，斜渐近线是1-=x y ，1--=x y .【解析】因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+->+=0,10,1)(22x xx x xx x f ，故0>x 时，22)1(2)('x x x x f ++=，3)1(2)(''x x f +=， 0<x 时，22)1(2)(''x x x x f +--=，3)1(2)(''x x f +-=， 所以故x x x x f +=1)(凹区间),0(),1,(+∞--∞，凸区间)0,1(-.因为∞=+-→xxx x 1lim1，所以1-=x 是垂直渐近线；因为1)1(lim=++∞→x x x x x ，11lim -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→x x x x x ，所以1-=x y 为斜渐近线； 因为1)1(lim -=+-∞→x x xx x ，11lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-∞→x x x x x ，所以1+-=x y 为斜渐近线.（19）（本题满分12分） 已知函数)(x f 满足C x x dx xx f +-=⎰261)(，L 为曲线)(x f y =（94≤≤x ），L 的弧长为s ，L 绕x 轴旋转一周所形成的面积为A ，求s 和A . 【答案】322=s ，9425π=A . 【解析】C x x dx x x f +-=⎰261)(两边求导，得131)(-=x xx f ，所以212331)(x x x f -=，曲线的弧长32241421'194942=++=+=⎰⎰dx x x dx y s ； 曲面的侧面积为942521)31(2'12942123942πππ=++-=+=⎰⎰dx x x x x dx y y A .（20）（本题满分12分）函数)(x y y =的微分方程66'-=-y xy ，满足10)3(=y ， （1）求)(x y 的表达式；（2）P 为曲线)(x y y =上的一点，曲线)(x y y =在点P 的法线在y 轴上的就截距为y I ，为使y I 最小，求P 的坐标.【答案】（1）31)(6x x y +=；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛±34,1P 时，y I 有最小值.611【解析】（1）由66'-=-y xy ，得xy x y 66'-=-，所以 6666611)6(Cx C x x C dx e x e y dx x dx x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰-⎰=⎰-，将10)3(=y 代入，得31=C ，所以31)(6x x y +=.（2）设),(y x P ，则过P 点的切线方程为)(25x X x y Y -=-， 法线方程为)(215x X xy Y --=-， 令0=X ，得462131xx I Y y ++==，为偶函数，故只需要考虑),0(+∞即可. 令022'55=-=x x I y ，解得1=x ， 所以当)1,0(∈x 时，0'<y I ；当),1(+∞∈x 时，0'>y I ；故当1=x 时462131xx I Y y ++==取得极小值，也是最小值，且最小值为611)1(=±y I ，且P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛±34,1P .（21）（本题满分12分）曲线22222)(y x y x -=+（0,0≥≥y x ）与x 轴围成的区域为D ，求.dxdy xy D⎰⎰【答案】481【解析】使用极坐标计算⎰⎰⎰⎰⎰==4022cos 0340cos sin 2cos 41cos sin πθπθθθθθθθd dr r d dxdy xy D.4812cos 4812cos 2cos 161403402=-=-=⎰ππθθθd（22）（本题满分12分）设矩阵仅有两个不同的特征值. 若相似于对角矩阵，求的值，并求可逆矩阵为对角矩阵.【解】由，故或.（1）当时，由于相似于对角矩阵，二重特征根有两个线性无关的特征向量，从而，故.此时，的两个线性无关的特征向量为，,的一个特征向量为.令为对角矩阵.（2）当时，类似的讨论可知. 此时，的两个线性无关的特征向量为，，的一个特征向量为.令为对角矩阵.。
全国硕士研究生入学综合能力考试资料答案附后
全国硕士研究生入学综合能力考试资料答案附
后
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2013年全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考综合能力考试大纲
Ⅰ考试性质
综合能力考试是为高等院校和科研院所招收管理类专业学位硕士研究生而设置的
具有选拔性质的全国联考科目，其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备
攻读专业学位所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，评价的标准是高等学校
本科毕业生所能达到的及格或及格以上的水平，以利于各高等院校和科研院所在
专业上择优选拔，确保专业学位硕士研究生的招生质量。
Ⅱ考查目标
1. 具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力。
2. 具有较强的分析、推理、论证等逻辑思维能力。
3. 具有较强的文字材料理解能力、分析能力以及书面表达能力。
Ⅲ考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 200 分,考试时间为 180 分钟。
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
不允许使用计算器。
三、试卷内容与题型结构
数学基础 75 分，有以下两种题型：
问题求解 15 小题，每小题 3 分，共 45 分
条件充分性判断 10 小题，每小题 3 分，共 30 分
逻辑推理 30 小题，每小题 2 分，共 60 分
写作 2 小题，其中论证有效性分析 30 分，论说文 35 分，共 65 分。
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
4
4
所求通解为
y
c1ex
c2e3x
1 4
xe3x
.五、(Biblioteka 题满分 8 分)……6 分
计算面积分 (x3 az2 )dydz ( y3 ax2 )dzdx (z3 ay2 )dxdy,
1992 年 • 第 2 页
其中 为上半球面 z = a 2 x2 y 2 的上侧．
解：记 S 为平面 z 0(x2 y2 a2) 的下侧， 为与S所围成的空间区域 ，则
1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题
完整版附答案及评分标准
数 学（试卷一）
一、填空题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
(1) 设函数 y y(x) 由方程 exy cos(xy) 0 确定, 则
dy y sin xy e xy dx = e x y x sin xy .
原式 (x3 az2)dydz ( y3 ax2)dzdx (z3 ay2)dxdy
S
(x3 az2)dydz ( y3 ax2)dzdx (z3 ay2)dxdy
……2 分
S
3(x2 y2 z2)dxdydz ay2dxdy
x2 y2 a2
……4 分
3
证：由微分中值定理，有 f (x1) f (0) x1 f (1),(0 1 x1) f (x1 x2) f (x2) x1 f (2),(x2 2 x1 x2) .
不妨设 x1 x2 ，则有1 2 . 由于 f (x) 0 ，知 f (x) 单调减少，故 f (2) f (1) ， 而 x1 0 ，所以 f (x1 x2) f (x2) f (x1) f (0)， 由 f (0) 0即得，f (x1 x2) f (x1) f (x2) .
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解
附答案分析及详解
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．设 cos x 1 xsin (x), (x) ，当 x 0 时， x （ ）
2
（A）比 x 高阶的无穷小
（B）比 x 低阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价无穷小
时由于 B 可逆，即 A CB1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C
的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B）．
1 a 1
2 0 0
8．矩阵 a b a 与矩阵 0 b 0 相似的充分必要条件是
1 a 1
0 0 0
（A） a 0,b 2
x
f (t)dt
连续点，但不可导．应
0
选（Ｃ）．
４．设函数
f
(x)
( x
1 1) 1
,1
x
e
，且反常积分
x
1 ln 1
x
,
x
e
f xdx 收敛，则（
）
（A） 2
（B） a 2
（C） 2 a 0
（D） 0 2
【详解】
f (x)dx
1
e dx 1 (x 1) 1
e
．
x0
x
1
【详解】 lim 2 ln(1 x) x
lim1
1
x ln(1 x) x
xln(1 x)
lim
e x0
x2
x(x1 x2 o(x2 )
lim
2
e x0
x2
1
e2 ．
x0
x x0
2024年全国硕士研究生招生考试试题及答案(管理类综合能力)
2024年全国硕士研究生招生考试试题及答案(管理类综合能力)2024年全国硕士研究生招生考试试题及参考答案(管理类综合能力)(科目代码：199)一、问题求解:第1～15小题,每小题3分,共45分.下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中,只有一项是符合试题要求的.1. 甲股票上涨后的价格与乙股票下跌后的价格相等，则甲、乙股票的原价格之比为( )A. B. C. D. E.【答案】E2. 将3张写有不同数字的卡片随机排成一排，数字面朝下，翻开左边和中间的2张卡片，如果中间卡片上的数字大，那么取中间的卡片。
否则取右边的卡片，则取出的卡片上的数字最大的概率为( )A. B. C. D. E.【答案】C3. 甲乙两人参加健步走活动，第一天两人走的步数相同，此后甲每一天都比前一天多走100步，乙每天走的步数保持不变.若乙前7天走的总步数与甲前6天走的总步数相同，则甲第7天走了( )A.步B.步C. 步D.步E.步【答案】D4. 函数的最小值为( )A. B. C. D. E.【答案】B5. 已知点，若四边形为平行四边形，则( )A. B. C. D. E.【答案】B6. 已知等差数列满足,且,则公差为( )A. B. C. D. E.【答案】C7. 已知都是正整数,若,则的取值方法有( )A.种B.种C.种D.种E.种【答案】C8. 如图1，正三角形的边长为，以为圆心，以为半径做圆弧，再分别以为圆心，以为半径作圆弧，则阴影部分的面积为A. B. C.D. E.图1【答案】B9. 在雨季，某水库的蓄水量已超警戒水位，同时上游来水均匀注入水库，需要及时泄洪.若开个泄洪闸，则水库的蓄水量降到安全水位需要天;若开个泄洪闸，则水库的蓄水量降到安全水位需要天，若开个泄洪闸，则水库的蓄水量降到安全水位需要( )A.天B.天C.天D. 天E.天【答案】B10. 如图2，在三角形点阵中，第行及其上方所有点的个数之和记为，如.已知是平方数且,则( )A. B. C. D. E.图2【答案】C11. 如图3，在边长为2的正三角形材料中截减出一个半圆形工件，半圆的直径在三角形一条边上，则这个半圆的面积最大为( )A. B. C. D. E.图3【答案】A12. 甲，乙两码头相距100千米，一艘轮船从甲地顺流而下到达乙地用了4小时，返回时游轮的静水速度增加了25%用了5小时，则航道的水流速度为( )A. B. C. D.E.【答案】D13. 如图4，圆柱形容器的底面半径是，将半径为的铁球放入容器后，液面的高度为，液面原来的高度为( )A. B. C. D. E.图4【答案】E14. 有4种不同的颜色，甲乙两人各自随机选2种,则两个所选颜色完全相同的概率为( )A. B. C. D. E.【答案】A15. 设非负实数满足,则的最大值为( )A. B. C. D. E.【答案】E二、条件充分性判断(第16～25题,每小题3分,共30分,要求判断每题给出的条件(1)与条件(2)能否充分支持题干中所陈述的结论.A,B,C,D,E五个选项为判断结果,请选择项符合试题要求的判断.请在答题卡上将所选项的字母涂黑.)A.条件(1)充分,但条件(2)不充分B.条件(2)充分,但条件(1)不充分C.条件(1)和(2)单独都不充分,但条件(1)和条件(2)联合起来充分D.条件(1)充分,条件(2)也充分E.条件(1)和(2)单独都不充分,条件(1)和条件(2)联合起来也不充分16. 已知袋中装有红、黑、白三种颜色的球若干个,随机取出1球，则该球是白球的概率大于.(1) 红球数最少. (2) 黑球数不到一半.【答案】C17. 已知是正整数，则除以余.(1) 除以余.(2) 除以余.【答案】D18. 设二次函数，则能确定.(1) 曲线关于直线对称.(2) 曲线与直线相切.【答案】C19. 设为实数，则.(1) .(2) .【答案】A20. 设为实数，，则.(1)(2)【答案】C21. 设为正实数，则能确定.(1)(2)【答案】B22. 兔窝在兔子正北,狼在兔子正西，兔子和狼同时奔跑兔窝，则兔先到兔窝.(1) 兔子的速度是狼的(2) 兔子的速度是狼的.【答案】A23. 设.为实数，则确定.(1) .(2) .【答案】D24. 设曲线与轴有三个不同交点则.(1) 点的坐标为(2)【答案】C25. 设为等比数列，是的前项和，则确定的公比.(1)(2)【答案】E三、逻辑推理：第26-55小题，每小题2分，共60分。
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，则=22dx y d 34cos sin t t t t -. (2)由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz dx =.(3)已知直线L 1和L 2的方程 1123:101x y z L ---==-和221:211x y zL --==，则过L 1且平行于L 2的平面方程是 x -3 y ＋z + 2 = 0 .(4)已知当0x →时，21/2(1)1x a +-与cos 1x -是等阶无穷小，则常数a =3/2-.(5)设4阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025, 则A 的逆矩阵1A -=12002500001/32/3001/31/3-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)曲线2211x x ee y ---+=（D ）(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f (x) 满足关系式2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则f (x) 等于(B) （A ）2ln xe （B ）2ln 2xe（C ）2ln +x e （D ）2ln 2+xe .(3)已知级数5,2)1(11211==-∑∑∞=-∞=-n n n n n a a ， 则级数∑∞=1n na等于 (C)（A ）3（B ）7（C ）8（D ）9(4)设D 是XOY 平面上以 (1,1), (-1,1) 和 (-1,-1)为顶点的三角区域，D 1是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于（A ）(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D) 0.(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC = E ， 其中E 是n 阶单位阵，则必有(D)(A)ACB = E(B)CBA = E (C)BAC = E (D)BCA = E 三、(本题满分15分，每小题3分)(1)求0lim )xx π→+解原式ln 0lim c xx e π+⋅→=0limln x c xeπ+→⋅=……2分0x e π→⋅=……4分 2eπ-=.……5分(2)设n是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处的指向外测的法向量，求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数解：462n i j k =++ .……1分Px u ∂==∂Pyu ∂==∂Pu z∂==∂……3分从而[cos(,)cos(,)cos(,)]P Pu uu u n i n j n k x y z n∂∂∂∂=++∂∂∂∂117=+=.……5分 (3)求dv z y x )(22++⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体．解22422202()()r xy z dv d r z dzπθΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰……2分350528)8r r r drπ=+-……4分 2563π=.……5分四、(本题满分6分)在过点O (0,0)和A (0,π)的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.解：33()[1sin (2sin )cos ]I a a x x a x a x dx π=+++⎰,……2分3443a a π=-+. ……4分 令2()4(1)0I a a '=-=,得1,(1)a a ==-舍去，且1a =是()I a 在+)∞(0，内的唯一驻点 ……5分 由于(1)80I ''=>,()I a 在1a =处取到最小值.故所求曲线是sin (0)y x x π=≤≤ ……6分五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数∑∞=121n n的和. 解：由于()2(11)f x x x =+-≤≤是偶函数，所以1002(2)5a x dx =+=⎰， ……1分11222(cos 1)2(2)cos()2cos(),1,2,n n a x n x dx x n x dx n n ππππ-=+===⎰⎰ ……3分 0,1,2,n b n ==……4分因所给函数在[1,1]-满足收敛定理的条件，故22221052(cos 1)54cos(21)2cos()22(21)n k n k xx n x n k πππππ∞∞==-++=+=-+∑∑，[1,1]x ∈-……5分 令0x =，有 22054122(21)k k π∞==-+∑，即2201(21)8k k π∞==+∑于是22222000111111(21)(2)84k k k n n k k n π∞∞∞∞=====+=++∑∑∑∑，因此222114386n nππ∞==⋅=∑.……8分 六、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=.解：由积分中值定理知,在2[,1]3上存在一点1c ，使23111()()3f x dx f c =⎰， ……3分从而有1()(0)f c f =, ……4分 故()f x 在区间1[0,]c 上满足罗尔定理的条件，因此在1(0,)c 内存在一点c ，使得(c)0.f '=1(0,)(0,1)c c ∈⊂. ……7分七、(本题满分6分)已知)3,2,0,1(1=α，)5,3,1,1(2=α，)1,2,1,1(3+-=a α，)8,4,2,1(4+=a α，)5,3,1,1(+=b β， 问：(1),a b 为何值时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合？(2),a b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示式？并写出表示式.解：设11223344,x x x x βαααα=+++则12342341234123412123(2)4335(3)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩……2分因 11111011212324335135a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭1111101121011000010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+⎪+⎝⎭……4分故当1,0a b =-≠时，β不能表示成4321,,,a a a a 的线性组合.……5分 当1a ≠-时，表示式唯一，且1234210111b a b ba a a a a a a β++=-++++++. ……8分八、(本题满分6分)设A 是n 阶正定阵，E 是n 阶单位阵，证明A+E 的行列式大于1.解一：因A 是正定阵，故存在正交阵Q ，使121n Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ . ……1分其中0(1,2,)i i n λ>= 是A 的特征值.故111()Q A E Q Q AQ Q Q ---+=+1122111n n E λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ……4分在上式两端取行列式得11(1)|||()|||||nii QA E Q A E λ-=+=⋅+⋅=+∏，从而||1A E +>.……6分解二：因A 是正定阵，故A 的特征值0(1,2,)i i n λ>= ……1分 于是A E +的特征值11(1,2,)i i n λ+>= ……4分 因此A+E 的行列式12||1111n A E λλλ+=+⋅++> ……6分九、(本题满分6分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 段PQ 长度的倒数（Q 是法线与x 轴的交点），且曲线在点(1,1)处的切线与X 轴平行.解：曲线()y y x =在点(,)x y 处的法线方程是1(),('0)Y y X x y y-=--≠', ……1分 它与x 轴的交点是(',0)x yy +，从而该点到x 轴之间的法线段PQ的长度是122(1)y y '=+（0y '=也满足上式）……2分 故由题意得微分方程312222''1(1')(1')y y y y =++，即2''1'yy y =+……3分 且当1x =时，1,'0y y ==.……4分令'y p =，则''dp y p dy =，代入方程得21dp yp p dy=+，或21p dydp p y =+积分并注意到1y =时，0p =，使得y =……6分代入dyp dx =，得'y dx ==±积分上式，并注意到1x =时1y =，得ln((1)y x =±-.因此所求曲线方程为(1)1(1)1()2x x x y ey e e ±----==+ 即.……8分十、填空题 (本题满分6分,每小题3分)(1)若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= 0.2 .(2)随机地向半圆0(0)y a <<>内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与 区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为112π+十一、(本题满分6分)设二维随机变量( X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-它其00,02),()2(y x e y x f y x ， 求Z =X +2Y 的分布函数.解：2(){}{2}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy+≤=≤=+≤=⎰⎰……2分当0z ≤时，{0}0P Z ≤=.当0z >时，(2)200{}2z x zx y P Z z dx e dy--+≤=⎰⎰……4分2202()1z x zz xy x z z z e dx e dy e e dx e ze -------==-=--⎰⎰⎰. ……5分所以2Z X Y =+的分布函数0,0()1,0Z z zz F z e ze z --≤⎧=⎨-->⎩. ……6分数 学（试卷二）一、【 同数学一 第一题 】 二、【 同数学一 第二题 】 三、【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分,每小题6分)(1)求3+∞⎛⎜⎠解：33+∞+∞=⎛⎛⎜⎜⎠⎠令1sec x θ-=，则sec tan dx d θθθ=.……2分 故原式243sec tan sec tan d ππθθθθθ=⎛⎜⎠……3分2232(1sin )cos 3d ππθθθ=-=⎰. ……6分(2)计算(1)sydzdx z dxdy -++⎰⎰，其中S 是圆柱面422=+y x被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧．解一：设1,2,1,,D S S S Ω如图所示，记1212(1),(1)S S I ydzdx z dxdy I ydzdx z dxdy =-++=-++⎰⎰⎰⎰,123(1)S S S I ydzdx z dxdy ++=-++⎰⎰,则312I I I I =--. ……1分而111(1)S S I ydzdx z dxdy=-++⎰⎰⎰⎰11(1)(21)12S D z dxdy x dxdy π=+=-+=⎰⎰⎰⎰，……3分2212(1)4S S D I ydzdx z dxdy dxdy π=-++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分 又由奥高公式有3(11)0I dv Ω=-+=⎰⎰⎰.……5分 故3128I I I I π=--=-.……6分解二：设2,D S 如上图所示，则2(1)0SS I ydzdx z dxdy ydzdx =-++=-+⎰⎰⎰⎰……1分2D =-⎰⎰……3分22202dx --=-⎰⎰……4分222(2x -=--⎰……5分248π-=-=-⎰.……6分(3)【 同数学一 第四题 】五、(本题满分8分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题满分6分)【 同数学一 第八题 】 九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)设)31ln(xy -+=，则=dy 3ln 313x xdx ---+. (2)曲线2x e y -=的向上凸区间是(22-.(3)21ln xdx x +∞=⎰1 (4)质点以速度)sin(2t t 米 / 秒作直线运动，则从时刻1t=π=2t 秒内质点所经过的路程等于 1 / 2 米. (5) 1101lim x x xex e+→-+= -1二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)若b ax x y ++=2和312xy y +-=在(1,1)-点相切，其中,a b 是常数，则(D)(A)0,2a b ==-(B)1,3a b ==-(C)3,1a b =-=(D)1,1a b =-=-(2)设函数⎩⎨⎧≤-≤≤=21210)(2x x x x x f ，记0()(),02xF x f t d t x =≤≤⎰，则（B ）(A)()F x =32013121232x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩(B)()F x =32013721262x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C)()F x =33201321232x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩（D ）()F x =320132122x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩(3)设函数()f x 在(+∞∞-,)内有定义，00≠x 是函数()f x 的极大点，则(B)(A) 0x 必是()f x 的驻点(B) 0x -必是()f x --的极小点(C) 0x -必是()f x -的极小点(D)对一切x ，都有)()(0x f x f ≤.(4)【 同数学一 第二、(4) 题 】(5)如图，x 轴上有一线密度为常数μ，长度为l 的细杆，若质量为m 的质点到杆右端的距离为a ，引力系数为k ，则质点和细杆之间引力的大小为 (A)(A) 021()km dxa x μ--⎰(B) 120()km dxa x μ-⎰(C) 01222()km dxa x μ-+⎰(D)1222()km dx a x μ+⎰三、(本题满分25分，每小题5分)(1)设⎩⎨⎧==t t y t t x sin cos ， 求22dx y d 解：sin cos cos sin dy t t t dx t t t+=-， ……2分22sin cos cos sin t d y t t t dtdx t t t dx'+⎛⎫= ⎪-⎝⎭……4分 232(cos sin )t t t t +=-. ……5分(2)计算⎰+41)1(x x dx 解：令t =2,2x t dx tdt ==，于是有原式212(1)dt t t =+⎛⎜⎠……2分211121dtt t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠……3分 212[ln ln(1)]t t =-+……4分 42ln 3=.……5分(3)求20sin lim (1)xx x xx e →--解：原式30sin limx x xx →-=……2分 201cos lim 3x x x →-=……4分 212201lim 36x x x →==. ……5分(4)求⎰xdxx 2sin解：原式1cos22xxdx -=⎰……2分 11sin 224xdx xd x =-⎰⎰……3分 211sin sin 2444x x x xdx =-+⎰……4分 211sin 2cos 2448x x x x C =--+. ……5分(5)求微分方程xxe y xy =+2满足(1)1y =的特解解：()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……1分 11[]dxdxxx x ee edx C -⎰⎰=+⎰……2分 1[(1)]x x e C x=-+……4分当1,1x y ==代入，得1C =，所以特解11x x y e x x-=+. ……5分四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时，有不等式x xx x +>+1ln )1ln(.证一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-，……2分 则1()ln(1)0f x x'=+>.……5分 所以在[1,)+∞中()f x 为增函数.……6分又(1)2ln 20f =>，所以在[1,)+∞中，有()0f x >.即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->， 故当1x >时，有ln(1)ln 1x xx x+>+. ……9分五、(本题满分9分)求微分方程x x y y cos +=+'' 的通解.解： 原方程所对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +. ……2分设非齐次方程y y x ''+=的特解为1y Ax B =+.代入方程得0,1B A ==，所以1y x =.又设非齐次方程cos y y x ''+=的特解为2cos sin y Ex x Dx x =+, 则代入方程得10,2E D ==，所以21sin 2y x x =.因此原方程的通解为12cos sin sin 2xy C x C x x x =+++. ……9分六、(本题满分6分)曲线y=(x －1)(x －2)和x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转 体的体积解：在[1,2]上取积分元，得2||dV x y dx π=， ……4分 于是有212||V x y dxπ=⎰……6分 212(1)(2)x x x dxπ=---⎰……7分 2π=.……9分七、(本题满分6分)如图，A 和D 分别是曲线x e y =和x e y 2-=上的点，AB 和DC 均垂直x 轴，且1,1:2:<=AB DC AB ， 求点B 和C 的坐标，使梯形ABCD 的面积最大.解： 设B ，C 的横坐标为1,x x , 则有122xxe e -=，由此可得1ln 22x x =-.……2分又13ln2(0)BC x x x x =-=->. 故梯形ABCD 的面积23(3ln 2)2x S x e -=-， ……5分 令23(362ln 2)02x S x e -'=-+=，得驻点11ln 223x =+， ……7分由于当11ln 223x <+时，0S '>；当11ln 223x >+时，0S '<.所以11ln 223x =+是极大值点，又驻点唯一. 故11ln 223x =+是最大值点.……8分 即当11ln 223x =+，11ln 213x =-时，梯形ABCD 的面积最大.……9分八、 (本题满分6分)设函数()f x 在),(+∞-∞内满足()()sin f x f x x π=-+，且()f x x =，),0[π∈x ，计算⎰ππ3)(dx x f .解一：333()[()sin]()f x dx f x x dx f x dxππππππππ=-+=-⎰⎰⎰……1分2()t x f t dtππ=-⎰令……3分2()()f t dt f t dtπππ=+⎰⎰2[()si)n(]ff t dt t dttππππ-+=+⎰⎰……6分22(2)2f t dtππππ=--+⎰202()2x t f x dxπππ=--+⎰令……8分22π=-. ……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)设sin xyz e =，则)(cos sin xdy ydx xy e dz xy +=.(2)设曲线3()f x x ax =+与c bx x g +=2)(都通过点(1,0)-，且在点(1,0)-有公共切线，则a = -1 ，b =-1 ，c = 1 . (3)设x xe x f =)(，则)()(x fn 在点x =(1)n -+处取极小值)1(+--n e .(4)设A 和B 为可逆矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00B A X 为分块矩阵，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111AB X . (5)设随机变量X 的分布函数为=≤=)x X (P )x (F 33111118.04.00≥<≤<≤--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x x x 若若若若. 则X 的概率分布为 1130.40.40.2-⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)下列各式中正确的是（A ）(A)1)11(lim 0=++→x x x (B) e xxx =++→)11(lim 0(C) e x x x =-∞→)11(lim (D) exx x =+-∞→)11(lim (2)设n a n 10<≤(n=1,2,… )，则下列级数中肯定收敛的是（D ）(A)∑∞=1n na(B)∑∞=-1)1(n nna (C)∑∞=1n na (D)∑∞=-12)1(n nna (3)设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵A*的特征根之一是 (B)(A)nA1-λ(B)A1-λ(C)Aλ(D)nAλ(4)A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是(D)(A)A 与B 不相容(B)A 与B 相容 (C)P (AB )=P (A )P (B )(D)P (A -B )=P (A)(5)对于任意两个随机变量X 和Y ，若E (X Y )= E X E Y ，则(B )(A)D (X Y )=D X D Y (B )D (X +Y )=D X +D Y (C)X 和Y 独立(D )X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限120lim()x x nx x x e e e n→+++ 其中n 是给定的自然数.解：原式201limexp{ln()}x x nx x e e e x n →+++= 20ln(ln )exp{lim }x x nx x e e e n x→+++-= .……1分其中大括号内的极限是0型未定式，因此由罗比塔法则，有22200ln()ln 2lim lim x x nx x x nxx xnx x x e e e n e e ne x e e e→→+++-+++=+++ ……2分 12n n +++= 12n +=. ……4分 于是12n e+=原式. ……5分四、(本题满分5分) 计算二重积分D I ydxdy =⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴与曲1=+by a x 所围成的区域；0,0a b >>.解：积分区域D 如图中阴影部分所示.1=，得21y b ⎛= ⎝.因此(10ab I dx ydy=⎰⎰……2分240(12ab dx =⎰.……3分令1t =()21x a t =-，2(1)dx a t dt =--.则12450()I ab t t dt =-⎰1562205630t t ab ab ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. ……5分五、(本题满分5分) 求微分方程22y x dxdyxy+=满足条件2x ey e ==的特解.解：原方程可以化为2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，可见是齐次微分方程.……1分设,dy duy ux u x dx dx==+有，将其代入上式，得21du u u xdx u ++=，……2分 即1du x dx u =，du dx u dx x =,21ln ||2u x C =+.……3分 将yu x=代入上式，得通解222(ln ||)y x x C =+，……4分 由条件|2,x e y e ==求得1C =，于是，所求特解为222(ln ||1)y x x =+.……5分六、(本题满分6分)假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L 、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分，其a 是大于零的常数，试确定的a 值.解：由21(01)y x x =-≤≤与2y ax =联立，可解得故曲线12L L 与的交点P的坐标为. ……1分于是223101)][(1)3S x ax dy x a x =--=-+=……3分 12112022(1)3S S S x dx =+=-=⎰，……4分 从而113S =.13=，……5分 因此于是3a =.……6分七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1P 和2P ，销量分别为1q 和2q ，需求函数分别为112.024P q -=和2205.010P q -=，总成本函数为)(403521q q c ++=， 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少?解：总收入函数为2211221122240.2100.05R p q p q p p p p =+=-+-……2分 总利润函数为112212()[3540()]L R C p q p q q q =-=+-++221122320.2120.051395p p p p =-+--……4分由极值的必要条件，得方程组1122320.40120.10Lp p L p p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩， 其解为1280,120p p ==.……6分 由问题的实际意义可知，当1280,120p p ==时，厂家所获得的总利润最大， 其最大利润为1280,120605p pL ===.……8分八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+在区间),0(+∞内单调增加.证：由1()exp{ln(1)}f x x x =+，有111()(1)[ln(1)]1x f x x xx '=++-+. ……2分记11()ln(1)1g x x x=+-+，对于任意(0,)x ∈+∞，有21()0(1)g x x x '=-<+，故函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.……3分 由于11lim[ln(1)]01x x x→+∞+-=+，……4分 可见对任意(0,)x ∈+∞，有11()ln(1)01g x x x=+->+，……5分 从而，()0f x '>，(0,)x ∈+∞.于是，函数()f x 在(0,)+∞上单调增加.……6分九、(本题满分7分)设1111λα+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2111αλ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3111αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ， 问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一？（3）β不能由123,,ααα线性表示？解：设112233x x x αααβ++=，得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其系数行列式2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A .……3分（1）若03λλ≠≠-且，则方程组有唯一解，β可由3,21,a a a 唯一地线性表示.……4分（2）若0λ=，则方程组有无穷多个解，β可由3,21,a a a 线性表示，但表达式不唯一.……5分（3）若3λ=-，则方程组的增广矩阵211003318000612130331203312112911291129⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，可见方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由3,21,a a a 线性表示. ……7分十、(本题满分6分)考虑二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ，问λ取何值时，为正定二次型？解：二次型f 的矩阵为1142124λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，……2分由于二次型f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正. 而A 的顺序主子式为：110D =>，22144D λλλ==-，2311424484(1)(2)124D λλλλλλ-==--+=--+-， ……4分于是，二次型f 正定的充分必要条件是：230,0D D >>，由2240D λ=->，可见22λ-<<；由34(1)(2)0D λλ=--+>，可见21λ-<<. 于是，二次型f 正定，当且仅当21λ-<<.……6分十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是D =1112121222120T T T nT T T n T T T n n n nαααααααααααααααααα≠其中T i α表示列向量i α的转置，1,2,,i n = .解：记n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ，则12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是||0≠A ，……2分由于1212(,,,)T T Tn T n A A αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212T T T n T T Tn T T Tn n n n αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭……4分故有2||||||||T T A A A A A D =⋅==，因此，||0A ≠与0D ≠等价.于是0D ≠是12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件.……6分十二、(本题满分6分)【 同数学五 第十三、(1) 题 】 十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域 222r y x ≤+上服从联合均匀分布， (1)求X 和Y 的相关系数ρ；(2)问X 和Y 是否独立？解：(1) 因X 和Y 的联合密度为22222221,(,)0,x y r x y r p x y r π+≤⎧+>⎪=⎨⎪⎩若若， ……1分故X的密度为121()(||)p x x r r π==≤，同理，Y的密度为2()(||)p y y r ≤……2分于是220rrEX r π-==⎰，220rrEY r π-==⎰，……3分 2222cov(,)0x y r xyX Y EXY dxdy r π+≤==-=⎰⎰，……4分 因此X 和Y 的相关系数0ρ=.……5分 (2)由于12(,)()()p x y p x p y ≠，故X 和Y 不独立. ……6分十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--000),(1x x e x a x p x a 若若αλλλ，其中0>λ中是未知参数,0>a 是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ，求λ的最大似然估计量λˆ. 解：似然函数为11211(,,,)()nn n aa n i ii i L x x x a ex xλλλ--===∑∏ ；， ……2分由对数似然方程，有1ln 0n ai i L n x λλ=∂=-=∂∑，……4分 由此可解得λ的最大似然估计量1=nai i nx λ=∑ . ……5分数 学（试卷五）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第一、(1) 题 】(2)【 同数学四 第一、(2) 题 】(3)【 同数学四 第一、(3) 题 】(4)n 阶行列式00000000000000nab a b a a b ba1(1)nn n a b +=+-.(5)[91-5] 设A ，B 为随机事件，P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则6.0)(=B A P 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)【 同数学四 第二、(1) 题 】(2)设数列的通项为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数若为奇数若n nn n n n x n 12，则当∞→n ,n x 是（D ）（A ）无穷大量（B ）无穷小量 (C)有界变量（D ）无界变量(3)设A 与B 为n 阶方阵，且AB ，则必有(C)(A)0A =或0B = (B) AB BA=(C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A (4)设A 是m ⨯n 矩阵，A x ＝0是非齐次线性方程组A x ＝b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是(D)(A)若Ax ＝0仅有零解，则A x ＝ b 有唯一解(B)若Ax ＝0有非零解，则Ax ＝b 有无穷多个解(C)若Ax ＝b 有无穷多个解，则Ax ＝0仅有零解(D)若Ax ＝b 有无穷多个解则Ax ＝0有非零解(5)【 同数学四 第二、(4) 题 】三、(本题满分5分) 求极限()xx xx 121lim +++∞→.解：原式11lim (lim exp{ln(exp{lim xx x x x x x →+∞→+∞→+∞===，其中大括号内的极限是∞∞型未定式. ……2分因此由罗比塔法则，有lim lim lim 0x x x →+∞===， ……4分 于是10lim ()1x x x e →+∞==.……5分四、(本题满分5分) 求定积分dx x x I 211)12(++=⎰-.解：01221(1)(31)I x dx x dx-=+++⎰⎰……2分 0133101122(1)(31)393x x -=+++=.……5分五、(本题满分5分)求不定积分arctgxdxx x I ⎰+=221解：21(1)arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x=-=-+⎰⎰⎰……2分 221arctan (arctan )12xx x dx x x =--+⎛⎜⎠……4分 2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C =-+-+.……5分六、(本题满分5分)已知0)()(),()(≠'+'+=z g y z f x z yg z xf xy ，其中(,)z z x y =是x 和y 的函数. 求证：[]yz z f y x z z g x ∂∂-=∂∂-)()]([. 证：将()()xy xf z yg z =+两侧同时对x 求偏导数，得()()()z zy f z xf z yg z x x∂∂''=++∂∂， ……2分 于是，有()()()z y f z x xf z yg z ∂-=''∂+， ……3分 同样可得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+. ……4分因此[()][()][()][()]()()z x g z y f z z x g z y f z x xf z yg z y ∂--∂-==-''∂+∂. ……5分七、(本题满分6分)【 同数学四 第六题 】 八、(本题满分8分)【 同数学四 第七题 】 九、(本题满分6分)证明不等式 11ln(1)(0)1x xx><<+∞+＋.证：记11()ln(1),01f x x x x=+-<<+∞+，有21()0(1)f x x x '=-<+， ……2分 故函数()f x 在(0,)+∞上单独减少.……3分 由于11lim ()lim[ln(1)]01x x f x x x→+∞→+∞=+-=+，……5分 故对于任意0x <<+∞，()0f x >，即11ln(1)1x x+>+.……6分十、(本题满分5分)设n 矩阵A 和B 满足条件A ＋B ＝AB ，(1)证明A -E 为可逆矩阵,其中E 是n 阶单位矩阵；(2)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ,求矩阵A .解：由A ＋B ＝AB ，有AB -A -B +E =(A -E)(B -E)=E ， ……1分 由此可见A -E 为可逆矩阵.……2分 又由上式，知B -E 也为可逆矩阵，且1(-=+A E B -E)……3分 由于030200001B E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，11/20()1/300001B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭， ……4分故1(-=+A E B -E)11/201/310002⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.……5分十一、(本题满分7分)【 同数学四第九题】十二、(本题满分4分) 已知向量Tk a )1,,1(=是矩阵A =211121112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值.解：设λ是α所属的特征值，则1a a λ-=A ，a a λ=A .……2分即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此得方程组(3)1(22)k k k λλ+=⎧⎨+=⎩，其解为112211,2,,14k k λλ==-==.于是当21k =-或时，α是1-A 的特征向量.……4分十三、(本题满分7分)一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与 其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等.以X 表示汽车首次遇到红 灯前已通过的路口的个数.（1）求X 的概率分布； （2）求XE +11. 解：（1）由条件知, X 的可能值为0,1,2,3.以(1,2,3)i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”；则123,,A A A 相互独立，且1()(),1,2,32i i P A P A i ===. ……2分于是11(0}()2P X P A ===，1221(1}()2P X P A A ===，12331(2}()2P X P A A A ===，12331(3}()2P X P A A A ===.……4分 （2）11111111671224384896EX =+⋅+⋅+⋅=+. ……7分十四、(本题满分6分)在电源电压不超过200伏、在200－240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X 服从正态分布N (220，252 )，试求 ：(1)该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200－240伏的概率β.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）解：引进下列事件：1A ＝｛电压不超过200伏｝，2A ＝｛电压在200－240伏｝，3A ＝｛电压超过240伏｝；B ＝｛电子元件损坏｝.因2~(220,25)X N ，故1220200220(){200}{}(0.8)0.2122525X P A P X P --=≤=≤=Φ-=，2(){200240}(0.8)(0.8)0.576P A P X =≤≤=Φ-Φ-=；3(){240}10.2120.5760.212P A P X =>=--=.……3分 （1）由题设条件知123(|)0.1,(|)0.001,(|)0.2P B A P B A P B A ===. 于是，由全概率公式，有31()()(|)0.0642iii a P B P A P B A ====∑，……5分 （2）由贝叶斯公式，得222()(|)(|)0.009()P A P B A P A B P B β==≈.……7分。
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学（试卷一）一、填空题（每小题3分，满分15分. 只写答案不写解题过程）(1)与两直线 112x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及 121121x y z ++-== 都平行，且过原点的平面方程是 50x y -+=(2)当x =1/ln 2-；时，函数2xy x =取得极小值.(3)由ln y x =与两直线(1)y e x =+-及0y =围成图形的面积= 3 / 2 (4)设L 为取正向的圆周922=+y x ，则曲线积分dy x xdx y xy L)4()22(2-+-⎰的值是π18-.(5)已知三维线性空间的一组基底)1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα，则向量α＝(2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )二、（本题满分8分）求正的常数a 与b ，使式1sin 1lim220=+-⎰→dt ta t x bx x x 成立. 解：假若1b ≠，则根据洛必达法则有2200011lim lim(01sin cos x x x bx x b x →→==≠--⎰，与题设矛盾，于是1b =.此时2222100002111lim lim(lim(sin 1cos x x x x bx x x x →→→===--⎰，即1=，因此4a =.三、（本题满分7分）(1)设函数,f g 连续可微，(,),()u f x xy v g x xy ==+，求,.u vx x∂∂∂∂解：1212()u x xy f f f y f x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+⋅∂∂∂；()(1)v x xy g y g x x∂∂+''=⋅=+⋅∂∂.(2)设矩阵A 和B 满足2AB A B =+，其中A =301110014⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵B .解：因2AB A B =+，故2AB B A -=，即(2)A E B A -=，故1(2)B A E A -=-=522432223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.四、（本题满分8分）求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解.其中常数0a >.解：由特征方程3222(9)0r r a r +++=，知其特征根根为12,30,3r r ai ==-±. 故对应齐次方程的通解为33123cos sin x x y C C e x C e x --=++ ，其中123,,C C C 为任意常数.设原方程的特解为*()y x Ax =，代入原方程可得A =219a+. 因此，原方程的通解为*33123()cos sin x x y x y y C C e x C e x --=+=+++219a+x . 五、选择题（每小题3分，满分12分） (1)设常数0k >，则级数21)1(n nk n n+-∑∞= （C ）(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛与发散与k 的值有关.(2)设)(x f 为已知连续函数，⎰=t s dx tx f t I 0)(，0,0s t >>，则I 的值（D ）(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 、x(C)依赖于t 和x , 不依赖于s (D)依赖于s , 不依赖于t (3)设1)()()(lim 2-=--→a x a f x f a x ，则在点x a =处(B)(A)()f x 导数存在,0)(≠'a f (B)()f x 取得极大值(C)()f x 取得极小值(D)()f x 的导数不存在.(4)设A 为n 阶方阵, 且0≠=a A , 而*A 是A 的伴随矩阵，则*A =(C)(A)a(B)a/1(C) 1-n a (D) n a六、（本题满分10分） 求幂级数1121+∞=∑n n n x n 的收敛域，并求其和函数. 解：记112n n n u x n +=，有1112lim lim (1)22n nn n n n n n x u x n u n x +++→∞→∞=⋅=+，令12x <，知原级数在开区间(2,2)-内每一点都收敛.又当2x =-时，原级数=111111(2)2(1)2n n n n n n n ∞∞++==-=-∑∑，故由莱布尼兹判别法知其收敛；而当2x =时，原级数=11111122(1)2n n n n n n n ∞∞++===-∑∑，显然发散，故幂级数的收敛域为)2,2[-. 又记111111()()()22n n n n n x S x x x xS x n n ∞∞+=====∑∑，其中111()()2n n xS x n ∞==∑，有1111()()21/2n n x S x x ∞-='==-∑，于是102()2ln()1/22x dx S x x x ==--⎰，因此幂级数的和函数为2()2ln 2S x x x=-，[2,2)x ∈-.七、（本题满分10分） 计算曲面积分2(81)2(1)4SI x y dydz y dzdx yzdxdy =++--⎰⎰，其中s 是曲线 )31(01≤≤⎩⎨⎧=-=y x y z 绕Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与Y 轴正向的夹角恒大于/2π．解：S 的方程为221y x z =++，记1S ：223,()y x z =+，知1S S +为封闭曲面，设其 方向取外侧，所围区域为Ω，则由高斯公式，有12(81)2(1)4S S I x y dydz y dzdx yzdxdy +=++--⎰⎰12(81)2(1)4S x y dydz y dzdx yzdxdy-++--⎰⎰12102(1)0S dv y dydz Ω=⋅---+⎰⎰⎰⎰⎰=3212(13)yz xD D dy dzdx dzdx--⎰⎰⎰⎰⎰31(1)16234y dy ππ=-+⋅⋅=⎰.八、（本题满分10分）设函数)(x f 在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每个x ，函数的值都在开区间(0,1)内，且1)(≠'x f .证明 在(0,1)内有且仅有一个x ，使()f x x =．证：令()()h t f t t =-，知()h t 在闭区间[0,1]上连续，又由题设知0()1f x <<，于是 有(0)(0)00,(1)(1)10h f h f =->=-<. 故由零点定理，在(0,1)内有x ，使()f x x =.假若)(x f 在开区间(0,1)内有两个不同的点1x 和2x ，使得11()f x x =，22()f x x =， 不妨设12x x <，则易见)(x f 在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故由拉格朗日定理知，(0,1)ξ∃∈，使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-，即()1f ξ'=.此与1)(≠'x f 矛盾！故在(0,1)内使()f x x =的x 只能有一个.九、（本题满分8分）问,a b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解？无解？有无穷多解？ 并求出无穷多解时的通解.解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得11110111100122101221()013200101321100010A A b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭○1 当1≠a 时，系数行列式2(1)0A a =-≠，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解；○2 当1a =，且1b ≠-时， ()3,()2r A r A ==， ()()r A r A ≠，故原方程组无解；○3 当1a =，且1b =-时， ()()24r A r A ==<，故原方程组有无穷的解. 此时显然有 11110101110122101221()00000000000000000000A A b ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭可见其通解为：12(1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1)T T T x c c =-+-+-，其中12,c c 为任意常数.十、填空题（每小题2分，满分6分）(1)在一次试验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1]()1(1[---+n p p n .(2)三个箱子，第一个箱子有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个白球3个黑球，第三个箱子中有3个黑球5五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个球为白球的概率为53/120，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是20/53.(3)已知连续随机变量X 的密度为1221)(-+-=x xe xf π，则X 的数学期望为 1 ；X 的方差为 1/2 .十一、（本题满分6分）设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=它其0101)(x x f X ；⎩⎨⎧≤>=-00)(y y e y f y Y ，求随机变量Z =2X +Y 的概率密度函数()z f z .解：由题设，(,)X Y 的联合密度为01,0(,)()()0y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其 它， 故Z 的分布函数2()()(2)(,)z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰，○1 当0z <时，2()00z x y zF z dxdy +≤==⎰⎰，此时()00z f z '==；○2 当02z ≤≤时，200001()22z yzz z y y yz z F z dy e dx e dy ye dy ----==-⎰⎰⎰⎰，此时 011()()(1)22z y z z z f z F z e dy e -'===-⎰；○3 当2z >时，121220001()(1)1(1)2z x y x z zz F z dx e dy e dx e e -----==-=--⎰⎰⎰，此时 21()()(1)2zz z f z F z e e -'==-综上所述，Z =2X +Y 的概率密度函数为()z f z =122120(1)02(1)2zz z e z e e z ---<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩数 学（试卷二）一、（本题满分15分）【 同数学Ⅰ、第一题 】 二、（本题满分14分） (1)（6分）计算定积分2||2(||).x x x e dx --+⎰解：因||x xe-是奇函数，||||x x e -是偶函数，故原式=22||202||226.x x x e dx xe dx e --==-⎰⎰(2)（8分）【 同数学Ⅰ、第二题 】三、（本题满分7分）设函数(,,),yz f u x y u xe ==，其中f 有二阶连续偏导数，求 2.z x y∂∂∂解：121yz u f f f e f x x∂∂''''=⋅+=⋅+∂∂，2111312123()y y y y z f xe f e e f f xe f x y ∂'''''''''=⋅++⋅+⋅+∂∂. 四、（本题满分8分）【同数学Ⅰ、第四题 】 五、（本题满分12分）【 同数学Ⅰ、第五题 】 六、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第六题 】 七、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第七题 】 八、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第八题 】 九、（本题满分8分）【 同数学Ⅰ、第九题 】 十、（本题满分6分）设12,λλ为n 阶方阵A 的特征值，12λλ≠，而21,x x 分别为对应的特征向量，试证明：21x x +不是A 的特征向量.证：假若21x x +是A 的特征向量，设其对应的特征值为3λ，则有12312()()A x x x x λ+=+， 即123132Ax Ax x x λλ+=+. 又由题设条件知111Ax x λ=，222Ax x λ=，故有131232()()0x x λλλλ-+-=.因21,x x 是属于不同特征值的特征向量，所以21,x x 线性无关， 从而13λλ=，且13λλ=，此与12λλ≠矛盾！因此21x x +不是A 的特征向量.数 学（试卷三）一、填空题（每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上） (1)设)1ln(ax y +=, 其中a 为非零常数，则22)1(,1ax a y ax ay +-=''+='.(2)曲线y arctgx =在横坐标为1点处的切线方程是4221-+=πx y ； 法线方程是4/)8(2++-=πx y .(3)积分中值定理的条件是()[,]f x a b 在闭区间上连续，结论是[,],()()()baa b f x dx f b a ξξ∃∈=-⎰使得(4) 32()1nn n lin e n -→∞-=+.(5)⎰='dx x f )(c x f +)(；⎰'badx x f )2(＝)2(21)2(21a f b f -. 二、（本题满分6分） 求极限 011lim()1x x xe →--解：200000111111lim()lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→------=====--. 三、（本题满分7分）设⎩⎨⎧-=-=)cos 1(5)sin (5t y t t x ，求 22,.dy d y dx dx 解：因5sin ,55cos dy dx t t dt dt ==-，5sin )sin 5(1cos 1cos dy t t dx t t ==--（0+），故t tdx dy cos 1sin -=，且222sin 1()1cos 5(1cos )d y d t dtdx dt t dx t =⋅=---四、（本题满分8分） 计算定积分⎰1arcsin xdx x .解：2211121000111arcsin arcsin 2242x xdx x x π=-=-⎰⎰⎰，令sin x t =，有22120sin cos cos 4t tdt t ππ==⎰⎰，因此101arcsin 4248x xdx πππ=-⋅=⎰. 五、（本题满分8分）设D 是曲线sin 1y x =+与三条直线0x =,π=x ,0y =围成的曲边梯形.求D 绕x 轴旋 转一周所生成的旋转体的体积.解：223(sin 1)42V x dx ππππ=+=+⎰. 六、证明题（本题满分10分）(1)（5分）若()f x 在(,)a b 内可导，且导数)(x f '恒大于零，则()f x 在(,)a b 内单调增加. 证：12,(,)x x a b ∀∈，不妨设12x x <，则()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，故由拉格朗日中值定理，12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂，使得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-. 由于)(x f '在(,)a b 内恒大于零，所以()0f ξ'>，又210x x ->，因此21()()0f x f x ->， 即21()()f x f x >，表明()f x 在(,)a b 内单调增加.(2)（5分）若()g x 在x c =处二阶导数存在，且0)(='c g ,0)(<''c g ，则()g c 为()g x 的一个极大值.证：因()()()lim 0x c g x g c g c x c →''-''=<-，而0)(='c g ，故()lim 0x c g x x c→'<-.由极限的保号性，0δ∃>，当(,)x c c δ∈-时，有()0g x x c '<-，即()0g x '>，从而()g x 在(,)c c δ-单增；当(,)x c c δ∈+时，有()0g x x c'<-，即()0g x '<，从而()g x 在(,)c c δ-单减.又由0)(='c g 知，x c =是()g x 的驻点，因此()g c 为()g x 的一个极大值.七、（本题满分10分）计算不定积分⎰+x b x a dx2222cos sin ( 其中,a b 为不全为零的非负数 )解：① 当0a =时，原式=22211sec tan xdx x c b b =+⎰；②当0b =时， 原式=22211c cot cs xdx x c a a=-+⎰；③当0ab ≠时，原式=22222(tan )sec 11arctan(tan )tan (tan )1ad x xdx a b x c a a x b ab ab bx b==+++⎰⎰.八、（本题满分15分） (1)（7分）求微分方程y x dxdyx-=，满足条件0|2==x y 的解． 解：原方程即11dy y dx x+=，故其通解为11211()()2dx dx xx y e e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰.因0|2==x y ，所以1c =-.于是所求初值问题的解为xx y 12-=.(2)（8分）求微分方程 x e x y y y =+'+''2的通解.解：由特征方程2210r r ++=，知其特征根根为1,21r =-.故对应齐次方程的通解为12()x y C C x e -=+ ，其中12,C C 为任意常数.设原方程的特解为*()()x y x e ax b =+，代入原方程可得a =14，b =-14. 因此，原方程的通解为*212()()x y x y y C C x e -=+=++ 14(1)x x e -. 九、选择题（每小题4分，满分16分） (1).+∞<<∞=x ex x x f x-,sin )(cos 是（D ）（A ）有界函数 （B ）单调函数 （C ）周期函数 （D ）偶函数(2). 函数()sin f x x x - (D)（A ）当∞→x 时为无穷大 （B ）当∞→x 时有极限 （C ）在),(+∞-∞内有界（D ）在),(+∞-∞内无界(3)设()f x 在x a =处可导，则xx a f x a f x )()(lim 0--+→等于(B)（A ）)(a f '（B ）)(2a f '（C ）0（D ）)2(a f '(4)【 同数学Ⅰ、第五（2）题 】十、（本题满分10分）在第一象限内，求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.解：设切点的横坐标为a ，则切线方程为2(1)2()y a a x a --=--，即221y ax a =-++故所围面积2312201112(1)(1)224243a a a s a x dx a a +=+--+=++-⎰. 令0s '=得驻点a =.由于0a s ''>，故所求点的坐标为2)3，其最小值为a s =23.数 学（试卷四）一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1) 10lim xx e →=∞（ ⨯ ） (2)4sin 0x xdx ππ-=⎰（ √）(3)若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均发散，则级数1()nn n ab ∞=+∑必发散（ ⨯ ）(4)假设D 是矩阵A 的r 阶子式，且含D 的一切1r +阶子式都等于0，那么矩阵A 的一切1r +阶子式都等于0（ √） (5)连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0（ √）二、选择题（每小题2分，满分10分.）(1)下列函数在其定义域内连续的是(A)（A ）()ln sin f x x x =+（B ）⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx xx f （C ）⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001)(x x x x x x f （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001)(x x xx f (2)若函数f(x)在区间(,)a b 内可导，21,x x 是区间内任意两点，且21x x <，则至少存一点ξ，使得（C ）(A)()()()(),f b f a f b a a b ξξ'-=-<<. (B) 111()()()(),f b f x f b x x b ξξ'-=-<<.(C) 212112()()()(),f x f x f x x x x ξξ'-=-<<. (D) 222()()()(),f x f a f x a a x ξξ'-=-<<. (3)下列广义积分收敛的是（C ）（A ）dx xxe⎰∞+ln （B ）⎰∞+exx dx ln （C ）⎰+∞ex x dx 2)(ln （D ）⎰∞+exx dx ln (4)设A 是n 阶方阵，其秩r < n ， 那么在A 的n 个行向量中(A)(A)必有r 个行向量线性无关(B)任意r 个行向量线性无关(C)任意r 个行向量都构成极大线性无关向量组(D)任意一个行向量都可以由其它r 个行向量线性表示(5)若二事件A 和B 同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则(C)(A)A 和B 互不相容（互斥）(B)AB 是不可能事件(C)AB 未必是不可能事件(D)P (A )=0或P (B )=0三、计算下列各题（每小题4分，满分16分） (1)求极限xxx xe 10)1(lim +→.解：因 1ln(1)(1)x xe x xxxe e ++=， 而ln(1)x x xe xe x+ （当0x →）， 故 000ln(1)lim lim lim 1x x x x x x xe xe e xx →→→+===， 从而 10lim(1)x xx xe e →+=.(2)已知1111ln 22++-+=x x y ， 求y '.解：1)1)y =-，y '=-=212xx +. (3)已知y x yx arctg z -+=，求dz .解：222()()()()()()1()1()x y x y dx dy x y dx dy d x y x y dz x y x y x y x y+-+-+---==++++--22ydx xdy x y -+=+(4)求不定积分dx ex ⎰-12.解：t =，有1)t t t t t e tdt te e dt te e c c==-=-+=+⎰⎰⎰四、（本题满分10分）考虑函数sin y x = )2/0(π≤≤x ，问：(1)t 取何值时，图中阴影部分的面积1s 与2s 之和21s s s +=最小？(2 ) t 取何值时，21s s s +=最大？解：因10sin sin sin cos 1ts t t xdx t t t =-=+-⎰，22sin ()sin cos sin sin 22t s xdx t t t t t t πππ=--=+-⎰，故122sin 2cos sin 12s s s t t t t π=+=+--,(0)2t π≤≤.令0s '=，得s 在(0,)2π内的驻点4t π=.而()14s π=，()122s ππ=-，(0)1s =，因此 4t π=时，s 最小；0t =时，s 最大.五、（本题满分6分）将函数231)(2+-=x x x f 展成x 的级数，并指出收敛区间. 解：因111111()(2)(1)121212f x xx x x x x ==-=-⋅------，而011nn x x ∞==-∑，(1,1)x ∈-， 且0011()2212n n n n n x x x ∞∞====-∑∑，(2,2)x ∈-，故1100111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====+=+∑∑∑，其收敛区间为(1,1)-.六、（本题满分5分） 计算二重积分2x De dxdy ⎰⎰，其中D 是第一象限中由直线y x =和3x y =围成的封闭区域.解：联立y x =和3x y =，可解得两曲线交点的横坐标0x =和1x =，于是22231130()12xx x x Dxe e dxdy dx e dy x x e dx ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰七、（本题满分6分）已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性为 33p -=η，而市场对商品的最大需求量为1 （万件），求需求函数.解：由弹性的定义，有33p dx p x dp =-，即23dxp dp x=-， 于是有 3px ce -=，c 为待定常数.由题意 0p =时，1x =，故1c =，因此3p x e -=.八、（本题满分8分）解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x 【123431820160x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数】 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有2143410103101130120831101000167073300000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭故原方程组与下方程组同解：132343826x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，令30x =，可得原方程组的特解(3,8,0,6)T β=-.又显然原方程组的导出组与下方程组同解：1323420x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，令31x =，可得导出组的基础解系(1,2,1,0)T η=-. 因此原方程组的通解为：1234(,,,)(3,8,0,6)(1,2,1,0)T T x x x x k =-+-，其中k 为任意常数.九、（本题满分7分）设矩阵A 和B 满足2AB A B =+，求矩阵B ，其中A =423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.解：因2AB A B =+，故2AB B A -=，即(2)A E B A -=，故1(2)B A E A -=-=3862962129--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭十、（本题满分6分） 求矩阵A =312014101--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的实特征值及对应的特征向量.解：令0E A λ-=，即2(1)(45)0λλλ-++=,可见矩阵A 只有一个实特征值1λ=.易见，线性方程组()0E A X λ-=的基础解系为(0,2,1)T ，故A 对应于实特征值1λ=的特征向量为(0,2,1)T k ，（其中k 为非零任意常数）.十一、（每小题4分，满分8分）(1)已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======，试写出X 的分布函数()F x .解：X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x . (2)已知随机变量Y 的概率密度为000)(2222<≥⎪⎩⎪⎨⎧=-y y e y f a y a y , 求随机变量YZ 1=的数学期望EZ .解：222222200111()()y y a a y EZ E f y dy edy dy Yy y a --+∞+∞+∞-∞===⋅==⎰⎰⎰. 十二、（本题满分8分）设有两箱同种零件.第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装有30件，其中18件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求:(1)先取出的零件是一等品的概率p ；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q .解：设i B ={取出的零件为第i 箱中的}，j A ={第j 次取出的是一等品}，,1,2i j =， 显然12,B B 为正概完备事件组，故全概公式得(1) 11112121101182()()()()()2502305p P A P B P A B P B P A B ==+=⋅+⋅=；(2) 1211212122110911817276()()()()()25049230291421P A A P B P A A B P B P A A B ⨯⨯=+=⋅+⋅=⨯⨯， 于是，由贝叶斯公式得q =12211()690()0.48557()1421P A A q P A A P A ===≈.数 学（试卷五）一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1)【 同数学Ⅳ 第一（1）题 】(2)【 同数学Ⅳ 第一（2）题 】(3)若函数()f x 在区间(,)a b 严格单增，则对区间(,)a b 内任何一点x 有()0f x '>. （ ⨯ ） (4)若A 为n 阶方阵，k 为常数，而A 和kA 为A 和kA 的行列式，则kA k A =. （ ⨯ ） (5)【 同数学Ⅳ 第一（5）题 】二、选择题（每小题2分，满分10分）(1)【 同数学Ⅳ 第二（1）题 】(2)【 同数学Ⅳ 第二（2）题 】(3)【 同数学Ⅳ 第二（3）题 】(4)【 同数学Ⅳ 第二（4）题 】(5)对于任二事件A 和B ，有()P A B -=(C)(A)()()P A P B -(B)()()()P A P B P AB -+(C)()()P A P AB -(D))()()(B A P B P A P --三、计算下列各题（每小题4分，满分20分）(1)求极限1ln(1)limx x arctgx→+∞+. 解：11ln(1)lim ln(1)0lim0lim /2x x x x x arctgx arctgx π→+∞→+∞→+∞++===(2)【 同数学Ⅳ 第三（2）题 】(3)【 同数学Ⅳ 第三（3）题 】(4)计算定积分dxex ⎰-12112解：t =，有111111021tt t te tdt tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰(5)求不定积分⎰++5224x x xdx.解：22422221(1)11arctan 252(1)242xdx d x x c x x x ++==+++++⎰⎰. 四、（本题满分10分）考虑函数2y x =，10≤≤x ，问：(1)t 取何值时，图中阴影部分的面积(与数学Ⅳ第四题类似)1s 与2s 之和21s s s +=最小？ (2 ) t 取何值时，21s s s +=最大？解：132223212041(1)33tts s s t x dx x dx t t t t =+=-+--=-+⎰⎰，(01)t ≤≤令0s '=，得(0,1)内的驻点12t =. 而11()24s =，1(0)3s =，2(1)3s =，因此 12t =时，s 最小；1t =时，s 最大.五、（本题满分5分）【 同数学Ⅳ 第六题 】 六、（本题满分8分）设某产品的总成本函数为21()40032C x x x =++，而需求函数为xp 100=，其中x 为产量（假定等于需求量）,p 为价格. 试求：（1）边际成本； （2）边际收益； （3）边际利润； （4）收益的价格弹性.解：（1）边际成本：()3MC C x x '==+；（2）收益函数：()R x p x =⋅=()MR R x'==；（3）利润函数：21()()()40032L x R x C x x x =-=--， 边际利润：()3ML L x x'==--；（4）收益的价格函数：2(100)()R x p==，收益的价格弹性：2222(100)1(100)p dR p R dp p =-⋅=-. 七、（本题满分8分）【 同数学Ⅳ 第八题 】 八、（本题满分7分）【 同数学Ⅳ 第九题 】 九、（本题满分6分）【 同数学Ⅳ 第十题】十、（本题满分8分）已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======， 试写出X 的分布函数()F x ，并求X 的数学期望与方差.解：X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x ， 10.220.330.5 2.3EX =⨯+⨯+⨯=；222210.220.330.5 5.9EX =⨯+⨯+⨯=222() 5.9 2.30.61DX EX EX =-=-=十一、（本题满分8分）【 同数学Ⅳ 第十二题】。
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
则逆矩阵 ( A
2I )1
012
1
2 0
0 1
二、选择题 (本题满分 15 分，每小题 3 分)
(1) 当 x 0 时，曲线 y x sin 1 x
(A) 有且仅有水平渐近线；
(B) 有且仅有铅直渐近线.
(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线； (D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线.
(2) 已知曲面 z 4 x2 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x 2 y z 1 0 ，则点 P 的
1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准 数 学（试卷一）
一、填空题 (本题满分 15 分，每小题 3 分)
(1) 以知 f (3)=2,则 lim f (3 h) f (3) -1
h0
2h
1
(2) 设 f (x) 是连续函数，且 f (x) x 2 f (t)dt ，则 f (x) x 1 . 0
0
0
0
即 f (x) f (x) sin x ，
„„2 分
这是二阶常系数非齐次线性微分方程,初始条件为 y |x0 f (0) 0, y |x0 f (0) 1.„„3 分
其对应齐次方程的通解为 y C1 sin x C2 cos x .
„„4 分
设非齐次方程的特解 y* x(asin x bcos x),可得 a 0,b 1 ；于是 y* x cos x . „„5 分
„„2 分
„„5 分 „„6 分
五、(本题满分 7 分)
x
设 f (x) sin x (x t) f (t)dt ,其中 f 为连续函数，求 f (x) . 0
x
x
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全国硕士研究生入学统一考试资料答案附后
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2015年全国硕士研究生入学统一考试
管理类专业学位联考综合能力考试大纲
I.考试性质
综合能力考试是为高等院校和科研院所招收管理类专业学位硕士研究生而设置的具有选择性质的全国联考科目，其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读专业学位必需的基本素质、一般素质和培养潜能，评估的标准是高等学校本科毕业生所能达到的及格或及格以上水平，以利于高等院校和科研院所在专业上择优选拔，确保专业学位硕士研究生的招生质量。
II.考察目标
1.具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力。
2.具有较强的分析、推理、论证等逻辑思维能力。
3.具有较强的文字材料理解能力、分析能力以及书面表达能力。
III.考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
1.试卷满分为200分，考试时间为180分钟
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
不允许使用计算器。
三、试卷内容与题型结构
数学基础 75分，有一下两种题型：问答求解 15小题，每小题3分，共45分条件充分性判断 10小题，每小题3分，共30分
逻辑推理 30小题，每小题2分，共60分
写作 2小题，其中论证有效性分析30分，论说文35分，共65分。