应用数理统计作业答案

应用数理统计课后答案
1 x(1) , 即 1 x( n ).
ˆ x 1, x 1. 解得 的极大似然估计值： ( n) (1) ˆ X 1, X 1. 则 的极大似然估计量： ( n) (1)
5.解： （1） 由题意可知 X ~ N ( , 2 ) 由极大似然估计的不变性可知： ˆ t t P( X t ) ( ) ( ). ˆ 现只需对 、 进行极大似然估计。
综上所述：
y b 1 e a ， FY ( y ) 0，
y b， y b.
FY ( y ) P{Y y} P{X 2 y}
当y 0时， FY ( y ) 0. 当y 0时， FY ( y ) P{ y x
2 0 .1 (15) 22.307.
2 0 ( z0.995 199 ) 2 66.4 7 . 9 .995 (100)
1 2
（3） （4）
： t0.9 (10 ) 1.3722 , ： F0.9 (18,7)
t0,99 (6) 3.1 4 2,7
t0.95 (60 ) z0.95 0.5 1 9 .9
应用数理统计课后答案
第一章
3.解：
概率论基础
10 6 26 （ 1）P{2 X 10} P{ X 10} P{ X 2} ( ) ( ) 5 5 2 (0.8) 1 0.5672
P{ X 5} 1 P{ X 5} 1 - ( 56 ) (0.2) 0.5 7 9 3 5
i 1
n 1

E{c ( X i 1 X i ) 2 } 2
i 1
n 1 i 1 n 1 i 1 n 1 i 1
n 1
即：E{c ( X i 1 X i ) 2 } c E ( X i 1 X i ) 2 c [ E ( X i21 ) E ( X i2 ) 2 E ( X i 1 ) E ( X i )] c [ 2 2 2 2 2 2 ] 2c(n 1) 2 2
Cov( , ) acCov( X , Y ) XY D ( ) D ( ) ac D ( X ) D (Y )
15.证明：
X i ~ P(i )i 1， 2. X i的特征函数为
X (t ) e ( e
i i
it
1)
根据特征函数的性质（ 2）得：
( x ) }.
2 i 1 i
n
对数似然函数：
n n 1 ln L( , ) ln( 2 ) ln( 2 ) 2 2 2 2
2
(x )
i 1 i
n
2
对 , 2 求导并令其为零，即得对数似然方程组：
ln L 1 n 2 [ xi n ] 0 i 1 n ln L n 1 ( xi ) 2 0 2 2 2 2 2 2( ) i 1
对数似然函数：
ln L( ) n ln( 1) ln xi .
i 1
n
对 求导并令其为零，即得对数似然方程：
n d ln L( ) n ln xi 0. d 1 i 1
ˆ 解得 的极大似然估计值：
n
ln x
i 1
n
1.
1 1 0.48 . F0.1 (7， 18 ) 2.08
F0.99 (7,10 )
1 1 0.15 . F0.01 (10 ,7) 6.62 1 1 0.34 . F0.05 (10 ,10 ) 2.98
F0.95 (10 ,10 )
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设 X 1 , X 2 , , X n . 为抽自总体 X 的样本， x1 , x 2 , , xn . 是样本的一个观测值，则似 然函数：
n
L( ) e xi n e
i 1
n

xi
i 1
.
( xi 0, i 1,2, n)
对数似然函数：
ln L( ) n ln xi .
i 1
n
对 求导并令其为零，即得对数似然方程：
d ln L( ) n n xi 0. d i 1
ˆ 1. 解得 的极大似然估计值： x
ˆ 1 . 则 的极大似然估计量： X
1 , (5) f ( x; ) 2 0,
矩估计：
1
y } P{x
y } P{x y } P{x
y } F ( y ) 1 e
y
综上所述：
1 e y， FY ( y ) 0，
y 0， y 0.
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14.证明：
Cov( , ) Cov(aX b, cY d ) acCov( X , Y ) D( ) D(aX b) a 2 D( X )同理：D( ) c 2 D(Y )
1 x 1,
其他.
E( X )
1 xdx . 1 2
ˆ X. 令 E( X ) X 解得 的矩估计为：
极大似然估计： 设 X 1 , X 2 , , X n . 为抽自总体 X 的样本， x1 , x 2 , , xn . 是样本的一个观测值，则似 然函数：
n 1 1 L( ) n . 2 i 1 2
( 1 xi 1, i 1,2, n)
由于似然函数是与 无关常数，所以不能通过求解似然方程来求解。下面构造顺 序统计量：
1 x(1) x( 2 ) x( n ) 1.
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11.解：由题意知： X i ~ N (0,0.52 ) 标准化可知： 2 X i ~ N (0,1) 则： T 4 X i 2 ~ 2 (10)
i 1 10
i 1,210 i 1,210
P{ X i 4} P{T 16} (10 ) 16
x (， 3)， x [3， - 2.6)， x [2.6， - 1)， x [-1， 0.5)， x [0.5， 1)， x [1， 2.2)， x [2.2， 2.5), x [2.5， 3)， x [3， )
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i
ˆ 则 的极大似然估计量：
n
ln X
i 1
n
1.
i
e x , (3) f ( x; ) 0,
矩估计：
1 E ( X ) x e x dx . 0
x 0, x 0.

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ˆ 1 . 令 E( X ) X 解得 的矩估计为： X 极大似然估计：
1 e x， F (x) 0，
x 0， x 0.
(1) FY ( y) P{Y y} P{aX b y} P{ X
y b y b }(a 0) F ( ) a a
y b y b 当 0，即y b时，FY ( y ) 1 e a . a 当 y b 0，即y b时，F ( y ) 0. Y a
16.解： （1） ： z0.9 1.28 ，
z0.975 1.96 ，
z0.995 2.58 . z0.005 2.58 .
z0.999 3.10
（2）
2 ： 0 .025 (8) 17.535, 2 0 , .95 (18) 9.391
z 0.1 1.28
第三章 参数估计
1.解：
( 1) x , (1) f ( x; ) 0,
矩估计：
0 x 1, 其他.
其中 1为未知参数.
E ( X ) x( 1) x dx
0
1
1 2
2 X 1 1 X
ˆ 令 E( X ) X 解得 的矩估计为：
2 sn
由（1）的可知：
1.2 1.006 P{x 1.2} 1 P{x 1.2} 1 ( ) 1 (1.59) 1 0.94408 0.05592 0.122 所以该星期生产的灯泡能使用 1.2kh 以上的概率为 0.05592.
6.解： c ( X i 1 X i ) 2是 2的无偏估计
ˆ Sn 由极大似然估计的不变性可知：
则 P( X t ) ( （2）
t

) (
ˆ t tX ) ( ). ˆ Sn
x1
1.07
x1
0.95
x1
1.20
x1
0.80
x1
1.13
x1
0.98
x1
0.90
x1
1.16
x1
0.92
x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0.95
x
1 10 1.07 0.95 1.20 0.92 0.95 xi 1.006 10 i 1 10 1 10 ( xi x) 2 0.014884 sn 0.122 10 i 1
f ( x; , ) 1 ( x )2 exp{ } 2 2 2
设 X 1 , X 2 , , X n . 为抽自总体 X 的样本， x1 , x 2 , , xn . 是样本的一个观测值，则似 然函数：
n
L( , )
2 i 1
( xi ) 2 1 1 1 exp{ } exp{ 2 n 2 2 2 2 (2 2 ) 2
(2) P{ X d } 0.5 1 P{ X d } 0.5 P{ X d } 0.5 d 6 ) 0.5 d 6 5 即d至多为 6. (
5.解：∵ X ~ E ( ) ∴
e x， f ( x) 0，
x 0， x 0.

Xi
i 1
2
(t ) e i1
i ( eit 1)
2
根据特征函数的性质（ 5）得： X 1 X 2 ~ P (1 2 )
第二章 数理统计的基本概念
8. 解：设 X 为样本， x 为样本的观测值。由于数据已经按照从小到大的顺序排列，
于是经验分布函数为：
0， 1 ， 8 1 ， 4 3 ， 8 1 Fn ( x ) ， 2 5 8 ， 3， 4 7 ， 8 1，
2 2 i 1
10
经查附表 3，可得 0.10. 12.解：
由P54定理2.4.1推广可知： E ( X ) , D( X )
X i ~ E ( )
2
n
, E (S 2 ) 2 .
E( X )
1

, D( X )
1 1 , E (S 2 ) 2 . 2 n
极大似然估计：
设 X 1 , X 2 , , X n . 为抽自总体 X 的样本， x1 , x 2 , , xn . 是样本的一个观测值，则似 然函数：
L( ) ( 1)xi ( 1) n xi .
i 1 i 1
n
n
(0 xi 1, i 1,2, n)
解得 , 2 的极大似然估计值：
1 n ˆ xi x n i 1 1 n 2 ˆ 2 ( xi x) 2 sn n i 1
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则 , 2 的极大似然估计量：
1 n ˆ Xi X n i 1 1 n 2 ˆ 2 ( X i X )2 Sn n i 1