菲涅尔衍射

S
上式是惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式. 菲涅耳给出的形式是:
ewenku.baidu.com~ ~ U ( P) K U 0 (Q)F ( 0 , ) ds r S
ikr
e ~ ~ U ( P) K U 0 (Q)F ( 0 , ) ds r S
K是比例常数
K i
ikr


exp( i / 2)
k 1
Ak
解释：
1.波带数k为奇数，亮点；k为偶数，暗点。
A 2. 自由传播始终亮点。 k , Ak 0, Ap 1 2
3.圆孔大小只能在p点看见一个半波带，也是亮点。
k 1, Ak A1 , Ap A1
4.如果是圆屏，前k个半波带被遮住，总是亮点。
1 Ap Ak Ak 1 2 k 1
r0 增加
r0 → ∞
孔的投影 （光直线传播）
菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射
圆孔的衍射花样
圆屏的衍射花样
（3）惠更斯—菲涅耳原理
惠更斯原理:
波前上任一点都可看作次级子波源,发出球 面次波,它们的包络面为下一时刻新的波前.
•
平面波
球面波
菲涅耳吸取了惠更斯的次级子波的概念和杨 氏的相干叠加的思想，提出了惠更斯—菲涅耳 原理.
U1, U2, U3,….Uk是各个半波带发出次波在P点产生的复振幅, K个半波带发出的次波在P点叠加后复振幅UP
U 1 A1e i , U 2 A2 e i ( ) ,
U p Aje
j 1 k i [ ( j 1) ]
U k Ak e i [ ( k 1) ]
Bk
k
B0

O R
h
r0

rk
P
球冠面积公式
S 2 Rh
dS 2 R2 sin d
2
第k个半波带对应的球冠面积是
S 2 R R(1 cos )
R ( R r0 ) rk cos 2 R( R r0 )
2 2
rk drk sin d R( R r0 )
k 2 焦距：R , f ' r0 k
次焦距：f '/ 3，f '/ 5， ...
Homework
2.3
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O
4)讨论
0
（3）自由传播时，螺旋线旋绕到圆心 C。合成矢 1 A 量 0为第一个半圆的半径 A0 ( P0 ) A1 ( P0 )
2
5）例题： 求圆孔包含1/2个半波带时轴上点P0处的衍射强度 解：此时园孔露出部分是 半个半波带 首尾矢量的位相差是
光强为自由传播时的两倍
2)半波带方程
1）菲涅耳半波带 将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每 一带的边缘到P点的距离依此相差半个波长,这些 圆环带称为半波带
r0 3 / 2
r0
S
O R
r0 / 2
r0
P
在球面上，各次波波源初位相相等。 相邻半波带发出的次波到达P点时，光程差为 半个波长，位相差为 ，位相相反， 振动方向相反。
表述：
波前 S 上每一个面元 dS 都可以看作新的子 波源，发出球面子波.波场中任一点 p 的光振 动，是所有这些子波源在该点产生的光振动 的相干叠加.
用复振幅讨论p点 相干叠加.
dU 是由波前S 上的面元 dS 所发出的子波在 P
点产生的复振幅，则 S 面在P 点产生的总扰 动可表示为
~ ~ U ( P ) dU ( P )
Bk
O R

k
h B0
rk r0
P
考虑通过圆孔的波面包含的完整菲涅耳半波带的数目k
k rk (r0 h) rk r0 2r0 h
2 2 2 2 2
k R ( R h) rk (r0 h)
2 2 2 2
2
rk r0 h 2( R r0 )
▲
▲
现象 例1：圆孔衍射 衍射屏 S 观察屏 不但光线拐弯， 而且在屏上出现 明暗相间的条纹。 这是光具有波动 性的重要表现。
*

a
-3a
10
例2：单缝衍射 衍射屏 观察屏
S
L
L
光线同样拐弯，而且在屏上出现明暗相间的条纹。
例3：刀片边缘的衍射
例4：圆屏的衍射
注意刀片狭缝的衍射花样
注意阴影中央的 亮点（泊松点）
第 三 讲
§2.4 两列光波的干涉
1.两列球面波的干涉 2.杨氏干涉 3.平行波干涉
第二章 波动光学的基本概念(一)
Lecture 4
第 四 讲
§2.5-2.6 光的衍射现象和菲涅耳衍射 1.光的衍射现象和惠更斯-菲涅耳原理 2.菲涅耳圆孔和圆屏衍射
定义 光在传播过程中绕过障碍物的边缘偏离直线传播 而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强不均匀分布的现象 叫光的衍射。

U 0 (Q) 是Q点光振动的复振幅；
F ( ) ：称为倾斜因子， 是场点相对Q点面
元的方位角；0 是源点相对Q点面元 的方位角；
dU ( P) dS , ikr e r, F ( ).
cos 0 cos F ( ) . 2
2 菲涅耳圆孔和圆屏衍射
1．菲涅耳圆孔和圆屏衍射
第二章 波动光学的基本概念(一)
掌握光的相干条件,掌握双光束干涉光强分布
教 学 要 求
的特征
理解惠更斯-菲涅耳原理及菲涅耳积分表达式
的意义
理解菲涅耳的半波带理论及菲涅耳圆孔和圆
屏衍射
掌握夫琅和费单缝衍射的实验装置、光强分
布及衍射花样的特点
第二章 波动光学的基本概念(一)
Lecture 1
第 一 讲
Ap A2 k 1 , Ap A2 k
k k
例题
如果波带片共有5个奇数半波带， 求P点的复振幅?
解: Ap A1 A3 A5 A7 A9 5 A1
与自由传播时光强相差100倍。
可见波带片具有使光汇聚的作用。可以将半波带方程写成 如下形式
1 1 1 2k r0 R ( ) k
1）衍射装置
S

P0
R
b
~ mm量级
R ~ m 量级 b ~ 3m 5m
2）实验现象
衍射图样是亮暗相间的同心圆环， 中心点可能是亮的，也可能是暗的。 孔径变化，衍射图样中心的亮暗交替变化。 移动屏幕，衍射图样中心的亮暗交替变化 中心强度随 的变化很敏感，随距离 的 变化很迟缓。
圆屏的衍射图样也是同心圆环， 但衍射图样的中心总是一个亮点。
§2.1-2.2 光波的基本概念
一、定态光波场 定态平面波 定态球面波 二、傍轴条件 远场条件
第二章 波动光学的基本概念(一)
Lecture 2
第 二 讲
§2.3 光波的叠加和波的干涉
1. 光波的线性叠加原理 2. 波的干涉和相干条件 3. 干涉场的可见度
第二章 波动光学的基本概念(一)
Lecture 3
衍射现象
▲
衍射分类 障碍物 光源 S
观察屏
*
R
B
r0
P
（近场衍射） 1、菲涅耳（Fresnel）衍射 r0 和 R 中至少有一个是有限值。 （远场衍射） 2、夫琅禾费（Fraunhofer）衍射 r0 和 R 皆为无限大（也可用透镜实现）。
圆孔的衍射图样随 r0 的变化（R=∞）：
r0→ ∞
屏上 r0 很小 图形：
[ A1 A2 A3 A4 .... ( 1) k 1 Ak ]e i , Ap U p A1 A2 A3 A4 .... ( 1) k 1 Ak
根据惠更斯—菲涅耳原理
F ( k ) Ak Sk rk
Sk 是第k个半波带的面积, rk 是它到P点的距离
当drk =/2,dS Sk S k R rk R r0
Ak只与倾斜因子有关。
F ( k ) 随k的增加而缓慢减小,各个半波带在P
点产生的振幅相位逐个相差
A1 A3
A1
A5
A3
Ap
A5
Ap
A2
A2
Ap A1 A2 A3 A4 .... (1) 1 k 1 [ A1 (1) Ak ] 2

2）振幅矢量法
M Am

m
A
(1)将半波带分割成 m个更窄的小环带 (2)画出矢量图
O A3 A1 A2
方向逐个转过 m ，尾矢量刚好转过角度 （3）连接首尾矢量，得到合成矢量A，则 半波带 在P0点产生的光强为：I ( P ) A 2
0
（1）若被分割的是整个半波带， m 时 ,矢量图为半圆形 弧线，合成矢量 A1为半圆的直径。 （2）如果露出n个半波带 由于倾斜因子的影响，随半波带 Ak 0 序号的增长，每个半波带形成的 m 合矢量（半园的半径）逐渐收缩， 矢量图形成螺旋线。
2
2
2
2
rk r0 [r0 (k / 2)] r0 k r0
2 2 2
k
2
r0 R k 1 1 k k ( ) R r0 r0 R
k的奇偶性由r0决定。该式称为半波带方程。
4)菲涅耳波带片 用半波带将波面分割，然后只让其中的奇 数（或偶数）半波带透光，即制成波带片 。透过波带片的光，在场点位相相同，振 动方向相同，衍射后大大增强。由于入射 光是平面光，所以波带片可是做成平面型 的。此时在考察点的合振幅为