华东师大版八年级上册 数学 课件 14.1.3反证法 )

学习是件很愉快的事
2.已知：如图△ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上
求证：CD、BE不能互相平分
证明：假设CD、BE互相平分
A
D E
连结DE，故四边形BCED是
B
C
平行四边形
∴BD∥CE （平行四边形对边平行） 这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。 a小于或等于２ （3）a小于2。a大于或等（于２4）至少有2个 没有两个
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
一、复习引入
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关 系？为什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角
证明：假设a与b不平行，则 a
可设它们相交于点A。
b
A
那么过点A 就有两条直线a、c
b与直线c平行，这与“过直
线外一点有且只有一条直线
与已知直线平行矛盾,假设不
成立。
∴a//b.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理 、公理矛盾
例4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等
形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
A
b
c
Ca
B
二、探究
问题： 若将上面的条件改为“在
A
△ABC中，AB=c，BC=a，
AC=b,∠C≠90°”，请证明a2 +b2 ≠ c2
b
c
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛 盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
已知：在梯形ABCD中，AB//CD，
A
∠C≠∠D
求证：梯形ABCD不是等腰梯形.
D
证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 ∴∠C=∠D（等腰梯形同一底上
的两内角相等）
这与已知条件∠C≠∠D矛盾, 假 设不成立。
∴梯形ABCD不是等腰梯形.
B C
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
所以，李子是苦的
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿 了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
反证法的一般步骤:
wk.baidu.com
假设
假设命题结 论反面成立
假设命题结 论不成立
什么时候运用反证法呢？
所证命题 成立
推理得出 的结论
与已知条 件矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
证明真命题 的方法
直接证法
间接证法
反证法
华盛顿抓小偷
美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进 鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就 是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了 故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真 假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄 蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！” 大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂 赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝 一声：“小偷就是他！”
妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经过 a
● A，
点A和A’的直线有且只有一条，这与与
●
A
已知两条直线矛盾,假设不成立。
所以两条直线相交只有一个交点。 b
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理 、公理矛盾
例3已知：如图有a、b、c三条直线，且
a//c,b//c. 求证：a//b
感 受 则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
反 这与 已知AB≠AC
矛盾．
证 假设不成立．
法: ∴ ∠B ≠ ∠ C
．
A
B
C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻 辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
例2 求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不
（5）最多有一个 一个也没（有6）两条直线平行。 两直线相交
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么
这个三角形不是等腰三角形”的第一步
假设这个三角形是等腰三角形
。
４、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不 相等，那么这个梯形不是等腰梯形。
你知道华盛顿是如何推理的吗？
万事开头难，让我们走好第一步！
写出下列各结论的反面： （1）a//ba；∥b
（2）a≥0；a<0
（3）b是b是正0数或；负数 （4）aa不⊥垂b 直于b
谁来试一试！
1.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内 角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证 明你的猜想．
做一做
于60°。
已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°，
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60
。
∴ ∠A°+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，
即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立．
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
点拨：至少的反面是没有！
例6、用反证法证明：等腰三角形的底 角必定是锐角．
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论.
已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况：
发现知识：
Ca C
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的 反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理 矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做 反证法。
三、应用新知
尝试解决问题
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C，