电路分析基础向量分析法
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第八章向量法
i1 3+i2 i3
w
初相位：
I1 1 O
I2
I3
2
wt 3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
24
i1 2 I1 cos(wt 1 )
i2 2 I 2 cos(wt 2 )
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，
只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。
3
8.1
复数
一、复数的四种表示形式
• 代数形式 F = a+jb Re[ F ]= a • 三角形式 • 指数形式 • 极坐标形式 Im[ F ]= b
j
要求：熟练掌握复数 的四种表示形式及相 互转换，这对复数的 运算非常重要。
复数在复平面上的表示
F F (cos j sin )
Im
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
8
③旋转因子 复数
ej =cos +jsin =1∠
Im
F• ej
旋转因子
0
F• ej
F Re
9
特殊旋转因子
jF
Im
π , 2 π π e cos jsin j 2 2
F Fe
b |F|
F
F F
o a Re
4
F : 复数的模；：复数的辐角
几种表示法的关系：
Im
b
F a jb
F
F | F | e j | F |
|F|
Re
a o | F | a 2 b 2 b 或 a | F | cos θ arctan a b | F | sin
第3章正弦交流电路的向量分析法ppt课件
电工与电子技术
RI2T
直流电流I流过电阻时， 在相同时间消耗的能量
R Ti2dt 0 周期电流i 流过电阻时， 在相同时间消耗的能量。
有效值的定义式： I 1 T i 2 dt
T0
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
电工与电子技术
第三章正弦交流电路的向量分析法
3.1 正弦交流电压电流的相量 3.2 电路基本定律的相量形式 3.3 RLC串并联交流电路的分析 3.4 正弦交流电路的功率和功率因数 3.5 电路的谐振
a
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
复数四则运算回顾
电工与电子技术
（1）相等。任意一个复数 A 和B相等，则
A = B， a1 + j a2 = b1 + j b2 , a1 = b1 , a2 = b2 ,
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
注意：
电工与电子技术
• 工业上所说的电压和电流的值一般是指有效值，如电 工设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平 、耐压值指的是最大值
4. 视在功率
电路分析基础正弦量的相量向量法
基尔霍夫定律的相量形式 R、L、C元件VCR的相量形式
X
1.基尔霍夫定律的相量形式
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电 源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各 处的电压、电流都为同频率的正弦量。 KCL的时域形式：
i
k 1
K
k
0
j t K k 1
ik
k 1
K
j t Re[ I e ] Re[ I e km km ] k 1
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下正弦电源可以有多个但频率完全相同进入稳态时各处的电压电流都为同频率的正弦量
§7-2 正弦量的相量 相量法
北京邮电大学电子工程学院
退出
开始
内容提要
变换方法的概念 正弦量的相量表示 相量的线性性质和微分性质 相量图
X
1.变换方法的概念
2.65 求解指数方程： x 5 两边取对数 2.65lg x lg 5
du d j t i (t ) C C {Re[ 2Ue ]} dt dt j t Re 2(j CU )e
I
U
1 j C
X
2.R、L、C元件VCR的相量形式
I I i j CU j CU u I CU CU u 90 i u 90
X
3.相量的线性性质和微分性质
若： f ( t ) F F
d f ( t ) 则 ：f ( t ) j F F 90 dt
'
推广到 n 阶导数：
n d f (t ) ( n) f (t ) dt n
(j ) F
n
X
例题2 已知 i1 (t ) 5 2 cos( t 53.1ห้องสมุดไป่ตู้)A ,
X
1.基尔霍夫定律的相量形式
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电 源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各 处的电压、电流都为同频率的正弦量。 KCL的时域形式：
i
k 1
K
k
0
j t K k 1
ik
k 1
K
j t Re[ I e ] Re[ I e km km ] k 1
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下正弦电源可以有多个但频率完全相同进入稳态时各处的电压电流都为同频率的正弦量
§7-2 正弦量的相量 相量法
北京邮电大学电子工程学院
退出
开始
内容提要
变换方法的概念 正弦量的相量表示 相量的线性性质和微分性质 相量图
X
1.变换方法的概念
2.65 求解指数方程： x 5 两边取对数 2.65lg x lg 5
du d j t i (t ) C C {Re[ 2Ue ]} dt dt j t Re 2(j CU )e
I
U
1 j C
X
2.R、L、C元件VCR的相量形式
I I i j CU j CU u I CU CU u 90 i u 90
X
3.相量的线性性质和微分性质
若： f ( t ) F F
d f ( t ) 则 ：f ( t ) j F F 90 dt
'
推广到 n 阶导数：
n d f (t ) ( n) f (t ) dt n
(j ) F
n
X
例题2 已知 i1 (t ) 5 2 cos( t 53.1ห้องสมุดไป่ตู้)A ,
动态电路的向量分析法(精品)
实部： Re A Re(a1 ja2 ) a1 虚部： Im A Im( a1 ja2 ) a2 注意：虚部是指a2，而不是指ja2。
2、极坐标形式
复数A在复平面上可以用有向线段来表示。 在原点O与点A之间连一直线。把这直线的长 度记作a，称为复数A的模，模总是取正值。 在这直线A端加上箭头，把它和实轴正方向
且已知＝314rad / s，则对应的正弦电流为
i(t) 5cos(314 t 30o )A 初学者常易在u(t)与U m、i(t)与Im间划等号，这是错误的。 相量是正弦波的变换式，并非正弦波本身，这就好比５和lg5间
不能划等号是一样的。以电压为例，相量及其所对应的正弦 波之间的完整关系由（8－10）式表明。这一关系可用双箭 头符号表示。也就是说，若
(8 16) (8 17)
在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率 的正弦波。为适应使用相量进行正弦稳态分析的需要，下面 将导出这三种基本元件VCR的相量形式。
教学内容
§ 8-1 变换方法的概念 § 8-2 复数 § 8-3 振幅相量 § 8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 § 8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式 § 8-6 VCR相量形式的统一—阻抗和导纳的引入 § 8-7 正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比—
相量模型的引入
§ 8-8 正弦稳态混联电路的分析 § 8-9 相量模型的网孔分析和节点分析 § 8-10 相量模型的等效 § 8-11 有效值 有效值相量 § 8-12 两类特殊问题 相量图法
时，常称为相量。相量只是一个复数，但它具有特殊的意义， 它是代表一个正弦波的，为了与一般的复数有所区别，在这相 量的字母上端需加一点。
变换简单易行。例如，已知
2、极坐标形式
复数A在复平面上可以用有向线段来表示。 在原点O与点A之间连一直线。把这直线的长 度记作a，称为复数A的模，模总是取正值。 在这直线A端加上箭头，把它和实轴正方向
且已知＝314rad / s，则对应的正弦电流为
i(t) 5cos(314 t 30o )A 初学者常易在u(t)与U m、i(t)与Im间划等号，这是错误的。 相量是正弦波的变换式，并非正弦波本身，这就好比５和lg5间
不能划等号是一样的。以电压为例，相量及其所对应的正弦 波之间的完整关系由（8－10）式表明。这一关系可用双箭 头符号表示。也就是说，若
(8 16) (8 17)
在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率 的正弦波。为适应使用相量进行正弦稳态分析的需要，下面 将导出这三种基本元件VCR的相量形式。
教学内容
§ 8-1 变换方法的概念 § 8-2 复数 § 8-3 振幅相量 § 8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 § 8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式 § 8-6 VCR相量形式的统一—阻抗和导纳的引入 § 8-7 正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比—
相量模型的引入
§ 8-8 正弦稳态混联电路的分析 § 8-9 相量模型的网孔分析和节点分析 § 8-10 相量模型的等效 § 8-11 有效值 有效值相量 § 8-12 两类特殊问题 相量图法
时，常称为相量。相量只是一个复数，但它具有特殊的意义， 它是代表一个正弦波的，为了与一般的复数有所区别，在这相 量的字母上端需加一点。
变换简单易行。例如，已知
电路关于向量法的研究
内蒙古师范大学本科生学年论文题目：相量法在电路中的应用分析学号：20101106316姓名：王菲菲专业：电子信息科学与技术指导教师：张珏2011年5月15日物理与电子信息学院学年论文相量法在电路中的应用分析王菲菲（学号：20101106316）（物理与电子信息学院 10级电子信息科学与技术班,内蒙古呼和浩特 010022）指导老师：张珏摘要：在线性电路的分析中，有很多问题是求电路的稳态解。
相量分析法就是为了简化正弦稳态电路的分析计算而引入的一种电路求解方法。
相量分析法不仅适用于本章只有一种频率的正弦交流电路的分析与计算，同时，它也可推广应用于多个不同频率的正弦激励的线性电路。
关键词：相量分析法；欧姆定律；复功率；复数；正弦中图分类号：TM131.4相量分析法的数学基础是复数运算，因此在研究相量分析法之前，应简要复习复数的概念及其运算法则，并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系，为应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。
1 复数的概念1.1虚数单位参见图1给出的直角坐标系复数平面。
在这个复数平面上定义虚数单位为虚数单位j又叫做90°旋转因子。
向量法在电路中的应用分析图1在复平面上显示复数1.2复数的表达式一个复数Z有以下四种表达式：1.2.1 直角坐标式(代数式)式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。
任意一个复数都可以在复平面上表示出来。
例如复数A=3+j2在复平面上的表示如图1所示。
1.2.2 三角函数式在图1中，复数Z与x轴的夹角为θ，因此可以写成式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即：θ叫作复数Z的辐角，从图1中可以看出复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。
1.2.3 指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即物理与电子信息学院学年论文1.2.4 极坐标式 (相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。
《电路向量法》课件
相量图与波形图的转换
1 2
将相量图转换为波形图
根据相量图的长度和角度，绘制各元件的电压和 电流波形图。
将波形图转换为相量图
根据电压和电流的波形图，确定各元件的相量图 。
3
分析转换结果
比较相量图和波形图的计算结果，验证电路分析 的正确性。
06
习题与解答
习题一：向量法基础知识
题目
什么是向量？向量有哪些基本性质？
向量的基本概念
详细描述
向量可以用几何表示法和代数表 示法来表示，几何表示法包括有 向线段和向量模，代数表示法则 使用坐标和分量表示。
总结词：向量的定义、向量的表 示方法、向量的模。
向量定义为具有大小和方向的量 ，通常用有向线段表示，箭头表 示方向，长度表示大小。
向量的模是指向量的长度或大小 ，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$ 。
标明向量长度和角度
根据电压和电流的实际值，标明向量图的长度和角度。
向量图的分析与计算
计算电压和电流
01
根据向量图的长度和角度，计算各元件的电压和电流。
分析功率
02
根据向量图，分析各元件的功率关系，判断是否符合能量守恒
定律。
判断电路状态
03
通过向量图的分析，判断电路的工作状态，如是否处于稳态或
暂态。
稳态工作状态。
相量法
将正弦波表示为复数形式，即 相量，用于简化分析和计算。
阻抗
正弦稳态下，电路中的元件对 电流的阻碍作用，用复数表示 。
功率
正弦稳态下，电路中元件吸收 或发出的功率，计算公式为 P
= I * V * cos(theta)。
功率计算与功率因数
功率因数
正弦稳态电路向量分析方法
•
U ab
•
Va
I sa Gaa
1
jX L 1
jX C 1
j5
j4 155.3 155.38 V
1 1 1
R jX L jX C
5 j5 j4
因为 •
•
•
•
•
•
U ab I1 . jX L U s1 I 2 .( jXC ) U s2 I 3 .R
则
•
•
•
I1
U s1 V a
1000
0
•
•
10090 I 3 .5 I 2 .( j4) 0 对以上方程求解得：
•
I1 49.94 74.98 A，
•
I 2 54.23139.4 A，
•
I 3 31.06 155.38 A。
（2）运用节点电位法求解
设b点为参考点，由弥尔曼定理可得
•
•
•
U s1 U s2
1000 10090
1．功率因数
由图5-54所示的功率三角形可知 cos P
S
式中 cos 称为功率因数，用 表示，即 cos ，而φ称为
功率因数角。功率因数表征了电能的利用率，当视在功率一定时，功 率因数越大，用电设备的有功功率越大，无功功率越小，电能利用率 越高。
2．提高功率因数的一般方法 实际应用中，功率因数不高的原因，主要是由于大量电感性负载
5-52所示。
设 u＝ 2U sin(t ) ， i＝ 2I sint ，则该无源网络的瞬时
功率为 p ui＝ 2U sin(t ). 2I sint
＝2UI sin(t ).sint ＝UI cos UI cos(2t )
向量分析法在电气调试中的应用
向量分析法在电气调试中的应用高金磊(河南省安装集有限责任公司，洛阳471000)摘要：在变电站或发电厂电气调试中，为查找电气设备的故障原因，采用向量分析法是最直观、快捷的方法之一。
文中列举几个实例分析，介绍了运用向量图分析计算的方法。
采用该法可以提高查找故障原因的效率，从而避免因设备停运时间过长而造成的经济损失。
关键词：向量电气电压电流互感器极性故障在电气调试过程中，经常遇到电气设备发生故障的现象，这就要求调试人员快速的确定故障性质及产生的原因，然后排除故障。
采用向量分析法配合其他试验手段和检测方法可以直观、快捷的查找出故障原因，从而快速的解决工程现场的技术问题。
下面列举一些实例，简要介绍向量分析法在工程中的应用。
1、电压互感器极性接反在电力系统中，若电压互感器一次极性接反，必然引起二次电压变化，利用向量分析法分析这些数据变化，就能很快的得出结论。
例：某发电站同期系统中，采集的电压为电站侧联络柜电压互感器和母线电压互感器。
电压互感器均为V-V接法，变比为10000/100V且二次侧B相均接地。
倒送电后测得电站侧联络柜电压互感器二次侧电压为：AB=100V，BC=100V,AC=173V。
电站侧联络柜电压互感器与母线电压互感器之间的电压为：AA1=0V,BB1=0V,CC1=200V。
作向量图如下所示：AC O B（a）B相不接地的向量图(b) B相接地的向量图B相不接地系统中性点即为O点，故作其向量图如图（a）所示：由向量图（a）可以看出：|OA|=|OB|=|OC|=57.7V，|AB|=|BC|=|AC|=100V.B相接地系统中因B相接地，所以B点即为O点，故作其向量图如图（b）所示：由向量图（b）可以看出|OA|=|OC|=|AB|=|BC|=|AC|=100VB相接地C相极性反系统中B点即为O点，因C相极性接反，所以C相向量应旋转180度，故作其向量图如图（c）所示：由向量图（c）可以看出：|OA|=|OC|=|AB|=|BC|=100V,|AC|=173V.且|CC′|=200V(C)C(c)B相接地C相极性反的向量图A相极性接反的向量图可参考C相极性接反向量图,将A相向量旋转180度，故：|OA|=|OC|=|AB|=|BC|=100V,|AC|=173V.且|AA1|=200V由所测得数据可知|AB|=|BC|=100V,|AC|=173V，对照所作向量图很容易发现该系统应该是A相或C相极性接反造成的。
电路课件 向量法
1 U= T
def
∫
T
0
u ( t )dt
2
i(t)=Imcos(ω t+Ψ
)
1 T 2 I= Im cos2 ( ω t +Ψ ) dt ∫0 T
∵
∫
T
0
cos ( ω t +Ψ ) dt = ∫
2
T
0
1+ cos 2(ω t +Ψ ) 1 dt = t 2 2
T 0
1 = T 2
1 2 T Im Im = ∴ I= = 0.707Im T 2 2
ω = 2π f = 2π T
单位: 单位: rad/s ,弧度 / 秒 i Im O T 2π π tωt
初相位(initial phase angle) ψ (3) 初相位 反映正弦量的计时起点. 反映正弦量的计时起点.
ψ/ω Ψ
同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同. 同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同.
直流I
R
交流i
R
W = RI T
2
W = ∫ Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I= ∫0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 root-meen(root-meen-square)
同样,可定义电压有效值: 同样,可定义电压有效值: 正弦电流, 正弦电流,电压的有效值 设
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅, 最大值)Im 振幅, 最大值) 反映正弦量变化幅度的大小. 反映正弦量变化幅度的大小. 角频率(angular frequency)ω (2) 角频率 相位变化的速度, 反映正弦量变化快慢. 相位变化的速度, 反映正弦量变化快慢.
向量法电路分析 - 基尔霍夫定律应用举例
2 Vg 1( Rn Rc R1 R2 ) Vg 2 ( Ra Rc R1 )
Rn R2 Ra R1 ( 1)2 2 Vg 2 R1 Rc R1 Rc
Ra Rn Vg 1 N c Rn Rb Vg 2 ( 1)1 3 Vg 1 R1 R2 0
向量法电路分析 - 基尔霍夫定律应用举例
【例题 1】如下图，已知 Vg1 ,Vg2 ,R1 ,R2 ,R3 ,Rl ,Rn 用向量法求解所标电压，电流。
Rl + + Ia loop1 R1 V1 IL1 Vg 1 Ic In Rn R3 V3 - loop3 + I loop2 b Vg 2 R2 V2 IL2 Rl 解析：本题关键是求出三个独立环路的电流 Ia、Ib 和 Ic，求出这三个电流，其它量都可以迎 刃而解。 列出环路方程 Kirchhoff 电压定律（绕环路一周压降=0，电压升为”‐“，降为”+”） ： 环路 1： Vg 1 I a Rl ( I a I c )R1 ( I a Ib )Rn 0 环路 2： Vg 2 ( Ib I a )Rn ( Ib I c )R2 Ib Rl 0 环路 3： ( I c I a )R1 I c R3 ( I c Ib )R2 0 这是一个三元一次方程组，为便于观察，整理将变量对齐，得到
( R1 Rl Rn )I a Rn Ib R1I c Vg 1 I a Rn ( R1 Rl Rn )Ib R2 I c Vg 2 I R I R ( R R R )I 0 1 2 3 c a 1 b 2
解这个三元一次方程组可以用中学时的消元法，但比较麻烦。 下面用克莱姆法则求解，变量系数比较复杂，为了简化计算，记
Rn R2 Ra R1 ( 1)2 2 Vg 2 R1 Rc R1 Rc
Ra Rn Vg 1 N c Rn Rb Vg 2 ( 1)1 3 Vg 1 R1 R2 0
向量法电路分析 - 基尔霍夫定律应用举例
【例题 1】如下图，已知 Vg1 ,Vg2 ,R1 ,R2 ,R3 ,Rl ,Rn 用向量法求解所标电压，电流。
Rl + + Ia loop1 R1 V1 IL1 Vg 1 Ic In Rn R3 V3 - loop3 + I loop2 b Vg 2 R2 V2 IL2 Rl 解析：本题关键是求出三个独立环路的电流 Ia、Ib 和 Ic，求出这三个电流，其它量都可以迎 刃而解。 列出环路方程 Kirchhoff 电压定律（绕环路一周压降=0，电压升为”‐“，降为”+”） ： 环路 1： Vg 1 I a Rl ( I a I c )R1 ( I a Ib )Rn 0 环路 2： Vg 2 ( Ib I a )Rn ( Ib I c )R2 Ib Rl 0 环路 3： ( I c I a )R1 I c R3 ( I c Ib )R2 0 这是一个三元一次方程组，为便于观察，整理将变量对齐，得到
( R1 Rl Rn )I a Rn Ib R1I c Vg 1 I a Rn ( R1 Rl Rn )Ib R2 I c Vg 2 I R I R ( R R R )I 0 1 2 3 c a 1 b 2
解这个三元一次方程组可以用中学时的消元法，但比较麻烦。 下面用克莱姆法则求解，变量系数比较复杂，为了简化计算，记
电路向量图方法解析-天师总结
注意谐振的基本原则（谐振的条件：XL=XC） 谐振电路，电压和电流同相位。 谐振的结果：（串联谐振时短路，并联谐振时开路）。
四 谐振 2012 年下午卷 13 题。
解： 令 L=1Mh ， C1=10uF , C2=1.25uF 。 对于 w=10000 的正弦波，有： XL=wL=10 , XC= C =10 . 电感和电容支路 Z=j10+(-j10)=0 因此 ，电感和电容，串联谐振，发生短路。所以电容 C2 两端电压为 0。 对于 w=30000 的正弦波，有： XL=30 , XC1= , 支路一的阻抗 Z=j30+(-j )=j Xc2= 因此，在 w=30000 的正弦波的情况下，这段电路发生并联谐振，为开路。电源电压全部 加在电路两端。 因此答案为：A。
一 基本概念公式
电路向量图
张天师友பைடு நூலகம்总结 2014-7-10
电阻 电感 电容
阻抗 ZR=R ZL=jXL 。XL=wL ZC=-jXC .XC= C
二 向量图例图 如图，以电流为参考方向。则必有：
电压和电流同相 电压超前电流 90° 电压滞后电流 90°
其中，UL 的相位，超前电流 I 的相位 90°。 并且，电压源的电压等于三个电压的向量和 US=UR+UL+UC 。
2012 年下午卷 21 题
如题： 因为电路发生谐振，所以电流和电压同相位。 以两端电压为参考方向，画出向量图。 1 I1 和 U 同相位 2 I2 滞后电压 90° 3 I3 超前电压一定角度。 以为 I2 和 I3 的向量和就是 I1， I2=6，I3=10。 所以 I1=8。 分析：考题中出现谐振的电路时很常见的，要正确画出电路图，选择参考向量。
三 例题 2009 年下午第二题。
四 谐振 2012 年下午卷 13 题。
解： 令 L=1Mh ， C1=10uF , C2=1.25uF 。 对于 w=10000 的正弦波，有： XL=wL=10 , XC= C =10 . 电感和电容支路 Z=j10+(-j10)=0 因此 ，电感和电容，串联谐振，发生短路。所以电容 C2 两端电压为 0。 对于 w=30000 的正弦波，有： XL=30 , XC1= , 支路一的阻抗 Z=j30+(-j )=j Xc2= 因此，在 w=30000 的正弦波的情况下，这段电路发生并联谐振，为开路。电源电压全部 加在电路两端。 因此答案为：A。
一 基本概念公式
电路向量图
张天师友பைடு நூலகம்总结 2014-7-10
电阻 电感 电容
阻抗 ZR=R ZL=jXL 。XL=wL ZC=-jXC .XC= C
二 向量图例图 如图，以电流为参考方向。则必有：
电压和电流同相 电压超前电流 90° 电压滞后电流 90°
其中，UL 的相位，超前电流 I 的相位 90°。 并且，电压源的电压等于三个电压的向量和 US=UR+UL+UC 。
2012 年下午卷 21 题
如题： 因为电路发生谐振，所以电流和电压同相位。 以两端电压为参考方向，画出向量图。 1 I1 和 U 同相位 2 I2 滞后电压 90° 3 I3 超前电压一定角度。 以为 I2 和 I3 的向量和就是 I1， I2=6，I3=10。 所以 I1=8。 分析：考题中出现谐振的电路时很常见的，要正确画出电路图，选择参考向量。
三 例题 2009 年下午第二题。
第4章向量分析法
第4章向量分析法向量分析是数学中的一门重要分支，主要研究矢量的运算和性质。
它是数学物理学等学科的重要工具，广泛应用于各个领域，例如电磁场理论、流体力学和流形等。
向量分析的基础是对矢量的运算规则的研究。
在直角坐标系中，我们通常将矢量表示为有序三元组（x，y，z），其中x、y、z分别是矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的运算规则包括加法、数乘和点积等。
两个矢量的加法定义为将它们的对应分量相加。
例如，向量A（a1，a2，a3）和向量B（b1，b2，b3）的和为向量C（a1+b1，a2+b2，a3+b3）。
加法满足交换律、结合律和分配律。
加法可以用来表示平移，例如从A点出发，按向量B前进，得到新的点C。
数乘定义为将一个实数与矢量的每一个分量相乘。
例如，实数k与矢量A（a1，a2，a3）的数乘为向量B（ka1，ka2，ka3）。
数乘满足分配律。
数乘可以用来表示伸缩变换，例如一个向量乘以2表示将其长度放大一倍。
点积是两个矢量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
向量A（a1，a2，a3）和向量B（b1，b2，b3）的点积为a1b1+a2b2+a3b3、点积满足交换律和分配律。
点积可以用来计算矢量的长度、夹角和投影。
向量分析还研究了梯度、散度和旋度等运算。
梯度表示标量场的变化率和方向，散度表示矢量场的源强度，旋度表示矢量场的旋转程度。
这些运算在研究物理现象和解决实际问题时非常有用。
梯度表示标量场f的变化率和方向，定义为梯度算子的作用。
梯度算子是一个矢量算子，由偏导数组成，例如梯度算子∇表示（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）。
梯度向量的长度表示标量场的变化率，梯度向量的方向表示变化最快的方向。
梯度在微分方程和优化问题中有广泛应用。
散度表示矢量场F的源强度，定义为散度算子的作用。
散度算子是一个标量算子，由偏导数组成，例如散度算子∇·表示（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）·。
散度的值为正表示矢量场的流出量大于流入量，为负表示流入量大于流出量，为零表示流入流出平衡。
正弦交流电路和向量法
功率和功率因数
功率
正弦交流电路中元件消耗或输出的能量，分为有功功率、无功功率和视在功率。
功率因数
反映电路中能量利用效率的指标，定义为有功功率与视在功率的比值。
谐振和滤波器
谐振
正弦交流电路中某些特定频率下，电路呈现纯阻性，此时电流和电压达到最大值，产生谐振现象。
滤波器
利用电感器和电容器组成的网络，对特定频率的信号进行选择性的通过或抑制，从而实现信号处理或 噪声抑制。
环境友好与可持续发展
随着对环境保护意识的提高，未来的研究将更加注重电力系统的环境友好性和可持续发展 。例如，研究正弦交流电路在可再生能源并网、智能电网等方面的应用，以及如何通过改 进向量法来提高电力系统的能效和减少对环境的影响。
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05 向量法在正弦交流电路中 的应用
计算阻抗和导纳
计算阻抗
利用向量法，可以通过计算正弦交流电 的电压和电流的相位差，得到阻抗的模 长和相位角。
VS
计算导纳
导纳是电导和电感的向量和，可以通过向 量法计算得到导纳的模长和相位角。
分析功率和功率因数
01
02
03
分析有功功率
利用向量法，可以计算出 正弦交流电路中的有功功 率，即电阻消耗的功率。
乘法运算
将一个向量旋转90度后与另一个向 量相接，形成一个新的向量。
除法运算
将一个向量除以另一个同方向的向量， 得到一个标量结果。
04 正弦交流电路分析
阻抗和导纳
阻抗
表示正弦交流电路中元件对电流的阻 碍作用，由电阻、电感和电容组成， 用复数表示。
导纳
与阻抗互为倒数关系，表示元件对电 压的响应，也由电阻、电感和电容组 成，同样用复数表示。
电路理论课件-向量法
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej=–1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8. 4 正弦量的相量表示
两个正弦量
i1
i2
w
w
Im1
Im2
1
2
i1+i2 i3
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) 20 j5
19.2427.9 7.21156.3
180.2 j126.2
20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536 (3) 旋转因子：
i
R2
2U ω2 L2
sin(ωt
Ψu
tg1
ωRL ) R
8. 5, 6 电阻、电感和电容元件的正
弦电压电流及相量关系
一. 电阻
时域形式：
i(t)
已知 i(t) 2I sin(ωt Ψi )
Im A2
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
O
加减法可用图解法。
A1 Re
8. 3 复数复习
(2) 乘除运算——极坐标
若 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2
则 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2
A1 | A1 |θ 1 | A1 | e jθ1 | A1 | e j(θ1θ2 ) | A1 |
W2=I 2RT
I 2 RT T i 2 (t )Rdt 0
电路理论课件 第8章 向量法
基尔霍夫电压定律的向量表示
在电路中，对于任意闭合路径，电压降矢量和电压升矢量在数值上相等，方向 相反。
欧拉公式及其在电路中的应用
欧拉公式
将复数表示为三角形式，即 $z = r(cos theta + i sin theta)$，其中 $r$ 是模，$theta$ 是幅角。
在电路中的应用
利用欧拉公式可以将正弦稳态电路中 的电压和电流表示为复数形式，从而 方便计算和分析。
在电机控制中，向量法可以用于分析电机的转矩控制、速度控制和位置控制等。通过向量化处理，可 以将电机的物理量转化为数学表达式，便于分析和计算。同时，向量法还可以用于电机的故障诊断和 性能评估，提高电机的可靠性和稳定性。
无功补偿装置的向量分析
无功补偿装置是电力系统中用于改善功率因数、减少无功损 耗的重要设备。向量法在无功补偿装置的分析中也有着重要 的应用价值。
向量模表示法
通过向量模表示电压和电流的大小，可以方便地计算功率和 能量。
交流电路的分析方法
相量法
利用复数表示电压和电流，通过代数运算分析电路。
阻抗三角形法
利用阻抗三角形分析阻抗、电感和电容之间的关系。
04
CATALOGUE
复杂电路的向量分析
串联和并联电路的向量分析
串联电路的向量分析
在串联电路中，各电压源的向量相加等于总电压的向量，各电流源的向量相等且等于总电流的向量。
通过向量法，可以对无功补偿装置的电容、电感等元件进行 向量化分析和计算。同时，向量法还可以用于分析无功补偿 装置在不同运行状态下的性能表现，为无功补偿装置的优化 设计和运行提供依据。
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三相电路的向量分析
三相电源和负载
三相电源由三个相位差为120度的正 弦波组成，三相负载则分为对称和不 对称两类。
在电路中，对于任意闭合路径，电压降矢量和电压升矢量在数值上相等，方向 相反。
欧拉公式及其在电路中的应用
欧拉公式
将复数表示为三角形式，即 $z = r(cos theta + i sin theta)$，其中 $r$ 是模，$theta$ 是幅角。
在电路中的应用
利用欧拉公式可以将正弦稳态电路中 的电压和电流表示为复数形式，从而 方便计算和分析。
在电机控制中，向量法可以用于分析电机的转矩控制、速度控制和位置控制等。通过向量化处理，可 以将电机的物理量转化为数学表达式，便于分析和计算。同时，向量法还可以用于电机的故障诊断和 性能评估，提高电机的可靠性和稳定性。
无功补偿装置的向量分析
无功补偿装置是电力系统中用于改善功率因数、减少无功损 耗的重要设备。向量法在无功补偿装置的分析中也有着重要 的应用价值。
向量模表示法
通过向量模表示电压和电流的大小，可以方便地计算功率和 能量。
交流电路的分析方法
相量法
利用复数表示电压和电流，通过代数运算分析电路。
阻抗三角形法
利用阻抗三角形分析阻抗、电感和电容之间的关系。
04
CATALOGUE
复杂电路的向量分析
串联和并联电路的向量分析
串联电路的向量分析
在串联电路中，各电压源的向量相加等于总电压的向量，各电流源的向量相等且等于总电流的向量。
通过向量法，可以对无功补偿装置的电容、电感等元件进行 向量化分析和计算。同时，向量法还可以用于分析无功补偿 装置在不同运行状态下的性能表现，为无功补偿装置的优化 设计和运行提供依据。
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三相电路的向量分析
三相电源和负载
三相电源由三个相位差为120度的正 弦波组成，三相负载则分为对称和不 对称两类。
《电路》第八章向量法
i Im
2π O
π
yi
i(t)=Imcos(w t+y i)
2π
ωt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
i(t)=Imcos(w t+y i)
0
wt
y i=－/2
y i =0
yi =
例 i
100 50
0 t1
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1 。
0
wt
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) j 3 4 ( 2) 5 4
i2(t) 10cos(100 t 2)
j 5 4 2 3 4
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10cos(100t 1050 )
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10 /135°，求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°=10（cos135°+j sin135°) = -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 ) = - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143°
i
相位变化的速度，反映正弦量
T
变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2 T 频率f ：赫兹（Hz）
周期T：秒（s）
Im O
yi
《电路》第八章_向量法
I m I m Ψ I m e
jwt
)]
２.
正弦波与旋转相量:
jy
旋转相量
Im e
+1
jw t
i Re[I m e
jt
]
ω
Im
O
t1 t2 t1 t2
+j
O
T
t
正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。
三. 相量的运算
1. 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) u2 ( t ) 2 U 1 cos(w t Ψ 1 ) Re( 2 U 1 e
O
+1
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
2、减法 用代数形式进行，设 F a jb 1 1 1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义
+j
F1 F2
F2
§8-2 正弦量
一. 正弦量 1、振幅Im
i(t)=Imcos(w t+y i)
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 2、角频率ω i T 相位变化的速度，反映正弦量 Im 变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2
O
T
2
wt
频率f ：赫兹（Hz） yi 周期T：秒（s） 如：f =50Hz, T = 0.02s，ω =314 rad/s
2
3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 正弦量 复数
实际是变 换的思想
jwt
)]
２.
正弦波与旋转相量:
jy
旋转相量
Im e
+1
jw t
i Re[I m e
jt
]
ω
Im
O
t1 t2 t1 t2
+j
O
T
t
正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。
三. 相量的运算
1. 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) u2 ( t ) 2 U 1 cos(w t Ψ 1 ) Re( 2 U 1 e
O
+1
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
2、减法 用代数形式进行，设 F a jb 1 1 1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义
+j
F1 F2
F2
§8-2 正弦量
一. 正弦量 1、振幅Im
i(t)=Imcos(w t+y i)
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 2、角频率ω i T 相位变化的速度，反映正弦量 Im 变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2
O
T
2
wt
频率f ：赫兹（Hz） yi 周期T：秒（s） 如：f =50Hz, T = 0.02s，ω =314 rad/s
2
3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 正弦量 复数
实际是变 换的思想
电路理论课件__向量法
udt
2U sin ( wt ψ)dt 2U wt ψ) ω cos( 2U sin ( ω wt ψ π 2 ) Im [ 2U e j(ω t ψπ / 2 ) ]
8. 3
复数复习
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。 ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej=–1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8. 4
两个正弦量
正弦量的相量表示
i1 i2
w
Im1
w
Im2
i1+i2 i3
w
Im3
1
2
3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和最大值(或有效值)就行了。于是想到复数， 复数向量也是一个大小、一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
8. 2
i(t)
R I
周期性电流、电压的有效值
W (t ) i 2 (t ) Rdt
0 T
W2=I 2RT
I RT i 2 ( t ) Rdt
2 0
T
R
1 I T
T
0
i 2 ( t )dt
同样，可定义电压有效值：
1 T 2 U u ( t )dt 0 T
def
8. 2
周期性电流、电压的有效值
8. 1
正弦量的三要素：
正弦量的基本概念
(1) 幅值 ( 振幅、 最大值 )Im ：反映正弦量变化幅度 的大小。
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（1）u2202sin(t )2202ej45)A
4
•
（2）I 10/36.910 2sin(t 36.9)A
•
U 220 / 60 V
电压单位是V！
正弦量和相量 之间只有对应 没有相等。
（3）U380/60V
相量上面要加
符号“·”！
4.3 相量分析法
4.3.1. 串联电路的相量模型分析
串联。试分别求所需的R、L、C的值。如果换接到
1. 220V直流电源上，这三种情况的结果分别如何？ 白炽灯的灯丝电阻为：R'UN2 112020 2
PN 60
白炽灯和电阻相串联时，电路为纯电阻性质，因此
总电压有效值等于两个分电压有效值之和，所以：
UR221 011 01V ， 0 分压相同 同， ，R 阻 即 20 值 ： 2也
R RLC串联电路
思考 练习
1. 把下列正弦量表示为有效值相量：
•
（1）i 10sin(t 45)A
I 7 .07 / 45 A
（2）u220 2sin(t 90)V
•
U 220 / 135 V
（3）u220 2cos(t 30)V
2. 指出下列各式的错误并改正：
利用相量图辅助分析，根据平行四边形法则， U 由相量图可以清楚地看出：
U2
2 U1
1
U1cosψ1+U2cosψ2
U(U1co1sU2co2s)2(U1sin1U2sin2)2
arcU U t11acsn o i n1 1s U U2 2scio n22s
A3j4 第 三 象 限A5/12.69(arct4a/n3180)
代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子，一个复 数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相 当于在复平面上顺时针旋转90°（数学课程中旋转因 子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j)。
1. 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、 A-B、A×B、A÷B。
U1sinψ1+U2sinψ2
利用相量图分析计算同频率正弦量之 间的加、减运算，显然能起到化隐含 为浅显的目的，根据相量与正弦量之 间的对应关系：u=Umsin(ωt +φ)
4.2.2 复阻抗
如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用 复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简 称复阻抗。各元件复阻抗的代数形式如下：
串联电路阻抗的一般表达式：
ZRj(XLXC) R2 (XLXC)2
arctaXnLXC Z/
R
其中 Z R2 (XLXC)2称为串联电路的中模复，阻抗
arctaXnLXC 是串联电路中幅复角阻。抗的
R
若串联电路中只有两个元件相串联时，代入上
式仍旧适用。
参看前面的阻抗三角形。
4.将结果变换成要求的形式。
例1 下图中已知：I1=10A、UAB =100V，求：
A 、UO 的读数。
I&1
j10 C1 I& A A I&2
C2
B
5 j5
UO
解题方法有两种：1.利用复数进行相量分析； 2.利用相量图分析求解。
利用复数进行相量分析：
j10
C1 I& A
A
I&1 I&2
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电 路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本 定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下： 1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）；
RR、LjXL、CjXC uU 、iI 、 eE
2.根据相量模型列出相量方程式或画出相量图；
3.用相量分析法或相量图求解；
用有效值相量表示，即： U1 = U1 ψ1
画在相量图中：
U2 = U2 ψ2Fra bibliotekU2也可以把复平面省略，直接画作
U2
2 U1
1
虚线可以不画
2 U1
1
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正 弦量之间的加、减运算及其电路分析。
u 1 2 U 1 s t i 1 n ， u 2 2 U 2 s t i 2 n ， u u 1 u 2 。 求
ui相位差： arctan(20 /15) 53.1
i 0.8 2 sin(2500t 53.1)A，电路呈感性。
•
•
•
U R 12/ 53.1V，U L 24/ 36.9V，U C 8/ 143.1V，
思考 练习
1. 一个110V、60W的白炽灯接到50Hz、220V的正弦 电源上，可以用一个电阻、一个电感或一个电容和它
单一电阻元件的 Z复 R， 阻只 抗有实部没有虚部
单一电感元件的 Z复jX阻 L，抗 只有虚部没实部
单一电容元件的 Z复 j阻 XC， 抗只有虚部没有实
如果几个理想元件相串联时，它们复阻抗的模
和幅角可由以下三角形求出：
XL
R
XL-XC
|Z|
RL串联电路 R
|Z| RC串联电路XC
|Z|
复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出 复数A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为：A=5/53.1°
a1 5cos53.13 代数表达形式为：A=3+j4
a2 5sin53.14
4.1.2 复数运算法则
设有两个复数分别为： Aa/a a1 ja2 Bb/b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时的运算公式
A B (a1 b1 ) j(a2 b2 ) A B (a1 b1 ) j(a2 b2 )
A • B ab/ a b
A B
a b
/
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便； 复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数 所在象限正确写出幅角的值。如：
A3j4 第 一 象 限A5/53.1(arct4a/n3)
A3j4 第 四 象 限A5/53.1(arcta4/n3)
A3j4 第 二 象 限A5/12.69(180arcta4/n3)
第4章 相量分析法
4.1 复数 及其运算
4.4 复功率
4.2 相量 和复阻抗
4.3 相量 分析法
本章学习目的及要求
熟悉复数的几种表达方式及其加 减乘除运算规则；掌握正弦量的相量 表示法、相量的性能及其运算方法； 掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用 相量图进行正弦量的辅助分析；正确 理解正弦交流电路中几种功率的分析。
IC
RLC并联电路相量模型
IC
IC ILC
IR
'
I
ILC
I
IL
' IR
U
U
IL
IL<IC时的相量图， 电压滞后总电流。
IL I电L>压IC超时前的总相电量流图。，当电I路L=中IC阻时抗，最电大路，出且现为并纯联电谐阻振性，。此时
以感性的并联电路为例，来讨论一下并联电路 的复导纳（即电阻和电纳总的作用效果的复数表示 形 的 数式）G是）；电，BL导复是（导感电纳纳阻用（的Y感倒表抗数示的）：倒；Y数=BG）C+是。j(容BC纳-B（L）容，抗式的中倒
AB6.46.32/51.3(18.4)40.4/32.9
AB6.46.32/51.3(18.4)1.01/69.7
第2题自己练习。
4.2 相量和复阻抗
学习目标：了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相
量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概
念。
4.2.1 相量
由复导纳的复数表达式又可得出：
Y G2(BCBL)2/arctBaC nB (L)/G
Y/'
显然，在感性电路中， '
电 呈感路性中，的导电纳纳三BL角>B形C，为电倒路三 |Y| 角形；若电路呈容性，导纳 三角形即为正三角形。
G RLC并联电路 的导纳三角形
BC-BL
4.3.3 应用实例
2. 已知复数A=17/24°，B=6/-65°。试求 A+B、A-B、A×B、A÷B。
AB(46) j(52)10 j310.4/16.7
AB(46) j[5(2)]2 j77.28/106
A4 j56.4/51.3 B6 j26.32/18.4
U
I UR
UL UC ULC
U
UR
RL串相量图
I UC
U
RC串相量图
UR I
UC RLC串相量图
由相量图可以看出：RL串联电路中总电压超前 电流一个φ角；RC串联电路中总电压滞后电流一个 φ角；RLC三元件相串联的电路中，若UL>UC，则总 电压超前电流一个φ角，若UL<UC，则总电压滞后电 流一个φ角，若UL=UC时，总电压与电流同相，相位 差φ=0，电路出现串联谐振（后面专门讨论）。
由阻抗三角形可以看出：感性电路为正三角形，
总电压超前电流；容性电路为倒三角形，总电压滞后
电流；若纯电阻性时，虽然电路中含有动态元件L和 C，仍旧会出现电压和电流同相的特殊情况，此时电 路中总的复阻抗等于电阻R。
11
4.3.2 并联电路的相量模型分析
I
IR
IL
U
在RLC并联电路中，各元件两
IC
端加的电压相同，因此在相量分析 中，应以电压为参考相量。
4.1 复数及其运算
学习目标：复数的运算是相量分析的基础，了解复
数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解
4
•
（2）I 10/36.910 2sin(t 36.9)A
•
U 220 / 60 V
电压单位是V！
正弦量和相量 之间只有对应 没有相等。
（3）U380/60V
相量上面要加
符号“·”！
4.3 相量分析法
4.3.1. 串联电路的相量模型分析
串联。试分别求所需的R、L、C的值。如果换接到
1. 220V直流电源上，这三种情况的结果分别如何？ 白炽灯的灯丝电阻为：R'UN2 112020 2
PN 60
白炽灯和电阻相串联时，电路为纯电阻性质，因此
总电压有效值等于两个分电压有效值之和，所以：
UR221 011 01V ， 0 分压相同 同， ，R 阻 即 20 值 ： 2也
R RLC串联电路
思考 练习
1. 把下列正弦量表示为有效值相量：
•
（1）i 10sin(t 45)A
I 7 .07 / 45 A
（2）u220 2sin(t 90)V
•
U 220 / 135 V
（3）u220 2cos(t 30)V
2. 指出下列各式的错误并改正：
利用相量图辅助分析，根据平行四边形法则， U 由相量图可以清楚地看出：
U2
2 U1
1
U1cosψ1+U2cosψ2
U(U1co1sU2co2s)2(U1sin1U2sin2)2
arcU U t11acsn o i n1 1s U U2 2scio n22s
A3j4 第 三 象 限A5/12.69(arct4a/n3180)
代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子，一个复 数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相 当于在复平面上顺时针旋转90°（数学课程中旋转因 子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j)。
1. 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、 A-B、A×B、A÷B。
U1sinψ1+U2sinψ2
利用相量图分析计算同频率正弦量之 间的加、减运算，显然能起到化隐含 为浅显的目的，根据相量与正弦量之 间的对应关系：u=Umsin(ωt +φ)
4.2.2 复阻抗
如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用 复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简 称复阻抗。各元件复阻抗的代数形式如下：
串联电路阻抗的一般表达式：
ZRj(XLXC) R2 (XLXC)2
arctaXnLXC Z/
R
其中 Z R2 (XLXC)2称为串联电路的中模复，阻抗
arctaXnLXC 是串联电路中幅复角阻。抗的
R
若串联电路中只有两个元件相串联时，代入上
式仍旧适用。
参看前面的阻抗三角形。
4.将结果变换成要求的形式。
例1 下图中已知：I1=10A、UAB =100V，求：
A 、UO 的读数。
I&1
j10 C1 I& A A I&2
C2
B
5 j5
UO
解题方法有两种：1.利用复数进行相量分析； 2.利用相量图分析求解。
利用复数进行相量分析：
j10
C1 I& A
A
I&1 I&2
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电 路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本 定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下： 1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）；
RR、LjXL、CjXC uU 、iI 、 eE
2.根据相量模型列出相量方程式或画出相量图；
3.用相量分析法或相量图求解；
用有效值相量表示，即： U1 = U1 ψ1
画在相量图中：
U2 = U2 ψ2Fra bibliotekU2也可以把复平面省略，直接画作
U2
2 U1
1
虚线可以不画
2 U1
1
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正 弦量之间的加、减运算及其电路分析。
u 1 2 U 1 s t i 1 n ， u 2 2 U 2 s t i 2 n ， u u 1 u 2 。 求
ui相位差： arctan(20 /15) 53.1
i 0.8 2 sin(2500t 53.1)A，电路呈感性。
•
•
•
U R 12/ 53.1V，U L 24/ 36.9V，U C 8/ 143.1V，
思考 练习
1. 一个110V、60W的白炽灯接到50Hz、220V的正弦 电源上，可以用一个电阻、一个电感或一个电容和它
单一电阻元件的 Z复 R， 阻只 抗有实部没有虚部
单一电感元件的 Z复jX阻 L，抗 只有虚部没实部
单一电容元件的 Z复 j阻 XC， 抗只有虚部没有实
如果几个理想元件相串联时，它们复阻抗的模
和幅角可由以下三角形求出：
XL
R
XL-XC
|Z|
RL串联电路 R
|Z| RC串联电路XC
|Z|
复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出 复数A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为：A=5/53.1°
a1 5cos53.13 代数表达形式为：A=3+j4
a2 5sin53.14
4.1.2 复数运算法则
设有两个复数分别为： Aa/a a1 ja2 Bb/b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时的运算公式
A B (a1 b1 ) j(a2 b2 ) A B (a1 b1 ) j(a2 b2 )
A • B ab/ a b
A B
a b
/
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便； 复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数 所在象限正确写出幅角的值。如：
A3j4 第 一 象 限A5/53.1(arct4a/n3)
A3j4 第 四 象 限A5/53.1(arcta4/n3)
A3j4 第 二 象 限A5/12.69(180arcta4/n3)
第4章 相量分析法
4.1 复数 及其运算
4.4 复功率
4.2 相量 和复阻抗
4.3 相量 分析法
本章学习目的及要求
熟悉复数的几种表达方式及其加 减乘除运算规则；掌握正弦量的相量 表示法、相量的性能及其运算方法； 掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用 相量图进行正弦量的辅助分析；正确 理解正弦交流电路中几种功率的分析。
IC
RLC并联电路相量模型
IC
IC ILC
IR
'
I
ILC
I
IL
' IR
U
U
IL
IL<IC时的相量图， 电压滞后总电流。
IL I电L>压IC超时前的总相电量流图。，当电I路L=中IC阻时抗，最电大路，出且现为并纯联电谐阻振性，。此时
以感性的并联电路为例，来讨论一下并联电路 的复导纳（即电阻和电纳总的作用效果的复数表示 形 的 数式）G是）；电，BL导复是（导感电纳纳阻用（的Y感倒表抗数示的）：倒；Y数=BG）C+是。j(容BC纳-B（L）容，抗式的中倒
AB6.46.32/51.3(18.4)40.4/32.9
AB6.46.32/51.3(18.4)1.01/69.7
第2题自己练习。
4.2 相量和复阻抗
学习目标：了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相
量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概
念。
4.2.1 相量
由复导纳的复数表达式又可得出：
Y G2(BCBL)2/arctBaC nB (L)/G
Y/'
显然，在感性电路中， '
电 呈感路性中，的导电纳纳三BL角>B形C，为电倒路三 |Y| 角形；若电路呈容性，导纳 三角形即为正三角形。
G RLC并联电路 的导纳三角形
BC-BL
4.3.3 应用实例
2. 已知复数A=17/24°，B=6/-65°。试求 A+B、A-B、A×B、A÷B。
AB(46) j(52)10 j310.4/16.7
AB(46) j[5(2)]2 j77.28/106
A4 j56.4/51.3 B6 j26.32/18.4
U
I UR
UL UC ULC
U
UR
RL串相量图
I UC
U
RC串相量图
UR I
UC RLC串相量图
由相量图可以看出：RL串联电路中总电压超前 电流一个φ角；RC串联电路中总电压滞后电流一个 φ角；RLC三元件相串联的电路中，若UL>UC，则总 电压超前电流一个φ角，若UL<UC，则总电压滞后电 流一个φ角，若UL=UC时，总电压与电流同相，相位 差φ=0，电路出现串联谐振（后面专门讨论）。
由阻抗三角形可以看出：感性电路为正三角形，
总电压超前电流；容性电路为倒三角形，总电压滞后
电流；若纯电阻性时，虽然电路中含有动态元件L和 C，仍旧会出现电压和电流同相的特殊情况，此时电 路中总的复阻抗等于电阻R。
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4.3.2 并联电路的相量模型分析
I
IR
IL
U
在RLC并联电路中，各元件两
IC
端加的电压相同，因此在相量分析 中，应以电压为参考相量。
4.1 复数及其运算
学习目标：复数的运算是相量分析的基础，了解复
数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解