不定积分表
不定积分表
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax bC b x +-+6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x+-++的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a b - 17．x＝b 18．x＝2a +（三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n xx a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x aC a x a-++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b+⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰ 25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()xax b +⎰＝221d 2()2x x b ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x 2ln(2a x C ++36．2x ⎰＝ln(x C +++37．1C a +38．2C a x -+39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x a C +44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ⎰＝ln x C +++51．1arccos aC a x+52．C +53．x 2ln 2a x C +54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x arccos a a C x -+58．2d x x ⎰＝ln x C x-+++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x ⎰arcsinxC a-+65．1C a +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-++71．d x x⎰a C72．x ＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x2n 2a x b c C++++75．xn 2a x b c C-+++ 76．＝C +77．x 2C ++78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C --81．C()a b <82．x 2()4b a C -()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C + 87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d nx x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n ---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos x a b x +⎰)2xC +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccosxx C a-117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d axx ⎰＝1e ax C a +124．e d axx x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+125．e d n axx x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a--⎰126．d xxa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d nxx a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰ 128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰（十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C +138．ch d x x ⎰＝sh x C +139．th d x x ⎰＝ln ch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0 144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰ n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅- （n 为正偶数），0I ＝2π。
不定积分表大全 高等数学
不定积分表大全高等数学
不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表是一个收录了各种常见函数的不定积分结果的手册。
它可以帮助数学学习者更快、更准确地计算不定积分。
不定积分表大全是一个包含各种常见函数的不定积分结果的完整手册。
在高等数学的学习中，我们经常遇到需要计算各种函数的不定积分的情况，而这个手册可以为我们提供一个快速参考。
通过查阅不定积分表，我们可以找到常见函数的不定积分形式，并且可以借鉴已知的结果来解决其他函数的不定积分问题。
不定积分表大全通常按照函数类型或者特定的规则进行分类。
例如，它会包含代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数的不定积分结果。
此外，还会包含一些特殊函数如反函数、分式函数、幂函数等的不定积分。
不定积分表大全还可能包含一些常用的换元积分公式、分部积分公式以及其他积分技巧，以便读者能够更好地应用这些技巧来解决复杂的不定积分问题。
虽然不定积分表大全可以帮助我们快速计算不定积分，但是我们仍然需要具备一定的积分技巧和知识。
因为在实际应用中，我们会遇到一些特殊的情况，需要通过变换、分解等手段来求解。
此外，有些函数的不定积分并没有简单的表达式，需要通过数值积分等近似方法来计
算。
总之，不定积分表大全是高等数学学习过程中的一个重要参考工具。
通过熟练掌握不定积分表中的常见函数的积分形式，我们可以更加高效地解决各种不定积分问题，并且能够更好地应用积分技巧来解决实际问题。
最全不定积分表(高数)
1
1
含有 a ± x , a > 0 的积分
5.
ò (a + bx) dx = b
2
x
1
2
(
a + In | a + bx |) + C a + bx
四.
1 1 x dx = arctan + C 2 +x a a x-a 1 1 1 13. ò 2 dx = - ò 2 dx = In | | +C 2 2 x -a a -x 2a x+a
x x
n
ò sin( Inx)dx = 2[sin( Inx) - cos( Inx)] + C ò cos( Inx)dx = 2[sin( Inx) + cos( Inx)] + C ò In( x +
1 + x 2 )dx = xIn( x + 1 + x 2 ) - 1 - x 2 + C
利用 pdfFactory Pro 测试版本创建的PDF文档
òx ò òx
1
2
a 2 - x 2 dx = 1
-1 2 x a - x 2 - arcsin + C x a x +C a
2 2
21.
a -x
2
2
dx = arx sin
七. 31.
含有 tan x, cotx,sec x, csc x 的积分
22.
1
2
a -x
2 2
2
dx =
不定积分表
Calculus高级不定积分表1.⎰⎰-=vdu uv udv 11. ⎰+-=C u udu u csc cot csc2.C n u du u n n++=+⎰1112. C u udu +=⎰sec ln tan 3.C u u du +=⎰ln 13.C x udu +=⎰sin ln cot4.C e du e u u +=⎰ 14.C u u udu ++=⎰tan sec ln sec 5.C a a du a uu+=⎰ln 15.C u u udu +-=⎰cot csc ln csc 6.C u udu +-=⎰cos sin 16.0,sin 122>+=--⎰a C au x a du7.C u udu +=⎰sin cos 17.C a u a u a du +=+-⎰122tan 1 8.C u udu +=⎰tan sec 2 18.C au a a u u du +=--⎰122sec 1 9.C u udu +-=⎰cot csc 2 19.C a u a u a u a du +-+=-⎰ln 212210.C u udu u +=⎰sec tan sec 20.C a u a u a a u du ++-=-⎰ln 2122 含有0,22>+a u a 21.()C u a u a u a u du u a +++++=+⎰2222222ln 22 22.()()C u a u a u a u a u du u a u +++-++=+⎰2242222222ln 828 23.C uu a a a u a du u u a +++-+=+⎰222222ln24.()C u a u u u a du u u a +++++-=+⎰2222222ln 25.()C u a u u a du +++=+⎰2222ln 26.()C u a u a u a u u a du u +++-+=+⎰22222222ln 22 27.C u a u a a u a u du+++-=+⎰2222ln 1 28.C u a u a u a udu ++-=+⎰222222 29.()C u a a u ua du++=+⎰2222322 含有0,22>-a u a 30.C a u a u a u du u a ++-=--⎰122222sin 22 31.()C a u a u a a u u du u a u ++--=--⎰142222222sin 828 32.C u u a a a u a du u u a +-+--=-⎰222222ln 33.C a u u a u du u u a +---=--⎰122222sin 1 34.C a u a u a u u a du u ++--=--⎰1222222sin 22 35.C u u a a a u a u du+-+-=-⎰2222ln 1 36.C u a ua u a u du +--=-⎰2222221 37.()()C a u a u a a u u du u a ++---=--⎰1422222322sin 8352838.()C u a a u ua du+-=-⎰2222322 含有0,22>-u a u 39.C a u u a a u u du a u +-+--=-⎰2222222ln 22 40.()C a u u a a u a u u du a u u +-+---=-⎰2242222222ln 828 41.C ua a a u du u a u +--=--⎰12222cos 42.C a u u ua u du u a u +-++--=-⎰2222222ln 43.C a u u a u du +-+=-⎰2222ln 44.C a u u a a u u a u du u +-++-=-⎰22222222ln 22 45.C u a a u a u u du +-=-⎰22222246.()C a u a u a u du+--=-⎰2222322含有()bu a + 47.()C bu a a bu a b bu a udu ++-+=+⎰ln 12 48.()()[]C bu a a bu a a bu a b bu a du u ++++-+=+⎰ln 24212232 49.()C bu a u a bu a u du ++=+⎰ln 150.()C ubu a a b au bu a u du +++-=+⎰ln 122 51.()()C bu a b bu a b a bu a udu ++++=+⎰ln 122252.()()C ubu a a bu a a bu a u du ++-+=+⎰ln 1122 53.()C bu a a bu a a bu a b bu a du u +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=+⎰ln 212322 54.()()C bu a a bu b du bu a u ++-=+⎰23223152 55.()C bu a a bu b bu a udu ++-=+⎰2322 56.()C bu a abu u b a b bu a du u ++-+=+⎰43815222332 57.()()0,tan 20,ln 11<+-+-=>+++-+=+-⎰a C a bu a aa C a bu a a bu a a bu a u du 58.⎰⎰+++=+bua u du a bu a du u bu a 2 59.⎰⎰+++-=+bua u dub u bu a du u bu a 22 60.()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+⎰⎰-du bu a u na bu a u n b du bu a u n n n 123322 61.()()⎰⎰++-++=+-bu a du u n b na n b bu a u bu a du u n n n 1122122 62.()()()⎰⎰+----+-=+--bu a u du n a n b u n a bu a bu a u du n n n1112321 含有三角函数 63.C u u udu +-=⎰2sin 4121sin 264.C u u udu ++=⎰2sin 4121cos 2 65.C u u udu +-=⎰tan tan 2 66.C u u udu +--=⎰cot cot 267.C u u udu ++-=⎰cos )sin 2(31sin 23 68.C u u udu ++=⎰sin )cos 2(31cos 23 69.C u u udu ++=⎰cos ln tan 21tan 23 70.C u u udu +--=⎰sin ln cot 21cot 23 71.C u u u u udu +++=⎰tan sec ln 21tan sec 21sec 3 72.C u u u u udu +++-=⎰sin sec ln 21cot csc 21csc 3 73.⎰⎰---+-=du n n u n udu n n n 21sin 1cos sin 1sin 74.⎰⎰---+=udu nn u u n udu n n n 21cos 1sin cos 1cos 75.⎰⎰----=udu u n udu n n n 21tan tan 11tan 76.⎰⎰-----=udu u n udu n n n 21cot cot 11cot 77.⎰⎰----+-=udu n n u u n udu n n n 22csc 12csc cot 11sec 78.⎰⎰----+--=udu n n u u n udu n n n 22csc 12csc cot 11csc 79.()()()()C b a u b a b a u b a budu au +++---=⎰2sin 2sin sin sin 80.()()()()C b a u b a b a u b a budu au ++++--=⎰2sin 2sin cos cos 81.()()()()C b a u b a b a u b a budu au +++----=⎰2cos 2cos cos sin 82.C u u u udu u +-=⎰cos sin sin83.C u u u udu u ++=⎰sin cos cos84.⎰⎰-+-=udu un u u udu u n n n cos cos sin 1 85.⎰⎰--=udu u n u u udu u n n n cos sin cos 186.⎰⎰⎰--+-+-+-++=+-++-=udu u mn m m n u u udu u m n n m n u u uduu m n m n m m m n m n 211211cos sin 1cos sin cos sin 1cos sin cos sin 含有反三角函数 87.C u u u udu +-+=--⎰2111sin sin 88.C u u u udu +--=--⎰2111cos cos 89.()C u u u udu ++-=--⎰2111ln 21tan tan 90.C u u u u udu u +-+-=--⎰41sin 412sin 212191.C u u u u udu u +---=--⎰41cos 412cos 212192.C u u u udu u +-+=--⎰2tan 21tan 12193.1,1sin 11sin 21111-≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰+-+-n u du u u u n udu u n n n 94.1,1cos 11cos 21111-≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎰⎰+-+-n u du u u u n udu u n n n 95.1,1tan 11tan 21111-≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰⎰+-+-n u du u u u n udu u n n n 含有指数与对数函数 96.()C e au adu ue au au+-=⎰112 97.⎰⎰--=du e u a n e u a du e u au n au n au n 11 98.()C bu b bu a b a e budu e au au+-+=⎰cos sin sin 22 99.()C bu b bu a b a e budu e au au+++=⎰sin cos cos 22 100.C u u u udu +-=⎰ln ln101.()()[]C u n n u udu u n n+-++=+⎰1ln 11ln 21 102.C u du u u +=⎰ln ln ln 1含有双曲三角函数103.C u udu +=⎰cosh sinh104.C u udu +=⎰sinh cosh105.C u udu +=⎰cosh ln tanh 106.C u udu +=⎰sinh ln coth 含有22u au -,0>a 107.C a u a a u au a u du u au +⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⎰1222cos 2222 108.C a u a a u au a au u du u au u +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=--⎰132222cos 226322 109.C a u a a u au du u u au +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--⎰122cos 22 110.C a u a u au du +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎰12cos 2 111.C a u a a u au u au udu +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=--⎰122cos 22 112.()C a u a a u au a u u au duu +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=--⎰12222cos 232232 113.C au u au uau u du +--=-⎰2222。
不定积分表
Y z .L i u .2013.09 卷终 公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。
虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。
在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。
如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。
积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组，151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式：反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦，然后利用第一个积分式即可得到结论。
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。
我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，积分即得。
不定积分表
Y z .L i u .2013.09 卷终 公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。
虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。
在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。
如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。
积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组，151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式：反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦，然后利用第一个积分式即可得到结论。
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。
我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，积分即得。
【免费下载】不定积分表
(b 0) (b 0)
2n 3 2(n 1)a2
(b 0) (b 0)
dx
( x2 a2 )n1
25．
26．
27．
28．
dx
＝
x(ax2 b)
dx ＝ 1 a
x2(ax2 b) bx b
dx x3(ax2 b)
dx
＝
＝
1 ln 2b
2a
x2 a2 ) C
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
不定积分表
Yz.Liu.2021.09卷终公式表注解四大体不定积分表序言：微积分创建之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。
虽其间发生很多在优先权上的争辩，但最终仍然走向了进展之正轨。
在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其大体微分表和大体积分表。
现在随微积分之进展，公式表慢慢全面，分类亦几乎覆盖各类不定积分。
积分表的编订关于积分运算能够说是必要，亦是数学进展之必要结果。
本表给出经常使用不定积分的计算公式和运算方式，和每一个积分的简要推演方式，其中引入了除一样之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并利用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而关于简单的不定积分运算和大体的微分公式之反用，或均不在此给出推演方式，或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组，151式。
公式一大体初等函数的不定积分18式：三角函数反三角函数上述公式均为大体初等函数之不定积分，其中部份公式均能够由分部积分公式给出，专门的，关于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，利用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：关于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
关于第一者，能够利用凑的方式，咱们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，那么得其积分是显的：111()ln ||xbbdx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
而第二式仍然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎦，然后利用第一个积分式即可取得结论。
关于分母是二次多项式或更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分即是沿用了此结论所取得的。
咱们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，积分即得。
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Y卷终 公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。
虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。
在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。
如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。
积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组，151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式：反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦，然后利用第一个积分式即可得到结论。
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。
我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，积分即得。
对于第二式依然可用分离拆项的方式： 221()11()()ax b ax a b x ax b bx b x ax b +-=-++，然后积分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的方法完成。
公式三 9式第一式的证明用凑微分的方式即可完成。
而有了第一式的结论，第二式可用分部积分完成计算。
我们有：其中，对上式右侧的23a再次使用凑微分的方法，即可得解： 同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。
利用凑微分的方式，我们显然有不定积分1Ca ==，本组公式可以考虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式：二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。
的不定积分等式。
但是该积分是不好计算的，首先分部积分就不容易得出结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，因此对于这一类带有根号式的积分，往往是先强行换掉根号，再作观察。
因此令22,t b t t x dx dt a a-=⇒==，于是22212()a t dt dt t b t a t b ==--⎰⎰，显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论b 的正负来决定之后使用的不定积分公式：如果b 是负的，那么显然会使用反三角，如果b 是正的，则可能使用三角换元：t 带入上式得原积分212,0dt C b t b ==+>-⎰。
另外对于负的b ，有：即原积分,0C b<。
该不定积分公式对于负数的b 计算是很容易的。
注意到微分公式=，故上面公式均可以分部积分公式指出。
公式四 含有22x a ±的积分3式 一式用凑微分的方式以及微分公式21(arctan )1d x x =+容易得出。
第二式是利用分部积分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形，然后带入一式即可得解。
三式是有理分式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则不难得出结果：公式五 含有2(0)ax b a +>的积分7式 除开显然的32()3ax ax b dx bx C +=++⎰不列为公式表所用之公式外，其余均与2ax b +有关，不过在下面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了该公式的。
是一个需要分类讨论的积分。
显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的，不过反正切的分母是加法运算，因此如果这里b 是负的，那么就不能适用反正切，这导致了积分需要分类讨论之。
该公式的证明中再一次的遇到了22dx x a -⎰形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三角函数的方法，而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法，也许在这个公式中体现不出来，但是在某些场合下，三角换元无疑是强大的。
一式是显然的。
在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频繁的。
二式、三式都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其推理及其陈述如下：类似的对于之后的不定积分，依然可以拆项：但是对于最后一式，拆项显然是不理想的，分子也不具备变量以进行凑微分，因此从分母考虑：接着带入公式（45）即得所证。
公式六 含有2(0)ax bx c a ++>的积分2式先给出最基本的积分：该积分的证明需要分情形处理。
一般来说，如果分母的二次式对应的二次方程是有根的，那么其不定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和，而对于无实数解的情形，可以考虑配方的方式，并利用反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明，不过在此我将使用另一种方式证明上述公式，我将在此引入虚数单位i ，并规定21i =-：这里的,R S 为20ax bx c ++=的两根，则：如果240b ac ->，那么R S -===，则积分式即为否则为R S -==，则积分变为：这里值得注意的是辐角arg 的取值问题，我们选择,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭这个区间并考虑反正切表示，则这时候辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负，但由判别式240b ac -<依然无法断言2ax b +之正负，这对反正切的表示是不利的，因此考虑对辐角进一步转化，一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数单位，则：将该式与Constant C =带入不定积分式，得： 虽然此方法比较复杂，但是可以说明的是，以复数进行实数的不定积分是可能的。
以拆项的方式来拆分为两个不定积分，这是及其显然的：公式七0)a >的积分14式0)a >的不定积分，通常会考虑的变换是221tan sec x x +=，特别是出现在分母中的根式，这样做的好处不但可以抵消根式，同时可以处理并约分掉分母中的积分变量，以大幅度化简积分运算。
不过在很多时候，我们也常常考虑双曲换元来完成，这是因为对于正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便。
下面几个公式都是可以通过换元得到的：第一式是典型的反双曲三角函数的微分，以及反双曲三角函数的定义式所得，事实上，我们设arsinh cosh cosh dx y x dx ydy dy y =⇒=⇒=即刻得之。
二式也是典型的双曲换元得到的等式：其中，将ar sinh 221tanh 1x x y a a y a a ==回带，即得之所证。
三、四均是由微分公式d曲换元的得出：于是四式也可如法炮制：五式、六式可以凑得之：2xd =⎰，2xd =⎰，再以分部积分得： 这样就完成了五式和六式。
一式三角换元是显然的。
但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是：二式以双曲换元得到积分44cosh a xdx ⎰，以降幂进行变形，所得积分的计算是容易的：在得出结果之后，再以（二）倍角公式将2x 和x 还原为x 即得二式右侧。
三式凑的方式即得其之所证。
四式以分部积分，并二式，即得之所证。
先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分。
转化三角积分时，以正切与正割的恒等式可得22sec 1csc tan sec a ydy ydy a y y a =⎰⎰，转化双曲积时，以双曲正弦或双曲余弦的恒等式可得2c o s h 1c s c h s i n h c o s ha y d y y d y a y y a =⎰⎰，最后以余割或双曲余割的积分得到结果。
二式典型的转化为三角积分2222sec 1sec 1csc cot tan sec tan a ydy ydy y ydy a y y a y a ==⎰⎰⎰，这是典型的余割函数的导数公式1(csc )'csc cot sin tan x x x x x =-=-。
注意到2xd a =⎝⎭⎰，带入一式。
又注意到1x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭50）式。
公式八 0)a >的积分6式利用最值公式对分母配方，得：首配方，再凑微分，并公式（56），得：这里的推理虽然是相对复杂的，但是对于一些好算的数值计算，这个推理过程会得到大大的简化。
在这两个积分的基础上，下面的积分相对是容易计算的：用凑微分的方式进行变换：剩下的计算是容易的。
依然是配方，与（64）不同的是，根号下的加号变成了减号，从而适用反三角的表示。
依然是配方，与（65）不同的是，根号下的加号变成了减号，从而适用反三角的表示。
用凑微分的方式进行变换，其方法同于（66）。
在（64）（67），（65）（68）和（66）（69）的比较中我们可以发现，对于任意非零的实数a ，除了后面的对数部分外，其表示形式都是一样的，例如我们以（64）（67）为例，将两个公式和在一起写，并把对数部分写成对应的反三角形式的不定积分之后，则可以写成：其相似度可见一斑，那么我们将会询问这是为何。
这里我将再度引入虚数单位i ，并规定其满足21i =-，借助欧拉公式和双曲三角函数的定义，我们考察正弦函数得到的是这样一个结果：sin sinh 2ix ixe e x i i ix --=-=-，令之为y 并反解之，得arcsin x y =的同时，也得到了另一个结果：arsinh()x i yi =-，也就是说得到一个转化等式arcsin arsinh()i y yi =，这个结果是令人感到惊奇的，如果在上述积分中我们无视a 为正数之情形，并对负的a 直接使用反双曲的结果，同时引入虚数单位i ，根据负数的平方根等于其绝对值开根后与虚数单位作乘积这一规定，即得：这与直接使用反正弦的结果是一样的。
这个结果表明，（64）（67），（65）（68）和（66）（69）是可以统一的。
公式九0)a>的不定积分14式0)a>型的不定积分，此处继公式七之讨论，以及公式七和公式九的推演思想，给出根号下取负号的不定积分。
在（50）~（55）六式中，引入虚数单位，并ai替换a即可证明上面六式的正确性。