几何位置关系的证明
平面几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行.符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线.符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
用坐标法证明几何问题
用坐标法证明几何问题引言在几何学中，我们经常需要证明各种几何问题。
其中一种常用而有效的证明方法是坐标法，也被称为解析几何法。
本文将介绍使用坐标法证明几何问题的基本思路和步骤。
什么是坐标法？坐标法是一种使用坐标系统和代数方法来解决几何问题的方法。
它将几何问题转化为代数问题，并利用代数技巧来证明几何关系。
在坐标法中，通过给定对象分配坐标来表示其位置，然后使用代数运算和等式来推导几何参数和关系。
证明步骤使用坐标法证明几何问题可以按照以下步骤进行：步骤1：建立坐标系首先要建立一个适当的坐标系。
选择一个合适的原点和坐标轴，并确保坐标轴之间相互垂直。
这将使得问题的处理更加简化。
步骤2：给定对象分配坐标根据问题的要求，给定对象分配坐标。
例如，在研究一个三角形时，可以给三角形的顶点分配坐标。
步骤3：建立几何关系的代数表达式在这一步骤中，将几何关系转化为代数表达式。
根据给定对象的坐标，推导出几何参数之间的关系。
这可以通过计算距离、斜率、角度等来实现。
步骤4：利用代数运算和等式推导利用代数运算和等式推导几何关系。
使用代数运算来简化关系表达式，并应用数学等式来推导出所需的结果。
步骤5：证明结论使用代数结果来证明几何问题。
将代数结果与几何条件和定义进行比较，以证明所需的几何关系。
实例演示为了更好地理解坐标法的应用，我们将以一个具体的几何问题为例演示证明过程。
示例问题如下：证明三角形ABC的垂直平分线经过三角形的内心I。
问题描述给定三角形ABC，垂直平分线AD经过三角形ABC的内心I。
证明这一结论。
证明过程步骤1：建立坐标系我们选择点A为坐标系的原点，且直线AB与x轴平行。
这样，我们可以将点A的坐标设为(0,0)，点B的坐标设为(a,0)，其中a为一正实数。
步骤2：给定对象分配坐标我们给定点C的坐标为(c,d)，其中c和d分别为正实数。
步骤3：建立几何关系的代数表达式根据给定的坐标，我们可以利用距离公式计算出三角形顶点之间的距离。
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。
主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。
空间几何体的位置关系
空间几何体的位置关系在三维空间中，几何体的位置关系是几何学研究的重要内容之一。
了解和掌握几何体的位置关系，对于解决实际问题以及进行几何证明都有着重要的意义。
本文将介绍几种常见的空间几何体的位置关系。
一、点和直线的位置关系1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们称该点在线上。
2. 点在线上方或线下方：当一条直线将空间分成上下两部分时，点在直线上方或线下方。
3. 点在线上的延长线上：当一条直线延长后，点位于该直线的延长线上。
二、点和平面的位置关系1. 点在平面上：当一个点与一个平面重合时，我们称该点在平面上。
2. 点在平面之上或之下：当一个平面将空间分成上下两部分时，点在平面之上或之下。
3. 点在平面上的延长线上：当一个点的延长线与平面相交时，我们称该点在平面上的延长线上。
三、直线和直线的位置关系1. 平行线：若两条直线在同一平面上且不相交，则这两条直线称为平行线。
2. 相交线：若两条直线在同一平面上相交，则这两条直线称为相交线。
3. 垂直线：若两条直线在同一平面上相交，且交角为直角，则这两条直线称为垂直线。
四、直线和平面的位置关系1. 平行关系：若一条直线与一个平面平行，则它位于该平面之上、之下或在该平面的内部。
2. 相交关系：若一条直线与一个平面相交，则它有且只有一个交点。
3. 垂直关系：若一条直线与一个平面相交，且交角为直角，则它垂直于该平面。
五、平面和平面的位置关系1. 平行关系：若两个平面无公共交线，并且相互平行，则这两个平面平行。
2. 相交关系：若两个平面有且只有一条公共交线，则这两个平面相交。
3. 垂直关系：若两个平面相交，并且交线与其中一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。
综上所述，空间几何体的位置关系包括点和直线的位置关系、点和平面的位置关系、直线和直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及平面和平面的位置关系。
了解和掌握这些位置关系对于学习和应用空间几何学具有重要的意义。
在实际应用中，我们可以根据这些位置关系来解决不同的几何问题，并进行相关的几何证明。
空间几何的位置关系与证明
空间几何的位置关系与证明空间几何是研究空间中点、线、面等几何要素之间的位置关系的学科，广泛应用于建筑、工程、地理等领域。
在空间几何中，我们需要通过证明来得出准确的结论。
本文将介绍一些空间几何中的常见位置关系，并通过证明来解释它们。
一、点到点的位置关系在空间几何中，两个点之间可以存在不同的位置关系，常见的有以下几种情况：1. 两点重合：当两个点的坐标完全相同时，它们重合在同一个位置上。
我们可以通过计算两点的坐标来证明它们重合。
2. 两点重叠：当两个点的位置非常接近但不完全相同时，我们称它们为重叠。
通常我们需要通过测量两点之间的距离来证明它们的位置关系。
3. 两点相离：当两个点的位置远离并没有任何交集时，它们相离。
我们可以通过计算两点之间的距离来证明它们的位置关系。
二、线到线的位置关系在线到线的位置关系中，我们通常关注两条直线之间的相交情况。
下面是一些常见的情况：1. 直线相交：当两条直线在空间中相交于一个点时，我们称它们为相交。
要证明直线相交，我们可以找到它们的交点，并证明该交点在两条直线上。
2. 直线平行：当两条直线在空间中没有交点且始终保持相同的方向时，我们称它们为平行。
要证明直线平行，我们可以通过比较它们的斜率或者通过使用平行公理来证明。
3. 直线重合：当两条直线完全重合时，它们是同一条直线。
证明直线重合可以通过比较它们的方程或者通过验证它们上的两个点是否相同。
三、点到直线的位置关系点与直线之间的位置关系也是空间几何中的重要内容。
以下是一些常见的情况：1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们可以说该点在线上。
要证明一个点在线上，我们可以将该点的坐标代入直线的方程中，如果等式成立，则说明该点在线上。
2. 点在线上方或下方：对于一条直线，我们可以将它分为上方和下方两个区域。
对于一个点，如果它的纵坐标大于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线上方；如果它的纵坐标小于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线下方。
解析几何中的直线与直线的位置关系
解析几何中的直线与直线的位置关系解析几何中，直线与直线间的位置关系是一个重要的研究课题。
直线的位置关系可以分为三种基本情况：平行、相交和重合。
在本文中，我们将深入探讨这三种情况，并给出相应的例子和证明。
1. 平行的直线在解析几何中，如果两条直线的斜率相等且不相交，我们称它们为平行直线。
平行直线永远不会相交，它们在平面内或空间中始终保持相同的距离。
下面我们举个例子来说明平行直线的情况。
例1：已知直线L1的方程为y = 2x + 3，直线L2的方程为y = 2x + 5，证明L1与L2平行。
解：我们需要比较L1和L2的斜率以判断它们的位置关系。
可以观察到L1和L2的斜率都是2，且不相等。
因此，根据定义，L1与L2是平行的。
2. 相交的直线相交的直线是指两条直线在平面内或空间中有一个公共点。
相交的直线可以进一步分为两种情况：相交于一点和相交于一条直线。
2.1 相交于一点如果两条直线在平面内或空间中有且仅有一个公共点，我们称它们为相交于一点的直线。
下面我们给出一个例子。
例2：已知直线L3的方程为y = 2x + 3，直线L4的方程为y = -x + 5，证明L3与L4相交于一点。
解：为了证明L3与L4相交于一点，我们需要找到它们的交点。
将L3和L4的方程联立解方程组：2x + 3 = -x + 53x = 2x = 2/3将x的值代入L3或L4的方程中，可以求得y的值：y = 2(2/3) + 3y = 8/3因此，L3与L4相交于点(2/3, 8/3)。
2.2 相交于一条直线有时候，两条直线有无数个公共点，我们称它们为相交于一条直线的直线。
这种情况经常出现在平面解析几何中，例如两条直线分别表示平面上的两个边界。
例3：已知直线L5的方程为y = 2x + 3，直线L6的方程为y = 2x - 1，证明L5与L6相交于一条直线。
解：我们可以观察到L5和L6的方程中，它们的斜率相等。
因此，直线L5和L6的斜率相等且不相交，根据定义，它们相交于一条直线。
立体几何——两条直线之间的位置关系(一)
立体几何——两条直线之间的位置关系（一）一、知识导学1.平面的基本性质. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线. 异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体ABCD-A B C D中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、D C的中点，则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC.D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又, GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD, 又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,,直线EG,FH,AC相交于一点T.[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题．[例4]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明∵ AB//CD， AB，CD确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，即 E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F，G，H四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴ AB，CD必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M．又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．∴ M∈α∩β．又∵α∩β＝，∴ M∈，即 AB，CD，共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1?若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2?当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC于点O .(2)BD1和AC是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC证明：∵PA ⊥平面ABC∴PA⊥BA又∵BA⊥AC ∴BA⊥平面PAC∴AD是BD在平面PAC内的射影又∵BD⊥PC∴AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1．如图, P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BF所成角的大小为．3. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线DB1与面对角线BC1所成的角是，它们的距离是 .4.长方体中，则所成角的大小为_ ___.5.关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角. 其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P 点不重合．求证：EF和DH是异面直线．。
空间几何的基本定理和证明
空间几何的基本定理和证明空间几何是研究空间中点、线、面和体之间的位置、形态、大小、相对位置等性质的数学分支。
在空间几何中，有一些基本定理是我们必须要了解和掌握的。
本文将介绍几个常见的空间几何基本定理，并给出相应的证明。
一、平行线定理：平行线是位于同一平面内且不相交的两条直线。
在空间几何中，平行线间的关系有着重要的应用。
平行线定理如下：定理1：如果两条直线与第三条直线相交，且与第三条直线分别平行，则这两条直线互相平行。
证明：设直线l和m与直线n相交，且l与n平行，m与n平行。
我们需证明直线l与m平行。
根据平行线的定义，我们可以得到以下两组对应角相等关系：∠1 = ∠2，∠1 = ∠3；∠4 = ∠5，∠4 = ∠6。
现在我们来证明∠2 = ∠3 = ∠5 = ∠6，这样就证明了直线l与m平行。
根据同位角定理，我们可以得到：∠2 + ∠4 = 180°，∠3 + ∠6 = 180°。
将上述两个等式相加并整理得：∠2 + ∠4 + ∠3 + ∠6 = 360°。
由于∠2 = ∠3，∠4 = ∠5，∠5 = ∠6，代入上式我们可以得到：2∠2 + 2∠5 = 360°。
化简得：∠2 + ∠5 = 180°。
根据同位角的定义，∠2 + ∠5是直线l与m的内错角。
据直线外角定理，直线l与m的内错角相等，即∠2 + ∠5 = 180°。
因此，我们证明了直线l与m平行。
二、垂直定理：在空间几何中，垂直是指两个直线或线段相交时，交点的四个周围角都是直角（90°）。
垂直定理如下：定理2：直线和平面垂直的等价条件是直线上的任意一条直线垂直于平面。
证明：我们设直线l与平面P相交于点A，我们需要证明l上的任意一条直线垂直于平面P。
取直线l上任意一点B，连接OB。
构造平面Q，使得平面Q 过直线l且垂直于平面P。
则由垂直平面的性质得知，直线l就在平面Q内。
立体几何3直线与平面的位置关系(平行、垂直、异面)-高考数学专题复习
立体几何—直线与平面的位置关系（平行、垂直、异面）知识精要1、证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2、证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
3、证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。
4、 空间向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则：(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 5、 夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.6、 异面直线间的距离 ：||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).7、点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 热身练习：1、A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ C ）()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈A l A l ,内不在()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合2、对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有 （ B ）（1和4）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个3、在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与HG 相交于一点M ，那么 （ A ）()A M 一定在直线AC 上 ()B M 一定在直线BD 上 ()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上4、设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则,,满足（ B ） （A ） 共线 （B ） 共面 （C ） 不共面 （D ） 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。
直线和圆位置关系的判定
判定直线与圆的位置关系常见的方式(1)几何法：利用弦心距d 与半径r 的关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程，再利用Δ判定．(3)点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判定直线与圆相交．上述方式中最经常使用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．例一、已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； 方式一：证明：由⎩⎨⎧=++-+=12)1()1(122y x kx y ，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为∆＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． 方式二：证明：圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径R ＝23， R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×8<0， 故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，因此R 2－d 2>0，即d <R ，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．方式三：证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝R ，因此点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总通过圆C 内部的定点P .因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．点评：在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一路综合考虑，不要单纯依托代数计算，如此既简单又不容易犯错．针对性练习：1．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分没必要要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜12.已知点P(a,b)(ab ≠0)是圆x 2+y 2=r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax+by=r 2,那么( )(A)m ∥l ,且l 与圆相交 (B)m ⊥l ，且l 与圆相切 (C)m ∥l ,且l 与圆相离 (D)m ⊥l ,且l 与圆相离解析：选C.直线m 的方程为()a y b x a ,b -=-- 即ax+by-a 2-b 2=0,∵P 在圆内，∴a 2+b 2<r 2,∴m ∥l , ∵圆心到直线l 的距离222r d r,a b=>+ ∴直线l 与圆相离. 3．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①假设点P 在圆O上，那么直线l 与圆O 相切；②假设点P 在圆O 外，那么直线l 与圆O 相离；③假设点P 在圆O 内，那么直线l 与圆O 相交；④不管点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依照点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，假设点P 在圆O 上，那么x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；假设点P 在圆O 外，那么x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；假设点P 在圆O 内，那么x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．选A4．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.假设点P 到直线l 的距离为2，那么符合题意的点P 有__________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，那么知足题意的点P 有2个．答案：25．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于_______。
高中数学几何证明公式定理
高中数学几何证明相关定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
（1）判定直线在平面内的依据（2）判定点在平面内的方法公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（1）确定一个平面的依据（2）判定若干个点共面的依据推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。
（1）判定若干条直线共面的依据（2）判断若干个平面重合的依据（3）判断几何图形是平面图形的依据推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。
立体几何直线与平面空间二直线平行直线公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线空间直线和平面位置关系（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点（3）直线和平面平行——没有公共点立体几何直线与平面直线与平面所成的角（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平面两个平面平行判定性质（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（2）垂直于同一直线的两个平面平行（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角两平面垂直判定性质如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内立体几何多面体、棱柱、棱锥多面体定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
2019-2020年高三数学一轮复习第十三篇几何证明选讲第2节直线与圆的位置关系课件理
解析:由切割线定理得 PA2=PC·PD,
得 PD= PA 2 = 6 2 =12,
PC
3
所以 CD=PD-PC=12-3=9,即 CE+ED=9,
因为 CE∶ED=2∶1,所以 CE=6,ED=3.
由相交弦定理得 AE·EB=CE·ED,
即 9EB=6×3,得 EB=2.
所以 CH⊥AD.又 AB 为圆的直径,
所以∠ACB=90°,
所以 CB2=BH·BA. 因为∠BCF=∠CAB=∠D,
所以△BCF∽△BDC,所以 BC = BF
BD
BC
,
所以 BC2=BF·BD,所以 BH·BA=BF·BD.
审题点拨
关键点
所获信息
AC 是☉O1 的切线,割线 DE 与 AC 交于点 P
定义、定理 及推论
内容
定义 判定定理
如果一条直线与一个圆有唯一公共点,则这条直线叫做这 个圆的切线,公共点叫做切点 经过半径的外端并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线
性质定理
性质定理 的推论
圆的切线 垂直于 经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 . 经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 .
(2)若AB=4,AE=2,求CD的长.
【例 2】 (2015 沈阳一模)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上的两 个点,CE⊥AB 于 E,BD 交 AC 于 G,交 CE 于 F,CF=FG. (1)求证:C 是劣弧 BD的中点;
证明:(2)因为∠GBC= π -∠CGB,∠FCB= π -∠GCF, 22
(B)①②④
(C)③⑤
(D)①③⑤
解析:①错误,若弧不一样,则圆心角与圆周角的关系不确定;②错误,只有在同 圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧才相等;③正确,可以推出等腰梯形的对角 互补,所以有外接圆;④错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,所夹的弧 的度数等于该弧所对圆心角的度数,所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度 数的2倍;⑤正确,圆内接四边形ABCD的对角互补.
几何形的位置和方位关系
几何形的位置和方位关系几何形的位置和方位关系是几何学中的一个重要概念，描述了不同几何形之间的相对位置和方位关系。
几何形的位置和方位关系的研究对于解决实际问题、进行空间分析以及推理证明都具有重要意义。
本文将介绍几何形的位置和方位关系的基本概念以及常见的几何形之间的关系。
一、位置关系1. 内外关系：一个几何形是否包含于另一个几何形内部或外部。
如果一个几何形的所有点都在另一个几何形内部，我们可以说这个几何形被包含在内部；如果一个几何形的所有点都在另一个几何形的外部，我们可以说这个几何形在外部。
2. 相等关系：两个几何形的大小和形状完全相同。
如果两个几何形的所有点都可以一一对应，且对应的线段、角度、面积等相等，我们可以说这两个几何形是相等的。
3. 平行关系：两个几何形在同一平面上，且它们的对应边平行。
如果两个几何形的对应边都是平行的，我们可以说这两个几何形是平行的。
4. 垂直关系：两个几何形在同一平面上，且它们的对应边相互垂直。
如果两个几何形的对应边都相互垂直，我们可以说这两个几何形是垂直的。
5. 相交关系：两个几何形在同一平面上，且它们有公共的点或者线段。
如果两个几何形有公共的点或者线段，我们可以说这两个几何形是相交的。
二、方位关系1. 前后关系：用于描述几何形在二维平面上的前后位置。
如果一个几何形完全位于另一个几何形的前面，我们可以说这个几何形在前；如果一个几何形完全位于另一个几何形的后面，我们可以说这个几何形在后。
2. 上下关系：用于描述几何形在二维平面上的上下位置。
如果一个几何形完全位于另一个几何形的上方，我们可以说这个几何形在上；如果一个几何形完全位于另一个几何形的下方，我们可以说这个几何形在下。
3. 左右关系：用于描述几何形在二维平面上的左右位置。
如果一个几何形完全位于另一个几何形的左侧，我们可以说这个几何形在左；如果一个几何形完全位于另一个几何形的右侧，我们可以说这个几何形在右。
4. 内外关系：用于描述几何形在三维空间中的内外位置。
4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系
∠BAC= ,故以点A为原点,AB,AC,AA'所在直线分别
2
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图3-39).
设AA'=1,因为AB=AC= 2AA',所以A'(0,0,1) ,
B( 2,0,0), B'( 2,0,1),C(0, 2,0),C'(0, 2,1).
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-5
α⊥β，则 x＝________.
解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.
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4．已知 a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向
0
量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
求证：n丄α.
图 3-35
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分析 设m是平面α内的任意一条直线.要证明n丄α,只需证明n丄m.如何充分
运用条件,表达“m是平面α内的任意一条直线''呢？可以考虑将直线m的方
向向量用平面α的 一组基表示.
证明 设m是平面α内的任意一条直线(如图3-35(2)),a,b,,n依次为直线
理、数学抽象素养.
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探究导学
探究点1 用向量方法表示几何位置关系
因为直线的方向向量与平面的法向量是确定直线和平面位置的关键
因素,所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线与平
面间的平行、垂直等位置关系.
设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,用
平面解析几何中的位置关系分析
平面解析几何中的位置关系分析在平面解析几何中，研究的对象是平面上的点、直线和曲线等几何图形，而其中最基本的问题之一就是研究不同图形之间的位置关系。
通过对平面上的点、直线和曲线的相互作用进行分析，我们可以深入理解几何图形的性质和特点，进而应用于实际问题的解决中。
一、点与直线的位置关系分析在平面解析几何中，点与直线是最基础的几何要素。
研究点与直线的位置关系主要包括以下几种情况：1. 点在直线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们称该点在直线上。
点在直线上的判断可以通过直线上两点的坐标进行计算，若一个点的坐标同时满足直线的方程，则该点在直线上。
2. 点在直线的同侧或异侧：对于一条直线，可以将平面划分为直线的两侧。
当一个点与直线在同一侧时，我们称该点在直线的同侧；当一个点与直线在不同侧时，则称该点在直线的异侧。
3. 点与直线的距离：点与直线之间的距离是研究点与直线位置关系的重要指标之一。
计算点与直线之间的距离可以通过点到直线的垂线段来求解，通过计算垂线段的长度即可得到点与直线的距离。
二、点与曲线的位置关系分析除了直线之外，曲线也是平面解析几何中常见的几何要素。
研究点与曲线的位置关系主要有以下几种情况：1. 点在曲线上：与点在直线上类似，当一个点恰好位于曲线上时，我们称该点在曲线上。
对于给定的曲线方程，可以将点的坐标代入方程中进行计算，若方程成立，则该点在曲线上。
2. 点在曲线的内部或外部：曲线所包围的区域可以被称为曲线的内部，而曲线外部相应为曲线所不包围的区域。
当一个点位于曲线内部时，我们称该点在曲线的内部；当一个点位于曲线外部时，则称该点在曲线的外部。
3. 点与曲线的最短距离：点与曲线之间的最短距离是研究点与曲线位置关系的重要参考。
通过计算点到曲线上各点的距离，并取最小值，即可得到点与曲线的最短距离。
三、直线与直线的位置关系分析直线与直线之间的位置关系是平面解析几何中常见且重要的研究内容。
研究直线与直线的位置关系主要包括以下几种情况：1. 相交：当两条直线在某一点处交叉时，我们称这两条直线相交。
几何关系的证明与推理
几何关系的证明与推理在几何学中，证明与推理是重要的思维方式和方法。
通过证明与推理，我们可以从已知条件出发，推导出所要证明的结论，从而达到深入理解几何关系的目的。
本文将介绍几何关系的证明与推理过程，并探讨其中的一些常用方法。
一、几何关系的基本概念在进行几何证明与推理之前，我们首先需要了解几何关系的基本概念。
几何关系描述了几何图形之间的位置关系、大小关系等。
例如，线段之间可以平行、垂直；角之间可以相等或互补等。
这些基本概念为几何证明与推理提供了基础。
二、几何关系的证明步骤几何关系的证明通常需要遵循一定的步骤，以确保推理的正确性和严密性。
以下是常见的几何证明步骤：1. 给出已知条件：在进行几何证明时，我们首先需要明确已知条件。
已知条件可以是几何图形之间的关系或者性质等。
2. 设定待证命题：根据已知条件，我们可以得到一些性质或关系，但往往还不能直接得到所要证明的命题。
因此，我们需要根据已知条件设定待证命题。
3. 运用几何定理和性质进行推理：在进行几何证明时，我们可以利用已知的几何定理和性质进行推理。
通过运用几何定理和性质，我们可以推导出与已知条件相关的结论。
4. 构造辅助线或引入辅助点：在推理过程中，为了达到所要证明的目标，我们有时需要构造辅助线或引入辅助点。
通过构造辅助线或引入辅助点，我们可以改变几何图形的形态，从而更容易得出结论。
5. 运用推理手段和方法：在推理过程中，我们还可以运用推理手段和方法，如反证法、等价变换等。
这些推理手段和方法可以帮助我们更灵活地进行证明与推理。
6. 得出结论：通过前面的推理过程，我们最终可以得出所要证明的结论。
在得出结论之后，还可以进行反演证明、逆向推理等，以加深对几何关系的理解。
三、常用的几何证明方法在几何证明与推理中，有一些常用的方法可以帮助我们更好地进行推理。
以下是一些常见的几何证明方法：1. 直接证明：直接证明是最常见的证明方法，即通过逻辑推理和几何性质，直接推导出所要证明的结论。
几何图形的位置关系
几何图形的位置关系几何图形的位置关系是图形学中的基本概念之一，它描述了不同图形之间的相对位置和相互作用。
几何图形的位置关系对于几何学的研究和实际应用有着重要的意义。
本文将从几何图形的相交、包含和相离三个方面来探讨不同图形之间的位置关系。
一、几何图形的相交关系几何图形的相交关系是指两个或多个图形在平面上或者空间中有部分重叠的情况。
在平面几何中，常见的相交图形有线段相交、直线相交、多边形相交等。
当两个线段或直线相交时，可以根据相交点的个数和位置来判断相交关系。
若相交点为一个，则称为交点；若相交点为无穷多个，则称为重合；若无交点，则称为平行或不交。
而在三维空间中，两个平面或两个曲面的相交关系同样可以根据相交面的形状和位置来判断。
二、几何图形的包含关系几何图形的包含关系是指一个图形完全包含另一个图形的情况。
在平面几何中，包含关系主要有点包含于线、线包含于面等情况。
当一个点在一条线段上时，称为点在线段上；当一条线段在一个圆内部时，称为线段在圆内。
在三维空间中，包含关系也可以用来描述立体图形之间的位置关系，例如一个立方体包含于另一个立方体。
三、几何图形的相离关系几何图形的相离关系是指两个或多个图形在平面上或者空间中没有任何重叠部分的情况。
在平面几何中，相离关系可以通过判断两个图形之间是否存在公共点来确定。
若两个图形没有任何公共点，则它们是相离的。
在三维空间中，相离关系的判断也可以通过判断两个图形是否有交集来进行。
在几何图形的位置关系中，有些关系是互斥的，即两个图形不能同时满足某一种位置关系。
例如，两个平行的线段是不可能相交的；两个线段交叉的情况下，就无法再说它们相离。
因此，在分析几何图形的位置关系时，需要综合考虑不同的条件和情况，以准确地描述图形之间的位置关系。
通过对几何图形的相交、包含和相离三种基本关系的研究，我们可以更好地理解不同图形之间的位置关系，从而在实际应用中能够进行准确的描述和分析。
几何图形的位置关系在工程设计、建筑规划、计算机图形学等领域具有广泛的应用，对于几何学的发展和应用具有重要的意义。
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• 5、利用几何变换 、 • （二）解析几何方法证明 • ① 直线的倾斜角相等（斜率相等） 直线的倾斜角相等（斜率相等） • ② 一直线上任两点到另一直线的距离相等 • （三）向量法证明 • 法向量（方向向量）共线 法向量（方向向量）
• 例1 已知 、Q、R顺次为△ABC的BC、CA、 已知P、 、 顺次为 顺次为△ 的 、 、 AB三边的中点，求证：圆ABC在A点的切 三边的中点， 三边的中点 求证： 在 点的切 线AD与圆 与圆PQR在P点的切线 平行． 在 点的切线PF平行． 与圆 点的切线 平行
• 证明 : • ∵EF∥AB， • ∴△ABG∽△FEG． • 又∵ABCD是平行四边形， • ∴EF∥AB∥CD． • ∴△CDH∽△EFH． •
• ∴GH∥BC．
二、直线互相垂直的证明方法
• （一）平面几何方法证明 • （二）解析几何方法证明 • （三）代数方法 • （四）向量法证明
（一）平面几何方法证明
• 3、四边形： 、四边形： 矩形的两邻边互相垂直。 ①矩形的两邻边互相垂直。 菱形的两对角线互相帮助垂直。 ②菱形的两对角线互相帮助垂直 4、圆： 、 ①平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦， 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦， 平分弦所对的弧的直径垂直于这条弦。 平分弦所对的弧的直径垂直于这条弦。 半圆或直径所对的圆周角是直角（ ②半圆或直径所对的圆周角是直角（图2）。 ）。
几何位置关系的证明
一、平行线的证明方法 二、直线互相垂直的证明方法 三、共线点的证明方法 四、共点线的证明方法 五、共圆点的证明方法 六、共点圆的证明方法
一、平行线的证明方法
• （一）平面几何方法证明 • （二）解析几何方法证明 • （三）向量法证明
（一）平面几何方法证明
• 1、平行线与相交线： 、平行线与相交线： 在同一平面内两条不相交的直线平行。 ①在同一平面内两条不相交的直线平行。 同平行、 ②同平行、或同垂直于第三直线 的两条直 线平行。 线平行。 ③同位角相等、或内错角相等、或外错角 同位角相等、或内错角相等、 相等、或同旁内角互补、 相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补 的两条直线平行。 的两条直线平行。 • ④利用平行线截得比例线段定理的逆定理
• 例6 设X、Y、Z是△ABC外接圆上一点 在 外接圆上一点P在 、 、 是 外接圆上一点 BC、AC、AB边上的射影，求证：X、Y、 边上的射影， 、 、 边上的射影 求证： 、 、 Z共线． 共线． 共线
• • • • • • • • • • • •
证明 连结XY、 、 、 ． 连结 、XZ、PB、PC． 由于PX⊥ ， 由于 ⊥BC， PY⊥AC， ⊥ ， PZ⊥AB． ⊥ ． 所以P、 、 、 四点共圆 四点共圆， 所以 、X、B、Z四点共圆， P、C、Y、X四点共圆． 四点共圆． 、 、 、 四点共圆 所以∠ 所以∠PXZ=∠PBZ=∠PCA． ∠ ∠ ． 所以∠ 所以∠PXZ＋∠PXY=∠PCA＋(180°-∠PCA) ＋ ∠ ＋ °∠ =180°． ° 所以X、 、 三点共线 三点共线． 所以 、Y、Z三点共线． 这条直线被称为P点关于 点关于△ 的西孟孙(Simson) 这条直线被称为 点关于△ABC的西孟孙 的西孟孙 线．
D
D
• 证明 ∵∠DAC=∠B， • 又∵四边形BPQR是平行四边形， • ∴∠B=∠PQR． • 由于∠PQR=∠RPE， • 又RP∥AC，∴∠RPE=∠F． • ∴∠F=∠DAC=∠DAF． • ∴AD∥PF．
• 例2：设E、F分别是 分别是ABCD内、外一点， ： 、 分别是 内 外一点， AF、BE交于 、CE、DF交于 ，且 交于G、 、 交于 交于H， 、 交于 EF∥AB． ∥ ． • 求证： ∥ 求证：GH∥BC
• 3、四边形： 、四边形： ①平行四边形的对边平行。 平行四边形的对边平行。 ②梯形的两底边平行。 梯形的两底边平行。 ③梯形的中位线平行于两底。 梯形的中位线平行于两底。 4、圆： 、 ①夹两等弧且在圆内不相交的二弦平行 （图5）。 ）。 ②二等圆的两条外公切线平行。 二等圆的两条外公切线平行。
五、共圆点的证明方法
• 1．要证明若干点共圆，先设法发现其中以 ．要证明若干点共圆， 某两点为端点的线段恰为一直径， 某两点为端点的线段恰为一直径，然后证 明其他点对这条线段的视角均为直角． 明其他点对这条线段的视角均为直角． • 2．要证明若干点共圆，先证其中四点共圆， ．要证明若干点共圆，先证其中四点共圆， 然后再证明其余点均在这个圆上． 然后再证明其余点均在这个圆上． • 3．要证明四点 、B、C、D共圆，可证四 共圆， ．要证明四点A、 、 、 共圆 边形ABCD的对角互补，或证某两点视另两 的对角互补， 边形 的对角互补 点所连线段的视角相等． 点所连线段的视角相等． • 4．如果二直线 、CD相交于 点，就有 相交于O点 ．如果二直线AB、 相交于 AO 向线段的乘积而言， 向线段的乘积而言， = CO ，
• ∴EF∥DC． ∥ ． • ∴EF⊥BC． ⊥ ．
三、共线点的证明方法
• （一）平面几何方法证明 • 1．连结AB、BC，证明∠ABC＝180°或 ．连结 、 ，证明∠ ＝ ° ∠ABC=0°． ° • 2．连结 、BC，证明它们共同垂直或平 ．连结AB、 ， 行于某一直线． 行于某一直线． • 3．连结 、BC，过B作直线 ，证明 作直线XY， ．连结AB、 ， 作直线 ∠XBA＝∠YBC． ＝ ． • 4．证明 、B、C同在某一定直线上． 同在某一定直线上． ．证明A、 、 同在某一定直线上 • 5．如果证明四点共线，先证其中某三点共 ．如果证明四点共线， 再证这条直线通过第四点等等． 线，再证这条直线通过第四点等等． • 6．三角形 的面积等于0 ．三角形ABC的面积等于 的面积等于
• ③三角形一边上的中线等于这条边的一半， 三角形一边上的中线等于这条边的一半， 则这边所对的内角为直角 • （图1）。 ）。 • ④三角形一边的平方等于其他两边的平方 则这边所对的内角为直角。 和，则这边所对的内角为直角。 三角形（或多边形） ⑤三角形（或多边形）一边上的高垂直于 这条边。 这条边。 等腰三角形顶角的平分线、 ⑥等腰三角形顶角的平分线、或底边上的 中线垂直于底边。 中线垂直于底边。 • ⑦利用两边对应垂直的相似三角形的第三 边互相垂直
• • ∴∠FPG=∠FSP． • ∴FP=FS． • 已知FG平分∠F， • ∴FG⊥EG．
• 例4 设AB⊥BC，DC⊥BC，AC、BD交于 ⊥ ， ⊥ ， 、 交于 E点，F是BC上一点，且∠1=∠2． 上一点， 点 是 上一点 ∠ ． • 求证：EF⊥BC 求证： ⊥
• 证明 • ∵AB⊥BC，DC⊥BC， ⊥ ， ⊥ ， • ∴AB∥CDБайду номын сангаас ∥ ． • ∴△AEB∽△CED． ∽ ． • 又∵∠ ∠2，∠ABF=∠DCF=90°， ∵∠1=∠ ， ∠ ° • ∴△ABF∽△DCF． ∽ ． •
• 2、三角形： 、三角形： 三角形的中位线平行于第三边。 ①三角形的中位线平行于第三边。 一条直线截三角形的两边（ ②一条直线截三角形的两边（或两边的延 长线）所得的对应线段成比例， 长线）所得的对应线段成比例，则这条直 线平行于三角形的第三边 （图3、4） 、 ） • ③利用同低等面积的两三角形的底边与另 两对应点连线平行
• 例7已知点 （1，2）、 （2，4）、 （3， 已知点A（ ， ）、 ）、B（ ， ）、 ）、C（ ， 已知点 6），求证：A、B、C三点共线。 ），求证 三点共线。 ），求证： 、 、 三点共线
四、共点线的证明方法
• （一）平面几何证明方法 • 1．证直线a、b、c共点，可先确定 、b交于一 共点， ．证直线 、 、 共点 可先确定a、 交于一 上取两点Q、 ，证明P、 、 点P，然后在直线 上取两点 、R，证明 、Q、 ，然后在直线c上取两点 R共线．这样就把共点线问题转化为共线点问题 共线． 共线 来解决了． 来解决了． • 2．证直线 、b、c共点，可先证 、b交于某点 共点， ．证直线a、 、 共点 可先证a、 交于某点 P，然后将 与c上一点 连结，证明 与c重 上一点Q连结 ，然后将P与 上一点 连结，证明PQ与 重 合． • 3．证明若干条直线共点，可证它们都通过某一 ．证明若干条直线共点， 特殊点． 特殊点． • 4．应用已知共点线定理等等 ．应用已知共点线定理等等． • （二）解析几何证明方法 • 两线的交点在第三直线上
• （二）解析几何方法证明 • 1、任两点的斜率相等 、 • 2、第三点的坐标其他两点所在的直线方程 、 • 3、任两点构成直线的夹角为0 、任两点构成直线的夹角为 • （三）向量方法证明 • 向量平行的充要条件
• 例5 设P是△ABC的BC边上的任一点，M、 边上的任一点， 、 是 的 边上的任一点 N分别是 、AC的中点，连结 分别是AB、 的中点 连结PM并延长 的中点， 分别是 并延长 PM至Q，使MQ=PM，连结 并延长 至 并延长PN至 至 ， ，连结PN并延长 R，使NR=PN．则Q、A、R三点共线． 三点共线． ， ． 、 、 三点共线
• 1、相交线与平行线： 、相交线与平行线： 两条直线相交所成的四个角中， ①两条直线相交所成的四个角中，有一个 角是直角，则这两条直线互相垂直。 角是直角，则这两条直线互相垂直。 两平行线中有一条垂直第三直线， ②两平行线中有一条垂直第三直线，则另 一条也垂直第三直线 。 • 2、三角形： 、三角形： 直角三角形的两直角边互相垂直。 ①直角三角形的两直角边互相垂直。 ②三角形的两内角互余，则第三个内角为 三角形的两内角互余， 直角。 直角。
• 例3设四边形 设四边形ABCD中，∠A+∠BCD=180°， 设四边形 中 ∠ ° AD、BC交于 ，AB、DC交于 ．∠E、∠F 交于F， 、 交于 交于E． 、 交于 、 的角平分线交于G． 的角平分线交于 ． • 求证： ⊥ 求证：FG⊥EG