24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(第3课时)PPT课件

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24.2点、直线、圆和圆的位置关系(第3课时)

24.2点、直线、圆和圆的位置关系（第3课时）一、学习目标：1. 了解切线长的概念。

2. 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用。

二、学习重点、难点：1. 重点：切线长定理及其运用。

2. 难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题。

三、学习过程：（一）温故知新1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？（口述）（二）自主学习自学教材P96---P98，思考下列问题：1.按探究要求，请同学们动手操作，你发现哪些等量关系？2.什么叫切线长？默写切线长定理，并加以证明。

3.依据“温故知新”第1题作的三角形的三条角平分线，思考一下交点到三边的距离相等吗？请以交点为圆心，以这一距离为半径作圆，你发现什么？4.什么叫三角形的内切圆、三角形的内心？（三）合作探究例1：如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长．BA CE DOFE DOABCF 例2：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm,CA=13cm,求AF 、BD 、CE 的长。

（四）巩固练习3.如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．（五）达标训练1.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，•从这点到圆的最短距离为（）．A ．93B ．9（3-1）C ．9（5-1）D ．92.如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB= 30°，则∠ACB=（）． A ．60° B ．75° C ．105° D ．120°BAC POB AC DPOBACBA CE D OF(1) (2) (3)(4) BAP O3．如图2，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，•已知PA=7cm ，则△PCD 的周长等于_________．4．如图3，边长为a 的正三角形的内切圆半径是_________．5．如图4，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，则四边形OECF 是_______．6、如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，求证∠ABO=12∠APB.（六）拓展创新1．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a ，则∠APB=（）A ．180°-aB ．90°-aC ．90°+aD ．180°-2a2.如图所示，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，• 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A 的度数．OPACBBA CED OF。

人教版初中九年级上册数学课件《直线和圆的位置关系》圆(第3课时切线长定理和三角形的内切圆)

A．60° C．30°或 120°
B．120° D．60°或 120°
11
9．【四川泸州中考】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切于点 D、E、F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是( D )
A．31010 C．355
B．3
10 5
D．655
12
10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接 AC，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则 PQ 的长是( B )
15
13．如图，在△ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，若∠A＝70°，则∠FDE 的度数为____5_5__°___.
16
14．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC ＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD、CE的长．
第二十四章圆
直线和圆的位置关系
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
以练助学
名师点睛
知识点1 切线长和切线长定理经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．核心提示：(1)从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切
2
线．(2)切线长定理主要用于证明线段相等、角
知识点2 三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．【典例】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为点Q，分别交PA、PB于点F、E.已知PA＝12cm，求△PEF的周长．

24.2.2.3直线和圆的位置关系课件人教版数学九年级上册

=360°-(50°+90°+90)
=130°
..ztDF-1zEOfF=65°
【综合拓展类作业】 1.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积? 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算
公式—海伦公式S= √p(p-a)(p-b)(p-c) ( 其中a,b,c 是三角形的三边长，
(1)PO1 AB; (2)AO1 AP,BO1 BP;
(3)AP=BP;
(4)∠1=∠2=∠3=∠4;
(5)AD=BD.
思考：一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切?
问题1圆心应满足什么条件? 圆心到三角形三条边的距离都等于半径
问题2如何确定圆心与半径? 三角形三条角平分线的交点(圆心)到三边的距离(半径)相等
如果AF=2,BD=7,CE=4, 则BC=1,AC=6,AB=9.
4.如图，PA、PB、DE分别切oO 于A、B、C,DE分别交PA,PB于D、E,已知 P到OO 的切线长为8cm, 则△PDE的周长为16 cm
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，△ABC中，∠B=43°,∠C=61°, 点是△ABC的内心，求∠BIC的度数
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言： ∵PA,PB 切00于点A,B ∴PA=PB,∠APO=∠BPO
特别提醒经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；
经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等.
点P在 0O 外能作2条切线
1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

直线和圆的位置关系ppt课件

a、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。 b、根据定义来判断直线和圆的位置关系，会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。
c、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线
知识目标
能力目标
情感目标
教材分析
3 .教学重点、难点
教学分析
教学重点
直线和圆的三种位置关系是重点。
教学难点
直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
教学流程
06 板书设计
课题：直线和圆的位置关系 1，相交、相切、相离的定义。 2，直线与圆的位置关系的性质定理。 3，直线与圆的位置关系的判定方法。 4 ，作业布置
教学程序分析
教学效果的预测
教学反思亮点
教学效果的预测
学生对新知识的积极性比较好，已经掌握了直线与圆 1 的位置关系的判定。即：公共点的个数来判定，圆心
教材分析
2 .教学目标
教学分析
创设情境导入新课，以观察素材入手,提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象出几何图形，再表示出来。让学生感受到实际生活中，存在的直线和圆的三种位置关系，便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。
让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的关系。
教学程序分析
课前学习
教学过程如下：
创设情境提出问题探究发现
建构知识应用举例
回顾反思拓展延伸
教学程序分析
教学流程
01 创设情境，提出问题
让学生观察太阳升起的过程，引出课题并回顾点与圆有几种位置关系，如何判定点和圆的位置关系，

24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)

l1 1 A
O
l2
2 B
-7-
2、如图，以O为圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 是小圆的切线，切点为P。求证：AP=BP。见切点，连半径，得垂直。证明：如图，连接OP ∵AB是小圆的切线， P为切点 ∴OP⊥AB 在大圆⊙O中, 根据垂径定理，得
AP=BP
-8-
3.如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB.
∴OC⊥AB
巩固
-6-
1、如图， AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线， A、B是切点，l1与l2有怎样的位置关系？证明你的结论。
证明：∵ AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A ,B是切点 ∴AB⊥ l1 ,AB⊥ l2 ∴∠1=∠2=90º ∴∠1+∠2=180º ∴ l1 ∥l2
24.2.2
直线和圆的位置关系（3）
-2-
作图1：过⊙O外一点P作直线。
作图2：若点C为⊙O上的一点，如何过点C作⊙O 的切线呢？
C
-3-
思考：如图，如果直线 AB是⊙O的切线，
切点为C，那么半径OC与直线AB是不是一定垂直呢？
-4-
如果AB是 ⊙O 的切线，C 为切点，那么AB⊥OC.
你能说明理由吗？
3
2
1
即CD是⊙O的切线
-10-
回顾本节课的学习历程，你有哪些收获？还有什么疑问？
一、切线的性质： 1.切线与圆只有一个公共点。 2.切线和圆心的距离等于半径。 3.切线垂直于过切点的半径。二、辅助线的作法：见切点，连半径，得垂直。
反证法：假设AB与OC不垂直则过点O作OM⊥AB,垂足为M

初中数学直线和圆的位置关系(第三课时)公开课课件

E D
(1)直线BE与⊙O相切吗?并说明理由; (2)若CA=2，CD=4，求DE的长。
CA
O
B
再见
O l
r
A
O r
l A
O l
r
A
工巩作固总新结知
如图，经过⊙O上的一点P，你能用三角尺画出⊙O 的切线吗？你是怎样画的？能画出几条？为什么？
.P O.
l
结论：经过圆上任意一点，能且只能画一条圆的切线。
工学作以总致结用
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，
O
并且OA=OB，CA=CB。直线AB是⊙O
CD过⊙O半径外端 OC⊥CD
∠1 + ∠2 = 90°
∠3+∠2 = 90°
∠ 3 =∠1
过点O作OE⊥BC ∠ 3 =∠A ∠1=∠A
C
2 3
1
E
D
O
B
工巩作固总新结知
如图所示，在∆ABC中，AB=BC，以∆ABC 的边AB为直径作⊙O，交AC于点D,过点D
D
C
作DE⊥BC,垂足为点E。直线DE与⊙O相切吗？并说明理由
A
•
O
E B
直线DE是⊙O的切线
①DE过⊙O ②直线DE⊥OD 上的点D
OD∥BC
工归作纳总提结升
已知点在圆上，连半径，证垂直。
未知点在圆上，作垂直，证半径。
等腰三角形（三线合一）
已知有直角转化
没有直角
全等三角形
平行
直径上的
构建直角圆周角
垂径定理
工课作堂总小结结
数学实验 → 观察→ 猜想 → 证明。方法由特殊到一般，类比，转化等。

24.2.2+第3课时++切线长定理+课件+2023-2024学年人教版数学九年级上册

∴AD＝BD， ∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴ID＝AD＝
2 2
AB＝5
2
.
13．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB 是⊙O 的直
径，CO 平分∠BCD.
(1)求证：直线 CD 与⊙O 相切； (1)证明：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E， ∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴r＝3，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2.)
知识点 2 三角形的内切圆 5．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，若∠DFE＝50°，则∠C 的度数为__8_0_°.
6．如图，△ABC 的周长为 24，其内切圆⊙O 分别切三边于 D，E，F 三点， AF＝3，FC＝4，则 BE 的长为__5__.
10．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AB＝AC＝10，BC＝12.则⊙O 的半径为_3___.
11．如图，AB，AC 是⊙O 的两条切线，B，C 为切点，∠A＝50°，P 是⊙O 上异于 B，C 的一个动点，则∠BPC＝ 65°或 115° .
12．(教材第 124 页第 13 题改)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点 D，连接 AD. (1)求证：DA＝DI；解：(1)连接 AI，∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵I 为△ABC 的内心，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD，BC 是⊙O 的切线，
由(1)得 CD 是⊙O 的切线， ∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2， ∴CD＝ED＋EC＝3， ∴DF＝ CD2－CF2 ＝ 32－12 ＝2 2 ， ∴AB＝DF＝2 2 ， ∴⊙O 的半径为 2 .
∴∠BAI＝∠CAI，∠ACD＝∠BCD＝∠BAD＝45°， ∵∠DAI＝∠BAD＋∠BAI，∠DIA＝∠ACD＋∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA，∴DA＝DI；

人教版九年级数学上册第24章第2节《切线长定理》优质课件

(1)PA=P；
连接AB以后，
(2)OA⊥PA,OB⊥PB；
还能得到哪些
(3)OP平分∠AOB和∠APB；
信息？
(4)OP垂直平分AB.
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、 A
F，你能得到哪些信息？
E
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.
D .O
(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
C
BF
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续. 从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.
解：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、 O则CS.△1122AABABCB=·rSB△12CBAOCAB·r+CS12r△ABC12Ol·rCr.+S△AOC
拓展延伸
7.如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G 三点，且AB∥CD，BO＝ 6cm，CO＝8cm，求BC的长.
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
A
CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得
E
F.
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂演练
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，
CA，AB分别相切于点D，E，F，且 AB=11cm，BC=14cCm，CA=13cm，则

人教版数学九年级上册：24.直线和圆的位置关系-课件

直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和圆相切, 这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.
直线和圆没有公共点,这时我们就说这条直线和圆相离.
快速判断下列各图中直线与圆的位置关系
(从直线与圆公共点的个数) l
l
.O
.O1
.O2
.O ●
l
●
●
1) 相离
2) 直线l与O1相离 3) 相切
l
直线l与 O2相交
b2－4ac= [-(m+6)]2-4(m+9)=0
解得 m1= -8 m2= 0
d=r
当m=-8时原方程为x2+ 2x+1=0
x1=x2= -1 (不符合题意舍去)
当m=0时原方程为9x2- 6x+1=0
∴ x1=x2=
1 3
m=0
b2－4ac=0
[-(m+6)]2-4(m+9)=0
蓦然回首直线与圆的位置关系：
（1）r=2cm；
B
（2）r=2.4cm
(3) r=3cm．d:圆心O到直线的距离为d 过圆心作直线的垂线段
r ●O ┐d
相交
1)直线和圆相交 2)直线和圆相切 3)直线和圆相离
r ●O
d ┐ 相切
d < r;
d = r;
d > r;
r ●O
d
┐ 相离
轻松闯关
练习2 已知⊙A 的直径为 6，点 A 的坐标为（-3， -4），则⊙A 与 x 轴的位置关系是_相__离__，⊙A 与 y 轴的位置关系是_相__切___．
图形
直线与圆的位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系

点和圆直线和圆的位置关系课件PPT

直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直
线叫做圆的割线.直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直
线和圆相切,这条直线叫做圆的切线.直线和圆没有公共点,这时我
们说这条直线和圆相离.
设☉O的半径为r,点O到直线l的距离为d,则直线l和☉O相交
⇔d<r;直线l和☉O相切⇔d=r;直线l和☉O相离⇔d>r.
拓展点二
综合知识拓展
拓展点三
拓展点一圆的存在性与点和圆的位置关系
例1 A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是
(
)
A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上
B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外
C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外
D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内
定理是由“垂直得切线”;而性质定理是由“切线得垂直”.
当已知条件中有切线,而图形中没有经过切点的半径(或直径)时,
通常作出经过切点的半径,这是解答这类问题的常规辅助线.
31
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
综合知识拓展
知识点五
例3 如图,P是☉O外一点,PA是☉O的切线,A为切点,PO与☉O相
又∵∠P=28°,∴∠O=180°-90°-28°=62°.
∵∠O 和∠C 对的是同一条弧,
1
1
∴∠C=2∠O=2×62°=31°.
答案:C
33
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
综合知识拓展
知识点五
当题目中有圆的切点,而过切点的半径又没有时,一般
作出这条半径,再利用切线的性质定理结合圆周角等其

九年级数学上册 24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线与圆3三角形的外接圆和内切圆1_1

第24章
24.2.2直线与圆（3）三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆
1、能回忆起三角形的外接圆及外心，内切圆及内心。

2、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。

3、运用有关知识解决有关问题。

重点：
外接圆及内切圆的画法；外心和内心。

难点：
知识的综合运用。

一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
1、什么是三角形的外接圆与内切圆？
2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？
1、①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。

②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。

画圆的关键：
1、确定圆心
2、确定半径
三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半径是交点到顶点的距离。

三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径是交点到一边的距离。

三角形的外接圆：
A
O
B C。

24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理

C
证明：延长PO交⊙O于点C，连接AC、BC，
典例精析
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点 D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则 △PDE的周长为______，∠DOE的度数为______．
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
C
A
B
r
O
D
解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD= AB=1.5(cm)
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
A
B
C
O
c
D
E
r
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
3
知识点
三角形的内心的性质
问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？