第三章 回归分析基本方法最小二乘法PPT课件
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一元线性回归模型及参数的最小二乘估计课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
2.方法归纳：数形结合、转化化归. 3.常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程 致误.
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
最小二乘法在线性和非线性回归中的应用PPT课件
y a0 a1x
这样仍可用最小二乘法定出（从而也就定 出了A,C ），得到近似函数
S AeCt
13
第13页/共38页
下面列出几种常用的线性处理方法，利用最小 二乘法的原理对直线型、抛物线型和指数曲线 型的方程的参数估计方法 。
14
第14页/共38页
直线型
直线方程的一般形式为： Y a bX
lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数 f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T 中的参量x，使得
f T (x) f (x) f1(x)2 f2(x)2 fn (x)2
偏导数,并令导数等于0,得到联立方程组解方程组,即 可得到参数的计算公式。
Y na b X c X 2 0 Y X 2 a X b X 2 c X 3 0 Y X 2 a X 2 b X 3 c X 4 0
16
第16页/共38页
指数曲线型
指数曲线的一般形式为 Y abX
am
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
n
如果有向量a使得
(ri1a1 ri2a2 rimam yi )2 达到最小，
i1
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
9
第9页/共38页
线性最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
e=4.149e+05
25
第25页/共38页
用MATLAB作非线性最小二乘拟合
Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数： lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m， 在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参 考例题.
这样仍可用最小二乘法定出（从而也就定 出了A,C ），得到近似函数
S AeCt
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下面列出几种常用的线性处理方法，利用最小 二乘法的原理对直线型、抛物线型和指数曲线 型的方程的参数估计方法 。
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直线型
直线方程的一般形式为： Y a bX
lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数 f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T 中的参量x，使得
f T (x) f (x) f1(x)2 f2(x)2 fn (x)2
偏导数,并令导数等于0,得到联立方程组解方程组,即 可得到参数的计算公式。
Y na b X c X 2 0 Y X 2 a X b X 2 c X 3 0 Y X 2 a X 2 b X 3 c X 4 0
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指数曲线型
指数曲线的一般形式为 Y abX
am
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
n
如果有向量a使得
(ri1a1 ri2a2 rimam yi )2 达到最小，
i1
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
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线性最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
e=4.149e+05
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用MATLAB作非线性最小二乘拟合
Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数： lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m， 在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参 考例题.
第三章回归分析基本方法：最小二乘法
1/8/2019
中山大学南方学院经济系
29
Yi = X i i
• 于是，我们的回归模型就可以表示为：
Yi = X i i
• 我们用所得到的数据，采用回归分析的方法 来对模型中的参数进行估计。这样我们就可 以得到参数的估计值。被普遍采用的方法是 “最小二乘法”。
1/8/2019
n n
= =
(2
n n
2Yi 2 X i ) = 0
2 i
(2X
2 X iYi 2X i ) = 0
( X X )(Y Y ) x y = = x (X X )
i i i n n i 2 i n n
中山大学南方学院经济系
i
=Y X
中山大学南方学院经济系
30
第三节 最小二乘法
普通最小二乘估计量 • (ordinary least squares) OLS估计量
ˆX ˆ =Y ( X X )(Y Y ) xy ˆ = = 2 2 ( X X ) x
1/8/2019
中山大学南方学院经济系
31
OLS估计量的代数性质
拒绝H 0 t 0
右侧检验
拒绝H 0
0 t
必须显著低于才会拒绝 左侧检验
小的数值与H0不矛盾.，因此不会拒绝 H0
（1）H0：μ≤368 H1；μ>368 （2）检验统计量服从t分布
检验统计量:
x t0 = sx
372.5 368 = = 1.5 15 / 25
（3）α=0.05，查t分布表得：t=2.064， 接受域为（－ ∞ ，2.064） 结论：接受原假定。
最小二乘法和线性回归(精选)共92页PPT
最小二乘法和线性回归（精选）
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
最小二乘估计PPT课件
第21页/共29页
1.已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性 回归方程y=a+bx必经过点 ( D )
x
0
1
2
3
y
1Leabharlann 357A.（2，2） C.（1，2）
B.（1.5，0） D.（1.5，4）
第22页/共29页
2.(2014·湖北高考)根据如下样本数据 x3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0
yi
1 4 9 16 25 36 49 64 204
x2 i 1 4 9 16 25 36 49 64
204
xi yi
1 8 27 64 125 216 343 512 1 296
第19页/共29页
y=-15+9x.
思考：哪一个对呢？
第20页/共29页
所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散 点图.如果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这 个规律性进行拟合.如果散点图呈现出线性关系,我 们可以用最小二乘法估计出线性回归方程;如果散 点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利用其他的 工具进行拟合.
1.了解最小二乘法的思想. 2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性 回归方程.(重点) 3.会用线性回归方程对总体进行估计.(难点）
第2页/共29页
思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方
便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一:点到直线的距离公式
y
A xi , yi
第25页/共29页
（1）散点图如图 所示：
y /百万元
解：（1）
0
（2）数据如下表： 可以求得 b=0.5,a=0.4 线性回归方程为：
1.已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性 回归方程y=a+bx必经过点 ( D )
x
0
1
2
3
y
1Leabharlann 357A.（2，2） C.（1，2）
B.（1.5，0） D.（1.5，4）
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2.(2014·湖北高考)根据如下样本数据 x3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0
yi
1 4 9 16 25 36 49 64 204
x2 i 1 4 9 16 25 36 49 64
204
xi yi
1 8 27 64 125 216 343 512 1 296
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y=-15+9x.
思考：哪一个对呢？
第20页/共29页
所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散 点图.如果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这 个规律性进行拟合.如果散点图呈现出线性关系,我 们可以用最小二乘法估计出线性回归方程;如果散 点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利用其他的 工具进行拟合.
1.了解最小二乘法的思想. 2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性 回归方程.(重点) 3.会用线性回归方程对总体进行估计.(难点）
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思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方
便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一:点到直线的距离公式
y
A xi , yi
第25页/共29页
（1）散点图如图 所示：
y /百万元
解：（1）
0
（2）数据如下表： 可以求得 b=0.5,a=0.4 线性回归方程为：
232回归直线方程—最小二乘法-PPT精品文档
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56
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58
60
61
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据最小二乘法公式， 利用计算机可以求出 其回归直线方程
散 y 0 . 5 7 7 x 0 . 4 8 点 图
回 归 直 线
回归直线概念：散点图中心的分布从整体上看 大致是一条直线附近，该直线称为回归直线 求出回归直线的方程 我们就可以比较清楚地了解年龄与体 内脂肪含量之间的相关性
由此可以预测相应年龄段的脂肪含量 那我们又该如何具体求这个回归方程呢？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2
当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数 ； ；
(2)计算 xi 与 yi 的乘积,再求 (3)计算 ；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
13
年 龄 脂 肪
？ ？
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强. 回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来刻画应具有怎样的关系？Fra bibliotek方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
法二
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
回归分析基本方法最小二乘法课件
解方程组可以得到最佳参数值，使得预测值与实际观测值之 间的误差平方和最小化。
03
CHAPTER
最小二乘法的实现步骤
数据准备
01
02
03
数据收集
收集相关数据，确保数据 来源可靠，覆盖面广，能 够反映研究对象的特征和 规律。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺 失值填充、异常值处理、 数据类型转换等，以提高 数据质量。
在生物统计学中，最小二乘法可以通过对生物学数据进行分析，研究生物变量之间的关系和变化规律 ，从而为生物学研究和医学应用提供支持。这种方法在遗传学、流行病学、药理学等领域有广泛应用 。
06
CHAPTER
总结与展望
总结
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方 和来找到最佳函数匹配。在回归分析中，它用于估计两个 或多个变量之间的关系。
题的分析方法。
03
扩展到大数据和机器学习领域
随着大数据时代的到来，如何在大规模数据集上应用最小二乘法是一个
值得研究的方向。此外，机器学习算法中的一些优化技术也可以借鉴到
最小二乘法中，以加速计算和提高精度。
THANKS
谢谢
在所有线性无偏估计中，最小二乘法 的估计误差的方差最小，即它的估计 精度最高。
适合多种分布数据
最小二乘法对数据的分布类型要求不 高，可以用于正态分布和非正态分布 的数据。
缺点
对异常值敏感
假设限制多
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感， 异常值可能会对回归线的拟合产生显著影 响。
最小二乘法要求误差项具有零均值、同方 差和无序列相关等假设，这些假设在现实 中往往难以完全满足。
最小二乘法的应用
回归直线方程—最小二乘法ppt课件
？ ？
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强.
回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来描写应具有怎样的关系？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数根本一样。
法二
法三
1.画一条直线 2.丈量出各点 与它的间隔 3.挪动直线， 到达某一位置 使间隔的和最 小，丈量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
图
直 线
年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思索：将表中的年龄作为x代入回归方程，看看 得出的数值与真实数值之间的关系，从中他领会 到了什么？ y0.577x0.48
b
1
n
(xi x)2 1
a y b x
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2 当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏向最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数
；
(2)计算 xi与 yi 的乘积,再求
；
(3)计算
；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
2.由一组 10 个数据(xi，yi)算得 x5, y10,
n
n
xiyi 58,4 xi229,2则 b= 2 ,a= 0 ,
i1
i1
回归方程为 y=2x .
下面讨论如何表达这些点与一条直线y=bx+a 之间的间隔。
最小二乘法的公式的探求过程如下：
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强.
回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来描写应具有怎样的关系？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数根本一样。
法二
法三
1.画一条直线 2.丈量出各点 与它的间隔 3.挪动直线， 到达某一位置 使间隔的和最 小，丈量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
图
直 线
年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思索：将表中的年龄作为x代入回归方程，看看 得出的数值与真实数值之间的关系，从中他领会 到了什么？ y0.577x0.48
b
1
n
(xi x)2 1
a y b x
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2 当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏向最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数
；
(2)计算 xi与 yi 的乘积,再求
；
(3)计算
；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
2.由一组 10 个数据(xi，yi)算得 x5, y10,
n
n
xiyi 58,4 xi229,2则 b= 2 ,a= 0 ,
i1
i1
回归方程为 y=2x .
下面讨论如何表达这些点与一条直线y=bx+a 之间的间隔。
最小二乘法的公式的探求过程如下：
8.2.2一元线性回归模型的最小二乘估计课件(人教版)
ෝ =0.839x +28.957，令
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
第三章 一元模型的参数估计PPT课件
注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密 相关。
4
一、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
离差
要求样本函数仅可能好的拟合这组数值，我们可以考虑 使观测值Yi与样本回归值之差(残差ei)尽可能的小， 使之尽可能的接近PRF,即：
第三章 一元回归模型的参数估计
一、参数的普通最小二乘估计（OLS） 二、最小二乘估计量的数值性质 三、一元线性回归模型的基本假设 四、最小二乘估计量的统计性质 五、参数估计量的概率分布及随机干
扰项方差的估计 六、最小二乘估计（OLS）的精度或标准误
1
整体概况
概况一
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01
概况二
2、 ∑ei2＝f(^0 , ^1 )，即残差平方和是估计量^0 , ^1
的某个函数。 3、用OLS原理或方法选出来的^0 , ^1 ，将使得对
于给定的样本或数据残差平方和尽可能的小。 7
方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。
8
记
x i2(X i X )2X i2 1 n X i2
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02
概况三
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03
2
单方程计量经济学模型分为两大类： 线性模型和非线性模型
•线性模型中，变量之间的关系呈线性关系 •非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系
一元线性回归模型：只有一个解释变量
Y i 01X ii
i=1,2,…,n
Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估 参数， 为随机干扰项
6
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的
4
一、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
离差
要求样本函数仅可能好的拟合这组数值，我们可以考虑 使观测值Yi与样本回归值之差(残差ei)尽可能的小， 使之尽可能的接近PRF,即：
第三章 一元回归模型的参数估计
一、参数的普通最小二乘估计（OLS） 二、最小二乘估计量的数值性质 三、一元线性回归模型的基本假设 四、最小二乘估计量的统计性质 五、参数估计量的概率分布及随机干
扰项方差的估计 六、最小二乘估计（OLS）的精度或标准误
1
整体概况
概况一
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01
概况二
2、 ∑ei2＝f(^0 , ^1 )，即残差平方和是估计量^0 , ^1
的某个函数。 3、用OLS原理或方法选出来的^0 , ^1 ，将使得对
于给定的样本或数据残差平方和尽可能的小。 7
方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。
8
记
x i2(X i X )2X i2 1 n X i2
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概况三
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03
2
单方程计量经济学模型分为两大类： 线性模型和非线性模型
•线性模型中，变量之间的关系呈线性关系 •非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系
一元线性回归模型：只有一个解释变量
Y i 01X ii
i=1,2,…,n
Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估 参数， 为随机干扰项
6
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的
最小二乘法PPT39一元线性回归(ppt 39)
利用年金现值公式： P = A (P/A,r,n) A = P/(P/A,r,n)
A -- 每年等额偿还额 P -- 期初贷款额 n — 期限 r — 年利率
利息支付额 = r×P
本金偿还额 = A – r×P
第二年初（即第一年末尚未偿还的本金额）
根据
=
P
– 1
(1(A-rr×)mPn)
PA
m
r
m
或Qb= Cf/(P-vc) =固定成本/（单价-单位变动成本）
损益平衡点销售额 设Rb为损益平衡点销售额
Rb = P×Qb = P×Cf/mc = Cf/MCR = 固定成本/边际贡献率
Qb - 损益平衡点销售量
练习：
某企业生产销售甲产品，单位售价为11元，单 位变动成本7元，全年甲产品应负担的固定成 本为4000元，请问：
P
A1
(1 i
i)n
或
P A(P / A,i, n)
• 年资本回收额：在给定的年限内等额回收初
始投入的资本或清偿初始所欠的债务。
• 年资本回收额为年金现值的逆运算。
A
P
1
i (1
i)
n
或
A P(A/ P,i, n)
案例分析1：
阿斗是个狂热的车迷，玩了多年的车，却始终 没有一辆自己的"坐骑"。终于有一天，阿斗时 来运转，不知通过什么途径，得到了一分收入 颇丰的工作，阿斗终于痛下决心，确定攒钱买 车，目标是十年后将一辆奔驰领进门。目标定 下后，阿斗发愁了，每年大概要存多少钱，才 能圆梦呢？
张三在一年前在银行里存入了1000元钱，当时的存款利率 是10%，存款到期时，张三上银行把钱取了出来，连本带 息总共1100元钱。张三是不是比1年钱更富有了呢？
A -- 每年等额偿还额 P -- 期初贷款额 n — 期限 r — 年利率
利息支付额 = r×P
本金偿还额 = A – r×P
第二年初（即第一年末尚未偿还的本金额）
根据
=
P
– 1
(1(A-rr×)mPn)
PA
m
r
m
或Qb= Cf/(P-vc) =固定成本/（单价-单位变动成本）
损益平衡点销售额 设Rb为损益平衡点销售额
Rb = P×Qb = P×Cf/mc = Cf/MCR = 固定成本/边际贡献率
Qb - 损益平衡点销售量
练习：
某企业生产销售甲产品，单位售价为11元，单 位变动成本7元，全年甲产品应负担的固定成 本为4000元，请问：
P
A1
(1 i
i)n
或
P A(P / A,i, n)
• 年资本回收额：在给定的年限内等额回收初
始投入的资本或清偿初始所欠的债务。
• 年资本回收额为年金现值的逆运算。
A
P
1
i (1
i)
n
或
A P(A/ P,i, n)
案例分析1：
阿斗是个狂热的车迷，玩了多年的车，却始终 没有一辆自己的"坐骑"。终于有一天，阿斗时 来运转，不知通过什么途径，得到了一分收入 颇丰的工作，阿斗终于痛下决心，确定攒钱买 车，目标是十年后将一辆奔驰领进门。目标定 下后，阿斗发愁了，每年大概要存多少钱，才 能圆梦呢？
张三在一年前在银行里存入了1000元钱，当时的存款利率 是10%，存款到期时，张三上银行把钱取了出来，连本带 息总共1100元钱。张三是不是比1年钱更富有了呢？
最小二乘法与回归分析22页PPT
既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
最小二乘法与回归分析
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
谢谢你的阅读
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最小二乘法与回归分析
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
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（1）既然两个变量之间没有一个确切的关是怎样的？
（3）怎样知道是否准确测定出了y和x之间的 关系（因果性效应）？
2020/12/2
中山大学南方学院经济系
19
• 计量经济学分析的应用： o y和x：某一个总体的两个变量 o 感兴趣：用x来解释y，或者说是研究y如何
1. 陈述需要检验的假设
例如: H0: = 45 2. 原假设用 H0 表示
3. 总是包含等号“=” （比如=, , ) 4. 检验以“假定原假设为真”开始
如何设定假设检验？
平均每天上网玩游戏时间不是5小时。
H0: = 5 H1: 5
例题 1
• 据报导，美国全职教授年薪的数学期望 值为68000美元，标准差为5000美元。一 个由36名大学全职教授组成的样本表明， 平均薪水为72000美元，检验报导的可信 性。（显著性水平为0.02）
结论：拒绝假定。
例题2
质检员认为在整个工作流 程中平均装盒量符合标准： 没有超过368克。随机抽 取25盒为样本，均值X = 372.5克，标准差s =15 克。 试在 =0.05的条件下进行 检验。
给出你的结论。
368 克.
接受域与拒绝域
H0:0 H1: < 0
拒绝H 0
H0:0 H1: > 0
中山大学南方学院经济系
15
回归分析
• 研究步骤： • 首先，要确定所研究的问题（因变量），
并根据经济理论，找出与该问题相关的、 有影响力的经济因素（自变量），并建 立因变量与自变量的关系式（经济模 型）。
2020/12/2
中山大学南方学院经济系
16
• 其次，按照科学的方法收集相应变 量的实际数据。
1-α 错误
拒绝
错误
正确
拒绝 H0
第一类 检验能
错误 力1 -
第三章 回归分析的基本方法： 最小二乘法
本章重点
• 经济学理论模型 • 最小二乘法 • 实例应用
2020/12/2
中山大学南方学院经济系
14
本章分析思路
• 建立经济学的理论模型 • 运用最小二乘法进行参数估计 • 实例运用
2020/12/2
• 最后，对所研究的问题作出结论。
2020/12/2
中山大学南方学院经济系
17
第一节 理论模型的建立
• 简单回归模型
•
是指两个变量的线性模型，其中
一个是因变量，一个是自变量。也称为“二
元线性方程”。
• 用数学公式表示就是：
Y=X
2020/12/2
中山大学南方学院经济系
18
• 建立x解释y的模型时，面临三个问题：
回归子 (regressand)
自变量 (independent variable)
解释变量 (explanatory variable)
控制变量 (control variable)
预测变量 (predictor variable)
回归元 (regressor)
22
一元回归模型的定义
Y=X
• 变量ε：随机误差项或随机扰动项
• 又称做两变量或双变量线性回归模型
two variable regression model)
(The
• β：y和x关系式中的斜率参数（slope parameter）
• α：截距参数（intercept parameter）
25
例1 大豆产出和施肥量
假使大豆的产出由以下模型所决定：
yie=ldfertilizer
• 2、产品的销量与产品价格的关系；
• 3、GDP与投资、经济运行的关系。
2020/12/2
中山大学南方学院经济系
21
一元回归的术语
Y
X
因变量 (dependent variable)
被解释变量 (explained variable)
响应变量 (response variable)
被预测变量 (predicted variable)
随x而变化 • 如： • （Y）大豆的产出与（X）化肥的用量； • （Y）工资收入与（X）受教育的年数； • （Y）社区的犯罪率与（X）警察的数量。
20
• 在自己建立经济模型的过程中，如何取舍 解释变量，一定要问个为什么。计量经济 学家首先就是要摆事实、讲道理，这是作 为计量经济学家必备的素质。
• 1、消费与收入之间的关系；
接受域与拒绝域
抽样分布
拒绝域
/2
1 -
非拒绝域
置信度
拒绝域
/2
临界值
H0 临界值 样本统计量
（1）H0：μ=68000
H1；μ≠68000
（2）检验统计量服从Z分布
检验统计量:
Z0
=
x x
=72006080=040.8 500/ 036
（3）α=0.02，查正态分布表得：Z=2.04， 接受域为（－2.04，2.04）
拒绝H 0
0
t
必须显著低于才会拒绝
左侧检验
0
t
小的数值与H0不矛盾.，因此不会拒绝 H0
右侧检验
（1）H0：μ≤368
H1；μ>368
（2）检验统计量服从t分布
检验统计量:
x
t0 = sx
=37.25368=1.5 15/ 25
（3）α=0.05，查t分布表得：t=2.064， 接受域为（－ ∞ ，2.064）
结论：接受原假定。
假设检验中的两类错误 检验决策错误
第一类错误 弃真错误, 后果往往较为严重
出现第一类错误的概率为 ,等于显著性水
平 第二类错误
存伪错误, 出现第二类错误的概率为
检验决策结果
实际情况
实际情况
H0为真 不拒绝 正确
H0为假 决策
错误
不拒绝 H0
H0 为真 H0为假
置信水平 第二类
• 表示：除X之外其他影响Y的因素
23
随机误差项ε的产生
一、理论的不确定性 • （现象的内在随机性） 二、模型的简化 • 核心变量与非核心变量 • 忽略影响较小的因素 三、数据测量、收集的误差 四、模型函数形式设定错误
24
Y=X
• 模型表述了Y和X之间的线性关系。
• 简单线性回归模型（Simple linear regression model）
• 农业研究者对（其他因素不变时）化肥用量 如何影响大豆产出量感兴趣。
假设检验的基本思想 • 基于小概率原理的反证法
二、假设检验的步骤
1、提出假设，包括原假设和备择假设 2、构造相应的检验统计量，确定其分布形式；
根据样本数据计算统计量的值； 3、确定显著性水平和临界值 ； 4、作出结论。（根据所计算的统计量的值与
临界值比较确定是否拒绝原假设）
原假设 The Null Hypothesis
（3）怎样知道是否准确测定出了y和x之间的 关系（因果性效应）？
2020/12/2
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19
• 计量经济学分析的应用： o y和x：某一个总体的两个变量 o 感兴趣：用x来解释y，或者说是研究y如何
1. 陈述需要检验的假设
例如: H0: = 45 2. 原假设用 H0 表示
3. 总是包含等号“=” （比如=, , ) 4. 检验以“假定原假设为真”开始
如何设定假设检验？
平均每天上网玩游戏时间不是5小时。
H0: = 5 H1: 5
例题 1
• 据报导，美国全职教授年薪的数学期望 值为68000美元，标准差为5000美元。一 个由36名大学全职教授组成的样本表明， 平均薪水为72000美元，检验报导的可信 性。（显著性水平为0.02）
结论：拒绝假定。
例题2
质检员认为在整个工作流 程中平均装盒量符合标准： 没有超过368克。随机抽 取25盒为样本，均值X = 372.5克，标准差s =15 克。 试在 =0.05的条件下进行 检验。
给出你的结论。
368 克.
接受域与拒绝域
H0:0 H1: < 0
拒绝H 0
H0:0 H1: > 0
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15
回归分析
• 研究步骤： • 首先，要确定所研究的问题（因变量），
并根据经济理论，找出与该问题相关的、 有影响力的经济因素（自变量），并建 立因变量与自变量的关系式（经济模 型）。
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16
• 其次，按照科学的方法收集相应变 量的实际数据。
1-α 错误
拒绝
错误
正确
拒绝 H0
第一类 检验能
错误 力1 -
第三章 回归分析的基本方法： 最小二乘法
本章重点
• 经济学理论模型 • 最小二乘法 • 实例应用
2020/12/2
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14
本章分析思路
• 建立经济学的理论模型 • 运用最小二乘法进行参数估计 • 实例运用
2020/12/2
• 最后，对所研究的问题作出结论。
2020/12/2
中山大学南方学院经济系
17
第一节 理论模型的建立
• 简单回归模型
•
是指两个变量的线性模型，其中
一个是因变量，一个是自变量。也称为“二
元线性方程”。
• 用数学公式表示就是：
Y=X
2020/12/2
中山大学南方学院经济系
18
• 建立x解释y的模型时，面临三个问题：
回归子 (regressand)
自变量 (independent variable)
解释变量 (explanatory variable)
控制变量 (control variable)
预测变量 (predictor variable)
回归元 (regressor)
22
一元回归模型的定义
Y=X
• 变量ε：随机误差项或随机扰动项
• 又称做两变量或双变量线性回归模型
two variable regression model)
(The
• β：y和x关系式中的斜率参数（slope parameter）
• α：截距参数（intercept parameter）
25
例1 大豆产出和施肥量
假使大豆的产出由以下模型所决定：
yie=ldfertilizer
• 2、产品的销量与产品价格的关系；
• 3、GDP与投资、经济运行的关系。
2020/12/2
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21
一元回归的术语
Y
X
因变量 (dependent variable)
被解释变量 (explained variable)
响应变量 (response variable)
被预测变量 (predicted variable)
随x而变化 • 如： • （Y）大豆的产出与（X）化肥的用量； • （Y）工资收入与（X）受教育的年数； • （Y）社区的犯罪率与（X）警察的数量。
20
• 在自己建立经济模型的过程中，如何取舍 解释变量，一定要问个为什么。计量经济 学家首先就是要摆事实、讲道理，这是作 为计量经济学家必备的素质。
• 1、消费与收入之间的关系；
接受域与拒绝域
抽样分布
拒绝域
/2
1 -
非拒绝域
置信度
拒绝域
/2
临界值
H0 临界值 样本统计量
（1）H0：μ=68000
H1；μ≠68000
（2）检验统计量服从Z分布
检验统计量:
Z0
=
x x
=72006080=040.8 500/ 036
（3）α=0.02，查正态分布表得：Z=2.04， 接受域为（－2.04，2.04）
拒绝H 0
0
t
必须显著低于才会拒绝
左侧检验
0
t
小的数值与H0不矛盾.，因此不会拒绝 H0
右侧检验
（1）H0：μ≤368
H1；μ>368
（2）检验统计量服从t分布
检验统计量:
x
t0 = sx
=37.25368=1.5 15/ 25
（3）α=0.05，查t分布表得：t=2.064， 接受域为（－ ∞ ，2.064）
结论：接受原假定。
假设检验中的两类错误 检验决策错误
第一类错误 弃真错误, 后果往往较为严重
出现第一类错误的概率为 ,等于显著性水
平 第二类错误
存伪错误, 出现第二类错误的概率为
检验决策结果
实际情况
实际情况
H0为真 不拒绝 正确
H0为假 决策
错误
不拒绝 H0
H0 为真 H0为假
置信水平 第二类
• 表示：除X之外其他影响Y的因素
23
随机误差项ε的产生
一、理论的不确定性 • （现象的内在随机性） 二、模型的简化 • 核心变量与非核心变量 • 忽略影响较小的因素 三、数据测量、收集的误差 四、模型函数形式设定错误
24
Y=X
• 模型表述了Y和X之间的线性关系。
• 简单线性回归模型（Simple linear regression model）
• 农业研究者对（其他因素不变时）化肥用量 如何影响大豆产出量感兴趣。
假设检验的基本思想 • 基于小概率原理的反证法
二、假设检验的步骤
1、提出假设，包括原假设和备择假设 2、构造相应的检验统计量，确定其分布形式；
根据样本数据计算统计量的值； 3、确定显著性水平和临界值 ； 4、作出结论。（根据所计算的统计量的值与
临界值比较确定是否拒绝原假设）
原假设 The Null Hypothesis