拉格朗日中值定理1

一拉格朗日中值定理
1．定理内容
拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。

拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。

在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。

拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。

发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即
f(x+1)−f(x)
≈0
1
这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′x=0。

著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。

最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f x在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′x最小值为B，则f(x1)−f(x0)
的值必须是A和B之间的一个
x1−x0
值。

下述就是拉格朗日中值定理:
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得f′ξ=f(b)−f(a)
.
b−a
2.定理意义
拉格朗日中值定理在数学的微积分属于重要的定理，是微分中值定理中应用最为广泛的定理，在发展过程中推算出了其他的微分中值定理，在实际应用中，具有重要的使用价值。

其中，拉格朗日中值定理在几何运算中所具有的意义是：若一个连续函数y=f(x)在两点A a,f a、B(b,f(b))之间不存在垂直于x轴的切线，那么在这两点之间至少存在这一点C c,f c，这一点的切线平行于直线AB。

在运动学中所具有的意义是，在任意的一个曲线运动过程中至少存在着一个时间点的速度等于这个曲线运动的平均速度。

二拉格朗日中值定理的应用
在前人对微分中值定理的研究当中，统计经历了几百年的时间，由费马提出费马定理开始，经历了从简单到复杂，从特殊情况到一般情况，从简单的概念到复杂的概念这样的发展阶段。

在微积分当中，拉格朗日中值定理是一个非常重要的基础知识。

拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。

拉格朗日中值定理在属于微积分当中的微分中值定理中有着承前启后的作用，在研究理论上拉格朗日中值定理即是罗尔定理的延伸又衔接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函数的进程中有着非常重要的作用。

在数学知识应用当中，拉格朗日中值定理是对函数研究的一个重要工具，并且有着十分广泛的应用。

这些作用主要表现在以下几种情况，比如在求导极限定理、求函数极限、证明不等式、说明函数单调性、讨论方程的根是否存在的情况和对导数估值等，它在解决数学问题时通常将问题从难化简，对解决难题起到很好的作用。

本文着重讲解的是拉格朗日中值定理各种的应用。

1.求极限
例1. 求解lim x→a x a−a x
a−x。

分析：我们先将此式子的分子加上一个a a，然后再减去一个a a。

如，
x a −a x a −x =x a −a x −a a +a a a −x =a a −a x a −x =a a −a x a −x −a a −x a
a −x
此时，容易看出应该构建的函数的形式，令f t =a t ，g t =t a ，假设这两个函数都在闭区间[a,t]或者[t,a]上连续并且在相同开区间上面可导的，并且这两个函数的两个端点值都分别相等，就是满足拉格朗日中值定理的条件，这是就分别存在着两个点μ，ξ在x 和a 之间，当x →a 时，有μ→a ，ξ→a 得
lim x →a x a −a x =lim x →a [a a −a x −a a −x a
] =lim ξ→a a ξln a −lim μ→a aa μ−1
=a a (ln a −1)
例 2. 存在函数f ′′(x)是连续的并且有f ′′(a)≠0,满足下列式子f b +x =f b +xf ′ b +μx (0<μ<1)①，求x→0 时μ的极限。

解：运用拉格朗日中值定理可以由式子①可以计算出函数f ′(x)在闭区间[b,b+x]或者[b+x,b]的拉格朗日中值定理的形式f b+x −f(b)x =f ′ b +μx ,继上式可以推得
f ′ b +μx =f ′ b +μxf ′′ b +μ1μx (0<μ1<1)。

将这个结果带入式子①可以计算得出
f b +x =f b +xf ′′ b +μx 2f ′′ b +μx ②
运用泰勒展开公式把函数f b +x 展开得以得到
f b +x =f b +xf′ b +12x 2f ′′ b +μ2x ③
由式子②③可以综合计算得到，
μf′′ b +μμ1x =12
f ′′ b +μ2x 然后求极限，所以μx →0lim =f ′′ b+μ2x
μf′′ b+μμ1x =f ′′(b)2f (b)=12。

例3：求出函数极限lim x →∞x 2[Inarctan x +1 −Inarctanx]。

解：首先，我们先建立一个辅助函数f x=Inarctanx，然后再求解。

令f x=Inarctanx，此函数在闭区间[x,x+1]上面明显是满足拉格朗日中值定理的需求条件的，因此存在一点ξ在此闭区间上面。

根据拉格朗日中值定理可以得出，
Inarctan x+1−Inarctanx=1
∙
1
2
因为点ξ是在闭区间[x,x+1]内的一点，所以x<ξ<x+1，可以得到
x2
2>
x2
2
>
x2
2
那么在x→∞时，ξ→∞，则lim
x→∞
x2
1+x2
=1，lim
x→∞
x2
1+(1+x)2
=lim
x→∞
x2
1+x2
=1，通过夹
逼定理就可以知道
lim x→∞
x2
1+ξ2
=1
所以，根据上面的计算，原函数=lim
x→∞
x2
arctanξ
∙1
1+ξ
=lim
x→∞
1
arctanξ
∙lim
x→∞
x2
1+ξ
=2
π。

在运用拉格朗日中值定理求解极限的过程中，最主要的步骤就是找到函数f x和其定义域的取值范围此时假设为闭区间[a,b]，这个时候的拉格朗日中值定理公式就可以列为f b−f a
b−a
=f′ξ，这个式子的左边是这个函数在这个闭区间上面两个端点值的差与闭区间长度的比值。

因此公式在变成这种形式之后，就可以得出相应的函数与区间。

当极限形式为0
的未定式，就可以想到需要构建一个中间函数，此函数满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后对函数采用拉格朗日中值定理的方法去解决问题。

在解决这种类型的题目要采用罗尔定理的原因，在现目前大多数微积分的相关教材中，在解决类型问题时多采用构建中间函数运用罗尔定理解决问题。

在面对一些题目时，这些函数有可能并不满足拉格朗日中值定理的条件，需要去构建一个中间函数，去满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后将构建的这
一函数与原函数紧密联系起来，再将构建的函数转化为原函数，从而运用拉格朗日中值定理去解决问题。

当遇到典型的极限形式为∞∙0型，在此我们应该先应用洛必达法则去求解。

但是在计算过程中会发现，如果采用洛必达法则反而更加麻烦的时候，应该多观察题目是否可以运用拉格朗日中值定理来求解题目，简化题目，因此我们可以观察给出的式子中，然后构建出拉格朗日中值定理的基本形式，运用拉格朗日中值定理去求解这道题目。

2证明等式
例 4.假设函数f x = ln 1−t t x 0
dt 在区间（-1,1）有意义，证明：f x +f −x =12
f x 2 。

证明：令
g x =f x +f −x −12f x 2 =0，求得这个函数的导数
g ′ x =f ′ x −f ′ −x −xf ′ x 2 =0
我们可以根据题意求得f ′ x =
ln 1−x x ，因此，
g ′ x =ln 1−x +ln 1+x −ln 1−x 2 2
=0 根据常数的导数为0，可以得出g x =0，因此证明了原式成立。

例5：假设函数f x =arccosx +arcsinx 在闭区间[0,1]上面是连续的，并且在开区间(0,1)上面是可导函数，证明：f x =arccosx +arcsinx =π2。

证明：由于该函数f x 闭区间[0,1]上面是连续的，并且在开区间(0,1)上是可导函数，那么在该去间内存在着一点b ，使得
f ′ b =
f 1 −f(0) 又 arccosx ′=− 11−x ， arcsinx ′= 11−x
因此， arccosx ′+ arcsinx ′=0，得到f ′ x =0，则f x 是一个常数函数。

在零点有，f 0 =arccos0+arcsin0=π2
所以，f x =arccosx +arcsinx =π2。

根据拉格朗日中值定理可以推导出一个结论，如下所示。

假设函数f x在一个固定区间内可导，设这个可导区间为A，则在点x处于区间A中，就存在着f x的导函数等于0，那么就证明f x在区间A中是一个常数。

利用拉格朗日中值定理去证明等式这是该定理十分重要的一项运用，在证明等式的过程中，用题目中给出的证明等式的式子去构建出类似于拉格朗日中值定理形式的式子。

在证明恒等式时，可以先假设这个恒等式两边的式子相减为0，构建出一个新的函数，然后根据常熟的导数为0来证明这个恒等式成立。

2.证明不等式
例6.证明：
2
<arcsinx<x，x>0。

证明：先假设f x=arcsinx，在区间[0,x]上运用拉格朗日中值定理可以得到
arcsinx
x =
1
2
⇒arcsinx=
x
1−ξ2
又因为ξ是存在于闭区间[0,x]内的，所以ξ<x。

x
1−ξ2>
x
1−x2
那么，
2
<arcsinx<x。

例7.证明x
1−x
<ln1+x<x(x>0).
证明：令f a=ln(1+a)，由题意可知0<a<x，则函数f a在0<a< x这个区域内是连续并且可导的函数，根据拉格朗日中值定理运算可以得到
f x−f0=f′ξx(0<ξ<x),
则，可以得到
ln(1+a)=
x 1−ξ
由于0<ξ<x，则
1
<1
<1
所以就可以得到x 1−x <ln 1+x <x (x >0)。

在求解不等式的时候，把异于其他式子的函数用拉格朗日中值定理表示出来，推算出相似的式子进行比较，然后证明原式的大小。

求解不等式的基本思想是，在拉格朗日中值定理中的公式形式为，存在一点ξ在开区间 a,b 内，不管点ξ在该区间的哪一点，都可以根据拉格朗日中值定理计算出f′(x)的值域的取值范围，还可以利用导数f ′ x 的两端点值，运用拉格朗日中值定理得出的f′(ξ)就可以得到所需的不等式，此时
f ′ a +θc =f a +c −f a (0<θ<1) 此时，c =b −a ，然后根据题意适当调节数值的大小，得到适当的式子就能证明不等式。

4.判断级数敛散性
例8：证明函数S n = 1n ∞n=1发散。

证明：令f a =ln a ，这个函数在区间（n,n+1）这个区域内满足拉格朗日中值定理的需求条件，因此在这个区间之内至少存在着一点ξ，使得
f n +1 −f n =f ′ ξ =1
因为点ξ在这个区间之内，因此
1>1 可以推导出，ln 2−ln 1<1，ln 3−ln 2<12，ln 4−ln 3<13，…，ln(n +1)−ln n <1n
，将上述所有的不等式相加可以得到ln n +1 <1+12+13+⋯+1n =S n 。

lim n →∞S n =lim n →∞
ln(1+1+1+⋯+1)=+∞ 因此，函数S n = 1n ∞n=1发散。

例9：证明函数S n = ln （1+1n ）∞n=1发散。

证明：因为函数ln x 在闭区间[1,+∞]上满足拉格朗日中值定理的需求条件，因此闭区间[n,n+1]上存在着一点ξ使得，
ln n+1
n
=ln n+1−ln n=
1
ξ
又
1
<ln n+1
<
1
上一个例题已经证明了级数1
n
是发散的，所以此函数也是发散的。

5.研究函数在区间上的性质
例10.证明：若存在一个函数f x在区间（a,b）（该区间是无穷或有穷区间）内存在这一个有界的导函数f′x，那么这个函数在f x在区间(a,b)是一致连续的。

证明：假设在a<x<b时，存在f′x≤M，那么存在着属于区间(a,b)的两点m、n，在这两点之间运用拉格朗日中值定理存在着
f m−f n
m−n
=f′ξ(n<ξ<m)
那么，f′x≤M，存在一点α>0，使β=α
M
，由于m、n这两点在区间(a,b)内，则有m−n≤β，运用拉格朗日中值定理可以得到
f m−f n=m−n f′ξ≤m−n M≤α
根据一致连续定理可以知道，函数在f x在区间(a,b)是一致连续的。

例11：函数f x=2x2−8，即f′x=4x。

当x在开区间0,+∞时，有f′x
>0，f x在开区间0,+∞单调递增；当x在开区间−∞,0时，有f′x<
0，f(x)在开区间−∞,0单调递减。

在x=0，有f′(0)=0，f0=−8。

由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。

当一个函数在某个确定的区间内，存在着f′x>0，f x在这个确定的区间内单调递增；f′x<0，函数在这个区间内是单调递减的。

在f′(0)=0时，那么这一点就是这个函数的极值点。

在例1中，当
1<x<3，f3−f(1)
3−2
=8=f′(2)，这就是拉格朗日中值定理最简单的形式。

拉格朗日中值定理将导数和函数运算连接在了一起，因此我们可以借用拉格朗日中值定理的导数形式去了解在函数在区间上面的性质。

函数在区间上面的性质包括了函数的单调性、连续性等。

例10是拉格朗日中值定理对连续性的证明，
例11是利用拉格朗日中值定理对区间单调性的证明。

在拉格朗日中值定理中，有两个要求条件，一个是在一个闭区间内连续，一个是在相同期间开区间可导，不满足这两个条件，拉格朗日中值定理在此种情况下是没有意义的。

6.估值问题
在解决估值问题的时候，我们通常采用的泰勒公式来解决。

但是在有些特殊的情况下，可以采用拉格朗日中值定理更加简便。

例12.假设导函数f′ x 在闭区间[m,n]上是连续函数，并且f m =f n =0。

证明： |f′ x |m n dx ≥4
n −m max m ≤x ≤n |f x |。

证明：若函数f x 是恒等于0的，那么这个不等式显然是正确的。

那么接下来考
虑函数f x 不恒等于0的情况。

在区间[m,n]上存在着一点c ，使得，
max m ≤x ≤n |f x |=f c
然后，将闭区间[m,n]分为两个闭区间[m,c]、[c,n]，运用拉格朗日中值定理得到，f c c −m =f ′(α)、−f c n −c =f ′ β ，那么
|f′ x |m n dx ≥ |f′ x |αβdx ≥ f ′ x αβdx =f ′ β −f ′ α
=|f c (n −m)1 n −c (c −m)
| 然后再把式子 n −c c −m <
(n −m)24带入上面的式子，就可以证明 |f′ x |m n dx ≥4n −m max m ≤x ≤n |f x |。

7.证明方程根的存在性
例13.函数f x 在闭区间 0,1 内可导，并且此函数的值域在开区间(0,1)内，在开区间（0,1），不存在函数等于-1的情况，证明：方程f x +x −1=0在开区间(0,1)内存在唯一的实根。

证明：令g x =f x +x −1，则g x 在开区间(0,1)内是可导函数，又0<f (x )<1，
那么g0=f0−1<0，g1=f1>0。

根据零点定理可以得到，g x在开区间(0,1)内至少存在着一个实根，即f x+x−1=0。

在证明此方程是否在开区间(0,1)内存在唯一实根，采用反证法来证明。

方程f x+x−1=0在开区间(0,1)存在着两点a,b（0<a<b<1），那么将这两点代入方程中可以得到，f a=1−a，f b=1−b，此时，运用拉格朗日中值定理对这两点进行运算可以得到
f′ξ=f b−f a
b−a
a<ξ<b
=1−b−(1−a)
b−a
=−1
此时，已经与题目中函数不等于-1的情况相冲突了，因此这个方程在此区间内只有唯一的实根。

例14：证明方程x3+x−1=0只存在一个根。

证明：先令f x=x3+x−1
f0=−1，f1=1
因此，在闭区间[0,1]内，存在这一点a使得f a=0，所以点a就是这个函数的一个正根。

假设这个函数还存在着一个正根b>a，那么在闭区间[a,b]内，这个函数满足拉格朗日中值定理的需求条件，有f a=f b，则在此区间内存在一点c使得f′c=0，则
f′c=3x2+1=0
这是矛盾的，所以这个方程就只有一个根。

在证明方程根的存在性的过程中，可以依据所给出的根的取值范围例如是闭区间[a,b]，把函数假设为f x，然后利用拉格朗日中值定理对方程根的存在性进行证明，在证明的过程中，一般是证明函数是存在的用推导的方法，在证明根的存在性的时候，一般采用的是反证法。

8.拉格朗日中值定理使用误区
在拉格朗日中值定理的实际运用当中，往往会出现一些错误的应用。

这种误区通常在：在用拉格朗日中值定理证明的过程中，可以推导出
lim x→0cos
1
x
=0
我们都知道cos1
x
在x→0的极限值是不存在的。

因此，这就证明了该定理是错误的。

下面举例说明：
（误区一）例15.证明：假设函数f x=x2sin1
x
(x≠0)
0(x=0)
，那么函数
f x在闭区间0,x上连续，在开区间0,x上可导。

并且存在着一点a在开区间(0,x)内，使得
f x−f0=f’a x
那么根据题意，可以得到xsin1
x =2asin1
a
−cos1
a
⇒cos1
a =2asin1
a
−xsin1
x
在x→0，a→0，可以得出cos1
a →0，从而可以推到出lim x→0cos1
x
=0。

但是
lim x→0cos1
x
这个极限值是不存在的，说明拉格朗日中值定理出错了，但是经历
了这么多年发展的拉格朗日中值定理真的存在错误吗？其实并不是，拉格朗日中值定理是已经发展的很完善的定理，不存在错误。

在上述证明过程中，我们在证
明到事实上以上证明得出lim x→0cos1
x
→0这个结论是正确的。

错误的地方在得
出这个结论之后，我们不能因此就得到lim x→0cos1
x
=0，因为在x趋近于0的过程中，a并没有一直连续的趋近于0，a的取值只是x取值的一部分，因此并不连续，所以得到的极限能够存在并不能推导出原极限也是存在的，所以并不能推
出lim x→0cos1
x
=0。

（误区二）例16：假设函数f x在闭区间a,b内是连续的，在开区间(a,b)内是可导函数，那么这个函数在此开区间内存在着一点ξ，并且在这个闭区间[a,b]内存在着两个点m、n，使得可以得到式子f m−f n=f′ξ(m−n)，这个式子的形式与拉格朗日中值定理的形式无异，从上述步骤来看，结论应该是正确的。

但是这个结论违背了拉格朗日中值定理的需求条件，是错误的结论。

在拉格朗日中值定理中，一般都是先假定存在着两点m、n，然后在这个基础上面去提出一
点ξ，但是在这个证明过程中是先提出的存在一点ξ，然后提出这两点m、n，提出先后顺序是相反的，就不一定能得出前者所推导出来的结论。

举例说明：假设存在函数f x=x3，这个函数在闭区间[-1,1]内是连续的，在开区间（-1,1）内是可导函数，这个函数是满足拉格朗日中值定理的需求条件的，那么在开区间（-1,1）内存在这一点ξ，这一点刚好是零点，则ξ=0，使得f’x=3x2，可以得到f’ξ=0，那么在此区间内存在两点m、n，使得f m−f n=f’ξm−n=0，由于函数f x=x3在此区间上面的单调的，所以在这个区间上面不存在m、n这样的两点满足这个要求，所以这个证明是错的。

三结论
拉格朗日中值定理在现实生活中的应用是十分广泛的，所以重点去研究拉格朗日中值定理的应用就显得尤其重要。

在解决一些数学题目时，按照我们平时的计算方法可能会出现将题目复杂化的情况，在这种时候应用拉格朗日中值定理去求解题目，说不定会使题目在求解过程中简单化。

本文分析了拉格朗日中值定理的八种应用方式，其中包括了求解函数极限，证明不等式，等式，拉格朗日中值定理在估值计算中的应用，利用拉格朗日中值定理研究了函数在区间上面所具有的性质，证明了方程根的存在性，并且提出了拉格朗日中值定理在平时解题时面临的使用误区。

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