第14讲 函数实际应用题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
2019年全国各地中考数学真题分类解析：函数与一次函数
函数与一次函数一、选择题1. （ 2018•安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．2. （ 2018•福建泉州，第7题3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m 与y=（m ≠0）的图象可能是（ ）By=3. （2018•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析： 先根据二次函数的图象得到a ＞0，b ＜0，c ＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答： 解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限．故选B．点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．4. （ 2018•广西贺州，第14题3分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1＜y2（填“＞”或“＜”或“=”）．考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：直接把P1（1，y1），P2（2，y2）代入正比例函数y=x，求出y1，y2）的值，再比较出其大小即可．解答：解：∵P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，∴y1=，y2=×2=，∵＜，∴y1＜y2．故答案为：＜．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5. （ 2018•广西玉林市、防城港市，第12题3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）B×1×，，高为（）×，6．(2019年四川资阳，第5题3分)一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：一次函数图象与系数的关系．分析：先根据一次函数的解析式判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．解答：解：∵解析式y=﹣2x+1中，k=﹣2＜0，b=1＞0，∴图象过一、二、四象限，∴图象不经过第三象限．故选C．点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数图象经过二、四象限，当b＞0时，函数图象与y轴相交于正半轴．7．（2018•温州，第7题4分）一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（）8.（2019年广东汕尾，第8题4分）汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．分析：汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，所以前1小时路程随时间增大而增大，后来以100千米/时的速度匀速行驶，路程增加变快．据此即可选择．解：由题意知，前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程增加变快．故选：C．点评：本题主要考查了函数的图象．本题的关键是分析汽车行驶的过程．9.（2019年广东汕尾，第10题4分）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．解：∵k+b=﹣5，kb=6，∴k＜0，b＜0，∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．故选A．点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．10.（2018•毕节地区，第14题3分）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）≥m=的坐标为（．11.（2018•邵阳，第10题3分）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是（）12．（2018•四川自贡，第9题4分）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）B13.（2018•德州，第8题3分）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）=（千米14.（2018•济宁，第4题3分）函数y=中的自变量x的取值范围是（）1．(2019年四川资阳，第13题3分)函数y=1+中自变量x的取值范围是．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（2019年云南省，第11题3分）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）．考点：正比例函数的性质．专题：开放型．分析：根据正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，可得k＞0，写一个符合条件的数即可．解答：解：∵正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，∴k＞0，取k=2可得函数关系式y=2x．故答案为：y=2x．点评：此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．3．（2018•舟山，第15题4分）过点（﹣1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（1，4），（3，1）．依据与直线，x+4.（2018•武汉，第14题3分）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 2200 米．解得：5.（2018•武汉，第18题6分）已知直线y=2x﹣b经过点（1，﹣1），求关于x的不等式2x﹣b≥0的解集．≥6.（2018•孝感，第13题3分）函数的自变量x的取值范围为x≠1．7.（2018•孝感，第11题3分）如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（）8．（2018•四川自贡，第15题4分）一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是2或﹣7 ．，解得，，解得，与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行▲ 米．【答案】80.【解析】10. （2018•益阳，第12题，4分）小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是80 米/分钟．（第1题图）1112222，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于 4 ．+12. （2018•泰州，第10题，3分）将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为y=3x+2 ．三.解答题1. （ 2018•安徽省,第20题10分）2019年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2019年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2019年处理的这两种垃圾数量与2019年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．（1）该企业2019年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业计划2019年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2019年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设该企业2019年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据等量关系式：餐厨垃圾处理费25元/吨×餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费16元/吨×建筑垃圾吨数=总费用，列方程．（2）设该企业2019年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，先求出x的范围，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，代入求解．解答：解：（1）设该企业2019年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得，解得．答：该企业2019年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨；（2）设该企业2019年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，根据题意得，，解得x≥60．a=100x+30y=100x+30（240﹣x）=70x+7200，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，最小值=70×60+7200=11400（元）．答：2019年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元．点评：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，找准等量关系正确的列出方程是解决本题的关键；2. （ 2018•福建泉州，第24题9分）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度v2= 40 米/分；（2）写出d1与t的函数关系式；（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？；时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；1≤或时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．3. （ 2018•广东，第23题9分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．解答：解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y=x+，反比例函数y=图象过点（﹣1，2），m=﹣1×2=﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P（x，x+）由△PCA和△PDB面积相等得（x+4）=|﹣1|×（2﹣x﹣），x=﹣，y=x+=，∴P点坐标是（﹣，）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．4. （ 2018•珠海，第16题7分）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？5. （ 2018•珠海，第19题7分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD 在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y=的图象交于点B、E．（1）求反比例函数及直线BD的解析式；（2）求点E的坐标．的图象过点，，，解得．y=，解得6．(2019年四川资阳，第20题8分)如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．解答：解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B（，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．7．(2019年天津市，第23题10分)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折．（Ⅰ）根据题意，填写下表：购买种子的数量/kg 1.5 2 3.5 4 …付款金额/元7.5 10 16 18 …（Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；（Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用．分析：（1）根据单价乘以数量，可得答案；（2）根据单价乘以数量，可得价格，可得相应的函数解析式；（3）根据函数值，可得相应的自变量的值．解答：解：（Ⅰ）10，8；（Ⅱ）根据题意得，当0≤x≤2时，种子的价格为5元/千克，∴y=5x，当x＞2时，其中有2千克的种子按5元/千克计价，超过部分按4元/千克计价，∴y=5×2+4（x﹣2）=4x+2，y关于x的函数解析式为y=；（Ⅲ）∵30＞2，∴一次性购买种子超过2千克，∴4x+2=30．解得x=7，答：他购买种子的数量是7千克．点评：本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键．8．(2019年天津市，第25题10分)在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．考点：一次函数综合题．分析：（Ⅰ）①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组，求得该方程组的解即为点P的坐标；②由已知可设点F的坐标是（1，t）．求得直线OF、EA的解析式分别是y=tx、直线EA的解析式为：y=（2+t）x ﹣2（2+t）．则tx=（2+t）x﹣2（2+t），整理后即可得到y关于x的函数关系式y=x2﹣2x；（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P（2﹣，2t﹣）．则由PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），则OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，所以1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简得到：t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0，通过解该方程可以求得m与t的关系式．解答：解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又A（2，0），点E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+dy（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有 y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得 x=2﹣．有 y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简，得 t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得 m=或m=．则m=或m=即为所求．点评：本题考查了一次函数的综合题型．涉及到了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与直线的交点问题．此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式就能解答本题．9．（2018•新疆，第22题11分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B 地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站飞路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A，B两地相距420 千米；（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）客、货两车何时相遇？，，解得，x=答：客、货两车经过10．（2018•新疆，第23题12分）如图，直线y=﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．，则﹣x+8=0=）×（×2×（﹣＜﹣；OAB==，t=，=，t=的值为，=，（2×）×，的坐标为（）秒时，以点的坐标为（）11．（2019年云南省，第23题9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC 相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；存在型；分类讨论．分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．解答：解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．∴==．∵点P是AC中点，∴CP=CA．∴HP=OA，CH=CO．∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH ∥OA ，∠COA =90°， ∴∠CHP =∠COA =90°． ∴点P 的坐标为（，2）． 设直线DP 的解析式为y=kx+b ，∵D （0，﹣5），P （，2）在直线DP 上，∴∴∴直线DP 的解析式为y=x ﹣5．（2）①若△DOM ∽△ABC ，图2（1）所示， ∵△DOM ∽△ABC ，∴=．∵点B 坐标为（3，4），点D 的坐标为（0．﹣5）， ∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=． ∴OM=．∵点M 在x 轴的正半轴上， ∴点M 的坐标为（，0）②若△DOM ∽△CBA ，如图2（2）所示， ∵△DOM ∽△CBA ，∴=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=． ∴OM=．∵点M 在x 轴的正半轴上， ∴点M 的坐标为（，0）．综上所述：若△DOM 与△CBA 相似，则点M 的坐标为（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=AC=．∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PFD．∴S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DPC．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．∴=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．∴DP=．∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．∴DE=，∴S四边形DEPF=DE=．∴四边形DEPF面积的最小值为．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．12.（2019年广东汕尾，第18题7分）已知反比例函数y=的图象经过点M（2，1）（1）求该函数的表达式；（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．分析：（1）利用待定系数法把（2，1）代入反比例函数y=中可得k的值，进而得到解析式；（2）根据y=可得x=，再根据条件2＜x＜4可得2＜＜4，再解不等式即可．解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点M（2，1），∴k=2×1=2，∴该函数的表达式为y=；（2）∵y=，∴x=，∵2＜x＜4，∴2＜＜4，解得：＜y＜1．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，关键是正确确定函数解析式．13．（2018•四川自贡，第22题12分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．）代入，，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元.（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍.设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值.15．（2018•浙江湖州，第20题分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积．分析：（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据三角形的面积公式，可得答案．解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得，解得k=10b=3；（2）作AC⊥x轴与点C，，由（1）得直线AB的解析式为y=x+3，∴点B的坐标为（﹣3，0），OB=3，点A的坐标是（2，5），∴AC=5，∴=5=．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式．16．（2018•浙江湖州，第22题分）已知某市2019年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2019年10月份的水费为620元，求该企业2019年10月份的用水量；（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2019年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2019年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业2019年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．分析：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，代入（50，200）、（60，260）两点求得解析式即可；（2）把y=620代入（1）求得答案即可；（3）利用水费+污水处理费=600元，列出方程解决问题，解答：解：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）∴解得∴y关于x的函数关系式是y=6x﹣100；（2）由图可知，当y=620时，x＞50∴6x﹣100=620，解得x=120．答：该企业2019年10月份的用水量为120吨．（3）由题意得6x﹣100+（x﹣80）=600，化简得x2+40x﹣14000=0解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去）．答：这个企业2019年3月份的用水量是100吨．点评：此题考查一次函数的运用，一元二次方程和一元一次方程的运用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答．17. （2018•湘潭，第24题）已知两直线L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2=﹣1．（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；（2）直线经过A（2，3），且与y=x+3垂直，求解析式．x+318. （2018•株洲，第24题，10分）已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．（第2题图）﹣4×1×=，，﹣4×1×，=），；，，，x+=0到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．（1）小明骑车在平路上的速度为km/h；他途中休息了h；（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？（第3题图）考点：一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用分析：（1）由速度=路程÷时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间；（2）先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出B的坐标和C的坐标就可以由待定系数法求出解析式；（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可．解答：（1）小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3=15，∴小明骑车在上坡路的速度为：15﹣5=10，小明骑车在上坡路的速度为：15+5=20．∴小明返回的时间为：（6.5﹣4.5）÷2+0.3=0.4小时，∴小明骑车到达乙地的时间为：0.3+2÷10=0.5．∴小明途中休息的时间为：1﹣0.5﹣0.4=0.1小时．故答案为：15，0.1（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，∴B（0.5，6.5）．小明下坡行驶的时间为：2÷20=0.1，∴C（0.6，4.5）．设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意，得，解得：，∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；设直线BC的解析式为y=k2+b2，由题意，得，解得：，∴y=﹣20x+16.5（0.5＜x≤0.6）（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意，得10t+1.5=﹣20（t+0.15）+16.5，解得：t=0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，∴该地点离甲地5.5km．点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．20. （2018•泰州，第24题，10分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？（第4题图）（1000=。
浙江省2019年中考数学总复习专题提升试题四 以函数为背景的综合运用
专题提升四 以函数为背景的综合运用热点解读函数的综合问题、一般都会用到待定系数法求函数的解析式、涉及比较大小、两个函数图象的交点等、有时会与几何问题结合、利用数形结合巧妙地将图形与数量关系结合起来、使数学问题更直观、更容易解决．该类问题是中考的热点．母题呈现2017·台州)如图、直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P (1、b )． (1)求b 、m 的值；(2)垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1、l 2分别交于点C 、D 、若线段CD 长为2、求a 的值．对点训练1．(2016·江阴模拟)如图、平面直角坐标系中、△ABC 的顶点坐标分别是A (－3、1)、B (－1、1)、C (－2、2)、当直线y ＝－12x ＋b 与△ABC 有公共点时、b 的取值范围是( )A ．－1≤b≤12B ．－1≤b≤1C ．－12≤b ≤1D ．－12≤b ≤12第1题图2．(2017·金华)在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋、AB ＋BC ＝10m 、拴住小狗的10m 长的绳子一端固定在B 点处、小狗在不能进入小屋内的条件下活动、其可以活动的区域面积为S (m 2)．(1)如图1、若BC ＝4m 、则S ＝____________________m 2；(2)如图2、现考虑在(1)中矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正△CDE 区域、使之变成落地为五边形ABCED 的小屋、其他条件不变、则在BC 的变化过程中、当S 取得最小值时、边BC 的长为____________________m.第2题图3．如图1、在平面直角坐标系中、点A 、C 分别在y 轴和x 轴上、AB ∥x 轴、sinC ＝45、点P 从O 点出发、沿边OA 、AB 、BC 匀速运动、点Q 从点C 出发、以1cm/s 的速度沿边 CO 匀速运动．点P 与点Q 同时出发、其中一点到达终点、另一点也随之停止运动．设点 P 运动的时间为t (s )、△CPQ 的面积为S (cm 2), 已知S 与t 之间的函数关系如图2中曲线段 OE 、线段 EF 与曲线段FG 给出．第3题图(1)点P 的运动速度为____________________cm/s, 点B 、C 的坐标分别为____________________、____________________；(2)求曲线FG 段的函数解析式；(3)当t 为何值时、△CPQ 的面积是四边形OABC 的面积的413？4．(2015·宜宾)如图、在平面直角坐标系中、四边形ABCD 是矩形、AD ∥x 轴、A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32、AB ＝1、AD ＝2.第4题图(1)直接写出B 、C 、D 三点的坐标；(2)将矩形ABCD 向右平移m 个单位、使点A 、C 恰好同时落在反比例函数y ＝kx (x>0)的图象上、得矩形A′B′C′D′.求矩形ABCD 的平移距离m 和反比例函数的解析式．5．如图、直线y ＝－43x ＋8与x 轴交于A 点、与y 轴交于B 点、动点P 从A 点出发、以每秒2个单位的速度沿AO 方向向点O 匀速运动、同时动点Q 从B 点出发、以每秒1个单位的速度沿BA 方向向点A 匀速运动、当一个点停止运动、另一个点也随之停止运动、连结PQ 、设运动时间为t (s )(0＜t ≤3)．(1)写出A 、B 两点的坐标；(2)设△AQP 的面积为S 、试求出S 与t 之间的函数关系式；并求出当t 为何值时、△AQP 的面积最大？(3)当t 为何值时、以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABO 相似、并直接写出此时点Q 的坐标．第5题图参考答案专题提升四 以函数为背景的综合运用【母题呈现】(1)∵点P (1、b )在直线l 1：y ＝2x ＋1上、∴b ＝2×1＋1＝3；∵点P (1、3)在直线l 2：y ＝mx ＋4上、∴3＝m ＋4、∴m ＝－1. (2)当x ＝a 时、y C ＝2a ＋1；当x ＝a 时、y D ＝4－a .∵CD ＝2、∴|2a ＋1－(4－a )|＝2、解得：a ＝13或a ＝53.∴a 的值为13或53.【对点训练】1.C 2.(1)88π (2)523．(1)2 (5、4) (8、0) (2)∵当0≤t ≤2时、S ＝t 2；当2≤t ≤4.5时、S ＝2t ；当4.5≤t ≤7时、S ＝－45t 2＋285t ；∴曲线FG 段的函数解析式为S ＝－45t 2＋285t .(3)t ＝4 或t ＝5.4．(1)∵四边形ABCD 是矩形、∴AB ＝CD ＝1、BC ＝AD ＝2、∵A ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32、AD ∥x 轴、∴B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，12、C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12、D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32. (2)∵将矩形ABCD 向右平移m 个单位、∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋m ，32、C ′⎝⎛⎭⎪⎫－1＋m ，12、∵点A ′、C ′在反比例函数y ＝k x (x >0)的图象上、∴32(－3＋m )＝12(－1＋m )、解得：m ＝4、∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32、∴k ＝32、∴矩形ABCD 的平移距离m ＝4、反比例函数的解析式为：y ＝32x.5．(1)A (6、0)、B (0、8)； (2)由勾股定理得、AB ＝10、∵点P 的速度是每秒2个单位、点Q 的速度是每秒1个单位、∴AP ＝2t 、AQ ＝AB －BQ ＝10－t 、∴点Q 到AP 的距离为AQ ·sin ∠OAB ＝(10－t )×810＝45(10－t )、∴△AQP 的面积S ＝12×2t ×45(10－t )＝－45(t 2－10t )＝－45(t －5)2＋20、∵－45＜0、0＜t ≤3、∴当t ＝3时、 S 最大＝－45(3－5)2＋20＝845；(3)若∠APQ ＝90°、则cos ∠OAB ＝AP AQ 、∴2t 10－t ＝610、得t ＝3013、若∠AQP ＝90°、则cos ∠OAB ＝AQ AP 、∴10－t 2t ＝610、解得t ＝5011、∵0＜t ≤3、∴t 的值为3013、此时、OP ＝6－2×3013＝1813、PQ ＝AP ·tan ∠OAB ＝(2×3013)×86＝8013、∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1813，8013.。
2019年中考数学复习第三章函数与图象3.3反比例函数(讲解部分)素材
ｋ ㊀（ ｋʂ０，且 ｋ ｘ
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立直线与双曲线的方程组成方程组求解．
位置． 解题策略：分 ｋ ＞０ 和 ｋ ＜０ 两种情况考虑．
（１） 利用 ｋ 值与图象的位置关系，综合确定系数符号或图象
（２） 已知直线与双曲线的表达式求交点坐标． 解题策略： 联
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待定系数法．
（３） 用待定系数法确定直线与双曲线的表达式． 解题策略： （４） 应用函数图象的性质比较一次函数值与反比例函数值
ȵ Ｂ（ ｍ，ｎ） 在反比例函数 ｙ ＝ ４ ＡＣ ＝ ｍ，ʑ ＝ ｍ －１， ｎ ＯＮ ＢＣ ｍ －１ ＡＣ ＢＣ ＝ ＝ 又 ，ʑ ， ＯＭ １ ＯＮ ＯＭ 又ȵ øＡＣＢ ＝ øＮＯＭ ＝ ９０ʎ ， ʑ ʑ әＡＣＢʐәＮＯＭ． ʑ Ｂ 点坐标为 ３， ４ ３
２ 图象的交点， ｘ
（７ 分）
ʑ 反比例函数的解析式为 ｙ ＝ －
把 Ｃ（３，－２） ，Ａ（０，１） 代入 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ，得 解得
{
{
ʑ 一次函数的解析式为 ｙ ＝ － ｘ ＋１． ｙ ＝ － ｘ ＋１， ｘ ＝ ３， ｘ ＝ －２， （２） 解方程组 或 ６ 得 ＝ － ＝ －２ ｙ ， ｙ ｙ ＝ ３， ｘ ʑ Ｍ 点的坐标为（ －２，３） ．
函数综合问题(精讲)-2019年中考数学高频考点突破全攻略(解析版)
【课标解读】函数问题是指一次函数、反比例函数与二次函数之间的综合运用问题的研究。
涉及的内容主要体现在函数之间的综合结合，正确把握各个函数关系的图像与性质并能灵活应用是解题的关键.【解题策略】从函数性质入手→探索函数与其它的关系→综合应用→解决相关问题→得出结论【考点深剖】★考点一一次函数与反比例函数的综合此类题考查了反比例函数与-次函数的交点问题，涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.【典例1】（2018•贵港）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A 和B（6，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．【解答】解：（1）当x=6时，n=﹣×6+4=1，∴点B的坐标为（6，1）．∵反比例函数y=过点B（6，1），∴k=6×1=6．（2）∵k=6＞0，∴当x＞0时，y随x值增大而减小，∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．学科&网★考点二一次函数与二次函数的综合此类题考查了二次函数与-次函数的交点问题，涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形周长、面积及其最值方面的求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.【典例2】（2018·湖南省常德·10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．（3）设Q（m，m2﹣m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO∽△COA，则|m2﹣m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|m2﹣m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM=•4•t﹣•t•t=﹣t2+2t=﹣（t﹣3）2+3，当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设Q（m，m2﹣m），∵∠OPQ=∠ACO，∴当=时，△PQO∽△COA，即=，∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；★考点三反比例函数与二次函数的综合此类题考查了反比例函数与二次函数的交点问题，涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，这类问题中考涉及的内容不是很多.【典例3】（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t （秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．【分析】（1）用待定系数法解题即可；（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．【解答】解：（1）由题意，点A（1，18）带入y=得：18=∴k=18设h=at2，把t=1，h=5代入∴a=5∴h=5t2（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18得t2=解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）∴x=10∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=上此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5∴v乙＞7.5★考点四函数与图形变换的综合此类题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了各类图形变换的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．此类题还考查了待定系数法求函数解析式的方法、各个变换的性质要熟练掌握．【典例4】（2018•达州）矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E．（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；（2）连接EF，求∠EFC的正切值；（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．【解答】解：（1）∵OA=3，OB=4，∴B（4，0），C（4，3），∵F是BC的中点，∴F（4，），∵F在反比例y=函数图象上，∴k=4×=6，∴反比例函数的解析式为y=，∵E点的坐标为3，∴E（2，3）；（2）∵F点的横坐标为4，∴F（4，），∴CF=BC﹣BF=3﹣=∵E的纵坐标为3，∴E（，3），∴CE=AC﹣AE=4﹣=，在Rt△CEF中，tan∠EFC==，∴=，∴，∴BG=，在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2，∴（）2﹣（）2=，∴k=，∴反比例函数解析式为y=．学科&网【讲透练活】变式1：（2018•重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D．（1）求直线CD的解析式；（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）把A（5，m）代入y=﹣x+3得m=﹣5+3=﹣2，则A（5，﹣2），∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，∴C（3，2），∵过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D，∴CD的解析式可设为y=2x+b，把C（3，2）代入得6+b=2，解得b=﹣4，∴直线CD的解析式为y=2x﹣4；（2）当x=0时，y=﹣x+3=3，则B（0，3），当y=0时，2x﹣4=0，解得x=2，则直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=2x+3，当y=0时，2x+3=0，解的x=﹣，则直线y=2x+3与x轴的交点坐标为（﹣，0），∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为﹣≤x≤2．变式2：（2018•岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6∴反比例函数的解析式为y=．（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b）∵反比例函数y=的图象经过点B（a，b）∴b=∴AD=3﹣．∴S△ABC=BC•AD=a（3﹣）=6解得a=6∴b==1∴B（6，1）．变式3：（2018•武汉）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，①若t=1，直接写出点C的坐标；②若双曲线y=经过点C，求t的值．（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；【解答】解：（1）①如图1﹣1中，由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，∴C（1，3）．②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），∵点C在y=上，∴t（t+2）=8，∴t=﹣4 或2，（2）如图2中，①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），∴m+n=0．②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，∴OB=OH，AB=D′H，∵A（a，m），∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），∵D′在y=﹣上，∴mn=﹣8，综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．学科&网变式4：（2018·四川宜宾·12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F 的距离总是相等，求定点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1﹣﹣y0）m2﹣（2﹣2x0﹣2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2=x2﹣x+1．设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直线AB′的解析式为y=﹣x+，当y=﹣1时，有﹣x+=﹣1，解得：x=，∴点P的坐标为（，﹣1）．（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，∴（m﹣x0）2+（n﹣y0）2=（n+1）2，∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1．变式5：（2018湖南湘西州）（22.00分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x 轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，）∴OC=，OB=5当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（，0）。
2019年安徽中考数学考前冲刺抢分课件 专题六 函数应用问题
1．(2018·合肥蜀山二模)如图，一次函数 y1＝kx＋b 的图象与反比例函 数 y2＝mx 的图象交于 A(2，3)，B(6，n)两点．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△OAB 的面积．
解：(1)∵反比例函数 y2＝mx 的图象过 A(2，3)，B(6，n)两点，∴m＝xy2 ＝2×3＝6.∴y2＝6x，把 B(6，n)代入 y2＝6x中，得 n＝1，∴反比例函数的解 析式为 y2＝6x，B 的坐标是(6，1)．把 A(2，3)，B(6，1)代入 y1＝kx＋b.得
3．(2018·泰安)如图，矩形 ABCD 的两边 AD，AB 的长分别为 3，8， E 是 DC 的中点，反比例函数 y＝mx 的图象经过点 E，与 AB 交于点 F.
(1)若点 B 坐标为(－6，0)，求 m 的值及图象经过 A，E 两点的一次函 数的表达式；
(2)若 AF－AE＝2，求反比例函数的表达式．
【答案】 (1)解：把 A(－1，0)，C(2，－3)代入 y＝12x2＋bx＋c，得
12－b＋c＝0， 解得b＝－32，∴抛物线的解析式为 2＋2b＋c＝－3， c＝－2，
y＝12x2－32x－2，∵y
＝12x2－32x－2＝12(x－32)2－285，∴其顶点坐标为(32，－285)．
解：(1)∵一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝mx 图象交于 A 与 B，且 AD⊥x 轴，∴∠ADO＝90°.在 Rt△ADO 中，AD＝4，sin∠AOD＝45，∴AADO ＝45，即 AO＝5，根据勾股定理得 DO＝ 52－42＝3，∴A(－3，4)，代入反 比例解析式得 m＝－12，即 y＝－1x2，把 B 点坐标代入得 n＝6，即 B(6，－
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：函数(山东专版)(解析卷)
2019年全国各地中考数学压轴题汇编（山东专版）函数参照答案与试题分析1．（ 2019?青岛）某商铺购进一批成本为每件30 元的商品，经检查发现，该商品每日的销售量y（件）与销售单价x（元）之间知足一次函数关系，其图象以下图．（1）求该商品每日的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商铺按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每日获取的收益 w（元）最大？最大收益是多少？（ 3）若商铺要使销售该商品每日获取的收益不低于800 元，则每日的销售量最少应为多少件？解：（ 1）设 y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y＝ kx+b，将点（ 30， 100）、（ 45， 70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣ 2x+160；2（ 2）由题意得： w＝（ x﹣ 30）（﹣ 2x+160）＝﹣ 2（x﹣ 55） +1250，∵﹣ 2＜ 0，故当 x＜ 55 时， w 随 x 的增大而增大，而30≤ x≤ 50，∴当 x＝ 50 时， w 由最大值，此时，w＝ 1200，故销售单价定为50 元时，该商场每日的收益最大，最大收益1200 元；（ 3）由题意得：（x﹣ 30）（﹣ 2x+160）≥ 800，x 70∴每日的销售量y＝﹣ 2x+160≥ 20，∴每日的销售量最少应为20 件．2．（ 2019?潍坊）扶贫工作小组对果农进行精确扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与昨年对比，今年这类水果的产量增添了1000 千克，每千克的均匀批发价比昨年降低了 1 元，批发销售总数比昨年增添了20%．（ 1）已知昨年这类水果批发销售总数为10 万元，求这类水果今年每千克的均匀批发价是多少元？（ 2）某水果店从果农处直接批发，专营这类水果．检查发现，若每千克的均匀销售价为41 元，则每日可售出 300 千克；若每千克的均匀销售价每降低3 元，每日可多卖出 180 千克，设水果店一天的收益为 w 元，当每千克的均匀销售价为多少元时，该水果店一天的收益最大，最大收益是多少？（收益计算时，其余花费忽视不计．）解：（ 1）由题意，设这类水果今年每千克的均匀批发价是 x 元，则昨年的批发价为（ x+1）元今年的批发销售总数为 10（ 1+20% ）＝ 12 万元∴整理得 x 2﹣ 19x ﹣ 120＝ 0解得 x ＝ 24 或 x ＝﹣ 5（不合题意，舍去）故这类水果今年每千克的均匀批发价是24 元．（ 2）设每千克的均匀售价为 m 元，依题意 由（ 1）知均匀批发价为 24 元，则有w ＝（ m ﹣ 24）（× 180+300）＝﹣ 260m +4200m ﹣ 66240整理得 w ＝﹣ 60（ m ﹣ 35）2+7260∵ a ＝﹣ 60＜ 0 ∴抛物线张口向下∴当 m ＝ 35 元时， w 取最大值即每千克的均匀销售价为35元时，该水果店一天的收益最大，最大收益是 7260 元3．（ 2019?淄博）如图，极点为M 的抛物线 2y ＝ ax +bx+3 与 x 轴交于 A （ 3，0）， B （﹣ 1， 0）两点， 与 y 轴交于点 C ．（ 1）求这条抛物线对应的函数表达式；（ 2）问在 y 轴上能否存在一点 P ，使得△ PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明原因．（ 3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 D ，知足 DA ＝OA ，过 D 作 DG ⊥ x 轴于点 G ，设△ ADG的心里为 I ，试求 CI 的最小值．2解：（ 1）∵抛物线 y ＝ ax +bx+3 过点 A （ 3， 0）， B （﹣ 1， 0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y ＝﹣ x2+2x+3（ 2）在y 轴上存在点P ，使得△PAM为直角三角形．22∵ y ＝﹣ x +2 x+3＝﹣（ x ﹣ 1） +4∴极点 M （1，4）∴ AM 2＝（ 3﹣ 1）2+42＝ 20设点 P 坐标为（ 0， p ）2 2 22 2 ＝ 1 2 2 2∴AP ＝3+p ＝ 9+ p ， MP +（ 4﹣ p ） ＝ 17﹣ 8p+p22＝ MP 2① 若∠ PAM ＝ 90°，则 AM +AP∴ 20+9+p 2＝ 17﹣8p+p 2解得： p ＝﹣∴ P （ 0，﹣ ）② 若∠ APM ＝ 90°，则 22 2 AP +MP ＝ AM22 ＝ 20∴ 9+p +17 ﹣ 8p+p解得： p 1＝ 1， p 2＝ 3∴ P （ 0， 1）或（ 0， 3）③ 若∠ AMP ＝ 90°，则 AM 2+MP 2＝ AP2∴ 20+17﹣ 8p+p 2 ＝9+p 2解得： p ＝∴ P （0， ）综上所述，点 P 坐标为（ 0，﹣ ）或（ 0， 1）或（ 0， 3）或（ 0， ）时，△（ 3）如图，过点 I 作 IE ⊥ x 轴于点 E ， IF ⊥ AD 于点 F ， IH ⊥ DG 于点 HPAM为直角三角形．∵ DG ⊥x 轴于点 G∴∠ HGE ＝∠ IEG ＝∠ IHG ＝ 90°∴四边形 IEGH 是矩形∵点 I 为△ ADG 的心里∴ IE ＝ IF ＝ IH ，AE ＝AF ，DF ＝ DH ， EG ＝HG∴矩形 IEGH 是正方形设点 I 坐标为（ m ， n ）∴ OE ＝ m ， HG ＝ GE ＝ IE ＝ n∴ AF ＝ AE ＝ OA ﹣ OE ＝3﹣ m∴ AG ＝ GE+AE ＝ n+3﹣ m∵ DA ＝ OA ＝3∴ DH ＝DF ＝ DA ﹣ AF ＝ 3﹣（ 3﹣ m ）＝ m∴ DG ＝DH +HG ＝m+n∵ DG 2+AG 2＝ DA 2∴（ m+n ）2+（ n+3﹣ m ） 2＝32∴化简得： m 2﹣ 3m+n 2+3n ＝ 0配方得：（ m ﹣ ） 2+（ n+ ） 2＝∴点 I （ m ， n ）与定点 Q （ ，﹣ ）的距离为∴点 I 在以点 Q （ ，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点 I 在线段 CQ 上时， CI 最小∵ CQ ＝∴ CI ＝CQ ﹣ IQ ＝∴ CI 最小值为．4．（ 2019?枣庄）已知抛物线 2x+4 的对称轴是直线 x ＝ 3，与 x 轴订交于 A ， B 两点（点 By ＝ax +在点 A 右边），与 y 轴交于点 C ．（ 1）求抛物线的分析式和A ，B 两点的坐标；（ 2）如图 1，若点 P 是抛物线上 B 、 C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），能否存在点 P ，使四边形 PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明原因；（ 3）如图 2，若点 M 是抛物线上随意一点，过点M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N ，当 MN＝ 3 时，求点 M 的坐标．解：（ 1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝ 3，∴﹣＝ 3，解得 a ＝﹣ ，∴抛物线的分析式为： y ＝﹣ x 2 + x+4． 当 y ＝ 0 时，﹣ x 2+x+4＝ 0，解得 x 1＝﹣ 2， x 2 ＝8， ∴点 A 的坐标为（﹣2，0），点 B 的坐标为（ 8，0）．答：抛物线的分析式为： y ＝﹣x 2 + x+4；点 A 的坐标为（﹣ 2， 0），点 B 的坐标为（ 8， 0）． （ 2）当 x ＝ 0 时， y ＝﹣ 2x+4＝4， x + ∴点 C 的坐标为（ 0， 4）．设直线 BC 的分析式为 y ＝ kx+b （k ≠ 0），将 B （ 8， 0）， C （ 0， 4）代入 y ＝ kx+b 得，解得，∴直线 BC假定存在点的分析式为 y ＝﹣x+4 ．P ，使四边形 PBOC 的面积最大，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2+x+4），以下图，过点 P 作 PD ∥ y 轴，交直线BC于点D ，则点D 的坐标为（ x ，﹣x+4），则 PD ＝﹣2﹣（﹣ x+4）＝﹣ 2x + x+4 x +2x ，∴ S 四边形 PBOC ＝ S △BOC +S △ PBC＝ × 8× 4+ PD?OB＝ 16+ × 8（﹣ x 2+2x ）＝﹣ x 2+8x+16＝﹣（ x ﹣ 4） 2+32∴当 x ＝ 4 时，四边形 PBOC 的面积最大，最大值是32∵ 0＜ x ＜ 8，∴存在点 P （ 4， 6），使得四边形 PBOC 的面积最大．答：存在点 P ，使四边形 PBOC 的面积最大；点P 的坐标为（ 4， 6），四边形 PBOC 面积的最大值为 32．（ 3）设点 M 的坐标为（ m ，﹣+ +4）则点 N 的坐标为（ m ，﹣），∴ MN ＝ |﹣+ +4﹣（﹣ ）|＝ |﹣+2 m|，又∵ MN ＝ 3，∴ |﹣+2m|＝ 3，当 0＜ m ＜ 8 时，﹣+2 m ﹣3＝ 0，解得 m 1＝ 2， m 2＝ 6，∴点 M 的坐标为（ 2， 6）或（ 6， 4）；当 m ＜ 0 或 m ＞8 时，﹣+2m+3＝ 0，解得 m 3＝4﹣ 2 ， m 4＝ 4+2 ，∴点 M 的坐标为（ 4﹣ 2，﹣ 1）或（ 4+2 ，﹣﹣ 1）．答：点 M 的坐标为（ 2， 6）、（ 6， 4）、（ 4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．5．（ 2019?济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速行进．图中的折线表示两人之间的距离y（ km）与小王的行驶时间 x（ h）之间的函数关系．请你依据图象进行研究：（ 1）小王和小李的速度分别是多少？（ 2）求线段BC 所表示的y 与 x 之间的函数分析式，并写出自变量x 的取值范围．解：（ 1）由图可得，小王的速度为：30÷ 3＝ 10km/h，小李的速度为：（30﹣ 10× 1）÷ 1＝20km/h，答：小王和小李的速度分别是10km/h、 20km/h；（ 2）小李从乙地到甲地用的时间为：30÷20＝，当小李抵达甲地时，两人之间的距离为：10×＝ 15km，∴点 C 的坐标为（，15），设线段 BC 所表示的y 与 x 之间的函数分析式为y＝ kx+b，，得，即线段 BC 所表示的y 与 x 之间的函数分析式是y＝ 30x﹣ 30（1≤ x≤）．B（0， 4），6．（ 2019?潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy 中， O 为坐标原点，点A（ 4， 0），点△ ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点C，且⊙ M 经过 O， A， C 三点．（ 1）求圆心 M 的坐标；（ 2）若直线 AD 与⊙ M 相切于点 A ，交 y 轴于点 D ，求直线 AD 的函数表达式；（ 3）在过点 B 且以圆心 M 为极点的抛物线上有一动点P ，过点 P 作 PE ∥ y 轴，交直线 AD 于点 E ．若以 PE 为半径的 ⊙ P 与直线 AD 订交于另一点F ．当 EF ＝ 4 时，求点 P 的坐标．解：（ 1）点 B （ 0， 4），则点 C （ 0，2），∵点 A （ 4， 0），则点 M （ 2， 1）；（ 2）∵ ⊙ P 与直线 AD ，则∠ CAD ＝ 90°，设：∠ CAO ＝ α，则∠ CAO ＝∠ ODA ＝∠ PEH ＝ α，tan ∠ CAO ＝ ＝ ＝ tan α，则 sin α＝ ， cos α＝ ，AC ＝，则 CD ＝＝ 10，则点 D （ 0，﹣ 8），将点 A 、 D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝ mx+n 并解得：直线 AD 的表达式为： y ＝ 2x ﹣8；（ 3）抛物线的表达式为： y ＝ a （ x ﹣2） 2+1，将点 B 坐标代入上式并解得： a ＝ ，故抛物线的表达式为：y ＝ x 2﹣ 3x+4，过点 P 作 PH ⊥EF ，则 EH ＝ EF ＝2 ，cos ∠ PEH ＝ ，解得： PE ＝5，设点 P （ x ，x 2﹣ 3x+4），则点 E （ x ， 2x ﹣ 8），则 PE ＝ x 2﹣ 3x+4﹣2x+8＝ 5，解得 x ＝或 2，则点 P （， ）或（ 2， 1）．7．（ 2019?泰安）已知一次函数 y ＝kx+b 的图象与反比率函数y ＝ 的图象交于点 A ，与 x 轴交于点 B（ 5， 0），若 OB ＝AB ，且 S △ OAB ＝．（ 1）求反比率函数与一次函数的表达式；（ 2）若点 P 为 x 轴上一点，△ ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．解：（ 1）如图 1，过点 A 作 AD ⊥ x 轴于 D ，∵ B （ 5， 0）， ∴ OB ＝ 5，∵ S △ OAB ＝，∴ ×5× AD ＝，∴ AD ＝ 3，∵ OB ＝ AB ，∴ AB ＝ 5，在 Rt △ADB 中， BD ＝＝ 4，∴ OD ＝OB+BD ＝ 9，∴ A （ 9， 3），将点 A 坐标代入反比率函数y ＝ 中得， m ＝ 9× 3＝ 27，∴反比率函数的分析式为y ＝，将点 A （ 9， 3）， B （5， 0）代入直线 y ＝kx+b 中，，∴，∴直线 AB 的分析式为 y ＝ x ﹣；（ 2）由（ 1）知， AB ＝ 5， ∵△ ABP 是等腰三角形， ∴ ① 当 AB ＝PB 时，∴ PB ＝ 5，∴ P （ 0， 0）或（ 10， 0），② 当 AB ＝ AP 时，如图 2，由（ 1）知， BD ＝4，易知，点 P 与点 B 对于 AD 对称，∴ DP ＝ BD ＝4，∴ OP ＝ 5+4+4＝ 13，∴ P （13， 0），③ 当 PB ＝ AP 时，设 P （ a ， 0），∵ A （ 9， 3）， B （ 5，0），∴ AP 2＝（ 9﹣ a ） 2+9，BP 2＝（ 5﹣ a ） 2，∴（ 9﹣ a ） 2+9＝（ 5﹣ a ）2∴ a＝，∴ P（，0），即：知足条件的点 P 的坐标为（ 0， 0）或（ 10， 0）或（ 13， 0）或（， 0）．8．（ 2019?济宁）阅读下边的资料：假如函数y＝ f（ x）知足：对于自变量x 的取值范围内的随意x1， x2，（1）若 x1＜ x2，都有 f（ x1）＜ f（ x2），则称 f（ x）是增函数；（2）若 x1＜ x2，都有 f（ x1）＞ f（ x2），则称 f（ x）是减函数．例题：证明函数 f（x）＝（ x＞ 0）是减函数．证明：设 0＜ x1＜ x2，f（ x1）﹣ f（ x2）＝﹣＝＝．∵0＜ x1＜ x2，∴x2﹣ x1＞0， x1x2＞ 0．∴＞0．即 f（ x1）﹣ f（x2）＞ 0．∴ f（ x1）＞ f（ x2）．∴函数 f （x）═（x＞0）是减函数．依据以上资料，解答下边的问题：已知函数f（ x）＝+x（ x＜ 0），f（﹣ 1）＝+（﹣ 1）＝ 0， f（﹣ 2）＝+（﹣ 2）＝﹣（ 1）计算： f（﹣ 3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（ 2）猜想：函数 f （x）＝+x（ x＜ 0）是增函数（填“增”或“减”）；（ 3）请模仿例题证明你的猜想．解：（ 1）∵ f（ x）＝+x（ x＜ 0），∴ f（﹣ 3）＝﹣3＝﹣，f（﹣4）＝﹣4＝﹣故答案为：﹣，﹣（2）∵﹣ 4＜﹣ 3， f（﹣ 4）＞ f（﹣ 3）∴函数 f （x）＝+x（ x＜ 0）是增函数故答案为：增（ 3）设 x1＜ x2＜ 0，∵ f（ x1）﹣ f（ x2）＝+x1﹣﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣）∵x1＜ x2＜0，∴x1﹣ x2＜0， x1+x2＜0，∴f（ x1）﹣ f（ x2）＜ 0∴f（ x1）＜ f（ x2）∴函数 f （x）＝+x（ x＜ 0）是增函数9．（ 2019?威海）（ 1）阅读理解如图，点 A，B 在反比率函数y＝的图象上，连结AB，取线段 AB 的中点 C．分别过点A， C，B 作 x 轴的垂线，垂足为E，F ，G， CF 交反比率函数y＝的图象于点D．点 E，F ，G 的横坐标分别为 n﹣ 1， n，n+1（ n＞ 1）．小红经过察看反比率函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG＝ 2CF， CF ＞ DF由此得出一个对于，，，之间数目关系的命题：若 n＞ 1，则+＞．（ 2）证明命题小东以为：能够经过“若小晴以为：能够经过“若请你选择一种方法证明（a﹣ b≥ 0，则 a≥b”的思路证明上述命题．a＞ 0， b＞ 0，且 a÷ b≥ 1，则 a≥ b”的思路证明上述命题．1）中的命题．解：（ 1）∵ AE+BG＝ 2CF ，CF ＞DF ， AE＝∴+＞．故答案为：+＞．（ 2）方法一：∵+﹣＝， BG＝＝，DF ＝，，∵n＞ 1，∴n（ n﹣ 1）（ n+1 ）＞ 0，∴+﹣＞0，∴+＞．方法二：∵＝＞1，∴+＞．10．（ 2019?泰安）若二次函数2y＝ ax +bx+c 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A（3，0）、B（ 0，﹣ 2），且过点 C（ 2，﹣ 2）．（ 1）求二次函数表达式；（ 2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝ 4，求点 P 的坐标；（ 3）在抛物线上（ AB 下方）能否存在点M，使∠ ABO＝∠ ABM ？若存在，求出点M 到 y 轴的距离；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵二次函数的图象经过点A （ 3， 0）、B （ 0，﹣ 2）、C （ 2，﹣ 2）∴解得：∴二次函数表达式为y ＝ x 2﹣ x ﹣ 2（ 2）如图 1，设直线 BP 交 x 轴于点 C ，过点 P 作 PD ⊥ x 轴于点 D设 P （ t ， t 2﹣ t ﹣ 2）（ t ＞3）∴ OD ＝t ， PD ＝ t 2﹣ t ﹣ 2设直线 BP 分析式为 y ＝ kx ﹣ 2把点 P 代入得： kt ﹣ 2＝t 2﹣ t ﹣2∴ k ＝ t ﹣∴直线 BP ：y ＝（ t ﹣） x ﹣2当 y ＝ 0 时，（t ﹣ ） x ﹣2＝ 0，解得： x ＝∴ C （，0）∵ t ＞ 3∴ t ﹣ 2＞ 1∴，即点 C 必定在点 A 左边∴ AC ＝ 3﹣∵ S △ PBA ＝ S △ ABC +S △ACP ＝ A C?OB+ AC ?PD ＝AC （OB+PD ）＝ 4∴＝ 4解得： t 1＝4， t 2＝﹣ 1（舍去）∴ t 2﹣ t ﹣ 2＝∴点 P 的坐标为（ 4，）（ 3）在抛物线上（ AB 下方）存在点 M ，使∠ ABO ＝∠ ABM ．如图 2，作点 O 对于直线AB 的对称点 E ，连结 OE 交 AB 于点 G ，连结 BE 交抛物线于点 M ，过点 E 作 EF ⊥ y 轴于点 F∴ AB 垂直均分 OE∴ BE ＝ OB ，OG ＝ GE∴∠ ABO ＝∠ ABM∵ A （ 3， 0）、 B （ 0，﹣ 2），∠ AOB ＝ 90°∴ OA ＝ 3， OB ＝ 2， AB ＝∴ sin ∠ OAB ＝， cos ∠ OAB ＝∵ S △ AOB ＝ OA?OB ＝ AB?OG∴ OG ＝∴ OE ＝ 2OG ＝∵∠ OAB+∠ AOG ＝∠ AOG+∠ BOG ＝ 90°∴∠ OAB ＝∠ BOG∴ Rt △OEF 中， sin ∠ BOG ＝，cos ∠ BOG ＝∴ EF ＝OE ＝，OF ＝ OE ＝∴E （，﹣）设直线 BE 分析式为 y ＝ ex ﹣ 2把点 E 代入得：e ﹣ 2＝﹣，解得： e ＝﹣∴直线 BE ：y ＝﹣x ﹣ 2当﹣x ﹣ 2＝ x 2﹣ x ﹣ 2，解得： x 1＝ 0（舍去）， x 2＝∴点 M 横坐标为，即点 M 到 y 轴的距离为．11．（ 2019?临沂）汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库20h 内水位的变化状况，此中x 表示时间（单位： h）， y 表示水位高度（单位：m），当 x＝ 8（ h）时，达到戒备水位，开始开闸放水．x/h 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20y/m 14 15 16 17 18 12 9 8（1）在给出的平面直角坐标系中，依据表格中的数据描出相应的点．（2）请分别求出开闸放水前和放水后最切合表中数据的函数分析式．（ 3）据估计，开闸放水后，水位的这类变化规律还会连续一段时间，展望何时水位达到6m．解：（ 1）在平面直角坐标系中，依据表格中的数据描出相应的点，以下图．（ 2）察看图象当 0＜ x＜ 8 时， y 与 x 可能是一次函数关系：设 y＝ kx+b，把（ 0， 14），（ 8， 18）代入得解得： k＝，b＝14，y与x的关系式为：y＝x+14，经考证（ 2， 15），（ 4，16），（6， 17）都知足 y＝ x+14所以放水前y 与 x 的关系式为： y＝x+14（0＜x＜8）察看图象当x＞ 8 时， y 与 x 就不是一次函数关系：经过察看数据发现：8× 18＝ 10×＝ 12× 12＝16× 9＝ 18× 8＝ 144．所以放水后y 与 x 的关系最切合反比率函数，关系式为：所以开闸放水前和放水后最切合表中数据的函数分析式为：＞ 8）（ 3）当 y＝6 时， 6＝，解得：x＝24，y＝．（ x＞ 8）x+14 （0＜ x＜ 8）和．（ x所以估计 24h 水位达到6m．212．（ 2019?威海）在画二次函数y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表以下x ﹣ 1 0 1 2 3y 甲 6 3 2 3 6乙写错了常数项，列表以下：x ﹣ 1 0 1 2 3y 乙﹣ 2 ﹣ 1 2 7 14经过上述信息，解决以下问题：（ 1）求原二次函数2y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的表达式；（ 2）对于二次函数2≥﹣ 1 时， y 的值随 x 的值增大而增大；y＝ ax +bx+c（ a≠ 0），当 x2k 的取值范围．（ 3）若对于 x 的方程 ax +bx+c＝ k（ a≠ 0）有两个不相等的实数根，求解：（ 1）由甲同学的错误可知c＝3，由甲同学供给的数据选x＝﹣ 1， y＝6； x＝ 1，y＝ 2，有，∴，∴a＝ 1，由甲同学给的数据a＝ 1，c＝ 3 是正确的；由乙同学供给的数据，可知c＝﹣ 1，选 x＝﹣ 1， y＝﹣ 2； x＝ 1，y＝2，有，∴，∴ a ＝ 1， b ＝ 2，2 ；∴ y ＝ x +2x+3（ 2） y ＝ x 2+2x+3 的对称轴为直线 x ＝﹣ 1，∴抛物线张口向上，∴当 x ≥﹣ 1 时， y 的值随 x 的值增大而增大；故答案为≥﹣ 1；2（ 3）方程 ax +bx+c ＝ k （ a ≠ 0）有两个不相等的实数根， 即 x 2+2x+3﹣ k ＝ 0 有两个不相等的实数根，∴△＝ 4﹣ 4（ 3﹣ k ）＞ 0，∴ k ＞ 2；13．（ 2019?临沂）在平面直角坐标系中，直线y ＝ x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y2＝ ax +bx+c （ a ＜ 0）经过点 A 、 B ． （ 1）求 a 、 b 知足的关系式及 c 的值．（ 2）当 x ＜ 0 时，若 y ＝ ax 2+bx+c （ a ＜ 0）的函数值随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围．（ 3）如图，当 a ＝﹣ 1 时，在抛物线上能否存在点 P ，使△ PAB 的面积为 1？若存在，恳求出切合条件的全部点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1） y ＝ x+2，令 x ＝ 0，则 y ＝ 2，令 y ＝ 0，则 x ＝﹣ 2，故点 A 、 B 的坐标分别为（﹣ 2， 0）、（ 0， 2），则 c ＝ 2，则函数表达式为： y ＝ ax 2+bx+2，将点 A 坐标代入上式并整理得： b ＝ 2a+1；（ 2）当 x ＜ 0 时，若 y ＝ ax 2+bx+c （ a ＜ 0）的函数值随 x 的增大而增大，则函数对称轴 x ＝﹣ ≥ 0，而 b ＝ 2a+1，即：﹣≥ 0，解得： a，故： a 的取值范围为：﹣≤ a ＜ 0；（ 3）当 a ＝﹣ 1 时，二次函数表达式为：y ＝﹣ x 2﹣ x+2，过点 P 作直线 l ∥AB ，作 PQ ∥ y 轴交 BA 于点 Q ，作 PH ⊥ AB 于点 H ，∵ OA ＝ OB ，∴∠ BAO ＝∠ PQH ＝ 45°，S △PAB ＝ × AB ×PH ＝2 × PQ ×＝ 1，则 y P ﹣ y Q ＝1，在直线 AB 下方作直线 m ，使直线 m 和 l 与直线 AB 等距离，则直线 m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 构成的三角形的面积也为 1，故： |y P ﹣ y Q |＝ 1，设点 P （ x ，﹣ x 2﹣ x+2 ），则点 Q （ x ， x+2），即：﹣ x 2﹣ x+2 ﹣ x ﹣ 2＝± 1，解得： x ＝﹣ 1 或﹣ 1，故点 P （﹣ 1，2）或（﹣ 1， 1）或（﹣ 1﹣，﹣）．14．（ 2019?德州）下表中给出A ，B ，C 三种手机通话的收费方式．收费方式月通话费 /元包时通话时间 /h超时费 /（元 /min ）A 30 25B 50 50C100不限时（ 1）设月通话时间为 x 小时，则方案 A ，B ，C 的收费金额y 1，y 2，y 3 都是 x 的函数，请分别求出这三个函数分析式．（ 2）填空：若选择方式 A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 0≤ x ≤；若选择方式 B 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 ≤ x ≤ ；若选择方式 C 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为x ＞；（ 3）小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．解：（ 1）∵ 0.1 元 /min＝ 6 元 /h，∴由题意可得，y1＝，y2＝，y3＝ 100（ x≥ 0）；（ 2）作出函数图象如图：联合图象可得：若选择方式 A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为：0≤ x＜，若选择方式 B 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为：＜ x＜，若选择方式 C 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为： x＞．故答案为： 0≤ x＜，＜ x＜， x＞．（3）∵小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，∴联合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式 B，将 y＝ 80 分别代入y2＝，可得6x﹣ 250＝ 80，解得： x＝ 55，∴小王该月的通话时间为55 小时．15．（ 2019?聊城）如图，点A（，4），B（3，m）是直线两个交点， AC⊥ x 轴，垂足为点C，已知 D（ 0， 1），连结AB 与反比率函数AD，BD，BC．y＝（ x＞ 0）图象的（1）求直线 AB 的表达式；（2）△ ABC 和△ ABD 的面积分别为 S1， S2．求 S2﹣ S1．解：（ 1）由点 A（，4），B（3，m）在反比率函数y＝（x＞0）图象上∴4＝∴n＝ 6∴反比率函数的分析式为y＝（x＞0）将点 B（ 3， m）代入 y＝（x＞0）得m＝2∴B（ 3， 2）设直线 AB 的表达式为y＝ kx+b∴解得∴直线 AB 的表达式为y＝﹣；（ 2）由点 A、B 坐标得AC＝ 4，点 B 到AC 的距离为3﹣＝∴ S1＝×4×＝3设 AB 与 y 轴的交点为 E ，可得 E （ 0， 6），如图：∴ DE ＝ 6﹣ 1＝ 5由点 A （ ， 4）， B （ 3， 2）知点 A ， B 到 DE 的距离分别为， 3∴ S 2＝ S △BDE ﹣ S △AED ＝ × 5×3﹣ ×5× ＝∴ S 2﹣ S 1＝﹣ 3＝ ．16．（ 2019?德州）如图，抛物线y ＝ mx 2﹣ mx ﹣ 4 与 x 轴交于 A （x 1， 0）， B （ x 2， 0）两点，与 y轴交于点 C ，且 x 2﹣ x 1＝．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若 P （ x 1， y 1）， Q （ x 2， y 2）是抛物线上的两点，当a ≤ x 1≤ a+2， x 2≥ 时，均有 y 1≤ y 2，求 a 的取值范围；（ 3）抛物线上一点 D （ 1，﹣ 5），直线 BD 与 y 轴交于点 E ，动点 M 在线段 BD 上，当∠ BDC ＝∠ MCE 时，求点 M 的坐标．解：（ 1）函数的对称轴为： x ＝﹣ ＝ ＝ ，并且 x 2﹣ x 1＝ ，将上述两式联立并解得：x1＝﹣， x2＝ 4，则函数的表达式为：y＝ m（ x+ ）（ x﹣ 4）＝ m（ x2﹣ 4x+ x﹣ 6），即：﹣6m＝﹣ 4，解得：m＝，x2﹣x﹣ 4；故抛物线的表达式为：y＝（ 2）由（1）知，函数的对称轴为：x＝，则 x＝和 x＝﹣ 2 对于对称轴对称，故其函数值相等，又 a≤ x1≤ a+2 ， x2≥时，均有 y1≤ y2，联合函数图象可得：，解得：﹣ 2≤ a≤；（ 3）如图，连结BC、 CM ，过点 D 作 DG ⊥OE 于点 G，而点 B、 C、 D 的坐标分别为：（4， 0）、（ 0，﹣ 4）、（ 1，﹣ 5），则 OB＝ OC＝ 4， CG＝GC＝ 1， BC＝ 4 ， CD ＝，故△BOC、△ CDG 均为等腰直角三角形，∴∠ BCD＝ 180°﹣∠ OCB﹣∠ GCD ＝ 90°，在 Rt△BCD 中， tan∠ BDC ＝＝ 4，∠BDC＝∠ MCE ，则 tan∠ MCE ＝ 4，将点 B、 D 坐标代入一次函数表达式：y＝ mx+n 并解得：直线 BD 的表达式为：y＝x﹣，故点E（0，﹣），设点 M（n，n﹣），过点M 作 MF ⊥CE 于点 F ，则 MF ＝ n ， CF ＝ OF ﹣OC ＝ ﹣ ，tan ∠ MCE ＝ ＝ ＝ 4，解得： n ＝ ，故点 M （，﹣）．17．（ 2019?聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ＝ax +bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 2， 0），点B （ 4， 0），与 y 轴交于点C （0， 8），连结 BC ，又已知位于 y 轴右边且垂直于 x 轴的动直线 l ，沿 x 轴正方向从 O 运动到 B （不含 O 点和 B 点），且分别交抛物线、 线段 BC 以及 x 轴于点 P ，D ，E ．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）连结 AC ， AP ，当直线 l 运动时，求使得△ PEA 和△ AOC 相像的点 P 的坐标；（ 3）作 PF ⊥ BC ，垂足为 F ，当直线 l 运动时，求 Rt △ PFD 面积的最大值．解：（ 1）将点 A 、 B 、 C 的坐标代入二次函数表达式得：，解得： ，故抛物线的表达式为：y ＝﹣ x 2+2x+8 ；（ 2）∵点 A （﹣ 2， 0）、 C （0， 8），∴ OA ＝ 2，OC ＝ 8， ∵ l ⊥ x 轴，∴∠ PEA ＝∠ AOC ＝ 90°，∵∠ PAE ≠∠ CAO ，∴只有当∠ PEA ＝∠ AOC 时， PEA △∽ AOC ，此时，即：，∴ AE ＝ 4PE ，设点 P 的纵坐标为k ，则 PE ＝k ， AE ＝ 4k ，∴ OE ＝ 4k ﹣2，将点 P 坐标（ 4k﹣ 2， k）代入二次函数表达式并解得：k＝ 0 或（舍去0），则点P（，）；（3）在 Rt△ PFD 中，∠ PFD ＝∠ COB＝ 90°，∵l∥ y 轴，∴∠ PDF ＝∠ COB，∴ Rt△ PFD ∽ Rt△ BOC，∴，∴ S△PDF＝?S△BOC，△ BOC＝OB?OC＝＝ 16， BC＝＝ 4 ，而 S∴S△PDF＝?S△BOC＝ PD2，即当 PD 获得最大值时，S△PDF最大，将 B、 C 坐标代入一次函数表达式并解得：直线 BC 的表达式为： y＝﹣ 2x+8，2设点 P（ m，﹣ m +2 m+8 ），则点 D（ m，﹣ 2m+8），2 2则 PD＝﹣ m +2m+8+2m﹣8＝﹣（ m﹣ 2） +4，当 m＝ 2 时， PD 的最大值为4，故当 PD ＝4 时，∴ S△PDF＝PD 2＝．18．（ 2019?菏泽）如图， ? ABCD 中，极点 A 的坐标是（0， 2）， AD ∥ x 轴， BC 交 y 轴于点 E，顶点 C 的纵坐标是﹣ 4， ? ABCD 的面积是24．反比率函数 y＝的图象经过点 B 和 D，求：（1）反比率函数的表达式；（2）AB 所在直线的函数表达式．解：（ 1）∵极点 A 的坐标是（ 0， 2），极点 C 的纵坐标是﹣4，∴AE＝ 6，又 ?ABCD 的面积是24，∴ AD ＝ BC ＝ 4，则 D （4， 2）∴ k ＝ 4× 2＝ 8，∴反比率函数分析式为 y ＝ ；（ 2）由题意知 B 的纵坐标为﹣ 4，∴其横坐标为﹣ 2，则 B （﹣ 2，﹣ 4），设 AB 所在直线分析式为 y ＝ kx+b ，将 A （ 0， 2）、 B （﹣ 2，﹣ 4）代入，得： ，解得：，所以 AB 所在直线分析式为 y ＝3x+2．19．（ 2019?滨州）如图 ① ，抛物线 y ＝﹣ 2与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 B ，C ，将直线 x + x+4 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，所得直线与x 轴交于点 D ．（ 1）求直线 AD 的函数分析式；（ 2）如图 ② ，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点① 当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；② 当点 P 到直线 AD 的距离为时，求 sin ∠PAD 的值．解：（ 1）当 x ＝0 时， y ＝ 4，则点 A 的坐标为（ 0， 4），当 y ＝ 0 时， 0＝﹣ x 2+ x+4，解得， x 1＝﹣ 4，x 2＝ 8，则点 B 的坐标为（﹣ 4，0），点 C 的坐标为（ 8， 0），∴ OA ＝ OB ＝4，∴∠ OBA ＝∠ OAB ＝ 45°，∵将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°获取直线 AD ，∴∠ BAD＝ 90°，∴OAD＝ 45°，∴∠ ODA＝ 45°，∴OA＝ OD，∴点 D 的坐标为（ 4，0），设直线 AD 的函数分析式为y＝kx+b，，得，即直线 AD 的函数分析式为y＝﹣ x+4；（ 2）作 PN⊥ x 轴交直线 AD 于点 N，如右图①所示，设点 P 的坐标为（ t，﹣2t + t+4），则点 N 的坐标为（ t，﹣ t+4），2t+4 ）﹣（﹣ t+4 ）＝﹣2∴ PN＝（﹣ t + t + t，∵PN⊥ x 轴，∴ PN∥ y 轴，∴∠ OAD＝∠ PNH ＝ 45°，作 PH⊥ AD 于点 H，则∠ PHN ＝ 90°，∴ PH＝＝（﹣t 2+ t ）＝t＝﹣（t﹣6）2+，则 P1的坐标为（ 2，），P2的坐标为（10，﹣），当 P1的坐标为（ 2，），则P1A＝＝，∴ sin∠ P1AD ＝＝；当 P2的坐标为（ 10，﹣），则P2A＝＝，∴ sin∠ P2AD ＝＝；由上可得， sin∠ PAD 的值是或．20．（ 2019?菏泽）如图，抛物线与x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C（ 0，﹣ 2），点 A 的坐标是（ 2， 0）， P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD ⊥ x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E，抛物线的对称轴是直线 x＝﹣ 1．（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）若点 P 在第二象限内，且PE ＝OD ，求△ PBE 的面积．（ 3）在（ 2）的条件下，若M 为直线 BC 上一点，在 x 轴的上方，能否存在点M，使△ BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）点 A 的坐标是（ 2， 0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣ 1，则点 B（﹣ 4， 0），2则函数的表达式为： y＝ a（ x﹣ 2）（ x+4）＝ a（x +2 x﹣ 8），即：﹣ 8a＝﹣ 2，解得： a＝，故抛物线的表达式为： y＝x 2+ x﹣ 2；（ 2）将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n 并解得：直线 BC 的表达式为： y＝﹣x﹣ 2，则 tan∠ABC＝，则 sin∠ ABC ＝，设点 D （ x， 0），则点 P（ x，x 2+ x﹣ 2），点 E（ x，x﹣ 2），∵ PE＝OD ，∴ PE＝（2（﹣ x），x + x﹣2﹣ x+2）＝解得： x＝ 0 或﹣ 5（舍去 x＝0），即点 D（﹣ 5，0）△＝× PE×BD＝（ x2）（﹣ 4﹣ x）＝；S PBE + x﹣ 2﹣ x+2（ 3）由题意得：△BDM 是以 BD 为腰的等腰三角形，①当 BD ＝BM 时，过点M 作 MH ⊥ x 轴于点 H ，BD ＝ 1＝BM，则 MH ＝ y M＝ BM sin∠ ABC＝ 1×＝，则 x M＝，故点 M（﹣，﹣）；②当 BD ＝DM （M′）时，同理可得：点M′（﹣，）；故点 M 坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．。
专题2.10 函数的综合运用-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析
第三十讲第三十一讲第三十二讲第三十三讲第三十四讲姓名，年级：第三十五讲时间：第三十六讲第三十七讲第三十八讲第三十九讲第四十讲函数的综合运用考向一新概念题【例1】对于实数a和b，定义运算“*”:a*b＝错误!设f(x)＝（2x－1)*(x－1）,且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．【答案】错误!【解析】函数f（x）＝错误!的图象如图所示．设y＝m与y＝f（x）图象交点的横坐标从小到大分别为x1，x2,x3.由y＝－x2＋x＝－错误!2＋错误!,得顶点坐标为错误!.当y＝错误!时,代入y＝2x2－x，得错误!＝2x2－x，解得x＝错误!(舍去正值)，∴x1∈错误!。
又∵y＝－x2＋x图象的对称轴为x＝错误!，∴x2＋x3＝1，又x2，x3〉0,∴0〈x2x3〈错误!2＝错误!.又∵0<－x1〈错误!,∴0〈－x1x2x3<错误!，∴错误!〈x1x2x3〈0。
【举一反三】1.设f(x）与g(x)是定义在同一区间［a，b］上的两个函数,若函数y＝f(x）－g（x）在x ∈［a，b］上有两个不同的零点,则称f（x)和g（x)在[a，b］上是“关联函数”，区间［a，b ］称为“关联区间”．若f （x ）＝x 2－3x ＋4与g (x ）＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为（ ）A .]2,49(--B ．[－1,0］C ．（－∞，－2]D 。
),49(+∞- 【答案】A【解析】令F （x )＝f （x ）－g （x )＝x 2－3x ＋4－（2x ＋m ）＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F （x ）＝0在[0,3]上有两个不同的实数根,因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－错误!<m ≤－2,故选A考向二 函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数f (x )满足f (x )=f (π−x )，当x ∈[−π2,0]时，f (x )=2x −cosx ，则函数f (x )在区间[−π,π]内的零点个数为 。
第13讲 函数相关性问题-2021年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2021年中考数学总复习巅峰冲刺【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；1、一次函数图像与实际情景探究：分析函数图象与实际情境中量的意义．①确定坐标轴表示的意义；②确定图象上的点表示的意义；③确定上升线及下降线表示的意义；④确定每段图象对应的自变量的取值范围及图象的最值等. 解题时根据条件判断一次函数图象时，关键是找出突破点，如能用排除法解决的，就不需要逐一分析图象.2、反比例函数综合探究：①求反比例函数解析式中的k ，就是求出双曲线上某点的坐标或横、纵坐标的积；②先设反比例函数图象上关键点的坐标，再利用该点的坐标和已知表示出其他数量关系，是求解这类问题常用的方法。
解题过程要注意以下几点：①求直线与双曲线的交点，需建立由y ＝kx ＋b 和y ＝kx 组成的方程组，并解之；②求一般图形的面积可转化为边在坐标轴上的图形的面积．3、二次函数的图像研究问题：对于抛物线y ＝ax2＋bx ＋c ，①抛物线开口方向决定a 的正负，c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，结合对称轴的位置确定b ；②结合一元二次方程的判别式，确定与x 轴交点的个数；③抛物线一定过(1，a ＋b ＋c)，(－1，a －b ＋c)和(2，4a ＋2b ＋c)；④数形结合看不等式成立与否．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】△ABC 两边AC 、AB 上分别存在E 、F 两点, 同时从某一边长为2的等边三角形的顶点A 出发，点E 沿着A-C-B 的方向按照1单位/秒的速度运动动，点F 沿着A-B 的方向匀速运动，且运动的速度是点E 运动速度的13，当其中一点运动到点B 时，另一点也同时停止运动.设运动的时间为t 秒，△AEF 的面积为y ，那么y 与t 函数关系的图象大致可以是下列选项中的（ ）A. B. C. D.【解析】当点E 在AC 边上运动时，即0≤t ≤2时，。
第21讲 函数中三角形存在问题-2021年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2021年中考数学总复习巅峰冲刺【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算． 主要思路为：①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为： ①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．解题策略可以从以下几方面进行分析：①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k 值乘积为1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别相交于点A 、B 、C ，其坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （-1，0），直线y=kx+d 经过A 、B 两点，点D 为抛物线的顶点.（1）求此抛物线的解析式;（2）在x 轴上是否存在点N 使△ADN 为直角三角形？若存在，确定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）是否存在点P,使以A,B,C,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存。
第14讲 函数实际应用题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题14函数实际应用问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；1、最大利润问题：这类问题只需围绕一点来求解，那就是：总利润=单件商品利润*销售数量。
未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况：①变量x是所涨价多少，或降价多少；②自变量x是最终的销售价格。
2、最优方案问题：解答方案型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.3、抛物线型问题：（1）建立变量与自变量之间的二次函数关系式；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大值：可以利用配方法或公式求出最大值或者最小值；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.4、几何面积最大值问题：借助几何图形的特点，可根据图形探寻几何性质并设其中一边为x，从而根据面积公式建立二次函数或其它函数关系式，根据函数关系计算最大值问题。
5、解直角三角形：仰角、俯角：如图所示，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角②坡角、坡度：如图⑥所示，通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示，即i=h l ;坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则有i= hl=tanα解直角三角形常见模型：一个直角三角形包含在另一个直角三角形中，两直角三角形有公共直角和一条公共直角边，其中这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？【分析】（1）设商品的定价为x元，由这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少2件，列出等式求得x的值即可；（2）设利润为y元，列出二次函数关系式，在售价不超过40元/件的范围内求得利润的最大值．【解答】解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]=1600，解得：x=40或x=60；答：售价应定为40元或60元．（2）设利润为y元，得：y=（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），即：y=﹣2x2+200x﹣3200；∵a=﹣2＜0，∴当x=﹣=﹣=50时，y取得最大值；又x≤40，则在x=40时可取得最大值，即y最大=1600．答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元．【原创2】(2019·原创题)某条道路上有学校，为了保证师生的交通安全，通行车辆限速为40千米/时，在离道路100米的点P 处建一个监测点，道路AB 段为检测区(如图)．在△ABP 中，∠PAB ＝30°，∠PBA ＝45°，那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(精确到0.1秒，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如图，作PC ⊥AB 于点C.在Rt △APC 中，tan ∠PAC ＝PCAC， 则AC ＝PCtan ∠PAC ＝1003≈173(米)．同理，BC ＝PCtan ∠PBA ＝PC ＝100(米)，则AB ＝AC ＋BC ＝273(米)． ∵40千米/时＝1009米/秒，则273÷1009≈24.6(秒)．答：车辆通过AB 段的时间在24.6秒内时，可认定为超速．【原创3】某超市新进一批新的电子产品，进价每个50元，规定每个售价不低于成本，且不高于90元.试销若干天以后，得知每天的销售量y （个）与单个售价x （元）满足一定的函数关系，统计如下表：（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）求出总利润W 与售价x 的关系式，并求出售价为多少元时可获最大利润？分析（1）根据题意可以设出y 与x 之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y 与x 之间的函数表达式；（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，在取值范围内求得W 的最大值即可． 解：（1）因为数据为等差数据，所以变量间为一次函数关系：设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b ，取两组数据（60,100），（70,80）代入得：10060+8070k bk b=⎧⎨=+⎩， 得2220k b =-⎧⎨=⎩，即y 与x 之间的函数表达式2220y x =-+ ()5090x ≤≤；（2）由题意可得， W 与x 之间的函数表达式是()()()50222050100W x x x =--+≤≤，整理得()()2280180050100W x x =--+≤≤； 当x=80时，W 取得最大值，且x 在取值范围内 此时W=1800，故售价为80元时获得最大利润，最大利润是1800元．【原创4】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m 2)． (1)如图①，问饲养室的长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留一个2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中饲养室的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y ＝x·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，∴当x ＝25时，y 最大，即当饲养室的长为25 m 时，占地面积y 最大． (2)∵y ＝x·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，y 最大，即当饲养室的长为26 m 时，占地面积y 最大． ∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】(2018·湖州中考)“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥．甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示：设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元．(1)根据题意，填写下表．(2)设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省总运费是多少元？解：(1)填表如下：(2)y＝2×15x＋2×25(110－x)＋2×20(80－x)＋2×20(x－10)，即y关于x的函数表达式为y＝－20x＋8 300.∵－20＜0，且10≤x≤80，∴当x＝80时，总运费y最省，此时y最小＝－20×80＋8 300＝6 700.答：当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省总运费是6 700元．【例题2】近年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元(a为常数，且40＜a＜100)，每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润y1(万元)、y2(万元)与相应生产件数x(万件)(x为正整数)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；(2)分别求出这两个投资方案的最大年利润；(3)如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？解：(1)由题意得：y1＝(120－a)x(1≤x≤125，x为正整数)，y2＝(180－80)x－0.5x2＝100x－0.5x2(1≤x≤120，x为正整数)；(2)①∵40＜a＜100，∴120－a＞0，即y1随x的增大而增大，∴当x＝125时，y1最大值＝(120－a)×125＝15000－125a(万元)，即方案一的最大年利润为(15000－125a)万元；②y2＝－0.5(x－100)2＋5000，∵－0.5＜0，∴当x＝100时，y2最大值＝5000(万元)，即方案二的最大年利润为5000万元；(3)由15000－125a＞5000，解得a＜80，∴当40＜a＜80时，选择方案一；由15000－125a＝5000，解得a＝80，∴当a＝80时，选择方案一或方案二均可；由15000－125a＜5000，得a＞80，∴当80＜a ＜100时，选择方案二．【例题3】某校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面209 m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，当球出手后水平距离为4 m 时到达最大高度4 m ，篮圈距地面3 m ，设篮球运行的轨迹为抛物线．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)此球能否准确投中？(3)此时，若对方队员乙在甲前面1 m 处跳起拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m ，那么他能否拦截成功？解：(1)根据题意，求出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：(0，209)，(4，4)，(7，3)，设二次函数解析式为y ＝a(x －h)2＋k ，由题知h ＝4，k ＝4，即y ＝a(x －4)2＋4， 将点(0，209)代入上式可得16a ＋4＝209，解得a ＝－19，∴抛物线解析式为y ＝－19(x －4)2＋4(0≤x≤7);(2)将(7，3)点坐标代入抛物线解析式得： －19×(7－4)2＋4＝3， ∴(7，3)点在抛物线上， ∴此球一定能投中； (3)能拦截成功，理由：将x ＝1代入y ＝－19(x －4)2＋4得y ＝3，∵3＜3.1， ∴他能拦截成功．【例题4】如图，为美化社区环境，满足市民休闲娱乐需要，某社区计划在一块长为60 m ，宽为40 m 的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽x m ，纵向宽为2x m 的鹅卵石健身道．(1)用含x(m)的代数式表示休闲区的面积S(m 2)，并注明x 的取值范围； (2)若休闲区的面积与鹅卵石健身道的面积相等，求此时x 的值；(3)已知承建公司修建休闲区、鹅卵石健身道的前期投入及造价w 1(万元)、w 2(万元)与修建面积a(m 2)之间的关系如下表所示，并要求满足1≤x≤3，要使修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w 最低，x 应取多少米，最低造价多少万元？解：(1)S ＝40×60－2x×40×3－60×x×3＋2x·x·9＝18x 2－420x ＋2400；∵⎩⎪⎨⎪⎧60－2x×3>040－x×3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x<10x<403， ∴0<x<10，∴S ＝18x 2－420x ＋2400(0<x<10)；(2)由题意得：18x 2－420x ＋2400＝40×602，化简得3x 2－70x ＋200＝0，解得x 1＝103，x 2＝20(不合题意，舍去)，∴此时x 为103m ；(3)由表可知：修建休闲区前期投入0.5万元，每平方米造价0.01万元；修建鹅卵石健身道前期投入0.5万元，每平方米造价0.008万元，由上述信息可得：w ＝0.01×(18x 2－420x ＋2400)＋0.008×(－18x 2＋420x)＋1 ，整理，得w ＝0.036x 2－0.84x ＋25，配方后，得w ＝9250(x －353)2＋20110， ∵a ＞0，∴当x ＜353时，w 随x 的增大而减小，∵1≤x≤3，∴当x ＝3时，w 最小＝0.036×9－0.84×3＋25＝22.804(万元)， 答：当x 的值取3米时，最低造价为22.804万元．【例题5】(2018·恩施州中考)如图所示，为测量旗台A 与图书馆C 之间的直线距离，小明在A 处测得C 在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B 处，测得此时C 在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如图，由题意知∠MAC ＝30°，∠NBC ＝15°，∴∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°， ∴∠C ＝45°.过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E. 在Rt △AEB 中，∵∠BAC ＝60°，AB ＝100米，∴AE ＝cos ∠BAC·AB ＝12×100＝50(米)，BE ＝sin ∠BAC·AB ＝32×100＝503(米)． 在Rt △CEB 中，∵∠C ＝45°，BE ＝503米， ∴CE ＝BE ＝503米，∴AC ＝AE ＋CE ＝50＋503≈137(米)． 答：旗台与图书馆之间的距离约为137米． 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。
河北省2019届中考数学复习第14讲 二次函数的综合应用 含答案
二次函数的综合应用第14讲＝＝3时，y厘米，当)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xx1．(2014·河北( A )18，那么当成本为72元时，边长为 D．36厘米．12厘米 C．24厘米BA．6厘米)时，拱顶(拱桥洞的最高点如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽2．(2015·石家庄模拟)4 m( B )，当水面下降1 m时，水面的宽度为离水面2 m．32 m D．A．3 m B．2 m26 m C3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其中一年2( C ) ，则该企业一年中应停产的月份是14n－24n之间函数关系为y＝－n＋获得的月利润y与月份月3月、4月 B．2月、1A．月、2月、3 月月、12 D．1月、11．C1月、2月、12月ABA开始沿边从点＝24 mm，动点P如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC4．(2015·淄博模拟)C(不与点4 mm/s的速度移动从点B开始沿边BC向C以Qmm/s向B以2 的速度移动(不与点B重合)，动点( C ) 的面积最小．________秒，四边形APQCQ分别从A，B同时出发，那么经过．如果重合)P，4．．3 D1 BA．．2 C5．(2015·潍坊模拟)心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(分)之间的关系式为y2 13分钟．＋43(0≤x≤30)，若要达到最强接受能力59.9，则需＋＝－0.1x2.6x元时，平均25某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为6．(2015·营口)元时，该服装店平的定价为22元，平均每天能多售出件，而当销售价每降低24件，当每件8每天能售出均每天的销售利润最大．，中间用一道墙隔开，并在如图所)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长7．(2015·温州)，则能建成的饲养室面积最总长为27 m)不包括门划中的材料可建墙体1 m示的三处各留宽的门．已知计(2.75m大为8．(2015·泉州)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝x米(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？解：(1)设AB＝x米，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)米．(2)小英说法正确.＋2x)＝－2(x－矩形面积S＝x(72－36. x＜，∴x＜36.∴0＜∵72－2x＞0 取最大2648, 18)值．18时，S∴当x＝2x.x≠72－此时∴面积最大的不是正方形．根据对市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜)9．(2016·河北考试说明)(千元的图像如图1所示，乙种蔬菜的销售利润ykx与进货量y(千元)x(吨)之间的函数y＝的销售利润2112的图像如图2所示．＝吨)之间的函数yax＋bx与进货量x(2图1 图2(1)分别求出y，y与x之间的函数关系式；21吨，写出这两种蔬菜所获得的销t吨，设乙种蔬菜的进货量为10如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共(2)．售利润之和W(千元)与t(吨)之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？解：(1)由题意，得5k＝3，解得k＝0.6，∴y＝0.6x. 1a＋b＝2，a＝－0.2，????由解得??25a＋5b＝6，b＝2.2. 22.2x.0.2x＋∴y＝－22229.2. 4)＋＋1.6t＋6＝－0.2(t－＋(2)W＝0.6(10－t)(－0.2t＋2.2t)＝－0.2t 6.t＝W＝9.2，此时10－∴t＝4时，最大元．∴甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9 200秒依次竖直向上抛出两110．(2016·台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔秒时到达相同的最大离地高度．第一个小1.1个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后．t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝1.6球抛出后21.1)－y ＝a(t设各自抛出后提示：1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度，＋h22＋＝a(t－1－1.1)h，＋由题意，得a(t－1.1)h1.6.解得t＝故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．1.6. 故答案为沿折P同时从点B出发，点AD1．(2015·保定一模)如图所示，E为矩形ABCD的边上一点，动点P，Q11Q，时停止，它们运动的速度都是C时停止，点Q沿BC运动到点C1 cm/秒．设P运动到点－线BEED－DC2，)曲线OM为抛物线的一部分t.秒时，△同时出发tBPQ的面积为y cm已知y与的函数关系图像如图2(则下列结论：29322QBP.tty＜t≤5；③当ABEcos5BEAD①＝＝；②∠＝0时，＝；④当＝ABE秒时，△∽△455( C )其中正确的结论是D．②④．①③④A．①②③ B．②③ C，从而到达点C提示：根据图2可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时，点Q的长度，根据勾股定AEEDM，N是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出得到BC，BE的长度，再根据的长度，然后针对各小题分析解答即可．理求出AB2，＋1经过点A(4，－3)，顶点为点By12．(2016·十堰)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线＝axPO. ，连接PH⊥l，垂足为H轴的直线，过P作是过点点P为抛物线上的一个动点，l(0，2)且垂直于y B 的坐标；求抛物线的解析式，并写出其顶点(1) 填“＞”“＜”或“＝”)；，由此发现，PO＝PH(5(2)①当P点运动到A点处时，计算：PO＝5，PH＝有什么数量关系，并证明你的猜想；点在抛物线上运动时，猜想PO与PH②当P相似？若存在，求为顶点的三角形与△ABCO，H(3)如图2，设点C(1，－2)，问是否存在点P，使得以P，出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2 图图1A(4解：(1)∵抛物线y＝ax＋1经过点，－3) 1.2，＋1.∴a＝－∴－3＝16a412＝－x＋1，顶点B(0，1)．∴抛物线解析式为y4PH.(2)②结论：PO＝12 1)，(m坐标为，－m＋理由：设点P41111222222PH.PO，∴＝＋＋（－mm＋，＝－＝∵PH2－(m＋1)m＋1PO1＝）＝m14444222222＋3＝10，AB＝4＋4，10AC＝1＝42，∴BC＝AC. ＝1(3)∵BC＝＋3∵PO＝PH，又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，是对应边．AC与PO，BC与PH∴．1PHBC2∴1)，＝.∵P(m，－m＋4HOBA121m＋410 ＝±1..解得m∴＝224m＋433 ．1，)，)或(－∴点P坐标为(14413．(2016·唐山路南区二模)某公司销售的一种时令商品每件成本为20元，经过市场调查分析，5月份的日销售件数为－2t＋96(其中t为天数)，并且前15天，每天的价格y(元/件)与时间t(天)的函数关系式为11y＝t＋25(1≤t≤15，且t为整数)，第16天到月底每天的价格y(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y21241＝－t＋40(16≤t≤31，且t为整数)．根据以上信息，解答下列问题：2(1)5月份第10天的销售件数为76件，销售利润为570元；(2)请通过计算预测5月份中哪一天的日销售利润W最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前15天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠m元利润(m＜4)给希望工程．公司通过销售记录发现，前15天中，每天扣除捐赠后的日销售利润W随t的增大而增大，求m的取值范围．解：(2)设前15天日销售利润为W，后15天日销售利润为W.当1≤t≤15时，W＝(－2t＋96)(t＋5)＝－t＋14t＋480＝－(t－14)＋578，1422 2111122∴当t＝14时，W有最大值578元；1122当16≤t≤31时，W＝(－2t＋96)(－t＋20)＝t－88t＋1 920＝(t－44)－16，22∵16≤t≤31且对称轴为直线t＝44，∴函数W在16≤t≤31上随t的增大而减小．2∴当t＝16时，W有最大值为768元．2∵768＞578，故第16天时，销售利润最大，为768元．112(3)W＝(－2t＋96)(t＋5－m)＝－t＋(14＋2m)t＋480－96m，342∴对称轴为直线t＝14＋2m.∵1≤t≤15，∴14＋2m≥15，∴m≥0.5时，W随t的增大而增大．3又∵m＜4，∴0.5≤m＜4.14．(2016·绍兴)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？2.1.05 m这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为，36 m 利用图2我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图，材料总长仍为解答下列问题：，求此时窗户的透光面积；为1 m(1)若AB 与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．(2)图1 图2 图3552解：(1)由已知得AD＝，∴S＝ m.4477(2)设AB＝x m，则AD＝3－x，∵3－x＞0，4412∴0＜x＜.7设窗户面积为S，由已知，得7776922S＝AB·AD＝x(3－x)＝－x＋3x＝－(x－)＋.44477612∵0＜＜，7769∴当x＝时，S＝＞1.05.在窗户透光面积的最大值变大了．∴与课本中的例题比较，现最大值77。
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2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题14函数实际应用问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；1、最大利润问题：这类问题只需围绕一点来求解，那就是：总利润=单件商品利润*销售数量。
未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况：①变量x是所涨价多少，或降价多少；②自变量x是最终的销售价格。
2、最优方案问题：解答方案型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.3、抛物线型问题：（1）建立变量与自变量之间的二次函数关系式；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大值：可以利用配方法或公式求出最大值或者最小值；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.4、几何面积最大值问题：借助几何图形的特点，可根据图形探寻几何性质并设其中一边为x，从而根据面积公式建立二次函数或其它函数关系式，根据函数关系计算最大值问题。
5、解直角三角形：仰角、俯角：如图所示，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角②坡角、坡度：如图⑥所示，通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示，即i=h l ;坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则有i= hl=tanα解直角三角形常见模型：一个直角三角形包含在另一个直角三角形中，两直角三角形有公共直角和一条公共直角边，其中这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？【分析】（1）设商品的定价为x元，由这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少2件，列出等式求得x的值即可；（2）设利润为y元，列出二次函数关系式，在售价不超过40元/件的范围内求得利润的最大值．【解答】解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]=1600，解得：x=40或x=60；答：售价应定为40元或60元．（2）设利润为y元，得：y=（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），即：y=﹣2x2+200x﹣3200；∵a=﹣2＜0，∴当x=﹣=﹣=50时，y取得最大值；又x≤40，则在x=40时可取得最大值，即y最大=1600．答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元．【原创2】(2019·原创题)某条道路上有学校，为了保证师生的交通安全，通行车辆限速为40千米/时，在离道路100米的点P 处建一个监测点，道路AB 段为检测区(如图)．在△ABP 中，∠PAB ＝30°，∠PBA ＝45°，那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(精确到0.1秒，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如图，作PC ⊥AB 于点C.在Rt △APC 中，tan ∠PAC ＝PCAC， 则AC ＝PCtan ∠PAC ＝1003≈173(米)．同理，BC ＝PCtan ∠PBA ＝PC ＝100(米)，则AB ＝AC ＋BC ＝273(米)． ∵40千米/时＝1009米/秒，则273÷1009≈24.6(秒)．答：车辆通过AB 段的时间在24.6秒内时，可认定为超速．【原创3】某超市新进一批新的电子产品，进价每个50元，规定每个售价不低于成本，且不高于90元.试销若干天以后，得知每天的销售量y （个）与单个售价x （元）满足一定的函数关系，统计如下表： 售价x （元/个） 60 70 80 销售量y （个）1008060（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）求出总利润W 与售价x 的关系式，并求出售价为多少元时可获最大利润？分析（1）根据题意可以设出y 与x 之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y 与x 之间的函数表达式；（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，在取值范围内求得W 的最大值即可． 解：（1）因为数据为等差数据，所以变量间为一次函数关系：设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b ，取两组数据（60,100），（70,80）代入得：10060+8070k bk b=⎧⎨=+⎩， 得2220k b =-⎧⎨=⎩，即y 与x 之间的函数表达式2220y x =-+ ()5090x ≤≤；（2）由题意可得， W 与x 之间的函数表达式是()()()50222050100W x x x =--+≤≤，整理得()()2280180050100W x x =--+≤≤； 当x=80时，W 取得最大值，且x 在取值范围内 此时W=1800，故售价为80元时获得最大利润，最大利润是1800元．【原创4】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m 2)． (1)如图①，问饲养室的长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留一个2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中饲养室的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y ＝x·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，∴当x ＝25时，y 最大，即当饲养室的长为25 m 时，占地面积y 最大． (2)∵y ＝x·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，y 最大，即当饲养室的长为26 m 时，占地面积y 最大． ∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】(2018·湖州中考)“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥．甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示：设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元．(1)根据题意，填写下表．(2)设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省总运费是多少元？解：(1)填表如下：(2)y＝2×15x＋2×25(110－x)＋2×20(80－x)＋2×20(x－10)，即y关于x的函数表达式为y＝－20x＋8 300.∵－20＜0，且10≤x≤80，∴当x＝80时，总运费y最省，此时y最小＝－20×80＋8 300＝6 700.答：当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省总运费是6 700元．【例题2】近年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元(a为常数，且40＜a＜100)，每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润y1(万元)、y2(万元)与相应生产件数x(万件)(x为正整数)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；(2)分别求出这两个投资方案的最大年利润；(3)如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？解：(1)由题意得：y1＝(120－a)x(1≤x≤125，x为正整数)，y2＝(180－80)x－0.5x2＝100x－0.5x2(1≤x≤120，x为正整数)；(2)①∵40＜a＜100，∴120－a＞0，即y1随x的增大而增大，∴当x＝125时，y1最大值＝(120－a)×125＝15000－125a(万元)，即方案一的最大年利润为(15000－125a)万元；②y2＝－0.5(x－100)2＋5000，∵－0.5＜0，∴当x＝100时，y2最大值＝5000(万元)，即方案二的最大年利润为5000万元；(3)由15000－125a＞5000，解得a＜80，∴当40＜a＜80时，选择方案一；由15000－125a＝5000，解得a＝80，∴当a＝80时，选择方案一或方案二均可；由15000－125a＜5000，得a＞80，∴当80＜a ＜100时，选择方案二．【例题3】某校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面209 m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，当球出手后水平距离为4 m 时到达最大高度4 m ，篮圈距地面3 m ，设篮球运行的轨迹为抛物线．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)此球能否准确投中？(3)此时，若对方队员乙在甲前面1 m 处跳起拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m ，那么他能否拦截成功？解：(1)根据题意，求出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：(0，209)，(4，4)，(7，3)，设二次函数解析式为y ＝a(x －h)2＋k ，由题知h ＝4，k ＝4，即y ＝a(x －4)2＋4， 将点(0，209)代入上式可得16a ＋4＝209，解得a ＝－19，∴抛物线解析式为y ＝－19(x －4)2＋4(0≤x≤7);(2)将(7，3)点坐标代入抛物线解析式得： －19×(7－4)2＋4＝3， ∴(7，3)点在抛物线上， ∴此球一定能投中； (3)能拦截成功，理由：将x ＝1代入y ＝－19(x －4)2＋4得y ＝3，∵3＜3.1， ∴他能拦截成功．【例题4】如图，为美化社区环境，满足市民休闲娱乐需要，某社区计划在一块长为60 m ，宽为40 m 的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽x m ，纵向宽为2x m 的鹅卵石健身道．(1)用含x(m)的代数式表示休闲区的面积S(m 2)，并注明x 的取值范围； (2)若休闲区的面积与鹅卵石健身道的面积相等，求此时x 的值；(3)已知承建公司修建休闲区、鹅卵石健身道的前期投入及造价w 1(万元)、w 2(万元)与修建面积a(m 2)之间的关系如下表所示，并要求满足1≤x≤3，要使修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w 最低，x 应取多少米，最低造价多少万元？a(m 2) 0 10 100 … w 1(万元) 0.5 0.6 1.5 … w 2(万元)0.50.581.3…解：(1)S ＝40×60－2x×40×3－60×x×3＋2x·x·9＝18x 2－420x ＋2400；∵⎩⎪⎨⎪⎧60－2x×3>040－x×3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x<10x<403， ∴0<x<10，∴S ＝18x 2－420x ＋2400(0<x<10)；(2)由题意得：18x 2－420x ＋2400＝40×602，化简得3x 2－70x ＋200＝0，解得x 1＝103，x 2＝20(不合题意，舍去)，∴此时x 为103m ；(3)由表可知：修建休闲区前期投入0.5万元，每平方米造价0.01万元；修建鹅卵石健身道前期投入0.5万元，每平方米造价0.008万元，由上述信息可得：w ＝0.01×(18x 2－420x ＋2400)＋0.008×(－18x 2＋420x)＋1 ，整理，得w ＝0.036x 2－0.84x ＋25，配方后，得w ＝9250(x －353)2＋20110， ∵a ＞0，∴当x ＜353时，w 随x 的增大而减小，∵1≤x≤3，∴当x ＝3时，w 最小＝0.036×9－0.84×3＋25＝22.804(万元)， 答：当x 的值取3米时，最低造价为22.804万元．【例题5】(2018·恩施州中考)如图所示，为测量旗台A 与图书馆C 之间的直线距离，小明在A 处测得C 在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B 处，测得此时C 在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如图，由题意知∠MAC ＝30°，∠NBC ＝15°，∴∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°， ∴∠C ＝45°.过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E. 在Rt △AEB 中，∵∠BAC ＝60°，AB ＝100米，∴AE ＝cos ∠BAC·AB ＝12×100＝50(米)，BE ＝sin ∠BAC·AB ＝32×100＝503(米)． 在Rt △CEB 中，∵∠C ＝45°，BE ＝503米， ∴CE ＝BE ＝503米，∴AC ＝AE ＋CE ＝50＋503≈137(米)． 答：旗台与图书馆之间的距离约为137米． 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。